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Historia de la Derivada
Historia de la derivada
El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz
fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles
escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania
e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno
y otro país.
Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz
estudiando la velocidad de un móvil.
La derivada es la herramienta más poderosa inventada por el hombre. El
año de su invento se llama annus mirabilis, que fue el año en que Isaac Newton
estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo Diferencial, y
este "año maravilloso" fue el de 1666. (En rigor trabajó entre 1665 y 1666).
Desde hace 2006 - 1666 = 340 años (suponemos que usted lee estos apuntes
en el año 2006, conforme lo lea en años venideros efectué la resta pertinente)
la herramienta matemática llamada derivada parece inmutable explicando la
gran parte de los fenómenos de la naturaleza.
La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un
invento del cerebro humano que sirve para explicar el desarrollo dinámico de la
mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirvió para el
estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la
posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos
conocer la velocidad de su desplazamiento.
Derivada de una Función Real
LA DERIVADA DE UNA FUNCION REAL
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha
función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del
coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o
decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje
de un plano cartesiano de dos dimensiones.
La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en
aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el
cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales
como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica
de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la
recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de
esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que
determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta
secante en una recta tangente.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus
puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se
tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las
aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es
susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola
variable), son aproximables linealmente.
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente.
Notaciones para la derivada de una función
Si es una función derivable en un intervalo , , el proceso por
medio del cual se obtiene , da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada.
El dominio de está formado por todos los números del dominio de
para los que exista .
Por ejemplo, si con entonces está definida
únicamente para .
Si con una función derivable entonces la derivada de f puede denotarse por:
a. que se lee: derivada de f(x) respecto a x.
b. que se lee: derivada de "y" respecto a x.
c. que se lee: "y" prima.
Derivada como Límite
LA DERIVADA COMO UN LIMITE
Definición:
La derivada de una función F, es aquella función que denotada por F´,
cuyo valor es un número cualquiera x del dominio de F, de este modo, queda
constituida de la siguiente manera la derivada como una función:
,
Ejemplos:
Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada
de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:
1.
Se debe calcular el
La expresión indica que la función debe evaluarse en .
Así
Luego:
Por tanto, si entonces
2.
En este caso
Luego:
Si entonces
3.
En este caso
Luego:
Si entonces
Continuidad y derivabilidad
Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una
función en un punto , por medio del siguiente teorema.
Teorema
Si una función es derivable en un punto , entonces es continua en .
El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una
función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él.
Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes
definiciones sobre derivadas laterales.
Definición
Si es una función continua definida en , entonces:
1. La derivada por la derecha, que se denota , se define por la igualdad:
, siempre que el límite exista.
2. La derivada por la izquierda, denotada , se define por la igualdad:
, siempre que el límite exista.
Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales.
Así:
Existe
Ejemplos:
1. Consideremos la función definida por:
Vamos a determinar si es continua en 1 y si existe.
Para lo primero tenemos que:
a. existe pues
b. Como ,y
entonces
Luego es continua en pues
Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.
a.
b.
Como entonces no existe.
Luego, se ha comprobado que aunque es continua en se tiene que no es derivable en .
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Note que en la gráfica de tiene un "pico", siendo precisamente en donde no es derivable la función.
2. Sea la función con ecuación:
Determinemos si existe y si es continua en
Calculemos las derivadas laterales
a.
b.
Luego por lo que no es derivable en
Probemos ahora si f es continua en
a. existe pues ;
b. y
Entonces es continua pero no es derivable en .
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Note que la gráfica tiene una tangente vertical en (0,0)
El hecho de que no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.
3. Sea la función con ecuación: Determinemos si esta función es continua y derivable en . Se tiene que
existe pues
Como
y
Entonces existe y además , por lo que es una función continua en .
Estudiemos ahora las derivadas laterales:
a.
b.
Como entonces no existe.
Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él.
La representación gráfica de esta función es la siguiente:
Note que nuevamente la recta tangente a la curva en es una línea vertical.
Ejercicios resueltos:
Resuelve las siguientes derivadas aplicando definición
1. ( ) 432
+= xxf
( )( ) ( )
x
xxxLimxf
x ∆
+−+∆+=
→∆
4343'
22
0
( )( )
x
xxxxxLimxf
x ∆
−−+∆+∆+=
→∆
43423'
222
0
( )x
xxxxxLimxf
x ∆
−−+∆+∆+=
→∆
434363'
222
0
( )x
xxxLimxf
x ∆
∆+∆=
→∆
2
0
36'
( )( )
x
xxxLimxf
x ∆
∆+∆=
→∆
36'
0
( ) ( )xxLimxfx
∆+=→∆
36'0
( ) ( )036' += xxf
( ) xxf 6' =
2. ( )x
xf1
=
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )2
0
0
0
0
0
0
1'
0
1'
1'
..'
'
'
'
11
'
xxf
xxxf
xxxLimxf
xxxx
xLimxf
x
xxx
x
Limxf
x
xxx
xxx
Limxf
x
xxx
xxx
Limxf
x
xxxLimxf
x
x
x
x
x
x
−=
+
−=
∆+
−=
∆+∆
∆−=
∆
∆+
∆−
=
∆
∆+
∆−−
=
∆
∆+
∆+−
=
∆
−∆+=
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
3. ( ) xxxf +=2
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )xx
xxxxf
xx
xx
xx
xxf
xxxx
xxf
xxxx
xxf
xxxxxxx
xxxLimxf
xxxxxxx
xxxxLimxf
xxxxxxx
xxxxxxxxLimxf
xxxxxxx
xxxxxxLimxf
xxxxxxx
xxxxxxLimxf
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxLimxf
x
xxxxxxLimxf
x
x
x
x
x
x
x
+
++=
+
+
+
+=
+++
+=
+++++
++=
++∆++∆+∆
+∆+∆=
++∆++∆+∆
∆+∆+∆=
++∆++∆+∆
−−∆++∆+∆+=
++∆++∆+∆
+−∆++∆+=
++∆++∆+∆
+−∆++∆+=
++∆++∆+∆
++∆++∆++−∆++∆+=
∆
+−∆++∆+=
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
→∆
2
2
2
2
2
22
22
220
22
2
0
22
222
0
22
22
0
22
22
22
0
22
2222
0
22
0
2
.12'
.2
12'
12'
00
102'
.
12'
.
2'
.
2'
.
'
.
'
.
.'
'
Teoremas de Derivación
TEOREMAS DE DERIVACION
Hallar la derivada de una función aplicando la definición de derivada es
un proceso largo y la mayoría de las veces bastante tedioso. Afortunadamente
existen varias propiedades en la derivación de funciones que los matemáticos
han descubierto y establecido como teoremas. Algunos de estos teoremas son
generales, aplicables a cualquier función, y otros sólo se aplican a funciones
particulares. A continuación se enuncian algunos de los teoremas más
importantes (se nombran enumerándolos consecutivamente para facilitar una
futura referencia a ellos):
Nota: se supone, obviamente, que las funciones a las que hacen referencia los
teoremas son diferenciables, esto es, que tienen derivada.
El proceso que hemos utilizado hasta ahora para determinar la derivada
de una función, se denomina derivación; correspondiente a la definición de
derivada.
Es necesario para resolver problemas donde interviene la derivada, tener un
método que nos permita resolverlas rápidamente, corresponden a los
teoremas, los cuales se aplican para derivar un gran número de funciones sin
tener que recurrir a la definición de derivada. Veamos estos teoremas:
Teorema 1: Derivada de una función constante.
La derivada de una constante es igual a cero.
Simbólicamente: f(x) = k ⇒ f’(x) = 0 ; k es constante.
Ejemplos:
Si f(x) = 7 ⇒ f’(x)= 0
Si f(x) = √2 ⇒ f’(x)= 0
Si f(x) = -1/3 ⇒ f’(x)= 0
Teorema 2: Derivada de la función identidad.
La derivada de una función identidad es igual a uno.
Simbólicamente: Si f(x) = x ⇒ f’(x) = 1
Ejemplos
Si f(x) = x ⇒ f’(x) = 1
Si f(a) = a ⇒ f’(a) = 1
Si f(y) = y ⇒ f’(y) = 1
Teorema 3: Derivada de la función potencia.
La derivada de una función potencia, es igual a la potencia multiplicada por la
base elevada al exponente menos uno.
Simbólicamente: Si f(x) = xⁿ ⇒ f’(x) = nxⁿ¯�
Ejemplos
Si f(x) = x³ ⇒ f’(x) = 3x³¯¹ ⇒ aplicando el teorema 3 ⇒ f’(x) = 3x² ⇒ solución
Si f(x) = x¾ ⇒⇒⇒⇒ f’(x) = 3/4x¾¯¹ ⇒ aplicando el teorema ⇒ f’(x) = 3/4x¯¼ ⇒ solución
Si f(x) = √x ⇒ f(x) = x½ ⇒ Transformando la raíz en exponente fraccionario ⇒ f’(x) = ½ x½¯¹ ⇒ aplicando el teorema ⇒ f’(x) = ½x¯½ ⇒ solución
Teorema 4: Derivada de una Constante por una Función.
La derivada de una constante por una función es igual al producto de la
constante por la derivada de la función.
Simbólicamente: Si Q(x) = cf(x) ⇒ Q’(x) = cf’(x)
Ejemplos
Si Q(x) = 5x donde c=5 y f(x) = x Entonces
Q’(x) = 5x’
Q’(x) = 5(1) x1-1 ⇒ Teorema de la función potencia
Q’(x) = 5x0 ⇒ Resolviendo la resta y el producto
Q’(x) = 5(1) ⇒ Aplicando la propiedad de potencia
Q’(x) = 5 ⇒ Resolviendo el producto ∴ Q’(x) = 5 ⇒ Solución
Si Q(x) = 2/x² , x ≠ 0 donde c = 2 y f(x) = x¯²
En primer lugar subimos el denominador cambiando su signo respectivo;
como se muestra:
Q(x) = 2x¯² ⇒ Ahora
Q’(x) = 2(x¯²)’
Q’(x) = (-2)(2)x¯²¯¹ ⇒ Teorema función potencia
Q’(x) = -4x¯³ ⇒ Resolviendo la resta y el producto ∴ Q’(x) = -4x¯³ ⇒ Solución
Teorema 5: Derivada de una suma algebraica de funciones.
La derivada de una suma algebraica es igual a la suma algebraica de las
derivadas.
Simbólicamente: P(x) = f(x) + g(x) ⇒ P’(x) = f’(x) + g’(x)
Ejemplos
Si P(x) = x2+2x Donde: f(x) = x2 y g(x) = 2x
Entonces:
P’(x) = (x²+2x)’
P’(x) = (x²)’+(2x)’ → Aplicando el teorema de la suma
P’(x) = 2x²¯¹+(1) (2)x¹¯¹ → Aplicando el teorema de la potencia y el teorema de
la constante por una función.
P’(x) = 2x+2 → Aplicando las operaciones ∴ Se tiene: P’(x) = 2x+2 → Solución
Teorema 6: Derivada del producto de funciones.
La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera por la derivada
de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.
Simbólicamente: P(x) = f(x) . g(x) ⇒ P’(x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)
Ejemplos
Hallar la derivada de P(x) = (3x-2x²) (5+4x)
Entonces:
p’(x) = (3x-2x²) (5+4x)’+ (5+4x) (3x-2x²)’ → Aplicando el teorema 6
p’(x) = (3x-2x²)4 + (5+4x) (3-4x) → Aplicando los teoremas de una función
constante y de una función potencia.
P’(x) = 12x-8x² + 15-20x+12x-16x² → Efectuando los productos
P’(x) = 4x-24x² + 15 → Efectuando las operaciones ∴∴∴∴ P’(x) = -24x² + 4x + 15 → Solución
Hallar la derivada de P(x) = 5x¯² (x+3)
Entonces:
P’(x) = 5x¯² (x+3)’+(x+3) (5x¯²)’ → Aplicando el teorema 6
P’(x) = (5x¯²) (1) + (x+3)(-2)(5)x¯³ → Aplicando el teorema de la función potencia
e identidad.
P’(x) = 5x¯² + (x+3)(-10x¯³) → Efectuando las operaciones indicadas
P’(x) = 5x¯² -10x-2 - 30x¯³ → Efectuando el producto respectivo ∴ P’(x) = - 30x¯³ - 5x¯²→ Solución
Teorema 7: Derivada del cociente entre dos funciones.
La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la
derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador,
dividido por el denominador al cuadrado.
Simbólicamente:
Ejemplos:
1.
con
2.
con
3.
con
Teorema 8: Derivada de la función seno
Si f(x) = Sen x, entonces f’(x) = Cos x
Ejemplos
Sea f(x) = 3Sen x, hallar f’(x)
f’(x) = 3(Sen x)’ → Aplicando el teorema
f’(x) = 3Cos x → Solución
Sea f(x) = 5x+Senx, Hallar f’(x)
f’(x) = (5x)’+(Senx)’→ Teorema de una suma algebraica de funciones
f’(x) = 5+Cos x → Solución
f’(x) = Cos x + 5
f(x) = 4x2 Sen x. Hallar f’(x). f’(x) = 4x2 (Sen x)’ + Sen x (4x2)’ → Teorema del producto
f’(x) = 4x2 Cos x + 8xSen x → Solución
Teorema 9: Derivada de la función coseno
Si f(x) = Cos x entonces f’(x) = -Sen x
Ejemplos Sea f(x) = 2 Cos (2x). Hallar f’(x) f’(x) = 2(Cos 2x)’ → Aplicando el teorema
f’(x) = 2(-Sen 2x) (2x)’ → Regla de la cadena
f’(x) = -4Sen 2x → Derivada de una constante por una función.
f’(x) = -4Sen 2x → Solución
Sea f(x) = Cos 3x. Hallar f’(x)
f’(x) = (Cos 3x)’ → Aplicando el teorema
f’(x) = -Sen 3x (3x)’ → Regla de la cadena
f’(x) = -3Sen 3x → Derivada de una constante por
una función.
f’(x) = -3Sen 3x → Solución
Teorema 10. Derivada de la función tangente
Si f(x) = tg x entonces f’(x) = Sec² x
Ejemplos
Sea f(x) = Sen(tgx). Hallar f’(x)
Entonces
f’(x) = Cos(tgx) (tgx)’ → Aplicando teorema del seno y regla de la cadena
f’(x) = Cos(tgx) (Sec²x) →Aplicando el teorema de la derivada de la función
tangente.
f’(x) = Cos (tgx) (Sec² x) →Solución
Sea f(x) = 3tg4x. Hallar f’(x).
Entonces:
f’(x) = (3tg4x)’ → Aplicando el teorema de la función tangente
f’(x) = 3 Sec² 4x (4x)’ → Aplicando regla de la cadena
f’(x) = 3 Sec² 4x (4) → Aplicando teorema de la derivada de una constante por
una función
f’(x) = 12 Sec² 4x → Solución
Teorema 11. Derivada de la función Secante
Si f(x) = Sec x entonces f’(x) = Secx tgx
Ejemplos
Sea f(x) = Sec 5x. Hallar f’(x)
Solución:
f’(x) = 5tg5x Sec5x → Aplicando directamente el teorema
f’(x) = 5tg5x Sec5x → Solución
Sea f(x) = (1+Secx )³. Hallar f’(x)
Entonces:
f’(x) = [(1+Secx)³]’
f’(x) = 3(1+Secx)² (1+Secx)’ → Aplicando regla de la cadena y derivada de la
función potencia
f’(x) = 3(1+Secx)² [(1)’+(Secx)’] → Derivada de una suma algebraica de
funciones
f’(x) = 3(1+Secx)² [0+Secx tgx] → Derivada de una constante y de la secante
f’(x) = 3(1+Secx)² (Secx tgx) → Solución
Teorema 12. Derivada de la función Cosecante
Si f(x) = cscx entonces f’(x) = -cscx cotx
Ejemplos:
Sea f(x) = csc(2x)tgx. Hallar f’(x)
Solución:
f’(x) = csc(2x)(tgx)’ + tgx [csc2x]’ → Derivada del producto
f’(x) = csc 2x Sec² x + tgx [-csc 2x cot 2x](2x)’ → Derivada de la función
tangente y cosecante
f’(x) = csc 2x Sec² x + 2tgx [-csc 2x cot 2x] → Derivada de una constante por
una función
f’(x) = csc 2x Sec² x - 2tgx csc 2x cot 2x → Solución
Sea f(x) = csc² 5x + Senx. Hallar f’(x)
f’(x) = (csc²5x)’ + (Sen x)’ → Derivada de una suma algebraica de funciones
f’(x) = 2csc 5x (5x)’ + Cos x → Derivada de una función potencia, seno y
regla de la cadena.
f’(x) = 10 csc 5x + Cos x → Derivada de una constante por una función
f’(x) = 10 csc 5x + Cos x → Solución
Teorema 13. Derivada de la función cotangente
Si f(x) = Cot x entonces f’(x) = -csc2 x
Ejemplos:
Sea f(x) = 3 csc x – 5 cot x. Hallar f’(x)
f’(x) = 3(csc x)’ - 5(cot x)’ → Derivada de una suma algebraica de funciones
f’(x) = 3(-csc x cot x) - 5(-csc²x) → Derivada de la función cosecante y
cotangente
f’(x) = -3 csc x cot x - 5 csc² x → Solución
Ejercicios resueltos de los Teoremas de derivación Resuelve las siguientes derivadas
1. ( ) 645324
+−−= xxxxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 41013'
6453'
3
'''2'4
−−=
+−−=
xxxf
xxxxf
2. ( ) ( )( )45.423
−−= xxxxf
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) xxxxxf
xxxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxxxxf
32128025'
401032401215'
10.445.83'
45.445.4'
234
34324
2322
'2232'23
+−−=
−++−−=
−+−−=
−−+−−=
3. ( ) xxxxf 376213 4
+−−=−
( )
( )
( )
( ) 37
63
4'
3763
4'
3763
4'
372'
23
2231
2213
4
1334
++−=
++−=
++−=
+−−=
−
−−
−
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxxf
4. ( )65
424
3
−
−=
x
xxxf
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )24
46
24
46246
24
33'24
24
3'4'34
65
24366010'
65
804024362030'
65
42.2046.65'
65
42.6542.65'
−
+−+−=
−
+−+−−=
−
−−−−=
−
−−−−−=
x
xxxxf
x
xxxxxxf
x
xxxxxxf
x
xxxxxxxf
Teorema de derivación de funciones trigonométricas
1. ( ) Senxxxf4
3=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) CosxxSenxxxf
SenxxSenxxxf
43
'4'4
312'
.3.3'
+=
+=
2. ( ) 63
3
743 xCosxxSecxxf +−=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) 532
532
'
6'3'3'
'
63'
144123'
3
424123'
3
7.4.43'
3
743'
xSenxxxSecxTagxxf
xSenxxCosxxSecxTagxxf
xCosxxCosxxSecxxf
xCosxxSecxxf
Cosx+++=
+−+−=
++−=
+−=
3. ( )Senxx
Tgxxxf
−
+=
3
2
4
5
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )( )Senxx
CosxTagxCosxxTagxxxSenxSecxSenxxSecxxxf
Senxx
CosxTagxCosxxTagxxxxSenxSecxSenxxSecxxxf
Senxx
TagxxSenxxxSecxSenxxxf
Senxx
TagxxSenxxtgxxSenxxxf
−
++−−−+−=
−
++−−−−+=
−
+−−+−=
−
+−−+−=
3
222234
3
2242234
3
2'3'23
3
2'3'23
4
51210420'
4
5126010440'
4
5410.4'
4
545.4'