Derivadas

TECSUP – PFR Matemática Aplicada

1

Unidad I

DDEERRIIVVAADDAASS:: AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS MMEECCÁÁNNIICCAASS 1. CINEMÁTICA

La cinemática es el estudio del movimiento sin considerar las fuerzas u otros factores que influyen sobre el mismo. 1.1. MOVIMIENTO RECTILINEO

Es el realizado por un punto P a la largo de una línea recta, que, por conveniencia, escogeremos como eje x. Los símbolos vectoriales se omitirán en esta parta. POSICIÓN La posición del punto P en un instante cualquiera t se expresa en función de su distancia x a un origen fijo sobre el eje x. La distancia x será negativa o positiva de acuerdo con el convenio normal de notación.

1.2. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media vm del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + ∆t, durante el cual su posición varía de x a t + ∆t, es el cociente ∆v/∆t. Matemáticamente, se escribe:

tx v m ∆

∆=

(1)

1.3. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad instantánea v del punto P en el instante t es el límite de la velocidad media (definida anteriormente) cuando el incremento de tiempo tiende a cero como límite. Matemáticamente, se escribe:

dtdx

tx v lim

0∆t=

∆∆

=→

(2)

Matemática Aplicada TECSUP – PFR

2

1.4. ACELERACIÓN MEDIA

La aceleración meda am del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + ∆t, durante el cual su velocidad varía de v a v +∆v , es el conciente ∆v/∆t. Matemáticamente, se escribe

tv am ∆

∆=

(3)

1.5. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

La aceleración instantánea a del punto P en el instante t es el límite de la aceleración media (definida anteriormente) cuando el incremento de tiempo tiende a cero como límite. Matemáticamente, se escribe.

2

2

0∆t dtxd

dtdv

tv a lim ==

∆∆

=→

(4)

En el caso de aceleración constante a = K son válidas las siguientes fórmulas.

at vv o +=

(5)

as 2 v v 2o

2 +=

(6)

2

o at21 t vs +=

(7)

t ) vv (21 s o+=

(8) En donde: vo = velocidad inicial. v = velocidad final. a = aceleración constante. t = tiempo. s = desplazamiento.


3

1.6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Movimiento armónico simple es un movimiento rectilíneo en el que la aceleración es proporcional al desplazamiento con signo negativo. Matemáticamente, se escribe.

x -ka 2= (9)

Como ejemplo, veamos que la ecuación (9) la satisface un punto que vibra de modo que su desplazamiento x viene dado por la ecuación.

t A senx ω= (10)

En donde: A = Amplitud medida linealmente. w = frecuencia circular o angular constante en radiantes por segundo. t = tiempo en segundo. Así:

tASenx ω=

tCosAdtdxv ωω==

xtASendt

xda 222

2

ω−=ωω−==

EJEMPLO 1 Un punto P se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la

ecuación 5t2t4x 3 ++= en donde x está en metros y t en s. Determinar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración cuando s 3t = Solución:

2

2 2

3 3

m/s72 ) 3 (24 t 24 dv/dt a m/s110 2 ) 3 (12 2 t12 dx/dt v

m119 5 ) 3 (2 )3(4 5 t 2 t4 x

====

=+=+==

=++=++=


4

EJEMPLO 2 Un punto se mueve a lo largo de una línea recta de modo que su desplazamiento es: s = 8t2 + 2t, en donde s esta en m y t en s. Representar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Solución:

t2 t8 s 2 += 2 t 16 ds/st v +==

16 s/dt d dv/dt a 22 === Así se ve que la aceleración es constante, 16 m/seg2. Para obtener las graficas tabularemos t, s, v, y a.

t t2t8s 2 += 2t16v += 16a =

0 0 2 16 2 36 34 16 5 210 82 16 10 820 162 16


5

s (cm )

400

200

0

600

800

2 3 4 5 6 7 8 9 101t (s)

v

0 t (s)

0 t (s)

a

t2 t8 s 2 +=

a

t

∫ −==∫v

0v0

t

0tvvd va d t

∫ −==∫s

0s0

t

0tssdvvdt

t

De las ecuaciones:

2 t 16 ds/st v +==

16 s/dt d dv/dt a 22 === La integración entre los límites adecuados:

∫ −==∫v

0v0

t

0tvvdvadt

∫ −==∫s

0s0

t

0tssdvvdt

En donde:

∫ −==∫v

0v0

t

0tvvdvadt = área bajo el diagrama a-t en el intervalo de

tiempo comprendido entre t y to , por lo tanto representa la variación

de la velocidad.


6

0 t (s)

a

t

∫ −==∫v

0v0

t

0tvvdvadt

∫ −==∫s

0s0

t

0tssdvvdt = área bajo el diagrama tv − en el intervalo de

tiempo comprendido entre t y to , por lo tanto representa la variación

del espacio recorrido.

v

0 t (s)

∫ −==∫s

0s0

t

0tssdvvdt

EJEMPLO 3 Un tren varía su velocidad uniformemente de 60 km/h a 30 km/h en una distancia de 500 m. ¿Cuál es su aceleración? Solución: Datos:

m/s.7,16 km/h 60 vo ==

m/s3,8 km/h 30 v ==

m500 s = La aceleración a es constante porque la velocidad varía uniformemente en una línea recta.

as 2 vv 2o

2 +=


7

2222

o2

m/s21,0 - m)500(2

m/s)7,16 - ( m/s)3,8( s2

- vv a ===

Que a veces se expresa diciendo que existe una deceleración de 0,209 m/s2. EJEMPLO 4 La aceleración de un punto en un movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación:

a = -9,8. Se sabe que la velocidad v es cero y el desplazamiento x es +25 cuando t es igual a cero. Determinar la ecuación del desplazamiento. Solución Como sucede con frecuencia en los problemas físicos, la aceleración puede obtenerse por observación y sustituirse en la ecuación diferencial de segundo orden. La resolución es sencilla puesto que las variables x y t pueden separarse. Escribamos la ecuación dada del modo siguiente:

8,9- dv/dt a ==

Luego:

dt.8,9 -dv = → dt8,9dvv

0v

t

0t∫ ∫ −=

0o tt8,9 -vv −=−

0v0 = cuando 0to =

La ecuación para la velocidad es:

.t8,9dt/dxv −==

Luego:

tdt8,9dx −= → tdt8,9dxx

0x

t

0t∫ ∫ −=

)tt(28,9xx 2

02

0 −−=−


8

25x += cuando 0t0 =

La ecuación para el desplazamiento es:

.25t9,4x 2 +−=

EJEMPLO 5

Una partícula se mueve sobre una línea recta horizontal con

una aceleración de 3 .s6a =

Cuando s2t = , su desplazamiento es m27s += y su velocidad s/m27v += . Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula cuando s4t = . Solución: Como la aceleración viene dada en función del desplazamiento, utilizaremos las ecuaciones:

adtdvdtdva =→=

(a)

vdtdsdtdsv =→=

(b) Al combinar a y b:

adsvdv =

dss6vdv 3=

dss6vdv 3∫ ∫=

1

3/42

C3/4

s62v

+= Luego: 13/42 Cs9v +=

Cuando 27v += 27s += , 0C1 =

Luego: 323/4 s3s9v ==

s (cm)

72

360

108

144

t (s)

3)1t( s +=

180

v (m/s)

36

180

54

72

t (s)

2)1t(3 v +=

90

a (m/s )

12

60

18

24

1 2 3 4 5

t (s)

)1t(6 a +=30

2


9

Utilicemos ahora:

dt/dsv = Reemplazando:

dtdss3 3/2 =

dt3s/ds 32 =

∫ ∫=− dt3dss 3/2

2

3/1

Ct33/1

s+=

231 Ct3s3 += .

Cuando 27s += 2t = , 3C2 =

Luego: 3)1t(s += .

Por consiguiente, las ecuaciones son

3)1t(s += 2)1t(3v +=

)1t(6a +=

Cuando s4t = : m125s = , s/m75v = 2s/m30a = Se ha dibujado una representación de estas magnitudes en función del tiempo. EJEMPLO 6 En el mecanismo de vaivén o biela triangular de la figura la manivela OA está girando con una velocidad angular constante ω rad/s. Deducir la expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración del elemento deslizante.


10

x

B

A

O

l

θω

Solución B representa la posición del extremo izquierdo del elemento cuando θ= 0º. El desplazamiento x puede escribirse θ−−= OACoslOBx . Además:

OAlOB += , por tanto: )Cos1(OAOACoslOAlx θ−=θ−−+=

Sea: OA = R, además como la manivela está girando con velocidad angular constante ω , la expresión tω puede sustituir a θ . Luego:

)tCos1(Rx ω−=

tSenRdtdxv ωω== y

tCosRdtdva 2 ωω==


11

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

1. Una partida tiene un movimiento en línea recta de acuerdo con la

ecuación 5 - t3 - tx 23= estando x en m y t en s . ¿Cuál es el desplazamiento en el lapso en que la velocidad varía de m/s8 a

m/s40 ? Sol: 121,35m x =

2. Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de modo que su

desplazamiento medido desde un punto fijo sobre dicha línea viene

dado por t2 t3 s 2 += . Hallar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración al final de los s.3

Sol: m33 , s/m 20 , 2 m/s6

3. El movimiento de un partícula está definido por la relación

8 - t2 t3 - ts 234 += , estando s en m y t en s .

Determinar la velocidad •

s y la aceleración ••

s cuando s 2 t =

Sol: m/s4 s +=•

2 m/s16 s +=••

4. La curva velocidad-tiempo de un punto que se mueve sobre una línea recta está dibujada en la figura. ¿Qué distancia recorre el punto en

s2 ? v (m/s)

01 2

t (s)

t41Cos4 v π=

Sol: m09,5 x = 5.

Un objeto se mueve en línea recta con una aceleración constante de m/s.2 ¿Cuánto tiempo tardará en variar su velocidad de 5 a 8 m/s? ¿Qué variación de desplazamiento tendrá lugar en este intervalo de tiempo? Sol: s 5,1 t = m95,9 s =


12

5. El movimiento de una partícula viene dado por la aceleración

7 t2 - ta 23 += estando a en 2s/m y t en s . La velocidad es de 3,58 m/s cuando s1 t = y el desplazamiento vale +3,39 m cuanto s1 t = . Calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración cuando

s2 t = .

Sol: m9,15 s = m/s67,9 v = 2 m/s7 a =

6. Se deja caer una piedra desde un globo que se está elevando con

velocidad constante de 9 m/s. Si la piedra tarda 10 s en alcanzar el suelo, ¿a qué altura estaba el globo en el momento de dejar caer la piedra? Sol: m 400s =

7. Un globo se está elevando con una velocidad de 1 m/s cuando se

arroja un saco de lastre. Si su altura en el instante en que se suelta el saco es 84 m, ¿cuánto tiempo (s) tardará este lastre en llegar al suelo? Sol: s23,4t =

8. Una partícula se mueve sobre una línea vertical con una aceleración

v2a = . Cuando s2t = , su desplazamiento es m3/64s = y su velocidad s/m16v = . Determinar las ecuaciones del desplazamiento, la velocidad y la aceleración y evaluar el valor para cada una de estos parámetros cuando s3t =

Sol: 3)2t(31s += )2(tv 2+= )2(t2a +=

Cuando s 3t = : m7,41s = m/s 25 v = 2 m/s10a =

9. La aceleración de un punto que se mueve sobre una línea vertical

viene dada por la ecuación 20t12a −= . Se sabe que su desplazamiento es m10s −= en el tiempo 0t = y que su desplazamiento es m10s += en el tiempo s5t = . Deducir la ecuación de su movimiento.

Sol: 10t -4 t10 - t2 s 23 +=

10. Completar los diagramas de velocidad vs. Tiempo y aceleración vs tiempo del movimiento lineal de un pistón hidráulico el cual se mueve controlado por tecnología proporcional.


13

L

a1

a2

a3

t

VSALIDA

a +

VENTRADA

PARABOLA

a4

v1

v3

v2

v4

v5

(cm)

(s)

-a2

-a1

RECTA

a = Aceleraciònv = Velocidad

a -

t (s)

t (s)

(cm/s)

(cm/s )2

L = Posición

11. Determinar el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleración de la cruceta C en el mecanismo biela-manivela para una posición cualquiera de la manivela R, que está girando con una velocidad angular constante de ω rad/s. Determinar la velocidad del pistón cuando 4l = cm, 10R = cm,

o30=θ . RPM200n =


14

φ θ

l

A

R

D

hC

X

ω

Sol: θ+θ−= 22

Senl2

R)Cos1(Rx

)2Senl2

RSen(Rv θ+θω=

)2Cosl

RCos(Ra 2 θ+θω=

2. RAZÓN INSTANTÀNEA

2.1. RAZÓN

abscisasCambio de ordenadasCambio de

xx)x(f()x(f

0

0 =−−

Razón Instantánea al límite:

0

0

0xx xx)x(f)x(f

lim−−

→

Existen muchas aplicaciones de estos dos conceptos. Por ejemplo, la cantidad de agua Q (en litros) que hay en un recipiente es función del

tiempo t . Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad Q∆ de un

tiempo t a un tiempo .tt ∆+ La razón promedio de cambio de Q con respecto a t es:

min)/l(tQ∆∆


15

2.2. RAZÓN INSTANTÁNEA

(l/min)∆t∆Q

limdtdQ

0∆t→= .

EJEMPLO 1 Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio es llenado con un caudal de aceite de 4 l/min. Determine la velocidad (cm/s) con que sube la superficie del aceite. Solución

El volumen de un cilindro es:

h4

2dV π=

Derivando el volumen y la altura con respecto al tiempo (d = cte)

dh4

2ddV π=

dtdh

4

2ddtdV π

=

V

v

Q = 4 l/min

d

h

v4

2dQ π=

Reemplazando el valor de: Q = 4 l/min = 4000 cm3/min; d = 20 cm. v = 12,7 cm/min = 0,21 cm/s

EJEMPLO 2 Dos barcos salen simultáneamente de un puesto: uno viaja hacia el Sur a una velocidad de 20 km por hora, el otro hacia el Este a una velocidad de 30 km por hora. Al final de 3 horas, ¿cuál es la velocidad de separación de los dos barcos?


16

Solución Sea: z La distancia entre los dos barcos.

t20 La distancia hacia el Sur recorrida por el primer barco.

t30 La distancia hacia el Este recorrida por el segundo barco.

t El tiempo transcurrido en horas desde que dejaron el puerto. Entonces:

zt20

t30

t1300zt1300z;)t30()t20(z 22222 =⇒=⇒+=

1300dtdz = = 36.06 km por hora aproximadamente.

EJEMPLO 3 A un cono recto circular invertido le entra agua a razón de 2 cm3 por minuto. La altura del cono es dos veces su diámetro. ¿A qué rapidez sube la superficie del agua (cm/minuto) cuando la misma alcanza una profundidad de 10 cm en el cono? Solución V Volumen del agua en el cono, h Profundidad (cm) r Radio superior (cm) t tiempo (minutos)

=dtdV Caudal

=dtdh Rapidez con que sube la superficie de agua.

Entonces: hr31V 2π= con r4h =


17

32 h48

h)4h(

31V π

=π=

dtdh)

48h(

dhd

dtdV 3π

=

dtdhh

16dtdV 2π

=

2r

h = 4r

10 cm

Al remplazar las cantidades conocidas por sus valores se tiene:

dtdh10

162 2π=

utomincm102.032.0

dtdh

=π

=

EJEMPLO 4 Se arroja una piedra en un estanque de agua tranquila. El radio de la onda generada aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando el radio es de 10 pies. ¿A que velocidad aumenta el área del círculo de agua perturbada? Solución:

2rA π= .


18

dtdrr2

dtdr)r(

drd

dtdA 2 π=π=

r = 10 pies

v

EJEMPLO 5 Un hombre de 1,80 m de estatura se aleja a una velocidad de 3 Km/h de una luz que está a 4,5 m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia horizontal de la luz es de 3,6 m: 1. ¿A qué velocidad crece su sombra (Km/h)? 2. ¿A qué velocidad se mueve la parte más alejada de la sombra con

respecto a la luz (Km/h)?

Solución 1. Sea x la distancia horizontal que separa al hombre de la luz y la

longitud de su sombra:

4,50 m

1,80 m

x = 3,6 m y

z

sombra

s/pie 33,251 804.10.2 =π=π


19

Se pide =dtdy

velocidad con que crece la sombra

En la figura, por semejanza de triángulos se tiene:

y7,2x8,18,1y

5,4yx

=⇔=+

dtdy7,2

dtdx8,1 =

Remplazando los valores:

h/km 2dtdy

dtdy7,2)3( 8,1 =⇒=

2. Se pide =dtdz

Rapidez con la que se mueve la sombra con respecta a

la luz.

4,50 m

1,80 m

x = 3,6 m y

z

sombra

dtdy

dtdx

dtdz

Sea: 2222 u)5.4()yx()5.4(z +=++=

( ) dtdu

u5.4

udtdz

22 +=

Donde: uyx =+

Luego:

( ))

dtdy

dtdx(

u5.4

udtdz

22+

+=


20

Cuando:

4,2y6.3x =→= 6u =→ También:

3dtdx

= (Dato); 2dtdy

= (Caso a)

Luego reemplazando estos valores:

hkm4)23(

65.46

dtdz

22=+

+=

EJEMPLO 6 Un balón esférico pierde aire a razón constante de 2 cm3/s. ¿Con que razón decrece el radio del balón (cm/s) cuando su diámetro es de 1 m. Solución Sea: R = Radio del balón V = Volumen del balón. Luego.

3R34V π=

Derivando con respecto al tiempo se tiene:

dtdRR4

dtdV 2π=

Q = 2 cm /s 3

vR


21

Donde:

dtdV

R41

dtdR

2π=

Donde: s

cm2dtdV 3

−=

Luego:

scm00006.0)2(

5041

dtdR

2 −=−π

=

EJEMPLO 7 En una fábrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una pila cónica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base. 1. ¿Con qué rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es

de 90 cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por minuto?

2. ¿Con qué rapidez aumenta el radio cuando tiene 1,80 m y su volumen aumenta a una razón de 3 m3 por minuto?

Solución

1. Sea: =r radio de la base y =h altura de la pila en el tiempo t .

Sabemos que el volumen de la pila cónica es: hr31V 2π= Donde:

r34h =

Luego:

32 r94)r

34(r

31V π=π=

dtdrr

34

dtdV 2π=

Reemplazando los datos:

90r = 81

dtdr

=

mincm1350

8190

34

dtdV 3

2 π=π=


22

h = 4/3r

r = 90s

cm81

dtdr

=

EJEMPLO 8

Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semicúbica 32 xy = de tal manera que su abscisa aumente 5 unidades por segundo

cuando 4x = . ¿Con qué rapidez cambia la ordenada?

Solución:

Datos:

5dtdx

=

Incognitadtdy

=

Derivando 32 xy = con respecto a t se

obtiene:

dtdxx3

dtdyy2 2= .

Cuando ,4x = 8y = .

Al remplazar estos valores se obtiene:

sunidades15

dtdy5).4(3

dtdy)8(2 2 =⇒=

32 xy =

X

Y


23

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

1. Un hombre camina a 7 ½ km/h hacia la base de una torre que tiene 18 m de altura. ¿Con qué rapidez se acerca a la cima de la torre cuando su distancia de la base es 24 m? Resp.: Se acerca a 6 km/n

2. Un punto se mueve sobre la parábola x12y2 = , de manera que la

abscisa aumenta uniformemente 2 cm/s. ¿En qué punto aumentan la abscisa y la ordenada a la misma razón? Resp.: (3,6)

3. Halle los valores de x para los que la rapidez de variación de la

función 13x15x12x 23 −+− es cero. Resp.:3 y 5

4. Un buque navegaba hacia el Sur a una velocidad de 6 millas por

hora; otro navegaba hacia el Este a una velocidad de 8 millas por hora. A las cuatro de la tarde el segundo cruzó la ruta del primero en el punto por el que éste había pasado dos horas antes. • ¿Cómo variaba la distancia entre los buques a las tres de la tarde? • ¿Cómo a las cinco de la tarde? • ¿Cuándo no variaba la distancia entre ellos? Resp.: • Disminuía 2,8 millas por hora; • Aumenta 8,73 millas por hora; • A las 3 h 17 min de la tarde.

5. Las aristas de un tetraedro regular miden 10 cm; si aumentan 0,1cm

por minuto, calcule la rapidez de aumento del volumen.

6. El diámetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante, 10 y 20 cm, respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de 1 cm por minuto ¿qué alteración de la altura mantendrá el volumen constante? Resp.: Una disminución de 4 cm/min.

7. El radio de la base de cierto con aumenta a razón de 3 cm por hora y

la altura disminuye a razón de 4 cm por hora. Calcule cómo varia el área total del cono cuando el radio mide 7 cm y la altura 24 cm. Resp.: Aumenta 26π cm2/h


24

8. Un gasómetro contiene 1000 m3 de gas a la presión de 300 gf por cm2 . Si la presión disminuye a razón de 3 gf por cm2 por hora, ¿con que rapidez aumentará el volumen? (Dése por sentada la ley de Boyle: .cpv = )

Resp.:10 m3/h

9. La ley adiabática para la expansión del aire es .cPV 4,1 = Si en un tiempo dado se observa que el volumen es de 10 m3 y la presión es de 50 kgf por centímetro cuadrado, ¿cuál es la alteración de la presión si el volumen disminuyen un metro cúbico por segundo? Resp.: Aumenta 7 kgf/cm2 por segundo

10. Se echa agua en un recipiente hemisférico de 35 cm de diámetro a razón de 16 cm3 po segundo.¿Con qué rapidez sube el agua: • Cuando ha llegado a media profundidad; • En el momento de rebosar?

(El volumen de un segmento esférico de una base es 32 h31rh π−π ,

siendo h la altura del segmento.) 11. El gas de un globo esférico se escapa a razón de 1000 cm3 por

minuto. En el instante en que el radio es 25 cm: a) ¿con qué rapidez disminuye el radio?, b) ¿con qué rapidez disminuye el área de la superficie? Resp.: b) 80 cm2/min

12. Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60º. Una

locomotora dista 160 m del cruce y se aleja de él a la velocidad de 100 km por hora. Un automóvil dista del cruce 160 m y se acerca a él a la velocidad de 50 km por hora ¿A qué razón se altera la distancia entre los dos? Resp.: 25 km/h o

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