Facultad de MatematicasDepartamento de MatematicasMAT1610 -
Calculo ISeccion 8 - Sala B15
Ayudanta N8Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez
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Problema 1Encontrar la derivada enesima de la funcion
f(x) = log(a+ bx
a bx)
Solucion:Notemos que la primera derivada de f puede ser
calculada separando la resta de logaritmos yaplicando la regla de
la cadena, teniendo cuidado con los signos:
f (x) =b
a+ bx+
b
a bxo bien
f (x) =(ab
+ x)1
+(ab x)1
Ahora notemos que cada vez que se derive esta expresion, por
derivacion de polinomio, caera elexponente anterior y se
multiplicara. Al derivar las siguientes n 1 veces y teniendo
cuidado conlos signos tendriamos:
f (n)(x) = (1)(n1)(n 1)!(ab
+ x)n
+ (n 1)!(ab x)n
Reordenando terminos tenemos:
f (n)(x) =(n 1)!bn
(a2 (bx)2)2 ((a+ bx)n + (1)n(a bx)n)
Problema 2En triangulo 4ABC esta formado por una cuerda AC de la
parabola y = kx2 y las tangentesAB y BC en cada extremo de la
cuerda. Si AC permanece perpendicular al eje de la parabola yse
acerca al vertice cde ella a razon constante de dos unidades por
segundo, determine la tasa decambio que experimenta el area del
triangulo cuando la cuerda AC se encuentra cuatro unidadessobre el
vertice de la parabola.Solucion:
Por simetra con respecto al eje Y, como AC es horizontal, el
4ABC es isoseles y B se encuentrasobre el eje Y. Si C se encuentra
sobre la parabola, entonces para un punto x0 la pendiente de
larecta tangente es m = 2kx0 y la ecuacion de la recta tangente es
y = 2kx0(x x0) + k(x0)2 (vistoen ayudanta). Debemos encontrar la
ubicacion del punto B, para esto hacemos x=0 en la recta ytenemos y
= kx0. Luego B(0,kx0) y el area del triangulo es:
4 = 2k(x0)3
1
Figura 1: Parabola y = kx2
Derivando con respecto a x0 tenemos:
d4dx0
= 6k(x0)2
Ahora, derivando con respecto al tiempo (que es lo que nos
interesa) y usando regla de la cadenatenemos,
d4dt
=d4dx0
dx0dt
=d4dx0
dx0dy0
dy0dt
Por enunciado y lo que se dedujo, tenemos
d4dx0
= 6k(x0)2 y
dx0dy0
=1dy0dx0
=1
2kx0
y como el enunciado nos dice que AC se acerca a tasa de 2
unidades por segundo la derivada de y0con respecto al tiempo es 2
(negativa porque disminuye):
dy0dt
= 2
Reemplazando esto tenemos,
d4dt
= 6k(x0)2 1
2kx0(2) = 6x0
pero debemos dejar esto en funcion de y0 y no de x0 ya que el
momento que nos dan (cuando lacuerda BC se encuentra a 4 unidades
sobre el vertice) esta en funcion de esta variable:
d4dt
= 6y0k
Luego para y0 = 4,d4dt
= 12k
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Problema 3Un nino eleva un volantn que esta a 50 metros de
altura y que se mueve horizontalmente convelocidad constante de 5
m/s. Determinar la velocidad con que cambia el angulo entre el hilo
y lahorizontal cuando se han soltado 50
2 metros de hilo.
Solucion:Ocuparemos la variable x para denotar la distancia
horizontal que ha recorrido el volantn desde suorigen y para el
angulo que forma. Podemos considerar el triangulo que forma el hilo
del volantncon la horizontal y la altura, en donde se cumple para
,
50
x= tan() x = 50 cot()
Notemos que tanto como x varan con el tiempo (x = x(t) y = (t)).
Podemos segun estoderivar la ultima expresion con respecto al
tiempo t ,
dx
dt= 50(cot ) = 50 csc d
dt
Ahora, por enunciado tenemos quedx
dt= 5
Luego despejandod
dtque es lo que nos pide este ejercicio tenemos,
d
dt= sin
2
10
Pero nos falta calcular ya que el momento que nos dan (cuando el
hilo se ha soltado 50
2 metros)no esta en eso terminos.Para esto usamos pitagoras para
encontrar x (distancia horizontal recorrida) y notamos que
x = 50
Luego el triangulo formado es isoseles y =pi
4(es un triangulo rectangulo). Reemplazando tenemos
que la velocidad con que cambia el angulo en el punto dado
es
d
dt=
( 12)2
10= 1
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Problema 4
Demostra que si 0 < x 0 (Porque?), ademas, como 0 < x <
1 , 0 < x2 < x < 1.Y coseno es estrictamente decreciente
en (0, 1) (Porque?), luego:
cos(x2) > cosx > cos 1 > 0
As, usando lo anterior tenemos que x cos(x2) > sinx cosx, por
lo tanto,
f (x) = 2(x cos(x2) sinx cosx) > 0
que es lo que queramos probar.Problema 5Sea f(x) = (x b)n(x a)m
. Probar que existe un c R tal que:
m
m=c ab c
Solucion:Notemos que la funcion f es continua con dos races a y
b con multiplicidad m y n respectivamente.Tenemos que f(a) = f(b) =
0. Por el teorema del valor medio tenemos que existe un c R tal
que
(b a)f (c) = f(b) f(a) = 0 f (c) = 0
Ahora,f (x) = (x a)m1(x b)n1[(m(x b) + n(x a)]
Luego para el c anterior tenemos,
(c a)m1(c b)n1[(m(c b) + n(c a)] = 0
y asm(c b) = n(c a)
que es lo que piden.
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