DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORLa derivada de la derivada de una funcin se conoce como segunda derivada de la funcin, es decir, si f(x) es una funcin y existe su primera derivada f(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la funcin obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una funcin dependen de las caractersticas de la funcin y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los rdenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la seccin de los teoremas.Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

Para derivadas de orden superior es de forma similar, as por ejemplo tendramos las siguientes derivadas:

Ejemplos:Dada la funcinobtener la segunda derivada y cuarta derivada:

a)Solucin:

Derivando

REGLA DE LA CADENAEn clculo, la regla de la cadena es una frmula para la derivada de la composicin de dos funciones. Tiene aplicaciones en el clculo algebraico de derivadas cuando existe composicin de funciones. En trminos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razn de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razn de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razn de cambio de u con respecto a x.Ejemplos:1.

2.

3.

4.

MXIMOS Y MNIMOS

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) 0.

*Mximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

*Mnimos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mnimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

AREA Y VOLUMEN CON INTEGRALES MULTIPLES*INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.Suponga quef(x, y)est definida sobre una regin rectangular R dada porR: a