10B. DERIVADAS PARCIALES 10B.1 Derivada parcial de una funcin de varias variables. Sea una funcin de dos variablesz = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definicin obvia si la comparamos con laderivada de una funcin de una variable) Para la derivada dez"respecto dex" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada dez"respecto dey" consideramos a la variable "x" como si fuera constante. Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la funcin: : Para ello recordemos que la derivada de la funcinz =eues:z=u.eu, siendouen nuestro caso:x2+y2, entoncesla derivada deurespectoxes 2x(con layconstante), mientras que laderivada deurespectoyes 2y(con laxconstante). As tenemos:

Otras formas de expresar laderivada de la funcinz = f(x,y)con respecto axson:

mientras que para expresar laderivada de la funcinz = f(x,y)con respecto ay:

Esta definicin de derivada se extiende a funciones de tres o ms variables, por ejemplo, para una funcin de tres variablesw = f(x,y,z)sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.10B.2 Diferencial de una funcin de varias variables.Sea una funcin de dos variablesz = f(x, y), se define la diferencial de esta funcin como:

Geomtricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".Como ejemplo, expresemos la diferencial de la funcin: , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:

Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un puntoP(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor dexpora, y el valor deyporb. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el puntoP(1, 2)se calculan sustituyendox=1, y=2. Para la funcinlas derivadas en el puntoP(1, 2)son:

y la diferencial en ese punto:

10B.3 Derivadas parciales de segundo orden. Sea una funcin de dos variablesz = f(x, y).En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se debe leer "derivada segunda dezrespecto dexdos veces","derivada segunda dezrespecto dex-y", etc.) Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:Se trata dederivar respecto dexla derivada.Se trata dederivar respecto axla derivada.Se trata dederivar respecto a yla derivada.Se trata dederivar respecto a yla derivada. Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la funcin:

Las derivadasson llamadas "derivadas mixtas", obsrvese en el ejemplo cmo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.