Derivadas - · PDF file0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x 0, y fue Fermat el

DerivadasEn este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y sehallarán las derivadas de las funciones más usuales.Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar eltrazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, quese estudiarán a continuación.La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunqueactualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones queserán fácilmente comprensibles.La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular latangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat elprimero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos dealgunas funciones.

MAT330 Cálculo I

1

Definición de Derivadas

La derivada de la función )(xf con respecto a x es la función )(xf ′ dada por:

hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′

→

)(xf ′ se lee como “ f prima de x ”. El proceso de calcular la derivada se

denomina derivación, y se dice que )(xf es derivable en cx = si )(cf ′ existe; es

decir, si el límite que define )(xf ′ existe cuando cx = .

Recta Tangente La derivada evaluada en cx = corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy = en cx = ; es decir:

cxporpasaquexfagenterectaPendientecf ==′ )(tan)(

GUÍA DE EJERCICIOS Nº 8

DERIVADAS ELEMENTALES Y ALGEBRA DE DERIVADAS

MAT330 Cálculo I

1



hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′

→








MAT330 Cálculo I

1



hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′

→








Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

MAT330 Cálculo I

2

Notación de Derivadas Sea )(xfy = , entonces la derivada de la función se puede denotar por:

dxdyyxf =′=′ )(

Derivadas Elementales

1. =)(xf Constante entonces 0)( =′ xf

2. nxxf =)( entonces 1)( −=′ nnxxf

3. xaxf =)( entonces )ln()( aaxf x ⋅=′

4. xexf =)( entonces xexf =′ )(

5. )(log)( xxf a= entonces )ln(

1)(ax

xf⋅

=′

6. )ln()( xxf = entonces x

xf 1)( =′

1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones elementales:

a) 12)( xxf =

b) 54)( =xg

c) xxh 2)( =

d) xxm =)(

e) 3 5)( xxf =

f) )(log)( 3 xxg =

g) 3

1)(x

xf =

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS 375

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

f(x) = en [2, 3]

f(x) = en [– 1, 4]

Aplica la definición de derivada y calcula la derivada delas siguientes funciones en los puntos que se indica:

f(x) = 3x + 1 en x = 2

f(x) = – 2x + 3 en x = 1

f(x) = x2 en x = – 3

f(x) = – x2 + 5 en x = 1

Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:

y = 9

y = – x3

y = x7

y = x7 – x3 + x + 9

y = 3x2 – 4x + 1

y = x3 – 5x2 + 3x – 8

y = (2x – 3)5

y = e– 2x + 3

y = L (5x + 2)

y = L (x2 – 3x + 1)

y = 9x

y = (x + 1) ex79

Solución:y’ = 9

78

Solución:2x – 3y’ = ———

x2 – 3x + 1

77

Solución:5y’ = ——

5x + 2

76

Solución:y’ = – 2e– 2x + 3

75

Solución:y’ = 10 (2x – 3)4

74

Solución:y’ = 3x2 – 10x + 3

73

Solución:y’ = 6x – 4

72

Solución:y’ = 7x6 – 3x2 + 1

71

Solución:y’ = 7x6

70

Solución:y’ = – 3x2

69

Solución:y’ = 0

68

Solución:f ’(1) = – 2

67

Solución:f ’(– 3) = – 6

66

Solución:f ’(1) = – 2

65

Solución:f ’(2) = 3

64

Solución:f(4) – f(– 1) 3 – 2 1TVM[– 1, 4] = ———— = ——— = —

4 + 1 5 5

√x + 563

Solución:f(3) – f(2) 2 – 3TVM[2, 3] = ———— = ——— = – 1

3 – 2 1

6x

62

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcularlaecuacióndelatangentealacurvaf(x)=x2 enelpuntodeabscisa2.

Resolución: Latangentepasaporelpunto(2,f(2))=(2,4).

La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la formay - y0 = m (x - x0)y - 4 = f '(2) (x - 2)

La ecuación de la tangente es entoncesy - 4 = 4(x - 2)y - 4 = 4x - 84x- y- 4=0.

376 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Ejercicios y problemas

y = x L (x – 5)

y = e3x L x

y =

y =

y =

4. Aplicaciones de la derivada

Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 2x parax = 3. Dibuja la función y la recta tangente.

Calcula la recta normal a la curva y = – x2 + 5 parax = 2. Dibuja la función y la recta normal.

Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x2 para x = 1. Dibuja la función y las rectas tan-gente y normal.

Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-ción y = x2 – 4x. Dibuja la función.

Solución:y’ = 2x – 4

2x – 4 = 0, x = 2, y = – 4,A(2, – 4)

y’’ = 2

f ’’(2) = 2 > 0 ò A(2, – 4) mínimo relativo.

88

Solución:Recta tangente: y = 2x – 1

1 3Recta normal: y = – —x + —2 2

87

Solución:1 1Recta normal: y = —x + —4 2

86


85

Solución:– 13y’ = ——

(2x – 1)2

3x + 52x – 1

84


(x – 1)2

xx – 1

83

Solución:(2x – 1) e2x

y’ = ———x2

e2x

x82

Solución:e3x

y’ = 3e3x L x + —x

81

Solución:xy’ = L (x – 5) + ——

x – 5

80

Solución:y’ = (x + 2) ex

X

Y

P(3, 3)f(x) = x2 – 2x

y = 4x – 9

X

Y

y = —x + —14

12

P(2, 1)

f(x) = – x2 + 5

X

Y

y = – —x + —y = 2x – 1

12

32

P(1, 1)

f(x) = x2

Halla la recta tangente a la curva:

y = x2 – 4x + 7

para x = 2. Dibuja la función y la recta tangente.

Los beneficios de una empresa en millones deeuros vienen dados por la fórmula:

y = – x2 + 18x – 20

donde x indica el número de años que lleva fun-cionando. ¿Qué año alcanza los máximos bene-ficios?

Para profundizar

Representa la siguiente función:

2x2 + 8x + 3 si x < 0y = { si x Ó 0

Halla el crecimiento de la función y = x3 – 3x. Cal-cula f(x), f(x), esboza la gráfica de

la función.

Solución:Primero hay que hallar los máximos y mínimos rela-tivos.

y’ = 3x2 – 3

3x2 – 3 = 0, x2 – 1= 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1

x = 1, y = – 2,A(1, – 2)

x = – 1, y = 2, B(– 1, 2)

y’’ = 6x

f’’(1) = 6 > 0 ò A(1, – 2) Máximo relativo.

f ’’(– 1) = – 6 < 0 ò B(– 1, 2) mínimo relativo.

Crecimiento:Discontinuidades: no hay.

y’ = 3x2 – 3

f’(0) = –

límx8–@

límx8+@

144

Solución:

x + 3x + 1

143

Solución:y’ = – 2x + 18

– 2x + 18 = 0, 2x – 18 = 0, x = 9, y = 61

y’’ = – 2

f ’’(9) = – 2 < 0 ò A(9, 61) Máximo relativo.

Los máximos beneficios los alcanza en el 9º año yson 61 millones de euros.

142

Solución:Recta tangente: y = 3

141

x = – 2, y = – 16/3, B(– 2, – 16/3)

y’’ = – 2x

f’’(2) = – 2 < 0 ò A(2, 16/3) Máximo relativo.

f ’’(– 2) = 2 > 0 ò B(– 2, – 16/3) mínimo relativo.

Crecimiento:Discontinuidades: no hay.

y’ = x2 – 4

f’(1) = –

( ) = (– 2, 2)

( ) = (–@, – 2) á (2, +@)


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

X

Y A(2, 16/3)

B(– 2, – 16/3)

f(x) = x2/3 – 4x

X

Y

A(2, 3)

f(x) = x2 – 4x + 7

Y

X

88

0x

f’(x)

2– 2

0x

f’(x) –– +2– 2

0x

f’(x)

1– 1


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

y = (2x + 1) L x

y =

y =

Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 1 para x = 2. Dibuja la función y la recta tangente.

Halla la recta normal a la curva y = – x2 + 1 para x = 2. Dibuja la función y la recta normal.

Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-ción y = x2. Dibuja la función.

Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-ción y = – x2. Dibuja la función.

Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-miento de la función y = ex

Solución:Máximos y mínimos relativos:y’ = ex

ex ? 0 siempre, no tiene ni máximos ni mínimos rela-tivos.

Crecimiento:y’ = ex > 0 siempre, es creciente siempre.

( ) = (–@, +@)

( ) = Ö

127

Solución:y’ = – 2x

– 2x = 0, x = 0, y = 0,A(0, 0)

y’’ = –2

f ’’(0) = –2 < 0 ò A(0, 0) Máximo relativo.

126

Solución:y’ = 2x

2x = 0, x = 0, y = 0,A(0, 0)

y’’ = 2

f ’’(0) = 2 > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo.

125

Solución:1 7Recta normal: y = —x – —4 2

124


123


(3x + 4)2

– 2x + 13x + 4

122


(4x – 5)2

2x + 34x – 5

121

Solución:2x + 1y’ = 2 L x + ——

x

120

Solución:y’ = x ex

X

Y

y = 4x – 5

P(2, 3)f(x) = x2 – 1

X

Y

A(0, 0)

f(x) = x2

X

Y

A(0, 0)

f(x) = – x2

X

Y

P(2, – 3)

f(x) = – x2 + 188

DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I

1


DERIVADAS DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de la función )(xf se define mediante el límite:

hxfhxfxf

h

)()(lim)('0

−+=

→

1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función:

25)( xxf = DERIVADAS ELEMENTALES 1. Si nxxf =)( ; 1)(' −⋅= nxnxf 2. Si Cxf =)( , con C una constante ; 0)(' =xf 3. Si xbxf =)( ; )ln()(' bbxf x ⋅= 4. Si xexf =)( ; xexf =)('

5. Si )(log)( xxf b= ; )ln(

1)('bx

xf⋅

=

6. Si )ln()( xxf = ; x

xf 1)(' =

2. Determine la derivada de las siguientes funciones:

Algebradederivadas:


1


DERIVADAS DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de la función )(xf se define mediante el límite:

hxfhxfxf

h

)()(lim)('0

−+=

→

1. Utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la siguiente función:

25)( xxf = DERIVADAS ELEMENTALES 1. Si nxxf =)( ; 1)(' −⋅= nxnxf 2. Si Cxf =)( , con C una constante ; 0)(' =xf 3. Si xbxf =)( ; )ln()(' bbxf x ⋅= 4. Si xexf =)( ; xexf =)('

5. Si )(log)( xxf b= ; )ln(

1)('bx

xf⋅

=

6. Si )ln()( xxf = ; x

xf 1)(' =



2

a) 2)( xxf = b) 5)( xxf = c) 2)( =xf

d) xxf =)( e) 3)( xxf = f) xexf =)(

g) xxf 2)( = h) )ln()( xxf = i) )log()( xxf = ALGEBRA DE LAS DERIVADAS 1. Derivada de una suma ( diferencia ) [ ] )(')('')()( xgxfxgxf ±=± 2. Derivada de un producto [ ] )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf ⋅+⋅=⋅ 3. Derivada de una división

( )2)(

)(')()()('')()(

xgxgxfxgxf

xgxf ⋅−⋅

=


a) 53)( 2 +−= xxxf b) 656)( 2 −+= xxxf c) 133)( 23 +++= xxxxf d) xxxf −= 34)(

e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x


120 CAPÍTULO 2 Derivación

En términos generales, la derivada del producto de dos funciones no está dada por el producto de sus derivadas. Para observarlo basta con comparar el producto de las derivadas de ƒ(x) 3x 2x2 y g(x) 5 4x con la derivada obtenida en el ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Aplicación de la regla del producto

Encontrar la derivada de h(x) (3x 2x2)(5 4x).

Solución

Aplicar la regla del producto.

En el ejemplo 1 se cuenta con la opción de calcular la derivada con o sin la regla del producto. Sin ella se escribiría

24x2 4x 15.

Dx 3x 2x2 5 4x Dx 8x3 2x2 15x

En el siguiente ejemplo, se debe utilizar la regla del producto.


Encontrar la derivada de y 3x2 sen x.

Solución

Aplicar la regla del producto.


Encontrar la derivada de y 2x cos x 2 sen x.

Solución

24x2 4x 15

12x 8x2 15 8x 16x2

3x 2x2 4 5 4x 3 4x

h x 3x 2x2 ddx

5 4x 5 4xddx

3x 2x2

PrimeraDerivada

de la segunda SegundaDerivada

de la primera

3x x cos x 2 sen x

3x2 cos x 6x sen x

3x2 cos x sen x 6x

ddx

3x2 sen x 3x2 ddx

sen x sen x ddx

3x2

2x sen x

2x sen x cos x 2 2 cos x

dydx

2xddx

cos x cos xddx

2x 2 ddx

sen x

Regla del productoRegla del múltiplo

constante

NOTA Observar que en el ejemplo 3 se usa la regla del producto cuando ambos factores son variables, y la del múltiplo constante cuando uno de ellos es constante.

LA REGLA DEL PRODUCTO

Cuando Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla del producto, lo hizo motivado por la expresión

x dx y dy xy

de la cual restó dx dy (considerándolos despreciables) y calculando la forma diferencial x dy y dx. Esta derivación tuvo como resultado la forma tradicional de la regla del producto.(Fuente: The History of Mathematics de David M. Burton)

SECCIÓN 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 121

g x f x f x g x

g x 2

g x lím

x 0 f x x f x

xf x lím

x 0 g x x g x

x

límx 0

g x g x x

límx 0

g x f x x f x

xlímx 0

f x g x x g x

x

límx 0

g x g x x

límx 0

g x f x x f x g x f x g x f x g x x

xg x g x x

límx 0

g x f x x f x g x x

xg x g x x

d

dx

f x

g xlímx 0

f x x

g x x

f x

g x

x

La regla del cociente

TEOREMA 2.8 LA REGLA DEL COCIENTE

El cociente ƒ g de dos funciones derivables ƒ y g también es derivable para todos los valores de x para los que g(x) 0. Además, la derivada de ƒ g se obtiene mediante el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

g x 0d

dx

f x

g x

g x f x f x g x

g x 2 ,

DEMOSTRACIÓN Al igual que en la demostración del teorema 2.7, la clave radica en sumar y restar una misma cantidad.

Definición de derivada.

Observar que límx 0

g(x x) g(x) porque se considera que g es derivable y por tanto es continua.

EJEMPLO 4 Aplicación de la regla del cociente

Encontrar la derivada de y5x 2x2 1

.

Solución

Aplicar la regla del cociente.

TECNOLOGÍA En una herra-mienta de graficación se pueden comparar las gráficas de una función y de su derivada. Por ejemplo, en la figura 2.22, la gráfica de la función del ejemplo 4 parece incluir dos pun-tos con rectas tangentes horizonta-les. ¿Cuáles son los valores de y en dichos puntos?

Comparación gráfica de una función y su derivadaFigura 2.22

5x2 4x 5

x2 1 2

5x2 5 10x2 4x

x2 1 2

x2 1 5 5x 2 2x

x2 1 2

d

dx

5x 2x2 1

x2 1d

dx5x 2 5x 2

d

dxx2 1

x2 1 27

4

8

6

y 5x 2x2 1

y 5x2 4x 5(x2 1)2


2

a) 2)( xxf = b) 5)( xxf = c) 2)( =xf

d) xxf =)( e) 3)( xxf = f) xexf =)(


( )2)(

)(')()()('')()(

xgxgxfxgxf

xgxf ⋅−⋅

=



e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x


Ejercicios:


6

1. a) x10 b) 21x

−

2. a) x2 b) 45x c) 0

d) x⋅2

1 e)

3 231x⋅

f) xe

g) )2ln(2 ⋅x h) x1

i) )10ln(

1⋅x

3. a) 16 −x b) 512 +x

c) 363 2 ++ xx d) 112 2 −x

e) x11+ f)

xex

⋅−21

4. a) xx exe ⋅+ b) x

xxx 1)ln(2 2 ⋅+ = xxx +)ln(2

c) x

xx

eexex

2

434 − = xe

xx 434 − d)

)(ln

)ln(2 x

xexex

x −⋅

e) 2

)ln(1

x

xxx

−⋅ = 2

)ln(1xx−

f) )2ln(222 2 ⋅⋅+⋅ xx xx

5. a) ( ) ( ) ( ) ( )tttttt 21231 2322 ⋅++++⋅+ b) 42 96

21

zz

z+

− = 32 32

21

zz+

−


2

a) 2)( xxf = b) 5)( xxf = c) 2)( =xf

d) xxf =)( e) 3)( xxf = f) xexf =)(


( )2)(

)(')()()('')()(

xgxgxfxgxf

xgxf ⋅−⋅

=



e) )ln()( xxxf += f) 2)( −−= xexf x



6

1. a) x10 b) 21x

−

2. a) x2 b) 45x c) 0

d) x⋅2

1 e)

3 231x⋅

f) xe

g) )2ln(2 ⋅x h) x1

i) )10ln(

1⋅x

3. a) 16 −x b) 512 +x

c) 363 2 ++ xx d) 112 2 −x

e) x11+ f)

xex

⋅−21

4. a) xx exe ⋅+ b) x

xxx 1)ln(2 2 ⋅+ = xxx +)ln(2

c) x

xx

eexex

2

434 − = xe

xx 434 − d)

)(ln

)ln(2 x

xexex

x −⋅

e) 2

)ln(1

x

xxx

−⋅ = 2

)ln(1xx−

f) )2ln(222 2 ⋅⋅+⋅ xx xx

5. a) ( ) ( ) ( ) ( )tttttt 21231 2322 ⋅++++⋅+ b) 42 96

21

zz

z+

− = 32 32

21

zz+

−

Ejerciciosaplicacióndefórmulas

SECCIÓN 2.2 Reglas básicas de derivación y razón de cambio 115

En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica para estimar la pendiente de la recta tangente a y xn en el punto (1, 1). Verificar la respuesta de manera analítica.

1. a) b)

2. a) b)

En los ejercicios 3 a 24, usar las reglas de derivabilidad para calcular la derivada de la función.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

En los ejercicios 25 a 30, completar la tabla.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

En los ejercicios 31 a 38, encontrar la pendiente de la gráfica de la función en el punto indicado. Utilizar la función derivative de una herramienta de graficación para verificar los resultados.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

En los ejercicios 39 a 54, encontrar la derivada de cada función.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

En los ejercicios 55 a 58, a) encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto indicado, b) utilizar una herramienta de graficación para representar la función y su recta tangente en el punto, y c) verificar los resultados empleando la función derivative de su herramienta de graficación.

55.

56.

57.

58.

y x 3y x1 2

y x 1y x 1 2

x1 2

2

1(1, 1)

y

x1 2

2

1 (1, 1)

y

x1 2 3

2

1(1, 1)

y

x1 2

2

1(1, 1)

y

y5

2x 3 2 cos xy1x

3 sen x

y 7 sen xy x2 12 cos x

g t cos ty2

sen cos

f x 2x 3 x 2 3xs t t 3 25t 3t 8

y 8 x3g x x 2 4x3

y t 2 2t 3f t 2t 2 3t 6

g x 3x 1f x x 11

g x 4 xf x 5 x

y1x8y

1x5

y x 16y x7

f x 9y 12

y6

5x 3

y2

3x 2

y5

2x2

SimplificarDerivar Reescribir Función original

y4

x 3

yx

x

SimplificarDerivar Reescribir Función original

y3x 2

, 7g t 2 cos 5t

0, 0f 4 sen

5, 0f x 3 5 x 2

0, 1y 4x 1 2

2, 14y 3x3 10

0, 12f x

12

75x3

35, 2f t 3

35t

2, 2f x8x2

Punto Función

f x x1x 2g t t 2 4

t3

f x x2 3x 3x 2f x x2 5 3x 2

1, 6y x 2 2x x 1

1, 2f x 2

4 x3

1, 2y x 3 x

1, 0y x 4 3x 2 2

Punto Función

Ejercicios2.2

f x4x3 3x2

xf x

x3 6

x2

f x2

3 x3 cos xf x 6 x 5 cos x

f t t2 3 t1 3 4h s s4 5 s2 3

f x 3 x 5 xf x x 6 3 x

y 3x 6x 5x2y x x2 1

h x2x2 3x 1

xf x

x3 3x2 4x2


En los ejercicios 1 a 6, utilizar la regla del producto para derivar la función.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 a 12, utilizar la regla del cociente para derivar la función.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

En los ejercicios 13 a 18, encontrar ƒ (x) y ƒ (c).

Función Valor de c

13.

14.

15.

16.

17.

18.

En los ejercicios 19 a 24, completar la tabla sin usar la regla del cociente.

Función Reescribir Derivar Simplificar

19.

20.

21.

22.

23.

24.

En los ejercicios 25 a 38, encontrar la derivada de la función algebraica.

25. 26.

c6

f xsen x

x

c4

f x x cos x

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.

37. c es una constante


En los ejercicios 39 a 54 encontrar la derivada de la función trigonométrica.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

En los ejercicios 55 a 58, usar un programa de cálculo para derivar las funciones.

55.

56.

57. 58.

En los ejercicios 59 a 62, evaluar la derivada de la función en el punto que se indica. Utilizar una herramienta de graficación para verificar su resultado.

Función Punto

59.

60.

61.

62.

f xc2 x 2

c2 x 2,

f xx2 c2

x2 c2,

f x x3 x x2 2 x2 x 1

f x 2x3 5x x 3 x 2

g x x2 2x

1x 1

f x

21x

x 3

h x x2 1 2h s s3 2 2

f x 3 x x 3f x3x 1

x

f x x 4 12

x 1f x x 1

4x 3

h 5 sec tan y 2x sen x x2 cos x

f x sen x cos xf x x 2 tan x

y x sen x cos xy csc x sen x

ysec x

xy

3 1 sen x2 cos x

h x1x

12 sec xg t 4 t 6 csc t

y x cot xf x x tan x

f xsen x

xf t

cos tt

f 1 cos f t t 2 sen t

3

fsen

1 cos g

1 sen

f xx2 x 3

x2 1x2 x 1

g xx 1x 2

2x 5

4, 1f x sen x sen x cos x

, 1

h tsec t

t

1, 1f x tan x cot x

6, 3y

1 csc x1 csc x

Ejercicios2.3

El ícono CAS indica que un ejercicio debe utilizarse con un sistema algebraico por computadora.

CAS

f x x3 cos x

h t t 1 t2

g x x2 3 x2 4x

y5x2 8

11

y4x3 2

x

y10

3x3

y6

7x2

y5x2 3

4

yx2 3x

7

h ss

s 1

g tt2 4

5t 3

g xsin x

x2

h xx

x3 1

f xx

x2 1

sen xf t

cos t

t3

c 4f xx 5

x 5

c 1f xx2 4

x 3

c 1f x x 2 2x 1 x3 1

c 0f x x3 4x 3x 2 2x 5

f x4 3x x 2

x 2 1f x

x 3 5x 3

x 2 1

g x x sin x

g s s s2 8

f x 6x 5 x 3 2

sen x


En los ejercicios 1 a 6, utilizar la regla del producto para derivar la función.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 a 12, utilizar la regla del cociente para derivar la función.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

En los ejercicios 13 a 18, encontrar ƒ (x) y ƒ (c).

Función Valor de c

13.

14.

15.

16.

17.

18.

En los ejercicios 19 a 24, completar la tabla sin usar la regla del cociente.

Función Reescribir Derivar Simplificar

19.

20.

21.

22.

23.

24.

En los ejercicios 25 a 38, encontrar la derivada de la función algebraica.

25. 26.

c6

f xsen x

x

c4

f x x cos x

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35.

36.



En los ejercicios 39 a 54 encontrar la derivada de la función trigonométrica.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

En los ejercicios 55 a 58, usar un programa de cálculo para derivar las funciones.

55.

56.

57. 58.

En los ejercicios 59 a 62, evaluar la derivada de la función en el punto que se indica. Utilizar una herramienta de graficación para verificar su resultado.

Función Punto

59.

60.

61.

62.

f xc2 x 2

c2 x 2,

f xx2 c2

x2 c2,

f x x3 x x2 2 x2 x 1

f x 2x3 5x x 3 x 2

g x x2 2x

1x 1

f x

21x

x 3

h x x2 1 2h s s3 2 2

f x 3 x x 3f x3x 1

x

f x x 4 12

x 1f x x 1

4x 3

h 5 sec tan y 2x sen x x2 cos x

f x sen x cos xf x x 2 tan x

y x sen x cos xy csc x sen x

ysec x

xy

3 1 sen x2 cos x

h x1x

12 sec xg t 4 t 6 csc t

y x cot xf x x tan x

f xsen x

xf t

cos tt

f 1 cos f t t 2 sen t

3

fsen

1 cos g

1 sen

f xx2 x 3

x2 1x2 x 1

g xx 1x 2

2x 5

4, 1f x sen x sen x cos x

, 1

h tsec t

t

1, 1f x tan x cot x

6, 3y

1 csc x1 csc x

Ejercicios2.3

El ícono CAS indica que un ejercicio debe utilizarse con un sistema algebraico por computadora.

CAS

f x x3 cos x

h t t 1 t2

g x x2 3 x2 4x

y5x2 8

11

y4x3 2

x

y10

3x3

y6

7x2

y5x2 3

4

yx2 3x

7

h ss

s 1

g tt2 4

5t 3

g xsin x

x2

h xx

x3 1

f xx

x2 1

sen xf t

cos t

t3

c 4f xx 5

x 5

c 1f xx2 4

x 3

c 1f x x 2 2x 1 x3 1

c 0f x x3 4x 3x 2 2x 5

f x4 3x x 2

x 2 1f x

x 3 5x 3

x 2 1

g x x sin x

g s s s2 8

f x 6x 5 x 3 2

sen x

A-40 Soluciones de los ejercicios impares

77.

79. para toda 81.

83.

parece estar cerca de

85. a)

b)La pendiente (y la ecuación) de la recta secante tiende a lade la recta tangente en (4, 8), a medida que se toman puntosmás cercanos a (4, 8).

c)

La aproximación se hace menos precisa.d)

87. Falso. Sean y89. Falso. 91. Verdadero.93. Ritmo de cambio o velocidad promedio: 4

95. Ritmo de cambio o velocidad promedio:

Ritmos o velocidades instantáneas:

97. a) b)b)

d) s e)

99.

101. 103.

105. a)b)c)

d) e)

f ) La distancia de frenado aumenta con un ritmo o velocidadmayor.

107. 109. Demostración.111. a) La razón de cambio del número de galones de gasolina

vendidos cuando el precio es de $2.979.b) En general, la razón de cambio cuando p = 2.979 debe ser

negativa. A medida que los precios crecen, las ventas bajan.

113. 115.

117.

119. es derivable para todo entero.es derivable para todo

Sección 2.3 (página 126)1. 3.

5. 7.

9. 11.

13.

15. 17.

19.

21.

23.

25.

27.

29.

31. 33. 2x2 2x 3 x2 x 3 26s2 s3 2

32

x 1 2 12

x 3 2 3x 1 2x3 2

1 12 x 3 2 x2 6x 3 x 3 2

x2 1 3 2x 4 3x x2 2x

x2 1 2

3x 1 2, x 1

x > 0x > 0

y2

x,y 2x 1 2y 4x1 2,y

4x3 2

x

y127x3y

127

x 3y67

x 2y6

7x2

y2x 3

7y

27

x37

y17

x2 37

xyx2 3x

7

Simplificar Derivar Reescribir Función

f4

28

4f 114

f x cos x x sen xf xx2 6x 4

x 3 2

f 0 20 15x4 8x3 21x2 16x 20

f x x3 4x 6x 2) 3x2 2x 5 3x2 4x cos x 2 sen x x31 5x3 2 x x3 1 2

1 x2 x2 1 2x2 3 cos x x sen x1 5t2 2 t2 2x3 6x2 3x 6

x 0.f2 x sen x

x n , nf1 x sen xa

13, b 4

3

9x y 0, 9x 4y 27 0y 2x2 3x 1

V 6 108 cm3 cm

T 100 1.538

T 80 1.314

T 40 0.866

T v 0.0112v 0.418

120

0

0

TB

R

80

T v 0.0056v2 0.418v 0.02B v 0.0056v2 0.001v 0.04R v 0.417v 0.02

Tiempo (en minutos)

Dis

tanc

ia (

en m

illas

)

t2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

(10, 6)

(8, 4)

(6, 4)

(0, 0)

s

t

Tiempo (en minutos)2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

60

Vel

ocid

ad (

en m

illas

/hor

a)

v

v 10 22 m sv 5 71 m s;

295.242 pies t1 3624

9.226

s 2 64 pies ss 1 32 pies s;48 piesv t 32ts t 16t2 1 362;

f 2 14f 1 1;

f 2 4f 1 4;12

dy dx 0g x x 1.f x x

−2

−2 12T

f

20

T x 3 x 4 8 3x 4

S x 2.981x 3.9243.9, 7.7019 ,

−2

−2 12

(4, 8)

20

f 1 1

1.f 1

1.24

3.33

0.77

3.64

x 4y 4 0x.f x 3 cos x 0

5

4

3

1

−1

−2

2

2 3x

(1, 0)

(2, 4)

y

5

4

3

1

−1

2

2 3x

(2, 3)

(1, 1)

y

y 4x 4y 2x 1

x 3 2 1 0.5 0.1 0

f 4 x 1 2.828 5.196 6.548 7.702 8

T 4 x 1 2 5 6.5 7.7 8

x 0.1 0.5 1 2 3

f 4 x 8.302 9.546 11.180 14.697 18.520

T 4 x 8.3 9.5 11 14 17

Ritmos o velocidades instantáneas:

s

s

Reglasparaderivarfuncionesexponenciales.

Resumen

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Derivadas - · PDF file0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x 0, y fue Fermat el