Fundamentos Matematicos para la Arquitectura I Prof. Gladys Narbona.

TEMA 3: Calculo diferencial de funciones de varias variables

Repaso de derivadas de funciones de una variable

Ejercicio: Calcula las derivadas de las siguientes funciones de una variable:

f(x) = (x

2+ 2)

3

f(x) = 2(x

3+

x

3 )2

f(x) =

px

2 � 3x

f(x) = ln(x

3+ 2x

2 � 3)

f(x) = � sin(e

3x+ 1)

f(x) = cos

2(x

5 � 4)

f(x) = arctan(2x

4 � x)

f(x) = x e

x

2+1

f(x) = sin(x

2) cos(2x

3)

f(x) =

x

2 � 5x+ 3p3x� 1

f(x) =

sin

2(x)� 2

x

2

f(x) =

x

e

x

+ ln(2x

2)

Dpto. Matematica Aplicada I. 1

Tabla de derivadas mas comunes.

Funcion Derivada Funcion compuesta Regla de la cadena Ejemplo

f(x) = k 0 f(x) = 8 ! f

0(x) = 0

f(x) = x

n

nx

n�1f(x) = (g(x))

n

f

0(x) = n(g(x))

n�1 · g0(x) f(x) = (2x

2+ 1)

3 ! f

0(x) = 3(2x

2+ 1)

2 · 4xf(x) = e

x

e

x

f(x) = e

g(x)f

0(x) = e

g(x) · g0(x) f(x) = e

3x3+x ! f

0(x) = e

3x3+x · (9x2+ 1)

f(x) = ln(x)

1x

f(x) = ln(g(x)) f

0(x) =

1g(x) · g

0(x) f(x) = ln(x

2+ 7x) ! f

0(x) =

2x+7x

2+7x

f(x) = sin(x) cos(x) f(x) = sin(g(x)) f

0(x) = cos(g(x)) · g0(x) f(x) = sin(5x) ! f

0(x) = 5 cos(5x)

f(x) = cos(x) � sin(x) f(x) = cos(g(x)) f

0(x) = � sin(g(x)) · g0(x) f(x) = cos(3x

2) ! f

0(x) = �6x sin(3x

2)

f(x) = arctan(x)

11+x

2 f(x) = arctan(g(x)) f

0(x) =

11+(g(x))2 · g

0(x) f(x) = arctan(x

4) ! f

0(x) =

4x3

1+x

8

f(x) · g(x) f

0(x) · g(x) + f(x) · g0(x) f(x) = x

2sin(3x) ! f

0(x) = 2x sin(3x) + x

2cos(3x) · 3

f(x)

g(x)

f

0(x) · g(x)� f(x) · g0(x)

g(x)

2f(x) =

x

3�1e

2x ! f

0(x) =

3x2e

2x�(x3�1)·2e2xe

4x =

3x2�2(x3�1)e

2x

REGLA DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un ciertointervalo I, y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene atodos los valores (imágenes) de la función f, entonces la función compuesta definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene Ejemplo: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. Resolución:

· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = senx.

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2 · Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] ! f'(x) = 2x cos x2

Resolución:

· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m ! xm - 1.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)m]' = m ! u(x)m - 1 ! u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u enlugar de u(x). Así,

Ejercicio: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Resolución:

· Si u = x2 + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

· f'(x) = 3 (x2 + 1)2 ! 2x = 6x (x2 + 1)2-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x),en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Resolución:

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

· Se aplica la regla de la cadena:

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución: · u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que

para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,

f'(x) = (au )' = u' ! au ! ln a

g'(x) = (eu )' = u' ! eu Ejercicio: cálculo de derivadas-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

Resolución: · Llamando u = x ! sen x, u' = 1 ! sen x + x cos x

f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) ! 4x sen x ! ln 4

Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejemplos Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x) Resolución: · Si u = sen x, u' = cos x f'(x) = (sen(sen x))' = u' ! cos u = cos x ! cos(sen x)

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1) Resolución:

· u = x2 - 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' ! sec u ! tg u = 2x ! sec(x2 - 1) ! tg(x2 - 1)

3 2

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen3x2 Resolución:

· Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.

· Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 ! u2 ! u'

Llamando v = x2; u = sen v.

u' = v' ! cos v = 2x ! cos x2

· Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 ! u' = 3 ! sen2x2 ! 2x ! cos x2 =

= 6x ! sen2x2 ! cos x2 Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesarioconocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.