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EDITA RBA Co!ecconcibie5, S.A.

REALIZACIN Aleph Servicios Editoriales, SI .

REDACCIN Enrique Gradan (El universo matemtico.. Matemtica cotidiano); Javier Arbons,

Oriol Rool!, Alexandre Sierra. Alber Violant i Holz (Desafos).

ASESORA TCNICA Albert Violant i Holz

EDICIN Guillermo Navarro

CONSULTORA Jerry Slocum y jerry Slocum Foundation

DISEO Joan Pejoan

COMPAGINACIN Merc Prats

ILUSTRACIN Equipo Fractal

DIBUJOS Bi, Joan Pejoan

m

CRDITOS FOTOGRAFICOS AFP, lbum, Corbis, Equipo Fracfa!,

J, C Martnez, Photodisc 2014 RBA Coleccionables, S.A. 2014 RBA Contenidos Editoriales

y Audiovisuales, S.A.U.

ISBN: 978-84-473-7746 [obra completa] ISBN: 978-84473-7747-3 (ascculosj

Depsito legal: B-18077-2014

IMPRESIN Y ENCUADERNACIN IMPUIS 45

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Con esta publicacin se entrega un juego de ingenio que no va destinado

a un pblico infantil.

Impreso en Espaa - Printed in Spain

ry Snvder Guillermo Irtiz Somero Directora Editorial Group Publisner

En esta seccin se pasa revista a los conceptos bsicos de las matemticas, muchos de los cuales estudiamos en nuestros das escolares, y que ahora se abordan de un modo divertido y ameno, con claridad y resaltando su sentido prctico. A lo largo de la historia, desde la cultura griega hasta nuestros das, el pensamiento humano ha ido dando vida a un inmenso repertorio de nuevas ideas, numricas, geomtricas, simblicas o algebraicas: se ha creado un universo matemtico. En l habitan, por ejemplo, los cuadrados mgicos, los mundos donde no existe a derecha ni la izquierda, el arte de contar que revolucion el comercio, y muchos otros temas que se explican de un modo sencillo y accesible para todos.

Matemtica

Esta seccin presenta el pensamiento lgico matemtico aplicado a la vida cotidiana. Conoceremos los contenidos matemticos que nos ayudan a resolver las situaciones de todos los das, desde las ms simples a las ms complejas. Comprobaremos as que las matemticas se encuentran como curvas cnicas en el curso celeste del sol y las estrellas, bajo la forma de fractales en los copos de nieve o en la base de la criptografa que garantiza la seguridad de nuestras mltiples comunicaciones diarias.

COtASSIAClDNUITIRUt Rogelio Ritiera Naca

Adaptacjn Mxico

Marco Bastn Responsable del proyecto

por parte de Editorial Televisa (Gioup Publiaber CcJecctonafoles)

Aun lumia Rodrguez

Diseo

Mam Hurlado Ramos Coordinadora de Operaciones

MI los luis Carrete Mleiran

Director Digital

Sergio Crdenas Fernndez Director Contenidos Online

SElMIONSHBtlCllS Israel Lara Guillen

Gerente

SBflUS Oscar Gaona lozano Nctar lebiija Guiot CMstian Roias Barrero Directores de Cuentas

Ernesto Snchez Castaeda Director de Digital

Mjctiel Macla de la Oria Coordinador Comercial

luisa Pomo Pea Husseng Ejecutiva de Ventas

Mara Regona Reorlegui Esivez Representante Comercial Occidente

Joan Ramn Zurita Gano Representante Comercial Monterrey

KUWKTWC Patricia Crdenas Godos Directora de Marketing

Patricia Martnez Trujilio Directora de Comunicacin Estratgica

OKMlCiGNES Min luir o Helia Director de Operaciones

Refugio Michel Garca Directora de Produccin

MHUS Bzial Fotitecha Director de Administracin y Finanzas

- r v >

EDITORIAL

Televisa

f B1T0RIA1 THEISA INTERNACIOMAi

Martfta Elena Daz Llanos Directora General Mxico, EUA y Puerto Rico

Jauier Martnez Staines Director General Editorial

Mauricio ftrnal Director General de Administracin y Finanzas

CONOZCA MAS Fecha* placacin: 19-5-2015. Editada y puWicada por RBA COUECCiOrABLES. SA. Avda. Diagonal 169.08018 - Barcelona. Espaa.

Impresa en: IMPULS 45, Espaa. irradiada y dis!rifAiic!aenM.enfon^ SA deC.V., Lucio Blanco N 435,Col. San Juan TTthuaca. Azcapotzarco, c.P, 02400. Mxico, D.F. Tel. 52-30-95-00, RFC DIN8705087D7, bajo la marca

CONOZCA MS como una edicin especial, meda ni e convenio celebrado con Editorial Televisa, SA deC.V. Ediior responsable: Francisco Javier Martnez Slaines. Nmero de Certificado de Reserva de tiefachos al uso exdusivo det Tftuto ^ MAS:

04-1990-simptemnte, ingenio.

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ISSN 0 -3240.

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A PESAR DE LA INSEGURIDAD METAFISICA QUE PRODUCE, LA IDEA DEL INFINITO PARECE ESTAR IMPLCITA

EN LA NATURALEZA DEL SER' HUMANO Y TAMBIN, DE ALGUNA FORMA, EN SU QUEHACER COTIDIANO EN

EL MOMENTO EN QU SE ENFRENTA A CONJUNTOS QUE SABE ILIMITADOS.

W A T * ,

Nmeros transfinitos Las paradojas del infinito

nmero par. Y viceversa, dado cualquier nmero par obtenemos su correspondiente nmero en la serie natural sin ms que dividirlo por dos, lo cual constituye una prueba irrefutable de que hay tantos de unos como de otros.

T os conjuntos infinitos han sido durante siglos JL-/un verdadero quebradero de cabeza para los matemticos, hasta el punto de que muchos de ellos han negado su existencia. Entre sus mltiples paradojas est la de que se trata de conjuntos que pueden ser equivalentes a una de sus partes. Por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales, es decir, la serie:

. 1.2,3.4.5, ...

est formada por un conjunto infinito de nmeros. De forma intuitiva, cualquiera podra afirmar que, aproximadamente, la mitad de ellos son pares. Sin embargo, no es as. Sorprendentemente, hay tantos nmeros pares como nmeros naturales, algo que es muy sencillo de demostrar estableciendo la siguiente correspondencia entre ambos conjuntos de nm 1^*s-

2 - * - 4 3 - *- 6 4 - *" 8 5 10

O sea, que dado un nmero natural cualquiera, al multiplicarlo por-dos tenemos su correspondiente

Georg Ferdinand Cantor

(1845-1918) fue un

matemtico, genial pero

extravagante, al que se debe

la definicin rigurosa y

comprensible del concepto

de infinito, una idea crucial

en la historia del

pensamiento.

Infinito denso e infinito discreto Son iguales todos los infinitos? Antes de con-

testar a esta pregunta es interesante indagar un poco en la naturaleza de los distintos conjuntos infinitos. En este sentido, existe una diferencia importante entre, por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales y el de los racionales. Primero, aclaremos lo que es un nmero racional. En len-guaje matemtico es aquel que se puede obtener como cociente de dos enteros, como por ejemplo:

2/3, 1/5,8/4, 236/1024, ...

Ei hotel infinito Este cuento matemtico es un clsico del gnero. E Hotel Aleph es inmenso; de hecho, posee infinitas habitaciones, numeradas empezan-do por el uno: , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Su director est muy satisfecho, pues lo tiene completamente lleno. Todas las habitaciones estn ocupa-das. Pero un da, los ms de 1,200 millones de ciudadanos chinos exis-tentes deciden irse todos de vacaciones y se presentan ante la recep-cin del Hotel. Qu har su director?

Le bastar con implementar un simple cambio de habitaciones. Cada husped se mudar a la habitacin cuyo nmero sea el doble de la que tena asignada; es fcil ver que quedan libres todas las habitaciones impares... y que todos los antiguos huspedes siguen estando alojados. De hecho, no slo hay espacio para ms de 1,200 millones de chinos, sino tambin para todos los chinos que puedan existir en el futuro, hasta la consumacin de los siglos.

Est claro que entre los nmeros racionales se encuentran ubicados tambin los naturales, ya que:

2 = 2/1 =4/2 = 8/4= ... 3 = 3/1= 6/2 = 9/3 = ...

Por lo tanto, si son infinitos los nmeros naturales, tambin lo sern los racionales, puesto que contie-nen a los naturales. Sin embargo, hay una diferencia sutil entre el con-junto de los nmeros naturales y el de los raciona-les. El primero es lo que se llama un conjunto dis-creto, a diferencia del segundo, que es un conjun-to denso. Se trata de conceptos sencillos, aunque de importantes consecuencias. Nmeros naturales puede haber tantos como se quiera, pero entre dos consecutivos no cabe ninguno ms; es decir, entre el nmero natural 453 y el 454 no hay ningn otro nmero natural. No sucede lo mismo con los nmeros racionales: entre el nmero a y el nme-ro b siempre est (a+b)/2, tambin un nmero racional. Por ejemplo, entre 5.3 y 5.4 se encuentra

el nmero 5.3 + 5.4 = 5.35.

Otra forma de ver este tema es la siguiente: dado un nmero natural cualquiera, siempre podemos decir cul es el inmediato posterior. Nadie duda que el nmero siguiente del 14 es el 15. Pero no se puede decir lo mismo de un nmero racional. Cul es el inmediato posterior del nmero 1/3 ? Es imposible encontrarlo. En esto radica la densi-dad del conjunto. El asunto tiene ms complejidad de la que parece, porque de la misma forma que se puede afirmar que entre los nmeros naturales 2 y 6 solamente" hay otros tres nmeros naturales (el 3, el 4 y el 5), cabe afirmar que entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros. Para ello basta con pensar en los nmeros raciona-les como nmeros decimales. Por ejemplo, entre 2,3 v 2.4 estn los nmeros

.31 :.32 2.33 . J 4

A todas luces parece, pues, que el conjunto de los nmeros racionales debera ser un infinito mucho ms "grande" que el de los naturales; sin embargo, veremos que eso no es as.

Conjuntos numerables Cuando decimos que una sesin de cine es nu-

merada estamos afirmando que somos capaces de asignar a cada butaca de la sala un nmero natural. Decimos entonces que el conjunto de butacas que hay en el cine es un conjunto numerable. Est claro que por muy grande que sea un conjunto, mientras sea finito ser numerable. Es numerable el conjunto de jugadores que forma un equipo de ftbol, pero tambin lo es el conjunto de habitan-tes que hay en la Tierra, el nmero de hormigas, las estrellas del firmamento o todas las partculas

El conjunto de todas las

estrellas de una galaxia, por

enorme que parezca, es un

conjunto finito y numerable.

Nmeros racionales La genialidad de Cantor se pone de mani-fiesto con su demostracin de que los nme-ros racionales (es decir, los "quebrados" o fracciones) son exactamente igual de "infini-tos" que los nmeros naturales. Cantor dis-pone todas las fracciones del siguiente inge-nioso modo:

1

2

' 3

y JL 4

5

2_ ,4

19 2/ 5

1 JL 1

U/ 16,

I 15, 6 1 1

IV

6 6

/

_3_* 4

1 / 5

1

/

6

/ A 1

5_ 3

4

i /

l / 6

Y los cuenta tal como indican las flechas, con un recorrido serpentino. A cada fraccin le corresponde el nmero natural de la flecha que parte de l. No queda ninguno por con-tar. Los nmeros racionales son numerables.

que componen el universo. Todo es cuestin de ponerse a contar. Las cosas se complican cuando empezamos a tratar con conjuntos que tienen un nmero infinito de elementos. Si afirmamos, por ejemplo, que el conjunto de los nmeros pares es numerable es que somos capaces de hacer corres-

P' A P, se d< ju

er P ur ri< lo G ce

gl to le: nu de s er; Le to le ob si no lo;

Las paradojas del infinito

ponder a cada nmero par un nmero natural. Antes hemos visto una sencilla forma de hacerlo. Pero si se trata de conjuntos infinitos que adems son densos, como hemos visto que suceda con el de los quebrados, qu pasa? Pueden existir con-juntos densos que sean numerables?

No todos los infinitos son iguales Vimos cmo se podan numerar los pares, que

eran un conjunto discreto. Por increble que pueda parecer, tambin es posible demostrar, aunque con un procedimiento algo ms complejo que el ante-rior, que tambin se puede numerar el conjunto de los racionales. Esta demostracin la llev a cabo Georg Cantor, que fue tambin el artfice del con-cepto de numerabilidad. quien se plante una pre-gunta de "alto riesgo" matemtico: Son iguales todos los infinitos? Los nmeros pares, los natura-les, los racionales eran todos ellos conjuntos numerables y, por tanto, tenan el mismo nmero de elementos. Cantor denomin N n (aleph-cero) a ste su primer nmero infinito. El paso siguiente era "contar" los nmeros reales. Los nmeros reales se obtienen cuando al conjun-to de los racionales se le aade el de los irraciona-les, que son nmeros del tipo 42 y que no pueden obtenerse como cociente de dos enteros. Tambin ste es un conjunto infinito y denso. Sin embargo, no se trata de un conjunto numerable como lo eran los dos- anteriores'; es decir, que no se puede esta-

A Las imgenes del artista

holands M. C. Maurits

Escher poseen una

importante carga

matemtica; aqu, Escher

juega con el infinito.

A La letra Aleph es la

primera del alfabeto hebreo.

Cantor, que era judo,

design con esta letra a sus

nmeros "infinitos", que los

matemticos de hoy llaman

nmeros cardinales

transfinitos. ft0 es el

primero de estos nmeros.

blecer ninguna correspondencia con la serie de los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, ... Cantor se plante entonces la siguiente cuestin: tenemos conjuntos infinitos que tienen todos el mismo nmero de elementos, como son los natu-rales, los nmeros pares o los racionales. Pero, de pronto, aparece un nuevo conjunto, el de los nme-ros reales, que es tambin infinito, pero tiene ms elementos que los tres anteriores. En este punto, Cantor se introduce en una de las ideas ms revo-lucionarias de la historia de las matemticas: son todos los infinitos iguales, o bien hay unos ms grandes y otros ms pequeos? Como punto de partida tiene un infinito, el de los nmeros reales, que es ms grande que el de los naturales y el de los racionales, y decide denominar "c" al nmero de elementos que hay en el conjunto de los nme-ros reales. De hecho, Cantor invirti la mayor parte de los ltimos aos de su vida en probar que c era X l ; el siguiente de K0, pero no lo consigui. Haban nacido las matemticas del transfinito.

Los nmeros transfinitos Cantor demuestra que c es el nmero de puntos

que hay en un segmento cualquiera de recta. Esto quiere decir que dos segmentos, sea cual fuere su tamao, tienen el mismo nmero de puntos. Ello puede parecer sorprendente, pero la demostracin es muv sencilla:

/ i \

Dados los dos segmentos S| y S 2, se unen sus extremos mediante sendas rectas, que se cortarn en un punto a. A cualquier punto p del segmento S] le podemos hacer corresponder un punto q del segmento S 2, para ello basta con unir el punto p con el punto a; el punto en donde la prolongacin de dicha recta corta al segmento S 2 es el punto q buscado. Una vez visto que todos los segmentos tienen el mismo nmero de puntos, c, Cantor toma uno de esos segmentos y construye con l un cua-drado. En principio, el nmero de puntos conteni-do en el cuadrado seria c 2 = c-c. Pero se demues-tra que dicho nmero vuelve a ser c. Es decir, que en el cuadrado, como superficie, hay el mismo nmero de puntos que en el segmento que forma

Nmeros transfinitos

Nmeros racionales e irracionales Todos los nmeros racionales, ya sean enteros o quebrados, tienen una expresin decimal que, o bien es finita, o bien es peridica, algo que puede comprobarse con una calculadora de bolsillo. Por ejemplo, los nmeros enteros tienen una expresin decimal nula: 2 = 2.000000...

Los quebrados tienen expresiones finitas del tipo: | = 2.5

o infinitas del tipo: - = 0.333333...

Siempre que el nmero de decimales sea infinito aparecer un nmero que se repetir, que es el llamado periodo. Puede que el perodo tarde ms o menos en aparecer, como en el caso

: 0.285714285714285714..

en el que el perodo es 285714. E incluso puede suceder que aparezca una sucesin catica de nmeros y a partir de la cifra seis billones empiece el perodo con su repeticin infinita. En cualquiera de estos casos se tratar siempre de un nmero racional. En cambio, un nmero irracional se caracteriza porque su expresin decimal es infinita y en ella no aparece nunca ningn periodo, o sea, ningn grupo de cifras que se repitan; es el caso, por ejemplo, de:

^2 = 0.4142135623730950488016887242097...

Decidir que un nmero, como raz cuadrada de 2, es irracional no se puede hacer mediante una comprobacin prctica, pues el hecho de que despus de pasarnos toda la vida, y la de nuestros hijos y nietos, calculando decimales no haya aparecido ningn perodo no quiere decir que no exista tal perodo. La nica manera de decidir que un nmero es irracional es mediante una demostracin matemtica (que, en general, consiste en demostrar que el nmero en cuestin no se puede obtener como cociente entre dos enteros).

uno de sus lados, o sea, que c-c = c. El paso si-guiente es obligado: con el cuadrado se construye un cubo para determinar cul es el valor del pro-ducto c c c = c 3 y, corno era de esperar, el resul-tado vuelve a ser idntico: c 3 = c. En resumen, el nmero de puntos contenido en el segmento, como en el cuadrado y en el cubo, es siempre c. Al mul-tiplicar c por s mismo tantas veces como se quie-

r a se obtiene siempre el mismo nmero.

Segmento, cuadrado y cubo Vamos a comprobar que, en efecto, el nmero de

puntos de un segmento y el de un cuadrado es el mismo. Cantor ide una demostracin sorprenden-te y muy simple, tan genial como casi todas las suyas. Tomemos, por ejemplo, el segmento de lon-gitud 1, cuyos puntos se expresan como sucesiones de decimales del tipo

0.5783452199856400453...

es decir, decimales mayores que cero pero meno-

res que 1. ^ t * " "*

Los relatos de El Aleph constituyen una obra capital

de la literatura. Jorge Luis

Borges, siempre seducido

por el infinito, protagonista

de tantas de sus obras,

dio este ttulo al cuento

principal en homenaje

a Georg Cantor.

Los puntos del cuadrado de lado unidad se carac-terizan por sus dos coordenadas (a, b), donde tanto a como b son tambin expresiones decimales entre 0 y 1. Cantor ide una correspondencia biunvoca entre los puntos del segmento y los del cuadrado, de la siguiente manera: A todo punto (a, b) del cuadrado se le hace co-rresponder un punto c del segmento intercalando las cifras decimales de a y b, tal como se indica en el dibujo.

(a,b)

a a = 0.6359... > = 0.7163...

c = 0.67315693..

Es fcil ver que todo punto del cuadrado corres-ponde a uno del segmento, y viceversa. Por el mismo procedimiento, se prueba que el car-dinal transfinito de un cubo o de un hipercubo de cualquier dimensin es siempre el mismo que el de un segmento.

Infinitos transfinitos Cantor construy, no obstante, una cadena de

transfinitos. Si se define

No

y. de modo general,

N * = N ,

se obtiene una cadena creciente de alephs, cada vez mayores

K Q < < X 2 < X 3 < N 4 < N 5 < . . .

una autntica cabalgata de gigantes transfinitos.

El infinito "domesticado" Georg Cantor, hombre educado en un entorno de

profundas convicciones religiosas, advierte que ha creado nmeros ms grandes que todo aquello que pueda ser concebido en el universo. Ni que decir tiene que las matemticas del transfinito encon-traron, en su momento, fuertes resistencias a ser aceptadas. De hecho, an hoy en da existe cierto divorcio entre las matemticas "convencionales" y las del transfinito. En cualquier caso, con las teo-ras de Cantor el infinito haba dejado de ser un monstruo irracional que lata constantemente en el corazn de las matemticas para convertirse en un objeto de la lgica al cual se poda empezar a do-mesticar.

LA CURIOSIDAD Y LA NECESIDAD, LOS DOS GRANDES MOTORES DEL DESARROLLO CIENTFICO, SE DIERON

CITA, DESDE LOS MS REMOTOS ORGENES DE LA CULTURA, EN EL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS CELESTES,

UNA INVESTIGACIN QUE PROPICI EL NACIMIENTO DE LA CIENCIA MODERNA.

Movimientos celestes Siguiendo la ruta de los astros

T a contemplacin del universo en .L /una noche despejada nos mues-tra una enorme y negra esfera mara-villosamente decorada por una infi-nidad de brillantes cueipos celestes. Este punto de vista, aun sabiendo que no es correcto, nos permite estu-diar los cielos con la ayuda de una valiosa herramienta que es la trigo-nometra esfrica. Estudiar y com-prender las dinmicas que rigen los movimientos aparentes de los astros requiere, antes que nada, un sistema que permita determinar sus posicio-nes para hacer un mapa del cielo. Para ello se han establecido diferen-tes sistemas de coordenadas. Unos tornan como punto de referencia el lugar desde el que se realizan las observaciones y proporcionan coordenadas loca-les. Otros, en cambio, toman como referencia el globo terrqueo, y establecen coordenadas genera-les, vlidas para cualquier observador.

* E ecuador w i riori^ ors"tie celes"^ "^ *5; Se considera que la Tierra gira sobre un eje ima-

ginario que la corta en dos punios a los que llama-mos Polo Norte y Polo Sur. El plano perpendicular a este eje que pasa por el centro de la Tierra es el Ecuador Terrestre. La prolongacin de estos ele-mentos hasta la esfera celeste da como resultado los polos Norte y Sur celestes, as como el denominado ecuador celeste. En cualquier lugar de la superficie terrestre en el que nos encontre-mos, la direccin de la ploma-da (un hilo del que pende un peso) determina una direc-cin. Si esta direccin la prolongamos por ambos extremos obtendremos una recta, llamada la vertical del lugar, que cortar la \ esfera celeste en dos pun-tos, que reciben los nombres de cnit y nadir, el primero de los cuales es el que est directa-ment^sebre nuestras cabezas, y el

A Miniatura francesa del

siglo Xltl que muestra a tres

monjes ocupados en la

observacin astronmica.

El del centro determina la

posicin de una estrella con

la ayuda de un astrolabio.

mientras que el de la

izquierda anota los

resultados y el de la derecha

consulta unas tablas.

Polo Norte celeste

segundo, el diametralmente opuesto. Se denomina horizonte astronmico o verdadero al plano que pasa por el observador y es perpendicular a la ver-tical del lugar. La interseccin de este plano con la esfera celeste es un crculo mximo que tambin recibe el nombre de horizonte celeste.

El horizonte celeste se define tambin, como hici-mos con el ecuador, como una extensin del hori-zonte terrestre, que es la lnea que separa el cielo de la tierra, cuando nos situamos en una llanura a campo abierto, o la que separa el agua del cielo si nos encontramos en alta mar. A efectos prcticos, se considera la esfera celeste lo suficientemente grande como para que un plano que sea tangente a la superficie terrestre en el punto de observacin determine el mismo horizonte que si dicho plano pasara por el centro de la Tierra.

plano real del horizonte

plano del horizonte celeste

Polo Sur celeste

r

Los polos y el ecuador celestes no dependen del lugar de observacin. Por el contrario, tanto el cnit como el nadir y el horizonte celestes varan de un lugar a otro y sus observaciones tendrn ac-ceso slo a una parte de la esfera celeste.

La eclptica La Tierra sigue una rbita elptica alrededor del

Sol, es decir, que a lo largo de un ao recorre una elipse en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. El plano que contiene esta elipse y el plano del ecuador de la Tierra no son paralelos. Dicho de otra forma, la Tierra hace su recorrido anual man-teniendo una cierta inclinacin. Es esta inclinacin la que da lugar precisamente a las diferentes esta-ciones del ao. El ngulo que forman estos dos planos se designa con la letra griega e y se de-nomina oblicuidad de la eclptica, siendo su valor e = 23 27'

I 23 27'

.'.uWrrftffiinjiimi

Cuando hablamos de la esfera celeste hay que dis-tinguir dos tipos de movimientos. Uno es el movi-miento diurno, en el que vemos cmo toda la esfe-ra celeste gira y que es el movimiento aparente debido a la rotacin de la Tierra. El otro es el movimiento propio que tienen todos los cuerpos celestes y que tambin queda pro-yectado en dicha esfera. El Sol, por ejemplo, no sale siempre por el mismo punto, ya que adems del movimiento diurno, tiene un movi-miento anual debido a la rotacin de la Tierra alrededor del Sol. Si cada da, a la misma hora, fijamos la posicin del Sol, vejejgos cmo ste describe en la esfera celeste un crculo mximo, que recibe el nombre de eclptica. La eclptica, o lo que es o mismo, el piano que la contiene, formar, segn lo que hemos visto, un ngulo de 23 27' con el ecuador celeste. Los planos de la eclptica y del ecuador se cortan en una lnea que es la llamada lnea de los equinoc-cios. Cuando el Sol, en su recorri-do anual por la eclptica, pasa del hemisferio sur al hemisferio norte, corta al ecuador en el llamado

T El zodiaco lia estado

a menudo asociado con la

idea de que los astros influ-

yen sobre la vida humana.

En este grabado aparecen

los signos del zodiaco

enmarcando una figura

humana, sobre la cual vuel-

ven a presentarse en calidad

de principios que rigen del

funcionamiento de las

distintas partes del cuerpo.

punto vernal o Aries { p ) \s el momento en el que tiene lugar el inicio de la primavera. Cuando, despus de recorrer medio crculo mximo, llega al otro extremo de la lnea de equinoccios, llama-do punto autumnal o punto Libra (=2=0, deja el hemisferio norte y entra en el hemisferio sur. Es el momento en el que empieza el otoo

El dimetro de la eclptica que es perpendicular a la lnea de equinoccios recibe el nombre de lnea de solsticios. Esta lnea corta a la esfera celeste en dos puntos: el que se halla situado en el hemisferio norte es el punto de Cncer (

Siguiendo ia ruta de los astros

mo se encuentran los planetas del sistema solar que, junto con la Tierra, describen trayectorias elp-ticas alrededor del Sol, algunos con perodos muy largos y otros ms cortos. El movimiento aparente de todos los planetas, salvo el del planeta enano Plutn, tiene lugar en el interior de una banda deli-mitada por dos crculos menores que estn situados a ambos lados de la eclptica a 8.5 de sta.

Esta banda, que con sus 17 de amplitud surca el cielo, recibe el nombre de banda zodiacal o zodia-co. Los antiguos dividan esta zona en doce regio-nes de 30 cada una, coincidiendo con doce cons-telaciones de estrellas, a las que llamaron signos del zodiaco. Partiendo del punto Aries y recorrien-do la eclptica en sentido directo encontramos, pues, los signos de Aries, Tauro, Gminis, Cncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario, Capricor-nio, Acuario y Piscis.

La precesin equinoccial Cuando los extremos del eje de un objeto que

gira no estn fijos, sino que pueden moverse libre-mente en el espacio, aparecen otros efectos, algo complicados de explicar fsicamente, pero que pueden observarse en el movimiento de un trom-po. Esta, cuando lo lanzamos y empieza a girar, no slo tiene el movimiento de rotacin sobre s mis-mo, sino que adems presenta un movimiento de balanceo del eje de giro. Concretamente, su eje gira mantenindose sobre la superficie de un cono. A este movimiento del eje se le llama precesin y va acompaado de una cierta oscilacin alrededor de esta trayectoria, que define el llamado movi-miento de nutacin, del que no vamos a tratar aqu. La Tierra es, en cierta forma, como un trompo que gira en el espacio, por lo que a los movimientos que ya hemos descrito, de rotacin sobre s misma y de traslacin alrededor del Sol, habr que aadirles estos otros dos: el de nutacin y el de precesin. Esta trayectoria circular descrita por el eje de la Tierra tiene como consecuencia que la interseccin de la elptica con el ecuador sufra un movimiento

La esfera armilar La esfera armilar es un instrumento utilizado por los astrnomos desde la Antigedad, Consiste en un conjunto de anillos (armlllas) entrelaza-dos entre s que representan la esfera celeste. En el centro geomtrico del instrumento se encuentra la Tierra, una pequea esfera que es el punto de referencia del observador. El nmero de anillos y lo que en cada uno de ellos figura depende de cada instrumento. Es habitual que en todas las esferas armilares aparezca la banda zodiacal con sus respectivas constelaciones, as como las trayectorias deiSs distintos planetas del Sistema Solar. Antiguamente se construan de madera y posteriormente de metal. Incluso, ya a partir del siglo xvi, afamados relojeros dotaron a los anillos de movimiento, un movimiento que se asemejaba al de los astros en la esfera celeste. Aunque algunos de estos instrumentos pudieron servir para realizar determinados clculos astronmicos, su principal utilidad fue de carcter pedaggico. Y es que se requiere bastante imaginacin para llegar a formarse una idea clara de la combinacin de la rotacin terrestre y el movimiento de los astros. De alguna manera, estas anti-guas esferas armila-res se pueden consi-derar precursoras de los modernos planetarios.

Grabado del siglo XVI

que representa a astrnomos

musulmanes manejando los

anillos de una esfera armilar

para realizar observaciones

y clculos astronmicos.

Este instrumento reproduce

exactamente un antiguo

modelo griego.

retrgrado. Es decir, que el punto vernal no es un punto fijo, sino que va retrocediendo sobre la eclptica 50.25" por ao. Este es el llamado movi-miento de precesin de los equinoccios. En virtud de este movimiento, cada 2,000 aos el punto ver-nal recorre un arco de 30, motivo por el que, ac-tualmente, dicho punto ya no se encuentra en la constelacin de Aries sino en la de Piscis.

Coordenadas celestes Para determinar las posiciones de los cuerpos

celestes y describir su movimiento, que son dos de los objetivos fundamentales de la astronoma posi-cional, es necesario disponer de un sistema ade-

Icol t\~>

cuado de coordenadas. En general, para situar un punto en la superficie de una esfera de radio constante basta con dar dos coordenadas medidas en longitu-des de arco sobre sen-dos crculos mximos perpendiculares. Una vez tomada una referencia P, las coorde-nadas de un punto A ven-drn dadas por el ngulo POQ, distancia q u e medir la longitud del arco PQ, y por el ngulo AOQ, que determinar coordenada a.

Coordenadas ecuatoriales y coordenadas horizontales Las coordenadas ecuatoriales, tambin conoci-

das como absolutas, son las ms utilizadas en as-tronoma y toman como referencia el ecuador y el punto Aries. Supongamos que tenemos un astro A situado en algn punto de la esfera celeste.

N

Primero se traza el meridiano que pasa por el astro y se mide la lon-gitud del arco sobre el ecuador celeste, en sentido directo, que va desde el punto Aries hasta la interseccin de dicho meridiano con el ecuador. A esta magnitud se la llama ascensin recta del astro y se denota con la letra griega alfa (a). La otra coordenada mide la longitud de arco trazada sobre el meridiano que va desde el ecuador hasta el astro. Esta coorde-

La estrella polar, ta que se s i ta ms o menos en el Polo Norte celeste, es actualmente la Alfa de la Osa Menor. Pero no siempre ha sido as, ya que, a causa del movimiento de preces in, dicho polo celeste describe un c rculo de 47 de d i m e t r o y la d e s i g n a c i n de una estrella como "estrella polar" varia a lo largo del t iempo. Hace 4,500 aos , por ejemplo, la estrella polar era Thuban, en la conste lac in de! D r a g n y dentro de 12,000 lo ser la bri l lante estrella Vega, de la conste lac in de Libra.

En as t ronoma , y en general en f s ica, cuando se hace referencia a movimien-tos circulares se habla de movimientos directos o de movimientos retrgrados, s e g n que dicho movimiento sea, respec-tivamente, en d i recc in contraria a las agujas del reloj o no. No deja de ser curioso que la m a y o r a , por no decir casi todos, los cuerpos del universo que siguen trayectorias circulares lo hagan en sentido directo: el movimiento de rotac in de la Tierra, el de los planetas alrededor del Sol, etc. Las manecillas del reloj son una curiosa e x c e p c i n .

La precesin de los equinoccios t iene profundas consecuencias en el arte de la as t ro log a , siempre y cuando sta base sus conocimientos en las fuentes origina-les (babilonias y griegas), pues dichas fuentes se remontan a pocas en las que la r e g i n del zodiaco estaba en una posic in diferente, de modo que los sig-nos a los cuales se haca referencia no corresponden a los actuales,

S

nada recibe el nombre de declinacin y se denota con la letra griega delta (8). De forma que el par (rx,8) define las coor-denadas ecuatoriales del astro.

Las coordenadas horizontales son unas coordenadas locales, que depen-den del lugar. Sus elementos de refe-rencia son el horizonte del lugar y el

punto de este crculo mximo que sea-la el Sur. Las coordenadas son el acimut,

ngulo contado a lo largo del horizonte en el sentido de las agujas del reloj y a partir

del Sur, y la altura, que es el ngulo del astro sobre el horizonte.

nadir

ESTE JUEGO, QUE SE PUEDE JUGAR TANTO CONSIDERANDO LAS PIEZAS COMO FIGURAS GEOMTRICAS

COMO TENIENDO EN CUENTA SU VOLUMEN, IMPONE UNA RESTRICCIN A LA POSICIN DE LAS PIEZAS,

CONSISTENTE EN MANTENER EL ARLEQUINADO EN TODAS LAS FIGURAS QUE SE FORMAN.

Policubos en blanco y negro Damero

En el extenso mundo de los rom-pecabezas y sus varian-tes existen algunos ejemplos desta-cados. Uno de ellos son los pen-tomins: diferen-tes piezas formadas cada una por cinco cuadrados unitarios, unidos por sus lados. Un grupo completo de pentomins es aquel que ofrece todas las posible combinaciones de unir cinco cuadrados. En realidad, mante-niendo la condicin de que exista unin por lados completos de cuadra-dos, pueden formarse figuras, variando la cantidad de cuadrados. As, dos forman un domi-n; tres pueden ordenarse de dos modos diferentes para formar un triomin; cuatro cuadrados pueden combinarse para formar cinco tetromins distintos. El nombre genrico de estas figuras es el de polio-mins.

Los t e t r o m i n s ;

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Los p e n t o m i n s ;

El damero, tambin

llamado "arlequinado ".

recibe estos nombres por

el hecho de que la solucin

que debe encontrar el

jugador tiene que conservar,

en todo caso, el aspecto

tpico de los tableros

de juegos como el ajedrez

o las damas.

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10 12

Las variantes Desde su creacin, los pentomins y en general

los poliomins, han inspirado numerosas variantes muchas de ellas de tal calidad que

bien merecen el calificativo de MmUh. ^mmmwk. un nuevo juego. Destacan tres

tipos de variantes: 1 - Aquellas que incorporan la combinacin de cuadrados blancos y negros, alternados

como los que componen un ta-blero de ajedrez ("arlequinado").

2- Aquellas que unen cubos en vez de cuadrados ("policubos"). 3- Aquellas que unen otras figuras diferentes, en lugar de cuadrados (hexgonos, tringulos, etc). El puzzle que se conoce como damero combina las dos primeras de estas variantes: "policubos arle-quinados". Involucra dos tipos diferentes de poliomins: un tetromin cuadrado y los 12 pentomins. Se trata de un juego de mltiples usos: se puede jugar considerando que las piezas son figuras geo-mtricas: o bien, teniendo en cuenta su volumen, a la manera del cubo soma. En la presente coleccin ya se ha entregado un juego completo de policubos. Pero el actual con-junto arlequinado ofrece una nueva restriccin a la posible ubicacin de las piezas, si se impone la condicin de mantener el arlequinado en todas las figuras que se forman.

Ms de un siglo de historia En el ao 1907, el creador ingls de acertijos

Henry Ernest Dudeney present un bello rompeca-bezas en su libro The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems: lo llam The broken chessboard ("el tablero de ajedrez roto"). Aunque existen versiones anteriores de "tableros rotos" fue sta la primera utilizacin documentada de los poliomins en un rompecabezas. Las piezas pre-sentadas por Dudeney eran las siguientes:

Adems, Dudeney aclaraba que estas piezas esta-ban pintadas por un solo lado. Existen numerosos rompecabezas con tableros de ajedrez que utilizan diferentes formas de piezas. En todos ellos el objetivo es reconstruir el tablero respetando el arlequinado. En 1983, Jerry Slocum public su Compendium of Checkerboard Puzzles en el que describe un total de 33 juegos diferentes, incluyendo slo aquellos que han sido editados, publicados o fabricados. El nmero de piezas va de 8 a 15 en los diferentes modelos. La versin ms antigua data de 1880. La mayora de las versiones estn hechas de cartn u otro material, pintadas por una sola cara, por lo que las piezas no se pueden girar en el aire. Aquellas que se confeccionan con maderas de dos colores, s pueden girarse en el aire. La ms reciente diseccin es una versin de Kate Jones, cuyas piezas tienen pintados arlequinados diferentes en ambas caras de cada pieza. En el ao 1953, Solomon Golomb present en una conferencia en Harvard, un estudio de este tipo de figuras, a las que dio por vez primera el nombre de poliomins. A raz de ia conferencia de Go-lomb, Martin Gardner public en 1957 un artcu-lo sobre poliomins en su columna de la revista Scientific American. Ocho aos ms tarde, el mis-mo Golomb publicara el libro Polyominoes. En los ltimos aos, los poliomins (polyominoes) han sido estudiados por muchos amantes de los juegos recreativos geomtricos como Kate Jones, George Martin y Rodolfo Kurchan entre otros.

Las fichas de arlequinado El damero esta formado por 13 piezas: un tetro-

min cuadrado y los 12 pentomins. Todas las piezas respetan la alternancia de colores caracterstica del tablero de ajedrez o de damas.

E l equipo completo El tetromin puede pintarse de un nico modo.

Su "negativo" se obtiene por simple rotacin de la pieza 90 grados y se considera la rrsma piaza.

A El famoso creador

de juegos ingls Henry

Ernest Dudeney (1857-1930)

fue el autor del Tablero

de ajedrez roto, en realidad

la primera utilizacin

documentada de los

poliomins en el mbito

de los rompecabezas.

Cada una de las otras piezas puede pintarse de dos modos diferentes. Si se considera adems que hay formas que por simetra son diferentes, se tiene un total de 36 pentomins arlequinados diferentes. Uno de ellos, el pentomin X, tendr una relacin blanco/negro de 4/1 o 1/4.

Cinco de los restantes (V, I , U, W, T) admiten dos coloreados diferentes, en relacin 2/3 o 3/2. Son los que no se modifican al voltearlos en el aire:

Los otros seis (P, R, Y, Z, L y N) pueden pintarse de 4 modos diferentes cada uno.

d i n i ~ y ~ i \_Jm

La seleccin Existen numerosas selecciones posibles de 12

pentomins de esta coleccin de 36, sin que ningu-no se repita. El rompecabezas que se entrega con

r

Damero

este fascculo toma una pieza de cada tipo, seleccio-nados de modo que admiten interesantes desafos. La seleccin debe realizarse siempre teniendo en cuenta que se formar un tablero de ajedrez. El tetromin cuadrado no presenta opcin. Con los otros 12 pentomins se deber cubrir un total de 60 cuadrados, la mitad de los cuales son negros y la otra mitad, blancos. Se observa rpidamente que hay un nico pentomin (el pentomin X) que mantiene una relacin blanco/negro de 4/1 (o 1/4). De los once restantes, siete presentan una relacin blanco/negro de 2/3, mientras que en los otros cua-tro la relacin es 3/2.

T -^ ss] blanco/negro = 2/3

blanco/negro = 4/1

r n _ , B T 1 blanco/negro =3/2

blanco/negro = 2/2

ES desafo El conjunto de piezas del arlequinado, que per-

mite al jugador desplegar toda su creatividad, plantea un desafo que consideraremos "principal" consistente en formar, utilizando las 13 piezas, un cuadrado de 8 X 8, de modo que se manten-ga el arlequinado caracterstico del tablero de ajedrez. Ya que existen muchos ordenamientos que cum-plen con esta condicin, es posible agregar una nueva restriccin al rompecabezas que lo hace an ms interesante, y que consiste en que la pieza cuadrada debe ubicarse en el centro del tablero. Existe unallnica solucin que cumple todas estas condiciones.

Calcetando motores Para familiarizarse con las piezas es recomenda-

ble abordar desafos en los que intervenga un menor nmero de piezas.

Cuadrados 3 X3 y 5 X5:

Cuadrados 4 X4 con agujeros, donde el agujero se indica en blanco.

l-:*-:- -H7MX-

\

Rectngulo 3 X5:

Rectngulo 4 X5:

M

Rectngulo 3 X10:

Simultneas I: ambas figuras se pueden formar simultneamente:

Simultneas II: ambas figuras se pueden formar simultneamente:

Corral mximo Sin importar la forma exterior se pide formar un

diseo que utilice las 13 piezas, dejando un aguje-ro cuadrado interior lo ms grande posible: 10 X

x 10 unidades. Aqu se muestra un ejemplo que forma un agujero de 4 X 4 unidades. El marco debe mante-ner el arlequinado, y las piezas han de estar en contacto al menos por una cara.

Policubos en blanco y negro

Soluciones

Cuadrado 3x3 Cuadrado 5x5

Cuadrados 4x4 con agujero

Rectngulo 3x5 ^ ^ ^ ^

Rectngulo 4x5

5BKH Rectngulo 3x10

Simultneas I Simultneas I

Corral mximo

S o l u c i n principal

Arlequinado del tablero de ajedrez