Desarrollo Pep 2 Estadistica usach

8/19/2019 Desarrollo Pep 2 Estadistica usach

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DESARROLLO PEP 2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO - FILA A

1- Al utilizar un computador para interpretar la información visual correspondiente a la emisión de una imagen, seregistran: tiempo(X) requerido para procesar la señal luminosa y tiempo (Y) requerido para procesar la señal colorida,

consideradas variables aleatorias, expresadas en milisegundos, con la siguiente función de densidad conjunta:

..0

10,10)3(3

2

),(

2

co

y x xy y x y x f

1.1 Determine la probabilidad que el tiempo de proceso de la señal luminosa supere al tiempo esperado de proceso de laseñal colorida.

5149,0)22

1(

3

2)6389,0())((

1

6389,0

dx x x P y E x P

i)

..0

10,)2

3

2

1(

3

2

)(2

co

y y y y f

ii)

..0

10,)2

2

1(

3

2

)(co

x x

x f

iii) 63888,0)2

3

2

1(

3

2)(

1

0

2 dx y y y y E

1.2 Si el tiempo de proceso de la señal colorida es de 0,5 milisegundos. ¿Cuál es el tiempo esperado de proceso de la señalluminosa?

i)

..0

10,)2

3

2

1(

3

2

)(2

co

y y y y f

ii)

..0

10,)72(11

2

)5,0/(

co

x x y x f

iii) E(x/y=0,5)= miliseg dx x x 6061,0)72(11

21

0

2- La longitud (X) de una pieza fabricada con una aleación de gran resistencia, es una variable aleatoria Normal conmedia 10cm y varianza 0,1(cm)2 .

Para utilizar la pieza se lija, tal que el desgaste (Y) es una variable aleatoria que sigue una distribución

aproximadamente normal con media 1 cm y desviación típica 0,1 cm.Una pieza es calificada como buena si su longitud está comprendida entre 8,8 y 9,2 cm .Se elige al azar una de estas

piezas fabricadas para utilizarla ¿Cuál es la probabilidad que la pieza utilizada sea calificada como no buena?Suponiendo que las variables son independientes.

Solucion : Sea X=” longitud de esta pieza cm “ ̴ N(µ = 10 cm. 2 =0,1(cm)2)

Y =” longitud del desgaste esta pieza cm “ ̴ N(µ = 1 cm. 2 =(0,1cm)2)

D=X-Y=” longitud de esta pieza para utilizarla cm “ ̴ N(µ = 9 cm. 2 =0,11(cm)2)

=1- P( 8,8 ≤ D ≤ 9,2)=1-[ P(z ≤ 0,6) - P(z


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3- El esfuerzo (X) vibratorio de un aspa de turbina (lb/pul2) es una variable aleatoria con la siguiente función de

densidad, donde θ es desconocido:

(, ) = − > 0, > 0

0 3.1.- Sea (X1, X2, X3, ….. Xn) una muestra aleatoria de tamaño n de X, determine el estimador máximo verosímilde θ.

Solución:

3.1)

n

i

ii xn

n

i

i

n

xn

i

in e xe

x x x L 1

22 1

11

1,...,|

n

i

i

n

i

in xn xn x x L

1

2

1

1

1lnln,...,|ln

01

,...,|ln

1

2

21

n

iin x

n x x

L

3.2.- Si se tienen las siguientes 10 mediciones de esfuerzo vibratorio de un aspa de turbina (lb/pulg 2), bajo condicionessimilares:

16.88 10.23 4.59 6.66 13.68 14.23 19.87 9.40 6.51 10.95

Calcule la estimación máximo verosímil de ( θ + 2 ).

Solución:

(Por prop. de invarianza)

n

x

n x

n

i

i

V M

n

i

i

1

2

..

1

2

2

ˆ

1

01058,1512ˆ201058,14910

ˆ..

10

1

2

..

V M

i

i

V M EMV

x


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4.- La porosidad, es una medida de volumen de los espacios porosos en la roca, que tienen la capacidad de

almacenar fluidos en cualquier condición. Se expresa en porcentaje de volumen de los poros respecto alvolumen total de la roca.

Al tomar una muestra aleatoria de 18 núcleos de pozos en faenas mineras y registrar el porcentaje de volumen

de porosidad (pvp), se obtuvo:

50.7 35.9 30.4 24.8 49.7 47.8 37.6 41.0 44.9

31.2 45.6 37.3 33.8 32.4 38.5 40.1 39.5 27.1

Bajo el supuesto que el porcentaje de volumen de porosidad se distribuye Normal.

4.1.- Encuentre un intervalo, con 95% de confianza, para estimar el porcentaje medio de volumen de porosidaden el núcleo.

Solución:

18n

2389,38 X

5365,7S

05,0

1098,217;975,0 t

Luego, el intervalo de confianza del 95% para el porcentaje medio de volumen de porosidad es:

9867,41 ; 4911,3418

5365,71098,22389,38 ;

18

5365,71098,22389,38

4.2.- Los datos de la muestra, ¿dan evidencia suficiente para concluir que la varianza del porcentaje de volumende porosidad en el núcleo es inferior a 94, con un nivel de significación igual a 0,10?

Solución:

X = porcentaje de volumen de porosidad

10,0

94:

94:

2

1

2

0

H

H , Estadístico de prueba:

21-n2

0

22 ~

1

S n

085,10/.. 2 17;10,022 C R

..2721,1094

7988,56172 C Robs

Decisión: No se rechaza H0.

Conclusión: Con un nivel de significancia de 0,10, la evidencia muestral es insuficiente para pensar que lavarianza es inferior a 94 (pvp)

2


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DESARROLLO PEP 2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO - FILA B

1- Al utilizar un computador para interpretar la información visual correspondiente a la emisión de una imagen, seregistran: tiempo(X) requerido para procesar la señal luminosa y tiempo (Y) requerido para procesar la señal colorida,

consideradas variables aleatorias, expresadas en milisegundos, con la siguiente función de densidad conjunta:

..0

10,10)3(3

2

),(

2

co

y x xy y x y x f

1.1 Determine la probabilidad que el tiempo de proceso de la señal colorida no supere al tiempo esperado del proceso dela señal luminosa.

4043,0)2

3

2

1(

3

2))((

6111,0

0

2 dy y y x E y P

i)

..0

10,)2

3

2

1(

3

2

)(2

co

y y y y f

ii)

..0

10,)2

2

1(

3

2

)(co

x x

x f

iii) 6111,0)22

1(

3

2)(

1

0

dx x x x E

1.2 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de proceso de la señal colorida sea inferior a 0,5 milisegundos, si se sabe

que el tiempo de proceso de la señal luminosa es de 0,1 milisegundos?

i)

..0

10,)22

1(

3

2

)(

co

x x x f

ii)

..0

10,)3,01,0(7

10)1,0/(

2

co

x y y x y f

iii) 2679,0)3,01,0(7

10)1,0/5,0(

5,0

0

2 dy y y x y P

2- La longitud (X) de una pieza fabricada con una aleación de gran resistencia, es una variable aleatoria Normal, conmedia 10cm y varianza 0,1(cm)2 .

Para utilizar la pieza se lija, tal que el desgaste (Y) es una variable aleatoria que sigue una distribuciónaproximadamente normal de media 1 cm y desviación típica 0,1 cm .

Una pieza es calificada como buena si su longitud está comprendida entre 8,5 y 9,5 cm .Se elige al azar una de estas piezas fabricadas para utilizarla ¿Cuál es la probabilidad que la pieza utilizada sea calificada buena ?. Suponiendo quelas variables son independientes.

Solucion : Sea X=” longitud de esta pieza cm “ ̴ N(µ = 10 cm. 2 =0,1(cm)2)

Y =” longitud del desgaste esta pieza cm “ ̴ N(µ = 1 cm. 2 =(0,1cm)2)

D=X-Y=” longitud de esta pieza para utilizarla cm “ ̴ N(µ = 9 cm. 2 =0,11(cm)2)

P( 8,5 ≤ D ≤ 9,5)= P(z ≤ 1,51) - P(z


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3- La temperatura (X) máxima, en grados Celsius, que se registra en el día durante la temporada de invierno en ciertaciudad es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad , donde α es desconocido:

(, ) = 1√ 2 ( 1) −(− 5 ) ( + ) ∈ (∞;∞), > 1

0 3.1.- Sea (X1, X2, X3, ….. Xn) una muestra aleatoria de tamaño n de X, determine el estimador máximo verosímilde α.

Solución:

n

i

ii xn

xn

i

n ee x x L1

22

512

1

21

5

2

1

1

1 1212

1,...,|

n

i

in xnn

x x L1

2

1 512

11ln

22ln

2,...,|ln

0512

1

12,...,|ln

1

2

21

n

i

in xn

x x L

125

12

1

1

2

2

n x

n

i

i

1

5

ˆ 1

2

..

n

xn

i

i

V M

3.2.- Al tomar una muestra aleatoria de 10 días de la temporada de invierno, se obtuvieron las siguientes temperaturasmáximas, en grados Celsius:

16.88 10.23 4.59 6.66 13.68 14.23 19.87 9.40 6.51 10.95

Calcule la estimación máximo verosímil de α.

Solución:

01058,60101058,611

10

5

ˆ

10

1

2

..

ii

V M

x


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4.- La porosidad, es una medida de volumen de los espacios porosos en la roca, que tienen la capacidad de

almacenar fluidos en cualquier condición. Se expresa en porcentaje de volumen de los poros respecto alvolumen total de la roca.

Al tomar una muestra aleatoria de 16 núcleos de pozos en faenas mineras y registrar el porcentaje de volumen

de porosidad (pvp), se obtuvo:

51.2 30.8 30.4 24.8 49.7 47.8 37.6 41.0

31.2 44.6 37.3 33.8 32.4 38.5 22.7 39.5

Bajo el supuesto que el porcentaje de volumen de porosidad se distribuye Normal.

4.1.- Encuentre un intervalo, con 90% de confianza, para estimar la varianza del porcentaje de volumen de porosidad en el núcleo.

Solución:

8363,702 S

16n 10,0

996,242

15;95,0 261,72 15;05,0

Luego, el intervalo de confianza del 90% para la varianza del porcentaje de volumen de porosidad en el núcleo

es:

3358,146 ; 5086,42261,7

8363,7015 ;

996,24

8363,7015

4.2.- Los datos de la muestra, ¿dan evidencia suficiente para concluir que el porcentaje medio de volumen de porosidad en los núcleos es superior a 35, con un nivel de significación igual a 0.05?

Solución:

X = porcentaje de volumen de porosidad05,0

4164,88363,70 S

0813,37 X

35:

35:

1

0

H

H , Estadístico de prueba: 1

0 ~

nt nS

X T

7531,1/.. 15;95,0 t T T C R

..9892,0164164,8

350813,37C RT obs

Decisión: No se rechaza H0.Conclusión: Con un nivel de significancia de 0,05, la evidencia muestral es insuficiente para concluir que el

porcentaje medio de volumen de porosidad supera a 35 (pvp).

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