SOLUCIÓN PREGUNTAS CAPITULO UNO-DOS Y TRES PROBABILIDAD

LUZ ANGELA MOLINA BENITEZ

CODIGO 1049628181

TUTOR:

ANDRES CAMILO ACOSTA VARGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TEGNOLOGIA E INGENIERIA

04 de Abril 2013

C

S

C

C

C

SC

C

C

SS

S

S

S

CAPITULO UNO

EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

1.- Proporcione una descripción razonable del espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. Utilice un diagrama de árbol.

a.- Lanzar tres veces una moneda y observar la serie de sellos o caras que aparecen.

b.- Tirar un dado, si el resultado es un número par lanzar una moneda, si el resultado es un número impar lanzar una moneda dos veces.

- En el experimento lanzar un dado E= {1,2,3,4,5,6} el suceso “sale un número par” es A={2,4,6}.

- En el experimento lanzar dos veces una moneda: E={CS,CS,SC,SS}:Y en el suceso “sale al menos una cara” es A={CC,CS,SC}

+el suceso “no sale cruz” es B={CC}→es un suceso elemental porque sólo tiene un elemento.

Al lanzar una moneda tres veces las opciones de series que se pueden observa es 8, o lo mismo que decir 23= 8

C C CC C SC S CC S SS C CS C SS S CS S S

C: Cara

S:Sello

3- La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto en reserva, Dos ejemplares (1 y 2) son primera edición y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas ediciones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, y se detiene cuando selecciona una segunda impresión. Ejemplos de resultados son: 5, 213.

a.- haga una lista de los elementos de Sb.- Liste los eventos A: el libro 5 es seleccionado, B: exactamente un libro debe ser examinado, C: el libro 1 no es examinadoc.- Encuentre: AB, BA., AC y BC.

Solución:a) S= {1,2,3,4,5}

b) El conjunto es solamente el libro 5, entonces A = {5], como uno de los libros tiene que ser examinado B puede ser cualquier valor; anteriormente se selecciono el libro 5 y este corresponde a la segunda edición, se puede decir que este libro es el examinado. B = {5]. C = Todos los libros se seleccionan menos el primero, entonces C={2,3,4,5}.

c) AB = El libro que A utiliza es {5} y como B es el quinto libro también, entonces la unión es solamente el quinto libro, entonces AB = {5]

- BA = Tanto como A y B son el quinto libro, la intercepción es este, el valor que está en ambos es decir ={5}

- AC = Todos los elementos de a y todos los elementos de c, es decir AC ={2,3,4,5}

- BC = El único que esta tanto el B como en C, es el quinto libro, BC ={5}

Grafica

A B

C

5

1

2,3,4

5.- El siguiente diagrama de Venn contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la región que corresponde a cada uno de los siguientes eventos:

a. A´b. A Bc. (A B) Cd. (B C)e. (AB)C

a. A´ b. A B

c. (A B) C d. (B C)

e. (AB)C

7.- En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se halló que 120 utilizan corredores por comisión, 126 usan corredores de tiempo completo y 64 emplean ambos tipos de corredores. Determine el número de inversionistas tales que:

a. Utilizan al menos un tipo de corredor.b. Utilizan exactamente un tipo de corredor.c. Utilizan sólo corredores por comisión.d. No utilizan corredores.

Represente con un diagrama de Venn este espacio muestral y los eventos relacionados. Indique el número de resultados en cada región del diagrama.

Total de inversionistas: 200

T= {conjunto total de todos los inversores} son 200A = {Conjunto de inversionistas que usan corredores por comisión}, son 120 B = {Conjunto que usan corredores a tiempo completo} son 126.C = A intersección B = {el conjunto de corredores que usan ambos} son 64; entonces

Grafica:

A unión B intersección C = {conjunto de inversores que utilizan al menos un tipo de corredor} son 120+126-64=182 (le quito la intersección a la unión para no contar a un inversor dos veces)

A intersección C= {conjunto de inversores que usan sólo corredores por comisión} que serán 120-64=56

B intersección C = {Conjunto de inversores que usan sólo corredores de tiempo completo} son 126-64=62

64

120 126

D unión E = {conjunto de inversores que usan un sólo tipo de corredor} son 56+62=118

T intersección C será {el conjunto de inversores que no usan al menos un sólo corredor} o lo que es lo mismo el {conjunto de inversores que no usan ningún corredor} que son 200-182=18.

9.- Se le pidió a 110 comerciantes que dijeran que tipo de programa de televisión preferían. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez según el nivel de estudios de los comerciantes y según el tipo de programa preferido.

Nivel de estudios

A

ED

C

B

Tipo de Programa Colegio Universidad Postgrado Total (A) (B) (C)

Deportes (D) 15 8 7 30Noticias (N) 3 27 10 40Drama (M) 5 5 15 25Comedia (W) 10 3 2 15Total 33 43 34 110

Especifique el número de elementos en cada uno de los siguientes eventos y defínalos con palabras:a) D,b) A c) W `d) C Ne) D Bf) (M A) ´

Respuesta:a) D = 30 entre colegio, universidad y postgrado

b) b) A equivalente a lo que practican en el colegio mas el programa en Drama tanto en el colegio, universidad y postgrado

c) W `= 95, es decir se realiza la siguiente operación 110 – 15 = 95; 15 será el total del programa comedia practicado en el colegio, universidad y postgrado

d) C N = 10 equivalente al nivel de estudio postgrado y el programa noticias

e) e) D B = 8 los deportes y el nivel de estudio en el cual se practica la universidad

f) f) (M A) ´ = 105, es decir se realiza la siguiente operación 110 – 5 = 105. 5 es M A

EJERCICIOS CAPÍTULO 2.

2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre?

Datos (números de combinaciones)

sopa:3carne:4bebidas:4postres:2

1sopa,carne,1beb,1postre.3,4,4,2

3*4*4*2=96 combinaciones posibles.

4. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S= {a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles.

a b c d b c a d c a b d d a b c d c b a d a c b a c d a b d c a c b a d d b a c a d c a a c d b a d b c b a c d c d a b d c a b c b d a d a c d

d b a c c b a dd a b c c a b db a d c b a c d

Rta: se pueden hacer 24 permutaciones = 4!

6.- Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva:

a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con estos seis dígitos?b) ¿Cuántos de estos son menores de 400?c) ¿Cuántos son pares?d) ¿Cuántos son impares?e) ¿Cuántos son múltiplos de cinco?

a) Aplicando el Principio del producto, para las centenas sirve cualquiera de los 6, para las decenas sirve cualquiera de los otros cinco y para las unidades sirve cualquiera de los otros cuatro, por tanto: 6*5*4 = 120 números.

b) Si son menores que 400, en las centenas solo pueden ir, 2 o 3 por tanto, números < 400 = 2*5*4 =40.

c) Si son pares, la cifra de las unidades solo pueden ser 2 o 6. Números pares = 2*5*4 = 40.

d) Si son impares la cifra de las unidades solo pueden ser 3,5,7,o 9 por tanto: números impares = 4*5*4 = 80.

Todos los números de 3 cifras con los números dados, son 120 y si los pares son 40, pues el resto deben ser impares

e) Son múltiplos de cinco si el digito de las unidades es 0 o 5, por tanto y dado que no hay 0, números 1*%*$ = 20

8.- En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad?

Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Es decir si elegimos cebolla y piña, es igual que cuando elegimos piña y cebolla, pero si elegimos cebolla y aceitunas, este elemento es distinto de cebolla y piña

Tenemos 9 elementos, podemos ordenar una pizza con uno o más de estos 9 elementos, es decir con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 elementos. Luego para:

n=1, combinaciones de 9 elementos tomados de uno en uno

n = 2, combinaciones de 9 elementos tomados de dos en dos.

n = 9 combinaciones de 9 elementos tomados de 9 en 9.

Combinaciones de m elemento tomados de n en n: Cm,n (n ≤ m ) Y el número de combinaciones lo obtenemos con la siguiente fórmula:

Cm, n = m!/[ n!(m – n )]

Luego el total de variedades distintas de pizza, será la suma de todas las combinaciones posibles:

C9,1 + C9,2 + C9,3 + C9,4 + C9,5 + C9,6 + C9,7 +C9,8+C9,9 =

9+36+84+126+126+84+36+9+1 = 511 < 500

Por lo tanto está diciendo la verdad

12.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color?

P (sacar 3 rojas) = 5/10 x 5/10 x 5/10 x C (6, 1) = 6/8 = ¾

P (sacar 3 blancas) = 3/10 x 3/10 x 3/10 x C (8, 1) = 8/1000 = 1/125

P (sacar 3 bolas del mismo color con reemplazo) = P (3 rojas ó 3 blancas) = 3/4 + 1/125 = 379/500 = 0,758 (Prácticamente 3/ 4 de probabilidad)

2. VR (3, 15) = 3^15 = 14,348.907

1. Explicación. Se tiene que multiplicar por C(6, 1) porque tienes 6 opciones más de combinar la extracción de tres bolas rojas consecutivas: Las 3 rojas tómalas como si fuera una unidad que la tienes que combinar con las bolas blancas y las azules.

R B B B A A (las rojas las puedes elegir en 1ª posición, o en 2ª, o en 3ª, o en 5ª o en 6ª. Total 6 combinaciones.Lo mismo con las blancas. B R R R R R A A (8 combinaciones)

14.- ¿Cuántas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que éstas constan de tres letras del alfabeto y tres dígitos. Tome 26 letras del alfabeto.

Para elaborarlas debemos considerar 2 casos:

1º: que se pueden repetir dígitos [y letras].

Por ejemplo una placa puede ser:

AAA111

De ser así, podemos usar principios de multiplicación:

Para la primera letra hay 26 opciones a elegir.

Para la segunda letra hay 26 opciones a elegir.

Para la tercera letra hay 26 opciones a elegir.

Para el primer digito hay 9 opciones a elegir.

Para el segundo digito hay 9 opciones a elegir.

Para el tercer digito hay 9 opciones a elegir.

=> 26 x 26 x 26 x 9 x 9 x 9 = 12' 812 904 posibles placas.

Rpta: 12' 812 904 placas

2º: que NO se pueden repetir dígitos [y letras].

Por ejemplo una placa puede ser:

ABC123

De ser así, podemos usar principios de multiplicación:

Para la primera letra hay 26 opciones a elegir.

Para la segunda letra hay 25 opciones a elegir.

Para la tercera letra hay 24 opciones a elegir.

Para el primer digito hay 9 opciones a elegir.

Para el segundo digito hay 8 opciones a elegir.

Para el tercer digito hay 7 opciones a elegir.

=> 26 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 = 7' 862 400 posibles placas.

Rpta: 7' 862 400 placas

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17'576,000 placas

16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años. Las 7 reglas son no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7 horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, a) si actualmente las viola todas; b)Si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna.

a) combinaciones de 7 elementos tomados de 5 en C(7, 5) = 7! / 5! 2! = 7 · 6 / 2 = 21 de 21 maneras diferentes

b) Como ya cumple dos de las reglas sólo tiene que cumplir tres más de entre las cinco restantes:

Combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3

C(5, 3) = 5! / 3! 2! = 5 · 4 / 2 = 10 de 10 maneras diferentes

18.- Seis alumnos de último año de bachillerato participan en un concurso de ensayo literario. No puede haber empates. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?¿Cuántos grupos de primero, segundo y tercer puesto puede haber?

CAPITULO 3PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS PROBABILIDADES.

1- Sea P(A) = 0.6 P(AB) = 0.25 P(B´)= 0.7a.- Encontrar P (B/A) 

b.- ¿Son A y B independientes?, compruebe 

c.- Encontrar P (A´)

Solución:a. - P (B/A) = P (A∩B) P (A)P (A/B) = P (A∩B) P (B) entonces: 0.25= P (A∩B)* 0.3 dado que P (B)=1- P (B’)=1 - 0.7=0.3

Luego P (A∩B)=0.25/0.3=0.833…

Aplicando en la formula P (B/A) = P (A∩B) P (A), hallemos:

P (B/A) = P (A∩B) P (A)

= (0.25/0.3)*0.6

= 0.5

b.- no. Porque si fuesen independientes 

P (A∩B) = P (A) P (B) =0.6*0.3=0.18 ≠0.833…

c. - P (A´) = 1- P (A) = 1 - 0.6 = 0.4

3.- Consideremos el lanzamiento de un dado, usted gana si el resultado es impar o divisible por dos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

β= (1, 2, 3, 4, 5,6) A = (1, 3, 5) A=el resultado es imparP(A) = 3/6 = ½ =0.5 = 50%

B = (2, 4, 6) B=el resultado es divisible por dosP(A) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50%Como los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la adición:P (AuB) = P (A) + P (B) – P (AnB) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1

5.- De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques:

a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos.

A=el tanque no sea defectuoso P(A) = 1720B=el tanque es defectuoso P (B) = 320

a.- S= ningún tanque sea defectuoso

S=AAAAComo los eventos son independientes la probabilidad total es la multiplicación de las probabilidades marginales:

P(S) = P (A) P (A) P (A) P (A) = 1720*1619*1518*1417 = 0.4912

b.- Existen 4 posibilidades para el evento:

AAABAABAABAABAAAH=uno de los tanques sea defectuoso

P (H)= P (AAAB) + P (AABA) + P (ABAA) + P (BAAA)

= 1720*1619*1518*320 + 1720*1619*320*1518 + 1720*320*1619*1518 + 320*1720*1619*1518= 0.3578

7.- Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia

A --> Fabián no pierde materiaB --> Pilar no pierde materia

P(A)=0.85P(B)=0.90

a) P(A)*P(B) = 0.85*0.90 = 0.765 --> 76.5%b) (1-P(A))P(B) = (1-0.85) * 0.90 = 0.135 --> 13.5%

c) (1-P(A))*(1-P(B)) = (1-0.85)*(1-0.90) = 0.015 --> 1.5%

9.- El consejero escolar de un colegio estimó las probabilidades de éxito en la universidad para tres alumnos de último año en 0.9, 0.8 y 0.7 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres tengan éxito en la universidad?

Es natural suponer que las probabilidades de éxito son independientes (salvo es claro que formen una pandilla en la que cada uno estudie 1/3 del programa y que luego se sienten próximos y se copien) por lo que la probabilidad de que los tres tengan éxito es:0,9*0,8*0,7=0,504

11.- La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda?

C: el doctor hace un diagnostico correctoC' : el doctor hace un diagnostico incorrectoD: el paciente presenta demandaD': el paciente no presenta demanda

DatosLa probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0,7:

P(C)= 0,7

P(C') = 1 - P(C) = 1-0,7 = 0,3

Dado que hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que un paciente presente una demanda es de 0.9

P (D/C) = 0,9

la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande es: P ( C' ∩ D ) pero sabemos que

P (C' ∩ D) = P(C') . P(D/C' ) ...por probabilidad condicional reemplazamos 

P (C' ∩ D) = = 0,3 * 0,9 = 0,27

Luego la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande es 0,27

13.- En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un periódico matutino y el 90% uno vespertino. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es la probabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos periódicos?

Si escogemos uno al azar, existe un 90% de probabilidades de que compre el periódico vesperino, y si sale uno de ellos, la probabilidad de que esta persona lea el otro periódico es del 70%.

Entonces la probabilidad de que alguien elegido al azar compre los dos, es del 70% del 90%. Lo que se hace en estos casos es llevar los porcentajes a fracciones y multiplicarlas.

70% del 90%=(7/10)*(9/10)--------->(* es multiplicación) (para multiplicar fracciones, multiplicamos el de arriba con el de arriba (7*9) y el de abajo con el de abajo (10*10)

(7/10)*(9/10)=63/100=63%

Entonces la probabilidad de que alguien elegido al azar compre los dos periódicos es del 63%.

15.- En el ejercicio anterior, el resultado de la entrevista es independiente del sector de laciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta

17.- Los pedidos nuevos de los productos de una compañía varían en valor monetario, según el siguiente cuadroMonto venta 0-1000 1001-20002001-30003001-40004001-5000Probabilidad 0.10 0.35 0.25 0.20 0.10

a) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.000b) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor a $2000 dado que el pedido excede a $1.000c) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $3.000 dado que la venta excede a $2.000

La primera es la posibilidad de que el pedido sea entre 2001 a 5000, es decir la probabilidad de 2001 para arriba sumado o la de 1- la probabilidad de 0 a 2000. Rpta: 0.55

La segunda es la probabilidad de que el pedido este entre 1001 y 2000, probabilidad que ya tienes.

Rpta: 0.35

La tercera creo que está mal escrita. Sería "un nuevo pedido MENOR a 3000 dado que la venta excede a 2000 "

Esta es la probabilidad de que el pedido este entre 2001 y 3000, probabilidad que ya tienes. Rpta:0.25 Si la pregunta está bien escrita, se complica un poco más. Probabilidad condicional. P(A y B)/P(b)=1. Debería estar mal escrito ya que lo que estarías preguntando es: Cual es la probabilidad de que el pedido sea mayor a 3000 dado que ya es mayor a 2000, lo que por sentido común es 1 o 100% de probabilidad.

19- En un centro médico, los fumadores que se sospecha tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía, mientras que el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es del 45% a) Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea fumador? B) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cáncer.

La formula es la siguiente:

Porcentaje sobre el total de personas = [(Porcentaje de fumadores * porcentaje de fumadores que sospecha * 0,9) / 100] + [(100 – Porcentaje de fumadores) * 0,05]

21.- Un científico ha descubierto en un hospital para enfermedades crónicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días, mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 días o más. También ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 días y el 60% de los que se quedan 30 días o más, presentan cierto grupo de características. Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas características permanezca menos de 30 días?.

Este problema se resuelve con el Teorema de Bayes.

Lo primero es hacer un diagrama de ramas con el planteamiento del problema.

Definamos los eventos o sucesos.

A₁: los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días.

A₂: los pacientes permanecen en el hospital 30 días o más.

B₁: los pacientes presentan cierto tipo de características.

B₂: los pacientes no presentan cierto tipo de características.

En el siguiente enlace se muestra el diagrama:

Probabilidades:

P(A₁) = 0,15P(A₂) = 0,85P(B₁|A₁) = 0,20

P(B₁|A₂) = 0,60

Resolucion:

P(A₁|B₁) =?

P(A₁|B₁) = P(A₁∩B₁) / P(B₁) = P(A₁).P(B₁|A₁) / [ P(A₁).P(B₁|A₁) + P(A₂).P(B₁|A₂) ]

P(A₁|B₁) = ( 0,15ˣ0,20 ) / (0,15ˣ0,20 + 0,85ˣ0,60) = 1/18 = 0,0556

23.- Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros. El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.

a.- Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.b.- Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.

Tenemos 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros, es decir 22 jugadores, por lo que

P (Delantero) = 6/22P (Medio) = 8/22P(Defensa)=6/22P(Portero)=2/22

Nos dicen que la probabilidad de lesionarse en cada puesto es:

P(Lesión|Delantero) =0.22P(Lesión|Medio) =0.11P(Lesión|Defensa) =0.055P(Lesión|Portero) =0

a) P(Lesión) = P(Lesión|Delantero) *P(Delantero) + P(Lesión|Medio) *P(Medio) + P(Lesión|Defensa) *P(Defensa) +

P(Lesión|Portero) *P(Portero) 

P(Lesión) = 0.22*6/22 + 0.11*8/22 + 0.055*6/22 + 0*2/22

P(Lesión) = 0.115

b) Debemos calcular

P(Defensa|Lesión)

Por el teorema de Bayes es P(Defensa|Lesión) = P(Lesión|Defensa)*P(Defensa) / P(Lesión)

P(Defensa|Lesión) = 0.055*6/22 / 0.115 = 0.1304

24.- Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.

a.- ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica?b.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes?c.- ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?d.-Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?

a) Si son independientes: p(A∩B)=P(A) x P(B) ; 0.5=0.6 x 0.8 ; 0.5≠0.48Por lo tanto no son independientes.

b) P(E)=1 à 1- P(A) –P(B) + P(A∩B)= 0.1=Probabilidad de no aprobar ningún examen.

c) P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)=0.9 – P(A∩B)= 0.4 Probabilidad de aprobar un único examen.

d) P(B|A)= P(A∩B)/P(A)= 0.5/0.6 = 0.83

26.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Suponga: 100 empleados

Ingenieros 20% = 20 (15 – directivo (75%) + 5 no directivo (25%)Economistas 20% = 20 (10 – directivo (50%) + 10 no directivo (50%)No ingenieros y no economistas = 60 (12 – directivo (20%) + 48 no directivo (80%)

P(empleado directivo sea ingeniero) = ingenieros directivos / total directivos =P(empleado directivo sea ingeniero) = 15 / (15 + 10 + 12) = 15/37

P(empleado directivo sea ingeniero) = 15/37

Respuesta = 15/37 = ~40,57%