Descargar Acta VII CAREM

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ACTAS DE LA VII

CONFERENCIA ARGENTINA

DE EDUCACIN MATEMTICA

SOAREM

Sociedad Argentina de Educacin Matemtica

http://www.soarem.org.ar

II

http://www.soarem.org.ar/

ACTA DE LA VII CONFERENCIA ARGENTINA

DE EDUCACIN MATEMTICA VII CAREM. Organizada por la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica y el Departamento de Matemtica de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral, del 15 de mayo de 2008 al 17 de mayo de 2008, en la Ciudad de Santa Fe. Repblica Argentina

Editoras:

Irene Zapico, Silvia Tajeyan


En la portada:

Fotografa del puente colgante de Santa Fe, propiedad de Silvia Tajeyan e imagen de la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica, http://www.soarem.org.ar

Diseo de portada y CD:

Irene Zapico, Silvia Tajeyan, Ezequiel Lobatto

Edicin:

2009. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. Casilla de Correos 50 -

Sucursal 17 Villa del Parque. (1417) Ciudad de Buenos Aires. Repblica Argentina.

[email protected]

ISBN: En trmite

Derechos reservados.

SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. http://www.soarem.org.ar

Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente:

Zapico, I., & Tajeyan, S. (Ed.). (2009). Acta de la VII Conferencia Argentina de Educacin Matemtica, Repblica Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica.

III

http://www.soarem.org.ar/mailto:[email protected]://www.soarem.org.ar/

COMIT ORGANIZADOR DE LA CAREM

Presidenta Honoraria:

Nelly Vzquez de Tapia

Presidente:

Oscar Sardella


Colaboradores

Norma Cotic (Vicepresidente 1)

Adriana Engler (Vicepresidente 2)

Cecilia Crespo Crespo (Secretaria)

Patricia Leston (Prosecretaria)

Adriana Berio (Tesorera)

Liliana Homila (Protesorera)

Cristina Verdaguer de Banfi (Vocal)

Vilma Giudice (Vocal)

Teresa Braicovich (Vocal)

Irene Zapico (Vocal)

Hayde Blanco (Vocal

COMISIN DE REVISORES DE CUENTAS TRIBUNAL DE TICA

Titulares: Titulares: Enrique Fabin Valio Daniela Andreoli Christiane Ponteville Mara de las Mercedes Colombongela Pierina Lanza Mara Rosa Rodrguez

Suplente: Jos Luis Rey Suplente: Elsa Groenewold

IV

Comit Cientfico de Evaluacin

Holgado, Lisa Andreoli, Daniela

Homilka, Liliana Blanco, Hayde

Lanza, Pierina Braicovich, Teresa

Lestn, Patricia Cadoche, Lilian

Mntica, Ana Mara Capdevila, Myriam

Marcilla, Marta Caputo, Liliana

Mercau, Susana Cerutti, Rubn

Messina, Vicente Chahar, Berta

Montoito Teixeira, Rafael Ciancio, Mara Ins

Oliva, Elisa Colombo, Mara de las Mercedes

Prez de del Negro, Mara Anglica Correa Zeballos Marta

Prez, Mara del Carmen Cotic, Norma

Ponteville, Christiane Crespo Crespo, Cecilia

Rey, Jos Luis Engler, Adriana

Sardella, Oscar Esper, Lidia

Seminara, Silvia Fay, Alicia

Veliz, Margarita Giudide, Vilma

Zapico, Irene Gonzlez de Galindo, Susana

V

ndice Tabla de Contenidos

Bsico (7-12 aos) y Medio (13-17 aos)

Hacia la construccin del concepto de volumen. 1

Gladis Saucedo Los errores: se emplean en la construccin del conocimiento matemtico en el nivel medio?

9

Higa, Mara Elena, Bumalen, Leonor Irene, Tarifa, Gloria Elsa 18La semejanza, una propuesta de unidad didctica.

Blasn, Rosa, Jurez, Patricia, Villamonte, Patricia, Rosa Salamone 28Taller: De la construccin a la validacin

Mara Susana Dal Maso y Marcela Gtte Dificultades alrededor de la construccin de la idea del infinito: una experiencia de clase

33

Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestn 42Hacer matemtica en la sala de informtica. Una propuesta didctica

Mara Ursula Zorba La clasificacin y la validacin en geometra en libros de texto de argentina y Uruguay para alumnos entre 12 y 15 aos

54

Andrea Rajchman, Ana Mara Mntica, Mara Susana Dal Maso

Terciario

64Propuesta para trabajar la demostracin en el nivel terciario

Sara Scaglia, Fernanda Renzulli y Marcela Gtte Clases de matemtica: la intervencin de practicantes en la puesta en comn 73

Adriana Duarte, Silvia Carona

81Haba una vez 12 ,o 4? no!... son 6

Mabel Alicia Slavin Las primeras prcticas docentes de los estudiantes del profesorado de matemtica

91

Liliana Homilka, Cecilia Crespo Crespo, Javier Lezama, Patricia Lestn 98Matemtica y literatura

Irene Zapico, Silvia Tajeyan

VI

El profesorado en matemtica de la universidad nacional de rosario: visin de sus docentes

100

Elisa Petrone, Natalia Sgreccia, Natalia Contreras, Julieta Recanzone. Organizao de feiras, orientao e avaliao de trabalhos em feiras de matemtica

109

Hlio dos Santos Silva , Vilmar Jos Zermiani, Viviane Clotilde da Silva Algunos mtodos de resolucin de ecuaciones de segundo grado completas, desde los babilonios a Descartes

115

Guillermina Emilia Vosahlo 122Una propuesta para la introduccin del concepto de derivada desde la

variacin. Anlisis de resultados

Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Mller Una ingeniera didctica para la construccin del concepto de distancia de un punto a una recta en el espacio

133

Anido, Mercedes, Rubio Scola, Hctor E. Aprender a demostrar: Reflexiones para la educacin matemtica 144

Malva Alberto, Juan Pablo Puppo, Gabriela Roldn Pueden los sistemas algebraicos de cmputos (SAC) mejorar la comprensin de conceptos matemticos?

160

Sonia Pastorelli, Lilian Cadoche 169Entorno de aprendizaje mixto. una experiencia con funciones

Daniela Mller, Adriana Engler, Silvia Vrancken 178El trabajo con sistemas algebraicos de cmputos como medio para la

valoracin continua del aprendizaje y de las prcticas educativas

Sandra Ramirez, Silvina Suau, Mercedes Moreno Diaz, Sonia Pastorelli

Universitario

La evaluacin de la ctedra universitaria: revisiones, reflexiones y posibilidades de mejora

187

Malva Alberto, Liliana Fiorito, Juan Pablo Puppo 197 El dilogo como recurso en la construccion del saber matemtico en el aula

Mara Cristina Rocerau, Silvia Vilanova, Mercedes Astiz, Mara Susana Vecino, Guillermo Valdez, Mara Isabel Oliver, Perla Medina.

VII

Un anlisis desde la didctica de la matemtica. Sobre algunos errores en el lgebra

206

Silvia Carona, Ana Mara Zoppi, Mara del Carmen Polasek, Marta Rivero, Roxana Operuk Taller: Utilitarios de clculo de uso libre: Octave - Maxima 213

Irma Manuela Bentez , Alicia Elena Carbonell, Maria Itat Gandulfo Una propuesta didctica para la enseanza de lmite. 217

Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Mller, Marcela Hecklein, Mara Ins Gregorini, Natalia Henzenn Un entorno favorable a la demostracin 226

Susana Moriena, Silvia Bernardis 233Competencias sociales en el aula de matemtica

Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli Una propuesta de enseanza-aprendizaje integradora de algebra lineal en el marco de formacin de competencias

240

Marcela R. Carranza, Gabriela Andino, Silvia Mir Erdmann, Marcela Natalia Baracco Una trayectoria didctica para la enseanza de la geometra analtica en un laboratorio de informtica. Anlisis de su idoneidad.

249

Mercedes Anido, Patricia C, Mnica del Sastre, Erica Panella. 258Una experiencia evaluando niveles de desarrollo de competencias matemticas

Dora Fernndez, Carolina Ramos , Sara I. Ottonello, Margarita V. Veliz Un enfoque para la enseanza de la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales en el primer ciclo universitario

268

Fred Alberto Lucuy Suarez, Mara Graciela Dodera, Laura Virginia Ponce 276En la era del hipertexto se necesitan los textos.

Sonia Pastorelli, Ana Kozak 282Las NTICS y los proyectos grupales: trabajo colaborativo de docentes y

estudiantes

Sonia Pastorelli, Humberto Pampiglioni, Lilian Cadoche, Matias Gareli Fabrizi 284Rendimiento acadmico y actitudes ante el aprendizaje de la matemtica

Margarita del V. Veliz, Mara Anglica Prez y Blanca Estela Lezana Variables relevantes para estudiar el grado de desarrollo de las habilidades matemticas

290

Villalonga de Garca, P., Gonzlez de Galindo, S., Marcilla, M. y Mercau de Sancho, S.

VIII

Taller de matemtica: propuestas para favorecer la articulacin entre niveles 300

Carlos Enrique Parodi, Fabio Rubn Prieto, Sonia Lidia Vicente 311Taller:Uso de simuladores en la clase de matemtica

Gemignani, Mara Alicia, Vaira, Stella Maris, Gandulfo, Mara Itat Nmeros complejos, una propuesta metodolgica para alumnos de ciencias biolgicas.

319

Mara Susana Vecino, Guillermo Valdez, Mara Cristina Rocerau Silvia, Vilanova, Mercedes Astiz, Mara Isabel Oliver, Perla Medina

327Sistemas de ecuaciones una meta reflexin sobre la prctica profesional

Silvia Carona, Enzo Berentt, Gerardo Lesiw Deteccin y anlisis de errores en elementos bsicos de la alfabetizacin estadstica

335

Liliana Tauber, Yanina Redondo, Silvana Santelln Concepciones y creencias de profesores sobre enseanza y aprendizaje de la matemtica

346

Mara Graciela Dodera, Ester Alicia Burroni, Mara del Pilar Lzaro, Beatriz Piacentini 356Uso de la herramienta computacional en la enseanza de la estadstica

Teresita Tern 363Evolucin de procesos de validacin: un estudio con futuros profesores

Sara Scaglia, Melina Zampar Scilab: herramienta en la resolucin de problemas modelizados mediante sistemas de ecuaciones lineales.

373

Ma. Graciela Imbach, Paula E. Gonzlez Mus, Sandra Cristina Ramirez, Paula Andrea Ricardi, Hur Julia Speratti, Silvina Guadalupe Suau, Antonieta Ema Zincola

380Anlisis del proceso de evaluacin de una experiencia taller en geometra

Graciela Lombardo, Roxana Operuk 388Instrumento para la evaluacin de habilidades sociales

Lilian Cadoche, Flavia Frank, Hilda Henzenn

Educacin de adultos

Propuestas para las clases de matemtica de jvenes y adultos de la escuela primaria.

393

Marina ngel, Sara Scaglia

IX

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HACIA LA CONSTRUCCIN DEL CONCEPTO DE VOLUMEN Gladis Saucedo

Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina. e-mail: [email protected]

Niveles: Bsico y medio Palabras claves: volumen, capacidad, medida, estimacin

Resumen

El concepto de volumen tiene importancia en nuestra vida diaria porque nos movemos en un mundo

tridimensional y en ms de una ocasin hemos necesitado medir el volumen de determinados cuerpos.

Sin embargo al revisar el tratamiento escolar que se da a las magnitudes se encuentra que el volumen parece

ser una de la ms descuidadas en cuanto a las actividades que se realizan, ya que no slo se dejan de lado

algunas de sus variadas relaciones con otros temas, sino que muchas veces se confunde la propiedad que se

mide (volumen) con su medida. Y esto se debe en parte a la influencia que tiene el Sistema Mtrico Decimal

(SMD) en el currculo escolar, ya que medir se lo asocia al trabajo con el SMD, dando por supuesto que ya se

sabe qu es el volumen.

El presente trabajo se enmarca en un proyecto de investigacin donde se pretenden disear propuestas

didcticas para trabajar contenidos de la geometra eucldea tendientes a superar las dificultades que supone el

apropiamiento de los conceptos geomtricos. En esta propuesta se aborda la nocin de volumen y se analizan

diferentes aspectos que tienen que ver con la enseanza y el aprendizaje de dicho concepto. Estos aspectos

sern de utilidad y servirn de base para la elaboracin de una secuencia didctica sobre volumen

Introduccin

La utilidad del concepto de volumen y su medida es innegable, ya que es un conocimiento necesario para

enfrentarse a ciertos requerimientos de la vida diaria como por ejemplo determinar el volumen de un

recipiente o comprender qu significa cuando se lee en un envase 720 cm3. Por lo general este tema est

presente en todos los programas escolares y un trabajo serio sobre el mismo debera incluir no slo el

desarrollo del Sistema Mtrico Decimal (SML) sino los aspectos geomtricos, aritmticos y de resolucin de

problemas asociados al mismo. Las aproximaciones al concepto de volumen se deben regular realizando

tareas adecuadas, atendiendo a los distintos aos de la Educacin Primaria y/o Secundaria. Se deben

proporcionar distintas experiencias y con variados materiales que pongan de manifiesto la importancia del

concepto y que permitan la construccin del mismo. No se deben presentar las frmulas conocidas para

calcular el volumen de ciertos cuerpos, hasta que los alumnos no hallan realizado suficientes actividades que

les permitan utilizarlas comprensivamente.

En esta propuesta se aborda la nocin de volumen y se analizan algunas particularidades que tienen que ver

con su el tratamiento didctico. Estas aportaciones se utilizarn como base para la elaboracin de una

secuencia didctica sobre volumen con el objeto de superar las dificultades que supone su apropiamiento.

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El concepto de Volumen

Con respecto al concepto no cabe duda que las definiciones de los conceptos geomtricos desempean un

papel destacado en la enseanza de la geometra, y es necesario que el docente que va a ensear un

determinado concepto sea capaz de identificar los rasgos definitorios del mismo. Por otra parte segn Alsina,

Frotuny y Prez (1997) una definicin es una convencin que explica el significado exacto que debe darse a

una palabra, expresin o smbolo, por lo menos durante el tiempo que la misma tenga validez.

Al realizar un breve rastreo entre los libros de textos que tratan el tema volumen , la mayora cuando da la

definicin de volumen lo hacen referido a poliedros, previa consideracin de definir suma de poliedros y la

descomposicin de un poliedro en cuerpos piramidales.

Tanto Snchez Mrmol (1947, p.1077), como Ferraris (1991, p. 102) y Puig Adam (1980, p. 339, 340) hacen

un anlisis exhaustivo del concepto de volumen. Pero al analizar otros libros de los ltimos aos del Primario

y principios del Secundario se observa que los que se editaron en la ltima dcada dan una idea escueta de lo

que es volumen para luego pasar a la medida del volumen y trabajar con el SMD. En cambio libros ms

antiguos, de hace ms de dos dcadas, hacen un tratamiento ms extenso sobre el tema.

Es importante que el docente tenga acceso a distintas bibliografas y seleccione una definicin sobre el tema a

tratar, esto lo ayudar no slo a hacer un uso coherente del concepto sino tambin a buscar situaciones

didcticas que permitan a sus alumnos formar el objeto mental volumen; cuando decimos objeto mental nos

referimos al sentido que le da Freudenthal (1983) cuando dice que los objetos mentales son todas las

representaciones , ideas, relaciones, significados que el concepto evoca en la mente de la persona.

Trabajaremos con el concepto de volumen que toma Snchez Mrmol (1947), quin expresa que siendo los

cuerpos porciones del espacio limitadas por superficies cerradas, intuitivamente concebimos que dos

cuerpos, teniendo formas geomtricas distintas, pueden encerrar en su contorno porciones iguales en el

espacio; tener igual extensin. A estos cuerpos se los denomina equivalentes . Luego dice que al comparar la

extensin de las figuras en el espacio se pueden definir para ellas las operaciones de adicin y sustraccin as

como establecer las relaciones de igualdad y desigualdad; resultando ser los slidos una nueva especie de

magnitudes homogneas Luego define poliedros equicompuestos, equivalentes y volumen como: La medida

de un cuerpo con relacin a la unidad elegida se denomina volumen del cuerpo. La unidad elegida es el

volumen del cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Es evidente que: Dos cuerpos iguales o

equicompuestos o equivalentes, tienen igual volumen.

La equivalencia y la equicomposicin entre poliedros y la equivalencia entre algunos de stos con los

cuerpos limitados por superficies curvas, permite la determinacin de los volmenes de aquellos slidos que

son objeto de estudio en la geometra elemental (p.1078)

Se considera esta definicin porque que es ms amplia, ya que primeramente hace referencia a cualquier

slido para luego referirse a los cuerpos polidricos y diferencia extensin de volumen. Pero as como se

utilizan indistintamente superficie o rea, en este trabajo se utilizarn los trminos extensin y volumen como

sinnimos, sin embargo se destaca que como formadores se necesita ahondar en estas diferencias aunque no

se expliciten en el desarrollo de las clases.

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Algunas aportaciones para el tratamiento didctico del Volumen

A continuacin se analizan algunos aspectos necesarios conocer, que tienen que ver con la enseanza y

aprendizaje del concepto de volumen; teniendo en cuenta que estos conocimientos pueden dar lugar al diseo

de situaciones didcticas que permitan a los alumnos ir construyendo el concepto de volumen.

A: Volumen- Capacidad En el dictado de un curso para maestros en la UNL se realiz una encuesta a 24 docentes de distintas escuelas;

el 54 % de los mismos trabaja en escuelas pblicas de la ciudad de Santa Fe, mientras que la mitad del resto

en escuelas confesionales (parroquiales). El 46 % de los docentes son mayores de 40 aos y el mismo

porcentaje dicta matemtica en cursos superiores 6, 7 y 8 ao ( lo que era, hasta el ao pasado, el tercer

ciclo de la EGB).

El 46 % de los encuestados haba dictado alguna vez el tema volumen y a pesar de ser un contenido curricular

de los cursos citados anteriormente slo un docente (4%) manifest dictarlo en la actualidad, los dems haca

que no desarrollaban dicho tema alrededor de 10 aos.

Las respuestas a la pregunta Qu es el volumen para usted? fueron categorizadas en cuatro grupos:

I. Los que consideran el volumen como capacidad: 50%

II. Los que consideran el volumen como lugar que ocupa un objeto o cuerpo en el espacio: 29 %

III. Los que consideran el volumen en su doble aspecto, como capacidad y lugar que ocupa un

objeto en el espacio: 12%

IV. Los que hacen referencia al volumen sin especificar el concepto correctamente: 9% ( es una

cantidad ; una magnitud ; responde a la tridimensionalidad ; largo x ancho x alto )

Como se observa la mayora de los docentes consideran el volumen como capacidad. Lo que pasa es que

comnmente ambos conceptos se expresan como sinnimos, sin embargo sabemos que ambos trminos

conllevan significados diferentes. Volumen sugiere el espacio ocupado mientras que capacidad es el espacio

vaco con posibilidad de ser llenado.

Segn Kerslake (1976) (citado por Dickson, 1991) la palabra volumen puede ser utilizada con dos

significados:

Volumen interno de un hueco, que es sinnimo de capacidad

Volumen externo como cantidad de espacio ocupado.

Destaca que en la vida cotidiana hacemos mayor referencia al volumen interno/capacidad y al llenado total o

parcial de cosas huecas y no al volumen como espacio ocupado. Adems escolarmente se acenta esta

afirmacin ya que en las prcticas en el aula se limitan a llenar espacios huecos y hay una marcada carencia

de actividades que apunten a la nocin de volumen como espacio ocupado. Kerslake considera que los

alumnos encuentran ms sencilla la nocin de volumen interior (Cunto contiene esta caja?) que la de

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volumen exterior (Cunto espacio ocupa este objeto?) y destaca que en general se presentan los mismos

esquemas o dibujos cuando se estudian los dos modelos de volumen, por lo tanto los alumnos no tienen la

oportunidad de distinguir claramente ambos tipos de volumen ni de considerar las diferentes consecuencias

que comporta cada tipo de medida. Por otra parte es ms fcil determinar el volumen interno (capacidad) de

un objeto irregular, una pava por ejemplo, llenndola con agua y luego verterla en un vaso graduado, que

estimar el volumen de un objeto slido como puede ser una mesa o un armario.

Freudenthal (1983) expresa que el volumen est menos expuesto a un empobrecimiento fenomenolgico que

el concepto de rea, especialmente por su doble aspecto de capacidad y volumen, pero destaca que la relacin

entre capacidad y volumen es complicada, sobre todo por el uso que se le da en la vida diaria; ya que es

bastante frecuente utilizar medidas de volumen para medir capacidades o contenidos, por ejemplo: la

cantidad de agua de una piscina, la cantidad de gas que puede almacenar un depsito o la capacidad de un

motor.

Piaget e Inhelder (citado por Dickson, 1991) estudiaron que la nocin de volumen ocupado se adquiere ms

tarde que la de volumen interno (capacidad). Y que el volumen desplazado resulta ms difcil de adquirir,

entendiendo como volumen desplazado la idea de que el volumen de un objeto es equivalente al volumen del

lquido que desplaza al ser sumergido en un recipiente con agua. Para muchos alumnos el volumen

desalojado parecera depender del peso del objeto sumergido, de la profundidad o tamao. De ah la

importancia de proponer en el aula actividades que pongan de relieve estos aspectos.

B: Estimacin - Medida exacta- Medida entera Hemos analizado que la mayora de la bibliografa escolar hace un tratamiento prioritario del SMD dando por

supuesto que se sabe lo que es la magnitud que ha de ser medida, en este caso el volumen. Si bien el SMD

ofrece una gran ventaja no hay que perder de vista que un uso prematuro de tal sistema lleve aparejada la

incomprensin (Chamorro, 1994; p. 43). Es importante tener en cuenta los conceptos previos que el alumno

necesita para el trabajo con el SMD, ya que el mismo funciona por agrupamientos de potencias de diez y es

necesario que el alumno maneje el sistema de numeracin decimal entre otras cosas. Tampoco se observan

propuestas de estimacin en la mediad del volumen, a pesar que en los diseos curriculares (Pcia de Santa

Fe) incluyen recomendaciones sobre la necesidad de la misma, en general no suelen realizarse actividades de

estimacin, tal vez porque no se tiene desarrollada esta habilidad, o porque no se dispone de orientaciones de

cmo hacerlo, o por falta de tiempo.

Para ahondar sobre este punto, en la encuesta citada anteriormente, otra de las preguntas se refera a la

estimacin: Cunto estima que es el volumen de su cuerpo?

Las respuestas fueron clasificadas en dos grupos:

I) Los que responden con una medida.

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Los que responden con una medida totalizan 42% y sus estimaciones varan desde 48 cm3 hasta 14,4 m3. Se

observa que slo el 21 % del total de los encuestados hace una estimacin razonable.

II) El 58 % fue incapaz de estimar una medida: El 25 % del total no responde.

Mientras que el restante 33% responde errneamente: por ejemplo: Volumen de mi cuerpo es mi peso. Sera

masa mi cuerpo no volumen, de acuerdo a sus medidas

Esta experiencia fue realizada por Kerslake (1976) en distintos pases y la conclusin, al igual que la nuestra,

fue que la mayora de los docentes fueron incapaces de dar una estimacin racional del volumen de sus

propios cuerpos. Y esto en parte se debe a que la mayora de las experiencias cotidianas se refieren al

volumen interno (capacidad) y no al volumen ocupado. La autora citada sostiene que los ejercicios escolares

sobre volumen ocupado se refieren al clculo del volumen de cuerpos como el ortoedro o cono, sin importar

lo que ocurre fuera del aula, los alumnos se preocupan por calcular volmenes mediante una frmula sin

comprender el concepto y cmo se obtiene la misma. Hay una marcada inexperiencia en la nocin de

volumen ocupado, en el sentido de la falta de relacin entre la situacin idealizada presentada en el aula y

cualquier problema prctico de la vida cotidiana.

Tanto la construccin del concepto de rea como de volumen son procesos complejos que no se adquieren

inmediatamente sino en forma gradual. Se debe construir el concepto de unidad entre otras cosas y hacer uso

de la iteracin de la misma para asignar un nmero al objeto que se mide. Y la dificultad radica

fundamentalmente que ese nmero generalmente no es natural y se confunde la medida entera con la medida

exacta. Hay que trabajar en la medicin con las aproximaciones y los encuadramientos para evitar de este

modo que los alumnos crean que las medidas son enteras, adems de analizar que tanto el encuadramiento

como la aproximacin a aplicar en una medida dependen del tipo de medida y del uso de la misma. Al

respecto Chamorro (1994) dice Pocos adultos recordarn, a pesar de haberlo estudiado en la escuela, los

litros que contiene un metro cbico... y lo que es peor, carecen de estrategias para resolver cuestiones reales

de medicin y ningn sentido de la estimacin (p. 41) . En el aula por lo general los problemas se refieren a

hallar el volumen de slidos regulares y cuando en la vida cotidiana se encuentra, por ejemplo, con que tiene

que hallar el volumen de un objeto irregular, es raro que se disponga de medios para resolver el problema.

Por lo tanto es importante que el alumno tenga oportunidades de ejercitar problemas prcticos de medida y

de estimacin que encontrar en su entorno. Ya que la estimacin es imposible desarrollarla si no se

practican medidas de objetos reales, de manera que el error cometido vaya disminuyendo con la prctica.

Hay dos momentos en donde debemos trabajar la estimacin, uno es antes de haber utilizado el SIMELA

mediante la comparacin directa de objetos y la otra , luego de haber introducido el Sistema Legal, sta es

imprescindible para la vida diaria, ya que muchas veces hay que dar una medida sin utilizar instrumentos. Si

se trabajan ambas cuestiones la representacin intuitiva de las unidades y la relacin de las unidades con lo

real cobrar sentido para el alumno. Se considera que una estimacin es aceptable si el error cometido no

supera el 10% de la medida del objeto en cuestin. Es aconsejable practicar la estimacin con cada una de las

unidades de medidas que se vayan trabajando, de este modo no slo se ejercitar la estimacin sino el

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aprendizaje de qu unidades usar en la medicin. Durante el proceso de construccin de las unidades es

necesario la comprobacin con el instrumento de medida. Una primera aproximacin es dar los objetos y

pedir que realicen la estimacin, una segunda es dar la medida y solicitar objetos que su medida se

aproximen a la dada y por ltimo estimar medidas utilizando unidades que ya han sido interiorizadas.

C: unidimensionalidad o tridimensionalidad Se puede interpretar el volumen como una magnitud fsica unidimensional, se lo puede medir, estimar,

comparar, sumar, etc. directamente, el clculo consiste en el conteo de las unidades de volumen. O como una

magnitud matemtica tridimensional calculable como: a) producto de tres longitudes b) producto de una

superficie por una longitud (Maza, 2005)

Segn Vergnaud (1983) (citado por del Olmo, 1993) interpretar el volumen como una magnitud

tridimensional corresponde a tratarlo como un modelo multiplicativo, lo que puede acarrear ciertas

dificultades al haber trabajado anteriormente modelos aditivos (permetro). Segn este autor deben trabajarse

coordinadamente los aspectos unidimensional y tridimensional, para lo cual son tiles las actividades de

rellenado. Aparentemente, la constitucin del volumen como magnitud tridimensional susceptible de ser

hallado en funcin de otra magnitud (la longitud), sera obstaculizada por la representacin plana de los

objetos tridimensionales y por el aprendizaje previo de los algoritmos de clculo (Maza, 2005; p. 90).

Abordar estos temas, junto con la proporcionalidad hace que el volumen sea un concepto poderoso y a la vez

difcil de construir por los alumnos.

D: Visualizacin- Representaciones Los objetos de la geometra, en este caso los cuerpos pertenecen a un espacio terico conceptualizado y los

dibujos que realizan nuestros alumnos son una representacin de esos objetos tericos. Muchas veces los

alumnos al mirar o dibujar una figura no analizan su concepto ni sus propiedades sino que se dejan llevar por

lo que ven. Fischbein (1993) se refiere a estas tensiones que se originan en el tratamiento de las figuras

geomtricas, analizando que las mismas poseen simultneamente caractersticas conceptuales y figurales, lo

que denomina conceptos figurales. Y los errores que a veces se dan en los razonamientos pueden tener su

origen en la separacin entre el aspecto conceptual y figural de estos conceptos figurales. La tendencia a

rechazar la definicin bajo la presin de limitaciones figurales, representa un obstculo principal en el

razonamiento geomtrico (p.13).Desde el planteamiento de distintas actividades ulicas se debera trabajar

este doble aspecto, ya que generalmente no es un proceso que se da naturalmente.

Tampoco dominan la visualizacin espacial, que es el proceso que permite manipular mentalmente figuras

rgidas; el mismo requiere dos tipos de habilidades, una relacionada con la interpretacin de la informacin

figural, o sea poder leer, comprender e interpretar las representaciones visuales y la otra, relacionada con el

procesamiento de imgenes mentales o sea la posibilidad de manipular, analizar y poder transformar los

conceptos relacionados con ella en otra clase de informacin, a travs de representaciones visuales externas.

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Estas habilidades se pueden desarrollar mediante la representacin secuenciada de objetos de tres

dimensiones en dibujos de dos y la construccin de objetos tridimensionales a partir de su representacin

bidimensional. En este punto cuando se trabaja la representacin de un objeto tridimensional en el plano el

docente debe analizar cul utiliza el texto seleccionado o cul elegir l para representar las figuras en E3

(espacio de tres dimensiones), teniendo en cuenta que hay distintos tipos de representaciones, cada una de las

cuales resalta un aspecto determinado del objeto. Entre las representaciones ms significativas, segn Alsina

(1989) tenemos las proyecciones ortogonales ( donde un grupo de dibujos corresponde a cada una de las

caras de un objeto cuando el mismo es observado perpendicularmente enfrente de cada cara); los dibujos

isomtricos (se reproducen tres caras adyacentes del objeto de manera que los ngulos del punto de vista sean

de 120); los dibujos en perspectiva (donde se da una imagen ms acertada del objeto) y los de cortes de nivel

topogrfico (donde se dan diferentes cortes planos a alturas determinadas). En el caso que nos ocupa es

conveniente utilizar varias a la vez, para desarrollar y completar la percepcin espacial, como as tambin

proponer otras representaciones personales.

Comentarios finales

Para el estudio del volumen y su medida debe realizarse un estudio completo de la cualidad que permita

aislarla, comparar objetos, usar diferentes unidades de medida, establecer la necesidad de una en particular,

estimar la medida del volumen de un objeto,...o sea se deben poder proponer actividades variadas y con

diferentes materiales que pongan de manifiesto los aspectos mas importantes del concepto de volumen y se

eliminen aquellos que entorpecen la comprensin.

Slo manipulando es posible distinguir las distintas propiedades de los objetos; es difcil comprender usando

slo el sentido de la vista que un objeto pesa ms que otro, que un recipiente tiene ms o menos capacidad

que otro sin recurrir al trasvasado de lquido. La actividad de empaquetar es importante para la construccin

del concepto de volumen, tambin lo son las de llenar y vaciar recipientes con distintos materiales. Es

necesario que el alumno realice este tipo de actividades y no se quede slo con la observacin de un dibujo o

con su relato. Adems se debe permitir que descubra y aprenda de sus errores, fomentar las discusiones en

grupo confrontando ideas, plantear situaciones problemticas relacionadas con la vida diaria, usar y

desarrollar el sentido comn.

Freudenthal (1983) considera que para lograr que los alumnos se formen el objeto mental volumen es

necesario trabajar actividades como:

Realizar transformaciones con slidos como modelar, verter, transformaciones de romper y rehacer,

sumergir en lquidos, etc. A travs de las actividades diferenciar volumen y rea y volumen y capacidad.

Realizar repartos equitativos de lquidos, masa, plastilina, etc. aprovechando la regularidad de ciertos

cuerpos; estimando y midiendo.

Comparar y reproducir slidos, ya sea comparando bases y alturas, o por estimacin, o por medicin, o

usando transformaciones que conserven el volumen. Se consideran tambin situaciones en las que hay

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que comparar dos volmenes pero tambin aquellas en las que se debe realizar una reproduccin de un

volumen con una forma diferente.

Medir, ya sea por exhauscin con una unidad y afinando la medicin con subunidades, o por acotacin

entre un nivel superior e inferior, o por inmersin, o por medio de relaciones geomtricas generales

midiendo las dimensiones lineales y aplicando frmulas para obtener la medida.

Realizar construcciones: cuerpos de igual rea y distinto volumen, cuerpos de igual volumen y diferentes

reas, etc. Y luego representarlos en la hoja utilizando diferentes sistemas de representacin.

Lo importante es que haya variedad de actividades para que la comprensin del concepto de volumen sea la

adecuada.

Referencias Bibliogrficas:

Alsina, C., Fortuny, J. y Prez, R (1997) Por qu Geometra? Propuestas didcticas para la ESO. Sntesis.

Madrid

Alsina, C., Burgusm C. y Fortuny, J. (1989) Invitacin a la didctica de la Geometra . Sntesis. Madrid.

Castelnuovo, E. (1963) Geometra Intuitiva Segunda parte. Labor. Bs. As.

Chamorro, C. y Belmonte,J.(1994) El problema de la medida. Didctica de las magnitudes lineales Sntesis.

Madrid.

Del Olmo, M.A., Moreno,M.F. y Gil, F. (1993) Superficie y volumen. Algo ms que el trabajo con

frmulas? Sntesis Madrid.

Dickson, L.; Brown, M.; Gibson, O.; (1991). El aprendizaje de las matemticas.. Barcelona. Labor

Ferraris, Cristina (1991) Espacio. Universidad Nacional del Comahue.

Fischbein, E. (1993): The theory of figural concepts en Educational Studies in Mathematics, 24. 139 -

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Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures . Reidel Publishing Company.

Boston.

Maza, Ma Elena (2005) El problema didctico del aprendizaje del volumen. Tesis de Maestra en Didcticas

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Puig Adam, Pedro (1980) Curso de Geometra Mtrica Tomo I. Decimoquinta edicin. Gomez Puig

Ediciones. Madrid

Saz Roldan, Mariana. El volumen por dnde empezar? En HYPERLINK http://www.matedu.cinvestav.mx

[en linea mayo2007]

Sanchez-Marmol, L. y Perez-Beato, M (1947) Geometra Mtrica, Proyectiva y Sistemas de Representacin

Tomo II. Segunda edicin. S.A.E.T.A. Madrid

Segovia, J. Castro, E. y Rico, L. (1989) Estimacin en clculo y medida. Sntesis. Madrid.

Pgina 9

LOS ERRORES: SE EMPLEAN EN LA CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO MATEMTICO EN EL NIVEL MEDIO?

Mara Elena Higa, Leonor Irene Bumalen, Gloria Elsa Tarifa Universidad Nacional de Salta Salta- Repblica Argentina

[email protected], [email protected], [email protected] Nivel Educativo: Medio

Palabras Claves: errores, enseanza , aprendizaje , articulacin Resumen Los errores en trabajos y evaluaciones de matemtica de los alumnos aparecen frecuentemente como elemento estable en los procesos de enseanza y aprendizaje en todos los niveles del sistema educativo. Diversos anlisis estadsticos reflejan que los docentes, en general, conocen los errores tpicos en que incurren los alumnos en cada tema y nivel, esto no siempre es positivo porque se utilizan en el proceso de evaluacin como distractores. En el aula se observa la prctica de resaltar las acciones incorrectas de los alumnos, que segn sea el enfoque del docente puede llegar a convertirse en un obstculo psicolgico en el aprendizaje de los estudiantes. Por esto, el estudio de los errores en el aprendizaje de la matemtica debe ser una cuestin de permanente atencin en nuestro Sistema Educativo. Ellos pueden utilizarse para potenciar el crecimiento cognoscitivo de los agentes intervinientes en el proceso de enseanza-aprendizaje. Tambin los docentes pueden utilizar su conocimiento, como recurso didctico, para implementar estrategias de mediacin a fin de prevenirlos. Por ello el objetivo de este trabajo es determinar, a vista de los docentes, cules son los errores frecuentemente cometidos por los alumnos de enseanza media en matemtica y qu utilidad otorgan a los mismos en el proceso de enseanza y aprendizaje. Se dise un instrumento para recoger informacin respecto del objetivo planteado a travs de una investigacin cualitativa de carcter descriptivo, a fin de implementar acciones conjuntas entre docentes del nivel medio y universitario para contribuir a la articulacin entre ambos niveles. Introduccin

Los errores en trabajos y evaluaciones de matemtica de los alumnos aparecen, frecuentemente, como

elemento estable en los procesos de enseanza y aprendizaje en todos los niveles del sistema educativo.

Diversos anlisis estadsticos reflejan que los docentes, en general, conocen los errores tpicos en que incurren

los alumnos en cada tema y nivel, esto no siempre suele ser positivo porque se utilizan en el proceso de

evaluacin como distractores. En el aula se observa la prctica de resaltar las acciones incorrectas de los

alumnos, que segn sea el enfoque del docente puede llegar a convertirse en un obstculo psicolgico en el

aprendizaje de los estudiantes.

Actualmente investigadores en educacin matemtica consideran al error como parte del proceso de

enseanza y aprendizaje y sugieren su diagnstico, su tratamiento y discusin con los alumnos de las

concepciones errneas, para presentarles luego situaciones matemticas que les permitan reajustar sus ideas.

Adems, los errores se pueden utilizar como motivacin y como punto de partida para exploraciones

matemticas creativas de los alumnos, pueden proporcionar una comprensin ms completa y profunda del

contenido matemtico.

Por todo esto, el estudio de los errores en el aprendizaje de la matemtica debe ser una cuestin de

permanente atencin en nuestro Sistema Educativo. Ellos pueden utilizarse para potenciar el crecimiento

cognoscitivo de los agentes intervinientes en el proceso de enseanza- aprendizaje. Tambin los docentes

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puedan utilizar su conocimiento, como recurso didctico, para implementar estrategias de mediacin a fin de

prevenirlos.

Frecuentemente docentes universitarios, principalmente los de primer ao, alegan deficiente formacin

matemtica de los alumnos promovidos del nivel medio manifestada a travs de los errores observados, es por

ello que bregan, desde hace tiempo, por una articulacin real entre ambos niveles planteando diferentes

acciones tendientes a ella.

Este trabajo surge de una inquietud de docentes de primer ao de la Facultad de Ciencias Exactas de la

Universidad Nacional de Salta, por averiguar, desde el punto de vista de los docentes del nivel medio, cules

son los errores ms comunes y sistemticos que cometen sus alumnos en matemtica, y adems la importancia

y utilidad que los docentes le otorgan a dichos errores.

Objetivo general

Determinar, a vista de los docentes del nivel medio, cules son los errores frecuentemente cometidos por sus

alumnos en matemtica y qu utilidad le otorgan a los mismos en el proceso de enseanza y aprendizaje.

Marco terico

En este trabajo consideramos la concepcin de error dada por Godino, Batanero y Font :

Hablamos de error cuando el alumno realiza una prctica (accin, argumentacin, etc.) que no es vlida

desde el punto de vista de la institucin matemtica escolar.

La mayor parte de los estudios sobre errores, realizados con anterioridad a 1960, han consistido en recuentos

del nmero de soluciones incorrectas a una variedad de problemas y un anlisis de los tipos de errores

detectados, para proceder luego, a una clasificacin que permita determinar cmo surgen los errores a partir

de la solucin correcta, en la que se hacen inferencias sobre qu factores pueden haber conducido al error,

argumentaciones de Rico (1995) Errores en el aprendizaje de la Matemtica, citado por Pochulu

(2005)Anlisis y categorizacin de errores en el aprendizaje de la matemtica en alumnos que ingresan a la

universidad.

A partir de la dcada del sesenta y en los aos posteriores, las aplicaciones e implicaciones al campo de la

educacin comenzaron a proyectarse en forma notable y el abordaje del error tuvo una visin ms

constructivista, en tanto se estimul su ocurrencia puesto que brindaba posibilidades para el sujeto constructor

de conocimiento.

Hoy da existe preocupacin en cuanto a los errores que cometen los alumnos en su trabajo de matemtica,

puesto que el mismo se ha caracterizado como un aspecto negativo en el proceso de aprendizaje, porque

representa un fracaso. Algunos autores lo han denominado obstculo, ahora bien, lo rescatable es considerar

el error como fuente de aprendizaje significativo para que se logren nuevos conocimientos y surjan nuevas

ideas. Por ello, es importante que tanto el docente como el alumno mismo consideren el error como una

herramienta para el proceso de enseanza-aprendizaje. Esto ayuda al alumno a tomar conciencia de sus

propios errores de tal manera, que aprenda de ellos.

Pgina 11

Conociendo el error cometido el estudiante toma conciencia que, ante el aprendizaje, no puede ni debe

adquirir actitudes superficiales, y por lo tanto, ofrece una coyuntura para la autocrtica y para inferir la

necesidad de aprender de los errores y fracasos.

En este sentido, los errores pueden constituir un elemento importante en el progreso del conocimiento, pues el

alumno no slo se puede interesar en descubrir dnde est el error? sino tambin puede formular preguntas,

comparar resultados y procedimientos hasta lograr identificar sus propios errores, a travs de sus experiencias

y de la interrelacin con los contenidos matemticos.

Asociado a esto, es importante resaltar que existen mltiples factores que conllevan a un error as como

tambin existen diversos tipos de errores que interfieren en la adquisicin del conocimiento matemtico;

algunos de estos factores son la motivacin y el rendimiento acadmico, y en cuanto a los tipos de errores,

algunos autores los clasifican en: los errores de procedimientos, los errores de operacin, errores sistemticos,

errores de conceptos, entre otros.

Metodologa de la investigacin

Las investigaciones en anlisis de errores pueden ser agrupadas en torno a dos objetivos principales: la

superacin del error a travs de su eliminacin, o a travs de la exploracin de sus potencialidades. En la

primera categora se encuentran las investigaciones realizadas por la influencia del conductismo y del

procesamiento de la informacin. En la segunda categora, aparecen los trabajos ms recientes de carcter

constructivista. Cabe aclarar que esta divisin no es rgida y pueden ser encontrados los dos objetivos en

algunos trabajos.

La investigacin planteada es de carcter cualitativo y descriptivo, ya que buscamos analizar y caracterizar la

importancia y utilizacin que los docentes del nivel medio otorgan a los errores cometidos por sus alumnos.

Esto permitir implementar acciones conjuntas entre docentes del nivel medio y universitario para contribuir a

la articulacin entre ambos niveles.

Para ello se utiliz un instrumento, modificado convenientemente, para recoger informacin respecto del

objetivo planteado, tomado de un Trabajo de Graduacin presentado a la Facultad de Ciencia, Chile, en

cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar al grado de Licenciado en Educacin Matemtica y

Computacin, cuya autora es Celeste Priscilla Reyes Pastrin. (ver ANEXO I ).

El mismo fue distribuido entre 25 docentes del nivel medio, entre establecimientos pblicos y privados.

Anlisis de los resultados

De los 25 cuestionarios distribuidos, el anlisis se realiza sobre los 18 respondidos; entre los que se cuentan

12 docentes que se desempean en Establecimientos Pblicos (7 de los mismos trabajan en Educacin de

adultos) y 6 en Establecimientos Privados.

Las opiniones fueron proporcionadas por 6 docentes con una experiencia laboral entre 1 y 10 aos; 8 , entre

10 y 20 aos y 4 con ms de 20 aos.

1.- Qu grado de importancia le otorga Ud. a los errores que cometen los alumnos en matemtica y en que se

basa esa apreciacin? (marque con una X la alternativa que mejor representa su opinin).

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Grado de importancia: Muy alto Alto Ms o menos Bajo 40 % 30% 20% 10%

Opciones frecuencia Un error trae otro error 2 Un error imposibilita resolver problemas 4 Los errores desmotivan a los alumnos 4 Los errores se fijan con la repeticin 2 Los errores nunca se olvidan 0 Los errores sirven para aprender de ellos 8 Los errores destruyen lo aprendido 2 Los errores provocan decisiones erradas 3 Otra causa (indquela a continuacin) 0

Se puede apreciar que los profesores encuestados le atribuyen una muy alta importancia y una alta

importancia a los errores. Entre ambas suman 70 % de preferencia lo que indica que los docentes de la

muestra concuerdan que los errores son importantes en la adquisicin del conocimiento matemtico.

Para la justificacin de la importancia de los errores es sealada con ms alto porcentaje ( 32 %) los errores

sirven para aprender de ellos siguindole un error imposibilita resolver problemas y los errores

desmotivan a los alumnos, con un 16 % para cada una.

2.- A continuacin se presenta una lista de sectores donde se producen errores matemticos. Marque con X la

frecuencia con que se producen en cada sector.

Frecuencia Sectores Alta Media

alta Media baja

Baja

Clculo de fracciones 13 (72%) 3 (17%) 2 (11%) 0 (0%) Resolucin de ecuaciones de primer grado 4 (22%) 6 (33%) 5 (28%) 3 (17%) Simplificacin de expresiones algebraicas 10 (56%) 4 (22%) 4 (22%) 0 (0%) Resolucin de ecuaciones cuadrticas 3 (17%) 4 (22%) 5 (28%) 6 (33%) Porcentajes y proporciones 4 (22%) 7 (39%) 3 (17%) 4 (22%) Transformacin de decimales en fracciones y viceversa 6 (33%) 5 (28%) 4 (22%) 3 (17%) Determinacin de medidas de ngulos en tringulos 8 (44%) 7 (39%) 3 (17%) 0 (0%) Factorizacin de expresiones algebraicas 14 (78%) 2 (11%) 1 (5,5%) 1 (5,5%) Grficos estadsticos 5 (28%) 6 (33%) 3 (17%) 4 (22%) Operatoria con nmeros irracionales 16 (89%) 1 (5,5%) 1 (5,5%) 0 (0%) Grfico de funciones 9 ( 50%) 9 (50%) 0 (0%) 0 (0%) Proporciones en tringulos semejantes 12 ( 67%) 4 (22%) 2 (11%) 0 (0%) Operatoria con nmeros enteros 7 (39%) 6 ( 33%) 3 (17%) 2 (11%) Agregue otras de acuerdo a su experiencia Aqu se observa que los sectores, segn opinin de los docentes, donde se cometen ms errores son:

operatoria con nmeros irracionales, factorizacin de expresiones algebraicas, clculo con fracciones,

proporciones en tringulos semejantes y simplificacin de expresiones algebraicas. Le siguen con 50% o

menos: grfico de funciones, determinacin de medidas de ngulos en tringulos y operatoria con

nmeros enteros.

En cuanto al tem agregue otras de acuerdo a su experiencia, el 22% considera que hay una frecuencia alta

de errores en el lenguaje algebraico y un 33% lo considera en interpretacin de problemas.

Las reas de matemtica donde ms se cometen errores son en Aritmtica y Algebra y en menor grado en

Geometra.

3.- Hay profesores que clasifican los errores matemticos en cinco categoras. Cul es el grado de importancia que Ud. le atribuye a cada una?

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Grado de importancia Categoras Alta Media alta Media baja Baja

Errores conceptuales 12 (67%) 2 (11%) 2 (11%) 2 (11%) Errores de procedimientos 2 (11%) 7 (39%) 7 (39%) 2 (11%) Errores de clculos con nmeros 5 (28%) 6 (33%) 5 (28%) 2 (11%) Errores en la manipulacin algebraica 11 (61%) 3 (17%) 2 (11%) 2 (11%) Errores geomtricos 2 (11%) 10 (56%) 4 (22%) 2 (11%)

Los porcentajes ms altos se presentan en las categoras de errores conceptuales y errores en la

manipulacin algebraica. O sea que stas son las categoras a las que los docentes asignan mayor

importancia.

4.- Describa el/los error/es ms frecuente/s que recuerda haber detectado en alguno de sus alumnos, indicando adems el curso:

En este tem se presentan algunos los errores presentados por los docentes, los que aparecieron con ms

frecuencia:

Confunden algoritmos de adicin y multiplicacin de fracciones; curso: 9 de EGB3, ejemplos:

74

5231

53

21

=++

=+2023

20815

5*42*43*5

52*

43

=+

=+

= b) a)

Errores de manipulacin algebraica, curso: 1 de Polimodal, ejemplo: 2 a + 3 a 2 = 5 a 3

1000345453,0 = Transformacin de decimales a fraccin, curso: 1 de Polimodal , ejemplo :

Aplican la propiedad distributiva de la raz respecto de la suma algebraica, curso: 2 de Polimodal,

ejemplo: 743169169 =+=+=+

Extraen la raz de un nmero, pero mantienen el smbolo de raz en el resultado, curso: 2 de

Polimodal, ejemplo: 525 = .

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Estos errores presentados por los docentes, contribuyen a confirmar lo encontrado en el tem 2 de este

cuestionario ya que los mismos le asignaban alta frecuencia a los sectores de operatoria con nmeros

irracionales y clculo con fracciones.

5.- A qu atribuye Ud. la presencia de errores matemticos en los estudiantes? (marque con una X LAS

TRES MAS IMPORTANTES a su juicio)

Falta de hbitos de estudio 25 % Metodologas de aula poco participativas 15 % Abusos en el lenguaje matemtico del profesor 10 % Insuficiente trabajo destinado a resolver problemas 20 % Deficiente situacin de entrada de los alumnos 20 % Poco uso de textos de matemtica 10% (agregue las que Usted considere)

Se evidencia que los docentes consideran que las causas de errores es casi en un 50 % responsabilidad del

alumno, ya que las menos sealadas fueron aquellas controladas por los docentes como: metodologas poco

participativas y el abuso en el lenguaje matemtico del profesor.

Respecto del poco uso de textos, los docentes de Educacin para adultos manifiestan el mayor porcentaje

causal.

Esto indica que sera necesario una mayor reflexin por parte de los docentes de esta situacin, ya que no

slo acta en este proceso (enseanza y aprendizaje) el alumno y el docente sino que hay muchos otros

factores que pueden influir en l tales como: el currculo, el contexto, etc.

Conclusiones

Las opiniones de los docentes pueden resumirse en que atribuyen importancia en alto grado a los errores

cometidos por los alumnos. Basan su justificacin expresando que los errores imposibilitan la resolucin de

problemas y consideran que se presentan con ms frecuencia en las reas de aritmtica y lgebra, lo que se

confirma con los ejemplos y descripcin por ellos presentados.

Los errores conceptuales y de manipulacin algebraica seran las categoras con ms frecuencia declaradas y

otorgan tales atribuciones a la falta de hbitos de estudio y a la deficiente formacin previa de los alumnos.

Cabe aclarar que estos resultados no son concluyentes por el tamao de la muestra, slo proporcionan un

estudio de casos para establecer algn comportamiento respecto del tema tratado.

En la actualidad, el error es considerado una fuente valiosa de informacin que puede servir para reordenar el

proceso de enseanza y aprendizaje. Tambin puede utilizarse como motivador para que el alumno pueda

argumentar, discutir y rever sus conocimientos logrando, de esa forma, mejorar la comprensin y el

razonamiento lgico matemtico.

Sera conveniente que los docentes tengamos un mayor acercamiento a los errores desarrollando estrategias

que permitan prevenirlos, como por ejemplo: inducir a que los alumnos descubran sus errores, identifiquen

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las hiptesis falsas que los produjeron, comparen proposiciones falsas con verdaderas, generen discusiones y

debates sobre los mismos, etc.

Las estrategias deben plantearse en base a lo que los alumnos no saben y sobre todo en por qu no lo saben.

Referencias bibliogrficas

Alsina, C y Otros ( 1996) . Ensear matemticas. Barcelona, Espaa: Gra

Godino, J; Batanero, C y Font, V ( 2003). Fundamentos de la enseanza y aprendizaje de la matemtica para

maestros. Granada, Espaa: Universidad de Granada.

Mancera, E. (1998 ). Errar es un placer. Mxico: Grupo Ed. Iberoamericano

Pochulu, M. (2005). Anlisis y categorizacin de errores en el aprendizaje de la matemtica en alumnos que

ingresan a la universidad. OEI-Revista Iberoamericana de Educacin, 35, 4

Reyes Pastrian; C. ( 2006), Determinacin de errores frecuentes en el estudio de la matemtica en la

enseanza media. [en lnea] abajo de Graduacin. Chile. Recuperado el 17 de marzo de 2007., de http://

lemc.usach.cl/trabajos_gr.html

Rico, L. (1993). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemticas. Mxico: Grupo Ed.

Iberoamericano.

ANEXO I

CUESTIONARIO

Institucin donde da clases actualmente:. Experiencia docente (en aos):. E-mail: Institucin en que se form: 1.- Qu grado de importancia le otorga Ud. a los errores que cometen los alumnos en matemtica y en que se basa esa apreciacin? (marque con una X la alternativa que mejor representa su opinin) Grado de importancia

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: Muy alto Alto Ms o menos Bajo

Justificacin Un error trae otro error Un error imposibilita resolver problemas Los errores desmotivan a los alumnos Los errores se fijan con la repeticin Los errores nunca se olvidan Los errores sirven para aprender de ellos Los errores destruyen lo aprendido Los errores provocan decisiones erradas Otra causa (indquela a continuacin) .. ... 2.- A continuacin se presenta una lista de sectores donde se producen errores matemticos. Marque con X la frecuencia con que se producen en cada sector.

Frecuencia Sectores Alta Media

alta Media baja

Baja

Clculo de fracciones Resolucin de ecuaciones de primer grado Simplificacin de expresiones algebraicas Resolucin de ecuaciones cuadrticas Porcentajes y proporciones Transformacin de decimales en fracciones y viceversa Determinacin de medidas de ngulos en tringulos Factorizacin de expresiones algebraicas Grficos estadsticos Operatoria con nmeros irracionales Grfico de funciones Proporciones en tringulos semejantes Operatoria con nmeros enteros Agregue otras de acuerdo a su experiencia

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3.- Hay profesores que clasifican los errores matemticos en cinco categoras. Cul es el grado de importancia que Ud. le atribuye a cada una?

Grado de importancia Categoras Alta Media alta Media

baja Baja

Errores conceptuales Errores de procedimientos Errores de clculos con nmeros Errores en la manipulacin algebraica Errores geomtricos

4.- Describa el/los error/es ms frecuente/s que recuerda haber detectado en alguno de sus alumnos, indicando adems el curso: 5.- A qu atribuye Ud. la presencia de errores matemticos en los estudiantes? (marque con una X LAS TRES MAS IMPORTANTES a su juicio)

Falta de hbitos de estudio Metodologas de aula poco participativas Abusos en el lenguaje matemtico del profesor Insuficiente trabajo destinado a resolver problemas Deficiente situacin de entrada de los alumnos Poco uso de textos de matemtica (agregue las que Usted considere)

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LA SEMEJANZA, UNA PROPUESTA DE UNIDAD DIDCTICA Blasn, Rosa- Jurez, Patricia - Villamonte, Patricia - Rosa Salamone

Institucin: Facultad de Ciencia y Tecnologa. Universidad Autnoma de Entre Ros- Argentina. Direccin electrnica:

[email protected] [email protected] [email protected] Educativo: Medio

Palabras claves: semejanza, unidad didctica, problemas

Resumen Presentamos una unidad didctica que aborda la semejanza y trata de introducirla a travs de una metodologa experimental y activa, que permita desarrollar en el alumno la intuicin creadora, fomentar el espritu crtico, actitudes positivas hacia la geometra, gusto por la belleza de las formas y por resolver problemas. La utilizacin de instrumentos de medida variados, la resolucin de problemas geomtricos atractivos, la investigacin histrica har que este nuevo concepto geomtrico pueda ser vivido para luego pasar a la formalizacin. La semejanza constituye un nexo de unin con el resto de los contenidos matemticos y es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolucin requiera su uso dentro de la matemtica y fuera de ella. Las actividades sern trabajadas con una metodologa de exploracin, investigacin, descubrimiento y construccin sobre los objetos que rodean y viven en el mundo del alumno favoreciendo el cultivo de la intuicin geomtrica que tanto ha hecho evolucionar esta ciencia. Se plantearn segn las fases Rico (1999): motivacin y exploracin inicial, desarrollo de nuevas ideas y consolidacin y ajuste de ritmos.

Introduccin

La geometra tuvo su origen en las actividades prcticas del hombre y en los problemas de la vida cotidiana y su

transformacin en teora matemtica requiri un inmenso perodo de tiempo. Las propiedades de los conceptos

geomtricos, al igual que los conceptos mismos, han sido abstrados del mundo que nos rodea.

La descomposicin en figuras simples es la base de la formulacin de expresiones para el clculo de reas y de

volmenes. Esto nos sugiere que el reconocimiento de figuras iguales y semejantes es un recurso importante para

ciertos conceptos de medidas.

Esta unidad didctica aborda la semejanza y trata de introducirla a travs de una metodologa experimental y

activa, que permita desarrollar la intuicin creadora, fomentar el espritu crtico, actitudes positivas hacia la

geometra, gusto por la belleza de las formas y por resolver problemas.

La utilizacin de instrumentos de medida variados, la resolucin de problemas geomtricos atractivos, la

investigacin histrica har que todo nuevo concepto geomtrico pueda ser vivido para luego pasar a la

formalizacin.

La semejanza constituye un nexo de unin con el resto de los contenidos matemticos y es posible considerar

diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolucin requiera su uso dentro de la

matemtica y fuera de ella.

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]

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Las actividades sern trabajadas con una metodologa de exploracin, investigacin, descubrimiento y

construccin sobre los objetos que rodean y viven en el mundo del alumno favoreciendo el cultivo de la intuicin

geomtrica que tanto ha hecho evolucionar esta ciencia.

Los momentos de discusin de las actividades propuestas permiten dar sentido y generar avances en la

conceptualizacin de los conocimientos que los alumnos utilizan en la resolucin de los problemas. El valor de

los mismos reside en la potencialidad que tienen para generar confrontaciones, reflexiones y argumentaciones por

parte de los alumnos que les exige buscar razones y argumentar intentando defender la verdad o falsedad de los

enunciados. Permiten plantear nuevos problemas obligndolos a reflexionar sobre lo realizado, a explicarlo, a

justificarlo, abriendo un espacio para que progresen en la comprensin de los conocimientos.

CMO SE PLANTEAN LAS ACTIVIDADES?

Las actividades se plantearn segn las siguientes fases Rico (1999):

Motivacin y exploracin inicial: se recuerdan algunos conceptos y se explora con ellos para valorar

el conocimiento previo, estimular la motivacin y adiestrarse en la manipulacin de algunas ideas antes

de conceptualizarlas (Rico, pg. 221,1999).

Fase de desarrollo de nuevas ideas: se conceptualizan las nociones fundamentales de la unidad.

Fase de consolidacin y ajuste de ritmo: donde se planifican actividades para consolidar conocimientos

ms avanzados o conceptos bsicos de acuerdo al ritmo de los alumnos.

Vamos a proponer tareas grupales y/o individuales. Teniendo en cuenta que debern exponer y defender ante los

otros grupos su respuesta, tendrn que elaborar una justificacin del trabajo realizado y presentar por escrito las

conclusiones a las que han arribado. Para que la puesta en comn no sea aburrida se seleccionar, con cierta

intencionalidad, algunos grupos para exponer los resultados, organizando un debate sobre ellos. Se realiza un

balance final para institucionalizar los conceptos.

Conocimientos previos

Los contenidos que creemos deben haber sido trabajado en forma previa son: magnitudes de longitud, rea,

volumen y amplitud de ngulos. Cuantificacin, comparacin y transmisin de datos acerca de las magnitudes.

Figuras planas y cuerpos geomtricos, proporcionalidad numrica y geomtrica. Teorema de Thales.

Contenidos de la unidad didctica

Semejanza de figuras. Criterios de semejanza de tringulos. Relacin entre el rea y el volumen de figuras

semejantes. Representaciones manejables de la realidad: planos, mapas y maquetas. Escala. Utilizacin de

smbolos y del vocabulario geomtrico para describir con precisin situaciones, formas, propiedades y

configuraciones geomtricas. Utilizacin diestra de instrumentos de medida y dibujo habituales. Construccin y

utilizacin de modelos geomtricos bidimensionales y tridimensionales. Bsqueda de propiedades, regularidades

y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geomtricas. Valoracin de la semejanza para resolver

diferentes situaciones. Inters por investigar sobre la historia de la geometra y sus problemas

Objetivos de la unidad didctica

- Abordar las situaciones problemticas haciendo uso de todas las tcnicas a su alcance: medir, construir, dibujar,

etc. para adquirir los conceptos de la semejanza en figuras planas como espaciales, obteniendo relaciones y

propiedades fundamentales.

- Interrelacionar los conocimientos de semejanza con los distintos campos del saber y la vida cotidiana.

Descripcin de las actividades

Actividad 1: Desarrollo de nuevas ideas

Primera Etapa

Consigna: formen grupos de un mximo de cuatro integrantes y construyan las siguientes figuras: rectngulos de

3x4cm (Fig. A); 2,8 x2,1cm (Fig. B); 5 x 4cm (Fig. C) y 6 x 4,5cm (Fig. D). De la figura A,hay alguna que sea

ampliacin o reduccin? Si hay alguna figura que cumpla este requisito calculen en que porcentaje se ha

ampliado o reducido la figura. Justifiquen.

Segunda Etapa

Consigna: En la anterior etapa hemos llegado a la definicin: Dos figuras son semejantes si son ampliacin o

reduccin de otra.Para poder identificarlas con facilidad y conocer sus relaciones, construyan un cuadriltero

semejante al dado y anoten todos los pasos que han seguido para su construccin.

Intenciones: Discutir cuales deben ser las condiciones que debe cumplir una figura para que sea ampliacin o

reduccin de otra en la primera fase y llegar en un segunda fase a la definicin de figuras semejantes.

Comentario: La primera parte est planteada para que los alumnos descubran las relaciones entre los lados en las

figuras semejantes e identifiquen figuras semejantes como aquellas que tienen la misma forma aunque puedan

ser de distinto tamao y que cuando decimos de la misma forma nos referimos a exactamente de la misma

forma no de un grupo de figuras de parecida forma que con en el lenguaje vulgar se suele identificar a la

semejanza. La segunda parte apunta a clarificar que esa igualdad de forma implica la igualdad de ngulos

homlogos simultneamente con la proporcionalidad de lados homlogos.

Pgina 20


Consigna: Comparen las siguientes figuras, cules son semejantes? En el caso que las figuras sean semejantes

calculen la razn de semejanza.

Intenciones: Detectar en las figuras dadas cules son semejantes, encontrar la razn de semejanza y ampliar el

concepto de semejanza al espacio.

Comentario: La simple observacin de las figuras no es suficiente, por lo tanto debern recurrir a algn

instrumento de medida. Para identificar poliedros semejantes tendrn que tener en cuenta que las caras

correspondientes sean semejantes, las longitudes de las aristas correspondientes proporcionales y se conserven los

ngulos. Tambin deben concluir que la posicin espacial no modifica su semejanza.

Actividad 3: Consolidacin y ajuste de ritmos

Consigna: Son semejantes todos los tringulos? y los cuadrados? y los rectngulos?todos los dems

polgonos regulares?y los no regulares? todos los cubos son semejantes?.Y los poliedros, son todos

semejantes?, y las esferas?, son todas semejantes? Justifiquen las respuestas.

Intenciones: Generalizar el concepto de semejanza a polgonos y poliedros regulares e identificar que si las

figuras no son regulares la generalizacin no es vlida.

Comentario: Tendrn que recurrir a investigar en los libros de texto o bien construir algunas figuras para poder

responder a las preguntas de la actividad.

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Consigna: Completen las ampliaciones que se han hecho de estos dibujos a los que les faltan algunos trazos.

Intenciones: Completar dibujos semejantes a partir de uno dado.

Comentario: Debern tomar medidas para calcular la razn de semejanza y as obtener la ampliacin o reduccin

de la figura.


Consigna: Consigan una fotografa o una postal de un edificio de Paran. Seran capaces, utilizando slo la

fotografa, de calcular las medidas reales del edificio?

Intenciones: Reconocer si es posible aplicar el concepto de semejanza en la fotografa para hallar las medidas

reales de lo registrado en la foto.

Comentario: Las respuestas podrn ser mltiples. Si en la fotografa no aparece algn objeto o persona cuyas

dimensiones sean conocidas, ser imposible que logren responder a la actividad. En ese caso podrn ir hasta el

lugar y medir un objeto que aparezca en la misma. La seleccin de la foto es una variable didctica importante

porque la semejanza no se conserva si la foto no ha sido tomada perpendicularmente.


Consigna: Se dividir la clase en seis grupos y cada grupo realizar las siguientes actividades: Grupo 1:

Construyan un tringulo que tenga un ngulo de 35 y otro ngulo de 70,Grupo 2:dem al grupo1,Grupo 3:

Construyan un tringulo de lados 2, 3 y 4 cm., Grupo 4: Construyan un tringulo de lados 4, 6 y 8 cm., Grupo 5:

Construyan un tringulo de lados 2,5 y 4 cm con el ngulo incluido de 50,Grupo 6: Construyan un tringulo de

lados 5 y 8 cm. con el ngulo incluido de 50.

Luego de realizar las construcciones se intercambiarn los trabajos el grupo 1 con el 2, el 3 con el 4 y el 5 con el

6. Cada grupo comparar su tringulo con el tringulo del otro grupo y responder a las siguientes preguntas: los

tringulos que han comparado son semejantes?, cul es la razn de semejanza?, podran decir cules son las

condiciones para que dos tringulos sean semejantes? Justifiquen.

Intenciones: Lograr que los alumnos reconozcan los criterios de semejanza de tringulos.

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Comentario: Los tringulos obtenidos en cada par de grupos son semejantes, esto les permitir concluir que no es

necesario el conocimiento de todos los elementos para poder construir tringulos semejantes.


Consigna: Es posible medir la altura aproximada de un edificio solo con una escuadra. Observen la figura que

explica cmo calcular la altura del mstil de tu colegio.

Qu medidas tendran que tomar para calcular la altura del mstil? Calculen utilizando este procedimiento la

altura aproximada del mstil de tu escuela o un edificio cercano.

Intenciones: Modelizar geomtricamente identificando el modelo de semejanza en una situacin real.

Comentario: Deben reconocer en el problema las medidas que son necesarias tomar y la unidad de medida

(convencional o no) ms conveniente para el clculo de distancias. (metros, centmetros, pasos, etc.)


Consigna: La duplicacin del cubo. Cuentan los historiadores que a la muerte de Pericles, se produjo tal revuelo

en Atenas que llev al Orculo de Apolo en Delos a sugerir la necesidad de duplicar el volumen del altar cbico

dedicado a Apolo. Aunque los atenienses duplicaron diligentemente todas las dimensiones del altar, no

cumplieron con el deseo expresado. Un chico para justificar por qu no lograron construir el altar construy un

cubo de 5 cm. de arista y otro cuyas aristas medan el triple del anterior. Hagan lo mismo y respondan: cul es

la razn de semejanza?, cuntas veces entra el cubo chico en el grande? porqu? Calculen la superficie y el

volumen de cada uno de los cubos. Cul es la relacin que pueden encontrar entre la superficie y los volmenes

del pequeo y del grande? Se animan a explicar porqu no se pudo construir el altar con esas dimensiones?

Intenciones: Encontrar la relacin existente entre la razn lineal, la de rea y la del volumen. Mostrar problemas

histricos irresolubles que ayuden a ver una geometra no acabada.

Comentario: Construir un modelo que les permita mediante mediciones y clculos reconocer las relaciones entre

reas y volmenes de figuras semejantes. Mencionar ancdotas del pasado que acerquen la geometra al

alumno, observando las dificultades a las cuales se enfrentaron los antiguos griegos.

Actividad 9: Motivacin y exploracin

Consigna: Investiguen sobre el tema: Nmero de oro y Rectngulo ureo. Incluyan el momento histrico,

dnde aparecen y construyan el rectngulo ureo con regla y comps.

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Intenciones: Pretendemos que logren situarse en el momento histrico y vean las aplicaciones del nmero de oro

en otras reas.

Comentario: En el debate se orientar la discusin hacia la relacin nmero de oro y semejanza. La construccin

del rectngulo ureo fue pensada para trabajar las dificultades que tienen en seguir instrucciones en una

construccin.

Actividad 10: Desarrollo de nuevas ideas.

Consigna: Para dibujar objetos muy grandes o muy pequeos tenemos que aumentar o reducir sus medidas,

hacemos un dibujo en escala. Toda escala es una razn entre dos medidas, el numerador indica la longitud del

dibujo y el denominador la longitud correspondiente del objeto que est representando. La escala es adimensional

ya que las medidas se toman en la misma unidad.

En el mapa de la provincia de Entre Ros est indicada la escala y la fotocopia del mapa est reducida a la mitad.

Marquen en el mapa dos ciudades que estn aproximadamente a 100 Km. Respondan y justifiquen las siguientes

cuestiones: en la fotocopia, a cuntos cm estn las ciudades que seleccionaron?, en el mapa a cuntos cm. estn

una de la otra?, cul es la escala que corresponde a la fotocopia?, si el mapa de la provincia se ampliara de modo

tal que su rea fuese el doble cul sera la distancia entre las ciudades?

Intenciones: Reconocer las escalas como una aplicacin de la semejanza a la topografa.

Comentario: Es importante que identifiquen e interpreten la escala que figura en el mapa y las unidades de

longitud usadas para que la misma resulte adimensional.

Actividad 11: Consolidacin y ajustes de ritmos1

Consigna: Realmente nuestras proporciones son armnicas? Es posible evaluar la belleza fsica de una persona

por medio de una frmula matemtica? Lo que es bello para una persona puede no serlo para otra. Pero es posible

mostrar la armona de proporciones, realizando comparaciones. Por ejemplo, si tomamos la medida de una

persona (altura) y la dividimos por la medida que va desde el ombligo hasta el piso, veremos que la razn es la

misma que la de la medida desde el cuello hasta la frente en relacin a los ojos hasta el cuello. Lo mismo ocurre

con otras partes del cuerpo.

Te proponemos que trabajes con un compaero y tomes las medidas, hallando la razn entre ellas y

comparndolas.

Intenciones: Reconocer que el coeficiente de proporcionalidad que rige la belleza es el mismo para la mayora de

las personas y ver como aparece el nmero de oro en el concepto de armona fsica que tenan los griegos.

Comentario: Los alumnos debern tomar con precisin las medidas

Organizadores considerados en las actividades

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Los organizadores son aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular

el diseo, desarrollo y evaluacin de unidades didcticas. (Rico, L. 1999).

En la planificacin de la Unidad Didctica se tuvieron en cuenta los siguientes organizadores:

1) La dificultad asociada a los procesos de enseanza de la geometra y actitudes afectivas y emocionales

nos llev a mostrar a la geometra en un contexto cercano al alumno, proponindonos el tratamiento de la

semejanza en distintas situaciones, que le ayuden a ver una geometra no inmutable y relacionada con su realidad.

Los alumnos tienden a confiar en la intuicin y a generalizar, es por eso que en la actividad 2 se incluyen figuras

espaciales para que analicen que es lo que se debe tener en cuenta para que se conserve la semejanza en el

espacio al igual que en la actividad 8 donde presumen que la razn lineal se mantiene en reas y volmenes.

2) Representaciones y Modelos: la razn de semejanza la pueden ver de distintas formas, como una fraccin,

como un nmero decimal o como un porcentaje, cuestin que queda de manifiesto en las actividades 1 y 2.

En relacin a la simbologa, en la etapa de institucionalizacin de la actividad 1 aparece la notacin simblica

que se utilizar para expresar que las figuras son semejantes y en la actividad del nmero de oro aparece el

smbolo usado para expresar un nmero irracional particular. Se ha favorecido la interiorizacin de

representaciones visuales asociadas a los conceptos de ampliacin o reduccin y de semejanza en las actividades

1, 2, 3 y 4. Dos casos significativos de modelizacin de fenmenos reales son las actividades de proporcin

armnica y de medicin del mstil de la escuela.

3) Materiales y recursos: en varias actividades se utilizan recursos como la escuadra como elemento de

medicin, los libros de texto, internet, las fotos, los mapas y como materiales didcticos las guas con actividades.

4) Se ha usado la informacin histrica en actividades como el problema de la actividad de la duplicacin del

cubo, el nmero de oro y la construccin del rectngulo ureo.

5) Anlisis fenomenolgico: la proporcin armnica, la altura del mstil, la actividad del mapa, etc. son

ejemplos de este organizador que permite formar un objeto mental rico sobre la nocin de semejanza en

conexin con diversas situaciones y contextos.

Actividades integradoras

1-Dibuja un tringulo y divdelo en nueve tringulos congruentes entre s y semejantes al tringulo original.Cul

es la razn de semejanza? Nombra al menos dos pares de polgonos de la figura que sean semejantes entre s.

2- Una parcela triangular tiene lados de 500 m., 640 m, 720 m. a) Represntala a escala 1: 10.000 b) Mide una

altura del tringulo dibujado y calcula el rea del tringulo. c)Cul es el rea de la parcela triangular?

3- Dibuja los conos rectos C1 de radio:18 cm. y generatriz:30 cm. y otro semejante C2 de generatriz: 20 cm. con

la escala que prefieras. Halla la razn entre los volmenes y si tuvieras que construirlos la cantidad de cartn

necesario.

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4- Constru un crculo cuya rea sea el doble de la de un crculo de 2 cm. de radio.Cul es la razn de semejanza

lineal?

Evaluacin

La evaluacin del aprendizaje debe enriquecer el aprendizaje de la matemtica y solo se logra si la misma tiene

carcter integral y es implementada en forma continua de manera de retroalimentar el proceso de enseanza

informando a los docentes de los cambios que deben efectuar y a los estudiantes de los progresos y dificultades

en el aprendizaje.

La evaluacin no puede evadirse de las interacciones sociales que ocurren en el aula y debe ayudar al profesor a

evaluar los distintos procesos de aprendizaje, con herramientas ms profundas que el tpico si entend de los

alumnos, por ejemplo la unidad didctica que dise permiti que el estudiante se involucrara en un juego de

produccin de conocimiento?, el conocimiento alcanzado por sus estudiantes es apropiado o necesita modificar

o seguir generando mas realizaciones?

Con respecto al alumno, la situacin didctica, debe tender a que reflexione sobre su propio aprendizaje, esta

autoevaluacin le permitir tomar conciencia sobre qu, como y para qu est aprendiendo, entender sus propios

procesos cognitivos y desarrollar competencias para controlar y monitorear tales procesos.

No se evala con un nico instrumento y se tiene en cuenta la evaluacin diagnstica, formativa y sumativa.

La observacin del trabajo en clase se puede realizar por grupo o individualmente atendiendo a las siguientes

cuestiones: usos de distintas estrategias en la resolucin de problemas, reconocimiento y aplicacin de

conceptos, grado de interpretacin y representacin de las actividades, expresin oral y escrita y uso del

lenguaje geomtrico como medio adecuado de comunicacin, inters e iniciativa en el trabajo individual o

grupal, hbitos de trabajo.

Por razones de espacio slo hemos incorporado una evaluacin tentativa final.

Evaluacin Final

Los criterios de la evaluacin que se tendrn en cuenta son:

-Reconocer los diversos significados e interpretaciones del concepto, propiedades y criterios de la semejanza en

contextos diversos.

-Llevar a cabo una construccin a partir de instrucciones o datos en forma fiable y prolija.

-Utilizar lenguaje matemtico, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones, modelar

situaciones y dar justificaciones.

1-El hermano de Alejandro estudia arquitectura y pasa muchas horas haciendo lminas, planos y maquetas para la

materia Diseo. Tuvo que disear un edificio de 27 m de altura. La maqueta era una miniatura del edificio y tena

una altura de 90 cm. Las medidas de todas las lneas de la maqueta guardaban la misma proporcin.

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a)Cunto mide en la maqueta una ventana de 90 cm. y cunto debera medir de ancho la puerta de entrada si en

la maqueta mide 3,5 cm.?

b) Qu rea del edificio representa 1 cm2 de la maqueta y cul es la medida de la superficie de los

departamentos en la maqueta si en la realidad miden 90 m2?

c) Qu volumen del edificio representa 1 cm3 de la maqueta?

2- Qu condiciones deben cumplirse para que resulten semejantes: dos esferas? dos cilindros?dos pirmides

de base cuadrada?

3-Construye un tringulo con dos ngulos de 80 y 35 respectivamente. Determina los puntos medios de dos

lados y nelos son semejantes el tringulo original y el que has obtenido? Justifica

4- Construye un tringulo rms, rectngulo en m cuyos catetos mr y ms midan 5 y 6 cm. respectivamente. Sobre

ms a 2 cm. de m marca el punto c, por c traza un segmento perpendicular a rs, determinando el punto de

interseccin d sobre rs. Los tringulos mrs y cds son semejantes? Justifique.

Referencias bibliogrficas

Biembengut, M. S. y Nelson, H. (2000). Modelagem matemtica no encino. Brasil: Contexto.

Alsina Catal, C, Carm Burgus Flamarich y Joseph Fortuny Aymem (1989). Invitacin a la didctica de la

geometra. Madrid: Sntesis.

Chevallard, Bosch y Gascn (1997). Estudiar matemticas. El eslabn perdido entre la enseanza y aprendizaje.

Barcelona: Horsori.

Fiol, M. , Fortuny, J. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el nmero. Madrid: Sntesis.

Gimnez Rodrguez, J. (1997). Evaluacin en Matemticas. Una integracin de perspectivas. Madrid: Sntesis

Grupo Beta (1990). Proporcionalidad geomtrica y semejanza. Madrid: Sntesis.

Jaime Pastor, A. y Gutirrez Rodrguez, A. (1996). El grupo de las isometras del plano. Madrid: Sntesis.

Rico, L., Castro, E., Castro, E. E., Coriat, M., Marn, A., Puig, L. Sierra, M. y Socas, M. (1997). La educacin

matemtica en la enseanza secundaria. Barcelona: Horsori.

Romera Carrin, C. (1997). Bases para el diseo de unidades didcticas de matemticas para la E.S.O. Madrid:

Universidad Nacional de Educacin a Distancia

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Taller: De la construccin a la validacin Mara Susana Dal Maso y Marcela Gtte

Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina. [email protected] y [email protected]

Nivel educativo: Bsico y Medio Palabras Claves: propiedades geomtricas- construir- conjeturar- validar

Resumen Es importante en el trabajo matemtico la argumentacin y la validacin, pero bien sabemos que para el alumno no es significativa esta instancia ya que si logra encontrar un dibujo donde se verifique su conjetura, ser suficiente para aceptarla como vlida. Para ello es preciso buscar un mtodo de trabajo que permita a los alumnos desarrollar un trabajo geomtrico orientado hacia la validacin. Es necesario enfrentarlos a suficientes experiencias que promuevan la exploracin intentando as derivar en formulacin y validacin de propiedades. En este taller se trabajar con el plegado de papel, construcciones y demostraciones sencillas a travs de una sucesin de actividades que pongan en juego una serie de habilidades y propiedades que nos permitan construir juntos una modalidad de trabajo y desarrollar espacios de exploracin que derive en formulacin y validacin de otras propiedades. Destacamos que una misma actividad, de acuerdo al nivel de complejidad con que se la explore y propiedades que se pongan en juego adquiere distintos niveles de complejidad. Me lo contaron y lo olvid, lo vi y lo aprend, lo hice y lo entend. Confucio (551adC- 479adC). Me lo contaron y lo olvid, lo vi y lo aprend,

lo hice y lo entend

Confucio (551adC-479adC)

Marco Terico

Es importante en el trabajo matemtico la argumentacin y la validacin, pero bien sabemos que para el alumno

no es significativa esta instancia ya que si logra encontrar un dibujo donde se verifique su conjetura, ser

suficiente para aceptarla como vlida.

Para ello es preciso buscar un mtodo de trabajo que permita a los alumnos desarrollar un trabajo geomtrico

orientado hacia la validacin. Es necesario as enfrentarlos a suficientes experiencias que promuevan la

exploracin intentando as derivar en formulacin y validacin de propiedades.

los recortes del saber cultural geomtrico pueden ser adquiridos por los alumnos en el marco de un trabajo

intelectual matemtico de resolucin y anlisis de problemas, de debate y argumentacin acerca de stos, que les

permita, simultneamente a la apropiacin de aspectos o recortes de dichos objetos del saber, el acceso a un

modo de pensar y de producir. La adquisicin de un tipo de actividad intelectual propia de construccin de

conocimientos matemticos es, desde nuestro punto de vista, una condicin indispensable para acceder a la

cultura matemtica. Si esto no es considerado como parte de la enseanza, se corre el riesgo de transmitir

nicamente resultados (Broitman, 2003, p 300)

No es una decisin espontnea considerar un dibujo como una representacin de todos lo dibujos posibles de un

objeto geomtrico. La geometra puede ser considerada como el resultado de una modelizacin del dibujo,

sirviendo as de instrumento de produccin y de control del dibujo, e incluso de prediccin. Pero tambin,

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