descomposición de una imagen en coeficiente de aproximación y …cidc.udistrital.edu.co/investigaciones/documentos... · 2015-06-13 · de una manera sencilla mostrar el algoritmo

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CENTRO DE INVESTIGACIONES Y DESARROLLO CIENTÍFICO

Aplicación del concepto de integración en ladescomposición de una imagen en coeficiente deaproximación y detalle usando el concepto de la

transformada de Wavelet Haar.

Rubén Javier Medina DazaLicenciado en Matemáticas, Especialista en Ingeniería

del Software, Magíster en Teleinformática, Especialista enSistemas de Información Geográfica.

Profesor Tiempo CompletoProyecto Curricular Ingeniería Catastral y Geodesia.

[email protected]

RESUMEN

En este artículo se hace una revisión del proceso matemático de la descompo-sición en coeficientes usando la transformada wavelet Haar. La cual permitede una manera sencilla mostrar el algoritmo con base en conceptos básicos decálculo integral, indicando paso a paso como obtener los coeficientes de aproxi-mación y detalle de primer y segundo nivel. De igual forma se muestra losresultados obtenidos usando el software Matlab. Además se desarrolla el pro-ceso inverso que permite recuperar la imagen original.

Estos coeficientes son necesarios para realizar la fusión de imágenes satelitales,ya que estos coeficientes son manipulados y posteriormente se realiza la fusiónde imágenes mediante la transformada wavelet. Los estudios realizados enfusión de imágenes satelitales usando las trasformadas de wavelet han mostra-do que conservan mejor la riqueza espectral que los métodos convencionalespero que la ganancia de resolución espacial es inferior a la de los métodosconvencionales.

Fecha de recepción: mayo 30 de 2005 - Fecha de aceptación: agosto 26 de 2005

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Palabras Claves:Transformada, wavelet, Haar, proceso matemático, cálculo integral, aproxi-mación, detalle.

ABSTRACT

The article revises the mathematic process of decomposition of an image byusing the transformation wavelet Haar. This procedure shows such algorithmbased on concepts of integral calculus, indicating step by step how to get thecoefficient of approximation and detail of first and second level in a very sim-ple way. In the some manner the result are shown though the use of the soft-ware Matlab. Therefore the inverse process is developed so that the originalimage can retrieved.

The manipulation of coefficients is a very useful tool for fulfilling the fusion ofsatellite image by using the transformation wavelet Haar. The studies dealingwhit fusion of satellite image using the wavelet transformation have shownbetter spectral resolution than conventional methods. However the spectralresolution is not as good as the conventional methods.

Keywords:Transformations, wavelet, Haar, mathematic process, integral calculus,approximation, details.

1. DESCOMPOSICIÓN DE UNA IMAGEN ENCOEFICIENTE DE APROXIMACIÓN Y DETALLEUSANDO LA TRANSFORMADA DE WAVELET HAAR.

En este artículo se hace una revisión del proceso matemático de la descompo-sición en coeficientes usando la transformada wavelet Haar. La cual permitede una manera sencilla mostrar el algoritmo con base en conceptos básicos decálculo integral, indicando paso a paso como obtener los coeficientes deaproximación y detalle de primer y segundo nivel. De igual forma se mues-tran los resultados obtenidos usando el software Matlab. Además se desarro-lla el proceso inverso que permite recuperar la imagen original haciendo usode conceptos de álgebra lineal, como son los sistemas de n ecuaciones con nincógnitas.

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Estos coeficientes son necesarios para realizar la fisión de imágenes satelitales,ya que estos coeficientes son manipulados y posteriormente se realiza la fusiónde imágenes mediante la transformada wavelet. Los estudios realizados enfusión de imágenes satelitales usando las transformadas de wavelet han mos-trado que conservan mejor la riqueza espectral que los métodos convenciona-les pero que la ganancia de resolución espacial es inferior a la de los métodosconvencionales.

1.1 Concepto básico de la transformada de Wavelet Haar

La transformada de Wavelet Haar permite, a partir de los algoritmos plantea-dos a continuación, descomponer una imagen (matriz) en coeficientes deaproximación y coeficientes de detalle vertical, horizontal y diagonal usandoteoremas importante de integración que son: teorema fundamental del cálcu-lo y el teorema del valor medio para integrales.

Ecuación de dilatación Φ(t) = Φ(2t) + Φ(2t – 1) la función real Φ(t) que

cumple la ecuación Φ(t)dt = 1.

Φ(t) =1 cuando t ∈ [0, 1)

0 si t ∈U – [0, 1)

⎧⎨⎩

∞

– ∞

⌠⌡

Figura 1.1 Gráfica de la función Φ(t)

1.5

Φ(t)

1

0.5

–0.5

–1

1

t

ΦGráfica de la función Φ(t):

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la ondina correspondiente que es ψ(t) = Φ(2t – 1) llamada ondina de Haar semuestra en la siguientes gráficas:

–0.5

0.5

1

1.5

–1

1

Φ(2t)

t

Φ

Figura 1.2 Gráfica de la función Φ(2t)

1.5

1

0.5

Φ(2t – 1)

1

t

Φ

Figura 1.3 Gráfica de la función Φ(2t – 1)

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Los segmentos de línea recta dirigida se toman a partir de cada par de núme-ros en la respectiva matriz, representando gráficamente estos puntos de lasiguiente forma:

El primer número en la matriz original c11

es la ordenada que corresponde alcero en la abscisa, el segundo número c

12 corresponde a la segunda ordenada

que le corresponde al uno y es la segunda abscisa con esas dos coordenadas,podemos calcular la pendiente, y con la ecuación punto – pendiente, se puedeobtener la ecuación de la recta para calcular la integral definida, aplicando ladefinición del valor medio de una función que dice:

Si f es integrable en [a, b], entonces el valor medio de f en este intervalo se

define como f(x)dx y el primer teorema fundamental del cálculo,

que dice: Sea f una función continua en el intervalo [a, b], entonces

Figura 1.4 Gráfica de la ondina ψ(t)

c11

c12

c13

c14

c21

c22

c23

c24

c31

c32

c33

c34

c41

c42

c43

c44

Figura 1.5 Arreglo rectangular de números

1b – a

b

a⌠⌡

1.5

1

0.5

–0.5

1

ψ(t)

t

Φ

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f(x)dx = F(x)| = F(b) – F(a), donde F es cualquier función tal que

F′ (x) = f(x)para todo x en [a, b].

Este proceso se repite con cada par de números de la matriz como se indica enel siguiente ejemplo, de esta manera se obtiene los coeficientes de aproxima-ción. Para los coeficientes de detalle se hace el siguiente proceso, cuando seobtiene los dos valores de la integral se realiza lo contrario, es decir el primervalor corresponde a la ordenada al cual se le asocia el uno en abscisa y elsegundo valor en la ordenada le corresponde el cero en la abscisa, luego seaplica la ondina correspondiente ψ(t) = Φ(2t) – Φ (2t – 1).

1.2. Ejemplo de una descomposiciónde segundo nivel

Imagen original para aplicar la transformada de wavelet Haar

Matriz original

La anterior matriz representa la siguiente imagen generada en Matlab.

b

a

⌠⌡

b

a

165 151 130 0

156 156 156 156

160 169 160 147

151 156 156 156

Figura 1.6 Valores del nivel digital de la imagen digital recortada (Matiz)

Figura 1.7 Imagen digital recortada

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1.2.1. Proceso para calcular los coeficientes de aproximación.

Se obtienen las respectivas pendientes, tomando los números en sentido ho-rizontal siguiendo de las flechas, generando así las ecuaciones para luegointegrar.

Ahora con los valores obtenidos 154 y 57 tenemos, la integral la multiplica-mos por dos:

165 151

156 156

�

�

� �

Figura 1.8 Representación gráfica de las funciones y1 y y2

300

200

100

y

1 2 3

Gráficas de las dos

ecuaciones y1, y

2

210

156158 −=−−=M 1582 +−= xy

1

2 (–2x + 158)dx = 3140

⌠⌡

= 0156 – 156

M2 =

2 – 3

y1 = –14x + 165

165 – 151M

1 =

0 – 1= –14

y2 = 156

(156)dx = 1562

⌠⌡

3(–14x + 165)dx = 1581

0

⌠⌡

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Siguiendo el mismo proceso obtenemos el siguiente coeficiente de aproxima-ción de segundo nivel 581.25:

1.2.2. Proceso para calcular los coeficientes de detalle vertical.

Hallamos las respectivas pendientes tomando los números en sentido de lasflechas, para generar las ecuaciones y luego integrar.

1 2

150

100

50

y

Figura 1.9 Representación gráfica de la función y = –2x + 158

314 221

318 309.5

�

�

581.25

165 151

156 156

� �

y2 = 5x + 141= 5

151 – 156M

2 =

2 – 3

y1 = –9x + 165

165 – 156M

1 =

0 – 1= –9

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Construimos la siguiente función a partir de los valores obtenidos, hallandola pendiente para generar la ecuación de la recta, luego se escala y se trasladapara generar la función ψ(x) que permite hallar los coeficientes de detallevertical.

f(2x) = 7(2x) + 153.5f(2x – 1) = 7(2x – 1) + 153.5

ψ(x) = f(2x) – f(2x – 1), entonces, ψ(x) = 14x + 153.5 – 14x + 7 – 153.5 = 7

Siguiendo el mismo proceso obtenemos el siguiente coeficiente de detalle ver-tical de primer nivel:

Figura 1.11 Representación gráfica de la función 7x + 153.5

150

100

50

1

y


1 3

50

100

150

y Gráficas de las dosecuaciones y

1, y

2

3(–9x + 165)dx = 160.5

1

0

⌠⌡ (5x +141)dx = 153.5

2

⌠⌡

f(x)= 7x + 153.5160.5 – 153.5

M =

1 – 0= 7

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Siguiendo el mismo proceso obtenemos el siguiente coeficiente de aproxima-ción de segundo nivel:

1.2.3. Proceso para calcular los coeficientes de detalle horizontal.

Hallamos las respectivas pendientes, tomando los números en sentido de lasflechas, para generar las ecuaciones para luego integrar.

Construimos la siguiente función a partir de los valores obtenidos, hallando lapendiente para generar la ecuación de la recta, luego se escala y se traslada paragenerar la función ψ(x)que permite hallar los coeficientes de detalle horizontales.

Gráficas de las dos

ecuaciones y1, y

2

2 3

50

100

150

y

(156)dx = 1562

⌠⌡

3(–14x + 165)dx = 158

1

0

⌠⌡

7 65

–7 6.5

� �

50.75

165 151

156 156�

�

y1 = –14x + 165

165 – 151M

1=

0 – 1= –14

y2 = 156

156 – 156M

2=

2 – 3= 0


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f(2x) = 2(2x) + 156f(2x – 1) = 2(2x – 1) + 156ψ(x) = f(2x) – f(2x – 1), entonces, ψ(x) = 4x + 156 – 4x + 2 – 156 = 2

Siguiendo el mismo proceso obtenemos el siguiente coeficiente de detalle hori-zontal de primer nivel:


1.2.4. Proceso para calcular los coeficientes de detalle diagonal.

Hallamos las respectivas pendientes, tomando los números en sentido de lasflechas, para generar las ecuaciones para luego integrar.

Figura 1.13 Representación gráfica de la función y = 2x +156

1

50

100

150

y

f(x) = 2x + 156158 – 156

M =

1 – 0= 2

2 –91

11 –2.5

�

�

–46.25

165 151

156 156

�

�

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Construimos la siguiente función a partir de los valores obtenidos, hallandola pendiente para generar la ecuación de la recta, luego se escala y se trasladapara generar la función ψ(x) que permite hallar los coeficientes de detallediagonales.


Gráficas de las dosecuaciones y

1, y

2

50

1 2 3

y

100

150

y1 = –9x + 165

165 – 156M

1=

0 – 1= –9

y2 = –5x +166

156 – 151M

2=

2 – 3= –5

(–5x + 166)dx =153.52

⌠⌡

3(–9x + 165) = 160.5

1

0

⌠⌡

Figura 1.15 Representación gráfica de la función y = 7x +153.5

150

100

50

y

1

f(x) = 7x + 153.5160.5 – 153.5

M =

1 – 0= 7

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f(2x) = 7(2x) + 153.5f(2x – 1) = 7(2x – 1) + 153.5ψ(x) = f(2x) – f(2x – 1), entonces, ψ(x) = 14x + 153.5 – 14x + 7 – 153.5 = 7

Siguiendo el mismo proceso obtenemos el siguiente coeficiente de detalle dia-gonal de primer nivel:


1.3 Transformación inversa Wavelet de Haar de una imagen

Transformada inversa de wavelet Haar aplicada a los coeficientes obtenidos enel anterior proceso

IMAGEN ORIGINAL

c11

= 165, c12

= 151, c21

= 156, y c22

= 156

Coeficiente de aproximación y detalle de primer nivel

Coeficiente de aproximación y detalle de segundo nivel

165 151 30 0

156 156 156 156

160 169 160 147

151 156 156 156

314 221 2 -91

318 309.5 11 -2.5

7 65 7 65

-7 6.5 -2 6.5

7 65

–2 6.5

�

�

42.25

581.25 –46.25

50.75 42.25

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a11

= 581.25, a12

= –46.25, a21

= 50.75, y a22

= 42.25

De los valores de la matriz dada b11

, b12

, b21

, b22

, que son los siguientes:

y de coeficientes primer nivel de descomposición se tiene:

Aproximación d11

= 314, Horizontal d13

= 2, Vertical d31

= 7 y Diagonal d33

= 7de la matriz de coeficientes la cual es:

Se tiene las siguientes ecuaciones, que permiten determinar los elementos de lamatriz original valores ya conocidos dado que son de la imagen generada deforma arbitrariamente:A + V + H + D = c

11

2c11

+ 2c12

+ 2c21

+ 2c22

= 1256 A2c

11– 2c

12+ 2c

21 – 2c

22= 28 V

b11

= 314 b12

= 221 b21

= 318 b22

= 309.5

= 314 = A = b11

2a11

+ 2a12

+ 2a21

+ 2a22

4

= 221 = H = b12

2a11

+ 2a12

– 2a21

– 2a22

4

= 318 = V = b21

2a11

– 2a12

+ 2a21

– 2a22

4

= 309.5 = D = b22

2a11

– 2a12

+ 2a21

– 2a22

4

314 2

7 7

A =2c

11 + 2c

12 + 2c

21 + 2c

22

4= 314

H =2c

11 + 2c

12 – 2c

21 – 2c

22

4= 2,

= 7V =2c

11 – 2c

12 + 2c

21 – 2c

22

4= 7 y D =

2c11

– 2c12

– 2c21

+ 2c22

4

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2c11

+ 2c12

– 2c21

– 2c22

= 8 H2c

11– 2c

12– 2c

21+ 2c

22= 28 D

Sumando las cuatro ecuaciones se tiene: 8c11

= 1320 por lo tanto c11

= 165

Como c11

= 165 entonces,A + H = 4c

12

4c12

= 1264 – 4c11

4c12

= 1264 – 660c

12 = 151

A + V = 4c11

4c21

= 1284 – 4c11

c21

= 156

A + D = 4c22

– 4c11

4c22

= 1284 – 660c

22 = 156

2. EJEMPLO DE LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA IMAGEN ENCOEFICIENTES DE DETALLE Y APROXIMACIÓN MEDIANTELA TRANSFORMADA DE WAVELET HAAR USANDO MATLAB.

Pancromática IRS-IC, de 5.8 y remuestrada a 5 metros de resolución espacial,del 6 de marzo de 2001, Ancho 3141, Largo 2094 y área 1644313.5 Km2.

Figura 1.16 Imagen Pancromática Yopal

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Primer nivel de descomposición de los Coeficientes de aproximacióncA1 = 314.0000 221.0000 318.0000 309.5000

Primer nivel de descomposición de los Coeficientes de detalle horizontalcH1 = 2.0000 -91.0000 11.0000 -2.5000

Primer nivel de descomposición de los Coeficientes de detalle verticalcV1 = 7.0000 65.0000 -7.0000 6.5000

Primer nivel de descomposición de los Coeficientes de detalle diagonalcD1 = 7.0000 65.0000 -2.0000 6.5000

Figura 1.16 Imagen original pancromática de Yopal.

Figura 1.17 Representación de los niveles digitales de la imagen original (Matriz)

0 165 151 130 01 156 156 156 1562 160 169 160 1473 151 156 156 156

Row 0 1 2 3

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Segundo nivel de descomposición de los Coeficientes de aproximación

cA2 =581.2500

Segundo nivel de descomposición de los Coeficientes de detalle horizontal

cH2 = -46.2500

Segundo nivel de descomposición de los Coeficientes de detalle vertical

cV2 = 50.7500

Segundo nivel de descomposición de los Coeficientes de detalle diagonal

cD2 = 42.2500

2.1 Representación de los coeficientes de aproximacióny detalle de segundo nivel usando la transformadade Wavelet Haar.

Figura 1.18 Representación gráfica de los coeficientes de aproximacióny detalle de segundo nivel usando la Transformada de Wavelet Haar

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