Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente ......La carga permanece en reposo en el segmento que las une y a 2 m de la de 1 μC. b) La energía potencial asociada a esa

PAU Campo Eléctrico Ejercicios resueltos – 1994 - 2009 1

PAU CyL J1994 Gauss globo cargado que se hincha, campo dentro y fuera

Supón que disponemos de un globo esférico, que se encuentra cargado uniformemente en su

superficie. Razona cómo variará el campo electrostático, al ir hinchando el globo, para

puntos: a) Del interior, b) De la superficie, c) Del exterior.

Según la ley de Gauss Según la ley de Gauss el flujo de un campo eléctrico a través de una

superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie:

eriorintE

QSd·E

Si la carga eléctrica está uniformemente distribuida por la superficie del globo, el vector campo

eléctrico es perpendicular a dicha superficie y su módulo es constante en todos los puntos de dicha

superficie y paralelo al vector superficie.

Aplicando la ley de Gauss a una esfera de radio r, se tiene:

eriorint2

SSE

Qr··4·EdSESd·E

Para puntos del interior del globo el campo eléctrico es igual a cero ya que la carga encerrada es

igual a cero.

Para puntos del exterior o de su superficie, el globo se comporta como si toda la carga estuviera en

su centro.

21

21

r

Q

··4

1E

Qr··4·E

Siempre que un punto esté en el exterior del globo, independientemente del tamaño de éste, el

campo eléctrico tiene un valor que depende de su distancia al centro del globo. Al hincharse el

globo los puntos del exterior pasan de tener un cierto valor del campo eléctrico a tener valor igual a

cero, según penetran dentro de la superficie que delimita el globo.

PAU CyL J1994 Campo y potencial en un punto y trabajo trasladar carga positiva

Una carga puntual de 10 -9

C está situada en el origen de coordenadas de un sistema

cartesiano y en el vacío. Otra carga, puntual, de - 20 10 -9

C está situada en el eje Y a 3 m del

origen. Calcula:

a) El valor del potencial eléctrico en un punto A situado en el eje X a 4 m del origen.

b) El campo eléctrico en dicho punto. Haz un esquema.

c) El trabajo realizado para llevar una carga puntual de 1 C desde el punto A hasta otro

punto B de coordenadas (4, 3).

b) Una carga puntual genera un campo eléctrico en un

punto del espacio de módulo2r

|q|KE , de dirección la

recta que une la carga con el punto y de sentido

alejándose de la carga si es positiva y hacia ella si es

negativa.

La expresión vectorial del campo que crea la carga +q1

en el punto A es:

C

Ni

16

9i

)m4(

C10

C

m·N10·9E

2

9

2

29

1

El módulo del campo eléctrico que genera la carga – q2 en el punto A es:

C

N36

)m3()m4(

C10·20

C

m·N10·9E

22

9

2

29

2

x

y

O

+q1

-q2 B(4, 3)

E1

E2

P(0, 3)

A(4, 0)

E x2

E y2


Del diagrama se deduce que sus componentes cartesianas son:

;C

Nj

5

108

C

Nj

5

336jsen·EE;

C

Ni

5

144

C

Ni

5

436)i(cos·EE 2y22x2

Aplicando el principio de superposición, el campo total tiene de componentes:

C

Nj·6,21EE;

C

Ni·24,28

C

Ni

5

144

C

Ni·

16

9EEE y2yx21x

Por tanto, la expresión vectorial del campo eléctrico en el punto A es:

C

Nj·6,21i·24,28EEE yxA

a) y c) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, el trabajo que realizan las fuerzas del campo

para trasladar una carga es igual a la variación de la energía potencial eléctrica asociadas a las dos

distribuciones de las cargas cambiada de signo. Para determinar ese trabajo se calcula el potencial

eléctrico en los puntos A y B en ausencia de la carga que se traslada y posteriormente la variación

de la energía potencial.

WA→B = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VB – VA)

El potencial eléctrico en un punto es iguala a la suma de los potenciales eléctricos que crean cada

una de las cargas.

V2,42m4

C10·20

m5

C10

C

m·N10·9

r

q·K

r

q·KVVV

V75,35m5

C10·20

m4

C10

C

m·N10·9

r

q·K

r

q·KVVV

99

2

29

B2

2

B1

1B2B1B

99

2

29

A2

2

A1

1A2A1A

El trabajo que se intercambia en el proceso es:

WA→B = - q · (VB – VA) = - 1 C · (- 42,2 V - (- 35,75 V) = 6,45 J

El proceso es espontáneo, las fuerzas del campo eléctrico realizan un trabajo para trasladar a la

carga de signo negativo desde el punto A hasta el B a costa de disminuir la energía potencial

eléctrica de la distribución final respecto de la inicial.

PAU CyL S1994 Campo y potencial en un punto y trabajo trasladar carga positiva

Sean tres cargas en el vacío situadas en los siguientes puntos: Qa = + 100 nC en A (0, 4); Qb = -

0,3 μC en B (0, 0) y Qc = + 300 nC en C (3, 0). Calcular en el punto D (5, 0):

a) El vector intensidad de campo en el S.I.

b) El potencial eléctrico en voltios.

c) Calcula el trabajo que costaría mover Qa desde A a D.

a) Una carga puntual genera un campo eléctrico en un punto del espacio de módulo2r

|q|KE , de

dirección la recta que une la carga con el punto y de

sentido alejándose de la carga si es positiva y hacia ella si

es negativa.

Las expresiones vectoriales de los campos que crean las

cargas – QB y +QC en el punto D son:

C

Ni·108)i(

)m5(

C10·3,0

C

m·N10·9E

2

6

2

29

B

C

Ni·675i

)m2(

C10·300

C

m·N10·9E

2

9

2

29

C

EC

EA

EAx

EA y

+QA

B(0, 0)

A(0, 4)

-QB

C(3, 0)

+QC

D(5, 0)

EB


El módulo del campo eléctrico que genera la carga +QA en el punto D es:

C

N

41

900

)m4()m5(

C10·100

C

m·N10·9E

22

9

2

29

A

Del diagrama se deduce que sus componentes cartesianas son:

C

Nj·71,13

C

Nj

41

4

41

900j·sen·EE;

C

Ni·14,17

C

Ni

41

5

41

900)i(cos·EE AAyAAx

Aplicando el principio de superposición, el campo total tiene de componentes:

C

Nj·71,13EE;

C

Ni·86,549

C

Ni·675

C

Ni·108

C

Ni·14,17EEEE AyyCBAxx

La expresión vectorial del campo eléctrico en el punto A es:

C

Nj·71,13i·86,549EEE yxD

b) El potencial eléctrico en un punto es iguala a la suma de los potenciales eléctricos que crean cada

una de las cargas.

V6,950m2

C10·300

m5

C10·3,0

m41

C10·100

C

m·N10·9

r

Q·K

r

Q·K

r

Q·KV

969

2

29

CD

C

BD

B

AD

AD

c) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, el trabajo que realizan las fuerzas del campo para

trasladar una carga es igual a la variación de la energía potencial eléctrica asociadas a las dos


eléctrico en los puntos A y D EN AUSENCIA (CUIDADO) de la carga que se traslada y

posteriormente la variación de la energía potencial.

WA→D = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VD – VA)


una de las cargas.

V810m2

C10·300

m5

C10·3,0

C

m·N10·9

r

Q·K

r

Q·KVVV

V135)m3()m4(

C10·300

m4

C10·3,0

C

m·N10·9

r

Q·K

r

Q·KVVV

96

2

29

CD

C

BD

BCDBDD

22

96

2

29

CA

C

BA

BCABAA


WA→D = - QA · (VD – VA) = - 100 · 10-9

C · (810 V - (- 135 V) = - 9,45 · 10-5

J

El proceso no es espontáneo, un agente externo tiene que realizar un trabajo para trasladar la carga

positiva +QA desde el punto A hasta el punto D que se almacena en forma de energía potencial

eléctrica, siendo la energía potencial eléctrica de la distribución final mayor que la energía potencial

eléctrica de la distribución inicial.

PAU CyL S1995 Campo nulo, energía potencial y desplazar de equilibrio

Dos cargas de + 1 μC y + 4 μC están fijas en sendos puntos que distan 6 cm. Calcula:

a) Dónde podría dejarse libremente una carga de + 3 μC para que permaneciera en reposo.

b) La energía potencial de esa carga.

Si se desplaza la carga de + 3 μC perpendicularmente a la línea que une a las otras dos,

c) )Volverá a la posición de equilibrio? Dibuja las fuerzas que actúan.


a) La carga de + 3 μC permanece en reposo en aquellos puntos en los que el campo sea nulo. Como

las dos cargas fijas tienen el mismo signo, el campo eléctrico es nulo en algún punto situado en el

segmento que une las cargas.

Supongamos que este punto P está situado a una distancia x de

la carga q1 = + 1 μC. En este punto los módulos de los

campos eléctricos creados por cada una de las cargas fijas son

iguales.

E1 = E2; )x - (6

C 4 =

x

C 1 ;

r

qK =

r

qK

2222

221

1

Operando: 6 - x = 2 x x = 2 m

La carga permanece en reposo en el segmento que las une y a 2 m de la de 1 μC.

b) La energía potencial asociada a esa carga es, la suma de las energías potenciales asociadas a la

presencia de cada una de las otras dos cargas.

Ep = Ep1 + Ep2 = = r

q qK +

r

q qK =

2

32

1

31

J 10 · 40,5 = m 4

C 10 · 4 +

m 2

C 10 · 1 C 10 · 3 ·

C

m N 10 · 9 = 3 -

6 -6 -6 -

2

29

c) Al desplazar la carga perpendicularmente a la posición de

equilibrio, actúa una fuerza sobre la carga que tiende a alejarla

de la posición de las otras dos.

Para conocer su módulo, dirección y sentido, habría que

calcular las componentes de cada una de las fuerzas y

sumarlas vectorialmente.

El dibujo es simplemente esquemático.

PAU CyL S1997 Campo y potencial en un punto y trabajo trasladar carga negativa

Una carga positiva, q1 = 8 10 - 9

C, está fija en el origen de coordenadas, mientras que otra

carga, q2 = - 10 - 9

C, se halla, también fija, en el punto (3, 0), estando todas las coordenadas

expresadas en m. Determine:

a) Campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto A (4, 0).

b) Trabajo que las fuerzas del campo realizan para desplazar una carga puntual q = - 2 10 - 9

C, desde A hasta el punto B (0, 4). Comente el resultado que obtenga.

Nota: Es imprescindible la confección de esquemas o diagramas.

a) Una carga puntual genera un campo eléctrico en un punto

del espacio de módulo2r

|q|KE , de dirección la recta que une

la carga con el punto y de sentido alejándose de la carga si es

positiva y hacia ella si es negativa.

La expresión vectorial de los campos que crean cada una de

las cargas eléctricas en el punto A son:

C

Ni9)i(

)m1(

C10

C

m·N10·9E;

C

Ni5,4i

)m4(

C10·8

C

m·N10·9E

2

9

2

29

22

9

2

29

1

x

y

O

+q1 -q2

P(3, 0)

A(4, 0)

E1

E2

B(0, 4)

d

q2q1

d

E1E2

x

q2q1

F1F2

F


Aplicando el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los dos campos.

C/Ni·5,4C/Ni·9C/Ni·5,4EEE 21total

b) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, el trabajo que realizan las fuerzas del campo para

trasladar una carga es igual a la variación de la energía potencial eléctrica asociadas a las dos


eléctrico en los puntos A y B en ausencia de la carga que se traslada y posteriormente la variación

de la energía potencial.

WA→B = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VB – VA)


una de las cargas.

V9m1

C10

m4

C10·8

C

m·N10·9

r

q·K

r

q·KVVV

99

2

29

A2

2

A1

1A2A1A

V2,7)m4()m3(

C10

m4

C10·8

C

m·N10·9

r

q·K

r

q·KVVV

22

99

2

29

B2

2

B1

1B2B1B


WA→B = - q · (VB – VA) = - (- 2 · 10-9

C) · (7,2 V – 9 V) = -3,6 · 10-9

J

El proceso no es espontáneo, un agente externo realiza un trabajo para trasladar a la carga de signo

negativo desde el punto A hasta el B que se almacena en forma de energía potencial eléctrica.

PAU CyL J2001 Materia no neutra

Supongamos por un momento que la materia no fuera eléctricamente neutra, sino que tuviera

una carga neta diferente de cero debido a que la carga de los protones no fuera igual a la de

los electrones.

a) )Qué carga deberían tener la Tierra y la Luna para que la repulsión electrostática igualara

la atracción gravitatoria entre ambas? Considerar que estas cargas están en la misma relación

que sus masas. ( 1,5 puntos)

b) Si admitimos que la masa de los electrones es mucho menor que la de los protones y

neutrones )cuál debería ser la diferencia entre la carga del protón y la del electrón para

producir el valor de las cargas del apartado anterior ? ( 1,5 puntos)

Datos: masa de la Luna = 7,35 1022 kg,

masa del protón = masa de neutrón = 1,67 10-27 kg

a) Igualando los módulos de la fuerza gravitatoria y de la fuerza electrostática, se tiene:

q · q ·K = m · m · G r

q · q ·K =

r

m · m · GLTLT2

LT2

LT

Por otro lado, se indica que las cargas eléctricas están en la misma relación que las masas:

q m

m = q

q

q =

m

mL

L

TT

L

T

L

T

Sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: m K

G = q q

m

mK = m · m · G LL

2L

L

TLT

Sustituyendo: kg 10 · 7,35 C/m · N 10 · 9

kg/m · N 10 · 6,67 = q 22

229

2211-

L = 6,32 1012

C

Y la carga de la Tierra: C 10 · 5,14 = C 10 · 6,32 kg 10 · 7,35

kg 10 · 5,98 = q

m

m = q 1412

22

24

LL

TT


b) La masa de los electrones se dice que se desprecie y como la masa de un protón es igual a la de

un neutrón, se tiene que el número de protones y de neutrones de la Tierra y de la Luna son:

protones y neutrones 10 · 3,58 = kg 10 · 1,67

kg 10 · 5,98 =

m

m = n

5127-

24

p

TT

protones y neutrones 10 · 4,40 = kg 10 · 1,67

kg 10 · 7,35 =

m

m = n

4927-

22

p

LL

Ahora nos falta el dato de la relación entre la cantidad de protones y neutrones. Supongamos que el

número de protones es igual al número de neutrones. Algo que no es cierto, ya que hay más

neutrones que protones en un objeto, basta comparar los números másicos y atómicos de los

elementos químicos. En el supuesto de que la cantidad de protones es igual a la de neutrones, y

como en la materia el número de protones es iguala al de electrones, se tiene que la cantidad de

protones y de electrones en la Tierra y en la Luna son:

p+

Tierra = protones 10 · 1,79 = 2

10 · 3,58 51

51

; p+

Luna = protones 10 · 2,20 = 2

10 · 4,40 49

49

Llamando Δq a la diferencia de carga entre un protón y un electrón se tiene que tanto para la Tierra

como para la Luna se cumple que:

nprotones Δq = qT ; 1,79 1051

Δq = 5,14 1014

C Δq = 2,87 10-37

C/partícula

nprotones Δq = qL ; 2,20 1049

Δq = 6,32 1012

C Δq = 2,87 10-37

C/partícula

Independientemente de cual sea mayor. El efecto es el mismo tanto si es mayor la carga del protón

que la del electrón, como al revés.

PAU CyL S2001 Campo nulo entre dos cargas y potencial

Una carga puntual de valor nq se coloca en el origen de coordenadas, mientras que otra carga

de valor -q se coloca sobre el eje X a una distancia d del origen.

a) Calcular las coordenadas del punto donde el campo eléctrico es nulo si n = 4. )Cuánto

valdrá el potencial electrostático en ese punto? (1, 5 puntos)

b) Calcular las coordenadas del punto donde el campo eléctrico es nulo si n = 1/4. )Cuánto

valdrá el potencial electrostático en ese punto? (1, 5 puntos)

En la zona del eje X situada entre las cargas el

campo eléctrico debido a cada una de ellas tiene la

misma dirección y sentido, luego aquí no se puede

anular el campo eléctrico.

En el resto de los puntos del eje X los dos campos eléctricos tienen la misma dirección y sentidos

opuestos. Si la carga situada en el origen es mayor que el valor absoluto de la otra carga entonces el

campo se anula en un punto de coordenada x > d. Si la carga situada en el origen es menor que el

valor absoluto de la carga negativa entonces el campo eléctrico se anula en el punto de coordenada

x < 0.

Sea x la coordenada del punto en el que se anula el campo eléctrico. Este punto está situado a una

distancia x del origen de coordenadas y a una distancia x - d de la carga negativa. En este punto los

módulos de los campos generados por cada una de las cargas son iguales.

E+ = E-; x = )d - (x · n )d - (x

q ·K =

x

nq ·K 22

22

a) Si n = 4, entonces: 2 (x - d) = x x = 2 d, el punto A está situado a una distancia 2 d hacia la

parte positiva del eje X.

+nq -q

d

E+E+ E-E-

B AOxx

E-

E+


Aplicando la definición de potencial electrostático, se tiene que:

VA = VA + + VA - = d

q ·K =

d

q) (- ·K +

d · 2

q · 4 ·K

b) Si n = 3, entonces: 2 (x - d) = x x = - d, el punto B está situado a una distancia d hacia la

parte negativa del eje X.

Y el potencial electrostático en el punto B es: VB = VB + + VB - = d · 4

q ·K - =

d · 2

q) (- ·K +

d

q · ¼ ·K

PAU CyL J2003 Fuerzas y trabajo trasladar cargas en vértices de triángulo

Se tienen tres cargas situadas cada una de ellas en tres de los

vértices de un cuadrado de 8 m de lado tal como indica la

figura.

Calcule:

a) La fuerza resultante (módulo, dirección y sentido) que se

ejerce sobre la carga situada en el vértice A.

b) El trabajo necesario para trasladar la carga situada en el

vértice A hasta el punto B. Interprete el signo obtenido.

Nota: resulta imprescindible incluir los diagramas y esquemas

oportunos.

En primer lugar se calcula el campo eléctrico que crean

en el punto A las cargas q2 y q3, para posteriormente

calcular la fuerza que actúa sobre cualquier carga

colocada en ese lugar.

Se elige un sistema de referencia con el eje X

conteniendo al segmento que une las cargas q2 y q3 y el

eje Y conteniendo al segmento que une la carga q2 con

el punto A.

Calculo del módulo del campo eléctrico que genera la

carga q2 en el punto A.

2

6229

22

22

)m8(

C10·4·C/m·N10·9

r

|q|·KE

C/N10·625,5 2

Vectorialmente: C/Nj·10·625,5E 22

Calculo del módulo del campo eléctrico que genera la carga q3 en el punto A.

C/N10·109,2

)m8()m8(

C10·3·C/m·N10·9

r

|q|·KE 2

222

6229

22

33

Las componentes de este campo eléctrico en el sistema de referencia elegido son:

E3x = E3 · sen φ = 2,109 · 102 N/C · 22 )m8()m8(

m8 = 1,491 · 102 N/C

E3y = E3 · cos φ = 2,109 · 102 N/C · 22 )m8()m8(

m8 = 1,491 · 102 N/C

Cuyas expresiones vectoriales son: C/Nj·10·491,1i·10·491,1E 223

q1 = + 1 µCA B

q2 = - 4 µC

q3 = + 3 µC8 m

8 m

AB

q2 = - 4 µC

q3 = + 3 µC8 m

8 mE2

E3

E x3

E y3


Aplicando el principio de superposición el campo total es la suma vectorial de todos los campos.

C/Nj·10·134,4i·10·491,1

C/Nj·10·491,1i·10·491,1C/Nj·10·625,5EEE

22

22232A

La fuerza que actúa sobre la carga q1 colocada en A es:

Nj·10·134,4i·10·491,1C/Nj·10·134,4i·10·491,1·C10·1E·qF 44226AA

El trabajo para trasladar la carga q1 desde el punto A hasta el B es igual a la variación de la energía

potencial eléctrica asociada a las dos distribuciones cambiada de signo. Para determinar ese trabajo

se calcula al potencial eléctrico en los puntos A y B en ausencia de la carga q1 y posteriormente la

variación de la energía potencial.

El potencial eléctrico en el punto es igual a la suma de los potenciales eléctricos que crean en ese

punto cada una de las vargas. Los potenciales eléctricos en los puntos A y B debidos a las cargas

eléctricas q2 y q3 son:

VA = 22

66229

3A

3

2A

2

)m8()m8(

C10·3

m8

)C10·4(C/m·N10·9

r

q·K

r

q·K= - 2,113 · 10

3 V

VB = m8

C10·3

)m8()m8(

)C10·4(C/m·N10·9

r

q·K

r

q·K 6

22

6229

3B

3

2B

2 = 1,930 · 102 V

Aplicando la ley de la energía potencial:

WA→B = - ΔEp = - q · ΔV = - q · (VB - VA) = - 1·10-6

C·(1,93·102 V - (- 2,113·10

3 V)) = - 2,306·10

-3 J

El proceso no es espontáneo, un agente externo realiza un trabajo para trasladar la carga eléctrica q1

desde el punto A hasta el B, que se emplea en aumentar la energía potencial de la distribución final

respecto de la inicial.

PAU CyL S2003 Esferas cargadas engarzadas en plano inclinado

Tres pequeñas esferas metálicas provistas de un orificio central se engarzan en un hilo de

fibra aislante. Las dos esferas de los extremos se fijan a la

fibra separadas una distancia d = 50 cm, mientras que la

intermedia puede desplazarse libremente entre ambas a lo

largo del hilo. La masa de dichas esferas es m = 30 g y se

cargan con la misma carga q = 1 μC.

a) Calcule la posición de equilibrio de la esfera intermedia

en el caso de que la fibra se coloque horizontalmente.

b) Si colocamos ahora el hilo de manera que forme un

cierto ángulo α > 0 con la horizontal se observa que la

esfera intermedia se coloca a una distancia d/3 de la inferior tal como indica la figura. Calcule

el valor del ángulo α.

Si la fibra está horizontal la esfera intermedia está

en equilibrio cuando se coloque a la misma

distancia de las otras dos, es decir, cuando está

situada en el punto medio del segmento que une a

las dos esferas de los extremos.

Como las bolitas tienen cargas del mismo signo, se

repelen unas de las otras. Sobre la bolita intermedia

actúa: su peso P

, la fuerza normal con que actúa la

fibra N

, la fuerza 1F

con que le repele la carga

d

q

q

q

d/3 Esferadeslizante

P

N

Px

Py

F1

F2


inferior y la fuerza 2F

con que lo hace la bola superior. En estas condiciones la bolita está en

equilibrio.

Se elige un sistema de referencia con el eje X paralelo a la dirección del hilo y el eje Y la

perpendicular a dicho hilo. Descomponiendo el peso en componentes y aplicando las condiciones

de equilibrio, resulta que:

0PFF;0F x21x

; F1 = F2 + Px;

Aplicando la ley de Coulomb: sen·g·m)3/d2(

|q|·K

)3/d(

|q|·K2

2

2

2

Operando: g·m·d·4

|q|·K·27sensen·g·m

4

11

d

|q|·K·92

2

2

2

Sustituyendo: 232

26229

s/m8,9·kg10·30·)m5,0(·4

)C10·1(·C/m·N10·9·27senarc 55,74º

PAU CyL MF2004 ¿Carga eléctrica si flujo cero?

Si el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero, )pueden existir

cargas eléctricas en el interior de dicha superficie? Razone la respuesta.

Según la ley de Gauss el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es

proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie: eriorintE

QSd·E

Por tanto, dentro de la superficie pueden existir cargas eléctricas, pero de suma de las positivas y de

las negativas tiene que ser igual a cero.

PAU CyL S2004 Dos bolitas cargadas que cuelgan del mismo punto

En los extremos de dos hilos de peso despreciable y longitud l = 1 m

están sujetas dos pequeñas esferas de masa m = 10 g y carga q. Los

hilos forman un ángulo de 30º con la vertical.

a) Dibuje el diagrama de las fuerzas que actúan sobre las esferas y

determine el valor de la carga q.

b) Si se duplica el valor de las cargas, pasando a valer 2q, ¿qué

valor deben tener las masas para que no se modifique el ángulo de

equilibrio de 30º?

Sobre cada una de las bolas actúan su peso, la tensión del hilo y

la fuerza eléctrica. Aplicando la condición de equilibrio de

traslación se tiene que:

g·mcos·T

r

|q|·|q|·Ksen·T

;PT

FT;0FΣ 2

y

eléctricax

Dividiendo: K

tag · g · m · r q

r · g · m

q·K tag

2

2

Si la longitud del hilo es l y como cada bola se separa de la vertical un ángulo φ, la distancia entre

ellas es: r = 2 · l · sen φ. Sustituyendo:

q = 2 · 1 m · sen 30º · 229

2-3

/Cm · N 10 · 9

30º tag · m/s 9,8 · kg 10 · 10= 2,5 · 10-6 C

Las dos cargas tienen el mismo signo, positivo o negativo.

O

q, m q, m

30º

qq

r

Tx

Ty

Fe

P


Utilizando la ecuación de la tangente del ángulo en la situación inicial y en la modificada que se

denota como prima y como la distancia entre las cargas es la misma en los dos casos, resulta que:

22

2

2

2

2

2

2

q' · m q · m' q' · m

m' ·q 1

r · g · m'

q'·K tag

r · g · m

q·K tag

Por tanto: m’ · q2 = m · (2 · q)

2 m’ = 4 · m

Las masas de las partículas se deben multiplicar por cuatro.

PAU CyL J2005 cuestión flujo Gauss carga dentro y fuerza de un cubo

Enuncie el teorema de Gauss para el campo eléctrico (0,5 puntos).

Aplicando dicho teorema obtenga razonadamente el flujo del campo eléctrico sobre la

superficie de un cubo de lado a en los siguientes casos:

a) Una carga q se coloca en el centro del cubo (0,5 puntos).

b) La misma carga q se coloca en un punto diferente del centro pero dentro del cubo (0,5

puntos).

c) La misma carga q se coloca en un punto fuera del cubo (0,5 puntos).

La ley de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es

proporcional a la carga encerrada en dicha superficie.

eriorintE

QSd·E

Un cubo es una superficie cerrada y el flujo del campo eléctrico a través de sus caras no depende

del lugar en el que se sitúen las cargas en su interior. Por tanto, en los casos a y b el flujo del campo

eléctrico que atraviesa la superficie del cubo es el mismo. q

E

En el caso c el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie del cubo es igual a cero, ya que

la carga está situada en el exterior. Todas las mismas líneas de campo eléctrico que penetran en la

superficie del cubo salen de ella.

0E

PAU CyL S2005 flujo Gauss campo no uniforme a través de cilindro y carga interior

Las componentes del campo eléctrico que existe en la zona del

espacio representada en la figura, son: Ex=0; Ey = by; EZ = 0;

donde y viene expresado en metros. Calcule:

a) El flujo del campo eléctrico que atraviesa el cilindro de

longitud a y radio de la base r (2 puntos).

b) La carga en el interior del cilindro 1 punto).

Datos: b = 1 NC-1

m-1

; a = 1 m; r = 0,5 m.

a) Se define flujo de un campo eléctrico a través de una

superficie como: SS

E cos·dS·ESd·E

Como el campo eléctrico no es uniforme se divide la

superficie del cilindro en superficies elementales, de forma

que el campo eléctrico sea uniforme en cada elemento de

superficie.

ax

z

y

a

r

Sbase1

E2

E1

Slateral

Sbase2


El campo eléctrico es constante en dirección y sentido, los del eje Y, y su módulo aumenta con el

valor de y, de forma que es constante en todos los puntos de los planos perpendiculares al eje Y, es

decir, es decir, es constante en los puntos de los planos paralelos al plano XZ. El módulo del campo

eléctrico aumenta a lo largo del eje Y.

Todos los puntos de la base 1 tienen el mismo valor del campo eléctrico, lo mismo que todos los

puntos de la base 2. Las expresiones de los campos eléctricos en esas bases que están contenidas en

los planos distan a y 2 · a del origen son:

j·a·b·2j·a·2·bj·y·bE;j·a·bj·y·bE 21

Como el campo eléctrico es uniforme en cada una de las bases, la superficie del cilindro se divide

en la superficie de las bases y la superficie lateral:

Scilindro = Sbase1 + Sbase2 + Slateral

Las líneas del campo eléctrico penetran por la superficie de la base1, salen por la superficie de la

base2 y no hay ninguna que atraviese la superficie lateral. Los vectores superficie S

tienen por

módulo el área de la superficie, de dirección perpendicular a la misma y su sentido es hacia el

exterior del cilindro.

Las expresiones vectoriales de las superficies de las bases son: j·r·S);j(·r·S 22base

21base

El flujo del campo eléctrico es igual a la suma de los flujos que atraviesan cada una de las

superficies y como el campo es uniforme en cada superficie:

ΦE = Φbase1 + Φbase2 + Φlateral = lateral2base21base1 S·ES·ES·E

= b · a · π · r2 · cos 180º + 2 · b · a · π · r

2 · cos 180º + E · Slateral · cos 90º =

= - b · a · π · r2 + 2 · b · a · π · r

2 = π · a · b · r

2

Sustituyendo: ΦE = π · 1 m · 1 N · C-1

· m-1

· (0,5 m)2 = 0,25 · π

C

m·N 2

b) La ley de Gauss indica que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es

proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie.

·QQ

Eeriorinteriorint

E

Si el medio es el vacío, su permitividad eléctrica es: 229

00

C/m·N10·9··4

1

K··4

1, entonces:

pC9,6C10·9,6C/m·N10·9··4

1·

C

m·N·25,0Q 12

229

2

eriorint

PAU CyL J2006 Campo posiciones de equilibrio

Tres pequeñas esferas conductoras A, B y C todas ellas de igual radio y con cargas QA = 1

µC, QB = 4 µC y Qc = 7 μC se disponen horizontalmente. Las bolitas A y B están fijas a una

distancia de 60 cm entre sí, mientras que la C puede desplazarse libremente a lo largo de la

línea que une A y B.

a) Calcule la posición de equilibrio de la bolita C (1,5 puntos).

b) Si con unas pinzas aislantes se coge la esfera C y se le pone en contacto con la A dejándola

posteriormente libre ¿cuál será ahora la posición de equilibrio de esta esfera C? (1,5 puntos).

Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas de fuerzas oportunos.

a) Las bolitas están cargadas con cargas eléctricas del mismo signo

por lo que tanto la A como la B repelen a la C. En el equilibrio las

fuerzas entre la A y la C tiene el mismo módulo que la fuerza entre

la B y la C. Aplicando la ley de Coulomb: A C B

0,6 m

x


222BC

CB

2AC

CABCAC

)x6,0(

C4

x

C1;

)r(

|q|·|q|·K

)r(

|q|·|q|·K;FF

Operando: x6,0

2

x

1; 0,6 – x = 2 · x x = 0,2 m desde la bolita A

b) Al poner en contacto las esferas A y C del mismo radio y material, la carga se redistribuye hasta

que sus potenciales eléctricos se igualan. Es decir como la carga total son 8 μC, cada una de ellas se

carga con una carga de 4 μC.

Ahora todas las esferas tienen la misma carga eléctrica de 4 μC, por lo que la posición de equilibrio

es en el punto medio del segmento AB.

PAU CyL S2006 Dado campo y potencial calcular valor cargas

a) Dos cargas positivas q1 y q2 se encuentran situadas en los puntos de coordenadas (0,0) y

(3,0) respectivamente. Sabiendo que el campo eléctrico es nulo en el punto (1,0) y que el

potencial electrostático en el punto intermedio entre ambas vale 9.104 V, determine el valor de

dichas cargas (1,5 puntos).

b) Una carga negativa de valor -27 μC se encuentra en el origen de coordenadas y una carga

positiva de valor 125 µC en el punto de coordenadas (4,0). Calcule el vector campo eléctrico

en el punto del eje Y de coordenadas (0,3) (1,5 puntos).

Nota: Las coordenadas están expresadas en metros.

a) Los módulos de los campos eléctricos son iguales en el punto en

el que se anula el campo.

22

21

22

22

1

121

)m2(

q

)m1(

q;

r

|q|·K

r

|q|·K;EE

El potencial eléctrico en un punto es igual a la suma de los potenciales eléctricos generados por

cada una de las cargas.

m5,1

q·C/m·N10·9

m5,1

q·C/m·N10·9V10·9;

r

q·K

r

q·KVVV 2

2291

2294

2

2

1

1C2C1C

Operando en las dos ecuaciones se tiene el sistema:

521

21

10·5,1qq

qq·4 q1 = 0,3 · 10

-5 C y q2 = 1,2 · 10

-5 C

b) Ver libro problema 187 de la página 187 del libro

PAU CyL J2007 campo de dos cargas y trabajo para trasladar otra

Dos cargas, q1 = 2 · l0-6 C y q2 = - 4 · 10-6 C están fijas en los puntos P1 (0, 2) y P2 (1, 0),

respectivamente.

a) Dibuje el campo electrostático producido por cada una de las cargas en el punto P (1, 2) y

calcule el campo total en ese punto (1,5 puntos).

b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una carga q = - 3·10-6 C desde el punto O (0, 0)

hasta el punto P y explique el significado del signo de dicho trabajo (1,5 puntos).

Nota: Las coordenadas están expresadas en metros.

Los campos eléctricos creados por las cargas tienen la dirección de la recta que une cada una de

ellas con el punto considerado y sentido alejándose de la carga si tiene el signo positivo y hacia la

carga si tiene el signo negativo.

O(0, 0) A(3, 0)B(1, 0)C(1,5; 0)

E1

E2q1 q2


Aplicando la expresión del campo eléctrico en un puno: r2

ur

qKE

, se

tiene:

C

Ni·10·18i

)m1(

C10·2

C

m·N10·9E 3

2

6

2

29

1

C

Nj·10·9j

)m2(

C10·4

C

m·N10·9E 3

2

6

2

29

2

Aplicando el principio de superposición el campo total en el punto

considerado es:

C

N)]ji·2(·10·9[EEE 3

21T

b) El trabajo que realiza la fuerza eléctrica para trasladar la carga no depende de la trayectoria

seguida y es igual a la variación de la energía potencial electrostática cambiada de signo. Para

calcular la variación de la energía potencia electrostática se calcula el potencial electrostático en

cada punto.

V00027m1

C10·4

m2

C10·2

C

m·N10·9

r

qK

r

qKV

66

2

29

2

2

1

1O

V0m2

C10·4

m1

C10·2

C

m·N10·9

r

qK

r

qKV

66

2

29

2

2

1

1P

Aplicando la ley de la energía potencial:

WO→P = - ΔEp = - q · ΔV = - q (VP – VO) = - (-3 · 10-6

C) · (0 – (-27 000 V) = + 8,1 · 10-2

J

El proceso es espontáneo, el campo electrostático realiza un trabajo a costa de disminuir la energía

potencial electrostática asociada a la distribución de cargas.

PAU CyL J2007 Gauss en distribución discreta de cargas

Defina la magnitud flujo del vector campo eléctrico (0,5 puntos).

Enuncie el teorema de Gauss (0,5 puntos). Considere las dos

situaciones de la figura. ¿El flujo que atraviesa la esfera es el mismo

en ambas situaciones? (0,5 puntos). ¿El campo eléctrico en el mismo

punto P es igual en ambas situaciones? (0,5 puntos). Razone en todo

caso su respuesta.

a) Se define flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie al producto escalar:

·cosS·ES·EE

Siendo φ el ángulo que forman el vector campo eléctrico y el vector superficie.

El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie es una magnitud escalar que representa

gráficamente las líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie.

b) La ley de Gauss indica que el flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada

es proporcional a la carga eléctrica encerrada en dicha superficie.

eriorint

SE

QSd·E

Siendo ε la permitividad o constante dieléctrica del medio.

c) En los casos la esfera es atravesada por el mismo flujo del campo eléctrico, ya que la carga

encerrada dentro de ella es la misma en las dos situaciones.

P1

P2

+q1

-q2

E 1

E

E2

P


d) El vector campo eléctrico no es el mismo en los dos casos. En el caso A el campo eléctrico no se

puede calcular aplicando la ley de Gauss ya que no hay una situación de simetría. Hay que

calcularlo aplicando el principio de superposición a los campos eléctricos que crean cada una de las

cargas eléctricas.

PAU CyL S2007 Campo y potencial polos y centro de esfera

Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radio R = 10 m están

colocadas equidistantes entre sí seis cargas positivas iguales y de valor q

= 2 μC. Calcule:

a) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en uno

cualquiera de los polos (puntos N y S) (1,5 puntos).

b) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en el centro O de

la esfera (1,5 puntos).

La distancia de cada carga a los polos es: m2·10)m10()m10(r 22

a) Todas las cargas generan en los polos un campo del mismo módulo.

C

N90

m2·10

C10·2

C

m·N10·9

r

|q|·KE

2

6

2

29

2

Se elige un sistema de referencia con el origen en el polo N, el eje Y la

dirección de los polos y el eje X una perpendicular. Las componentes en

el eje X se anulan por simetría y las componentes en Y se refuerzan.

El campo total tiene la dirección del eje que une los polos y su sentido es

hacia el exterior de la esfera.

C

N2·270

2

2·

C

N90·6º45cos·E·6Epolo

El potencial eléctrico en el polo es igual a la suma de los potenciales eléctricos generados por cada

carga.

V2·10·54m2·10

C10·2

C

m·N10·9·6

r

q·K·6V·6V 2

6

2

29

polo

b) El campo eléctrico en el centro de la esfera es igual a cero, ya que por

simetría se anulan los de cada dos cargas eléctricas opuestas.

0Ecentro

El potencial eléctrico en el centro es igual a la suma de los potenciales

generados por cada una de las cargas eléctricas.

V80010m10

C10·2

C

m·N10·9·6

r

q·K·6V·6V

6

2

29

centro

PAU CyL J2008 Flujo y Gauss en un cubo

Un cubo de lado 0,3 m está colocado con un vértice en el origen de

coordenadas, como se muestra la figura. Se encuentra en el seno de un

campo eléctrico no uniforme, que viene dado por C/N)kz3ix5(E

.

a) Halle el flujo eléctrico a través de las seis caras del cubo (2 puntos).

b) Determine la carga eléctrica total en el interior del cubo (1 punto).

Nota: 0 = 8,85 · 10-12

C2/N·m

2

45º

q

E x

E

Ey

P

R

E

O

R


a) Se define flujo de un campo eléctrico a través de una superficie

como: SS

E cos·dS·ESd·E

Las caras del cubo tienen de módulo S = 0,09 m2 y sus

expresiones vectoriales son:

)i(·SS;i·SS

)j(·SS;j·SS

)k(·SS;k·SS

OABCDEFG

OGDAEBCF

OCFGABDE

A través de las caras OABC y DEFG solamente atraviesa el flujo

del campo eléctrico debido a su componente x )0i·k(

.

C

m·N0m)i(·09,0·

C

N)i·0·5(

22

OABC

;

C

m·N135,0mi·09,0·

C

N)i·3,0·5(

22

DEFG

El flujo del campo eléctrico a través de las caras OADG y BCFE es igual a cero, y que el campo no

tienen componente a lo largo del eje Y )0j·kj·i(

A través de las caras ABED y OCFG solamente atraviesa el flujo del campo eléctrico debido a su

componente z )0k·i(

.

C

m·N0m)k(·09,0·

C

Nk·0·3

22

OCFG

;

C

m·N081,0mk·09,0·

C

Nk·3,0·3

22

BEDA

El flujo total es igual a la suma de los flojos que pasan por todas las caras:

C

m·N054,0

C

m·N081,0

C

m·N135,0

222

b) La ley de Gauss indica que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es

proporcional a la carga eléctrica total encerrada en dicha superficie.

C10·8,4m·N

C10·85.8·

C

m·N054,0·Q

Q 13

2

212

2

Eeriorinteriorint

E

PAU CyL S2008 Dado campo calcular una carga y potencial

Se tienen tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero cuyas coordenadas, expresadas en

cm, son: A (0, 2), B (- 3 , -1), C ( 3 , -1). Se sabe que las cargas situadas en los puntos B y C son

iguales y de valor 2 μC y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es nulo. a) Dibuje el

diagrama correspondiente y determine el valor de la carga situada sobre el vértice A (2 puntos).

b) Calcule el potencial en el origen de coordenadas (]punto).

Como el triángulo es equilátero la carga eléctrica en el vértice A

tiene que ser igual a las anteriores qA = 2 μC, ya que el campo en el

origen, centro del triángulo es igual a cero.

Las distancias de las cargas al centro del triángulo son 0,02 m, por

tanto:

V10·7,2m02,0

C10·2C/m·N10·9·3

r

qK3V 6

6229

0

x

y

z

O

B

C

F

D E

G

A

S

ABDE

S

OCFG

S

OADG

S

OCFG

S

OABC

S

BCFE


PAU CyL S2008 campo eléctrico

Dibuje el vector campo eléctrico en los puntos A y B de la figura y

determine el valor de su módulo en función de q y d, sabiendo que los

dos puntos y las cargas están contenidos en el mismo plano (2 puntos).

En el punto A el campo creado por las dos cargas tiene la misma dirección y

sentido, la del eje X. Aplicando el principio de superposición:

i·d

q·K·8i·

2

d

q·K·2E

22

El módulo del campo eléctrico generado por cada carga en el

punto B es:

22222 d

q·K·2

2

d

q·K

2

d

2

d

q·KEE

En el punto B y como las cargas son iguales y también las

distancias, las componentes verticales de anulan por simetría

y las componentes en X se refuerzan. Por tanto:

id

q·K2·2i

2

2

d

q·K·22iº45cos

d

q·K·22E

222B

PAU CyL J2009 Gauss campo hilo

Aplique el teorema de Gauss para deducir la expresión del campo

eléctrico creado en el vacío por un hilo recto e indefinido con densidad

lineal de carga λ constante, a una distancia d del hilo. Razone todos los

pasos dados (2 puntos).

Sea un hilo conductor infinitamente largo y cargado uniformemente con una

densidad de carga eléctrica por unidad de longitud λ. Lejos de los extremos, el

campo eléctrico es en todos los puntos perpendicular al hilo y tiene simetría

radial.

Se elige como superficie cerrada un cilindro cuya generatriz, de longitud L, es

paralela al hilo y cuyas bases, de radio d, son perpendiculares al mismo y con

centro en un punto de él. El flujo del campo eléctrico a través de las superficies de las bases es igual a cero,

ya que no hay ninguna línea de campo eléctrico que las atraviese. El campo eléctrico es perpendicular a la

superficie lateral y su módulo es constante en todos los puntos de la misma.

0

eriorint

0

interiorE

SSSEQ

L·d··2·EQ

=

L·d··2·EdS·ESd·E= Sd · E= laterallateral

La carga en el interior de la superficie del cilindro es: Qinterior = λ L.

Sustituyendo: d · · · 2

= L · d · · · 2

L · =

L · d · · · 2

Q = E

000

interior


PAU CyL S2009 campo y trabajo cargas puntuales

Una carga puntual positiva de 9 nC está situada en el origen de coordenadas. Otra carga

puntual de -50 nC está situada sobre el punto P de coordenadas (0, 4). Determine:

a) El valor del campo eléctrico en el punto A de coordenadas (3, 0). Represente gráficamente

el campo eléctrico debido a cada carga y el campo total en dicho punto (2 puntos).

b) El trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3 µC desde el punto A hasta el

punto B de coordenadas (0, -1). Interprete el signo del resultado (1 punto).

Nota: todas las distancias vienen dadas en metros.

La carga q1 = 9 n C, situada en el origen del sistema de

referencia genera un campo eléctrico en el punto A dirigido

según el eje de abscisas y sentido alejándose de la carga. La

carga q2 = - 50 n C crea en punto A un campo eléctrico de

dirección la recta que une los puntos P y A y de sentido

hacia la carga q2. La suma vectorial de estos campos es

igual al campo total.

El campo eléctrico que genera la carga q1 en el punto A es:

iC

N9i

)m3(

C10·9

C

m·N10·9i

r

|q|KE

2

9

2

29

21

11

El módulo del campo eléctrico creado en el punto A por la

carga q2 es:

C

N18

))m4()m3((

C10·50

C

m·N10·9

r

|q|KE

222

9

2

29

22

22

Las componentes cartesianas de este campo son:

E2x = E2 · sen φ = 18 N/C · 0,6 = 10,8 N/C ;

C/N)i(·8,10E x2

E2y = E2 · cos φ = 18 N/C · 0,8 = 14,4 N/C ; C/Nj·4,14E y2

Aplicando el principio de superposición, las componentes del campo en el punto A son:

C/Ni·8,1C/N)i(·8,10C/Ni·9EEE x21x

C/Nj·4,14EE y2y

El campo total es: C/N)j·4,14i·8,1(E

Y su módulo es: C/N5,14)C/N4,14()C/N8,1(E 22

b) En primer lugar se calculan los potenciales eléctricos de los puntos A y B. El potencial eléctrico

en un punto es igual a la suma de los potenciales eléctricos debidos a cada una de las cargas.

V63)m4()m3(

C10·50

m3

C10·9

C

m·N10·9

r

q·K

r

q·KVVV

22

99

2

29

A2

2

A1

1A2A1A

V1,28)m4()m1(

C10·50

m1

C10·9

C

m·N10·9

r

q·K

r

q·KVVV

22

99

2

29

B2

2

B1

1B2B1B

Aplicando la ley de la energía potencial, el trabajo que realizan las fuerzas del campo al trasladar la

carga q3 desde el punto A hasta el punto B es:

WA B = - q · ΔV = - q3 · (VB - VA) = - 3 · 10-6

C · (- 28,1 V - (-63 V)) = - 1,05 · 10-4

J

O X

Y

+q1

-q2

E1

E2

E x2

E y2

O X

Y

+q1

-q2

E1

E2

E

A

A

B

P

P


Trasladar la carga eléctrica q3 desde el punto A hasta el punto B no es un proceso espontáneo. Un

agente externo realiza un trabajo que se almacena en forma de energía potencial eléctrica asociada a

la nueva distribución.

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Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente ......La carga permanece en reposo en el segmento que las une y a 2 m de la de 1 μC. b) La energía potencial asociada a esa