1

DESIGUALDADES

En el campo de los números reales tenemos una

propiedad de orden que se acostumbra a designar

con el símbolo (<). Estudiantes de Trilce para 2

elementos cualesquiera a; b R y sólo una de las

siguientes es válida.

a < b; a = b; a > b

Esta afirmación se llama ley de tricotomía.

Las desigualdades son quizá tan importantes en

las aplicaciones de las matemáticas como las

ecuaciones. En efecto, en el grado en que nuestro

conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo

(no meramente contando), ese conocimiento se

describe por desigualdades.

Si decimos que el diámetro “d” del planeta

Venus es de 7 700 millas, queremos decir:

7 650 < d < 7 750

Un momento de reflexión muestra que una

medición absolutamente exacta de cualquier

cantidad física tal como una distancia, un peso, una

velocidad, etc., es completamente imposible;

precisión depende de los instrumentos de medida y

tales instrumentos pueden hacer totalmente para

medir dentro de ciertas tolerancias especificadas,

nunca exactamente.

También veremos después que las desigualdades

son esenciales para aclarar conceptos

fundamentales como el límite, sobre el cual se

construye todo el cálculo. Por estas razones es

necesario un buen entendimiento básico de las

desigualdades.

2

3

4

5

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Son aquellas que presentan la siguiente forma:

ax + b ≷ 0; (a 0)

Para obtener el intervalo al que pertenece la

incógnita de tal manera que verifique la

desigualdad propuesta será suficiente despejar la

incógnita aplicando los teoremas de desigualdades.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Resolver: 3-1x + 2-1x + 6-1x > 5

Solución:

56

x

2

x

3

x

M.C.M.(3; 2; 6) = 6

56

x65

6

xx3x2

x > 5

x <5; +>

2. Resolver:

(3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42

Solución:

3x2 – 13x – 10 – 12x + 76 > 3x2 + 18x – 21 – 42

3x2 – 25x + 66 > 3x2 + 18x – 21 – 42

-25x + 66 > 18x – 63

Transponiendo términos:

66 + 63 > 18x + 25x

129 < 43x 43x < 129

43

129x

x < 3

Finalmente: x <-; 3>

3. Resolver:

3

5x35x3

Solución:

Efectuando la multiplicación indicada:

3x – 5 > 3x - 5

reduciendo términos se tiene:

0 > 0

lo cual es falso, en consecuencia la inecuación es

incompatible:

x

4. Resolver: x535

1x5

Solución:

Efectuando la multiplicación indicada:

-5x + 1 3 – 5x

Reduciendo:

1 3

lo cual es verdadero, implica que la desigualdad

no va a depender de “x” que siempre se llegará a

esa conclusión entonces:

x R

93

BBLLOOQQUUEE II

1. Para los pares de intervalos mostrados,

graficar y dar el intervalo solución de:

A B; A B; A – B; B - A

A = <3; 6>

B = <5; 12]

A = [1; 9]

B = [6; 12]

A = <-3; 20>

B = <-1; 0>

2. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1)

Indicando el menor valor entero que adopta

“x”.

a) 1 b) 8 c) 7

d) 10 e) 9

3. Resolver: 63

1x

2

1x

indicando el intervalo solución.

a) x [7; +> b) x [1; +> c) x [-1; 1]

d) x R e) x

4. Resolver: 57

3x

5

6x

3

2x

indicando el intervalo no solución.

a) <4; +> b) <1; 4> c) <-1; 1>

d) <-; 4> e) N.A.

5. Resolver e indicar el intervalo solución de:

1x2

x2

3

x

3

x

2

)1x(

2

)1x( 22

163

xx

(x + 2)2 – (x - 2)2 16

10(x + 5) > 9(x + 6)

-x 7

-4x 24

5(x + 1) > 7(x - 1)

-2x + 3 x - 12

6. Si: a < b; a, b R+

Resolver: b

a

a

bx

a

bx

b

a

a) x 1 b) x > 1 c) x 1

d) x 2 e) x 2

7. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada

una de las siguientes inecuaciones.

(x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10

(x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13

2(x - 2) < 4(x - 3)

-3x + 5 < 2x – 15

8. Resolver: (x + 1)(x + b) > x2 + 2ab

Si: a + b < 0

a) x > 1 b) x > ba

ab

c) x <

ba

ab

d) x ba

ab

e) N.A.

9. Resolver:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x2 + 10x + 12

a) x 10 b) x 4 c) x 6

d) x 6 e) x

10. Resolver: 5

4x

4

3x

3

2x

2

1x

Hallar el mayor valor que satisface la

desigualdad.

a) 2 b) 1 c) 0

d) -1 e) -2

11. En una tienda, 4 panetones cuestan la quinta

parte del triple de 40 soles; mientras que en

otra tienda 9 panetones tienen un costo de los

dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué

tienda cuesta más un panetón?

94

12. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120

caramelos; en la mañana vende los 5/6 de

chocolates y 3/4 de caramelos, de lo que

queda, por la tarde vende la quinta parte de

chocolates y la sexta parte de caramelos.

¿Qué vendió más, chocolates o caramelos?

13. Dos amas de casa reciben S/. 600 y S/. 500

de mensualidad para gastos. La primera debe

gastar los 3/10 en alquiler de casa y los 3/5

del saldo en comida, mientras que la segunda

debe gastar los 9/25 en alquiler y los 3/4 del

saldo en comida. ¿Cuál de ellas gasta más en

comida?

14. La cantidad de alumnos en un aula es tal que

dicha cantidad disminuida en 2, dividida luego

por 4, es mayor que 6, ¿cuál es la menor

cantidad de alumnos que puede tener dicho

salón?

15. El número de bolas de un arbolito de navidad,

disminuido en 12, y luego esta diferencia

dividida por 7 resulta mayor que 3. ¿Cuál es el

menor número de bolas que puede haber en

dicho arbolito?

16. La doceava parte del número de libros que hay

en un estante más 7, es más que 13. ¿Puede

haber 150 libros por lo menos en dicho

estante?

17. La edad de mi abuelo es tal que sumada con

23, y dividida por 13, excede a 8. ¿Cuál es la

menor edad que puede tener mi abuelo?

18. La quinta parte de diez, más el triple de la

edad actual de mi profesor de matemática,

excede a 29. Indicar la menor edad que puede

tener mi profesor.

19. La edad de uno de mis hermanos es tal que su

doble aumentado en 5 es menor que 19, y su

triple aumentado en 7 es mayor que 25.

Calcular la edad de mi hermano.

BBLLOOQQUUEE IIII

1. Resolver: 52

3x

4

5x

a) <-; 7> b) <7; +> c) <-; -7>

d) <-7; +> e) <1; +>

2. Resolver: 5

x1

3

2x

4

2x3

a) <-; 10> b) <-; -10> c) <-10; +>

d) <10; +> e) <-; 13>

3. Resolver: a75

x)a2b3(b7

5

x)b2a3(

(a < b)

a) <-; 7] b) <-; 5] c) [5; +>

d) [7; +> e) [5; 7]

BBLLOOQQUUEE IIIIII

1. Resolver: x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3)

a) <-; -1> b) <-; 1> c) <-1; +>

d) <1; +> e) <-1; 1>

2. Resolver: (x2 - 1)(x + 2) x(x + 1)2

a) <-; -1] b) <-; 1] c) [-1; 1]

d) <-1; +] e) [1; +]

3. Resolver, si “n” N y dar el mínimo valor de “x”.

n....321)1n(n

x....

12

x

6

x

2

x

a) 2

1n b) (n + 1)2 c)

2

)1n( 2

d) 2

n2 e)

2

)1n( 2

4. Sean “m”, “n”, “p” R+ que verifican:

(m + n + p)(m-1 + n-1 + p-1) a

Hallar el mayor valor de “a” e indique como

respuesta:

3

a

1a

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 9

5. Indique el máximo valor de “A” que satisface

la siguiente desigualdad:

Ax

w

w

x

y

z

z

y

y

x

x

y

x; y; z; w R+

a) 6 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

95

6. Sea: 2003

1....

4

1

3

1

2

11T

entonces:

a) T <2 2004 - 2; +>

b) T <+; 2 2004 - 2>

c) T <-; +>

d) T <- 2004 ; 2004 >

e) T <-2; 2>

7. ¿Cuántos números enteros satisfacen el

siguiente sistema de inecuaciones?

11 – 6x 1 – x < 7 – 2x

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

8. Uno de los números pares que satisfacen el

siguiente sistema de inecuaciones:

2

x1

5

x

2

3x

a) -2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Hallar el conjunto solución correspondiente al

siguiente sistema de inecuaciones:

2

1x

3

12

1x

2

5x

a) ]-3; -2[ b) [7

5;

5

2] c) [6;

2

5]

d) [2

7;

5

2] e) [3;

3

5]

1. Para los pares de intervalos mostrados

graficar y dar el intervalo solución de:

A B; A B; A – B; B - A

A = <-; 2>

B = <0; +>

A = [-20; 2 >

B = [ 3 ; +>

A = <-10; 5>

B = [-3; 6>

2. Resolver: 2 – [4 – (x - 1) + 2(x - 3)] x – [2 – 3x]

a) x 1 b) x 1 c) x 0

d) x 4 e) N.A.

3. Resolver e indicar el intervalo solución de los

siguientes problemas para “x”.

215

x2x

85

x

3

x

x(x + 9) – 10 > (x + 2)2 + 1

13

2x

4

x

4. Resolver: 39

4x

6

1x

3

2x

a) x 1 b) x 2 c) x 3

d) x 5 e) N.A.

5. Resolver: 65

4x

3

2x

indicando su intervalo solución.

a) x [11; +> d) x R

b) x [-11; 11] e) x

c) x [2; 3]

6. Hallar los valores enteros máximos de cada

una de las siguientes inecuaciones.

3x – 4 < 2x + 5

2(x + 5) 18

(x + 3)2 – x(x + 5) 9

96

7. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada

una de las siguientes inecuaciones.

3x – 7 > 2

4x + 5 > 3(x + 2)

5(x + 2) < 6(x - 1) + 4

(x + 2)(x + 6) – (x + 4)2 + x 2

8. Si: a > b; a, b R+

Resolver: b

a

a

bx

a

bx

b

a

a) x > 1 b) x < 1 c) x

d) x R e) x 1

9. Si: x [-2; 3]

a que intervalo pertenece:

A = 3x + 1, indicar el máximo valor de “A”.

a) 9 b) 8 c) 10

d) -8 e) -10

10. Si: (2x - 1) [-5; 4> entonces. ¿A qué

intervalo pertenece (3 – 5x)?

a) b) <1, 4> c) <-19/2; 13]

d) <1, 2> e) <2, 8>

11. Resolver: 30

x2

5

2x3

4

1x5

a) <-; -3] b) [-3; +> c) <-; 3]

d) [3; +> e) [37; +>

12. Resolver: 3

1x28

5

x

2

4x3

a) <-; 10] b) [10; +> c) <-; -10]

d) [-10; +> e) [-10; 10]

13. Resolver: (x - 1)(x - 3)2 (x - 1)2(x - 5)

e indicar el mayor valor entero que lo verifica

a) 2 b) 1 c) -3

d) -1 e) -2

14. La cantidad de pelotas que hay en mi casa es

tal que, uno más el triple de dicho número en

menos de 46, y uno más su cuádruplo, es más

que 53. Si se me extravía una, ¿cuántas

pelotas me quedan?

15. Mi abuelo fue un gran profesor de

matemática; cuando le pregunto su edad me

dice: “el doble de mi edad aumentado en uno

es menor que 161; mientras que el triple

disminuido en 2 es más que 232”. ¿Cuál será la

edad de mi abuelo dentro de dos años?

16. El quíntuplo del número de hermanos que

tengo, disminuido en 1, es menor que el

cuadrado de 7; y siete veces dicho número,

aumentado en 8, excede al cuadrado de 8.

¿Cuántos hermanos somos en total?

17. La mitad de 2, más el triple de un cierto

número, es menor que 19; mientras que la

tercera parte de el cuádruple de dicho

número, disminuido en 4 excede a 12. Calcular

dicho número.

18. La quinta parte del doble de la edad de mi

padre menos uno, es menos que 17; mientras

que la quinta parte del triple de la edad de mi

padre aumentado en 2, excede a 25. Indicar la

edad de mi padre.

19. El número de libros que tengo es tal que, 1

más los tres medios de dicha cantidad, no

excede a 21, y 2 más los cinco cuartos de la

cantidad de libros es mayor que 18. Calcular la

cantidad de libros que tendré.

20. Un número natural es tal, que la cuarta parte

del número natural anterior, es menor que 10;

además, la cuarta parte del número natural

siguiente es más que 10. ¿Cuál será la octava

parte de dicho número?