Desigualdades o inecuaciones cuadráticas

Universidad GalileoProfesorado en matemática y físicaLic. Héctor Chavarría

Silvia Angélica Pérez Zepeda

EXPRESIONES MATEMÁTICASECUACIONES O IGUALDADES

INECUACIONES O DESIGUALDADES

UNA EXPRESIÓN ES

IGUAL A OTRA

UTILIZA EL SIGNO

=

2x + 3 =

5x - 6UNA

EXPRESIÓN ES MENOR

QUE OTRA

UTILIZA LOS

SIGNOS < , > , ≤ , ≥

Muchos de los problemas de la vida real pueden expresarse como

Ecuaciones o igualdades Lineales, cuadráticas, racionales, con

radicales , con valor absoluto, con una o dos incógnitas, etc.

La solución o raíz, de una ecuación es cualquier número que, sustituido en la

ecuación la convierte en una proposición verdadera

Inecuaciones o desigualdades Lineales, simultaneas, con valor

absoluto, cuadráticas o de segundo grado , racionales, con radicales, etc.

La solución o raíces de una inecuación son todos los valores del conjunto solución que tome la incógnita o variable.

Pre saberes • DESIGUALDAD O INECUACIÓN: es una expresión

que simboliza una relación matemática de orden entre dos cantidades o términos, que utilizan los signos: < , > , ≤ , ≥ y que será verdadera para todos los valores del conjunto solución que tome la incógnita o variable .

Ejemplo

• INTERVALOS: son subconjuntos de números reales, que representan la posible solución de una inecuación y que se ubican en la recta numérica.

El intervalo (- ∞, + ∞) es equivalente al conjunto de los números R.

X + 3 ≥ ¾

INTERVALO NOTACION DEL INTERVALO

NOMBRE

{ x Є R /a < x < b} ( a, b) Intervalo abierto

{ x Є R /a ≤ x ≤ b} [ a, b ] Intervalo cerrado

{ x Є R /a < x ≤ b} ( a, b ] Intervalo semi abierto

{ x Є R /a ≤ x < b} [ a, b ) Intervalo semi cerrado

{ x Є R /a < x } ( a, ∞ ) Intervalo infinito

{ x Є R /x < b} (- ∞, b) Intervalo infinito

{ x Є R / x ≤ b } (- ∞, b] Intervalo infinito

{ x Є R /a ≤ x} ( a, ∞ ] Intervalo infinito

Clases de intervalos (donde a y b son R)

Alg

o m

uy

imp

orta

nte

en

las

inecu

acio

nes

Cuando ambos lados de una inecuación se

multiplican o se dividen por un número negativo,

entonces la dirección de la desigualdad se invierte.

Ejemplo: Sean a, b, c números R

Si a < b y c es negativo entonces a * c > b * c

Decir que un número es o no solución de la

desigualdad por el simple hecho de que en la

desigualdad se encuentran los signos ≥ o ≤, eso no

es correcto, pues hay casos en los que no se

cumple, es mejor evaluar esos números en la

desigualdad para estar seguros.

MÉTODOS PARA LA RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADOMÉTODO DE LA RECTA REAL

MÉTODO DE SISTEMA DE SIGNOS

PASOS:

Ordenar la expresión (de igual manera que se trabajan las ecuaciones), es decir que se trasladan todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad y el lado derecho se iguala a cero

Encuentro las raíces, ceros o soluciones de la desigualdad ( por el método que más nos convenga (factorizando, completando al cuadrado o por formula de Vieta o cuadrática).

Representar las raíces en la recta numérica, para formar intervalos de posibles soluciones . (números críticos)

Dar valores que se encuentren en esos intervalos para comprobar si son o no solución, evaluándolos en la desigualdad.

PASOS:

Se siguen de igual manera los primeros dos pasos.

Al tener los factores se analiza que signo deberían tener cada uno para satisfacer la desigualdad y se resuelven para comprobar cuales son o no solución de la desigualdad.

Luego se representan los números críticos en la recta numérica, y si existe intersección entre ellos, es decir si al final cumplen dichas condiciones, ese intervalo es solución de la desigualdad.