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09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 1
UNIDAD TEMÁTICA N° 5
Parte I
“DESPACHO ECONÓMICO DE CARGAS”
Docentes de la CátedraIng. Julio César Turbay & Ing. Germán G. Lorenzón
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INTRODUCCIÓN
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Sistema caracterizado por: (a) Una Demanda Total de 969,9 MW; (b) 8 Centrales Generadoras (ubicadas en las barras numeradas del 1 al 8); (c) 28 barras (de las cuales 17 son de tensión controlada) y (d) 35 ramas.
Tomado del artículo de Jerome Meisel “System Incremental Costo Calculations Using the Participation Factor Load-FlowFormulation”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 8, No. 1, February 1993, pp. 357-363.
Sistema de la American Gas and Electric Company, hacia el año 1.993
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 4
Condición de operación estática:
ΣPGi = ΣPDj + PL (1)
Se define como un Despacho de Generación (DG), cada uno de los conjunto de valores de PGi que cumplan con esta condición
Un Estudio de Flujos de Potencia sólo determina -entre otras cosas no menores- si uno de estos posibles DG satisfacen la (1) sin violaciones de tensión en las barras y/o sobrecargas en las ramas del SEP.
Sin embargo, ese DG con que se realiza dicho cálculo de Flujos de Potencia debe ser elegido a priori por el analista.
Nos interesa averiguar cuál es el DG particular en el que se logra la combinación óptima de aporte de potencia de cada Generador, de tal manera que se satisface toda la demanda (más las pérdidas) al menor costo variable de generación posible.
Ese DG así determinado se denomina Despacho Económico de Generación, o simplemente DEC.
Surge ahora la pregunta … ¿Cómo determinar el DEC?
El objetivo de esta UT es precisamente exponer y fundamentar cómo se lo puede hacer.
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 5
Supóngase que en el SEP de la figura, cada Generador está caracterizado por funciones como las siguientes
¿Cómo proceder para determinar el DEC, suponiendo que no existen restricciones a las PG’s y se desprecian las PL?
Opción dos: Método racional según Grainger-Stevenson
Opción uno: el Método de Prueba y Error
FuncionesCosto Variable de Generación
f1 (PG1) = 0.00410 PG12 + 1.2800 PG1 + 0.0 [$ / h]
f2 (PG2) = 0.00220 PG22 + 0.7950 PG2+ 0.0 [$ / h]
f3 (PG3) = 0.00190 PG32 + 0.9045 PG3+ 0.0 [$ / h]
f4 (PG4) = 0.00215 PG42 + 0.6570 PG4+ 0.0 [$ / h]
f5 (PG5) = 0.00111 PG52 + 0.8898 PG5+ 0.0 [$ / h]
f6 (PG6) = 0.00410 PG62 + 1.2800 PG6+ 0.0 [$ / h]
f7 (PG7) = 0.00410 PG72 + 1.2800 PG7+ 0.0 [$ / h]
f8 (PG8) = 0.00410 PG82 + 1.2800 PG8+ 0.0 [$ / h]
fi(PGi) = ai·PGi2 + bi·PGi + ci
ai en [$ /MW2·h]
bi en [$ /MW·h]
ci en [$ / h]
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Opción uno: el Método de Prueba y Error
PG's asignadas aleatoriamente
GEN PG [MW]Costo deCombustible [ $ / h]
1 50 74,252 70 66,433 100 109,454 120 109,805 150 158,336 200 300,007 250 808,758 29,9 22,78
969,9 1.649,78
PG's asignadas aleatoriamente
GEN PG [MW]Costo deCombustible
[ $ / h]1 300 753,002 250 336,253 200 256,904 119,9 109,685 50 47,236 25 11,257 15 11,878 10 6,36
969,9 1.532,53
Opción dos: Método racional según Grainger-Stevenson
115 %
100 %
154 % 143 %
SISTEMA CON 8 MAQUINAS (JEROME MEISEL)< KMAQ ><UNIDAD><MAXITE>< TOLE >< PD >
8 1 10 1.E-3 969.9<ID><PMIN><PMAX>< A(I) >< B(I) >< C(I) >
1 1.0 999. 0.00410 1.2800 0.02 1.0 999. 0.00220 0.7950 0.03 1.0 999. 0.00190 0.9045 0.04 1.0 999. 0.00215 0.6570 0.05 1.0 999. 0.00111 0.8890 0.06 1.0 999. 0.00600 0.3000 0.07 1.0 999. 0.01040 0.6350 0.08 1.0 999. 0.00635 0.5720 0.0
DEC.EXE
Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3Todas las PG's iguales,calculadas como PD/8
GEN PG [MW]Costo deCombustible
[ $ / h]1 121,2375 215,452 121,2375 128,723 121,2375 137,594 121,2375 111,255 121,2375 124,106 121,2375 124,567 121,2375 229,858 121,2375 162,68
969,9 1.234,20
MEISEL1.DEC
MEISEL1. SAL
PG's según Despacho Económico
GEN PG [MW]Costo deCombustible [ $/ h]
1 21,9857 30,122 151,2006 170,503 146,2586 172,934 186,8099 197,765 257,3346 302,286 96,69022 85,107 39,67705 41,578 69,9435 71,07
969,90017 1.071,34
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 7
• El DG normalmente buscado es el conocido como el“Despacho Económico de Cargas” (DEC).
• DEC: Es el DG particular que minimiza el costo total de generación a pagar para satisfacer el conjunto ΣPDj.
• El Costo Total de Generación del SEP se representa por una función de las PGi simbolizada como “F”.
• Como el costo “F” está fuertemente influenciado por cómo se distribuyen las “PGi” entre distintas Centrales y sólo ligeramente respecto de otras variables, como por ejemplo las “QGi”, se asume que “F” es sólo función de las PGi a través de la función Costo de Generación de cada Unidad fi(PGi).
F = F(PG1, PG2, ..., PKMAQ) = Σ fi(PGi) [$/h]KMAQ
i = 1
fi (PGi) = ai·PGi2 + bi·PGi + ci [$/h]
Donde KMAX es la cantidad de Máquinas presentes en el SEP
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 8
LA FUNCIÓN COSTO DE GENERACIÓN
MOTOR DEINDUCCIÓN
BOMBAIMPULSORA
CONDENSADOR
TURBINADE VAPOR
GENERADORDE VAPOR
GENERADORSINCRÓNICO
ω
PG2
REGULADORDE VELOCIDAD
FUEGOADICIONAL
TURBINADE GASCOMPRESOR
AGUA DEREFRIGERACIÓN
PG1
AIRE
COMBUSTOR
REGULADORDE VELOCIDAD
QUEMADOS
PGi
QGi
QG,max
QG,min
PG,min PG,max
ω
CURVA DECARGABILIDAD
MI
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LA FUNCIÓN COSTO DE GENERACIÓN
• La función Costo de Generación “fi(PGi)” se determina experimentalmente.
• El punto de partida es la función Entrada de Combustible & Salida de Potencia Eléctrica, de la Unidad Generadora.
Entrada = cantidad de combustible, en [BTU], [barriles de petroleo], [Ton. de Carbón], [m3 de fuel-oil], etc., consumida durante una hora, para producir una cantidad PG [MW] constante (= Salida).
Costo de Generación [$ / MW·h] = Entrada [BTU] x costo de combustible [$/BTU] + gastos fijos; durante 1 hora.
Existirá una de tales funciones para cada Generador y, a su vez, una para cada Central.
PG [MW]
En
trad
a d
e C
om
bu
stib
le[B
TU
/ h
] CURVAENTRADA – SALIDA
PG [MW]
Co
sto
de G
en
era
ció
n[$
/ M
W·h
]
CURVACOSTO DE GENERACIÓN
c
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 10
EL PROBLEMA GENERAL DEL “DEC”
• Luego, el objetivo de un DEC se expresa matemáticamente como la tarea de lograr
Minimizar la función “F(PGi)”
Respetando las restricciones
h(PG1, PG2, ... , PKMAQ) = 0
PGi,min ≤ PGi ≤ PGi,max para i = 1, 2, ..., KMAQ
donde
F = Σ fi(PGi) [$/h] siendo fi (PGi) = ai·PGi2 + bi·PGi + ci [$/h]
KMAQ
i = 1
h(PG1, PG2, ...) = Σ PGi - Σ PDj – PL
KMAQ
i = 1
NB
j = 1
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 11
CATEGORÍAS DE DESPACHO ECONÓMICO
• Según la complejidad para formular su solución:
I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE.
II. DEC CONSIDERANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE.
III. DEC CONSIDERANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE y RESTRICCIONES EN LA OPERACIÓN (FLUJO ÓPTIMO).
• Sólo se verá en detalle las Categorías I y II y se hará una ligera referencia a la III.
• El problema se reducirá entonces a hallar el mínimo de la función F($/h).
• Caso I: Las funciones que expresarán elproblema de hallar “F” serán lineales enPGi y PDj “Problema de ProgramaciónLineal” Existirá solución analítica.
• Caso II: Las funciones que expresarán elproblema de hallar “F” NO serán lineales enPGi y PDj “Problema de ProgramaciónAlineal” No existirá solución analítica
Solución Numérica.
ΣPGi
ΣPDj
DEC con PL
DEC sin PL
∑∑==
=NB
JDj
KMAQ
iGi PP
11
L
NB
JDj
KMAQ
iGi PPP += ∑∑
== 11
)P...,PP(fP KMAQ,G,GL 21=
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I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• Caso aplicable a:– SEP cuya Red Eléctrica posee un muy elevado grado de
mayado.– DEC entre máquinas de una misma Central.
• El objetivo será
Minimizar F[$/h] =Σ fi(PGi)
con la restricción
h(PG1, PG2, ..., PKMAQ) = ΣPGi – PD = 0
Despreciando, en una primera etapa, la restricción
PGi,min ≤ PGi ≤ PGi,max
• Se desarrollará el caso en que KMAQ = 2, buscando una interpretación gráfica-intuitiva y luego se generalizará para un KMAQ cualquiera.
PG1 PG2 PGKMAQ
PD
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 13
I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• Aproximación intuitiva a la solución:
PG10+PG2
0 = PD ∧ F0 = f10 + f2
0
(PG10 + 1)+(PG2
0 -1) = PG11 + PG2
1 = PD
F1 = F0 +∆f21+∆f1
1
/∆f21/>/∆f1
1/ ⇒ (∆f21 + ∆f1
1)<0 ⇒ F1 < F0
G1 = G2 ⇒ f1($/h) = f2($/h) = f($/h)
Mín F ⇒ ∆f1/∆PG1=∆f2 /∆PG2 ⇒ df1/dPG1 = df2/dPG2
PG1
PD
G1 G2
PG2
dfi/dPGi = Costo Incremental de Generación [$/h]
(PG11+1)+(PG2
1 - 1) = PG12 + PG2
2 = PD
F2 = F1 +∆f22+∆f1
2
/∆f22/>/∆f1
2/ ⇒ (∆f22 + ∆f1
2)<0 ⇒ F2 < F1
(PG12+1)+(PG2
2 -1) = PG13 + PG2
3 = PD
F3= F2 +∆f23+∆f1
3
/∆f23/=/∆f1
3/ ⇒ (∆f23 + ∆f1
3)=0 ⇒ F3 = F2
(PG13+1)+(PG2
3-1) = PG14 + PG2
4 = PD
F4= F3 +∆f24+∆f1
4
/∆f24/</∆f1
4/ ⇒ (∆f23 + ∆f1
3)>0 ⇒ F4 > F3
PG [MW]
f ($/h)
PG10
PG20
f21
f13
f14
f22
f23
f24
PG11 PG1
2 PG13 PG1
4
PG21PG2
2PG23PG2
4
∆f11
∆f12
∆f13
∆f14
∆f24
1 MW
∆f21
∆f22
∆f23
f10
f11
f12
f20
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 14
I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• Para KMAQ = 2F = f1(PG1) + f2(PG2)
h(PG1, PG2) = PG1 + PG2 – PD = 0
Ecuaciones que se representan en la Tabla y Figura A.
PG2[MW]
F = f1(PG1) +f2(PG2)[$/h]
PG1[MW]
F [$/h]
PG1[MW]
PG2[M
W]
Superficie Costode Combustible
Figura A
PD [MW]
h(PG1, PG2) = 0
Recta de RestricciónPD [MW]
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 15
I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• Operar al mínimo costo implica ajustar PG1 y PG2 de tal manera de ubicarse sobre el punto más bajo de la curva definida por la intersección de la Superficie de Costos y el Plano de Restricción ⇒ Punto de Costo mínimo restringido de Figura B.
F [$/h]
PG1[MW]
PG2[M
W]
PD [MW]
h(PG1, PG2) = 0
Superficie Costode Combustible
Plano deRestricción
Recta de Restricción
Mínimo de “F”,respetando
la restricción “h”
Figura AFigura BPD [MW]
Punto Mínimorestringido
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 16
F [$/h]
PG1[MW]
PG2[M
W]
PD [MW]
h(PG1, PG2) = 0
Plano deRestricción
Recta de Restricción
Mínimo de “F”,respetando
La restricción
Figura B
PD [MW]
022
11
=⋅∂∂
+⋅∂∂
GG
GG
dPP
FdP
P
F
02121 =−+= DGGGG PPPPPh ),(
022
11
=⋅∂∂
+⋅∂∂
GG
GG
dPP
FdP
P
F
1
2
2
1
G
G
G
G
PF
PF
dP
dP
∂∂∂∂
−=/
/
022
11
=⋅∂∂
+⋅∂∂
GG
GG
dPP
hdP
P
h
1
2
2
1
G
G
G
G
Ph
Ph
dP
dP
∂∂∂∂
−=/
/
• Determinación matemática del “Punto de F mínimo restringido”:
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 17
• De las dos últimas ecuaciones, se tiene:
• La que rescrita como
... define la variable “λ”, conocida matemáticamente como el “operador de Lagrange” y físicamente como “Costo Incremental de Generación”.
• Desdoblando esta última en dos
1
2
1
2
G
G
G
G
P/h
P/h
P/F
P/F
∂∂∂∂
=∂∂∂∂
λ=∂∂∂∂
=∂∂∂∂
2
2
1
1
G
G
G
G
Ph
PF
Ph
PF
/
/
/
/λ
λ
=∂∂∂∂
=∂∂∂∂
2
2
1
1
G
G
G
G
P/h
P/F
P/h
P/F
0
0
22
11
=∂∂
⋅−∂∂
=∂∂
⋅−∂∂
GG
GG
P
h
P
F
P
h
P
F
λ
λ(2)
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 18
• Reemplazando “F” y “h” por sus expresiones
F(PG1, PG2) = f1(PG1) + f2(PG2)h(PG1, PG2) = PG1 + PG2 - PD
resulta
• Y similarmente para las derivadas respecto de PG2.
• Con lo cual se tienen las ecuaciones que responden al DEC:
• Expresadas las (2a) con palabras:
Para lograr un DEC, cada uno de los Generadores debe operar individualmente con el mismo Costo Incremental de Generación “λ” (= ∂fi/ ∂PGi).
– λ en [$/MW·h] si PG en [MW],
– λ en [$/h] si PG en [pu].
11
1
21
1
=∂∂
∂−+∂
=∂∂
G
G
DGG
G
P
h
P
]PPP[
P
h
1
11
1
1
2211
1
G
G
G
G
GG
G
dP
)P(df
P
F
P
)]P(f)P(f[
P
F
=∂∂
∂+∂
=∂∂
021
2
22
1
11
=−+
=
=
DGG
G
G
G
G
PPP
dP
)P(df
dP
)P(df
λ
λ
(2a)
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 19
• Observar que en el sistema (2a):
No intervienen los parámetros de la Red de Transporte, ya que se supone ésta sin pérdidas.Existen tantas ecuaciones (tres) como incógnitas (tres) : λ, PG1 y PG2, yEstá formado por “K”Ecuaciones “desacopladas” entre sí(Las funciones “fi” sólo son funciones de su PGi y de ahí que también lo sean sus derivadas).
• Por ende, el Sistema (2a) es analíticamente resoluble.
• Generalizando (2a) para el caso de “K” Generadores de una misma Central, o “K” Centrales sobre una Red sin PL
• Sistema de “K+1” ecuaciones, con “K+1” incógnitas: PG1, PG2, ..., PGK y λ.
021
2
22
1
11
=−+++
=
=
=
DGKGG
GK
GKGK
G
G
G
G
PPPP
dP
)P(df
dP
)P(df
dP
)P(df
L
M
λ
λ
λ
(2b)
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 20
• Algoritmo computacional usualmente empleado para resolverlo:
1. Se plantean las (2b) así
2. Se resuelven para PG1,PG2,..., PGK,
3. Se suman m. a m. las (3)
λλ
λλ
=+⋅=+⋅
=+⋅=+⋅
−−−
KKK
KKK
G
G
bPabPa
bPabPa
22
22
111
222
111
M(2b)
K
KK
G
G
a
bP
a
bP
a
bP
2
2
2
2
22
1
11
−=
−=
−=
λ
λ
λ
M(3)
∑∑==
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+++
K
i i
iK
i iKGG a
b
aPPP
1121 22
1 λL
4. Se resuelven para “λ”
donde
∑∑∑∑=
−
==
−
=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
K
i i
iK
i i
K
iGi
K
i i a
b
aP
a1
1
11
1
122
1
2
1λ
(4)TGTT bPa +⋅=λ
∑∑=
−
=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
K
i i
iK
i iT a
b
ab
1
1
122
1
1
12
1−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
K
i iT a
a
( )D
K
iGiGT P PP ==∑
=1
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 21
5. Finalmente, se halla de (4) el valor de “λ” con el que debe operar cada Generador y de (3) el valor de “PG” que se le asignará a cada uno de ellos.
• Si se observa la (2) …
… se podrá notar que la misma es el resultado de derivar una función como la siguiente
• Esta función, que funde en una sola la “Función Costo F” a minimizar, junto con la correspondiente al “Plano de Restricción h”, es por ello mismo denominada “Función Costo Retringida”o “Función Costo Aumentada” .
• El DEC buscado se logrará, entonces, cuando se cumpla
F* = F - λ·h
0=∂∂
⋅−∂∂
GiGi P
h
P
F λ
, ..., K, i con P
F
Gi
*
210 ==∂∂
(2’)K
KK
G
G
a
bP
a
bP
a
bP
2
2
2
2
22
1
11
−=
−=
−=
λ
λ
λ
M
(3)
(4)TGTT bPa +⋅=λDP
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 22
I. DEC DESPRECIANDO PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• Hasta aquí se ha obviado la restricción
PGi,min ≤ PGi ≤ PGi,max
• Pero si se la considerara, puede suceder que, por ejemplo, ...
... el DEC determine un valor de PG4, tal que
PG4 ≥ PG4,max
• En cuyo caso lo que se hace es
PD ← PD - PG4,max
• Se “saca” de juego el G4.
• Y se repite cálculo con este nuevo valor de PD, quedando por determinar sólo PG1, PG2, y PG3.
G1
PG1 PG2
G4
PG4
PD
PG3
G2 G3
PG4
QG4
QG4, max
QG4, min
PG4, min PG4, max
CURVA DECARGABILIDAD G4
PG4 determi-nado por DEC
X
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 23
II. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• A partir de
F* = F - λ·h
Si al Plano de Restricción “h” se le incorporan las Pérdidas de Transporte PL, resultará
• El DEC buscado, será –como antes- el mínimo de “F” respetando la Restricción “h”. Esto es, cuando
• Sólo que ahora esto se cumplirá cuando
• La que puede reescribirse como
Donde
Se denomina “Factor de Penalización”de la Central “i”.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⋅−= ∑∑
==LD
K
iGiGi
K
ii PPPPfF
11
λ)(*
, ...,K, i para P
F
Gi
*
210 ==∂∂
(5)0=∂∂
⋅+−Gi
L
Gi
i
P
P
dP
dfλλ
Gi
Li
P
PL
∂∂
−=
1
1
λ=
∂∂
−⋅
Gi
LGi
i
P
PdP
df
1
1
λ=⋅ iGi
i LdP
df
(5a)
01 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−⋅−Gi
L
Gi
i
P
P
dP
dfλ
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 24
II. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• Advertir de esta última que:
1. Para una Red muy mayada, esto es, de pérdidas despreciables, ∂PL/∂PGi ≈ 0 y Li≈1, que es el Caso I.
2. Cuánto más sensible sea la variación de PL respecto de una PGi, tanto mayor será su Li.
3. Cuanto mayor sea Li tanto menor deberá ser el Costo Incremental de Generación, ∂fi/∂PGi para entrar en Despacho Económico. En este último caso se puede decir que Li “penaliza”la ubicación desfavorable de una Central “i” respecto de la demanda.
• El Sistema de Ecuaciones a resolver ahora, para determinar las PGi que establecen un DEC y utilizando la forma de expresión (5), será
Sistema de “K” ecuaciones “acopladas” con “K+1” incógnitas (PG1, PG2, ..., PGK, más λ), más la restricción
(PG1+PG2 +...+PGK) – PD – PL = 0
λλ
λλ
λλ
=∂∂
⋅+
=∂∂
⋅+
=∂∂
⋅+
GK
L
GK
K
G
L
G
G
L
G
P
P
dP
df
P
P
dP
df
P
P
dP
df
M
22
2
11
1
(5b)
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 25
II. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE
• “Acoplamiento” entre ecuaciones a través de ∂PL/∂Pgi: PL en la “i-ésima”ec. es función no sólo de PGi sino también de las PG1, PG2, ..., PGK.
• Luego, el primer paso para avanzar en el planteo de la solución de este Sistema de “K” ecuaciones acopladas es expresar PL en función de las PG.
• Esto se logra a través de los denominados “Coeficientes de Pérdidas de Transmisión” o “Coeficientes B”.
• Estos Coeficientes “B” relacionan la contribución que hace cada generador a las Pérdidas globales de Transporte.
• Así, las Pérdidas de Transmisión expresadas mediante éstos, es
• Y su derivada respecto de una generación en particular, PGi,
• Disponiéndose ahora de un Sistema de “K” ecuaciones mutuamente acopladas, con “K+1” incógnitas, como sigue
(6)∑∑= =
⋅⋅=K
i
K
jGjijGiL PBPP
1 1
∑=
⋅⋅=∂∂ K
jGjij
Gi
L PBP
P
1
2
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 26
• El que, reagrupados convenientemente sus términos, se rescribe en la forma matricial (5c) siguiente
λλλλ
λλλλλλλλ
=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅
=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅
GKKKGKGKKGKK
GKKGGG
GKKGGG
PBPBPBbPa
PBPBPBbPaPBPBPBbPa
2222
22222222
2211
2222121222
1212111111
L
L
L
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅
KGK
G
G
KKKKK
K
K
b
b
b
P
P
P
BaBB
BBaB
BBBa
λ
λλ
λλλ
λλλλλλ
MM
L
MLMM
L
L
2
1
2
1
21
222221
112111
2222
2222
2222
[ ] [ ] [ ]CPB G =⋅± datodato
incógnita
(5c)
• A partir de las (5b) y las expresiones de PL y sus derivadas, se escribe el siguiente Sistema de Ecuaciones
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 27
• Sistema de ecuaciones (5c): integrado por “K” ecuaciones “acopladas” y “K+1” incógnitas. Su solución ⇒ Limitar a un número “K” las incógnitas y luego recurrir a algún método numérico iterativo para resolverlo.
• Se “elige” discrecionalmente el valor de λ.
• Método numérico iterativo ⇒ requerirá tres parámetros:
1. Contador de iteraciones, k,
2. Número máximo de iteraciones admitido, MAXITE,
3. Error tolerado en el cálculo de las PG, ε.
• Se aceptará que el conjunto de PGi que producen el DEC será la solución buscada cuando se logre que
/PD+PL-(PG1+...+PGK)/ ≤ ε (7)
antes que se alcance la MXITE.
• Luego, el algoritmo de cálculo será:
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 28
1. “Asumir” previamente algún valor de “λ”(valor inicial λ1),
2. Calcular [PG] k
mediante la (5c),
3. Calcular PLk
mediante la (6),
4. Verificar si se cumple la (7).
5. Si no se verificase esta desigualdad, se estima un nuevo valor de “λ” así
λk+1 = λk + ∆λk (8)
y se retorna al Paso 2.
• Repetir este ciclo iterativo tantas veces como sea necesario para que se cumpla la (7), o hasta que se alcance la cantidad de iteraciones máximas MAXITE.
• La corrección de “λ” (8) se hace mediante la (9) siguiente
∆λk = (λk - λk-1)·PD + PL
k - ΣPGik
ΣPGik - ΣPGi
k-1(9)
(PD+PL- ΣPGi ) > 0 → ΣPGi → λ
amortiguador
PGi
∂fi / ∂PGi
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 29
II. FLUJO DE INFORMACIÓN DE UN DEC CONSIDERANDO PL(Base del programa DEC.EXE)
k = 1
Actualización con “λk” de losElementos de la Matriz (5c) y
Resolución de la misma para [PG]k
¿/PD+PL-ΣPGik/ ≤ ε?
[desigualdad (7)]
SINO
¿k ≤ MAXITE?NOSI
k ← k +1
Cálculo corrección ∆λk
mediante (9) y actuali-
zación de λkmediante
la (8).
Cálculo me-diante (5a)
de “Li”
Impresión de:λk, Li y [PG]k
FIN
A
Cálculo de “λ1”mediante (4),
despreciando PL
Lectura de Datosdel Caso a resolver
A
COMIENZO
(4)TGTT bPa +⋅=1λ
1
12
1−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
K
i iT a
a
∑∑=
−
=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
K
i i
iK
i iT a
b
ab
1
1
122
1
( )D
K
iGiGT P PP ==∑
=1
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 30
1
PD1 = 1,0QD1 = 0,0
2
PD2 = 3,0QD2 = 0,0
PG1 PG2
R12= 0,02 X12 = 0,10
Y12 = 0,00
f1(PG1) = 0,5 · PG12 + 2,0 · PG1 + 0,0 f2(PG2) = 0,5 · PG2
2 + 2,0 · PG2 + 0,0
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
001288,0003713,0
003713.0010948,0B
Opción #1: Cada Generador se hace cargo de la demanda de su barra
Generador #1: f1(1,0) = 0,5 · 1,02 + 2,0 · 1,0 = 2,5 $/hGenerador #2: f2(3,0) = 0,5 · 3,02 + 2,0 · 3,0 = 10,5 $/hCosto Total de Generación … … … … … … … = 12,5 $/h
Opción #2: Se busca con el programa DEC el Despacho Económico
Dato:
Ejemplo 1 El aporte de los Generadores 1 y 2 deben combinarse para satisfacer toda la demanda.
Los dos Generadores son iguales
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 31
DEC.EXE
∆ Costo = - 3,4 %
SECCION 8-4-1 P.285 DE "ELECTRIC ENERGY ..." DE ELGERD.< KMAQ ><UNIDAD><MAXITE>< TOLE >< PD >
2 0 11 1.E-3 4.0<ID><PMIN><PMAX>< A(I) >< B(I) >< C(I) >
1 0.01 999.0 0.50 2.00 0.002 0.01 999.0 0.50 2.00 0.00
< B11 >< B12 >< B13 >< B14 >0.010948 -0.003713 -0.003713 0.001288
841ELGER.DEC
*** RESUMEN DE LOS RESULTADOS ***
PG( 1 )................ = 1.935984 [ PU ]dPL/dPG( 1 ) .......... = .026934L( 1 ) ................ = 1.027679dF( 1 )/dPG( 1 ) ...... = 3.935984 [ $/h ]dF( 1 )/dPG( 1 )*L( 1 ) = 4.044929 [ $/h ]
PG( 2 )................ = 2.081394 [ PU ]dPL/dPG( 2 ) .......... = -.009015L( 2 ) ................ = .991066dF( 2 )/dPG( 2 ) ...... = 4.081394 [ $/h ]dF( 2 )/dPG( 2 )*L( 2 ) = 4.044930 [ $/h ]
*** DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PERDIDAS EN LA RED ***
POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 1 .......... = 1.9359840 [ PU ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 2 .......... = 2.0813940 [ PU ]POTENCIA GENERADA TOTAL ................ = 4.0173770 [ PU ]POTENCIA DEMANDADA A LA RED ............ = 4.0000000 [ PU ]POTENCIA CONSUMIDA EN LA RED ........... = .0166899 [ PU ]
************** COSTOS DE GENERACION **************COSTO PLANTA # 1 ............ = 5.7460 [ $/h ]COSTO PLANTA # 2 ............ = 6.3289 [ $/h ]COSTO TOTAL DE GENERACION ... = 12.0749 [ $/h ]
841ELGER.SAL
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 32
Ejemplo 2 Despacho Económico en el Sistema de la American Gas and Electric Company, considerando las Pérdidas de Transmisión.
SISTEMA CON 8 MAQUINAS, TOMADO DE "SYSTEM INCREMENTAL ..." POR JEROME MEISEL< KMAQ ><UNIDAD><MAXITE>< TOLE >< PD >
8 1 10 1.E-3 969.9<ID><PMIN><PMAX>< A(I) >< B(I) >< C(I) >
1 1.0 999. 0.00410 1.2800 0.02 1.0 999. 0.00220 0.7950 0.03 1.0 999. 0.00190 0.9045 0.04 1.0 999. 0.00215 0.6570 0.05 1.0 999. 0.00111 0.8890 0.06 1.0 999. 0.00600 0.3000 0.07 1.0 999. 0.01040 0.6350 0.08 1.0 999. 0.00635 0.5720 0.0
< B11 >< B12 >< B13 >< B14 >< B15 >< B16 >< B17 >< B18 >8.670E-4 -0.986E-4 -1.697E-4 -0.661E-4 -0.898E-4 -2.064E-4 -2.914E-4 -3.498E-4
6.145E-4 4.688E-4 1.299E-4 -1.227E-4 -1.954E-4 -2.192E-4 -2.276E-411.24E-4 1.314E-4 -1.121E-4 -2.630E-4 -3.595E-4 -4.240E-4
2.730E-4 0.231E-4 -0.754E-4 -1.094E-4 -1.292E-42.360E-4 1.181E-4 0.681E-4 0.332E-4
3.815E-4 2.210E-4 1.732E-45.950E-4 5.595E-4
12.14E-4
[ B ] =
MEISEL.DEC
MEISEL.SAL
DEC.EXE
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 33
*** DESPACHO ECONOMICO CONSIDERANDO LAS PERDIDAS EN LA RED ***
POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 1 .......... = 72.9653000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 2 .......... = 139.3102000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 3 .......... = 113.2664000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 4 .......... = 183.7430000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 5 .......... = 267.6196000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 6 .......... = 109.0821000 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 7 .......... = 48.2526700 [ MW ]POTENCIA DE SALIDA PLANTA # 8 .......... = 79.0368000 [ MW ]POTENCIA GENERADA TOTAL ................ =1013.2760000 [ MW ]POTENCIA DEMANDADA A LA RED ............ = 969.9000000 [ MW ]POTENCIA CONSUMIDA EN LA RED ........... = 43.3757200 [ MW ]
************** COSTOS DE GENERACION **************COSTO PLANTA # 1 ............ = 115.2237 [ $/h ]COSTO PLANTA # 2 ............ = 153.4477 [ $/h ]COSTO PLANTA # 3 ............ = 126.8250 [ $/h ]COSTO PLANTA # 4 ............ = 193.3064 [ $/h ]COSTO PLANTA # 5 ............ = 317.4124 [ $/h ]COSTO PLANTA # 6 ............ = 104.1181 [ $/h ]COSTO PLANTA # 7 ............ = 54.8550 [ $/h ]COSTO PLANTA # 8 ............ = 84.8763 [ $/h ]COSTO TOTAL DE GENERACION ... = 1150.0650 [ $/h ]
MEISEL.SAL
Costo MW promedio = 1.150,065 $ / 969,9 MW·h = 1,186 $ /MW·h
Costo de PL = 43,3757 MW · 1,186 $ / MW·h = 51,433 $ / h
Suponiendo que este estado de cargas dura 5 h /d
Costo de PL = (51,433 $ / h) · (5 h / h) · (365 d / año) = 93.865,2 $ / año (sólo considerando esteperíodo de la curva de carga)
PL / PD = 43,3757 MW / 969,9 MW = 4,47 %
0 24 hPeríodos del día
restovalle pico
PD [MW]
5 18 23
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 34
III. DEC CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DE TRANSPORTE y RESTRICCI0NES EN LA OPERACIÓN
• La solución a este problema es combinar Despacho Económico con Flujos de Potencia.
• El planteo de esta combinación se conoce como “Flujo de Potencia Óptimo”.
• El algoritmo correspondiente consiste en iterar entre resolver Flujos de Potencia en la Red y realizar Despachos Económicos de Generación, sujetos a las restricciones impuestas por los límites en la Red de Transmisión.
• Hasta aquí se supuso que la generación establecida por un DEC era canalizada sin inconvenientes a través de los enlaces de la Red.
• Sin embargo, eso no necesariamente debe suceder así, ya que, por ejemplo, en un SEP operando bajo un DEC puede darse que ...
• Vale decir, habrá restricciones extras a un DEC y debido a
1. Capacidades de Transmisión,
2. Niveles de tensión admitidos, y
3. Estabilidad Transitoria.
PG1+jQG1 PG2+jQG2
PD2+jQD2PD1+jQD1 PD3+jQD3
1 23
f1 f2
G2G1
P23+jQ23
¡sobrecarga!
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 35
• DEC sin considerar PL: Es el DG formado por PGi tales que resulten solución del siguiente sistema de ecuaciones
• Es un sistema lineal que posee solución analítica.
2·a1·PG1+b1 = λ
2·aK-1·PGK-1+bK-1 = λ
2·aK·PGK + bK = λ
2·a2·PG2+b2 = λ...
PG1+PG2+...+PGK – PD = 0
ΣPDj
ΣPGi
RECORDATORIO
021
2
22
1
11
=−+++
=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
DGKGG
GK
GKGK
G
G
G
G
PPPP
P
)P(f
P
)P(f
P
)P(f
L
M
λ
λ
λ
(2b)
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 36
RECORDATORIO
Por ende, debe antes conocerse los Bij.
• DEC considerando PL: Es el DG formado por PGi tal que resulten solución del siguiente sistema de ecuaciones
• Es un sistema no-lineal que no posee solución analítica; sino numérica.
ΣPDj
ΣPGiDEC con PL
DEC sin PL
λλ
λλ
λλ
=∂∂
⋅+∂∂
=∂∂
⋅+∂∂
=∂∂
⋅+∂∂
GK
L
GK
K
G
L
G
G
L
G
P
P
P
f
P
P
P
fP
P
P
f
M22
2
11
1
(5b)
(6)∑∑= =
⋅⋅=K
i
K
jGjijGiL PBPP
1 1
∑=
⋅⋅=∂∂ K
jGjij
Gi
L PBP
P
1
2
Para poder aplicar alguna técnica numérica de resolución deben poder evaluarse:
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 37
ANEXO. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES “B”• Aquí se derivarán las fórmulas generales
que permitirán:
1. Calcular los Coeficientes de Pérdidas de Transmisión “B”.
2. Expresar las Pérdidas de Transmisión en función de estos coeficientes y de las potencias generadas.
• Se utilizará para ello el SEP siguiente: Dos Centrales + cierto número de Demandas (que suman ID).
• Los resultados obtenidos se generalizarán para un SEP cualquiera.
G2
G1Red conteniendo soloNudos sin inyeccionesy sin extracciones de
corrientes
ID
• Imagínese primero sólo G1 satis-faciendo todas las demandas (ID).
• Póngase atención sobre una rama en particular de la red, digamos la “k”.
• Defínese el Factor de Distribución de Corriente en la rama k y debido a G1, Nk1, como Nk1 =
Ik1
ID
N k 1 = proporción de corriente porla rama “k” debido a lainyección del Generador “1”.
ramagenerador
G1
Ik1
Rama “
k ” ID
ID
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 38
• Para simplificar el Cálculo de PL a partir de estos Coeficientes B, es conveniente que los mismos sean números reales (y no complejos).
• Como se verá más adelante, en el cálculo de PL intervienen ciertas cantidades reales (/Vi/, fpi, etc.) y los Nki.
• Por ende, es conveniente entonces que los Nki también sean cantidades reales⇒ tanto ID como Iki deben tener el mismo ángulo de fase.
• Esto último se logra con las siguientes hipótesis simplificativas:
1. Todas las Ramas del SEP poseen igual relación X/R.
2. No existen Ramas Shunt.
3. Todas las demandas poseen igual factor de potencia.
• Hecha esta aclaración ...
• Imagínese ahora sólo G2 satisfaciendo todas las demandas (ID).
Y, como antes, se define
• El siguiente paso es imaginar ambos Generadores en operación:
G2
Ik2
Rama “k
” IDID
Nk2 =Ik2
ID
G2
Ik
Rama “k
” IDIG2
G1
IG1
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 39
• Y, dado que la Red es lineal, resultará
Ik = Ik1 + Ik2 = Nk1·IG1 + Nk2·IG2
• Si
IG1 = /IG1/·[ cos(σ1) + jsen(σ1) ]IG2 = /IG2/·[ cos(σ2) + jsen(σ2) ]
• Entonces
/Ik/2 = /Nk1·IG1 + Nk2·IG2/
2
/Ik/2 = / Nk1·/IG1/·[cos(σ1)+jsen(σ1)] + Nk2· /IG2/·[cos(σ2)+jsen(σ2)] /2
/Ik/2= Nk1
2·/IG1/2·[cos2(σ1)+sen2(σ1)] + Nk2
2·/IG2/2·[cos2(σ2)+sen2 (σ2)] +
+ 2·Nk1·Nk2·/IG1/·/IG2/·[cos(σ1)·cos(σ2)+sen(σ1)·sen(σ2)]
cos(σ1-σ2) = cos(σ1)·cos(σ2) + sen(σ1)·sen(σ2)
/Ik/2= Nk1
2·/IG1/2 + Nk2
2·/IG2/2 + 2·Nk1·Nk2· /IG1/· /IG2/·cos(σ1-σ2)
σ1
σ2
IG1
IG2
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 40
• Expresando IG en función de la potencia activa generada, su factor de potencia y la tensión en bornes
• Resulta
• Y las Pérdidas de Transporte para una Red con KRAM ramas ...
/IG2/ =PG2
3·/U2/·fp2
/IG1/ =PG1
3·/U1/·fp1
·cos(σ1-σ2)/Ik/2 = Nk12·
PG12
3·/U1/2·fp12+ Nk2
2·PG2
2
3·/U2/2·fp22+ 2·Nk1·Nk2·
PG1 · PG2
3·/U1/·/U2/·fp1·fp2
PG12
3·/U1/2·fp12
PG22
3·/U2/2·fp22
PL = Σ 3·/Ik/2· Rk = Σ 3· [Nk12·
KRAM
K = 1
KRAM
K = 1
·cos(σ1-σ2)]·Rk
+ Nk22·
+ 2·Nk1·Nk2·PG1 · PG2
3·/U1/·/U2/·fp1·fp2
+
PL = PG12· · Σ Nk1
2·Rk + 2·PG1· PG2· · Σ Nk1· Nk2· Rk +KRAM
K=1
cos(σ1-σ2)
/U1/·/U2/·fp1·fp2
1
/U1/2·fp12
KRAM
K=1
+ PG22· · Σ Nk2
2·Rk
1
/U2/2·fp22
KRAM
K=1
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 41
• Agrupando términos bajo los símbolos “B” siguientes
• Resulta …
• Y, generalizando estas últimas para una Red con KRAM ramas y KMAQ Generadores …
• Resulta interesante saber que este Método reconoce su origen en los Analizadores de Redes.
KRAM
K=1
1
/U1/2·fp12
B11 = · Σ Nk12·Rk
KRAM
K=1
1
/U2/2·fp22
B22 = · Σ Nk22·Rk
B12 =cos(σ1-σ2)
/U1/·/U2/·fp1·fp2
KRAM
K=1· Σ Nk1· Nk2· Rk
PL = PG12 ·B11 + 2·PG1·PG2 · B12 + PG2
2·B22
= 2·B11· PG1 + 2·B12· PG2
∂PL
∂PG1
KMAQ
j=1= 2 · Σ Bij · PGj
∂PL
∂PGi
KMAQ
j=1PL = Σ · Σ PGi ·Bij · PGj
KMAQ
i=1
Bij =cos(σi-σj)
/Ui/·/Uj/·fpi·fpj
KRAM
K=1· Σ Nki· Nkj· Rk
Gi
Gj
09/08/2011 UTN SANTA FE - CÁTEDRA SISTEMAS DE POTENCIA UT 5 – Página 42
• De la expresión general de Bij
se deduce que, una vez calculados éstos para una determinada condición de operación del SEP, los mismos sólo continuarán siendo válidos para otras condiciones si:
1. La relación entre cada nuevo valor de IDi
(i=1,2,...,NB) y la nueva ID total, es la misma que aquella entre cada valor de la IDi original con la ID total original (Esto hará que los Nki
no se modifiquen).
2. La tensión en cada barra con generación permanece constante en módulo.
3. El factor de potencia de cada generador no se modifica.
4. Los ángulos de fase de las corrientes de los generadores no se modifican.
• Por supuesto que las condiciones recién listadas no siempre son posibles de cumplir, ya que nuevos estados de carga muchas veces implican nuevas distribuciones para las mismas.
• Sin embargo, es posible calcular seis juegos de estos Coeficientes para seis estados de carga típicos: “de valle”, “de resto” y “de pico” para la “estación de invierno”, y otros tres para la “de verano”.
• Aunque no se tengan valores “exactos” de estos Coeficientes, e incluso aunque no se respeten las condiciones
1. Xk/Rk = cte. para k=1,2,...,KRAM
2. Yshunt =0
3. Igual “fp” para todas las IDi
Con lo cual los Nki, y de ahí los “Bij”, serán complejos, tomándose en estos casos sólo su parte real, siempre un DEC utilizándolos llevaráal SEP a una condición de operación más económica que la original hecha “a dedo”.
Bij =cos(σi-σj)
/Ui/·/Uj/·fpi·fpj
KRAM
K=1· Σ Nki· Nkj· Rk
FIN PARTE I
PRÓXIMA CLASE:
Parte II“DESPACHO ECONÓMICO” A TRAVÉS DEL
“CONTROL AUTOMÁTICO DE GENERACIÓN”