DESVIACIÓN ESTÁNDAR · 231 universidad nacional del callao facultad de ciencias administrativas agrupada o s2 = s yi x n ( ð-)2 t2 = sni yi x n ( ð-) ð-2 1 clasificada s2 = sniyi

229

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Capítulo 6:

DESVIACIÓNESTÁNDAR

INTRODUCCIÓN

Como podemos observar, en el mundo de hoy necesitamos conocer condetalle un conjunto de datos, no basta con conocer solo las medidas detendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación querepresentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética dedicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos másacorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la tomade decisiones de la empresa

230


6.1 CONCEPTO:

La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización odispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en laestadística descriptiva.Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típicaes una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datosrespecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.Se caracteriza por ser el estadígrafo de mayor uso en la actualidad.Se obtiene mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

S = ni (Yi - X )²

N

SERIES UNIVERSOS MUESTRAS

SIMPLES S2 =S yi x

N

( ) 2

TS Yi x

N2

1

( ) )

S2 =S Yi Syi

N

( ) ( )2 2 T2 =S Yi SYI

N

N

{ ( ) }

2

1

231


AGRUPADA

OS2 =

S Yi x

N

( ) 2T2 =

Sni Yi x

N

( )

2

1

CLASIFICADA S2 =SniYi SniYi

N

N

2 2( )T2 =

niYi SniYiN

N

2 2

1

( )

Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que elgerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de losempaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azarcinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490,500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Por lo que su media es:

La varianza sería:

Por lo tanto la desviación estándar sería:

232


Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos,con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Estainformación le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causadopor el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivosnecesarios en el proceso de empacado.

Ejercicio 1: Determinar la Desviación Estándar del siguiente cuadro de distribución:

L1 - L2 YI nI Yi ² NiYi² niYi (Yi – X)² /Yi –x/ ni(Yi-x)²

45 - 55

55 - 65

65 - 75

75 - 85

85 - 95

50

60

70

80

90

4

12

20

10

4

2500

3600

4900

6400

8100

10000

43200

98000

64000

32400

200

720

1400

800

360

384.16

92.16

0.16

108.16

416.16

-196

-9.6

0.4

10.4

20.4

1536.64

1105.92

3.2

108.16

416.16

N =50niYi²=

247600

niYi=

3480

ni(Yi-x)²=

5392

S = ni (Yi - X )²

N

233


S = 5392 S = 10.3846039950

S = niYi² - (niYi )²

N

S = 247 600 – (3480/50)² S = 10.3846039950

Nota:

La desviación Standard o desviación típica se aplicasolo para datos agrupados.

234


Ejercicio 2 : Calcular la desviación standard del siguiente cuadro de distribución de

frecuencia donde son desconocidas las 3ª y la 5ª clase y la media aritmética es 66.3

L1 - L2 Y I n I NiYi (Yi-x)² Yi - x ni(Yi-x)²

45 - 55

55 - 65

65 - 75

75 - 85

85 - 95

61

64

67

70

73

5

7

10

6

2

305

448

670

420

146

28.09

5.29

0.49

13.69

44.89

-5.3

-2.3

0.7

3.7

6.7

140.45

37.03

4.9

82.14

89.78

N =

30

niYi=

1989

ni(Yi-x)²=

354.3

x = 66,3 305 + 448 + 67X + 420 + 73Y = 1989

x = niYi/N 67x + 73y = 1989 - 1173

67.x + 73y = 816 …….(a)

235


66.3 x 30 = niYi = 5 + 7 + x + 6 + y = 30

x + y = 30 -18

x + y = 12 ……. (b)

x + 12 - y

x = 12 - 2 N -10

(a) en (b)

67 (12 - 4) + 73y = 816

804 - 67 + 73y = 816

6y = 616 - 804

6y = 12

y =12/6

y = 2

236


6.2 CORRECCIÓN SHEPPARD PARA LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Sc)

Cuando en una serie clasificada los límites de clase comprenden varias unidades se

introducen un error al agrupar los datos en clase (llamado error de agrupamiento) ,

debido a que los puntos medios o marcas no coinciden con los respectivos promedios

de los datos agrupados en cada clase .

Los puntos medios o marcas de clase tienen mayor dispersión que los promedios

lo que da lugar a un error en la varianza en exceso , este error se corrige mediante la

corrección Sheppard con lo cual se obtiene la varianza ajustada o corregida para lo cual

a la varianza calculada se le resta la constante i² / 12

Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

Sc = S2 - i²12

Ejercicio 1: Calcular la varianza ajustada estándar corregida del ejercicio anterior .

Sc = S² - i ² / 12

Sc = 107.84 - 10² /12

Sc = 99.50666 Sc = 9.975302

237


Ejercicio 2: Calcular la corrección sheppard del siguiente cuadro de distribución


45 - 55

55 - 65

65 - 75

75 - 85

85 - 95

50

60

70

80

90

4

12

20

10

4

2500

3600

4900

6400

8100

10000

43200

98000

64000

32400

200

720

1400

800

360

384.16

92.16

0.16

108.16

416.16

-196

-9.6

0.4

10.4

20.4

1536.64

1105.92

3.2

108.16

416.16

N =50niYi²=

247600

niYi=

3480

ni(Yi-x)² =

5392

Sc = S² - i²12

Sc= 107.84 - 10 /12 Sc= 99.50666 Sc = 9.975302

238


6.3 SIGNIFICADO E INTERPRETACION DE LA DESVIACION

ESTANDAR Y LA CURVA NORMAL

La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. Ladesviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas.Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modeloteórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media delas medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida endesviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría.Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cualsería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviaciónestándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de losdatos alrededor de un valor central (la media o promedio).

34.13% 34.13%

13.59% 13.59%

2.15% 2.15%

-3S - 2S -1S X 1S 2S 3S68.26%

95.45%99.74%

239


La desviación estándar ayuda a describir la curva de la distribución normal o campanade Gauss mediante la siguiente manera:

1.- Una desviación estándar a cada lado de la media incluye un área del 68.26% delárea total es decir aproximadamente los 2/3 de los casos.

2.- El área comprendida entre una y dos desviaciones estándar a ambos lados de la

media representa el 13.59% del área total. El área comprendida entre 2 desviaciones

estándar a ambos lados de la media es igual a 95.45% del área total.

3.- Entre la 2º y 3º desviación standard (o 2 y 3 desviaciones standard) resulta otra

porción del área igual a 2.15% del área total. El área comprendida entre 3 desviaciones

standard a cada lado de la media es igual al 99.74% del área total.

X = 1S = 68.26%

X = 2S = 94.75 %

X = 3S = 99.74 %

240


Capítulo 7:

MEDIDAS CONJUNTAS

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN::

En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida dedispersión útil para comparar dispersiones a escalas distintas pues es unamedida invariante ante cambios de escala. Sirve para comparar variablesque están a distintas escalas pero que están correlacionadasestadísticamente y sustantivamente con un factor en común.También estamos desarrollando, para el incremento de conocimientos, eltema de kurtosis el cual se ha usado en el monitoreo de máquinas ,especialmente en compresores recíprocos,pero no se ha hecho muycomún.

241


7.1 CONCEPTO

Es la relación que se puede establecer entre las medidas de centralización (RMS, G, X,H, Mo, Md, Q, D.P.) y las medidas de dispersión (R, DQ, D.M., S2, S) para obtenercoeficientes que nos permite medir: el coeficiente de variación, la variable normalizada,el sesgo, la Kurtosis y los momentos.

7.2 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (V)

En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida de dispersión útilpara comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante antecambios de escala. Sirve para comparar variables que están a distintas escalas peroque están correlacionadas estadísticamente y sustantivamente con un factor en común.Es decir, ambas variables tienen una relación causal con ese factor. Su fórmula expresala desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejorinterpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar.

PROPIEDADES Y APLICACIONES:

El coeficiente de variación es típicamente menor que uno.

Para su mejor interpretación se lo expresa como porcentaje.

Depende de la desviación típica y en mayor medida de la media aritmética, dadoque cuando esta es 0 o muy próxima a este valor C.V. pierde significado, ya quepuede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión dedatos.

El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidadaplicada.

241


7.1 CONCEPTO









241


7.1 CONCEPTO









242


Cuando es preciso comparar las distribuciones de varias series de datos estadísticoses necesario recurrir, el coeficiente de dispersión relativa que se define como el cocienteque hay entre la dispersión absoluta y el promedio.

Si consideramos que la dispersión absoluta es la desviación standard y el promedio esla media aritmética, a la dispersión relativa resultante se le conoce con el nombre decoeficiente de variación.

EEll ccooeeffiicciieennttee ddee vvaarriiaacciióónn ((vv));; se expresa en términos de porcentaje y representa un

número de abstracto y depende de las unidades que se utilicen.

VVeennttaajjaa:: La ventaja que ofrece este coeficiente es que permite comparar 2

distribuciones que no están expresadas en las mismas unidades.

DDeessvveennttaajjaa:: Deja de ser útil cuando la media tiende a cero.

Coef. Disp. Relativa = Dispersión absoluta = VPromedio

V = S * 100%

X

243


Ejemplo: Determinar el coeficiente de variación del siguiente cuadro de distribución:


45 - 55

55 - 65

65 - 75

75 - 85

85 - 95

50

60

70

80

90

4

12

20

10

4

2500

3600

4900

6400

8100

10000

43200

98000

64000

32400

200

720

1400

800

360

384.16

92.16

0.16

108.16

416.16

-196

-9.6

0.4

10.4

20.4

1536.64

1105.92

3.2

108.16

416.16

N =50niYi²=

247600

niYi=

3480

ni(Yi-x)² =

5392

V = 10.38460399 * 100% V = 14.92040803%69.6

V = S * 100%

X

244


_

Z = Yi – X

S

77..33 VVAARRIIAABBLLEE NNOORRMMAALLIIZZAADDAA OO RREEFFEERREENNCCIIAA TTIIPPIIFFIICCAADDAASS ((ZZ))

Las variables normalizada es aquella variable que mide las desvías de los puntosmedios con respecto a su medio aritmético en unidades de desviación standard.

Las desviaciones de la medida vienen dadas en unidades de la desviación standard por

lo que se dice también que están expresadas en unidades tipificadas o referencias

tipificadas, variables que son de gran utilidad para la comparación de distribución.

Ejercicio 1:

1.-En un examen final de Matemática Finanaciera la media aritmética fue 15 y ladesviación standard fue 5 y en el examen de Estadística fue 13 y la desviación standardfue 4. La alumna Samuel León obtuvo 17 y 16 respectivamente de notas finales enambas asignaturas ¿En qué asignatura obtuvo un puesto relativamente más alto?

_

Matemática X =15 Nota: 17

Financiera S = 5 Yi = 17

_

Z = Yi - X Z = 17-15 Z = 0.40

S 5

_

Z = | Yi – X |S S

245


Nota:16 Yi = 16

Estadística X = 13

S = 4 Z = Yi - X = 16 - 13 Z = 0.75

S 4

Luego ha obtenido una desviación standard de 0.40 y 0.75 por encima de la media ,siendo por lo tanto su puntuación superior en estadística .

Ejercicio 2: Hallar el área bajo la curva normal de los siguientes casos:

a) Z = 0; Z = 1.2

0.3849 Área bajo la curva normal

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.3849

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.3849

246


b) Z = -0.68; Z = 0Por simetría -0.68 = 0.68


c) Z = -0.46 ; Z = 2.21Por simetría Z = -0.46 = Z = 0.46Z = 2.21 = 0.4 Z = 0.46 = 0.17720.1772 + 0.4864 = 0.6636 Área bajo la curva normal

0.2518

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.2518

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1772

0.4864

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1772

0.4864

247


d) Z = 0.81 ; Z = 1.94Z = 0.81 = 0.2910Z = 1.94 = 0.4738

e) Suponiendo que el ingreso mensual promedio de 10000 trabajadores es $ 500 y ladesviación Standard es $ 100 :Si la distribución es normal. ¿Cuál es el número de trabajadores que tienen un ingresosmensual :1.-Superior a $ 5002.-Superior a $ 500 pero inferior a $ 6003.- Inferior a $ 600

_Z = Yi – X = 500 – 500 = 0 = 0

S 100 100

_Z = Yi – X = 600 – 500 = 100 = 1

S 100 100

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1828

0.2910

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1828

0.2910

Z = 1.94 - Z = 0.91

0.4738 - 0.2910


1.- Inferior a $ 50010000(0.5) = 5000

2.- Superior a $ 500 pero inferior a $60010000 (0.3413) =3413

3.- Superior a $ 600

10000 (0.1587) =1587

248


f) Suponiendo que el ingreso mensual promedio de 10000 trabajadores es $ 400 y ladesviación Standard es $ 100 :Si la distribución es normal. ¿Cuál es el número de trabajadores que tienen un ingresosmensual :

1.-Superior a $ 250 pero inferior a $ 5002.- Inferior a $ 250

_Z = Yi – X = 250 – 400 =-150 = -1.5

S 100 100

A (-1.5) = 0.4332

_Z = Yi – X = 500 – 400 = 100 = 1

S 100 100

A (1) =0.3413

0.3413

-3 -2 -1 0 1 2 3200 300 400 500 600 700 800

0.5 0.1587

0.5 -0.34130.5 -0.34130.3413

-3 -2 -1 0 1 2 3200 300 400 500 600 700 800

0.5 0.1587

0.5 -0.34130.5 -0.3413

249


AREA ENTRE $250 Y $500 = A (-1.5) + A (1)0.4332 + 0.3413 = 0.7745AREA INFERIOR A $250 = A (1) - A(1.5)0.5 – 0.4332 = 0.668

0.7745

-3 -2 -1 0 1 2 3100 200 300 400 500 600 700

0.6668

0.7745

-3 -2 -1 0 1 2 3100 200 300 400 500 600 700

0.6668

1.- Inferior a $ 250

10000(0.7745)

Inferior a $ 250 = 5000

2.- Superior a $ 500 pero inferior a $600

10000 (0.6668) =6668

250


Sxy =

77..55 CCOOVVAARRIIAANNZZAA ((SSXXYY))

Esta medida conjunta es utilizada para determinar la relación que existe entre variablesque han sido medidas en diferentes unidades.

Ejercicio 1: La relación que existe la inversión de publicidad de la inversión delmedicamento y la venta del mismo, la producción de papa por hectáreas (arrobas) y lalluvia (milímetros).

Ingreso per cápita y la tabla de analfabetismo.

250


Sxy =





1

)")("( "

N

xXiyYi

250


Sxy =





1

)")("( "

N

xXiyYi

251


77..66 RREELLAACCIIOONNEESS EEMMPPÍÍRRIICCAASS EENNTTRREE LLAASS MMEEDDIIDDAASS DDEE DDIISSPPEERRSSIIÓÓNN

Para distribuciones moderadamente aritméticas se pueden obtener las siguientesrelaciones empíricas entre las medidas de dispersión.

1. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.

2. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.

D.Q = 2 (S)3

D.M. = 4 (S)

5

D.M. = 4 (S)

5

252




D.Q = 2 (S)3

D.M. = 4 (S)

5

252




D.Q = 2 (S)3

D.M. = 4 (S)

5

252




D.Q = 2 (S)3

D.M. = 4 (S)

5

253


77..77 SSEESSGGOO UU OOBBLLIICCUUIIDDAADD,, KKUURRTTOOSSIISS YY MMOOMMEENNTTOOSS

7.7.1.- SESGO U OBLICUIDADUna distribución se considera sesgada si la media, la mediana y la moda no tienen

el mismo valor.

1. X > Md > Mo = Sesgo positivo

2. X < Md < Mo = Sesgo negativo

XMdMo

a) Sesgo Positivo o Sesgado a la derecha

+

Mo Md X

X >Md > Mo

X = Md = Mo

254


b) Sesgo Negativo o Sesgado a la izquierda

-

X Md Mo

SESGO

X < Md < Mo

+ -

255


77..77..22..-- MMEEDDIIDDAASS DDEE SSEESSGGOO

aa..-- LLOOSS CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS DDEE SSEESSGGOO DDEE KKAARRLL PPEEAARRSSOONN..-- Ha logrado relacionar

medidas de dispersión y centralización y ha obtenido:

- PRIMER COEFICIENTE DE SESGO DE KARL PEARSON :

-SEGUNDO COEFICIENTE DE SESGO DE KARL PEARTSON:

bb..-- CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE DDEE SSEESSGGOO CCUUAARRTTIILLIICCOO YY PPEERRCCEENNTTÍÍLLIICCOO

- COEFICIENTE DE SESGO CUARTÍLICO:

_

2° CSkp = 3 ( X- Md )S

_1º CSkp = X – Mo

S

CSq = (Q3 - Q2) - (Q2 - Q1) = Q3 - 2 Q2 + Q1

Q3 - Q 1 Q3 - Q1

256


- COEFICIENTE DE SESGO PERCENTÍLICO

7.7.3 CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS DDEE SSEESSGGOO EENN FFUUNNCCIIÓÓNN AA LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS::

Otra medida de sesgo viene dado por el momento del 3er orden con respecto a lax denominado también medida relativa de 3 órdenes:

CSp = (P90 - P50) - (P50 - P10) = P90 - 2P50 + P10

P90 - P10 P90 - P10

Cs am

S

m

S

m

m

m

mm 33

3

3

2 3

3

22

3

2

3 2( ) ( )

/

257


77..88 KKUURRTTOOSSIISS

Es el grado de apuntamiento o echamiento de una distribución relacionado

comúnmente con la curva normal, campana de Gauss o distribución normal.

7.8.1 CLASES DE KURTOSIS

1. LEPTOCÚRTICA: Es aquello que presenta un apuntamiento relativamente altoliteralmente Leptocúrtica significa curvatura puntiagudo.

2. MESOCÚRTICA: Es aquello que no es ni puntiagudo ni achatado y coincidegeneralmente con la curva normal.

3. PLATICÚRTICA: Es aquello que se presenta un achatamiento en la parte superior .

MESOCÚRTICA

LEPTOCÚRTICA

PLATICÚRTICA

258


77..88..22 MMEEDDIIDDAASS DDEE KKUURRTTOOSSIISS

1. COEFICIENTE DE KURTOSIS PERCENTÍLICO: Este coeficiente relaciona ladesviación quartil con el espacio interpercentílico obteniéndose el siguientecoeficiente.

2. COEFICIENTE DE KURTOSIS EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS: Está dado poruna medida relativa de cuarto orden con respecto a la media y se determina mediante lasiguiente relación.

CKp = D. Q. = 1/2 Q3 - Q1 = Q3 - Q1

P90 - P10 P90 - P10 2(P90 - P10)

CKm = a4 = m4 = m4 = m4 = m4

S4 ( S2 )4 ( m2)4 m22

CS Om

m

m

mm 44

24

4

32

( )

259


77..99 MMOOMMEENNTTOOSS ((MMoo))

Tanto el sesgo como la Kurtasis se miden mejor utilizando los momentos que emplea el

valor exacto de cada observación. Los momentos son 4 y a su vez pueden ser con

respecto al origen y con respecto a la media. Se considera que los momentos son una

síntesis de 4 capítulos anteriores al establecer las siguientes relaciones.

_m1 = X Medidas de centralización o promedio

m2 =S² Medida de dispersión.

m3 = Sesgo

m4 = Kurtosis

Fórmula General para los momentos:

rr

iN

niuMr

260


_

m1 = ( ni u/n) i = X

m2 = ( ni n2 /N) i2 = S2

m3 = ( ni n3 /N) i3 = Sesgo

m4 = ( ni n4 /N) i4 = Kurtosis

COEFICIENTE DE KURTOSIS EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS:

Esta dado por una medida relativa de cuarto orden .

CKm = A4 = m4 / 54 = m4 / ( 5² )4 = m4 / ( m² )4 = m4 /m²2

Mniu

Ni1

M

niu

Ni2

22

Mniu

Ni3

33

M

niu

Ni4

44

261


77..99..11 CCOOMMPPRROOBBAACCIIÓÓNN CCHHAARRLLIIEERR

La comprobación Charlier en el cálculo de los momentos por el método clave hace usode las propiedades de las identidades para la comprobación para el cálculo de medidas.

ni ( u + 1) = niu + N

ni ( u + 1)² = niu 2+ 3 niu 2 + niu + N

ni ( u + 1)3 = niu 2+ 3 niu 2 + niu + N

ni ( u + 1)4 = niu 4+ 4 niu 3 + 6 niu + 4 niu + N

77..99..22 RREELLAACCIIÓÓNN EENNTTRREE LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS..

Entre momentos con respecto a la media y momentos con respecto a un punto cualquier

se dan las siguientes relaciones:

m2 = m2 - m12

m3 = m3 - 3m1 m2 + 2m13z

m4 = m4 - 4m1 m3 + 6m12 m2 - 3m1

4

La relación entre los momentos es el paso previo a la corrección Sheppard para los

momentos.

262


77..99..33 CCOORRRREECCCCIIÓÓNN SSHHEEPPPPAARRDD PPAARRAA LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS

Los momentos que necesitan corregirse son los momentos de 2 y 4 orden, esto implica

que los momentos de 1 y 3 orden ya no necesitan corregirse.

M2c = m2 – i 2

12

m4c = m4 - 1 i2 m2 + 7 i4

2 240

263


Ejercicio : Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia determinar :

1. Las 4 primeros momentos.

2. La comprobación Charlier

3. La relación entre los momentos

4. La corrección Sheppard para los momentos

L1 – L2 Yi ni µ µ² ni µ3 µ3 ni µ3 µ4

45 -55

55- 65

65 -75

75 -85

85 - 95

50

60

70

80

90

4

12

20

10

4

-2

-1

0

10

4

4

1

0

1

4

16

12

0

10

16

-8

-1

0

1

8

-32

-12

0

1

8

16

1

0

1

16

n = 50 niµ²=54 niµ3=-2

264


1. m1 = ( niu/N)i m1 = (-2 /50) 10 m1 = -0/4

m2 = ( niu2/N)i² m2 = (54 /50) 1002 m2 = 108

m3 = ( niu3/N)i3 m3 = (-2 /50) 1000 m3 = -40

m4 = ( niu4/N)i4 m4 = (150/50) 1000 m4 = 30000

2.-

ni(u + 1) = ni (u+N)48 = -2 + 5048 = 48

ni(u + 1) 2 = niu2 + 2niu + N100 = 54 + 2(2) + N100 = 58 + N

N = 42

ni(u + 1) 3 = niu3 + 3niu² + 3ni + u + N204 = -2 + 3(54) + 3( -2) + N204 = -2 + 162 - 6 + N204 = 154 + NN = 48

ni(u + 1) 3 = niu4 + 3niu3 + 6ni² + 4ni + u + N508 = 150 + 4(-2) + 6(54) + 4(-2) + N508 = 150 - (-8) + 324 - 8 + N508 = 458 + NN = 48

265


3.-m2 r = m2 - m1

2

m2 r = 108 - (-0.4)2m2 r = 108 + 0.16m2 r = 108.16

m3 r = m3 - 3m1m2 + 2m13

m3 r = -40 -3(-0.4)(108) + 2(-0.4)3m3 r = -40 + 129.6 - 0.128m3 r = 129.6 - 40.128m3 r = 89.472

m4 r = m4 - 4m1m2 + 6m13m2 - 3m1

4

m4 r = 30000 - 4(-0.4)(-40) + 6(-0.4)²(108) - 3(-0.4)m4 r = 30000 - 64 + 103.68 - 0.0768m4 r = 30103.68 - 64.0768m4 r = 30039.6032

4.-m2 C = m² - i2

m2 C = 107.84 -(100)m2 C = 107.84 – 100/12m2 C = 99.50666667

m4 C = m4 r - ½ i²m2 r + 7/240 i 4

m4 C = 30039.6032 - ½(100)107.84 + 7/240(10 4)m4 C = 30039.6032 -5392 + 0.029166666 x 10 4

m4 C = 30039.6032 -5392 + 291.666666m4 C = 24939.26986

266


EJERCICIO: Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias,determinar lo siguiente.

1. La Varianza

2. La Desviación Standard

3. Variable Normalizada

4. Relación Empírica entre las medidas de dispersión

5. Los momentos

6. La Comprobación Charl ier

7. Las relaciones entre los momentos

8. Corrección Sheppard

266



1. La Varianza




5. Los momentos




266



1. La Varianza




5. Los momentos




267


268


269


1.- Varianza

S² = ni (Yi - x)² /N

S² = 24724563.89 =

94573

S² = 261.4336427

2.- Desviación Estándar

S = (Yi - x)² /N

S = 261.4336427

S = 16.16890976

3.- Variable Normalizada

Z = ni |Yi - x | S

Z = 1507460.49

16.16890976

Z = 93232.043

270


4.- Relación Empírica entre las Medidas de Dispersión

D.Q. = 2/3 (S) = 2/3 (16.16890976) = 10.77927317

D.M. = 4/5 (S) = 4/5 (16.16890976) = 12.93512781

5.- Relación entre los Momentos

m1 = (niu / N)i = (-30647 / 94573) 10 = -3.240565489

m2 = (niu² / N)i² = (257177 / 94573) 100 = 271.9349074

m3 = (niu3 / N)i3 = (-314645 / 94573) 1000 = -3327.006651

m4 = (niu4 / N)i4 = (496525 / 94573) 10000 = 158240.1954

6.- Comprobación Charlier

ni(u + 1) = ni (u+N) = -30467 + 94573 = 64106

ni(u + 1)2 = niu2 + 2niu + N= 211634 + (-60934) + 94573

= 245273

ni(u + 1)3 = niu3 + 3niu² + 3niu + N

= (-314645) + 3(211634) + 3(-30467) + 94573

= 323249

271


7.- Corrección Shepard para los Momentos

m2r = m2 - m12

m2r = 223.7784569 - (-3.240565489)²

m2r = 213.2771922

m3r = m3 - 3m1m2 + 2m13

m3r = -3327.006651 -(-2715.506234) + (-68.06007188)3

m3r = -1219.560489

m4r = m4 - 4m1m2 + 6m13m2 - 3m1

4

m4r =158240 - 1954 - 43125.53174 + 14099.74084 - 330.8296802

m4r = 128883.5748

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DESVIACIÓN ESTÁNDAR · 231 universidad nacional del callao facultad de ciencias administrativas agrupada o s2 = s yi x n ( ð-)2 t2 = sni yi x n ( ð-) ð-2 1 clasificada s2 = sniyi