Determinación Experimental de La Aceleración de La Gravedad Utilizando Un Péndulo Simple

8/19/2019 Determinación Experimental de La Aceleración de La Gravedad Utilizando Un Péndulo Simple

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Determinación experimental de la aceleración de la gravedad utilizando un péndulo

simpleBoychuka, Cristian - Pahud, Fernando

Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, Argentina

En esta experiencia se determinó la aceleración de la gravedad a partir del periodo de un péndulo simple. Para ello se midió el tiempo ue

tarda el péndulo simple en reali!ar un n"mero de oscilaciones.

Introducción

#n péndulo simple o ideal consiste en una masa puntual unida a una cuerda inextensi$le y sin masa

de longitud %, este &ormara un movimiento armónico simple.

En este tra$a'o se pretende calcular mediante los siguientes cuatro métodos el valor de la gravedad(

-)edición indirecta

-Estudio estad*stico

-)étodo gr+&ico-n+lisis digital

Para esto se lan!ó un péndulo con un +ngulo de inclinación menor a / y se midieron los tiempos de sus

periodos. El periodo de las oscilaciones tiene la siguiente &órmula(

T =2π √ L

g f ó rmula (1)

El valor del periodo se calcula a partir del valor medio de las medidas de los tiempos para longitudes distintas

de un hilo del ue cuelga una masa. Con estas medidas se estudia la relación entre el periodo del péndulo y la

longitud del hilo.

Métodos

0e calculó la aceleración de la gravedad utili!ando un péndulo simple, calculando su per*odo, y recuperandode dicha ecuación el valor de g, por di&erentes métodos.

)étodo 1 2 Medición indirecta

En este caso se midieron die! per*odos de un péndulo de longitud %, la cual se medió con una cinta métrica.#n o$servador apartó al dispositivo de su punto de euili$rio un +ngulo muy peue3o, mientras otro

o$servador registró el tiempo ue tarda en reali!ar 1 oscilaciones. #na ve! reali!ado esto, se o$tuvo el

tiempo ue demora en reali!ar una "nica oscilación, y se o$tuvo el valor de g de la ecuación 415.

)étodo 6 2 Estudio estadístico

En este caso, un mismo o$servador tomó el tiempo de 7 mediciones individuales del per*odo de un péndulo.

8tro o$servador anotó en una ta$la cada per*odo medido. #na ve! reali!ado esto, se reali!ó un histograma

con su curva de 9auss correspondiente, se o$tuvo el per*odo m+s pro$a$le y su desviación est+ndar.

Finalmente, se utili!aron estos datos como resultado de una medición y se o$tuvo el valor de g de la ecuación

415.

)étodo 2 Método gráfico

:e la ecuación 415 se o$serva ue existe una relación cuadr+tica entre la longitud y el per*odo de oscilación

del péndulo. Por lo tanto, la representación gr+&ica(

T 2

; & 4%5 de$er+ ser una recta, de cuya pendiente se podr+ o$tener el valor de la aceleración de la

gravedad.


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Con el mismo péndulo de la parte anterior, se vario su longitud y se calculó, para cada una de ellas, la

amplitud de las oscilaciones. %os valores de % &ueron 7, incluyendo la del péndulo de la sección anterior, con

una longitud m*nima de 1 m se(

< )idió el tiempo ue tardo en reali!ar 1 oscilaciones

< =a$uló los valores de %, = y T 2

y se tra!o el gr+&ico T 2

; & 4%5.

< :eterminó la pendiente de la recta, aplicando el método de los cuadradosm*nimos y se o$tuvo as* el valor de la aceleración de la gravedad.

< Calculó el error a$soluto de g, teniendo en cuenta el error cometido en la determinación de la pendiente de

la recta.

)étodo > 2 análisis digital

#tili!ando el mismo péndulo de los métodos 1 y 6, se gra$aron varias oscilaciones

con una c+mara digital. El video o$tenido &ue anali!ado utili!ando un editor, como el :ataPoint. En éste se

medió el tiempo transcurrido entre el &otograma en ue el péndulo inicia su movimiento y el &otograma en ueretoma su posición inicial. Este valor de t &ue el per*odo de oscilación del péndulo. partir de éste se o$tuvo

el valor de g, por la ecuación 415.

Resultados y discusión

Por el método 1, se calculó el tiempo promedio de una oscilación para un o$servador y por la ecuación 415 seo$tuvo(

#n tiempo de periodo de t;6,?? seg y una aceleración de la gravedad de 41,66? @ ,165

m/seg2 .

Por el método 6, se reali!ó un promedio de los 7 tiempos medidos 4ver anexo para los valores5 y se o$tuvo

ue la aceleración &ue de 41,? @ ,A5 m/seg2

.


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0246810

121416

Histograma de frecuencias

Intervalos de tiempo[s]

Frecuencias

Por el método , de la pendiente del gr+&ico 1 se o$tuvo una aceleración de 4 10.08

@ ,A5 m /seg2

y para el o$servador 4A,AA @ ,115 m /seg2

.En este caso el resultado &ue $astante m+s acertado ue en

los método anteriores. El error con el valor real de la gravedad para Bah*a Blanca 4g ; A,? m /seg2

5 &ue

casi *n&imo si lo comparamos con el promedio entre am$os o$servadores(

Promedio de o$servadores(9.939

m /seg2

9ravedad en $ah*a $lanca( 9.806 m/seg2

Error entre am$os( ,1 m /seg2


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0 2 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x) = 3.88x + 0.37

Longitud vs tiempo

Linear ()

Longitud del cable [m]

Tiempo de un periodo al cuadrado [seg2]

Figura 2 longitud con res!ecto al tie"!o

Por el método >, se anali!ó el video capturado por el asistente, y por el programa Pandora se o$tuvo el tiempo

para el per*odo del péndulo, la longitud de este &ue de 1,AA m.

El tiempo &ue de 6,? ±0,0333

seg el periodo y con él se o$tuvo ue la aceleración &ue de 4

10,049±0.0125 m/seg

2

0e puede o$servar ue los resultados o$tenidos comparando por cualuier método son similares entre si. 0e

puede apreciar tam$ién ue una peue3a variación en el tiempo de un periodo da resultados totalmente

distintos. Esto se ve claramente en el an+lisis por el cuarto método, donde con una di&erencia de

aproximadamente ,16 seg el periodo, la di&erencia en el valor resultante de la gravedad &ue

aproximadamente 1 m /seg2

. Day ue tener en cuenta tam$ién ue en la realidad los tiempos de cada

periodo no son exactamente idénticos, para estas mediciones adem+s de los errores por el o$servador, hayerrores de$ido al modelo &*sico elegido, se asumió ue el péndulo era puntual, y la masa de la cuerda

desprecia$le, as* como la &ricción con el aire nula.


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Conclusión

En este proyecto se concluyó(

-l calcular la aceleración de la gravedad por métodos digitales, no varió con respecto a métodos

cl+sicos, los resultados por todos los métodos propuestos dieron similares.

-%a variación de la longitud de la cuerda no a&ectó los resultados, se mantuvo proporcional la

longitud con el periodo.


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Anexo

Método #

=1 ; 6.?? seg

% ; 1.AA m

F ( L ,T )=g= L

( T 2π )2

Eg=|∂F ∂L E L|+|∂F ∂T ET |

E L=0.001

m

ET =0.001 seg

g= L

( T 2π )2

⇒

reemplazandolos valoresT 1 y L

⇒

g=10.228 (m / seg2 )

∂ F

∂ L=

1

( T 2π )2

⇒

reemplazando el valor T 1

⇒ ∂ F

∂ L=5.140 (1/ seg2 )

∂F

∂T =

−8 π 2 LT

3

⇒

reemplazandolosvalores T 1 y L

⇒

∂ F

∂T =−7.096 (m / seg3 )

%uego(

Eg=0.012 (m/seg2 )

Por lo tanto(

g=(10.228±0.012 ) [m / seg2 ]


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Método 2

T́ =2.8274 seg

ǵ= 1.99m

(2.8274 seg

2 π )

2=10.08 (m / seg2 )

σ =√∑ ε i2 N

=0.09

g=(10.08±0.09 ) [m/seg2 ]

Método $

y=3.880 x+0.368

x prom= L prom=1.464m

L prom=1.99m+1.74m+1.47m+1.10m+1.02m

5

L prom=1.464m

g= 1,46m

(2.442 seg

2π )

2

⇒

g=9.939 (m/ seg2 )

Método %

= ; .6 ±0.033

seg


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=1 ; . ±0.033

seg

=1 2 = ; 6.? ±0.033

seg

g= 1,990m

(2.833 seg

2 π )

2 =(10,049±0.012 ) [m/seg2 ]

g prom=(9.520±0.012) [m /seg2 ]

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Determinación Experimental de La Aceleración de La Gravedad Utilizando Un Péndulo Simple