DETERMINANTESDETERMINANTES

DETERMINANTESDETERMINANTES

Concepto:Concepto:Un determinante es una arreglo de números o letrasllamados elementos ordenados con el mismo número defilas (o renglones) y columnas limitado por dos líneasverticales. El objetivo principal es la solución de

ecuacionesde primer grado.

El número de filas o columnas determina el grado uorden del determinante.

a b

c d

Elemento

Diagonal Secundaria

Columna

Fila

Diagonal Principal

ORDEN DE UN DETERMINANTESORDEN DE UN DETERMINANTES

Un determinante de segundo orden o grado es el que está constituido por dos filas y dos columnas. Un determinante de dicho orden se resuelve con el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

a b

c d

A= A= ad - bc

Un determinante de tercer orden es que está constituido por tres filas y tres columnas y se resuelve por el “Método de Sarrus”, que consiste en agregar las dos primeras filas o las dos primeras columnas.

a b c c d ef g h

B =

DETERMINANTE DE TERCER GRADO DETERMINANTE DE TERCER GRADO MÉTODO DE SARRUSMÉTODO DE SARRUS

a b c c d ef g ha b cc d e

B =

a b c a bd e f d eg h i g h

B =

B =

1 1 3

4 -2 0

5 1 -3

EJEMPLO: SOLUCIÓN:

2 1 3 2 1

4 -2 0 4 -2

5 1 -3 5 1

= (12 + 0 + 12) - (-12 + 0 -30)

= 24 - (-42)

= 66

DETERMINANTE DE “ENÉSIMO”DETERMINANTE DE “ENÉSIMO” ORDEN ORDEN

a a 11 11 a a 1212 a a 1313 a a 1414 ……a ……a 1n1n

a a 2121 a a 22 22 a a 2323 a a 2424 ……a ……a 2n2n

a a 31 31 a a 3232 a a 3333 a a 34 34 ……a ……a 3n3n

. .. .

. .. .

a a n1 n1 a a n2 n2 a a n3 n3 a a n4n4 ……..a ……..a nnnn

Un determinante con estas características, es un ordenamiento cuadrado de N filas y N columnas.

El procedimiento de Sarrus sólo resuelve determinantes de tercer orden; un determinante de tercer orden en adelante podrá ser resuelto por el Procedimiento de “La Place” o “Chio”

SIGNO DE CADA ELEMENTOSIGNO DE CADA ELEMENTO

La ubicación de cada elemento está determinado por el subíndice, ejemplo:

a 21 en donde el 2 es la fila y el 1 es la columna donde se encuentra colocado el elemento

Si sumamos el subíndice de la posición de un elemento y dicha suma resulta un número par el signo se ese elemento será positivo (+), análogamente si la suma resulta un número impar le corresponderá signo negativo (-).

aFILA

COLUMNA21

MENOR DE UN ELEMENTO DE UN MENOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE.DETERMINANTE.

Es un determinante de grado inmediato inferior que se forma suprimiendo la columna y fila de un elemento determinado.

Ejemplo:

Encontrar el menor del elemento “d”.

= a b c c d ef g h

B = a c

f h

COFACTOR DE UN ELEMENTO DE COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTEUN DETERMINANTE

El cofactor se forma anteponiendo el signo positivo (+) o Negativo (-), al menor de un elemento de un determinante; según corresponda la posición de dicho elemento.

Ejemplo: d22 , al sumar la posición del elemento “d”, el resultado es 4 por lo tanto es un número par y corresponde el signo positivo (+):

a b c c d ef g h

B = = + a c

f h

PROCEDIMIENTO DE “LA PLACE”PROCEDIMIENTO DE “LA PLACE”

Dado un determinante elegiremos una fila o una columna.

Cada uno de los elementos de la fila o columna elegida se multiplica por su cofactor.

Se resuelven los determinantes, se multiplican por el elemento correspondiente y se obtiene su valor simplificando:

Ejemplo:

B =

• 112 3

4 -222 0

5 132 -3

== -1 1 0

5 -3-2 2 3

5 -3

-1 2 3

4 0

== -1(-12 +0) -2(-6-15)-1(0 -12) == + 12 + 42 + 12

== 66

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTESGRADO POR: DETERMINANTES

Encuentra el área de un terreno de forma de triángulo rectángulo que

satisface las siguientes condiciones:a) su perímetro es igual a 2, 400 metros cuadrados. b) El doble de la hipotenusa es igual al doble del cateto menor más el mayor. c) Seis veces el cateto menor más 8 veces el mayor menos 10 veces la hipotenusa es igual a 0. Solución:Dadas las condiciones del problema se traducen al lenguaje algebraico:

a

b

cca

c

b

ac

b

ac

a = Cateto menor 1. P = 2,400 = a+b+c

b= Cateto mayor 2. 2c = 2a + b

c = Hipotenusa 3. 6a + 8b – 10c = 0

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTESGRADO POR: DETERMINANTES

1. P = 2,400 = a+b+c

2. 2c = 2a + b

3. 6a + 8b – 10c = 0

Ordenamos las ecuaciones e igualamos las ecuaciones con su término independiente:

1. a+b+c = 2400

2. 2a + b – 2c = 0

3. 6a + 8b -10c = 0

Formamos el “Determinante del sistema” (coeficientes de las incógnitas ):

1 1 1 2 1 -26 8 -10

Δ s = = 24

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTESGRADO POR: DETERMINANTES

Obtendremos el Determinante en “a”: sustituimos los elementos de la primera columna por los términos independientes:

2400 1 1 0 1 -20 8 -10

Δa = = 14,400

Obtendremos el Determinante en “b”: sustituimos los elementos de la segunda columna por los términos independientes:

1 2400 1 2 0 -26 0 -10

Δb = = 19,200

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTESGRADO POR: DETERMINANTES

Obtendremos el Determinante en “c”: sustituimos los elementos de la tercera columna por los términos independientes:

1 1 2400 2 1 06 8 0

Δc = = 24,000

Obtendremos los valores de los lados del terreno aplicando la siguiente fórmula:

Δa Δs

a = Δb Δs

b = Δc Δs

c =

14,400 24

a = b = 19,200 24

c = 24,000 24

Por lo tanto a= 600 m; b= 800 m; y c= 1000 m. Así que área = (a*b)/2.

A = 240,000 m2.