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DIAGRAMA DE ARBOL Y COMBINATORIA
ARREGLO DE OBJETOS. - Es la acción de arreglar, componer u ordenar objetos
determinados en los estudios de probabilidades. Una forma útil de contar todos los posibles
arreglos de un conjunto de datos es por medio de un DIAGRAMA DE ÁRBOL, que es una
gráfica en donde se presentan todos los posibles arreglos de uno ó varios eventos en forma
de árbol.
ÁRBOL DE PROBABILIDAD O DIAGRAMA DE ÁRBOL
Un Árbol de Probabilidad o Diagrama de Árbol es una herramienta utilizada para determinar
si en el cálculo de diversas opciones es necesario conocer el número de objetos que forman
parte del espacio muestral, los cuales se pueden determinar con la construcción de un
Diagrama de Árbol (Wikipedia). El diagrama de árbol es una herramienta de gran utilidad
en el proceso de toma de decisiones, sabemos que no es una bola de cristal que todo lo sabe,
sin embargo, facilita información útil y necesaria que te orientan en la dirección correcta para
la toma de decisiones.
Todos los administradores en algún momento de nuestra vida debemos tomar decisiones
referentes, al trabajo, los negocios, las empresas, se manejan en base a decisiones que
conducen diferentes acciones, una decisión errada puede generar una gran pérdida
económica, desaprovechamiento de los recursos e incluso causar un impacto negativo sobre
la imagen de la empresa, en ese sentido, un Diagrama de Árbol es una representación gráfica
de gran importancia que consta de múltiples pasos, donde cada uno de dichos pasos posee
varias maneras de llevarse a cabo.Es decir, se utiliza para determinar el cálculo de
cuantiosas probabilidades cuando se conocen las opciones de la muestra. Esta herramienta
se fundamenta en la probabilidad condicionada, la cual supone que ocurra un evento A, con
conocimiento que también ocurre otro evento B. Definidos como eventos dependientes, es
decir, para que ocurra un evento A, es preciso que suceda el evento B.
Un diagrama de árbol parte de lo general y se dirige a lo específico, vale decir que, la base
es el problema y las ramificaciones son los niveles subsecuentes o causas. Es útil en la
construcción de agrupación, bien sean combinaciones, variaciones o permutaciones. Se
utiliza en diversos ámbitos, ya sea científico, económico, social. Un diagrama de árbol es
muy útil en la toma de decisiones en negocios, se utiliza en la planificación estratégica, al
estudiar una investigación de mercado, y al abordar ciertas conclusiones. En el mundo de
financiamiento, los bancos y prestamistas usan esta herramienta para calcular el riesgo y las
oportunidades de inversión. En general el diagrama de árbol se usa para evaluar cualquier
inquietud, pregunta y/o visualizar los posibles resultados.
En el ámbito científico, un diagrama de árbol es de gran utilidad en la resolución de
problemas de experimentos compuestos, es decir donde se llevan a cabo más de un
experimento aleatorio. Resulta una herramienta necesaria para mantener el equipo de trabajo
vinculado con las metas y sub-metas de una tarea, de una forma tal que se comprenda en
general las acciones llevadas a cabo, permitiendo destacar la importancia de establecer
soluciones a los problemas detectados, además de identificar las consecuencias o posibles
problemas que generarían las soluciones planteadas.
2
COMO SE ELABORA DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama de árbol o de decisiones (también llamados árbol de toma de decisiones, árbol
de decisión o árboles de decisiones) es un esquema que representa las alternativas
disponibles para quien va a tomar la decisión en un momento dado, además de las
circunstancias y consecuencias de cada elección. Su nombre proviene del aspecto similar a
un árbol y sus ramificaciones que tiene este diagrama.
Un diagrama de árbol de probabilidad enumera los resultados probables de un problema dada.
Los docentes de estadística normalmente les piden a sus estudiantes que los elaboren para
solucionar problemas de probabilidad. Los que trabajen con éstos por primera vez deberían
comenzar entendiendo cómo expresar las probabilidades asociadas con una situación que
tiene dos o más resultados posibles. Los modelos incluyen encontrar la probabilidad de
seleccionar al azar una bola de una bolsa que contiene dos colores, o la probabilidad de
obtener cara o cruz al tirar una moneda, entre muchos otros. Las empresas siempre deben
tomar decisiones trascendentes todo el tiempo; una mala elección puede significar grandes
pérdidas e incluso su desaparición.
Una manera útil de evaluar cuál debe ser la mejor alternativa al momento de tomar una
decisión es elaborar un árbol de decisiones o diagrama de árbol. En este caso conocerás cómo
hacer un diagrama de árbol de decisiones paso a paso, por medio de ejemplos resueltos,
para elaborar tus diagramas. Veamos los siguientes pasos:
Paso 1, se dibuja un gran signo "mayor que" si se inicia con 2 casos, <, que constituye las
dos primeras ramas del árbol. Cada rama simboliza el resultado de unas circunstancias.
Paso 2, suponemos que tenemos una bolsa que contiene 12 bolas rojas y ocho blancas.
Paso 3, colocamos o anotamos un punto donde las dos ramas se unen. El punto simboliza el
primer evento, cuya probabilidad es la suma de las probabilidades asignadas a sus ramas y
que siempre esa suma tiene que ser 1.
Paso 4 Se indica qué rama representa cada situación. Escribe "Rojo", o simplemente "R", al
lado de una rama, y "Blanco", o "B", en la otra.
Paso 5 Se anota en la rama, la probabilidad de cada situación que podría ocurrir, por ejemplo,
la probabilidad de seleccionar una bola roja de la bolsa. Como Hay 20 bolas en total (8
blancas + 12 rojas), entonces, la probabilidad de elegir una bola roja es de 12/20. En este
caso se escribe 8/20 al lado de la segunda rama que son las bolas blancas. También puedes
expresar cada una como fracción, lo que facilitará los cálculos que podrías tener que realizar
posteriormente.
Paso 6 Aquí se puede continuar el árbol, eligiendo otra bola roja o blanca, expandiendo así
el diagrama de árbol. Entonces, es necesario dibujar otro signo "mayor que", conectado por
3
un punto, que salga de cada extremo de las ramas originales. Ahora tendrás cuatro ramas
nuevas en el árbol.
Paso 7 Usaremos el mismo procedimiento para designar a las primeras dos ramas para
representar la situación de seleccionar otra bola roja o blanca, después de haber sacado una
bola roja. Igualmente, designamos a las ramas restantes para representar la circunstancia de
seleccionar otra bola roja o blanca después de sacar una blanca. Tomando en cuenta que se
sacó una de las bolas durante la ronda anterior, se expresa las posibilidades en la segunda
ronda de elección de bolas de la bolsa sobre 19, y no 20.
Paso 8 Se continúa agregando ramas y sus probabilidades correspondientes, si el problema
en cuestión implica más situaciones.
Paso 9 Se Multiplican todas las probabilidades (De izquierda a derecha, y cuando se quiere
encontrar las probabilidades de arriba abajo, en ese caso, se suman los eventos) de múltiples
ramas para determinar la posibilidad de una secuencia específica de eventos. Supón que
debes encontrar la probabilidad de seleccionar dos canicas rojas seguidas. La probabilidad
de seleccionar una bola roja durante la primera ronda es de 12/20. Durante la segunda ronda,
la probabilidad sería 11/19 ya que quedan 19 canicas en total y 11 rojas. Por lo tanto, la
posibilidad de elegir una bola roja y luego otra equivaldría al producto de 12/20*11/19.
¿Qué es un diagrama árbol o de decisiones?
Un diagrama de árbol o decisiones es un esquema que simboliza las alternativas
disponibles para quien va a tomar la decisión, incluyendo las circunstancias y
consecuencias de cada elección. Su nombre arranca del aspecto análogo a un árbol y sus
ramificaciones que tiene este diagrama. Los árboles de decisiones están integrados por un
conjunto de nodos de decisiones con ramas que llegan y salen de ellos. Los mismos pueden
ser:
Nodos Cuadrados o de decisión: Constituyen los puntos de decisión donde se
expresan las diferentes alternativas disponibles a elegir. Se escoge la alternativa que
presenta el mayor valor esperado.
Nodos Circulares o de probabilidad: Son aquellos de donde salen las diversas
ramificaciones que muestran los hechos aleatorios que poseen una probabilidad de
ocurrencia. La suma de las probabilidades de cada suceso (rama) que sale de un nodo
circular debe ser uno. El valor esperado del nodo se obtiene realizando un promedio
ponderado de las ramificaciones con sus probabilidades.
Nodos Terminales: Son aquellos que representan un resultado definitivo de una
ramificación.
Las ramificaciones se representan de la manera siguiente:
Ramificaciones alternativas: Cada ramificación representa un resultado probable.
Alternativa rechazada: Después que se desarrolla el árbol, las alternativas que no se
eligen se marcan con dos líneas.
4
Esta herramienta se utiliza ampliamente en la toma de decisiones tales como:
Planificación de productos.
Análisis de procesos.
Capacidad de planta.
Alternativas de localización, entre otros.
Un diagrama de árbol es útil en la construcción de agrupación, bien sean
combinaciones, variaciones o permutaciones y en la Solución de problemas
estadísticos diversos.
SIMBOLOS UTILIZADOS EN UN DIAGRAMA DE ARBOL O DESICIONES
2.- La Compañía Expando, Inc., considera la posibilidad de construir una fábrica
adicional para su línea de productos. En la actualidad, la compañía considera dos
opciones:
La primera es una instalación pequeña cuya edificación costaría 6 millones de dólares.
Si la demanda de los nuevos productos es floja, la compañía espera recibir 10 millones
de dólares en forma de ingresos descontados (valor presente de ingresos futuros) con la
fábrica pequeña. Por otro lado, si la demanda es mucha, espera 12 millones de dólares
por concepto de ingresos descontados con la fábrica pequeña.
5
La segunda opción es construir una fábrica grande con un costo de 9 millones de
dólares. Si la demanda fuera poca, la compañía esperaría 10 millones de dólares de
ingresos descontados con la planta grande. Si la demanda es mucha, la compañía estima
que los ingresos descontados sumarían 14 millones de dólares. En los dos casos, la
probabilidad de que la demanda sea mucha es 0.40, y la probabilidad de que sea poca,
0.60.
La tercera opción no construye una nueva fábrica no se generarían ingresos adicionales
porque las fábricas existentes no pueden producir estos nuevos productos.
Elabore un árbol de decisión que ayude a Expando a determinar la mejor opción.
Solución:
Elaboramos el árbol de decisión según las opciones que nos muestra el problema:
Procedemos a calcular los extremos de los nodos de nuestro árbol:
Finalmente calculamos los valores de los nodos intermedios y marcamos con 2 líneas las
alternativas rechazadas.
6
En este problema la mejor alternativa es construir una fábrica pequeña, ya que
representa un mayor valor esperado.
Reflexión Final:
En esta entrada hemos aprendido los conceptos necesarios para elaborar nuestros
diagramas de árboles de decisión paso a paso y sin inconvenientes, además de revisar
algunos ejemplos sencillos para fortalecer el aprendizaje.
Recuerda que la importancia del árbol de decisiones radica en que es una herramienta
flexible que nos permite evaluar diferentes alternativas de un determinado proyecto o
problema, por ello es un tema de estudio obligado para la gerencia. En la práctica, al
visualizar las diferentes rutas que podemos tomar; es posible que encontremos un curso de
acción que no habíamos considerado antes, o decidamos combinar caminos para optimizar
sus resultados. Todo depende de nuestra creatividad para poder evaluar nuestros proyectos.
Un Diagrama de Árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. Para calcular muchas probabilidades es necesario
conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, los mismos es posible
determinarlos con la construcción de un diagrama de árbol.
Para construir un diagrama en árbol se partirá de dos ramas por lo menos para cada una de
las posibilidades, acompañada de sus probabilidades, las cuales sumadas deben dar 1. Cada
una de esas ramas se le denomina rama de primera generación. Al final de cada rama de
primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas
como ramas de segunda, tercera, cuarta y demás generación, según las posibilidades
establecidas en el total de eventos a realizar, salvo si el nudo representa un posible final del
experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol No
depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama
de primera generación y, lo que es más importante, que la suma de probabilidades de las
ramas de cada nudo deben dar 1. Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que
hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:
7
Siempre, multiplicaremos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas, vale
decir derecha izquierda o viceversa), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que
emergen de un mismo punto, vale decir, de arriba hacia abajo o viceversa.
4.- Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada
facultad.
Solución:
Construimos el diagrama de árbol, partiendo de la primera información que tenemos: las
facultades (F) que forman la universidad y de cada una de las facultades saldrán dos ramas
para indicar el porcentaje de mujeres (M) y hombres (H), colocando encima de cada rama su
probabilidad y comprobando que su suma sea la unidad.
Cómo resolveríamos la siguiente cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una
alumna de la primera facultad?
RAIZ
F1
M
H
F2
M
H
F3
M
H
8
Multiplicando las ramas de 1ª facultad y que sea mujer, tendremos:
P (alumna de la 1a facultad1) = 0,5*0,6 = 0,3
Y, cómo resolveríamos ahora esta cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un
alumno hombre?
Multiplicando las probabilidades de las ramas de 1ª facultad y que sea hombre, más la
multiplicación de las probabilidades de las ramas de 2ª facultad y que sea hombre y también
habrá que sumarle la probabilidad de multiplicar las probabilidades de las ramas de la 3ª
facultad y que sea hombre, por lo que tendremos:
RAIZ
F1
M P(F1 y M) = 0.5*0.6 = 0.3
H
F2
M
H
F3
M
H
RAIZ
F1
M
H P(F1 y H) = 0.5*0.4 = 0.2
F2
M
H P(F2 y H) = 0.25*0.4 = 0.1
F3
M
H P(F3 y H) = 0.25*0.4 = 0.1
9
P (F1,2,3 y que sea hombre) = 0,5*0,4 + 0,25*0,4 + 0,25*0,4 = 0,4
4.- Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 7, 2, 3 y 8.
Calcula la probabilidad de que dicho número sea mayor que 7500.
.3333.03
1
12
4
12
31
4
1
12
1
4
1
3
1*
4
1)7500....(Pr
NumerodeobabilidadP
5.- Tenemos una urna con 3 bolas amarillas y 5 bolas negras si extraemos 2
bolas con devolución calcular la probabilidad de:
a) Que sean las dos amarillas
b) Que sean las dos negras
c) Que sean del mismo color
d) Que sean de distinto color
RAIZ
2 No cumple la condicion de ser>7500
3 No cumple la condicion de ser>7500
7
2 No cumple la condicion de ser>7500
3 No cumple la condicion de ser>7500
8 Si cumple la condicion de ser>7500: 1/4*1/3 = 1/12
8 Si cumple la condicion de ser>7500: 1/4
10
A = Sacar bolaAmarilla; N = Sacar bola Negra.
%.88,4664
30
64
15
64
15
8
3*
8
5
8
5*
8
3)()().
%.12,5364
34
64
25
64
9)()().
%.06,3964
25
8
5*
8
5)().
%.06,1464
9
8
3*
8
3)().
ANPNApd
NNPAAPc
NNPb
AAPa
6.-Tenemos una urna con 4 bolas verdes y 3 bolas azules si extraemos 2
bolas sin devolución calcular la probabilidad de:
a) Que sean los dos verdes
b) Que sean las dos azules
c) Que sean del mismo color
d) Que sean de distinto color
RAIZ
A
3/8
A
3/8
N
5/8
N
5/8
A
3/8
N
5/8
11
V = Sacar Bola Verde; A = Sacar Bola Azul
%.14,575714.07
4
21
12
42
24
42
12
42
12
6
4*
7
3
6
3*
7
4)()().
%,86.424286.07
3
7
1
7
2)()().
%.29.141429.07
1
6*7
6
6
2*
7
3)().
%.57.282857.07
2
42
12
6
3*
7
4)().
VAPAVPd
AAPVVPc
AAPb
VVPa
7.- Una empresa utiliza dos servidores para conectarse a Internet. El primero, 1 S, lo
utiliza el 45% de las veces y el segundo, 2 S, el resto. Cuando se conecta a Internet con
1 S, los ordenadores se bloquean el 5% de las veces, y cuando lo hace con 2 S el 8%.
Dibuja el diagrama de árbol asociado a este ejercicio y escribe la probabilidad de cada
uno de sus tramos.
RAIZ
V
4/7
V
3/6
A
3/6
A
3/7
V
4/6
A
2/6
12
%.6.5092.0*55.0)......2().
%.40,408.0*55.0)....2().
%.75,4295.0*45.0)......1().
%.25.205.0*45.0)....1().
BloqueaSeN oSPd
BloqueaSeSPc
Bloqueas eN oSpb
BloqueaSeSPa
8.- El 35 % de los estudiantes de un centro docente practica el fútbol. El 70 % de los
que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25 % de los que no practican
el fútbol.
Dibuja el diagrama de árbol asociado a este ejercicio y asigna la probabilidad a cada
uno de sus tramos.
13
%.75.4875.0*65.0)...().
%.25.1625.0*65.0)..().
%50.103.0*35.0)..().
%.5.2470.0*35.0).().
MatemáticaN oFútbolN oPd
MatemáticaFútbolN oPc
MatemáticaN oFútbolPb
MatemáticaFútbolPa
9.- Una bolsa contiene 2 bolas negras y 3 blancas. Otra bolsa tiene 4 bolas negras y 2
blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola. Calcular la
probabilidad de:
a).- La bola es blanca y de la bolsa 1.
b).- La bola es blanca.
c).- Si la bola es negra, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la bolsa 2?
Solución: Es un experimento compuesto, para analizarlo utilizaremos un diagrama de
árbol, etiquetando las ramas con las probabilidades condicionales.
RAIZ
Bola1
Negra
Blanca
Bola2
Negra
Blanca
14
10.- Una urna (A) contiene siete bolas, numeradas del 1 al 7; otra urna (B) tiene cinco
bolas, numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale
cara, extraemos una bola de la urna A; si sale sello, la extraemos de la B. • ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número par? • Sabiendo que salió un número par, ¿cuál
es la probabilidad de que fuera de la urna A?
Hacemos un diagrama en árbol.
15
P(A y Par) = ½*3/7 =3/14.
P(B y Par) = 1/2*2/5 = 1/5
%.73.515173.029
15
29*2*7
7*10*3
70
2914
3
)(
)()/(
70
29
70
1415
5
1
14
3)(
ParP
AParPParAP
ParP
Los procedimientos de cálculo para hallar el número de arreglos probables de objetos de un
conjunto, son indispensables en el estudio de probabilidades. Al enumerar los arreglos, es
útil contar todos los posibles arreglos en la forma de un árbol, llamado diagrama de árbol;
también se puede aplicar el método de la REGLA MULTIPLICATIVA o principio
multiplicativo del conteo ó también aplicando las técnicas de la teoría combinatoria
(variación y combinación).
11.- En el armario de Luis hay 6 camisetas blancas, 4 azules, 3 negras y 2 rojas. Si saca
consecutivamente 2 camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza? Dibuja un diagrama
en árbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
raiz
A
1/2
Par
3/7P(A y Par) = 1/2*3/7 = 3/14 = 21.43%.
Impar
4/7
B
1/2
Par
2/5
Impar
3/5P (B y Par) = 1/2*2/5 = 1/5 = 20%.
16
a) Sacar dos camisetas negras. b) Sacar una camiseta blanca y otra azul. c) No sacar
ninguna camiseta roja.
1).- ¿Qué tipo de experimento realiza? El Experimento que se realiza es Aleatorio.
2).- Dibuja un diagrama con los resultados posibles:
a) Sacar dos camisetas rojas.
b) Sacar una camiseta blanca y otra azul.
c) No sacar ninguna camiseta roja.
E
B
B
A
N
R P(Sacar R) = 6/15*2/14 = 12/210
A
B
A
N
P(Sacar R) = 4/15*2/14 = 8/210
NB
N
R P(Sacar R) = 3/15*2/14 = 6/210R
B
N
R P(Sacar R) = 2/15*1/14 = 2/210
17
12.- En un centro de enseñanza secundaria, el 55% de los estudiantes matriculados son
chicas. Se sabe que el 65 % de las alumnas no han estado enfermas durante el curso y
que el 25 % de los alumnos tampoco. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que se haya encontrado enfermo? Realiza el diagrama en árbol
correspondiente.
13.- Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y,
si sale cara, se extrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda.
Dibuja un diagrama en árbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula la
probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
14.- Pedro desea coger la bicicleta guardada en su garaje, y para ello necesita abrir dos
puertas. Dispone de 4 llaves: dos de ellas abren la primera puerta; otra de ellas, la
segunda, y la cuarta es maestra. ¿Cuál es la probabilidad de que abra las dos puertas
en el primer intento si escoge las llaves al azar?
Condiciones:
1.- Llave 1, Abre Puerta 1 (P1).
2.- Llave 2, Abre Puerta 1(P1).
3.- Llave 3, Abre Puerta 2 (P2).
4,- Llave Maestra (M), Abre (P1 y P2).
P (Abrir P1) = P(Ll1) + P(Ll2) + P(LlM)
P (Abrir P1) = 1/4+ 1/4 + 1/4 = 3/4
P (Abrir P2) = P(Ll3) + P(LlM)
P (Abrir p2) = 1/4+1/4 = 2/4
18
%.50.37375.08
3
16
6
4
2*
4
3)( 21 PPP
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. - El mismo está basado en el método de
razonamiento del diagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puede efectuarse,
de a maneras diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b maneras diferentes,
una tercera acción puede efectuarse de c maneras diferentes, y así sucesivamente para n
acciones, entonces el número total de maneras diferentes en que pueden efectuarse todas
estas acciones en el orden mencionado está dado por: axbxc...xn".
15. - Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N)
y verde(V), también posee dos pantalones, gris(G) y azul (A). ¿De cuantas maneras pueden
combinarse los pantalones con las camisas o viceversa? Elabore un diagrama de árbol…
P
P1
Ll
1
Ll
2
Ll
3
Ll
M
P2
Ll
1
Ll
2
Ll
3
Ll
M
19
Como puede verse en el diagrama de árbol, se puede hacer de 8 maneras diferentes.
Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes:
1.- Aperitivo: Sopa (S), o Ensalada (E).
2.- Pato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P).
3.- Postre: Torta (T), o Helado (H).
Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas
(aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir.
20
Como se puede observar en el diagrama de árbol M hay 12 arreglos posibles.
Los resultados obtenidos con el diagrama de árbol también se pueden, obtener aplicando la
regla multiplicativa: En el caso primero tenemos que multiplicar 4x2 = 8 posibles arreglos;
en el segundo problema se multiplica 2x3x2=12 posibles arreglos el mismo resultado que
se logró con el diagrama de árbol.
16.- Se lanzan al aire 4 monedas y se anota el resultado de la cara superior. ¿Qué tipo de
experimento se realiza? Forma el diagrama en árbol y calcula la probabilidad de obtener 4
caras.
El experimento que se realiza es un experimento Aleatorio.
1ra Moneda 2da Moneda 3ra Moneda 4ta Moneda Resultado.
17.- Una bolsa tiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes y se sacan, consecutivamente y sin
reemplazamiento, 2 bolas. Realiza un diagrama en árbol del experimento y calcula la
probabilidad de que: a) La primera bola sea azul y la segunda roja. b) Las dos sean azules. c)
Las dos sean del mismo color.
C
C
C
C p (ccccc) = 1/2*1/2*1/2*/2 = 1/16
X
XC
X
X
C C
X
X C
X
XC
C C
X
X
C
X
X C C
XX
C
X
21
a) La primera bola sea azul y la segunda roja.
b) Las dos sean azules.
c) Las dos sean del mismo color
18.- Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los
próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno de ellos}, B
BOLSA
R
5/10
R
4/9
A
3/9
V
2/9
A
3/10
R
5/9
A
2/9
V
2/9
V
2/10
R
5/9
A
3/9
V
1/9
22
= {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos
..,.,. CByCABA
23
Otra forma de hacer el ejercicio:
18.- Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los
próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno de ellos}, B
= {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos
..,.,. CByCABA
24
Todo lo anterior se podría haber simplificado bastante si utilizamos un diagrama de árbol
como el siguiente:
MG = Mete Gol.
NMG = No Mete Gol.
JDF = Jugador de Futbol.
.25
12
125
60
125
48
125
12)(
.125
4
5
1*
5
1*
5
4)(
.125
48
125
16
125
16
125
16
5
4*
5
4*
5
1
5
4*
5
1*
5
4
5
1*
5
4*
5
4)(
.125
12
125
4
125
4
125
4
5
4*
5
1*
5
1
5
1*
5
4*
5
1
5
1*
5
1*
5
4)(
BAP
CP
BP
AP
JDF
MG1
MG2
MG31
NMG32 P (B, M 2 de 3 G) = 4/5*4/5*1/5 = 16/125
NMG2
MG33 P (B, M 2 de 3 G) = 4/5*1/5*4/5 = 16/125
NM
G3
4
P (C, M el Primer G) = 4/5*1/5*1/5 = 4/125
P (A, M solo 1 de 3) = 4/5*1/5*1/5 = 4/125
NMG1
MG2 MG3 5 P (B, M 2 de 3 G) = 1/5*4/5*4/5 = 16/125
NMG3 6 P (A, M solo 1 de 3) = 1/5*4/5*1/5 = 4/125
NMG2
MG3 7 P (A, M solo 1 de 3) = 1/5*1/5*4/5 = 4/125
NMG3 8
25
Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. En experimentos compuestos se ha de
recordar que la probabilidad de un suceso elemental del mismo puede calcularse
multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia
compuesta. En el fondo el experimento lanzar sucesivamente tres penaltis es la experiencia
compuesta de lanzar un penalti, luego otro y por fin el tercero. El uso de diagramas de árbol
en este tipo de situaciones es fundamental para la correcta realización del ejercicio.
19.- En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al azar, halla la
probabilidad de: a) Seleccionar 3 niños. b) Seleccionar 2 niños y una niña. c) Seleccionar, al
menos, un niño.
Solución: Este ejercicio es similar al anterior. Observemos el siguiente diagrama:
E
V
V
V P(Sacar 3V) = 10/16*9/15*8/14 = 720/3360 = 3/14 = 0.2143 1
H P(Sacar 2V Y 1H) = 10/16*9/15*6/14 = 540/3360 = 0. 2
H
V P(Sacar 2V Y 1H) = 10/16*6/15*9/14 = 540/3360 = 0. 3
H 4
HV V P(Sacar 2V Y 1H) = 6/16*10/15*9/14 = 540/3360 = 0. 5
H 6
HV 7
H P(Sacar 3H) = 6/16*5/15*4/14 = 120/3360 = 1/28 = 0357 8
26
27
20.- Tenemos dos urnas; una A con 4 bolas rojas y 6 blancas, y otra B con 7 bolas rojas y 3
blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A
continuación, se extrae una bola de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que las 2
bolas extraídas sean del mismo color.
Solución: Obsérvese el siguiente diagrama. Hay que fijarse bien en las últimas
ramificaciones: las probabilidades que aquí se contemplan proceden de la urna contraria a la
de que parten, pues según las condiciones del problema la segunda bola que se saca procede
de urna distinta a la primera.
21.- Una fábrica produce tres tipos diferentes de bolígrafos, A, B y C. El número total de
unidades producidas de cada uno de ellos es el mismo (un tercio del total). Salen defectuosos,
sin embargo, un 15 por mil de todos los del tipo A, un 3 por mil de todos los del tipo B y un
7 por mil de todos los del tipo C. En un control de calidad se detectan el 70% de todos los
bolígrafos defectuosos del tipo A, el 80% de los del tipo B y el 90% de los del tipo C. Si se
saca al azar uno de estos bolígrafos defectuosos que se han tirado, calcula la probabilidad
de que sea del tipo A.
Solución: Llamemos A = {bolígrafo del tipo A}, B = {bolígrafo del tipo B}, C = {bolígrafo
del tipo C}, D = {bolígrafo defectuoso} y T = {tirar un bolígrafo}. Observemos el
siguiente diagrama:
28
Es importante en casos como este, hacer una reflexión acerca de la aplicación del teorema de
Bayes. Obsérvese que el suceso TD es la unión de los tres sucesos siguientes,
incompatibles además dos a dos: TDCTDBTDA ,.,. . Basta aplicar ahora en
cada caso la probabilidad de la intersección de tres sucesos. Haciendo uso del diagrama en
árbol la resolución del ejercicio es casi inmediata y además todo lo anterior adquiere sentido.
Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. En experimentos compuestos se ha de
recordar que la probabilidad de un suceso elemental del mismo puede calcularse
multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia
compuesta. En el fondo el experimento lanzar sucesivamente tres penaltis es la experiencia
compuesta de lanzar un penalti, luego otro y por fin el tercero. El uso de diagramas de árbol
en este tipo de situaciones es fundamental para la correcta realización del ejercicio.
22.- Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro
factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada
RAIZ
AD
T
BD
T
CD
T
29
factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de
envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto
de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente
envasado?
Primeramente, Resolveremos el Problema Aplicando un Diagrama de Árbol.
B = Envasado Bueno
D = Envasado Defectuoso
P(Envasado Defectuoso) = P(F1D) + P(F2D) + P(F3D) + P(F4D)
P(Envasado Defectuoso) = 0.004+0.006+0.014+0.004 = 0.028 = 2.80%.
Llamando D = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este
producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según El Teorema
de la Probabilidad Total y teniendo en cuenta las probabilidades, tenemos:
P(D) = P(F1) · P(D/F1) + P(F2) · P(D/F2) + P(F3) · P(D/F3) + P(F4) · P(D/F4) =
= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =
= 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
23.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total
de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de
estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a) Si se selecciona una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
A
F1
B
D P(F1D) = 0.4*0.01 = 0.004
F2B
D P(F2D) = 0.3*0.02 = 0.006
F3
B
D P(F3D) = 0.2*0.07 = 0.014
F4B
D P(F4D) = 0.1*0.04 = 0.004
30
b) Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de
haber sido producida por la máquina B.
c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza
defectuosa?
Sea D = "la pieza es defectuosa" y ND = "la pieza no es defectuosa".
a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la
propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b) Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya
calculado.
Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.
23.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total
de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de
estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a) Si se selecciona una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b) Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de
haber sido producida por la máquina B.
c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza
defectuosa?
31
a).- Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), se calcula la
Sumatoria de la producción de las maquinas por el porcentaje de producción defectuoso de
cada máquina, el resultado es la probabilidad buscada (Observe el Árbol).
%.80.3038.005.0*25.004.0*30.003,0*45.0)()()( CDPBDPADPDP
b) Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de
haber sido producida por la máquina B. Para ello se calcula la Sumatoria de la producción
de las maquinas por el porcentaje de producción defectuoso de cada máquina (0.038), y se
calcula el porcentaje de producción defectuoso de la máquina B (0.012), este resultado se
divide entre el resultado de la producción total de las maquinas (0.038) y el resultado es la
probabilidad buscada.
P (Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de
haber sido producida por la máquina B. Para ello) = 0.012 /0.038 = 0.316 = 31.60%.
c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza
defectuosa? Para ello se Calcula P(A/D), P(B/D) y P(C/D), y la mayor probabilidad obtenida
es el resultado buscado.
P(A/D) = 0.0135 /0.038 = 0.355 = 35.50%.
P(B/D) = 0.0120 /0.038 = 0.316 = 31.60%.
P(C/D) = 0.0125 /0.038 = 0.329 = 32.90%.
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.
M
AD P(AD) = 0.45*0.03 = 0.0135
ND
BD P(BD) = 0.30*0.04 = 0.0120
ND
C D P(CD) = 0.25*0.05 = 0.0125
ND
32
Para concluir lo referente a un diagrama de árbol podemos aseverar que:
Un diagrama de árbol es una herramienta fundamental para determinar los posibles resultados de los experimentos en la Teoría Combinatoria, de Probabilidades y otras
areas.
En términos de calidad se utiliza para tener una visión de conjunto de los objetivos analizadas de las empresas y así alcanzar una determinada meta.
Es de gran utilidad para presentar conjuntos organizados de medidas con las que se
pretende lograr un determinado objetivo.
COMBINATORIA Y EL DIAGRAMA DE ARBOL, EJERCICIOS RESUELTOS
Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos
elementos teniendo en cuenta el orden. Una combinación de un conjunto de elementos, es
una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden.
La diferencia entre permutaciones y combinaciones, es que en las permutaciones
importa el orden de los elementos, mientras que en las combinaciones no importa el
orden en que se disponen los elementos (solo importa su presencia). Veamos algunos
conceptos adicionales, ejemplos y ejercicios resueltos.
PERMUTACIONES
Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos
elementos teniendo en cuenta el orden. El número de permutaciones de “n” elementos
tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula:
)!(
!
kn
nPn
k
Ejemplo 1:
Eduardo, Carlos y Sergio se han presentado a un concurso de pintura. El concurso
otorga $200 al primer lugar y $100 al segundo. ¿De cuántas formas se pueden repartir
los premios de primer y segundo lugar?
Solución:
33
En este caso, si importa el orden, ya que no es lo mismo quedar en primer lugar que en
segundo, además, los premios son diferentes. Por ejemplo, un arreglo o disposición, es que
Carlos ocupe el primer lugar y Sergio el segundo. Otro arreglo, sería que Sergio ocupe el
primer lugar y Eduardo el segundo. El número total de arreglos o formas lo calculamos con
la fórmula:
).....(2);.......(3 dosendosdeTomadoskelementosdetotalNúmeron
.....61
6
!1
1*2*3
)!23(
!3
)!(
!
3
2 For masP
kn
nPn
k
COMBINACIONES
Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin
tener en cuenta el orden. El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k”
en “k” se calcula con la fórmula:
1.- Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y
brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?
Solución:
En este caso, no importa el orden en que se tomen los ingredientes para la ensalada, pues da
igual si es una ensalada de tomate con zanahoria, que una ensalada de zanahoria con tomate,
ya que al final, el chef mezclará los dos ingredientes.
Un arreglo podría ser zanahoria y tomate, otro arreglo podría ser tomate y papa, otro arreglo
podría ser papa y brócoli. El problema nos indica que solo se pueden usar 2 ingredientes en
la ensalada. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:
34
.....62*2
2*3*4
!2!2
1*2*3*4
!2)!24(
!4
)!(
!
)........(2);.....,..(4
4
2 For masC
kn
nC
endosdosdeTomadoskelementosdetotalNúmer on
n
k
TEORÍA COMBINATORIA. - Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio y
propiedades de los grupos que se pueden formar con un conjunto de elementos dado,
diferenciándose entre sí por el número de elementos que entran en cada grupo, por la clase
de esos elementos y por el orden de colocación de esos elementos.
La Teoría Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de
realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen variadas maneras de elaborar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o
no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el
orden de colocación de los elementos:
Variaciones sin repetición.
Variaciones con repetición.
Permutaciones sin repetición.
Permutaciones con repetición.
Combinaciones sin repetición.
Combinaciones con repetición.
Una vez que se averigüe de qué tipo son, se pueden realizar los cálculos combinatorios, para
deducir cuántas agrupaciones de ese tipo hay.
PERMUTACIONES
Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los
elementos de un conjunto teniendo en cuenta que Influye el orden en que se Caloocan.
Tomamos todos los elementos de que se disponen. Serán Permutaciones SIN repetición
cuando todos los elementos de que disponemos son distintos. Las permutaciones sin
repetición de n elementos se definen como las variadas formas de ordenar todos esos
elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus
elementos.
El número de estas permutaciones serán: !npn
35
REFERENCIAS
Batanero, C., Godino, J.D. y Navarro-Pelayo, V. (1994). Razonamiento combinatorio.
Madrid: Síntesis.
Batanero, C., Navarro-Pelayo, V. y Godino, J. D. (1997). Effect of the implicit combinatorial
model on combinatorial reasoning in secondary school pupils. Educational Studies
in Mathematics.
Beltrán-Pellicer, P., Godino, J. D. y Giacomone, B. (2018). Elaboración de indicadores
específicos de idoneidad didáctica en probabilidad: aplicación para la reflexión
sobre la práctica docente. Bolema: Boletim de Educação Matemática.
Díaz, C. y de la Fuente, I. (2005). Razonamiento sobre probabilidad condicional e
implicaciones para la enseñanza de la estadística. Epsilon
Engel, A., Varga, T. y Walser, W. (1976). Hasard ou strategie: jeux de combinatoire, de probabilités et de statistiques. OCDL-Office Central de Librairie.
Gutiérrez Pulido Humberto y de la Vara Salazar Román(2004) Control Estadístico de Calidad
y Seis Sigma, McGraw Hill, Primera Edición, México.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht:
Reidel.
Hadar, N. y Hadass, R. (1981). The road to solving a combinatorial problem is strewn with
pitfalls. Educational Studies in Mathematics.
Huerta, M., I. Edo., P., Amorós, R. y Arnau, J. (2016). Un esquema de codificación para el
análisis de las resoluciones de los problemas de probabilidad condicional. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa.
Kolloffel, B., Eysink, T. H., de Jong, T. y Wilhelm, P. (2009). The effects of representational
format on learning combinatorics from an interactive computer simulation.
Instructional Science.
Martín-Pliego, F.J. y Ruiz-Maya, L. (2010). Fundamentos de probabilidad (2ª ed.). Madrid:
Paraninfo.
Montgomery Douglas (2004), CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD, Tercera Edición,
LIMUSA-WILEY; México.
36
Pluvinage, F. (2005). Árboles de transiciones etiquetadas en cálculo de probabilidades.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa.
Roa, R. (2000). Razonamiento combinatorio en estudiantes con preparación matemática
avanzada. Tesis doctoral. Universidad de Granada.
BIBLIOWEB https://matemovil.com/diagrama-de-arbol-probabilidades/ https://es.slideshare.net/OsLascu/diagrama-de-arbol-77034470 https://www.researchgate.net/figure/Figura-6-Diagrama-de-arbol-inverso-del-diagrama-de-la-Figura-2_fig3_332422903 https://www.researchgate.net/publication/332422903_El_diagrama_de_arbol_un_recurso_intuitivo_en_Probabilidad_y_Combinatoria https://support.office.com/es-es/article/crear-un-diagrama-de-%C3%A1rbol-f9491124-c771-4939-878b-b38c7a5c2ca1 https://alfredogutierrez.weebly.com/153-diagrama-de-arbol.html https://www.docsity.com/es/que-es-el-diagrama-de-arbol/4453385/ https://controlestadisticodelacalidad-industrial.weebly.com/153-diagrama-de-aacuterbol.html
