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Control Automtico
Diagrama de Bode
Mauricio guila Aguilar
Juan Pablo lvarez Hijerra
Karen Escobar Avaria
Eduardo Jara Langhaus
Brbara Quedumn Snchez
Carolina Reyes Morales
Control Automtico
Ejercicio 1
Sea un proceso fsico y(s)/x(s) P(s) al que se te ha sometido a un conjunto de entradas
senoidales de diferentes frecuencias: x(t)=Asen(t), donde = 2f, y se han monitorizado
sus respuestas: y(t)=Bsen(t +). La representacin de los resultados de dicha experimentacin se presenta en el diagrama de Bode siguiente.
A partir de su anlisis se pide:
a) Determinar el tipo de sistema.
b) Hallar la funcin de Transferencia del proceso: P(s).
c) Si el proceso P(j) se excita con una entrada senoidal de frecuencia f = 159.15 Hz y
amplitud A = 10, siendo x(t)= A sen(t), 2f, encontrar a partir del diagrama de Bode la
seal de salida en estado estacionario: y(t)= B sen(t +).
Control Automtico
DESARROLLO
Se trazan las asntotas de manera que se tiene:
- Pendiente inicial de -20 dB/dcada, por lo que existe un trmino 1/s.
- Cambio de +20 dB/dec, a la frecuencia de 1 = 0.8 rad/s, por lo que hay un trmino (1s+1).
- Cambio de +20 dB/dec, a la frecuencia de 2 = 50 rad/s, por lo que hay un trmino (2s+1).
- Cambio de -20 dB/dec, a la frecuencia de 3 = 600 rad/s, por lo que hay un trmino 1/(3s+1).
- Cambio de -20 dB/dec, a la frecuencia de 4 = 2000 rad/s, por lo que hay un trmino 1/(4s+1).
Luego, la FT tiene la siguiente forma:
1 2
3 4
( 1)( 1)( )
( 1)( 1)
K s sG s
s s s
Como
1 2
3 4
1 2
3 4
1 1
( )
1 1
1 1
( )
1 1
s sK
G ss ss
K j j
G j
j j j
Desarrollando esta expresin, tenemos que:
1 2 3 4
1/ 2 1/ 22 2
1 2
20log ( ) 20log 20log 1 20log 1 20log 20log 1 20log 1
20log ( ) 20log 20log 1 20log 1 20log
20log 1
j j j jG j K j
G j K
1/ 2 1/ 22 2
3 4
20log 1
Del diagrama, vemos que en = 1, 20log ( ) 23G j . Luego, despreciando los trminos
en que i >> nos queda:
Control Automtico
23 20log 10log(2.56)
23 20log 4.082
27.082 20log
0.044
K
K
K
K
Por lo tanto la funcin de transferencia del sistema es:
0.044(1.25 1)(0.02 1)
( )1 1
600 2000
s sG s
s ss
De la FT podemos decir que el sistema es de tipo 1. Al ingresar esta FT en MATLAB, se
obtuvo un diagrama muy similar al original, el que se muestra a continuacin:
num=0.044*conv([1.25 1],[0.02 1]); den=conv([1 0],conv([1/600 1],[1/2000 1])); sys=tf(num,den); bode(sys)
Control Automtico
Ejercicio 2
Dados los siguientes diagramas de Bode, calcular:
El Tipo de sistema al que representan.
La funcin de transferencia G(s) del sistema.
Los errores en estado estacionario del proceso ante entradas escaln, rampa.
Control Automtico
DESARROLLO.
CASO A
La pendiente inicial es cero.
Se tiene un cambio en la pendiente de -20dB/dcada en una frecuencia de 0,1 [rad/seg]. De
esta manera, la funcin de transferencia incluye un termino 1/(s + 1), donde la frecuencia en el punto de cambio de pendiente es (1/).
Como no hay otros cambios de pendiente, la funcin de transferencia es de la forma:
( )( 1)
KG s
s
,donde = 10 seg.
( )(10 1)
KG s
s
La funcin de respuesta de frecuencias del sistema es:
2
( 10 1) ( 10 1)( )
(10 1) (10 1)( 10 1) (100 1)
K K j K jG j
j j j
Por lo tanto:
2 2 2 2
2 2 2
100 1 100( )
(100 1) (100 1) 100 1
K K K KG j
De la figura, cuando 20log ( ) 20G j , entonces 0,1 , de modo que:
Control Automtico
2
2
20log 20100 1
20log 20100(0,1) 1
20log 202
log 1 10 10 2 14,142 2
14,14( )
10 1
K
K
K
K KK
G ss
Para verificar el tipo o clase de sistemas, podemos ver la funcin del modo:
0
14,14( )
(10 1)G s
s s
Ya que el exponente de s es cero, se dice que el sistemas es de clase 0.
Ahora para calcular el error de estado estable se debe calcular:
0 0
( )lim ( ) lim 6,6%
1 ( )
escalon
s s
R ssE s s
G s
0 0
( )lim ( ) lim
1 ( )
rampla
s s
R ssE s s
G s
Para corroborar que la funcin de transferencia encontrada es la correcta, se construy el
grafico de BODE.
Control Automtico
CASO B
La pendiente inicial es de -20dB/dcada, por lo tanto hay un termino 1/s.
Existe un cambio en la pendiente de +20dB/dcada por lo que hay un termino (s+1). La frecuencia en el punto de cambio de pendiente es 0,4 rad/seg
10,4 2,5
Entonces:
(2,5 1)( )
K sG s
s
La funcin de respuesta de frecuencias del sistema es:
2 2
2 2
(2,5 1) (2,5 ) 2,5( )
jK j K j K jKG j
j j
Por lo tanto:
2 4 2 2 2
2
6,25 6,25 1( )
K K KG j
De la figura, cuando 20log ( ) 6G j , entonces 0,4 , de modo que:
2
2
2 0,30,3
6,25 120log 6
6,25 1log 0,3
6,25 1 10 0,410 0,56
2
1,4 0,56( )
K
K
KK
sG s
s
Control Automtico
Para verificar el tipo o clase de sistemas, podemos ver la funcin del modo:
1
1,4 0,56( )
sG s
s
Ya que el exponente de s es uno, se dice que el sistema es de clase 1.
Ahora para calcular el error de estado estable se debe calcular:
0 0
( )lim ( ) lim 0%
1 ( )
escalon
s s
R ssE s s
G s
0 0
( )lim ( ) lim 1.78
1 ( )
rampla
s s
R ssE s s
G s
Para corroborar que la funcin de transferencia encontrada es la correcta, se construy el
grafico de BODE.
Control Automtico
CASO C
La pendiente inicial es de -40dB/dcada, por lo tanto hay un termino 1/s2.
Existe un cambio en la pendiente de +20dB/dcada por lo que hay un trmino (s+1). La frecuencia en el punto de cambio de pendiente es 0,2 rad/seg
10,2 5
Entonces:
2
(5 1)( )
K sG s
s
La funcin de respuesta de frecuencias del sistema es:
2
(5 1)( )
K jG j
Por lo tanto:
2
2
25 1( )
KG j
De la figura, cuando 20log ( ) 10G j , entonces 1 , de modo que:
2
2
2
2
2 0,50,5
2
2 2
25 120log 10
25 1log 0,5
25 1 10 110 0,62
26
0.62 13.1 0.620.2
( )
K
K
KK
s
sG s
s s
Control Automtico
Este es un sistema de clase 2.
Ahora para calcular el error de estado estable se debe calcular:
0 0
( )lim ( ) lim 0%
1 ( )
escalon
s s
R ssE s s
G s
0 0
( )lim ( ) lim 0%
1 ( )
rampla
s s
R ssE s s
G s
Para corroborar que la funcin de transferencia encontrada es la correcta, se construy el
grafico de BODE.
Control Automtico
Ejercicio 3
Sea un proceso fsico P al que se le ha sometido a un conjunto de entradas senoidales de
diferentes frecuencias: x() = A sen (t), donde w=2Pif, y se han monitorizado sus
respuestas: y() = B sen (t + (/180) ). Los resultados de dicha experimentacin se
presentan en la tabla adjunta.
Proceso P
x() = A sen (t) y() = B sen (t + (/180) )
(rad/seg) A B (grad)
0.01 1 30 -91
0.1 1 3 -102
0.2 1 1.61 -113
0.4 1 0.96 -131
0.8 1 0.71 -153
1 1 0.67 -159
2 1 0.61 -177
4 1 0.56 -195
10 1 0.42 -222
100 1 0.06 -264
200 1 0.03 -267
1000 1 0.006 -269
A partir de su anlisis se pide:
Dibujar el diagrama de Bode del proceso Fsico.
Determinar el tipo de sistema.
Encontrar los mrgenes de estabilidad del proceso al cerrar el lazo: margen de fase y ganancia.
Hallar la funcin de transferencia del proceso: P(s)
Control Automtico
DESARROLLO
A continuacin se presenta el Diagrama de Bode, en Amplitud vs Frecuencia y Fase vs
Frecuencia.
Control Automtico
La pendiente inicial es de -20dB/dcada, por lo tanto hay un termino 1/s.
Existe un cambio en la pendiente de +20dB/dcada por lo que hay un trmino ( s+1).
La frecuencia en el punto de cambio de pendiente es 0,1 rad/seg
10,1 10
Entonces:
(10 1)( )
K sG s
s
La funcin de respuesta de frecuencias del sistema es:
2 2
2 2
(10 1) (10 ) 10( )
jK j K j K jKG j
j j
Control Automtico
Por lo tanto:
2 4 2 2 2
2
100 1( )
K K KG j
De la figura, cuando 20log ( ) 0G j , entonces 0,1 , de modo que:
2
2
2
100 120log 0
100 1log 0
100 1 1 0,11 0,07
2
0,7 0,07( )
K
K
KK
sG s
s
Para verificar el tipo o clase de sistemas, podemos ver la funcin del modo:
1
0,7 0,07( )
sG s
s
Ya que el exponente de s es uno, se dice que el sistema es de clase 1.
Para corroborar que la funcin encontrada es la correcta se grafico bode, con lo cual
obtuvimos lo siguiente:
Control Automtico
Para determinar directamente los mrgenes de ganancia y de fase, se usar en Matlab los
comandos [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(NUM,DEN) que se usan cuando se trabaja con
la funcin de transferencia, siendo margen de ganancia (Gm), margen de fase (Pm),
frecuencia de cruce de ganancia (Wcg) y la frecuencia de cruce de fase (Wcp).
Por lo que en Matlab finalmente queda:
num=[0.7 0.07]
den=[1 0]
sys=tf(num,den)
bode(sys)
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)
Control Automtico
Cuyo resultado es:
Control Automtico