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Diseño de columnas usando MathCADPara poder realizar el diseño apropiado de una columna es necesario construir un diagrama deinteraccion para cada propuesta de columna, y buscar aquella que logre satisfacer las necesidadesestructurales de la manera mas economica.
Para esto construiremos una hoja electronica que servira para poder realizar sin mayor esfuerzo eldiagrama de interaccion para columnas de distintas propiedades.
Lo primero que necesitamos hacer es declarar las caracteristicas de los materiales a ser utilizados:
f'c 3000psi esfuerzo de rotura a compresion del concreto
fy 60ksi esfuerzo de fluencia en el acero
εu 0.003 deformacion de rotura en el concreto
Es 200GPa modulo de elasticidad del acero
definimos las propiedades geometricas de la seccion de concreto
b 60cm rec 7cm
h 80cm
d' recd h rec 73 cm
7 varillas numero 9 de cada lado
Luego declaramos las caracteristicas del acero en la seccion a ser utilizada
Determinando asi la cantidad de acero
NoBarra 9
CantBarras 11
tanto a tension...
As
NoBarra8
in
2
π
4CantBarras 70.543 cm2
como a compresion.
A's As 70.543 cm2
calculamos el β1 por aparte, tal y como lo hemos hecho siempre.
β1 0.85
ahora, para continuar la hoja de calculo es necesario definir cada una de las deformaciones segunlo da el diagrama de compatibilidad de deformaciones
Al saber las dimensiones de εu, d yd`; y al hacer uso del teorema detriangulos similares podemosdeterminar las dimensiones de ε`s yεs.
d'
εs
ε's εuPero cuidado con un pequeñodetalle, en el despeje para ε`s y εsestas resultan en funcion de c, enMathCAD si una variable no estadefinida, este la marcara en rojo ymuestra un mensaje de error
cb
d
ε'scc d'
cc
εu
cc
h
Para solucionar este problema, debemos escribir la formula en funcion de la variable desconocida,asi el MathCAD sabra que de ese valor depende la respuesta y que puede ser desconocido. Paralograr esto se usa la siguiente notacion:
ε's cc cc d'
cc
εu
εs cc d cc
cc
εu
*Notese que ε`s y εs estan escritas en funcion de cc. Ahora el programa no tira error, porque sabeque ese valor será variable y que de el depende la respuesta.*En este ejemplo se utilizara la notacion cc en lugar de c ya que la variable c tiene un valorpreestablecido en MathCAD equivalente a la velocidad de la luz.
Ahora, podemos seguir con el resto de la hoja de calculo.
Segun la ley de hooke, existe una correspondencia entre esfuerzo y deformacion, en este caso,donde trabajamos con el rango lineal, la correspondencia es directa, de tal manera
f's cc ε's cc Es
Sin embargo, esto puede provocar problemas ya que para ciertos valores de cc el valor de f`s sesale de la logica como ejemplo tenemos:
f's 200cm( ) 5904.157kgf
cm2
y como sabemos de parciales anteriores, el valor maximo de f`s o de fs es el de fy. Asi que seránecesario usar un poco de programacion para resolver la situacion.
Enprimer lugar se debe entender que la programacion en MathCAD es un poco diferente a laprogramacion en otros programas.
Para programar en MathCAD es necesario hacer uso del comando "Add Line" en la barra deherramientas de "Programming", asi lo primero que obtenemos es lo siguiente
f's cc
Cada uno de los cursores indica una linea de programacion, en este caso la segunda linea apareceen rojo, esto es porque el programa me esta indicando que no puede resolver la formula mientrasexistan espacios en blanco
Ahora, es necesario colocar condiciones. Para esto usaremos el operador "if", tambien de la barrade herramientas de "Programming". Colocaremos el if en la primera fila.
f's cc if
claro, ahora nada mas resta dar las indicaciones de que se debe hacer con este operador "if", elprimer espacio en blanco en el if es lo que se hara, y el segundo espacio en blanco es la condicion.Asi nuestra programacion quedaria:
f's cc ε's cc Es ε's cc Es fyif
lo cual, puesto en palabras quiere decir:
"f`s(cc) será ε`s*Es si ε`s*Es es mayor que fy"
pero aun falta colocar lo que sucederá cuando no se cumple la condicion mostrada. Ahora, se debetener un poco de cuidado aca, puesto que es facil cometer el error de escribirlo de la siguientemanera
f's cc ε's cc Es ε's cc Es fyif
fy
Esto esta malo ya que puesto en palabras la programacion dice lo siguiente:
"f`s(cc) será ε`s*Es si ε`s*Es es mayor que fy""f`s(cc) será fy"
Esto no es correcto ya que esto indica que aunque se analiza la condicion en el primer renglon, elsegundo asigna el valor de fy sin importar el resultado del primer renglon, asi para la funcionescrita de esa manera, f`s siempre seria igual a fy, lo cual sin duda es un error.
la forma correcta deberia ser haciendo uso del operador "otherwise" de la barra de herramienta de"Programming" en el segundo renglon.
f's cc ε's cc Es ε's cc Es fyif
otherwise
y luego incluyendo el valor de fy
f's cc ε's cc Es ε's cc Es fyif
fy otherwise
Puesto en palabras la programacion dice lo siguiente:
"f`s(cc) será ε`s*Es si ε`s*Es es mayor que fy""f`s(cc) será fy de lo contrario"
Esto lo que implica es que f`s solo será igual a fy en caso que no se cumpla la condicion anterior.Siempre que se utilice el operador "Otherwise" este debe acompañar a un "if".
Realizamos la misma operacion para calcular fs
fs cc εs cc Es εs cc Es fyif
fy otherwise
definimos el valor de "a" en funcion de c
a cc cc 0.85
Luego calculamos Pn y Mn tambien en funcion de c
Pn cc 0.85 f'c b a cc A's f's cc As fs cc
Mn cc 0.85 f'c b a cc h2
a cc 2
A's f's cc h2
d'
As fs cc h2
rec
El problema existente con estas funciones es que adoptan valores de c desde -infinito hasta+infinito. Por esto es necesario determinar los limites de nuestra funcion.
En primer lugar determinamos el valor maximo de carga axial que puede recibir la columna.
Po 0.85 0.85 f'c b h As A's( ) As fy A's fy[ ]
Luego determinamos el valor de φPn y φMn, estos dependeran de su comparacion con los valoreslimites. Podemos lograr esto haciendo uso de operadores "if" tal como hicimos en los casosanteriores. Esto es especialmente cierto para el φMn el cual cambia el φ utilizado cuando el valorde φPn es menor a P*
φPn cc 0.65 Pn cc 0.65 Pn cc Poif
Po otherwise
φMn cc 0.9 Mn cc φPn cc 0.1 b h f'cif
0.65 Mn cc otherwise
al final lo unico que resta es dibujar los diagramas.
En MathCAD logramos esto incluyendo un grafico con la herramienta "X-Y plot" en la barra deherramientas de graficos, o con el uso del shortcut al escribir @ en cualquier parte de la hoja
En este grafico coloco las funciones en los lugares correspondientes, primero el Pn(c) en el cursorcorrespondiente al eje y, y luego Mn(c) en el cursor correspondiente al eje x
5 108 3 108 1 108 1 1081 108
0
1 108
2 108
Pn cc
Mn cc La forma irregular del grafico es debido a los limites escogidos automaticamente por el programa,por lo cual sera necesario corregirlos para partir desde la posicion (0,0). Esto lo logramos dandoclic al grafico y cambiando el limite inferior tanto del eje-y como en el eje-x a 0
0 1 106 2 1060
5 107
1 108
1.5 108
Pn cc
Mn cc
Corregimos el limite superior del eje-y a un valor q permita visualizar de forma adecuada el grafico,en este caso alrededor de 15000kN.
0 1 106 2 1060
5 106
1 107
1.5 107
Pn cc
Mn cc
Finalmente incluimos el grafico de diseño adicionando φPn(c) y φMn(c). Logramos estoagregando una "," (comma) despues de cada una de las funciones ya graficadas (Pn(c) y Mn(c))
15000kN
0
Pn cc
2.76 1060 Mn cc
Esto puede causar que momentaneamente desaparezca el grafico porque el MathCAD espera elingreso de las nuevas funciones a graficar. En estos espacios en blanco incluimos φPn(c) yφMn(c) respectivamente, y obtenemos lo siguiente
0 1 106 2 1060
5 106
1 107
1.5 107
Pn cc φPn cc
Mn cc φMn cc
Este primer diagrama muestra un cambio repentino entre el φ de compresion y el φ de flexion, sinembargo el ACI recomienda un cambio gradual. Para lograr graficar de esta manera en el MathCADes necesario determinar el valor de φ en funcion de c. Esta expresion se puede lograr al determinarla ecuacion lineal mediante la cual el valor de φ se ve afectado por φPn, cambiando desde 0.65hasta 0.9 gradualmente a medida disminuya el φPn.
φcc 0.90.9 0.65
0 0.1 b h f'cPn cc Pn cc 0.1 b h f'cif
0.65 otherwise
φMn2 cc Mn cc φcc
Una vez que se obtiene este valor se puede graficar y obtenemos lo siguiente
0 1 106 2 1060
2 106
4 106
6 106
8 106
1 107
Pn cc φPn cc
Mn cc φMn2 cc
Finalmente incluimos los valores de las solicitaciones sacados de nuestras combinaciones decarga para verificar el rendimiento de nuestra columna. Para esto declaramos los valorescorrespondientes de Mu y Pu sacados de nuestras combinaciones
Mucomb1 360kN m Pucomb1 8000kN
Mucomb2 600kN m Pucomb2 5000kN
Mucomb3 980kN m Pucomb3 3000kN
Mucomb4 1570kN m Pucomb4 1500kN
Y los incluimos en el grafico, uno por uno, usando "," (comma)
Lo cual resulta en el siguiente grafico:
0 1 106 2 1060
2 106
4 106
6 106
8 106
1 107
Pn cc φPn cc Pucomb1
Pucomb2
Pucomb3
Pucomb4
Mn cc φMn2 cc Mucomb1 Mucomb2 Mucomb3 Mucomb4
Notese que los valores ingresados no son funciones de c sino valores puntuales, para hacerlosvisibles se le debe indicar al grafico que estos son puntos y no lineas. Esto se hace desde laventana de propiedades del grafico (doble clic en el grafico), y luego en la viñeta de traces,cambiar la seleccion en la columna de "symbol" a algo que pueda ser visualizado.
Este diagrama de interaccion nos servirá para poder verificar si cumplen o no las caracteristicas denuestra seccion con los requisitos de resistencia impuestos por las solicitaciones que recibe lacolumna. Como se puede ver, para el caso particular analizado en este ejemplo, la columnapropuesta logra resistir las cargas sin problema. Cabe destacar que los valores de carga utilizadosen este caso son solo de fines academicos, lo cual puede ser ilustrado por lo irracional que resultansus magnitudes.
En caso de no resistir, habria que hacer un reajuste de las propiedades geometricas (iluminadaspreviamente en amarillo), cantidades de acero (iluminadas en verde), o caracteristicas de materiales(iluminadas en azul) hasta lograr cumplir con lo requerido por parte de las solicitaciones yrecomendaciones estructurales.
