Diagramas Polares en Sistemas Discretos

7/31/2019 Diagramas Polares en Sistemas Discretos

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DIAGRAMAS POLARES

Paul GuillenMartín SánchezIsmael PinedaMarcelo Peña

José QuindePatricio Buele

Teoría de




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Transformación bilineal



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Transformación bilineal

La transformación bilineal tiene la propiedad

de transformar la circunferencia unitaria yrepresentarla en el eje imaginario.



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Demostracion

Vamos a tener una variable ‘r’ querepresenta el eje imajinario para nuestronuevo plano r.

Un punto ‘z’ que representa un punto dentrodel circulo unitario en el plano z.

Suponemos un punto en el circulo unitariocomo:

)()cos( θ θ jsen z +=



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Cos( )

jsen()

)()cos( θ θ jsen z +=

z



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Para el Plano ‘r’

La formula la transformacion es:

Reemplazamos el valor de z:


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Se multiplica por el conjugado:

El resultado seria:



Los valores que pertenecen al plano z serepresentan en el pano r.



Algunos valorestransformados



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Ejemplo.

Se tiene:

Obtenemos la funcion punto:



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Reemplazamos:

Los valores de k que determinan que lasraices de f(z) esten dentro del circulounitario en el plano z hacen que las raices def(r) esten en el semiplano izquierdo del plano

r.Esos valores de k se pueden determinar

mediante el criterio de Routh-Hurwitz



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Criterio de Routh-Hurwitz



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Diagrama polar con k=0.1



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Respuesta al escalon conk=0.1

C d i l l



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Correspondecia en el planor con k=0.1Diagrama polar:



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Diagrama polar con k = 1

C d i l l



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Correspondecia en el planor con k=1Diagrama polar:



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Respuesta al escalon conk=1




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DIAGRAMAS POLARES

Teoría de



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Naturalmente que el mismo tipo de descripciónmediante diagramas polares es aplicable a larespuesta en frecuencia de sistemas de tiempodiscreto. Sin embargo, en este caso es aun más

difícil construir, a mano, una aproximación parael diagrama polar.



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La razón esencial es que la respuesta enfrecuencia es un cociente de polinomios en

(en vez de ser un cociente de polinomios en jw,

como en el caso de sistemas de tiempo continuo).



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Ese rasgo hace que las expresiones tanto parala magnitud como para las partes real eimaginaria de sean expresiones muycomplicadas de .

Una herramienta interesante, para dibujardiagramas polares de sistemas simples sededuce de la siguiente figura.



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Interpretación gráfica de la respuesta en

frecuencia

En la Figura la circunferenciade radio unitario describe laubicación del numerocomplejo , por lo tanto, elvector que se ha dibujado es

.Así, si consideramos un

sistema cuya respuesta enfrecuencia es ,vemos que su magnitud es elrecíproco del largo del vectordibujado, y la fase

corresponde al negativo delángulo en la figura. Amedida que w crece desde 0hasta pi, la punta del vector se

desplaza desde (1; 0) hasta (-1 0 . Esto im lica ue la



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Un sistema de tiempo discreto tiene larespuesta en frecuencia dada por:

ejemplo



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Resolución en

Matlab

>> F=tf([1 -0.7],[1 0],-1);>> w=[0:0.01:pi];>>h=freqresp(F,w);>> plot(h(1,:))

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