El proceso de contar:una perspectiva cognitiva

MARA TERESA COELLO GARCAUniversidad Complutense

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ResumenDurante la pasada dcada la psicologa cognitiva ha estudiado profunda y extensamente los conoci-

mientos matemticos tempranos, especialmente la habilidad de contar debido a su papel en el desarro-llo de habilidades numricas ms sofisticadas. Esta investigacin se ha enfocado desde distintas petspectivasaunque todas ellas pueden enmarcarse en la teora general del desarrollo de integracin de habilidades.En este trabajo se analizan los modelos de contar aparecidos en la literatura, agrupados en dos catego-ras: 1) modelos de ejecucin, centrados en el aspecto procesual y 2) modelos de competencia, conmayor nfasis en el conocimiento conceptual subyacente a los procedimientos de contar

Los diferentes enfoques en el estudio de esta habilidad cognitiva han contribuido a que se produzcaun cambio importante en el rea de los conocimientos numricos tempranos as como una nueva orien-tacin en la instruccin temprana. No obstante, existen todava limitaciones tales como dificultadesen la formalizacin del cambio de un nivel de la habilidad a otro, el limitarse a tareas especificas ola no inclusin de componentes poreptuales y creativos en los modelos de simulacin de la tarea de contar

Palabras clave: Habilidad cognitiva de contar, Conocimiento matemtico temprano.

AbstractDuring the past decade the cognitive psychology has gone deeply into the study of the early

mathematical knowledge, specially into the counting skill due to its role in the development ofmore sophisticated numerical skills.

The studies about the cognitive counting skill have being done from different perspectives,even though ah of them can be framed under the general theory of hierarchical skill integration.In this paper counting models grouped in two categories are analyzed: 1) performance models,focused on procedural knowledge and 2) competencial models, concerned with conceptual knowledgeunderlaying the counting procedures.

All these works have contributed to a significant shift in the area of the children's earlymathematical understanding as well as to a new orientation in the early instruction. Neverthelessthere are still militations like the difficulties in the formalizations of changing from one level toa higher level of the skill, to rely on specific tasks and the lack of perceptual and creative componentsin the simulations of the counting process.

Key words: Cognitive counting skill, Early mathematical knowledge.

Direccin del autor: Departamento de Metodologa de las Ciencias del Comportamiento.Facultad de Psicologa. Universidad Complutense. Campus de Somosaguas. 28023 Madrid.

1991 by Aprendizaje, Estudios de Psicologa, 1991, 46, 91-105 ISSN 0210-9395

92En la ltima dcada la psicologa cognitiva ha profundizado en la naturale-

za de la adquisicin de conocimientos matemticos tempranos como el procesode contar. Ello se pone de manifiesto al considerar la plyade de publicacionessobre este tpico. Los trabajos se encuadran, en su mayora, dentro de la teoracognitiva general de integracin jerrquica de habilidades (Fisher, 1980).

Desde la teora piagetiana (Piaget y Szeminska, 1941) se ha postulado queslo se alcanza el nivel de competencia en el rea del nmero cuando se ha lle-gado al nivel operacional. Sin embargo, los modelos basados en la integracinde habilidades numricas (especficamente los modelos basados en contar) su-ponen que el desarrollo numrico es un proceso de integracin jerrquica dehabilidades tales como contar y percepcin sbita de la numerosidad y asumenlos siguientes supuestos bsicos de la teora general: 1) los niveles de desarrollonumrico designan habilidades de complejidad creciente tal que una habilidadespecfica se construye directamente sobre habilidades especficas de otro ni-vel; 2) las habilidades no se desarrollan uniformemente a travs de un rea com-pleta de habilidades. Las habilidades numricas no se desarrollan todassimultneamente y los cambios, en cada habilidad, se producen gradualmente,siendo posible, adems, que distintos caminos lleguen a converger en un cono-cimiento maduro del nmero (Fuson y Hall, 1983; Clements, 1984).

Parece existir unanimidad entre los investigadores en considerar que el pro-ceso de contar ejerce un papel de impulsor en el desarrollo de habilidades nu-mricas ms sofisticadas (Case, 1982; Cooper, 1984). El proceso de contar serauna herramienta para representar la numerosidad de los conjuntos (Gelman yGallistel, 1978; Cooper, 1984) y una estrategia emprica utilizada en la solucinde problemas aritmticos sencillos (Fuson, 1982; Fuson, Richard y Briars, 1982;Siegler y Shrager, 1984).

Para el nio el proceso de contar es enormemente complejo. Esta habilidadse sita en el mbito del conocimiento abstracto referido a la ordenacin y lanumerosidad y al mismo tiempo es un proceso que requiere coordinacin dela actividad visual y motora (produccin de palabras-nmero y gesto motor desealar) (Wilkinson, 1984), cuando se trata de elementos percibidos visualmen-te. Hay un perodo de varios aos (etapa preescolar) en el que los nios mani-fiestan un conocimiento parcial de esta habilidad; pueden comprender algunasreglas, pero no otras y pueden manifestar distinto grado de habilidad en fun-cin de la tarea empleada para su evaluacin.

El inters por el estudio de la habilidad de contar es doble: 1) terico porlos problemas suscitados desde el punto de vista cognitivo en relacin a la com-prensin de los aspectos implicados en contar y 2) pedaggico por las conse-cuencias que el conocimiento de los subprocesos implicados en la tarea puedantener de cara a la planificacin de objetivos de aprendizaje (Nesher, 1986). Noes de extraar, por tanto, que muchos autores se hayan ocupado de su anlisisy estudio emprico de esta habilidad desde distintas perspectivas, si bien todoslos trabajos tienen algunos puntos en comn como se seal ms arriba y sever a lo largo de este artculo.

El presente trabajo no pretende hacer una revisin de los diversos y abun-dantes estudios empricos, su objetivo es dar una visin de los distintos enfo-ques y planteamientos desde los que se han investigado el proceso de contaren los nios.

93Marco terico y metodolgico

El desarrollo de los modelos de la habilidad cognitiva de contar se produceen el contexto de las nuevas alternativas al modelo terico y metodolgico pia-getiano. Los pilares en los que se apoyan estos modelos son la teora del proce-samiento de la informacin y el anlisis de tareas. La primera se interesa mspor la actividad interna del sujeto, por los aspectos procesuales, que por las es-tructuras conceptuales. El segundo permite, a partir del anlisis de los subpro-cesos que intervienen en la tarea, manipular las variables y crear tareas querequieren distintos niveles de procesamiento (Rodrigo, 1982). Ambas lineas, te-rica y metodolgica, estn presentes en los modelos de contar que se exponena continuacin.

Modelos de contarAntes de comenzar la exposicin conviene distinguir entre aquellos mode-

los que se refieren a todos los aspectos implicados en el proceso de contar con-juntos y los que ocupan solamente de la produccin de la secuencia convencionalde palabras-nmero. Aqu nos referimos nicamente a los primeros. De ellosunos se centran ms en los aspectos de competencia (Gelman, 1978; Gelmany Gallistel, 1978; Greeno, Riley y Gelman, 1984), mientras que otros atiendenpreferentemente a aspectos procesuales (Wilkinson, 1984). Sin embargo, estadistincin, por una parte, no aparece tan ntidamente en algunos modelos y,por otra, algunos modelos de procesos estn estrechamente vinculados a mode-los de competencia (Greeno, Riley y Gelman, 1984). A pesar de ello, y siendoposibles diversos criterios, hemos considerado como ms adecuada la clasifica-cin en modelos de competencia y modelos de ejecucin.

1. MODELOS DE COMPETENCIA

Modelo ConstructivistaEl modelo constructivista de los Tipos de Contar desarrollado por Von Gla-

sersfeld (1982) y otros autores (Stef fe, Von Glasersfeld y Richards, 1983; Stef fe,Cobb & Richards, 1983; Stef fe, Thompson & Richards, 1982) comparte conel modelo piagetiano, del que sera una prolongacin hacia abajo, el supuestode que la adquisicin de conocimiento es fruto de la actividad del sujeto cog-noscente. Su punto de partida es el modelo atencional de Von Glasersfeld(1982). Contar, desde esta perspectiva, consiste en la produccin de tems unita-rios que son construcciones mentales. La construccin de unidades contableses un requisito para poder contar; el nio puede construir por s mismo las enti-dades unitarias que luego cuenta. Los tems unitarios son creados por un actode representacin interna del sujeto (Stef fe, Cobb & Richards, 1983).

Hay tantos tipos de contar como tipos de tems unitarios empleados. Estosse clasifican en cinco tipos: perceptuales, figurales, motores, verbales y abstractos(Stef fe y cols., 1983). Se supone una progresin evolutiva desde los tems per-ceptuales (ligados a la experiencia sensomotora) a los abstractos, lo cual implicauna toma de conciencia progresiva de lo que se est contando. Veamos en quconsiste cada uno de los modos de contar en funcin de los tipos de tems.

941) Unidades perceptuales. Un nio est en este nivel cuando necesita el com-

ponente perceptual para poder contar. Cada acto de la secuencia de contar pue-de considerarse como un suceso global que incluye seales perceptuales(generalmente visuales o auditivas), un acto motor (coger, sealar, etc.), la pro-duccin de palabras-nmero y el patrn de atencin que estructura las sealesperceptuales sensoriales en una cosa (Steffe, Cobb & Richards, 1983). En es-te nivel, que se correspondera con el nivel de lnea (string) en el desarrollode la secuencia descrito por Fuson, Richards y Briars (1982), el nio no tieneconciencia de que cada palabra-nmero designa la numerosidad de los tems-unidad construidos sucesivamente.

2) Unidades Figurales. El nio es capaz de utilizar representaciones visualesque sustituyan a los tems perceptuales. Crea unidades figurales cuando tieneque contar conjuntos en los que alguno de los elementos est oculto; en tal si-tuacin slo se necesitan representaciones parciales de los objetos. Dichas re-presentaciones deben ser discretas para poder mantener la unidad como algoindividual (Stef fe, Thompson & Richards, 1982).

3) Unidades motoras. El contar tems-unidad motores supone que se han sus-tituido los tems perceptuales por actos motores, diferenciados de los dems com-ponentes de contar, y que el nio es consciente del carcter unitario, discreto,de los mismos, aunque todava no se ha interiorizado por completo la actividadde contar. La actividad motora sirve de entrada para la creacin de tems uni-tarios. Los nios de este nivel necesitan acompaar el acto motor de la produc-cin de la palabra-nmero con otro acto motor sincrnico (por ejemplo, sealar).

4) Unidades figurales. Representa una etapa de trnsito entre el nivel de uni-dades motoras y el de unidades abstractas. Entre todos los elementos observa-bles del contar (perceptuales, motores, etc.) el nio utiliza uno, la palabra-nmero.Su produccin es un acto motor especial, ms complejo que los dems.

5) Unidades abstractas. Se ha alcanzado este nivel cuando el nio es capazde pasar de la palabra-nmero a la estructura conceptual que constituye la nu-merosidad particular que representa. Lo que caracteriza esta etapa es la entradaen el reino del nmero; las palabras-nmero representan ya colecciones de temsunitarios y designan conceptos cuantitativos en la mente del que cuenta (Steffe,Von Glasersfeld, Richards, 1983).

La abstraccin de la estructura numrica supone un gran avance en el desa-rrollo, la palabra-nmero representa un nmero especfico de unidades, tal questas se pueden reconstruir contando hasta el nmero dado. La capacidad degenerar unidades abstractas supone el proceso de abstraccin reflexiva piagetia-na que permite que los tems queden despojados de sus cualidades sensorialesy las unidades se hagan operatorias (S tef fe y cols., 1983). Ello posibilita el con-tar recursivo, estrategia empleada frecuentemente por los nios pequeos en lasolucin de problemas de sustraccin o en tareas de contar desde un nmerohasta otro dado (Fuson, 1982; Fuson, Richards y Briars, 1982; Stef fe y cols.,1982).

El problema del planteamiento acabado de exponer, como el de otros mode-los de competencia, es el salto inferencial que se produce entre la conducta ob-servable del sujeto y su adscripcin a un tipo de contar determinado. Steffe ycols. (1983) evalan la actuacin del nio en diferentes fases considerando deci-sivo, para la clasificacin en un determinado nivel de contar, el patrn de esta-

95bilidad en la ejecucin. Los informes de estos autores se limitan a describir laejecucin de algunos sujetos, ya que consideran ms importante la observacindurante la entrevista que cualquier criterio estadstico. Ciertamente, la observa-cin permite describir la conducta en toda su complejidad, pero si se pretendedar realismo a los resultados y hacerlos generalizables, la sola descripcin dela conducta no es suficiente.

Principios subyacentes al proceso de contarGelman y Gallistel (1978) abren una nueva lnea de investigacin en el do-

minio del nmero. El modelo de contar propuesto por estos autores parte deun anlisis racional de los principios discretos que el nio debe llegar a coor-dinar y aplicar a los conjuntos, con una habilidad cada vez mayor, a medidaque progresa en el desarrollo. Los principios son los siguientes: uno-a-uno, ordenestable, cardinalidad, abstraccin e irrelevancia del orden. A continuacin se rese-an los rasgs definitorios de los cinco principios:

1) Uno-a-uno. Corresponde al conocimiento de que a cada uno de los ele-mentos de un conjunto debe asignrsele una y slo una palabra-nmero o eti-queta. El uso de este principio lleva consigo la coordinacin de dos componentes:participacin y etiquetado, que han de producirse sincrnicamente.

2) Orden estable. Exige que las etiquetas, adjudicadas una a una, a cada ele-mento del conjunto, se produzcan en un orden estable, repetible. La eficacia enla utilizacin de este principio depender del tamao de los conjuntos, ya quelos preescolares tienen dificultades para recuperar de la memoria listas arbitra-rias no generadas todava mediante reglas y no disponen de listas suficien-temente grandes.

3) Cardinal. Se refiere a que la ltima etiqueta utilizada al contar tiene unsignificado particular que la hace diferente de las dems, pues representa unapropiedad del conjunto: su nmero cardinal. La aplicacin de este principio pre-supone la de los dos principios anteriores y, por tanto, se supone aparecer des-pus de ellos en el desarrollo.

4) Abstraccin. Define qu objetos se pueden contar. Establece que los tresprincipios anteriores se puedan aplicar a cualquier conjunto de objetos. Mien-tras que en el adulto la definicin de contable se extiende a los elementos ima-ginados, en los nios pequeos est ligada a contextos concretos.

5) Irrelevancia del orden. Establece que el emparejamiento de un tem parti-cular con una etiqueta es arbitrario. El conocer este principio supone: a) queel tem contado es una cosa y no un nmero, b) que la etiqueta verbal se asignatemporal y arbitrariamente a los elementos y c) que cualquiera que sea el ordende enumeracin se obtiene el mismo nmero cardinal. Este principio lleva con-sigo la integracin conjunta de los tres primeros. Se refiere no slo a la aptitudpara contar, sino tambin a la comprensin de las propiedades de los nmeros,al igual que los principios de razonamiento (Gelman y Gallistel, 1978).

Los principios 1-3 se refieren a reglas de procedimiento o cmo contar.La utilizacin de cada principio supone el uso de varios componentes de proce-sos (Gelman y Gallistel, 1978), pero no se especifica cmo se combinan estoscomponentes ni cmo se relacionan con los principios. Slo cuando el nio puedecombinar todos los principios contar con precisin. Adems, se postula que

96el sujeto posee los principios de un modo aparentemente innato y que stos guanla adquisicin del contar correcto, si bien el acceso a dichos principios y su apli-cacin con habilidad no es inmediato, ya que supone un desarrollo. En los pri-meros arios de la infancia, segn Gelman y Gallistel, los principios slo se aplicande modo parcial afirmando que: a) los nios, en su ejecucin, pueden manifes-tar ciertos principios y no manifestar otros; b) pueden poseer componentes queintegran un principio, pero no son capaces de coordinarlos adecuadamente y,en consecuencia, no exhibir dicho principio; c) los componentes se van coordi-nando, a medida que avanza el desarrollo, hasta formar un todo indisociabley los cinco principios se integran en una estructura de conjunto que produceel contar exitoso.

Para apoyar sus plantemientos, Gelman y Gallistel (1978) se basan en losdatos empricos de dos experimentos, el experimento mgico y un experimentorecogido en vdeo. El primero tena por objeto investigar en nios de 3-5 ariosla comprensin de las transformaciones que afectan al nmero (no el estudiode los principios). El segundo experimento estaba diseado para que los niosde 2-5 aos contasen (conjuntos de 2 a 19 tems dispuestos en lnea). Gelmany Gallistel encontraron que los nios de 2 y 3 aos ya tenan una comprensinde los principios, aunque la capacidad de aplicarlos con destreza se desarrollaseentre 3 y 5 arios, perodo durante el que se extiende la aplicacin de los princi-pios de cmo contar, desde orden estable a cardinalidad. Al mismo tiempo talaplicacin se hace extensiva de conjuntos pequeos a conjuntos grandes.

El inferir de la actuacin de los sujetos en estos dos experimentos que losnios comprenden los principios es problemtica, ya que de los mismos datosse podran inferir otros principios diferentes. Los sujetos podran haber realiza-do la tarea correctamente por puro azar o bien slo mecnicamente. Estudiosempricos posteriores para evaluar la comprensin de los principios de cmo con-tar mediante la tcnica de deteccin de errores (Coello, 1987; Briars y Siegler,1984; Gelman y Meck, 1983) han mostrado que los nios pueden discriminarentre contar correcto y contar incorrecto en un porcentaje de casos significati-vo, pero los datos obtenidos no permiten confirmar que la comprensin de losprincipios preceda a la ejecucin de la tarea de contar correctamente.

El trabajo de Greeno Riley y Gelman (1984) pretende solucionar los proble-mas inferenciales que plantea el modelo de competencia de Gelman y Gallistel(1978). La hiptesis que desarrolla esta investigacin tiene dos partes: a) unahiptesis acerca de la competencia, que relaciona componentes relevantes delmodelo de proceso con los principios de contar y b) un modelo del proceso quesimula aspectos relevantes de la ejecucin de los nios y que se describir enel apartado de modelos de ejecucin.

La caracterizacin de la competencia cognitiva que supone la comprensintcita de los principios se realiza mediante el formalismo de redes de planifica-cin (Van L,ehn y Brown, 1980, citado por Greeno y cols., 1984). Las hiptesisacerca de la competencia son las premisas de las que se derivan los componen-tes de ejecucin. La red de planificacin est formada por lo componentes si-guientes: unidades de accin, metas y tests.

Greeno y cols. (1984) distinguen entre tres componentes de competencia quesern utilizados en las derivaciones de estructuras de ejecucin: conceptual, pro-cesual y de utilizacin. La comprensin representada por la competencia con-ceptual requiere reglas de planificacin y conocimiento acerca de los conjuntospara poder derivar un procedimiento de ejecucin de la tarea. La competencia

97procesual se refiere a los principios generales que implican relaciones de metas,acciones y condiciones de requisitos para acciones. Incluye mtodos de pruebade teoremas que buscan qu rasgos de la tarea pueden utilizarse para probarque las condiciones se han satisfecho. La competencia de utilizacin se refiereal conocimiento empleado en la puesta a prueba de teoremas en el intento derelacionar las caractersticas propias de la tarea con las metas establecidas enla planificacin. Este tipo de competencia permite determinar qu rasgos dela tarea pueden utilizarse en la realizacin del plan.

La competencia conceptual se puede identificar como el ncleo de compo-nentes que se requieren para ejecutar todas las tareas de contar (los principios).Un aspecto importante de la competencia es para Greeno y cols. (1984) la capa-cidad generativa que hace referencia a: 1) la aptitud para generar nuevos proce-dimientos que permitan lograr la meta en una variedad de situaciones de tareay 2) la aptitud para acomodar el procedimiento de contar a las restriccionesque no son habituales en la tarea.

Greeno y cols. (1984) sealan que la demarcacin entre competencia y eje-cucin no es tan clara y que depende del nivel en que se realice el anlisis teri-co. Si se realiza de modo general se considerar un conjunto de procesos comorealizaciones de ejecucin, por el contrario, si el anlisis de competencia es muyminucioso puede especificar la descripcin de estructuras de procedimiento hastaun nivel de detalle.

Para Greeno y cols. (1984) la declaracin de que el nio posee los principiossignifica que aqul tiene una representacin mental de los mismos. Los princi-pios, en el mbito de la competencia conceptual, son concebidos como restric-ciones en el conocimiento procesual.

Ni en el trabajo de Gelman y Gallistel (1978) ni en el de Greeno y cols.(1984) quedan bien establecidos cules son los mecanismos de transicin quedeterminan el paso de unos niveles de comprensin a otros superiores. Se sea-la que el progreso supone una diferenciacin de las estructuras cognitivas (Gel-man, 1982) y se indican como nicos mecanismos el aprendizaje de la secuencia,la coordinacin motora y la prctica. El desarrollo es un progreso en las capaci-dades para utilizar la competencia conceptual en correspondencia con la com-petencia procesual y de utilizacin (Greeno y cols., 1984). Es importante laobservacin de Greeno y cols. en torno a las interacciones que se producen en-tre competencia conceptual y las situaciones de tarea, aunque su modelo no ca-racteriza las clases de procedimientos vlidos dentro de un posible dominio deprocedimientos para ejecutar la tarea.

El modelo descrito en este apartado, como los propios autores sealan, tie-ne mucho que ver con los modelos estructuralistas de Piaget y Chomsky. Comoen la teora piagetiana las estructuras cognitivas profundas (principios) dirigenla tendencia del organismo a asimilar las entradas procedentes del entorno.El nio aprende las listas de palabras-nmero de su cultura porque hay unasestructuras subyacentes que permiten esta asimilacin. Los principios guan, es-tructuran y motivan la conducta de contar (Gelman y Gallistel, 1978). Sin em-bargo, para estos autores las estructuras no se construyen como en la teora dePiaget, estn dadas, aparentemente de modo innato, a semejanza de las estruc-turas lingsticas postuladas por Chomsky (1968). Las relaciones que se estable-cen entre competencia (principios) y la ejecucin (proceso de contar) tambindifieren del modelo piagetiano, que no contempla esta diferenciacin. Pero, ade-ms, mientras para Piaget la ejecucin de la tarea de contar no supone ms que

98una recitacin mecnica, para Gelman y Gallistel (1978) y Greeno y cols. (1984)la habilidad de contar supone cierta comprensin del nmero.

2. MODELOS DE EJECUCION

Incluimos en este apartado los modelos descriptivos de la conducta externay los de procesos internos que tienen lugar durante la ejecucin.

Modelo de EnumeracinEl primer anlisis de la conducta observable del proceso de contar en los

nios se debe a Beckwith y Restle (1966), que realizan una descripcin verbalde los componentes de la tarea al estudiar el proceso en nios de 7 y 9 aos.Estos autores describen el proceso de contar en trminos de los siguientes com-ponentes: 1) una secuencia de numerales, 2) una cadena de respuestas indica-dor (sealar o mover los objetos) y 3) agrupamiento perceptual de los objetosen dos subgrupos, los objetos ya contados y los no contados todava. Las res-puestas indicador (cmo sealar los objetos) deben referirse a cada objeto y pa-rar cuando todos los objetos han sido contados. Ello requiere un proceso decontrol perceptual, ... una discriminacin deslizante entre el conjunto contado(C) y el no contado (U) (Beckwith y Restle, 1966). Potter y Levy (1968) sea-lan en su anlisis los componentes 1) y 2) de Beckwith y Restle y la necesidadde coordinar esos dos componentes para establecer una correspondencia uno-a-uno entre los dos conjuntos, numerales y objetos.

Modelo de CorrespondenciasFuson y Hall (1983), y Fuson, Briars y Secada (1985) analizan el contar des-

de la perspectiva de las correspondencias que se establecen entre palabras-nmeroy objetos. Se establecen tres tipos de correspondencias: 1) correspondencia enel tiempo (entre palabra-nmero y la accin de sealar); 2) correspondencia enel espacio, entre la accin de sealar y el objeto, y 3) correspodencia palabra-objeto, producida en el espacio-tiempo, derivada de las dos anteriores. Fuson ycols. (1985) realizan un anlisis exhaustivo de los tipos de errores que violanlas correspondencias al contar conjuntos de objetos no movibles dispuestos enlnea.

Modelos de simulacinA. Simulacin del proceso como operador de cuantificacinEl modelo de simulacin del proceso de contar elaborado por Klahr y Wa-

nace (1976) se enmarca dentro de la formulacin de un modelo general de pro-cesamiento y se ocupa de un doble aspecto, el procesual y el de representacin.Parte de anlisis empricos y utiliza los Sistemas de Produccin (SP) desarrolla-dos por Newell y Simon (1972).

El contar es un operador de cuantificacin o cuantificador cuya aplica-cin a conjuntos de objetos permite obtener una representacin cuantitativa delos mismos. Un operador de cuantificacin es un conjunto de procesos ele-mentales que tienen como entrada el estmulo a cuantificar y produce comosalida una representacin interna susceptible de ser empleada en comparacio-

99nes cuantitativas. Es a travs de la experiencia en contar como el nio llega aabstraer que la cardinalidad del conjunto permanece invariante ante transfor-maciones espaciales.

Los autores presentan un anlisis de los subprocesos implicados en contar,mediante diagramas de flujo y los correspondientes programas de ordenador dedos modelos, uno de contar por enumeracin (PS.COUNT) y otro combinadode contar y percepcin sbita, subitizing (PS.SUBADD).

Contar por enumeracin (PS.COUNT). En este procedimiento el sistema tie-ne que atender a los objetos y a la secuencia de las palabras-nmeros. Ello im-plica que el contar requiere dos estructuras auxiliares en la Memoria a LargoPlazo (MLP): una lista finita de palabras junto con un proceso para generar in-definidamente la secuencia y un proceso que asegure que cada tem se conside-ra una sola vez.

La sucesin de subprocesos que integran el proceso de contar en este mode-lo son: inicializan observar el tem, marcarlo, recuperar de la memoria el siguientenmero de la lista. Una vez realizado tal recorrido se busca un nuevo tem yse ejecuta este bucle de modo iterativo hasta que ya no queden ms elementosdel conjunto. Llegados a este punto el resultado es la palabra-nmero que hayen la memoria en ese momento. Los subprocesos observar y marcar no estn cla-ramente definidos, pero representan cualquier tipo de estrategia que se puedaemplear. Los procesos mediante los cuales se dirige la atencin hacia los objetospueden ser diversos, aunque todos ellos suponen algn tipo de conducta motora(tocar, movimientos oculares, etctera).

En el SP de contar, el cuantificador se centra en la Memoria Semntica aCorto Plazo (MSCP). Si se detecta el objetivo, la discriminacin del SP colocaen la MSCP un elemento semntico que lo representa. Cuando se est produ-ciendo el proceso de contar, la llegada a la MSCP de un elemento-objetivo acti-va producciones de cuantificacin adecuadas. Estas actan actualizando elelemento de la secuencia de palabras-nmero que est presente en la memoriaen ese momento, como smbolo cuantitativo derivado del proceso de contar quesigue operando.

Operando por percepcin sbita y adicin (PS.SUADD). Los subprocesos quedescriben la secuencia temporal de las operaciones que tienen lugar al contarde este modo combinado son:

1) Agrupamiento de elementos, buscando patrones figurales, a modo de ges-talten, en las disposiciones de los conjuntos. Este proceso facilita la enumera-cin al determinar la secuencia del proceso, disminuyendo as el tiempo necesariopara la ejecucin.

2) Los grupos se representan en la Memoria Visual a Corto Plazo (MVCP)va percepcin sbita, produciendo un smbolo cuantitativo en la MSCR

3) El smbolo cuantitativo colocado en la memoria se suma al smbolo cuan-titativo correspondiente a los subgrupos que se han percibido y marcado has-ta ese momento. Cada subgrupo se marca a fin de evitar la recuantificacin.

4) Buscar nuevos grupos y repetir la secuencia de subprocesos anteriores.Si ya no quedan ms grupos el proceso de cuantificacin se termina y el smbo-lo cuantitativo final es el que est en la memoria en ese momento.

Al comparar los resultados obtenidos por sujetos adultos y los obtenidos me-diante PS.COUNT, Klahr y Wallace (1976) observan una gran diferencia en las

loopendientes de la recta que relaciona el nmero de elementos del conjunto conlos tiempos de latencia (tiempos requeridos para la ejecucin), siendo mayor lacorrespondiente a PS.COUNT. Las diferencias disminuyen cuando la compara-cin se realiza entre la ejecucin de adultos y la de PS.SUBADD. El aumentode los tiempos de reaccin en PS.COUNT se debera a que, adems de los sub-procesos deteccin del objetivo y generacin del nmero, se necesitara direc-cin de la atencin y discriminacin. PS.COUNT es considerado por los autorespoco plausible. Tanto adultos como nios, pero ms los primeros, utilizaran msbien una mezcla de contar y de percepcin sbita, lo cual explicara la aparicinde latencias ms elevadas en nios (Chi & Klahr, 1975) y la mayor semejanzaentre tiempos de adultos y tiempos de PS.SUBADD.

No se explicita en este modelo de Klahr y Wallace (1976) cmo se generanlas listas de palabras-nmero, ni cmo el sujeto satisface las demandas de losdistintos tipos de tareas.

B. Simulacin basada en los principios de contarEl modelo de simulacin del proceso de contar (SC) derivado del modelo

de competencia basado en los principios (Gelman y Gallistel, 1978) propuestopor Greeno y cols. (1984) es una hiptesis acerca de las estructuras cognitivasy procesos que explican la ejecucin de contar, pero los principios no aparecenexplcitamente; se entienden como una hiptesis acerca de la comprensin sub-yacente a lo que hacen los nios cuando cuentan.

En SC se emplean los Sistemas de Produccin (Newell y Simon, 1972). SCsimula el proceso de contar conjuntos de objetos dispuestos en lnea. En l, lasoperaciones perceptuales consisten en un mecanismo para mover la atencin atravs de la lnea. El primer paso es representarse el conjunto, despus se alma-cena en la memoria el objetivo: encontrar el nmero de elementos en el conjun-to. A continuacin se identifica el objeto que est en un extremo del conjuntodel grupo perceptual inicial y se le asigna la propiedad de ser el lmite del con-junto de objetos marcados. Este subprocedimiento se repite moviendo la aten-cin hacia otro objeto. Cuando ya no hay ms objetos sin etiquetar en el grupoperceptual, pero sigue habiendo objetos en el conjunto, se ampla aqul. SC ter-mina de contar cuando ya no encuentra ms objetos para incluir en el grupoperceptual. Entonces se recupera de la memoria el objetivo y se logra almace-nando una asociacin entre el numeral utilizado en ltimo lugar y el smboloque ser refiere al conjunto de objetos.

En SC resulta ms difcil recuperar el siguiente objeto del conjunto que elsiguiente elemento de la lista de numerales. Estos ltimos se suponen vincula-dos por la relacin siguiente, tal que la produccin de un elemento sirve deestmulo para producir el siguiente de modo automtico. SC incluye varios com-ponentes como almacenar y recuperar un objeto de la memoria o agrupar per-ceptualmente que pueden interpretarse como partes del anlisis de ejecucin decontar y no como parte de la competencia (Greeno y cols., 1984).

En esta modelizacin se simula el proceso de contar, no hay experimenta-cin con el modelo (Jaez, 1981) como ocurra en el de Klahr y Wallace (1976).Tampoco hay en ella un esquema por cada principio sino que cada esquema re-presenta diferentes aspectos de varios principios, al igual que en el trabajode Wilkinson (1984). Este hecho parece revelar la dificultad para formalizar losprincipios especficamente. Por otra parte, simula slo la ejecucin correcta

1 01en una situacin en que los objetos no se pueden mover pero s marcarse. Otrosmodelos propuestos por Greeno y cols. SC-1, SC-2, SC-3 simulan el proce-so de contar cuando se imponen restricciones que obligan a modificar el proce-dimiento habitual. De ellos slo SC-3 cuenta correctamente.

Modelo de Conocimiento Parcial: Estructura-ProcesoEl modelo de la adquisicin de la habilidad de contar desarrollada por Wil-

kinson (1984) tiene su origen en la teora del conocimiento parcial (Wilkinson,1982a, 1982b), y en el modelo de los principios de contar de Gelman y Gallis-tel (1978). La teora del conocimiento parcial se interesa por el conocimientoprocesual. Parte del problema de cmo modelar el conocimiento parcial que puedeexhibir el sujeto que est aprendiendo una habilidad. La definicin de conoci-miento parcial est estrechamente vinculada a la observacin de que, por unparte, el grado de habilidad que un nio manifiesta puede variar en funcinde las demandas de las tareas mediante las que se valora su capacidad y, porotra, a que durante el perodo de adquisicin de una habilidad o concepto laejecucin es inestable.

Se asume que el desarrollo cognitivo es un par estructura-proceso, una es-tructura cognitiva y un proceso mediante el cual se desarrolla aqulla. Partiendode que una hiptesis acerca de una estructura cognitiva est constreida a aso-ciarse con un proceso de desarrollo (Anderson, 1978), Wilkinson selecciona pa-res de estructura-proceso, disea tareas y crea un metodologa para determinarcul de los pares representa mejor el conocimiento de los sujetos. En el casoparticular de la habilidad de contar se establecen dos posibles pares de estructura-proceso. El conocimiento parcial de dicha habilidad puede ser restrgido o varia-ble. Cuando el sujeto ejecuta la tarea de modo estable en diversas repeticionesde la misma, ya sea la ejecucin correcta o incorrecta, el conocimiento se consi-dera restringido. La estructura cognitiva postulada en este caso es un algoritmounitario y el proceso de desarrollo es la mejora. Se supone que el nio que poseeun conocimiento restringido de contar posee una regla o procedimiento que re-cupera de la memoria, como un todo, en las diversas ocasiones que ejecuta latarea (Wilkinson, 1984). El modelo se basa en las reglas de contar de Siegler(1981) y en su estudio de la estructuracin de la secuencia (Siegler y Richards,1983; Siegler y Robinson, 1982). As, si un nio sabe, contar hasta 19, perodesconoce la regla de la dcada contar correctamente conjuntos iguales o me-nores que 19 y fallar sistemticamente en conjuntos de mayor tamao. El pro-ceso de mejora consiste, en este caro, en adquirir la regla de generacin dedcadas.

Cuando la ejecucin de la tarea es correcta en unas ocasiones e incorrectaen otras (para conjuntos del mismo tamao) el conocimiento es variable. La es-tructura cognitiva asociada a este tipo de conocimiento es, segn Wilkinson(1982a), un conjunto de componentes modulares y el proceso de desarrollo es elautocontrol (self-monitoring). El objetivo de dicho proceso es detectar los erro-res y, a partir de ellos, aprender a engarzar los componentes de ejecucin enuna rutina ms fiable. Los componentes modulares de la ejecucin se recupera-ran de la memoria por separado, fusionndose a medida que se usan. Un niocon conocimiento variable puede poseer los componentes que intervienen enla ejecucin de la tarea de contar, pero tener dificultades en cmo hacerlo (Wil-kinson, 1984). Tal distincin equivale a la que Gelman y Gallistel (1978) hacen

102entre conocimiento de los principios de contar y ejecucin de la tarea en unasituacin concreta.

Se plantea la posibilidad de que la distincin entre los dos tipos de conoci-miento descritos no sea tan difana y se admite la posibilidad de un modelode conocimiento mixto (Wilkinson, 1982a). Al estudiar la habilidad de contaren un grupo de nios es posible que algunos de ellos ejecuten la tarea eligiendode entre varios algoritmos disponibles, pero estos mismos nios, u otros del mismogrupo, pueden utilizar un algoritmo de modo restringido (Wilkinson, 1984).

Ante estos supuestos es obligado preguntarse por la naturaleza de los com-ponentes postulados por la teora del conocimiento parcial encontrando la si-guiente definicin:

Un componente se define como un procedimiento que designa acciones allevar a cabo, ya sea en pensamiento o en conducta...; un componente es una he-rramienta cognitiva; como una llave inglesa, est a mano en muchas ocasiones,pero cuando se usa realmente, debe regularse para ajustarla a la situacin real.(Wilkinson, 1982a, pg. 277)

La definicin es lo suficientemente ambigua como para dar cabida a compo-nentes muy distintos. Bajo el paradigma del conocimiento parcial, los compo-nentes definidos de un modo tan genrico en la habilidad de contar toman laforma de los principios de contar (Gelman, 1978; Gelman y Gallistel, 1978).Para Wilkinson (1984) los componentes y los principios se asemejan en que am-bos son entidades cognitivas separadas que se suponen presentes en los nios,pero integradas pobremente en los pequeos y bien ensambladas en los mayo-res. No obstante esta similaridad, el autor establece una diferencia entre com-ponentes y principios; stos implican conocimiento abstracto y tienen una entidaden la mente del nio (representacin) aparte de la conducta observable, mien-tras que los componentes estn ntimamente ligados a la accin (Wilkinson, 1984).La teora de Wilkinson, por tanto, se ocupa de formalizar el aspecto procesualen tanto que los principios constituyen un modelo de competencia.

La hiptesis general de Wilkinson es que el conocimiento de la habilidadde contar, al igual que otras habilidades cognitivas, es fundamentalmente varia-ble. Dicha hiptesis se desglosa en dos: 1) Un componente aislado puede serrelativamente estable en el nio pequeo, ya que se atribuye a ste un ciertoconocimiento de los principios, hiptesis de dificultad adicional.2) Un componente cualquiera se convertir en menos estable cuando sea nece-sario utilizarlo en coordinacin con otros, hiptesis de variabilidad adicional.

La primera hiptesis predice que dadas dos tareas tales que una de ellas re-quiere un componente ms que los componentes requeridos por la otra, aquellacon mayor nmero de componentes originar ejecuciones errneas con ms pro-babilidad que la tarea cuya ejecucin requiere menos componentes. Ello se de-bera a que a medida que crece el nmero de componentes implicados se necesitamayor coordinacin, pero, adems, al entrar en juego varios componentes, esmuy probable que alguno se use errneamente. La segunda hiptesis prediceque la tarea con mayor nmero de componentes ser tambin la ms variable(Wilkinson, 1984). Se asume, adems, la existencia de un proceso ejecutivo quesupervisara la integracin de los componentes. El contar correctamente es, enparte, funcin del proceso ejecutivo y, en parte, funcin de la integracin delos componentes, pero ambos procesos se consideran independientes (Wilkin-son, 1984). Slo cuando el nio no dispone de una rutina para contar hasta

103un punto es necesario echar mano del proceso ejecutivo para crear la rutina adhoc.

Sin embargo, el anlisis de la tarea realizado por Wilkinson no es una deri-vacin inmediata del modelo terico de Gelman y Gallistel (1978), pues los prin-cipios son ms conceptuales que procesuales. El autor considera tres componentesya sealados en trabajos precedentes (Beckwith y Restle, 1966; Gelman y Ga-llistel, 1978) y crea tareas que difieren en alguno de ellos, categoriza los erroresy hace predicciones de errores para cada tarea en funcin de los componentesimplicados. Los componentes o subprocesos que intervienen en la tarea son:

1. Etiquetar Supone recuperar de la memoria una a una las palabras-nmeroen el orden adecuado, sin saltos ni duplicaciones.2. Particin. Implica marcar fsicamente o en la memoria cada tem, de modoque durante todo el proceso se distingan dos conjuntos, el de los elementos con-tados y el de los no contados todava.3. Parar Supone reconocer que ya se han contado todos los tems y debe finali-zar el etiquetado y la particin.

Wilkinson (1984) disea cuatro tareas de contar que difieren en alguno delos componentes. Las tareas y sus componentes aparecen en la Tabla I.

TABLA I

TareaComponentes

Etiquetar Particin Parar

RecitarContar / FcilContar / DifcilSealar

SSS

No

NoBajoAltoAlto

BajoBajoAltoAlto

S/No indica presencia/ausencia del componente. Bajo/Alto se refiere a la necesidad/nonecesidad de un proceso ejecutivo. (Wilkinson, 1984).

La coordinacin de etiquetado y particin incluira la aplicacin de los prin-cipios de orden estable y uno-a-uno (Gelman y Gallistel, 1978).

Para poner a prueba las hiptesis se comparan la ejecucin de los sujetosen pares de tareas que difieren en un componente: Recitar y Contar Fcil, Con-tar Fcil y Contar Difcil, Contar Difcil y Sealar a fin de poner a prueba lasdos hiptesis, de dificultad y de variabilidad. Las predicciones sobre el primererror cometido por los sujetos en cada una de las tareas y por consiguiente so-bre la diferencia de tipos de errores cometidos entre pares de tareas son las si-guientes: a) mayor probabilidad de cometer errores de etiquetar: salto yduplicacin en Contar Fcil, que en Recitar; b) ms errores de parar y ms erro-res de salto y duplicacin en Contar Difcil que en Contar Fcil, ya que en laprimera los conjuntos tienen disposicin cerrada; tambin sern ms probableslos errores de salto y duplicacin y c) ms errores de particin (salto de temy dos nmeros a un tem) en Contar Difcil que en sealar. Los datos de la eje-

104cucin de las cuatro tareas en una muestra de nios de 34 a 71 meses permitena Wilkinson (1984) confirmar su hiptesis de variabilidad adicional y de difi-cultad adicional. No obstante, es preciso sealar que la conclusin de variabili-dad adicional parece ms fruto de la estrategia metodolgica que de la realidadde los datos (Coello, 1987).

CONCLU SION

Los estudios cognitivos muestran que el desarrollo de la habilidad cognitivade contar, al igual que el de otras habilidades matemticas ms sofisticadas, cons-tituyen un proceso lento que culmina en la integracin de todos los subprocesosque componen la habilidad. Sin embargo, los modelos propuestos son estticos.En este rea, como en otras reas del desarrollo, uno de los aspectos no resueltoes la determinacin de cules son los mecanismos de transicin de unos nivelesde habilidad a otros. Parece claro que los preescolares poseen un conocimientoparcial de contar, pero no existe unanimidad en cuanto al modo de caracterizarese conocimiento parcial durante el perodo de desarrollo de la habilidad.

El anlisis en trminos de componentes y de correspondencias permite ha-cer predicciones de los tipos de errores (Fuson y Hall, 1983; Wilkinson, 1984).Por otra parte, los modelos basados en la simulacin del proceso (Klahr y Wa-llace, 1976; Greeno y cols., 1984) solamente simulan la ejecucin correcta ensituaciones de tarea especficas. En general todas las investigaciones se limitana situaciones de tarea muy especficas, por lo que es preciso que se incluyanen la simulacin de los procesos los componentes perceptuales y tambin loscreativos (estrategias) que intervienen en la tarea.

Finalmente, hay que sealar que la nueva metodologa y el nuevo marco te-rico han permitido conocer ms acerca de las habilidades matemticas tempra-nas tales como el proceso de contar. Es de esperar que este conocimiento seacreciente en el futuro y tenga consecuencias en la instruccin de los conoci-mientos matemticos tempranos.

ReferenciasANDERSON, J. (1978). Arguments concerning representation for mental imagery. Psychologi-

cal Review, 85, 249-277.BECKWITH, M. y RESTLE, E (1966). Process of enumeration. Psychological Review, 73,

437-444.BRIARS, D. y SIEGLER, R. S. (1984). A featural analysis of prescholer's counting knowledge.

Developmental Psychology, 20, 607-618.CASE, R. (1982). General development inference on acquisition of elementary concepts and

algorithms in arithmetic. En T. P. Carpenter, J. M. Moser y T. A. Romberg (Eds.), Addi-tion and Substraction: A cognitive Perspective. Hillsdale, NJ: LEA.

M. T. C. y KLAHR, D. (1975). Span and rate of aprehension in children and adults. Jour-nal of Experimental Child Psychology, 19, 434-439.

CHOMSKY, N. (1969). The acquisition of syntax in children from 5 to 10. Cambrdge, MA: MITPress.

CLEMENTS, D. H. (1984). Traning effects on development and generalization of Piagetianlogical operations and Knowledge of number. Journal of Educational Psychology, 76,766-776.

COELLO, M. T. (1987). El proceso de contar en los nios. Tesis doctoral no publicada. Facul-tad de Psicologa, UCM, Madrid.

COOPER, R. G. (1984). Early number development: Discovering number space with addi-tion and substraction. En C. Sophian (Ed.), Origins of cognitive skills. Hillsdale, NJ: L.E.A.

105FISHER, K. W. (1980). A theory of cognitive development: The control of hierarchies of skills.

Psychological Review, 87, 477-531.FUSON, K. C. (1982). An analysis of the counting on solutipn procedure in addtion. En T. P.

Carpenter, J. M. Moser y A. Romberg (Eds.), Addition and Substraction: A cognitive pers-pective. Hillsdale, NJ: LEA.

FUSON, K. C., BRIARS, D. J. y SECADA, W. G. (1985). Correspondence errors in children's coun-ting. Unpublished draft.

FUSON, K. C. y HALL, J. W. (1983). The acquisition of early number word meanings: A con-ceptual analysis and review. En H. G. Ginsburg (Ed.), The development of MathematicalThinking. New York: Academic Press.

FUSON, K.; BRIARS, D. J. y RICHARDS, J. (1982). The acquisition and elaboration of the num-ber word sequence. En C. J. Brainerd (Ed.), Children's logical and mathematical cogni-tion. New York: Springer-Verlag.

GELMAN, R. (1978). Counting in the prescholer: What does and does not develop? En R.S. Siegler (Ed.), Childrens's thinking: What develops? Hillsdale, NJ: LEA.

GELMAN, R. (1982). Accessing one-to-one correspondence: Still another paper about con-servation. British Journal of Psychology, 73, 209-220.

GELMAN, R. y GALLISTEL, C. R. (1978). The child's understanding of nurnber Cambridge, MA:Harvard University Press.

GELMAN, R. y MECE, E. (1983). Prescholers counting: Principies before skll. Cognition, 13,7343-359.

GREENO, J. G.; RILEY, M. S. y GELMAN, R. (1984). Conceptual competence and children'scounting. Cognitive Psychology, 16, 94-143.

JAez, L. (1981). Simulacin: conceptos bsicos: En L. Jaez (Ed.), Simulacin en Psicolo-ga. Publicaciones del Dpto. de Psicologa Matemtica, Facultad de Psicologa-UCM,Madrid.

KLAHR, D. R. y WALLACE, J. G. (1976). Cognitive development: An information processing view.Hillsdale, NJ: LEA.

NESHER, P. (1986). Learning Mathematics. A cognitive perspective. American Psychologist,41, 1.114-1.122.

NEWELL, A. y SIMON, H. A. (1972). Human problem solving. Englewood Cliffs, NJ: PrenticeHall.

PIAGET, J. y SZEMINSKA, A. (1941). La gense da nombre chez l'enfant. Nechatel: Delachauxy Niestl.

POTTER, M. C. y Lel/y , E. I. (1968). Spacial enumeration without counting. Child develop-ment, 39, 265-273.

RODRIGO, M. J. (1982). Las posibilidades del anlisis de tareas como tcnica para el estudiode los procesos mentales. Infancia y Aprendizaje, 19-20, 159-173.

SIEGLER, R. S. (1981). Developmental sequences within and between concepts. Monographsof the Society for Research in Child Development, 46 (2 Serial N. 189).

SIEGLER, R. S. y Richards, D. D. (1983). The development of two concepts. En C. J. Brai-nerd (Ed.), Recent advances in cognitive-development theory. Pro gress in cognitive develop-ment research. New York: Springer Verlag.

SIEGLER, R. S. y ROBINSON, M. (1982). The development of numerical understanding. En H.Reese y L. Lipsitt (Eds.), Advances in child development an behavior New York: Acade-mic Press.

SIEGLER, R. S. y SHRAGER, J. (1984). Strategy choices in addtion and substraction: How dochildren know what to do? En C. Sophian (Ed.), Origins of cognitive skills, the eighteenthannual Carnegie symposium on cognition. Hillsdale, NJ: LEA.

STEFFE, L. P.; COBB, P y RICHARDS, J. (1983). An analysis of children's creation of countabletems while counting. En L. P. Steffe, E. von Glasersfeld, J. Richards y P. Cobb (Eds.),Children's counting types. New York: Praeger.

STEFFE, L. P.; THOMPSON, P. W. y Richards, J. (1982). Children's counting in arithmetical pro-blem solving. En T. P. Carpenter, J. M. Moser y T. A. Romberg (Eds.), Addition andsubstraction: A cognitive perspective. Hillsdale, NJ: LEA.

VON GLASERSFELD, E. (1982). The conception and perception of numbet En S. Wagner yE. Geeslin (Eds.), Modeling mathematical cognitive development. Columbus, O:ERIC/SMEAC Center for Science, Mathematics and Environmental Education, OhioState Universtiy.

STEFFE, L. P.; VON GLASERSFELD, E. y RICHARDS; J. (1983). An analysis of counting and whatis counted. En L. P. Steffe, E. von Glasersfeld, J. Richards y P Cobb (Eds.), Children'scounting types. New York: Praeget

WILKINSON, A. C. (1982a). Theoretical and methodological analysis of pardal knowledge. De-velopmental Review, 2, 274-304.

WILKINSON, A. C. (1982b). Partial knowledge and self-correction: Developmental studies ofa quantitative concept. Developmental Review, 18, 874-891.

WILKINSON, A. C. (1984). Children's partial knowledge of the cognitive skill of counting.Cognitive Psychology, 16, 28-64.