Diapositivas de Economia[1]

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1Emilio Porras Sosa

ECONOMIA DE LOS PROCESOS

PI 510

FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA Y TEXTIL

2Emilio Porras Sosa

• Conceptos Generales• Proyectos de Inversión• Matemáticas Financieras• Estados Financieros Proyectados• Análisis de Mercado• Inversión en Equipos, Unidades de Proceso y Capital de Trabajo• Depreciación de Activo Fijo y Amortización de Intangibles• Costos de Producción• Criterios de Evaluación de Inversiones• Alternativas de Reemplazo• Análisis de Riesgo e Incertidumbre• Modelamiento Matemático• Optimización de Proceso• Optimización de Procesos de Destilación

Índice

3Emilio Porras Sosa

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CONCEPTOS GENERALESY

REVISION DE TERMINOS

4Emilio Porras Sosa

Es una medida de la producción de una economía y refleja el flujo de bienes y servicios producidos en el territorio de un país, durante un período determinado. Existen tres maneras de medir el PBI:

• Por el valor añadido en cada uno de los sectores de la economía (agropecuario, pesca, minería, etc..)

• Por el gasto final, que viene a ser la suma de las compras finales o demandas finales de la economía (consumo familiar, de gobierno, Inversión, Exportaciones-Importaciones).

• Por la suma los ingresos de todos los factores de producción (salarios, ingresos independientes, excedentes, impuestos -subsidios)

Producto Bruto Interno (PBI)

5Emilio Porras Sosa

Es la relación entre el producto Bruto Interno (PBI) y la población de un país durante un período determinado. Es una variable muy utilizada para indicar el grado de desarrollo de un país.

Deuda Externa

Es el conjunto de obligaciones de los residentes derivados de operaciones de crédito contraídos con acreedores del exterior. La deuda externa incluye la deuda del sector público y privado, ya sea a corto o a largo plazo.

Producto Bruto Interno Per Cápita

6Emilio Porras Sosa

Es la denominación que reciben los bienes que intervienen en el proceso productivo y que generalmente no se transforman, ejemplo los equipos, maquinarias, edificios, etc. Los bienes decapital son utilizados para crear mayores beneficios.

Arancel

Es el impuesto que se paga por los bienes importados y se puede calcular sobre el valor o el volumen de las importaciones.Este impuesto se paga para obtener el derecho de internar en el país un producto importado.

Bienes de Capital

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7Emilio Porras Sosa

Costos son todos aquellos desembolsos efectuados por el proyecto para la adquisición de bienes y servicios, incluyen aquellos desembolsos incurridos para la adquisición de bienes de capital y en la generación de capital de trabajo

Gastos

Gastos son aquellos egresos, durante la operación del proyecto, correspondientes a los productos vendidos. Por ejemplo si se compra materia prima por 20 MUS$ e ingresa al proceso productivo el equivalente a 15 MUS$, el costo será de 20 MUS$, el gasto será de 15 MUS$ y la generación de inventario de 5 MUS$.

Costos Laborales

Es el costo total efectivo que representa para el empleador la contratación de mano de obra. Además de la remuneración que perciben los trabajadores, incluye las diversas contribuciones y/o aportes (pagos al seguro social, FONAVI, compensación por tiempo de servicio, gratificaciones, seguros de vida y contra accidentes, etc.)

Costos

8Emilio Porras Sosa

Costo y Gasto de Producción

M. PrimaMateriales

100 TM100 M$

1 M$/TM

A Inventario

20 TM20 M$

PROCESOPRODUCTIVO

Cargos Operativos120 M$

1.5 M$/TM

Costo de Producción

80 TM200 M$

2.5 M$/TM

A Inventario

10 TM25 M$

Gasto de Producción

70 TM175 M$

2.5 M$/TM

80 TM80 M$

A ventas

9Emilio Porras Sosa

Es un impuesto que grava el mayor valor que se incorpora en cada etapa del proceso de manufactura o comercialización. El impuesto pagado en cada una de dichas etapas constituye crédito fiscal de la siguiente, de esta manera la carga total del impuesto la recibe el consumidor final.

Impuesto al Valor Agregado

Precio : 100.0 150.0 170.0 IVA : 19.0 28.5 32.3

Total : 119.0 178.5 202.3

Extracción de Materia Prima Transformación Comercial

Recibe : 119.0 178.5 202.3

Impuesto : 19.0 9.5 3.8

Neto : 100.0 169.0 198.5

10Emilio Porras Sosa

Es el conjunto de bienes y servicios adquiridos por un consumidor representativo de la economía, y sirve de base para el cálculo del Índice de Precios al consumidor (IPC). La canasta de consumo en el Perú está conformada por los siguientes grupos de consumo:

• Alimentos y bebida• Vestido y calzado• Alquiler de vivienda, combustible y electricidad• Muebles y enseres y mantenimiento de vivienda.• Cuidados, conservación de la salud y servicios médicos.• Transportes y comunicaciones.• Esparcimiento, diversión, servicio cultural y de enseñanza, Etc.

Canasta de Consumo


Son aquellos que recibe o da el sujeto económico al momento de realizar una transacción en el mercado. Es la cantidad de dinero que se paga o recibe al adquirir o vender un bien o servicio.

Inflación

Inflación es el incremento general y permanente de precios de bienes y servicios. Se la mide con la Tasa de Inflación, que refleja el alza promedio de precios de los bienes y servicios durante un período determinado. La tasa de inflación es una medida relativa.

Precios


Este término tiene dos enfoques: El primero se entiende como la capacidad económica para adquirir bienes y/o servicios y el segundo a la cantidad de bienes y/o servicios que se obtiene conuna suma de dinero determinada respecto a la cantidad que se hubiera obtenido en un período anterior.

Precios Reales

Son aquellos que reflejan la relación de intercambio entre los bienes y servicios, se expresan en términos monetarios de un año base. Para excluir los efectos de la inflación en la evaluación de inversiones se trabaja en moneda real.

Poder Adquisitivo

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Servicio de la Deuda

Un préstamo implica pagos futuros que incluyen la amortización de la deuda, los intereses y las comisiones, estos pagos se conocen como servicio de la deuda.

Plazo:

Es el período que se otorga para amortizar la deuda, no incluye el período de gracia.

Período de Gracia

Es el período que se otorga antes de iniciar la amortización de la deuda. Durante este período los intereses pueden ser pagados o capitalizados, en caso de ser capitalizados la deuda se veráincrementada.

Conceptos Relacionados a Deuda


La utilidad neta es determinada en el Estado de Ganancias y Perdidas, también es conocida como utilidad después de impuestos. Existen Utilidad Neta Económica que no considera los efectos de financiamiento y Financiera donde se contempla los intereses y comisiones debido al financiamiento. Las ecuaciones para el cálculo de la utilidad neta son las siguientes:

UNEi = (INGi-EGi-Di) · (1-t) UNFi = (INGi-EGi-Ii-Di) · (1-t)

i Año ( 0, 1, 2, 3, ..., n)UNE Utilidad Neta EconómicaUNF Utilidad Neta FinancieraING Ingreso por ventas y por otros conceptosEG Egresos (Gastos de Producción, Administrativos y Ventas)I Intereses (Gastos financieros) D Depreciación de activo fijo y amortización de intangibles.t Tasa Impositiva

Utilidad Neta (UN)


El flujo neto de fondos representa el efecto combinado de las entradas y salidas de dinero de la empresa o proyecto, y se determina restando a los ingresos los egresos. Si el FNF es negativo implica salida de dinero y si es positivo es entrada de dinero al proyecto o empresa. Lasecuaciones para su cálculo son las siguientes:

FNFEi = UNEi + Di + VSi - INViFNFFi = UNFi + Di + VSi - (INVi-PRESi) - AMORTi

i Año ( 0, 1, 2, 3, ..., n)FNFE Flujo Neto de Fondos EconómicoFNFF Flujo Neto de Fondos FinancieroUNE Utilidad Neta EconómicaUNF Utilidad Neta FinancieraD Depreciación de activo fijo y amortización de intangibles.VS Valor de rescateINV Inversión Total (capital fijo y capital de trabajo)PRES PréstamoAMORT Amortización de la deuda

Flujo Neto de Fondos (FNF)


Combinando las ecuaciones de Utilidad Neta y Flujo Neto de Fondos:

FNFEi = (INGi-EGi) ·(1-t) + t · Di + VSi - INVi

FNFFi = (INGi-EGi-Ii) · (1-t) + t · Di + VSi - (INVi-PRESi) - AMORTi

En las ecuaciones anteriores del flujo neto fondos se aprecia que la depreciación no representa una salida de dinero sino un ahorro por menor pago de impuesto.

Efecto de la Depreciación


Es el período de duración de los bienes, desde que inician su operación hasta que sean inservibles.

Vida Económica

Es el período en el cual se minimizan los costo de inversión, operación y mantenimiento de los bienes. La vida económica, de los equipos principales, es una de las variables más importantes para determinar la vida de los proyectos.

Ejemplo.- El costo de un equipo es de 100 MUS$, se estima que sus costos de operación y mantenimiento para el primer año de operación sea de 20 MUS$; el costo de operación y de mantenimiento se incrementará en términos reales a razón de 20%/año. Determinar la vida económica de este equipo.

Vida Útil


Solución: Para simplificar se asume que el tiempo no tiene valor. La inversión de 100 MUS$ se ejecuta en el año cero, si trabajamos dos años con el equipo la inversión anual equivalente será de 50 MUS$ (100/2) para los años 1 y 2; si se operará 4 años la inversión anual será de 25 MUS$ (100/4).

El costo operativo para el primer año es de 20 MUS$, para el segundo año es de 24 MUS$ (1.2*20), para en año 3 es de 28.8 MUS$ (1.2*24) y así sucesivamente se incrementará en 20%. El costo operativo promedio anual para los dos primeros años de operación es de 22 MUS$ ((20+24)/2), para los tres primeros años de operación será 24.3 MUS$ ( (20+24+28.8)/3 ).

En la siguiente tabla y figura se muestran los costos operativos, la inversión anualizada, los costos promedios anualizados y el costo total anualizado; todos expresados en MUS$/año.

Vida Económica

4


Vida Económica

61.951.910.0103.21057.346.211.186.0953.741.212.571.7851.236.914.359.7749.833.116.749.8649.829.820.041.5551.826.825.034.6457.624.333.328.8372.022.050.024.02120.020.0100.020.01TotalOperativoInversión

Costo Promedio AnualCosto OperativoAño

Se aprecia que el costo total anualizado es mínimo en el año 6, lo que significa que la vida económica de este equipo es 6 años. En la siguiente figura se muestra el gráfico para la determinación de la vida económica, debemos tener presente que en el siguiente ejemplo no se ha considerado el valor del tiempo.


Vida Económica

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12Año de Operación

Cos

to A

nual

CostoTotal

Costo Operativo y de Mantenimiento

Costo deInversión

CostoMínimo

VidaEconómica


Mercado es el lugar donde converge la oferta y la demanda, cuando los precios y cantidades son determinadas exclusivamente por la oferta y demanda se le denomina mercado perfecto. El mercado perfecto no existe y se le utiliza como un patrón de referencia, para comparar los mercados reales, los cuales están efectos de impuestos, subsidios, controles, etc.

.

Mercado Perfecto

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

Oferta

Demanda

MercadoPerfecto


Generalmente el costo de producción se divide en costo variable y costo fijo, el costo variable es directamente proporcional a la producción mientras que el fijo es constante y no depende del nivel de producción.

Un componente del costo de producción y que no es considerado en el siguiente análisis, son los costos regulados; estos varían con el nivel de producción pero no en forma proporcional

CT = CV + CFCV = v · QCT = v · Q + CF

Donde: CT Costo total de producciónCV Costo variableCF Costo fijov Costo variable unitarioQ Producción




Producción (Q)

Cos

to A

nual

Costo Fijo

Costo Variable

Costo Total


El costo de producción también puede ser estudiado desde al punto de vista de costos unitarios, para lo cual es necesario dividir la ecuación de costos de producción entre la producción (Q).

CT v · Q + CF CFCu = = = v + = v + f

Q Q Q

Donde: Cu Costo unitario de producciónv Costo variable unitariof Costo fijo unitarioQ Producción

En este análisis el costo variable unitario se mantiene constante con el nivel de producción, mientras que el costo fijo unitario disminuye con el incremento del nivel de producción.

Costo Unitario de Producción

5


Costo Unitario de Producción

Producción (Q)

Cos

to U

nita

rio

Costo Fijo

Costo Variable

Costo Total


Al estudiar los costos unitarios de producción, para un tamaño determinado de planta, se observa que estos disminuyen al incrementar el nivel de producción. Los costos fijos totales se incrementan con el tamaño de la planta, mientras que el costo.

Resumiendo, al incrementar el tamaño de planta el costo unitario disminuye hasta alcanzar un mínimo, luego del cual se incrementa debido a que se opera por debajo de su capacidad (producción limitada por el mercado). El tamaño de planta que origina el costo mínimo de producción es denominado como tamaño óptimo y su determinación es conocida como economía de escala.

El tamaño óptimo no sólo depende de las características propias del proceso sino también de la capacidad de compra del mercado, un determinado tipo de planta puede tener un tamaño óptimo en un país y otro en un país de mercado diferente.

Economía de Escala


Economía de Escala

Tamaño (Q)

Cos

to U

nita

rio

TamañoÓptimo


Punto de equilibrio es aquel en el cual los ingresos son iguales a los egresos (costos de producción), los ingresos estarán dados por el producto de las cantidades vendidas por el precio.

ING = P · Q

U = ING - CT

U = P * Q - (v · Q + CF)

Donde: ING IngresosP PrecioQ CantidadU Utilidad

Lo importante es determinar el nivel de producción (Q) que iguale los ingresos con los egresos o que la utilidad sea cero.

Punto de Equilibrio


Punto de Equilibrio

Producción (Q)

Uni

dade

s M

oner

aias

/Año

Utilidades

Costo TotalIngresos

Pérdidas

Punto deEquilibrio


La determinación del punto de equilibrio, también se puede realizar con los costos e ingresos unitarios. Para obtener la ecuación de la utilidad unitaria (Uu), se divide la ecuación utilidad entre la cantidad producida (Q):

CFUu = P - v -

Q

Para niveles de producción inferiores al determinado por el punto de equilibrio, los ingresos son inferiores a los egresos lo cual origina pérdidas. Las utilidades se darán cuando la producción es superior al determinado por el punto de equilibrio.

El punto de equilibrio está íntimamente ligado al tamaño de la planta o proyecto, ya que los costos de producción dependen del tamaño o escala. También depende de la localización de la planta; es muy importante entender que el nivel óptimo de producción no es único, sino que depende de muchas variables como son el tamaño, costos de transporte, de materia prima, de los servicios (agua, electricidad, combustible, etc.), de mano de obra, de la inversión en capital fijo, etc.

Punto de Equilibrio

6


Punto de Equilibrio

Producción (Q)

Uni

dade

s M

onet

aria

s/U

nida

d

Ingreso = Precio

Punto deEquilibrio

Costo Unitario Total

Utilidades

Pérdidas


El tamaño de un proyecto es aquel que genere la máxima rentabilidad, la relación de los factores más importantes se muestra en el siguiente diagrama:

Tamaño del Proyecto

PROCESOTECNOLOGIA

CAPACIDAD EMPRESARIAL

TAMAÑO MERCADO

CAPACIDADFINANCIERA

DISPONIBILIDAD DE MATERIA PRIMA MATERIALES E

INSUMOS


El tamaño del mercado va cambiando en forma continua con el tiempo, no es una variable estática, mientras que el tamaño de una planta no puede ser modificada con la misma frecuencia. El fenómeno explicado origina que la capacidad de la planta, generalmente, no sea igual al tamaño del mercado.

Escala del proyecto vs Tamaño del Mercado

Tiempo (T)

Can

tidad

(Q)

Tamaño

Déficit deCapacidad

Demanda

Exceso deCapacidad


El costo del dinero estará dado por la tasa de interés que se cobra o paga por el, al igual que existe el mercado de bienes y servicios existe el mercado de capitales, donde la oferta de dinero está dada por los ahorros y la demanda por el dinero requerido para inversión y gastos operativos. La demanda de dinero siempre es mayor que la oferta, originando que la tasa de interés pagada a los ahorristas sea menor a la cobrada a los inversionistas.

Costo del Dinero

Cantidad de Dinero(Q)

Tasa

de

Inte

rés

(i)

Oferta = Ahorro

Demanda = Inversión

Tasa Activa

Tasa Pasiva


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PROYECTO DE INVERSION


Es un conjunto de actividades y asignación de recursos de capital destinados a:

• Incrementar la producción de bienes/servicios, mediante la instalación de nuevas unidades productivas o ampliación de unidades existentes.

• Aumentar la eficiencia o productividad de los medios existentes.

• Incrementar el factor de capacidad o servicio de las unidades existentes.

Con la finalidad de obtener mayores beneficios de lo que se obtienen actualmente con los recursos existentes.

PROYECTO DE INVERSION

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Etapas de un Proyecto de Inversión

Proyecto de Inversión

US$

+

Pre-OperaciónOperación

Liquidación

TIEMPOa b

a: Pre-inversiónb: Inversión o ejecución

0

Horizonte de Planeamiento-


El Papel de la Evaluación de Proyectos

El objetivo de cualquier empresa es maximizar su valor para sus accionistas. El precio de mercado de las acciones representa elvalor de una empresa particular. Ese valor está gobernado por las ganancias actuales y futuras por acción; la distribución en el tiempo, la duración y riesgo de estas ganancias y otros factores. La evaluación de proyectos juega un papel demasiado importante y que se resume a continuación:

• Impedir que los proyectos malos sean los aprobados.• Evitar que los buenos proyectos sean desechados o rechazados.• Determinar si los componentes del proyecto son congruentes.• Evaluar las fuentes y magnitudes de los riesgos.• Determinar cómo reducir los riesgos y compartirlos de manera

eficiente.



Rentabilidad: En general un proyecto de inversión será rentable cuando genera más dinero de lo que cuesta y más de lo que rinde la actividad corriente (rendimiento que estamos obteniendo con los recursos empleados).


Actividad Corriente Proyecto 1 Proyecto 2

US$

Inversión Ingresos Netos Ganancia o Rentabilidad


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MATEMATICAS FINANCIERAS


Estudia el cambio del valor del dinero en el tiempo (valor del tiempo).

NomenclaturaVo: Cantidad de dinero actual (año 0)VN : Cantidad de dinero en el año N.I: InterésA: "Anualidad" Flujo uniforme de dinero.N: Número de períodos.i : Tasa efectiva de interés por período.π : Tasa de inflación por período.i R: Tasa real de interés por período.i N : Tasa nominal de interés.n : Número de divisiones de un período.

Regla General:

VN = Vo + I




El Valor del Dinero

Regla General: VN = Vo + I

0 N

V0

I

V0

VN

8


N = 1 I1 = i Vo V1 = Vo + I1 = Vo (1+i)

N = 2 I2 = i V1 = Vo i (1+i) V2 = V1 + I2 = Vo (1+i)2

N = 3 I3 = i V2 = Vo i (1+i)2 V3 = V2 + I3 = Vo (1+i)3

Generalizando:

VN = Vo (1 + i) N

INTERES COMPUESTO


VNValor Presente Vo =

(1 + i)N

Valor Futuro VN = Vo (1 + i)N

VN y Vo son financieramente equivalentes.

VALOR PRESENTE Y FUTURO

Vo

VN

1 2 3 N-1 N


Ejemplo: Se hace un depósito de 200 US$ en una cuenta de Ahorros que paga una tasa de interés de 6% anual, ¿A cuánto ascenderá la cuenta después de 5 años?

Datos: Vo = 200 US$ i = 6%/año N = 5 V5 = ??

VN = Vo (1+i)N V5 = 200 (1+0.06)5 = 267.6 US$

La equivalencia financiera estará dada por:


1 2 3 4 5

200.0

267.6


Ejemplo: Una persona desea contar con 10,000 US$ dentro de 10 años ¿Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta que paga 8%/año.?

Datos: V10 = 10,000 US$ i = 8%/año N = 10 años Vo = ??

VN 10000Vo = Vo = = 4631.9

(1 + i) N (1+0.08)10

El depósito hoy debe ascender a 4631.9 US$, la equivalencia financiera estará dada por:


1 2 3 8 9

10

10,000

4,631.9


La equivalencia financiera estará dada por:

A A A A AVo = + + ········ +

(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)N-1 (1+i)N

(1+i)N - 1 i (1+i)N

Vo = A A = Voi (1+i)N (1+i)N - 1

ANUALIDADES

A A A A A

1 2 3 N-1 N

Vo


Ejemplo: Se obtiene un préstamo bancario de 1000 US$ para pagarlo en doce cuotas mensuales iguales. ¿Cuál será el valor de las mensualidades si la tasa de interés es 1%/mes?

Datos: Vo = 1000 US$ i = 1%/mes N = 12 meses

i (1+i)N

M = Vo(1+i)N - 1

0.01 (1+0.01)12

M = 1000 = 88.8(1+0.01)12 - 1

Las mensualidades ascenderán a 88.8 US$.

ANUALIDADES

M M M M M M

1000

9


Ejemplo: Una persona hoy (año 0) desea hacer un depósito en una cuenta de ahorros que paga 9%/año de tasa de interés, con la finalidad de efectuar 6 retiros anuales de 1000 $ c/u a partir del año 5. ¿Cuánto deberá ser el depósito?

Equivalencia financiera(1+i)6 - 1 (1+i)6 - 1

Vo (1+i)4 = A Vo = Ai (1+i)6 i (1+i)10

(1+0.09)6 - 1Vo = 1000 = 3,177.9 US$

0.09 (1+0.09)10

ANUALIDADES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A A A

Vo

5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4

Vo (1+i) 4

A A A A A A


La tasa de interés efectivo es la que se paga o cobra, la tasa de interés nominal es la que se ofrece.

i : Tasa de interés efectiva por período

iN : Tasa de interés nominal por período

n : Numero de sub-períodos (divisiones de un período)

iNiSUB =

nn

i = ( 1 + iSUB ) - 1

i N n

i = ( 1 + ) - 1n

INTERES NOMINAL Y EFECTIVO


Ejemplo: La tasa de interés nominal es 8%/año, determinar la tasa efectiva de interés para diferentes periodos de capitalización.

0.08 ni = ( 1 + ) - 1

n

INTERES NOMINAL Y EFECTIVO

n i (%/Año)

1 8.002 8.163 8.224 8.246 8.27

12 8.30360 8.33

8.00

8.05

8.10

8.15

8.20

8.25

8.30

8.35

1 10 100 1000Nro de Capitalizaciones

Inte

rés

Efec

tivo

(%/a

ño)


Es la tasa de interés efectiva cuando se hace un número infinito de capitalizaciones por período.

i N n

i = Lim ( 1 + ) - 1n ∞ n

i Ni = e - 1

En el ejemplo anterior, la tasa de interés continua estará dada por :

i = e 0.08 - 1

i = 2.71828 0.08 - 1 = 0.0833 = 8.33%/año.

INTERES CONTINUO


La tasa de interés corriente ( i ) es la que pagan o cobran los bancos (i), y tasa de interés real ( iR ) es el incremento del poder adquisitivo del dinero.

Año 0 Año 1Depósito en el Banco Vo V1 = Vo (1+i)

Precio de un bien en el mercado Vo V1* = Vo (1+π)

V1 - V1* Vo (1+i) - Vo (1+π)iR = =

V1* Vo (1+π)

1 + iiR = - 1

1 + π

INTERES REAL Y CORRIENTE


Ejemplo: Un banco paga 8%/año de tasa de interés ¿En cuánto se incrementará el poder adquisitivo de un depósito en un año, si la tasa anual de inflación es 3%?.

El perfil de flujos de dinero estará dado por:

1 + i 1.08iR = - 1 iR = - 1 = 0.044 = 4.4 %/año

1 + π 1.03

Lo que quiere decir que en el año 1 con V1 podremos adquirir 4.4% más de lo que se hubiera adquirido con Vo en el año cero.

INTERES REAL Y CORRIENTE

1

0

V1 = Vo (1.08)

Vo

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Precios Corrientes.- Son aquellos que se dan en el momento de la transacción y son validos sólo para ese momento. Se utilizan en la vida cotidiana.

Precios Reales.- Miden la relación de intercambio entre bienes y/o servicios y se expresan en unidades monetarias de un año base (moneda constante).

Valor Corriente: VN , Flujo del año N, expresado en moneda del año N.

Valor Constante: VNO, Flujo del año N, expresado en moneda del año 0.

VNK Flujo del año N y expresado en moneda del año K.

VN VNVN

O = VNK =

(1 + π) N (1 + π) N-K

PRECIOS REALES Y CORRIENTES


Ejemplo: El precio de un bien en el año 1995 es de 200 US$ (corriente). Expresar este precio en moneda de 1990 y del año 2000 considerando 3% como tasa de inflación.

Precio corriente: V1995 = 200 US$ de 1995

Precio constante, base 1990:200 200

V19951990 = = = 172.5 US$ de 1990

(1.03) 1995-1990 (1.03) 5

Precio constante, base 2000:200

V19952000 = = 200 (1.03) 5 = 231.9 US$ de 2000

(1.03) 1995-2000

200 US$ de 1995 = 172.5 US$ de 1990 = 231.9 US$ de 2000




200 US$ de 1995 231.9 US$ del 2000172.5 US$ de 1990

1990 1995 20001990 1995 2000 1990 1995 2000


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ANALISIS DE MERCADO


Mercado es el lugar donde converge la oferta y demanda de bienes y servicios. Determina la cantidad de bienes y servicios (actuales y futuras), provenientes de una nueva unidad productiva o de la ampliación de unidades existentes, que la comunidad consumiría. También proporciona los precios, el período y las formas de llegar a los demandantes.

La información necesaria, las técnicas utilizadas, la profundidad y detalle del análisis depende de la etapa del proyecto para la cual se efectúa el estudio de mercado. Para estudio preliminar es suficiente el precio vigente en el mercado y un pronóstico sin mayor detalle. Para la etapa de prefactibilidad se recopila información histórica y consulta publicaciones relacionados al tema, la información que se reúne es de segunda mano.

En el estudio de factibilidad es obligatorio efectuar investigación de campo; la información recogida debe ser actualizada, precisa y confiable. Las técnicas utilizadas en esta etapa son más sofisticadas y comprenden las fases de investigación, encuestas, experimentación y pronóstico.

Estudio de Mercado


Según el Número de Oferentes y Demandantes

Clasificación del Mercado

DEMANDANTESUNO POCOS MUCHOS

UNO Monopolio Bilateral

Monopolio Parcial Monopolio

POCOS Monopsonio Parcial Oligopolio Oligopolio de la

Oferta

MUCHOS Monopsonio Ologopsonio Competencia Perfecta

OFERENTES

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Según la Intervención del Estado

• No intervención Estatal: Si el mercado es de competencia perfecta (muchos oferentes y demandantes) se origina el "Mercado Perfecto"; en el que el precio y la cantidad son determinados por la libre concurrencia de los oferentes y demandantes.

• Impuestos y Subsidios: En todos los países es práctica común la aplicación de impuestos, y en algunos los subsidios. Es la primera distorsión del Mercado Perfecto, los impuestos disminuyen la demanda (menor beneficio de oferentes) y los subsidios la incrementan (mayor beneficio de demandantes).

• Control de Precios: Es una extrema distorsión del Mercado Perfecto. Origina desabastecimiento y escasez, con la consiguiente aparición de mercados negros o especulativos, donde los demandantes son los más perjudicados.

• Control de Cantidades: Al igual que el control de precios, también es una desviación extrema del Mercado Perfecto y sus efectos son similares.



Según su Tamaño

El mercado puede ser local, regional, nacional o internacional. En mercados de gran tamaño las influencias individuales de sus componentes (oferta y demanda) se hacen relativamente no representativas, el ingreso de un nuevo oferente o demandante tendrámuy poca influencia en el precio. Cuando se estudian estos tipos de mercado es suficiente pronosticar el precio.

Cuando los mercados son pequeños, el proyecto tiene cierta importancia en la determinación del precio y cantidad. En este caso es muy importante determinar la relación entre precios y cantidades.

En el caso de mercados internacionales, aparte de determinar los precios FOB (Free on Board) y CIF (Custom, Insurance and Freight), es muy importante considerar los aranceles, impuestos y subsidios a lasexportaciones o importaciones, según sea el caso.



Por las Características de los Productos

Los mercados pueden ser de bienes o servicios. Estos a su vez pueden ser de consumo final, de consumo intermedio y bienes de capital.

Cuando se trata de bienes o servicios de consumo final será de interés determinar la relación entre la cantidad y precios de dicho producto.

En el caso de bienes y servicios de consumo intermedio y bienes de capital; en adición a la relación precio y cantidad, es importante determinar la demanda incremental originada por la demanda de los productos finales.

La demanda de un colorante para bebidas estará fuertemente influenciada por la demanda de dichas bebidas, la demanda de unidades de conversión en la industria de petróleo (tipo FCC, craqueo catalítico fluido) estará fuertemente influenciada por la demanda de gasolina de alto octanaje, la demanda de telares estará determinada por la demanda de telas.



Definición del Producto: El primer paso del estudio de mercado es definiren forma precisa la naturaleza, características y calidad de los bienes o servicios que se producirán. La definición correcta del producto permitirá determinar en qué tipo de industria y mercado se desenvolverála nueva unidad productiva.

Los Consumidores: Los consumidores son la parte esencial del análisis de mercado y a ellos se deben la existencia de proyectos productores de bienes y servicios. Debe determinarse, con la mayor precisión posible, las características de los demandantes (personas, instituciones, empresas, etc.) que consumirán los bienes y/o servicios producidos por el proyecto.

• Naturaleza de los consumidores (personas naturales, empresas, instituciones educativas, de salud, sanitarias, de investigación, etc.).

• Distribución geográfica y concentración, también la cantidad de demandantes actuales y los potenciales.

• Función de producción, consiste en analizar como el producto es utilizado, sirve para definir nuevas estrategias de marketing.

TOPICOS DEL ANALISIS DE MERCADO


Competencia: Con la definición correcta del producto y el tipo de industria se identifica las empresas que producen productos similares y sustitutos y aquellas que pueden cambiar fácilmente su línea de producción. No debe perderse de vista el sector informal.

• Número de empresas y tipo de propiedad (privada, estatal, pública, de derecho privado, accionariado difundido, etc.).

• Concentración de la oferta. Que qué empresas controlan y cuánto.• Análisis de la competencia potencial (planes futuros).• Utilidades de las empresas (estabilidad de las utilidades y ratios financieros).

Barreras: El estudio de las barreras de entrada y/o salida permitirán determinar con anticipación la viabilidad de operación del proyecto.

• Licencias y permisos de operación.• Acceso al mercado de capitales.• Disponibilidad y acceso a la materia prima, materiales e insumos.• Aranceles y protección por parte del estado.• Acceso a la tecnología (patentes).• Protección del medio ambiente.

TOPICOS DEL ANALISIS DE MERCADO


Las funciones de la oferta y demanda son las relaciones entre el precio de los bienes y/o servicios y las cantidades ofrecidas o demandadas; esto no quiere decir que el precio es la única variable explicativa de la oferta o demanda, pero sí la más importante.

Nomenclatura:

P Precio Q Cantidad (oferta o demanda)U Utilidades B BeneficiosBmg Beneficio marginal I IngresosImg Ingreso marginal CT Costo totalCu Costo unitario Cmg Costo marginalGT Gasto total Gmg Gasto Marginal

Para eliminar los efectos distorsionantes de la inflación; los precios, ingresos, egresos, costos, gastos, etc.. deberán ser expresados en moneda real (moneda constante de un año base).

FUNCIONES DE LA OFERTA Y DEMANDA

12


La función oferta es la ecuación que relaciona las cantidades ofrecidas y el precio al cual son vendidas, y es aquella que permite maximizar las utilidades del oferente.

Ingresos: I = P*Q Utilidad: U = I - CT = P*Q - CT

El precio (P) que determina la utilidad máxima, se calcula derivando la ecuación de la Utilidad con respecto a Q e igualando a cero.

δ U δ CT= P - = 0

δ Q δ Q

Se define como costo marginal (Cmg) a la variación del costo total por la producción de una unidad adicional.

δ CT / δ Q = Cmg

Combinando las ecuaciones anteriores: P = Cmg = f(Q)

Curva de la Función Oferta


La ecuación P = Cmg = f(Q) representará la función oferta sólo si el precio es superior al costo unitario, razón muy importante para definir la relación entre el costo unitario y el costo marginal.

CT = Cu * Q

Derivando:δ CT δ Cu

= Cmg = Cu + Q δ Q δ Q

La igualdad del Cmg y el Cu se dará cuando el segundo término del lado derecho de la ecuación sea nulo (δCu / δQ = 0), lo que implica que el punto de cruce de las curvas de Cmg y la de Cu es en el mínimo de los Cu. La función de la oferta quedará definida por la siguiente ecuación:

Curva de la Oferta: P = Cmg = f(Q) para Cmg > CuMIN




Q

Cm

g, C

u (U

M/U

nida

d)

Cu

Cmg

Cu Mínimo

Curva de la Oferta


La oferta total en el mercado estará dada por la suma de las cantidades que ofrece cada oferente. Esta oferta total es conocida como oferta agregada (Qag).Para un determinado precio (P) cada oferente estará dispuesto a vender cierta cantidad (Qi) del bien o servicio; la demanda agregada, para el precio (P), serála suma de las ofertas (Qi).

Qag = Q1 + Q2 + .. + QN = f(P)

Oferta Agregada

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

Qag


Ejemplo 4.1: Se ha encontrado que la oferta agregada existente tiene la siguiente ecuación:

Q = 165 * P 0.5 donde: Q [TM/mes] y P [MUS$/TM]

Se dispone de un proyecto para producir el mismo producto, la ecuación de costos totales del proyecto está dada por la siguiente relación:

Q 3CT = + 140 [MUS$/mes]

1875

Determinar la curva de oferta del proyecto y la oferta agregada con proyecto.

Oferta del Proyecto y Oferta Agregada


Solución: La curva de la oferta del proyecto es igual a la curva de costos marginales.

δCT 3 Q 2 Q 2

Cmg = = P = = δQ 1875 625

Despejando la oferta del proyecto (Qp): Qp = 25 P 0.5

La ecuación anterior representará la ecuación de la oferta si el precio (P) es mayor que el costo unitario mínimo.

CT Q 2 140Cu = = +

Q 1875 Q

δCu 2 Q 140= - = 0 Q = 50.82 Cu MIN = 4.13

δQ 1875 Q 2


13


La Oferta del Proyecto (Qp) estará dado por:

Qp = 25 P 0.5 para P > 4.13 MUS$/TM.

La curva de la oferta agregada con proyecto (Qcp),será la oferta sin proyecto (Qsp) más la del proyecto (Qp).

Qcp = Qsp + Qp

Qcp = 165 P 0.5 + 25 P 0.5 = 190 P 0.5

Para un precio de 4.5 MUS$/TM resulta:

Qsp = 350.0 TM/mesQp = 53.0 TM/mesQcp = 403.0 TM/mes.




4

5

6

7

8

0 100 200 300 400 500 600

Q (TM/Mes)

P (M

US$

/TM

) Qp Qsp Qcp

Qcp = Qsp + Qp


La demanda es función de muchas variables como son el precio del bien o servicio, el precio de sustituto, ingreso familiar, ingreso per cápita, población, número de familias, créditos, etc.

Q = f (P, Psus, Ing, Ing fam, Pob, Fam, etc.)

Para un año determinado, todas las variables independientes,a excepción del precio, tienen un valor fijo convirtiéndose en constantes.

Q = A f(P) A es función de las otras variables.

El demandante, al igual que el oferente, maximizará sus utilidades.

Utilidad del Demandante: U = B – GT Gastos Totales: GT = P*Q

U = B - P*Q

El precio (P) que determina la utilidad máxima del demandante, se obtiene derivando la ecuación anterior con respecto a Q e igualando a cero.

Curva de la Función Demanda


δ U δ B= - P = 0

δ Q δ Q

Beneficio Marginal (Bmg) es la variación del beneficio por el consumo de una unidad adicional.

δ BBmg = Función demanda: P = Bmg = f(Q)

δ Q

La función demanda [P = f(Q) ó Q = f*(Q)] supone que las otras variables explicativas de la demanda permanecen constantes. Los demandantes maximizarán sus utilidades si compran a un precio igual a su beneficio marginal.

El beneficio marginal es decreciente con respecto a Q (pendiente negativa), esta tendencia es resultado de la menor disposición a pagar por las cantidades adicionales que se consumen.



Demanda Agregada (Qag): Al igual que la oferta agregada, la demanda agregada es la suma de las funciones demanda de cada consumidor y representa la relación del precio que los demandantes estarían dispuestos a pagar por una determinada cantidad de producto.

Qag = Q1 + Q2 + .. + QN = f(P)


Cantidad (Q)

Prec

io (P

)P = Bmg


Elasticidad es la relación de la variación relativa (%, tanto por uno, etc.) de la demanda y el cambio relativo de una variable explicativa.

Δ Q δ QQ Q δ Ln(Q)

E = = =Δ X δ X δ Ln(X)

X X

Cuando el valor de E es alto, se dice que la demanda (Q) es elástica con respecto a la variable X y pequeñas variaciones de X originan grandes variaciones de Q. Si el valor de E es pequeño se dice que la demanda (Q) es in-elástica respecto a la variable X.

La elasticidad es muy importante para determinar los cambios en la demanda, cuando ocurren pequeños cambios en las variables explicativas. Existirán tantos tipos de elasticidad, como variables explicativas tenga la función demanda.

Elasticidad (E)

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Elasticidad al Precio.- Es la más importante y tiene signo negativo, un incremento en los precios traerá como consecuencia una retracción de la demanda.

Elasticidad al Ingreso.- Es generalmente de signo positivo, el incremento de los ingresos (per cápita, familiar, sueldo mínimo, etc) incrementará la demanda. En ciertos casos poco frecuentes puede ser negativa, el incremento en los ingresos permitiría a los consumidores demandar productos de mejor calidad y mayores precios, cambiando los hábitos de consumo.

Elasticidad al Precio del Sustituto.- A mayor precio del sustituto, la demanda por el producto será mayor, originando que esta elasticidad sea de signo positivo.

Elasticidad a la Publicidad.- En la mayoría de los casos es de signo positivo, en ciertos casos la publicidad abundante puede traer desconfianza en los consumidores.

La Elasticidad (E) es particular a cada consumidor o demandante; así por ejemplo, la demanda de alimentos de primera necesidad presentará una alta elasticidad al ingreso en los sectores deprimidos de la población; mientras que en los sectores de economía próspera presentará una baja elasticidad.

Elasticidad (E)


Mercado Perfecto es cuando hay libertad para que la Oferta y Demanda fijen precios y cantidades, es un mercado ideal que no se dá en el mundo real. Se le utiliza como referencia para comparar otros tipos de mercado (imperfecciones del Mercado Perfecto). Las condiciones para que se déson:

• Gran número de oferentes y demandantes, de tal manera que nadie controle precios ni cantidad.

• El producto de los oferentes deben ser de la misma calidad (homogéneos), para evitar preferencias de los demandantes.

• Libre entrada y salida de los oferentes y demandantes.• Libre determinación del precio y cantidad.• Perfecto conocimiento de los precios y cantidades por los oferentes y

demandantes.

La cantidad ofrecida (QO) es igual a la demandada (QD), de la misma manera los precios de la oferta y demanda son iguales.

QO = QD PO = PD

MERCADO PERFECTO


Es regla general que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. En el caso de mercado perfecto el precio que paga eldemandante (beneficio marginal) es el mismo que recibe el oferente (costo marginal).

Mercado Perfecto

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

O

D

Q

P


El proyecto al ingresar al mercado incrementará la oferta agregada, lo que originaráuna disminución en el precio y un crecimiento del mercado (incremento de la cantidad comercializada).

Qcp = Qsp + Qp

Efecto del Proyecto en el Mercado Perfecto

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

D

Osp

Ocp

Po

P

Qsp Qo Q


Ejemplo 2: En el Ejemplo 1 determinar, en un Mercado Perfecto, cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Se ha encontrado que la demanda agregada tiene la siguiente ecuación:

Q = 10000 * P -1.5 donde: Q [TM/mes] y P [MUS$/TM]

Solución: Demanda: QD = 10000 P -1.5 PD = 464.16 Q 2/3

Oferta: QO = 165 P 0.5 PO = 165 -2 Q 2

Mercado Perfecto: QD = QO = Q y PD = PO = P

QD = QO = Q = 10000 P -1.5 = 165 P 0.5

Resolviendo: P = 7.785 MUS$/TM

Q = QD = QO = 165 * (7.785) 0.5 = 460.38 TM/mes

Mercado Perfecto


Ejemplo 3: En el Ejemplo 2 determinar, en un Mercado Perfecto, cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto.

Solución: La oferta con proyecto se determinó en el Ejemplo 1:

Oferta sin proyecto Qsp = 165 P 0.5

Oferta del proyecto Qp = 25 P 0.5

Oferta con proyecto Qcp = Qsp + Qp = 190 P 0.5

En el mercado perfecto: QD = QO = Q = 10000 P -1.5 = 190 P 0.5

Resolviendo: P = 7.255 MUS$/TM

Qcp = 190 * (7.255) 0.5 = 511.76 TM/mesQsp = 165 * (7.255) 0.5 = 444.42 TM/mesQp = 25 * (7.255) 0.5 = 67.34 TM/mes

Mercado Perfecto

15


En este de mercado el demandante paga un precio inferior al que recibe el oferente, la diferencia es cubierta por el Estado. Los subsidios son para fomentar el consumo y favorecer a las clases más necesitadas. El efecto directo del subsidio es incrementar el beneficio de los demandantes.

Generalmente el subsidio se expresa como un porcentaje del precio recibido por el oferente (PO). Sea la tasa de subsidio t, la relación entre el precio de la oferta (PO) y el precio subsidiado (PSUB) estará dada por:

SUBSIDIO = t * PO PO = PSUB + SUBSIDIO PSUB = PO * (1-t)

En el mercado el demandante pagará el precio subsidiado: PD = PSUB

El consumo (demanda) es mayor debido a que el precio que paga eldemandante es menor, el precio y las ventas del oferente son mayores que en el Mercado Perfecto. El subsidio incrementa los beneficios y utilidades de los oferentes y demandantes; este incremento en las utilidades es aportado por el Estado.

MERCADO CON SUBSIDIO


Mercado con Subsidio

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

O

D

PSUB

PD = PSUB

PO

Q

SUB

SID

IO


Ejemplo 4: En el Ejemplo 2, considerar un mercado subsidiado (subsidio 10%) en lugar de Mercado Perfecto. Determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto).

Solución: Las funciones oferta y demanda (Q [TM/mes] y P [MUS$/TM]) son:

Demanda: QD = 10000 P-1.5 PD = 464.16 Q -2/3

Oferta: QO = 165 P 0.5 PO = 165 -2 Q 2

PSUB = PO * (1-t) PSUB = (1-0.1) * 165 -2 Q 2 PSUB = 173.93 -2 Q 2

En el Mercado: PD = PSUB 464.16 Q -2/3 = 173.93 -2 Q 2

Resolviendo: Q = QD = QO = 478.93 TM/mes

PD = PSUB = 173.93 -2 * (478.93) 2 = 7.583 MUS$/TMPO = 1.111 PSUB = 165 -2 (478.93) 2 = 8.425 MUS$/TMSUBSIDIO = PO - PSUB = 0.1 PO = 0.843 MUS$/TM



Ejemplo 5: En el Ejemplo 4 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto.

Solución: Demanda: QD = 10000 P-1.5 PD = 464.16 Q -2/3

Oferta: Qcp = QO = 190 P 0.5 PO = 190 -2 Q 2

PSUB = PO * (1-t) PSUB = (1-0.1) * 190 -2 Q 2 PSUB = 200.27 -2 * Q 2

En el Mercado: PD = PSUB 464.16 Q -2/3 = 200.24 -2 Q 2


PD = PSUB = 200.24 -2 * (532.38) 2 = 7.067 MUS$/TMPO = 1.111 PSUB = 190 -2 * (532.38) 2 = 7.851 MUS$/TMSUBSIDIO = PO - PSUB = 0.1 PO = 0.785 MUS$/TM

Qsp = 165 * (7.851) 0.5 = 462.33 TM/mesQp = 25 * (7.851) 0.5 = 70.05 TM/mes



La aplicación de impuestos (captación de recursos del Estado) es común en todos los mercados, representando la primera distorsión del Mercado Perfecto. Los impuestos encarecen los productos y disminuyen las utilidades y beneficios de oferentes y demandantes, el efecto inmediato es la retracción de la demanda.

Generalmente el impuesto se expresa como un porcentaje del precio recibido por el oferente (PO). Sea la tasa de impuesto t, la relación entre el precio de la oferta (PO) y el precio con impuesto (PIMP) estará dada por:

IMPUESTO = t * PO PIMP = PO + IMPUESTO PIMP = PO * (1+t)

Al darse la transacción en el mercado (convergencia de la oferta y demanda) el precio pagado por los demandantes será igual al precio con impuesto.

PD = PIMP

MERCADO CON IMPUESTOS


Mercado con Impuestos

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

O

D

PIMP

PD = PIMP

PO

Q

IMPU

ESTO

16


Ejemplo 6: En el Ejemplo 2, considerar una tasa de impuesto del 10% y determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto).


Oferta: QO = 165 P 0.5 PO = 165 -2 Q 2

PIMP = PO (1+t) PIMP = (1+0.1) * 165 -2 Q 2 PIMP = 157.32 -2 * Q 2

En el mercado: PD = PIMP 464.16 Q -2/3 = 157.32 -2 Q 2


PD = PIMP = 157.32 -2 * (444.21) 2 = 7.973 MUS$/TM

PO = 0.909 PIMP = 165 -2 * (444.21) 2 = 7.248 MUS$/TM

IMPUESTO = PIMP - PO = 0.1 * PO = 0.725 MUS$/TM






PIMP = PO (1+t) PIMP = (1+0.1) * 190 -2 Q 2 PIMP = 181.16 -2 Q 2

En el mercado: PD = PIMP 464.16 Q -2/3 = 181.16 -2 Q 2


PD = PIMP = 181.16 -2 * (493.79) 2 = 7.430 MUS$/TM

PO = 0.909 * PIMP = 190 -2 * (493.79) 2 = 6.754 MUS$/TM

IMPUESTO = PIMP - PO = 0.1 PO = 0.675 MUS$/TM

Qsp = 165 * (6.754) 0.5 = 428.82 TM/mesQp = 25 * (6.754) 0.5 = 64.97 TM/mes



El control de precios es una distorsión extrema del Mercado Perfecto. El Estado controla los precios de ciertos productos con la finalidad de fomentar su consumo, en especial en las clases de bajos ingresoseconómicos, el precio fijado siempre es menor al determinado en un Mercado Perfecto.

Cuando no existen los medios adecuados para orientar y controlar la comercialización, se distorsiona el objetivo y se crea escasez y sobreprecio, lo que da origen a la especulación y a la aparición de mercados negros, donde los beneficiarios son los especuladores y los perjudicados son los sectores de menores ingresos (el objetivo del control de precios es favorecer a estos sectores).

Los precios del mercado negro muchas veces resultan inalcanzables para determinados sectores de la sociedad (clase de bajos ingresos).

MERCADO CON CONTROL DE PRECIOS


En la figura se aprecia que el precio controlado (PC) es inferior al determinado por el Mercado Perfecto. A este precio la Demanda requiere de QD y la Oferta proporciona QO; se observa que QD es mayor que QO, esta diferencia crea escasez. La Demanda estarádispuesta a pagar PD, conocido como precio de mercado negro PMN y que es mayor que PC, por la cantidad ofrecida QO, originando sobreprecio.

Mercado con Control de Precios

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

D

O

PD = PMN

PO = PC

QO QD

Precio Controlado


Ejemplo 8: En el Ejemplo.2, considerar que el precio controlado es 7 MUS$/TM y determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto).

Solución: Demanda: QD = 10000 P -0.5 PD = 464.16 Q -2/3

Oferta: QO = 165 P 0.5 PO = 165 -2 Q 2

Reemplazando el precio controlado PC = 7.00 MUS$/TM:

QD = 10000 * (7.0) -1.5 = 539.95 TM/mes

QO = 165 * (7.0) 0.5 = 436.55 TM/mes

La Demanda, para adquirir QO, pagará un precio igual a su Bmg:

PD = 464.16 * (436.55) -2/3

PMN = PD = 8.066 MUS$/TM






Reemplazando el precio controlado PC = 7.00 MUS$/TM, Q en [`TM/mes]:

QD = 10000 * (7.0) -1.5 = 539.95 Qcp = 190 * (7.0) 0.5 = 502.69

Qsp = 165 * (7.0) 0.5 = 436.55Qp = 25 * (7.0) 0.5 = 66.15

La Demanda, para adquirir Qcp, pagará un precio igual a su Bmg:

PD = 464.16 * (502.69) -2/3

PMN = PD = 7.342 MUS$/TM


17


El monopolista como único oferente tiene el poder de manejar la oferta y el precio. No vende a su costo marginal (Cmg), sino al precio que los demandantes estarían dispuestos a pagar (PD). Sus ingresos estarán dados por el producto de la cantidad vendida por el precio que recibe (PD).

I = PD * Q Utilidad del monopolio: U = I - CT

El monopolio venderá la cantidad que le permitirá maximizar sus utilidades:

δ U δ I δ CT= - = 0 Img = Cmg

δ Q δ Q δ Q

La ecuación anterior indica que el monopolista maximiza sus utilidades cuando su ingreso marginal (Img) es igual a su costo marginal (Cmg).

δ (PD * Q)Img =

δ Q

MERCADO MONOPÓLICO


Mercado Monopólico

Cantidad (Q)

Prec

io (P

)

O = Cmg

D = Bmg

PD = PM

PO

Q

Img


Ejemplo 10: En el Ejemplo 2, considerar un mercado monopólico. Determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto).


Oferta: QO = 165 P 0.5 Cmg = PO = 165 -2 Q 2

El ingreso del monopolio: I = PD * Q = 464.16 Q -2/3 Q = 464.16 Q 1/3

δ (464.16 * Q 1/3 )Img = = 154.72 Q -2/3

δ Q

Máximas utilidades : Img = Cmg 154.72 Q -2/3 = 165 -2 Q 2


PD = PMONOPOLIO = 464.16 * (304.93) 1/3 = 10.246 MUS$/TM

PO = 165 -2 * (304.93) 2 = 3.415 MUS$/TM

Mercado Monopólico


Ejemplo 11: En el Ejemplo 6 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con proyecto.



El proyecto se comportará frente al monopolio de dos formas, competirá o se le unirá. Si compite y es representativo se tenderá al Mercado Perfecto o serátotalmente desplazado por el monopolio, si se colude al monopolio su comportamiento será similar:

I = PD Q = 464.16 Q -2/3 Q = 464.16 Q -1/3 Img = 154.72 Q -2/3

Sus utilidades serán máximas si: Img = Cmg 154.72 Q -2/3 = 190 -2 Q 2


PD = PMONOPOLIO = 464.16 * (338.96) -2/3 = 9.548 MUS$/TMPO = 190 -2 * (338.96) 2 = 3.183 MUS$/TM

Mercado Monopólico


El monopsonio (un solo demandante) gobierna los precios variando su volumen de compras. El monopsonio compra al precio que aceptaría la oferta y no a su beneficio marginal (Bmg). El gasto del monopsonio está dado por el producto de la cantidad demandada (Q) y el precio que paga. Este precio viene a ser el precio del oferente (PO):

GT = PO Q La utilidad del monopsonio: U = B - GT

El monopsonio vende la cantidad que maximiza sus utilidades:

δ U δ B δ GT= - = 0 Bmg = Gmg

δ Q δ Q δ Q

El monopsonio maximiza utilidades cuando su beneficio marginal (Bmg) es igual a su gasto marginal (Gmg); y su Gasto está dado por el producto de PO y la cantidad comprada (Q):

δ (PO Q)Gmg =

δ Q

MERCADO MONOPSÓNICO


Mercado Monopsónico

Cantidad (Q)

Prec

io (P

) O = Cmg

D = Bmg

Gmg

PO = Pm

PD

Q

18


Ejemplo 12: En el Ejemplo 2, considerar un mercado monopsónico (en lugar de Mercado Perfecto). Determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto).



Gastos del monopsonio: GT = PO Q = 165 -2 Q 2 Q = 165 -2 Q 3

δ (165 -2 Q 3) Gmg = = 95.26 -2 Q 2

δ Q

Máximas utilidades: Gmg = Bmg 95.26 -2 Q 2 = 464.16 Q -2/3


PD = 464.16 * (304.93) -2/3 = 10.246 MUS$/TM

PO = PMONOPSONIO = 165 -2 * (304.93) 2 = 3.415 MUS$/TM






Gastos del monopsonio: GT = PO Q = 190 -2 Q 2 Q = 190 -2 Q 3

δ (190 -2 Q 3) Gmg = = 109.70 -2 Q 2

δ Q

Máximas utilidades: Gmg = Bmg 109.70 -2 Q 2 = 464.16 Q -2/3


PD = 464.16 * (338.96) -2/3 = 9.548 MUS$/TMPO = PMONOPSONIO = 190 -2 * (338.96) 2 = 3.183 MUS$/TM

La función oferta del proyecto es válida sólo si el precio es superior a 4.13



Comparación

QSP = 165 * P 0.5 Po = ( QSP / 165) 2

CT = Q 3 /1875 + 140 Cmg = 3 Q 2 / 1875 Qp = 25 * P 0.5

QCP = 190 * P 0.5 Po = ( QCP / 190) 2

QD = 10000 P-1.5 PD = (10000/Q)2/3

M. Perfecto M. con Impuesto M. Subsidiado M. Monopólico M. Monopsónico

Sin Poyecto

Con Proyecto

Sin Poyecto

Con Proyecto

Sin Poyecto

Con Proyecto

Sin Poyecto

Con Proyecto

Sin Poyecto

Con Proyecto

QSP 460.38 444.42 444.21 428.82 478.93 462.33 304.93 304.93QP 67.34 64.97 70.05 No Ex.QD 460.38 511.76 444.21 493.79 478.93 532.38 304.93 338.96 304.93 338.96P0 7.785 7.255 7.248 6.754 8.425 7.851 3.415 3.183 10.246 9.548PD 7.785 7.255 7.973 7.430 7.583 7.067 10.246 9.548 3.415 3.183

Oferta Actual (sin Proyecto)

Proyecto

Oferta Con Proyecto

Demanda


SECUENCIA DEL ESTUDIO DE MERCADOTecnología

Cantidades ConsumidasCantidades Producidas

Precios, Precios del sustitutoIngresos, PBI

Población, N° de familiasImperfecciones del mercado

Elasticidades

Análisis de Correlación

Oferta Agregada

Demanda Agregada

Demanda para el proyecto

MODELO Modelos de PronósticoDEFINITIVO

Canales de Comercialización

Marco Institucional

BUSQUEDA DE INFORMACION (Muestreo)

BÚSQUEDA DE MODELOS EXPLICATIVOS

EL PRODUCTO

Los Consumidores

Ambito Espacial


La finalidad es establecer la ecuación de la demanda en función de todas las variables explicativas. El método es válido para los diferentes bienes y servicios, sean de consumo final, consumo intermedio, bienes duraderos o bienes de capital.

Variables Explicativas: El primer paso es determinar la relación de todas las variables explicativas, las variables dependientes están muy relacionadas con el tipo de producto.

En el caso de bienes intermedios y de capital, una variable explicativa importante es la demanda del bien final, la demanda de telares dependeráde la demanda de telas. La demanda de cemento será función del crecimiento del sector construcción. La demanda de estos bienes también dependerá del crecimiento de las empresas que la utilizan.

En el caso de bienes de capital, en adición, también se debe considerar la frecuencia de reposición de estos bienes en las empresas que la utilicen.

METODO ESTADISTICO DE ESTIMACION DE LA DEMANDA


Método Estadístico de Estimación de la Demanda

Variables Bienes de Consumo no Duraderos

Bienes de Consumo Duraderos

Bienes Intermedios

Bienes de Capital

Precio XXX XXX XXX XX Ingreso Percapita XXX X Ingreso Familiar X XXX Población XXX X Nro de Familias X XXX Precio del Sustituto XXX XXX XX Publicidad X XXX XX XXX Crédito XXX XX XXX Obsolescencia XX XXX Intereses XXX Tecnología XXX Usos de Capacidad XXXX Bien Final XXX XXXX Indicadores Macroeconómicos

XX XXX XXXX

19


Búsqueda de la Información Histórica: Identificadas las variables explicativas se procede a la búsqueda de la información histórica de demanda y de sus correspondientes variables explicativas. Esta búsqueda se realiza en publicaciones, revistas, estadísticas, etc. especializadas. Las variables en unidades monetarias deben ser expresadas en moneda real . La información debe presentarse en forma tabular o matricial :


199019911992

..

..2005

Precio del Sustituto(Ps)

Población(Pob)

Ingreso(Ing)

Precio(P)

Demanda(Q)

Año


Formulación de la Función Demanda: Consiste en encontrar las ecuaciones que mejor representen la relación entre la demanda (Q, variable dependiente o explicada) y las variables explicativas. Las ecuaciones son determinadas mediante el ajuste de curvas (regresión o ajuste mínimos cuadrados).

Se establecen ecuaciones con todas las combinaciones de las variables independientes, a veces se utiliza como variable explicativa la demanda del pasado. A continuación se muestra algunas ecuaciones típicas:

Q = a + b P + c Ing + d Pob + e Ps

Q = a + b Ln(P) + c Ln(Ing) + d Ln(Pob) + e Ln(Ps)

Ln(Q) = a + b P + c Ing + d Pob + e Ps

Ln(Q) = a + b Ln(P) + c Ln(Ing) + d Ln(Pob) + e Ln(Ps)

La regresión de los datos se efectúa mediante el uso de paquetes estadísticos y proporciona las constantes de las ecuaciones (a, b, c, d, e, etc.) y los indicadores estadísticos (R2, desviación estándar, T estadístico, Durbin-Watson, F estadístico, etc.).



Análisis de la Regresiones: Consiste en seleccionar, de todas las ecuaciones determinadas en el paso anterior, aquellas que cuentan con el mejor significado estadístico y que mejor representen la relación entre la demanda y las variables explicativas.

Elegido las mejores ecuaciones desde el punto de vista estadístico, se analiza el sentido económico de cada una de ellas. Sentido económico es criterio común en economía, el concepto de elasticidad es muy importante en este análisis; si en una ecuación la elasticidad al precio es positiva, está será desechada por no tener sentido económico.

Como resultado de la verificación del sentido económico, el número de ecuaciones de demanda se reduce a 3 ó 4; de las cuales se elegirá aquella que tenga el más alto significado estadístico y a la vez sea sencilla.

Si los términos de la ecuación no guardan un correcto sentido económico, a pesar que la ecuación posee valores altos de los indicadores estadísticos, deberá se rechazada.



Ejemplo14: Se ha efectuado el ajuste de la información histórica para la demanda y se ha encontrado la siguiente ecuación que tiene un significado estadístico sumamente alto, verificar su sentido económico.:

Q = 134 + 0.156 Ln(P) + 0.00051 Ing - 1.0001 Ln (Pob) + 0.01 Ps

Solución:Precio: Según la ecuación al subir el precio del producto, subirá la demanda (elasticidad positiva). No tiene sentido económico.

Ingreso: Un incremento en el ingreso de la población incrementará la demanda (elasticidad positiva). Tiene sentido económico.

Población: El crecimiento de la población retrae la demanda (elasticidad negativa). No tiene sentido económico.

Precio del sustituto: El incremento en el precio del sustituto incrementará la demanda (elasticidad positiva). Tiene sentido económico.

Por lo tanto, la ecuación anterior es rechazada por no tener sentido económico.



Pronóstico de la Variables Explicativas: Para el pronóstico de la demanda se debe contar con la proyección de todas las variables explicativas, algunas son micro-económicas y/o macroeconómicas. Muchas de estas variables dependen de las políticas seguidas por el gobierno (PBI, PBI sectoriales, Exportaciones, Importaciones, Inflación, devaluación, tasa de cambio, etc.), otras son obtenidas de los Censos (población, familias, tasa de crecimiento de la población, etc.).

Las proyecciones de estas variables, deben ser obtenidas de informaciones estadísticas y publicaciones especializadas; el proyectista no debe pronosticar estas variables, y en su defecto debe evitar su proyección.

La presentación de las proyecciones de las variables explicativas, al igual que la información histórica, se efectúa en forma tabular o matricial. El valor de algunas dependen del crecimiento de la economía, lo que da origen a los escenarios; generalmente se tratan de escenarios optimista, moderado y pesimista y habrán tantas tablas de proyecciones de la variables independientes como escenarios haya.



Ecuación de Pronóstico de la Demanda: La ecuación de pronóstico de demanda se determina reemplazando las proyecciones de las variables independientes, excepto el precio, en la ecuación genérica elegida en le paso "análisis de regresiones". Este procedimiento se repite para cada año de operación del proyecto, determinándose tantas ecuaciones como períodos de operación tenga el proyecto.

QJ = AJ f(PJ)

Donde: Q DemandaA Constante que depende del valor de las variables

explicativas excepto el precioP PrecioJ Año de operación

Para un mismo año de operación, habrán tantas funciones de demanda como escenarios se hayan considerado. La demanda y precio para cada año se determinará con las ecuaciones de demanda y oferta agregada.


20


Ejemplo 15: En el siguiente cuadro se detalla la demanda histórica de gasolinas y sus posibles variables explicativas, la demanda está dada en miles de barriles por día (MB/DC), el precio en UM del año 16 por galón , el parque automotor a gasolina en miles, el producto bruto interno en millones de UM del año 16 y la población en miles. Encontrar la ecuación que mejor represente la relación entre la variables independientes y la demanda de gasolinas.

En la siguiente tabla se muestra la información histórica de las variables relevantes:

• DEMAND: En miles de barriles por día calendario (MBDC).• PRECIO: En unidades monetarias por galón (UM/GLL).• PARQUE: Parque automotor (Miles).• PBI: Producto Bruto Interno en millones (MM UM).• POBLACION: En miles de habitantes (Miles).




AÑO DEMANDA (MBDC)

PRECIO (UM/GLL)

PARQUE (Miles)

PBI (MM UM)

POBLACION (Miles)

1 27.9 7.48 472.13 144.652 160042 27.0 7.88 472.66 145.059 164353 27.1 7.74 473.97 153.483 168674 28.5 6.19 486.97 160.365 172955 29.9 5.90 520.62 167.449 177206 29.5 6.52 554.01 163.404 181447 26.8 7.68 566.48 146.626 185588 27.1 7.61 565.10 153.687 189929 25.8 9.63 566.17 157.168 19417

10 28.0 8.26 574.65 171.693 1984011 30.4 5.84 578.64 186.226 2026112 29.0 5.04 577.47 170.684 2068413 27.0 2.40 573.94 150.870 2111314 25.7 3.84 572.35 143.546 2155015 25.8 3.61 592.12 147.285 2199816 25.9 3.25 623.98 143.308 22454


Solución: Se efectuará el análisis de regresión para diferentes ecuaciones e inmediatamente se efectuará el análisis del sentido económico, la nomenclatura a utilizar será la siguiente:

Q Demanda de gasolinasP Precio de la gasolinaPBI Producto bruto internoPOB PoblaciónPAR Parque automotor a gasolinaPBIP Producto Bruto Interno per cápita

a) Función lineal con el precio:

QJ = 27.95 + 0.0795 PJ R2 = 0.0117Durbin-Watson = 1.0082F Estadístico = 0.1662

La ecuación anterior tiene pobre sentido estadístico, tampoco tiene sentido económico ya que la elasticidad al precio es positiva, por tanto la ecuación es rechazada.



b) Función lineal con el precio y el parque

QJ = 31.34 + 0.0045 PJ - 0.0068 PARJ R2 = 0.0479Durbin-Watson = 1.0119F Estadístico = 0.3268

La ecuación anterior muestra pobre significado estadístico y no tiene sentido económico, por lo que es rechazada.

c) Función lineal con el precio, el parque y el PBI

QJ = 19.41 - 0.1863 PJ - 0.0145 PARJ + 0.1104 PBIJ

R2 = 0.8083Durbin-Watson = 1.0369F Estadístico = 16.8624

La ecuación anterior tiene un aceptable significado estadístico pero no tiene sentido económico con la variable parque automotor a gasolina (elasticidad negativa).



d) Función lineal con el precio, el parque, el PBI y la población

QJ = 23.68 - 0.5316 PJ + 0.0230 PARJ + 0.1039 PBIJ - 0.0011 POBJ

R2 = 0.8083 Durbin-Watson = 1.0369 F Estadístico = 16.8624

La ecuación anterior tiene un aceptable significado estadístico pero no tiene sentido económico con la variable población (elasticidad negativa).

En las siguientes ecuaciones consideraremos como variable explicativa el Producto Bruto Interno per cápita (PBIP).

e) Función lineal con el precio, el parque y el PBIP

QJ = 0.548 - 0.4255 PJ + 0.0197 PARJ + 2285.8755 PBIPJ


La ecuación anterior tiene un alto significado estadístico y tiene sentido económico. Esta ecuación explica la demanda de gasolinas con bastante aceptación.



f) Relación semi logarítmica con el precio, el parque y el PBIP

QJ = 58.58 - 2.484 Ln(PJ) + 10.358 Ln(PARJ) + 18.715 Ln(PBIPJ)


La ecuación anterior tiene una alta significancia estadística y tiene sentido económico.

g) Relación semi logarítmica de la demanda con el precio, el parque y el PBIP

Ln(QJ) = 2.354 - 0.01516 PJ + 0.00069 PARJ + 81.8354 PBIPJ


La ecuación anterior tiene una alta significancia estadística y tiene sentido económico.


21


h) Relación doble logarítmica de la demanda con el precio, el parque y elPBIP

Ln(QJ) = 4.397 - 0.089 Ln(PJ) + 0.365 Ln(PARJ) + 0.671 Ln(PBIPJ)


La ecuación anterior tiene un alta significado estadístico y tiene sentido económico.

De todas las relaciones que tienen sentido económico, la que tiene la más alto significado estadístico y es la ecuación más sencilla es la función:

QJ = 0.548 - 0.4255 PJ + 0.0197 PARJ + 2285.8755 PBIPJ

Las relaciones anteriores pueden ser mejoradas considerando, como otra variable explicativa la demanda del período anterior (QJ-1).



Ejemplo 16: Con la ecuación de demanda del Ejemplo 15 y el pronóstico de las variables explicativas, determinar la ecuación de la demanda como función del precio para los años 17 al 24. A continuación se detalla las proyecciones de las variables independientes.


Año PARQUE (Miles)

PBI (MM UM)

POBLACION (Miles)

17 649.44 147.894 2292618 670.65 153.514 2338419 689.79 153.207 2385220 706.52 159.335 2432921 724.13 170.011 2481522 742.34 177.661 2531223 761.71 187.255 2579324 779.47 197.367 26283


Solución: Reemplazando el valor de las variables explicativas en la ecuación determinada en el Ejemplo 15, se obtienen las ecuaciones de lafunción demanda, de la forma Q = f (P), para los años 17 a 24.

Año 17 P = 66.0554 - 2.3507*QAño 18 P = 67.6492 - 2.3507*QAño 19 P = 67.7785 - 2.3507*QAño 20 P = 69.2289 - 2.3507*QAño 21 P = 71.6666 - 2.3507*QAño 22 P = 73.4132 - 2.3507*QAño 23 P = 75.6088 - 2.3507*QAño 24 P = 77.7714 - 2.3507*Q

En la Figura siguiente se muestran las curvas de demanda de acuerdo a las ecuaciones anteriores.




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

25 26 27 28 29 30 31 32 33Demanda de Gasolina (MBDC)

Prec

io (U

M/G

ll)

Año 17 18 19 20 21 22 23 24


5

INVERSION EN CAPITAL FIJOY

CAPITAL DE TRABAJO


La inversión incluye dos conceptos completamente diferentes, uno se refiere a los costos que se incurren para construir el proyecto y el otro se refiere al capital necesario para garantizar el normal desarrollo del proceso productivo.

La inversión fija o capital fijo permanece colocada durante todo el horizonte de planeamiento, mientras que la inversión en capital de trabajo o capital circulante cambia su valor durante la etapa deoperación del proyecto.

Activo FijoCapital Fijo

Intangibles

Inversión

Activo CirculanteCapital de Trabajo

Pasivo Circulante

INVERSION EN CAPITAL FIJO Y CAPITAL DE TRABAJO

22


Esta inversión generalmente se realiza en la etapa de pre-operación de un proyecto e involucra todos los costos incurridos durante la pre-inversión y construcción hasta completar el último detalle que permita la operación segura y confiable de la planta. Como ya se mencionó esta inversión permanece colocada durante toda la vida del proyecto y esta compuesta por estudios,equipos, maquinarias, terreno, edificios, etc..

Durante la pre-operación se incurren en costos para la adquisición de bienes que son identificables al final del proceso de construcción, como por ejemplo: edificios, equipos, vehículos, maquinarias, terreno, etc.., esta fracción de la inversión fija se denomina Activo Fijo. La fracción de la Inversión Fija que no es identificable al término de la construcción se denomina Intangibles y está compuesto por los costos de los estudios (posteriores al momento del estudio que se está realizando), asesorías, gastos pre-operativos, etc.

INVERSION EN CAPITAL FIJO


Activo Fijo: Terreno (no se deprecia)Edificios y obras civilesMaquinarias y equipoVehículosMuebles y enseresInstalaciones

Intangibles: Estudios (posteriores)Gastos de construcciónGastos de supervisiónGastos de asesoríaPatentes y regalíasGastos generales de pre-operaciónGastos de puesta en marchaGastos de comercialización durante la pre-operaciónIntereses, comisiones y garantías durante laconstrucción.

Componentes del Capital Fijo


Costos Directos (Activo Fijo):1. Costo del equipo: valor de los equipos puesto en el terreno2. Costo de instalación de los equipos3. Control e instrumentación: valor de los componentes y su respectiva

instalación4. Tuberías y accesorios: instalados5. Material y equipo eléctrico: instalados6. Edificios y estructuras7. Delimitaciones: Pistas, veredas, áreas de estacionamiento, cerco

perimétrico, etc.8. Servicios y facilidades: Generación de vapor, tratamiento de agua,

laboratorio, sistema contra-incendio, tratamiento de residuos, etc.9. Terreno

Costos Indirecto (Intangibles):1. Ingeniería y supervisión2. Gastos de construcción3. Utilidad del contratista4. Contingencias

Estructura del Capital Fijo


En la industria de los proceso existen tres métodos para estimar los precios de los equipos, unidades de procesos y plantas completas.

• Índices de Costo

• Exponente de Capacidad

• Factores de Costo

Calculo de la Inversión Fija


Los índices de costo permiten comparar el costo del presente con el de alguna fecha del pasado. Son muy parecidos al índice inflacionario, pero en lugar de estar referido a una canasta básica familiar está basado a una estructura de costos de Inversión entre los que se considera:

• Costo de construcción• Costo del material• Costo de mano de Obra• Productos químicos, etc.

La relación de índices de dos años diferentes es igual a la relación de costos de capital fijo de estos dos años.

IJ INDJ IJ e IK : Costo del capital fijo para los años J y K.=

IK INDK INDJ e INDK : Índice de costo de los años J y K .

Método de los Índices de Costo


Los principales índices utilizado en ingeniería química son:

• Marshal y Swift (Industrial Process); base = 1926• Nelson (Industria del Petróleo); base = 1946• Chemical Engineering (Industria de Procesos); base = 1957

El año base de los índices es relativo y carece de importancia, lo realmente importante es la relación entre los valores de los años que se están comparando. Los datos de costos de equipos con menos de 10 años de antigüedad son bastantes aceptables, los datos con antigüedades entre 10 y 20 años deberán ser utilizados con mucha cautela y los datos con más de 20 años de antigüedad son obsoletos.

Cuando la metalurgia de los equipos o de sus partes y las tecnologías de fabricación han mejorado sustancialmente, es mucho más versátil y recomendable utilizar datos de costos lo menos antiguo posible.

Los índices de costo se utilizan para convertir costos de plantas y/oequipos del pasado (datos) a costos del tiempo presente, es una conversión en moneda corriente, similar al utilizado en matemáticas financieras con la tasa de inflación.


23


INDICE DE COSTOS DE PLANTAS DE LA CHEMICAL ENGINEERING

Base: 1957 - 59 = 100

Indice Chemical EngineeringEquipos

Intercambiadores de Calor & TanquesEquipos y Maquinarias de ProcesosTuberías, Válvulas & ConexionesInstrumentos de Procesos Bombas y CompresoresEquipo EléctricoSoporte Estructural y Misceláneos

Mano de Obra construcciónEdificios y ConstruccionesIngeniería y Supervisión



INDICE DE COSTOS DE EQUIPOS DE MARSHALL & SWIFTBase: 1926 = 100

Indice M&SIndustria de los Procesos

CementoQuímicosProductos de ArcillaVidrioPinturaPapelProductos de PetróleoPlásticos

Industrias RelacionadasPlanta EléctricaMinería, Molienda RefrigeraciónPlanta de Fuerza (vapor)



INDICE DE NELSON - CONTRUCCION DE REFINERÍASBase: 1946 =100

Índice Nelson - ConstrucciónBombas, Compresores, etcEquipos EléctricosMotores de Combustión InternaInstrumentaciónIntercambiadores de CalorEquipos MisceláneosComponentes MaterialesComponentes Mano de Obra



INDICE DE COSTOS VATABUK - CONTROL DE CONTAMINACION DEL AIRE

Base: 1er Trimestre 1994 =100

Índice VATABUKAbsorbedores de CarbónIncineradores CatalíticosPrecipitadores ElectrostáticosFiltrosQuemadores de CampoAbsorbedores de GasColectores MecánicosSistemas de RefrigeraciónOxidadores Térmicos RegenerativosIncineradores TérmicosPurificadores Húmedos




100

300

500

700

900

1100

1300

1500

1700

1900

1979 1984 1989 1994 1999 2004

Indice CE Indice M&S Indice Nelson


Ejemplo: La construcción de una planta química en 1986 costó60MMUS$, ¿Cuánto costará una planta similar en 1991?.

Solución: Los índices de la Chemical Engineering son 318.9 y 361.3 para 1986 y 1991 respectivamente.

361.3 Costo en 1991 = 60 = 68.1 MMUS$

318.9

En 1991 una planta similar costará 68.1 MMUS$ de ese año.


24


Este método es utilizado para estimar el costo de equipos y de unidades de procesos o plantas químicas. La regla indica que la relación entre las inversiones es directamente proporcional al tamaño del equipo o planta elevado a un exponente m.

QA m IA : Inversión para equipo o planta AIA = IB IB : Inversión para equipo o planta B (dato)

QB QA: Tamaño o capacidad de AQB : Tamaño o capacidad de B (dato)m: Exponente de capacidad.

Tomando logaritmo a ambos lados de la ecuación:

Ln IA = Ln IB + m (Ln QA - Ln QB)

Ln IA = (Ln IB - m Ln QB )+ m Ln QA

Y = Cte + m X

La relación inversión y tamaño tendrá la ecuación de una recta cuando se la representa en un gráfico de escala doble logarítmica.

Método del Exponente de Capacidad


Costo de Inversión vs Capacidad

Capacidad (Q)

Cos

to, I

nver

sión


Variación del Exponente con la Tamaño

Capacidad (Q)

Cos

to, I

nver

sión

Exp: 0.40

Exp: 0.95

Exp: 0.56


Exponentes de Capacidad en Intercambiadores de Calor

0.47

0.78

0.26

0.36

0.62

0.36

0.73

< 140

> 140

20-460

2-10

10-280

1-20

20-360

10

11

325

-

-

-

-

6

6

6

6

6

6

6

Ac. al carbono/Ac. al carbono



Ac. al carbono/Ac. Inox. 304




ExponenteRango de Tamaño

(m2)

Presión de Trabajo(Atm)

Longitud de Tubos(Metros)

Material Casco/Tubos


Exponentes de Capacidad en Intercambiadores de Calor

Ejemplo.- Se dispone de información sobre el costo de un intercambiador de calor de acero al carbono de 6 m de longitud, 115 m2 de área de transferencia y con presión de trabajo de 9-12 atmósferas, el costo instalado de dicho equipo es de 35 MUS$. Determinar el costo de un intercambiador para prestar el mismo servicio pero de 160 m2 de área de transferencia.

Solución: El exponente de capacidad es de 0.47 hasta 140 m2 de área y 0.78 para áreas superiores a 140 m2. (Ver Tabla 5.1).

I140 = I115 (140/115) 0.47 = 35.0 (140/115) 0.47

I140 = 38.4 MUS$

I160 = I140 (160/140) 0.78 = 38.4 (140/115) 0.78

I160 = 42.6 MUS$


Exponentes de Capacidad de Tanques Atmosféricos

0.46

0.50

0.54

0.61

1-3800

0.5-1900

1-190

0.2-380

Acero carbono

Acero Inoxidable 304


Aluminio

ExponenteRango de Tamaño

(m3)Material

25


Exponentes de Capacidad de Bombas Centrífugas

0.04

0.65

0.31

0.11

0.40

0.1-25

25-400

5-4000

0.25-5

5-100

< 9

< 9

> 17

< 9

< 9

Acero carbono

Acero carbono

Acero carbono



ExponenteRango de Potencia

(Hp)

Incremento de Presión

(Atm)Material


Exponentes de Capacidad de Columnas de Platos

1.400.280.710.300.620.650.380.340.72

1.5-30.8-1.51.5-5

0.6-1.51.5-50.8-30.8-3

0.5-1.51.5-5

10-2021-4521-4546-7546-7510-3536-7510-8010-80

Acero carbonoAcero carbonoAcero carbonoAcero carbonoAcero carbono

Acero Inoxidable 304Acero Inoxidable 304Acero Inoxidable 316Acero Inoxidable 316

ExponenteRango del Diámetro

(m)

Númerode

PlatosMaterial


Se utiliza para determinar la inversión fija (capital fijo) de una planta o unidad de proceso a partir del costo de los equipos puesto en el terreno, el costo de los otros componentes de la inversión se determina en función del costo de los equipos y de las características del proceso.

Costos Directos o Activo Fijo1. Costo de los equipos puesto en el terreno2. Instalación de los equipos3. Tuberías y accesorios.4. Instrumentación y control.5. Instalaciones eléctricas6. Edificios y estructuras.7. Delimitaciones.8. Facilidades y Servicios.9. Terreno.

Costos Indirectos o Intangibles.10. Supervisión e Ingeniería.11. Costos de construcción.12. Utilidad del contratista.13. Contingencias.

Método de los Factores de Costo



440Total Inversión en Capital Fijo

35401743

135

Costos Indirectos10. Supervisión e Ingeniería11. Costos de Construcción12. Utilidad de contratista13. Contingencias

Total Indirectos

1004513409

2513564

305

Costo Directos1. Costo del equipo2. Instalación3. Instrumentación4. Tubería y Accesorios5. Instalaciones eléctricas6. Edificios7. Delimitaciones8. Facilidades y servicios9. Terreno

Total Directos

Valor Típico



100Total Inversión Fija

8949

30

4 - 214.8 - 221.5 - 56.8 – 18

IntangiblesIngeniería y supervisiónGastos de construcciónUtilidad del contratistaContingencias

Total Intangibles

231038363

131

70

20 - 407.3 - 262.5 - 73.5 - 152.5 - 96 - 201.5 - 58.1 - 351 - 2

Activo FijoCosto del equipoInstalaciónControl e InstrumentaciónTuberías y accesoriosMaterial y equipo eléctricoEdificios y estructurasDelimitacionesServicios y facilidadesTerreno

Total Activo Fijo

Valor Típico(%)

Rango(%)


Ejemplo: Se cuenta con un proyecto para la construcción de una planta de hidrogenación de aceite de consumo humano, la inversión en los equipos mayores asciende a 36 MMUS$. ¿Cuál será la inversión requerida para construir las planta?.

Solución: Para calcular la inversión necesaria para construir la planta será suficiente con multiplicar el costo de los equipos mayores por 4.40 o en su defecto dividirlo por 0.23.

Inversión Total= 36 * 4.40 = 158.4 MMUS$

Inversión Total = 36/0.23 = 156.5 MMUS$

Normalmente la inversión total es redondeada hacia arriba, en este caso la respuesta sería 160 MUS$.


26


Es la inversión necesaria e indispensable para garantizar y asegurar el normal desarrollo del proceso productivo, a diferencia del capital fijo, esta inversión va cambiando su estructura y valor durante el horizonte de planeamiento razón por lo que se le denomina capital circulante. La inversión anual que se realiza en capital de trabajo estará dada por el incremento en el valor de éste.

Otra característica de la inversión en capital de trabajo, es que al final del horizonte de planeamiento, en el período de liquidación, se recupera totalmente. El activo circulante es una carga para la empresa ya que ésta desembolsa recurso para generarlo. En cambio, el pasivo circulante es a favor de la empresa ya que significa ingreso de recursos.

CAPITAL DE TRABAJO

12010

110(20)

13028

1022

100100

Capital de trabajoInversión en Cap. de Trabajo

54321


Capital de Trabajo

Capital de Trabajo = Activo - Pasivo Circulantes

Pasivo CirculanteCuentas por pagarCobros adelantados

Activo CirculanteCaja-BancoCaja mínimaCaja para comprasInventarios

Materia primaMaterialesProductos terminadosProductos en proceso

Cuentas por cobrarPagos adelantados


Caja-Banco.- El dinero depositado en el Banco y guardado en caja es una carga para la empresa o proyecto ya que no genera mayores beneficios.

Inventarios.- Son una carga ya que se han invertido recursos para generarlos y no pueden ser utilizados, los inventarios de materia prima y productos en proceso son función de la velocidad de uso y el de productos terminados de las ventas. La materia prima y materiales se valorizan a su precio de compra y los productos en proceso y terminados a su costo de producción.

Cuentas por Cobrar.- Son las ventas al crédito, es función del volumen de ventas y del precio de venta.

Pagos Adelantados.- Son los cobros adelantados que realizan los proveedores antes de entregar sus productos y/o servicios , esta inversión es función del programa de compras y de su correspondiente precio.

Cuentas por Pagar.- Se refiere a las compras sujetas a créditos por parte de los proveedores, por lo que significa un ingreso.

Cobros Adelantados.- Son los cobros por concepto de ventas y cuyos producto serán entregados después de un período de recibido el dinero.

Capital de Trabajo


Intercambiador de Arreglo de Tubos Fijos Tubos y casco de acero el carbono

Diagramas de Costo de Capital vs Capacidad

1

10

100

1 10 100 1000Area de Transferencia ( m2)

Mile

s de

US$

de

Jul d

e 19

88

Longitud 2.5 m

Longitud 5 m

3.6 m


Intercambiadores de Calor de Cabezal flotante, tubos y casco de acero al carbono


1

10

100

1 10 100 1000Area de Transferencia ( m2)

Mile

s de

US$

de

Jul d

e 19

88

Longitud 2.5 m

Longitud 5 m

3.6 m


Bombas Centrífugas de Acero al Carbono 316 incluye motor y arrancador


1

10

100

1 10 100Potencia (HP)

Mile

s de

US$

de

Sep

de 1

988

10-150GPM

30-900 GPM

27


Costo de Tanques Atmosféricos de acero al carbono y techo cónico


10

100

1000

100 1000 10000 100000Capacidad ( m3)

Mile

s de

US$

de

Jul d

e 19

75


Compresores - Incluye el reductor de velocidad, cople y accesorio, no incluye el motor


10

100

1000

100 1000 10000Potencia (HP)

Mile

s de

US$

de

Jul d

e 19

75

Compresor Reciprocante

Compresor Centrífugo


Costo de Torres de Enfriamiento Tipo Modular incluye torre, motores, ventiladores y bombas


10

100

1000

1 10 100Capacidad ( m3/min)

Mile

s de

US$

de

Sep

de 1

988


Costo de Desaladoras de Crudo en USA


10

100

1000

10000

1 10 100 1000Capacidad (MBD)

Mile

s de

US$

de

1973


Costo de Unidades de Hidrocraquéo Catalítico en USA


1000

10000

100000

1 10 100Capacidad (MBD)

Mile

s de

US$

de

1973

Consumo de Hidrógeno

3000 PC/Bbl

1000 PC/Bbl2000 PC/Bbl


Título

28


6

DEPRECIACION DE ACTIVO FIJO Y AMORTIZACION DE INTANGIBLES


La inversión en Capital Fijo, dinero necesario para construir la nueva planta o ampliar la existente y que permanece colocada durante todo el horizonte de planeamiento, se divide en Activo Fijo (todos los materiales, equipos, construcciones, facilidades, etc, lo que es identificable) y en Intangibles (todos los gastos pre-operativos como son estudios, asesoría, intereses durante la construcción, etc, que no son visibles en la planta construida o ampliada).

El Activo Fijo se deprecia excepto el terreno y los intangibles se amortizan.

Activo Fijo: se deprecia excepto el terrenoCapital Fijo

Intangibles: se amortizan

Depreciación de Activo Fijo y Amortización de Intangibles


La depreciación no es un costo (salida de dinero), sino un cargo a los costos, que se separa de los ingresos antes del cálculo del impuesto a la renta.

Se utiliza para atender la constitución de un fondo que permitirárecuperar el capital invertido en activos fijos e intangibles sujetos a deterioro, envejecimiento, agotamiento u obsolescencia al final de la vida económica de éstos.

La depreciación representa la manera y proporción de envejecimiento, desgaste, agotamiento u obsolescencia del capital fijo.

Si se tienen dos bombas similares en todas sus características, pero una de ellas presta servicio en condiciones más severas, el monto por depreciación o porcentaje de depreciación será mayor para el equipo que trabaja en condiciones severas.

Depreciación de Activo Fijo y Amortización de Intangibles


La depreciación no implica ninguna salida de dinero sino todo lo contrario, actúa como Escudo Tributario y su efecto real es disminuir el Impuesto a la Renta. De las ecuaciones de Utilidad Neta y el Flujo Neto de Fondos:

UN = (I - G - D) (1 - t) FNF = UN + D - Inv

Combinando ambas ecuaciones:

FNF = (I - G - D) (1 - t) + D - Inv

FNF = (I - G) (1 - t) + D t - Inv

En la ecuación anterior se aprecia que el Flujo Neto de Fondos se incrementa con la depreciación, verificándose que ella no significa egreso de dinero. El ahorro en Impuesto a la Renta, conocido como Escudo Tributario o Escudo Fiscal, viene dado por Dt.

Efecto de la Depreciación


La fracción del Capital Fijo que no es depreciado constituye el Capital Fijo Recuperable y se le conoce como Valor de Rescate o Valor deSalvamento. Hay que tener presente que los terrenos no se deprecian.

El Valor de Rescate es la porción no depreciable del Capital Fijo, dentro de este Valor de Rescate se encuentra el valor del terreno.

El Valor de Rescate es el valor en libros del Capital Fijo en el momento de liquidación del proyecto.

Capital Fijo Depreciable = Vo - Vs

Donde: Vo: Inversión en Capital FijoVs: Valor de Rescate

Ambas variables deben ser expresadas en moneda constante de un mismo año base.

Valor de Rescate o Valor de Salvamento


Valor en Libros y Depreciación

0 N

V0

ΣD = Inversión Depreciable

Vs = VN

V0

29


Los componentes de una Planta de Procesos como son los equipos, maquinarias, obras civiles, muebles, enseres, etc; están caracterizados por el tiempo de vida proyectados y que se basa en la experiencia.

El tiempo de vida de los diferentes componentes del Capital Fijodepende principalmente de:

a. Condiciones de Operación: presión, temperatura, corrosión, vibración, medio ambiente, etc.

b. Calidad y frecuencia del mantenimiento.c. Grado de obsolescencia.

En una planta de procesos existe una gran diversidad de componentes del Capital Fijo, cada uno con su propia vida útil y sería sumamente complejo calcular la depreciación y valor en libros de cada uno de ellos.

Es práctica común agrupar los equipos o considerar toda la planta como una unidad para el cálculo de la depreciación.

Tiempo de Vida de Equipo y Unidades de Procesos


Tasas de Depreciación y Vida Útil Típicos

47 - 85 - 64 - 56 - 7101010

3020

12 - 1312 - 13

103

30303010

15 - 1615 - 16

301010

2513182415101010

3.35

88

1033.3

3.33.33.31066

3.31010

Equipo de TransporteCamionetasÓmnibusCamionesAutomóvilesMotobombasRemolquesLanchones, ChatasRemolcadores

Edificios y construccionesDe ladrillo y concretoDe madera y metal

Equipos de OficinaMuebles y maquinasEquipo de Laboratorio

Equipos de PropagandaLetrerosEquipo cinematográfico

Equipos de ProcesosCimentacionesObras civilesTanquesBombas y compresoresCalderosTuberíasPistas y veredasReactoresColumnas y acumuladores

Vida Útil (años)Tasa (%/año)Tipo de Equipos


La administración Tributaria de Perú ha establecido la aplicación del método de depreciación lineal y las siguientes tasas de depreciación:

Tasas de Depreciación y Vida Útil (Perú)

30

4

5

5

4

10

3

25

20

20

25

10

Edificios y Construcciones

Ganado de Trabajo y reproducción; redes de pesca

Vehículos de transporte terrestre (excepto ferrocarriles); hornos en general.

Maquinarías y equipo utilizado por las actividades minera, petrolera y de construcción; excepto muebles, enseres y equipo de oficina.

Equipos de procesamiento de datos.

Otros bienes del activo

Vida Útil (años)

Depreciación Anual (%)Legislación Peruana


El Capital Fijo se deprecia desde su valor inicial Vo hasta su Valor de Rescate Vs durante los N años de operación del proyecto. Durante un año de operación particular K el Capital Fijo se depreciará un valor de DK, el valor en libros disminuirá desde VK-1 a VK durante el período K.

VK = VK-1 - DK

KVK = Vo - Σ DJ

J=1

NVN = Vs = Vo - Σ DJ

J=1

Donde: Vo: Valor inicial de la inversión en Capital Fijo.Vs: Valor de rescate.VK: Valor en libros (residual) al final del año K.K: Año cualquiera de operación de 1 a N.N: Número de años de operación.

Métodos de Depreciación


Este método es de uso común en muchos países y considera que la depreciación es constante durante los N años de operación, y la forma de cálculo es la siguiente:

Vo - VsDK = D =

N

VK = Vo - D · K

Donde: K = 1, 2, ..., N

Se aprecia que el descenso del valor en libros o valor remanente (VK) con los años de operación (K) sigue la trayectoria de una línea recta.

Para K=0, el valor en libros es de Vo y para K=N es de Vs y la pendiente de la recta está dada por el valor de D.

Método de Depreciación Lineal



Años (K)

Valo

r en

Libr

o (V

K)

0 N

VN = Vs

Vo

Pendiente = D

30


Ejemplo: Determine la depreciación y el valor en libros de un equipo cuyo costo instalado (inversión en capital fijo) es 100 MUS$ del año 0 y que luego de 10 años de operación su valor de rescate proyectado es 8 MUS$ del año 0. Utilice el método de depreciación lineal.

Solución: Vo = 100 MUS$ del Año 0Vs = 8 MUS$ del Año 0n = 10 años de operación

Cálculo de la depreciación y el valor en libros respectivamente:

100 - 8DK = D = = 9.2 MUS$ del año 0/Año

10

VK = 100 - 9.2 · K donde K = 1, 2,.., 10

V1 = 100 - 9.2·1 = 90.8 V3 = 100 - 9.2·3 = 72.1

V6 = 100 - 9.2·6 = 44.8 V9 = 100 - 9.2·9 = 17.2




Ejemplo, continuación

100.090.881.672.463.254.044.835.626.417.28.0

9.29.29.29.29.29.29.29.29.29.2

012345678910

Valor en Libros(MUS$ Año 0)

Depreciación(MUS$ Año 0/ Año)K (Año)



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10

Valo

r en

Libr

os (M

US$

de

0)

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dep

reci

ació

n (M

US$

de

0/A

ño)


La depreciación según este método es directamente proporcional al número de años de operación que faltan para completar el horizonte de planeamiento.

N N · (N + 1)Prima = 1 + 2 +....+ N = Σ J =

J=1 2

N - K + 1DK = (Vo - Vs)

Prima

Combinando ambas ecuaciones

2 (N - K + 1)DK = (Vo - Vs)

N ( N + 1)

Método de la Prima de los Dígitos de los Años



Años (K)

Valo

r en

Libr

o (V

K)

VN = Vs

Vo


Ejemplo: Resuelva el problema anterior utilizando el método de depreciación de la prima de los años.

Solución: Inversión Depreciable = 100 - 8 = 92 MUS$ del año 0.

Prima = 10 · (10 + 1) / 2 = 55

10 - 1 + 1D1 = · 92 = 16.7 MUS$ del Año 0/Año

55

10 - 5 + 1D5 = · 92 = 10.0 MUS$ del Año 0/Año

55

10 - 10 + 1D10 = · 92 = 1.7 MUS$ del Año 0/Año

55


31




100.083.368.254.843.133.124.718.013.09.78.0

16.715.113.411.710.08.46.75.03.31.7

012345678910





0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10

Valo

r en

Libr

os (M

US$

de

0)

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dep

reci

ació

n (M

US$

de

0/A

ño)


Este método asume que la depreciación anual es proporcional al valor remanente del capital fijo. El cargo por concepto de depreciación durante el año K es una fracción (f) del valor en libros al final del período K-1.

DK = f · VK-1

K = 1 D1 = f Vo V1 = Vo - D1 = (1-f) Vo

K = 2 D2 = f V1 = f (1-f) Vo V2 = V1 - D2 = (1-f) 2 Vo

K = 3 D3 = f V2 = f (1-f) 2 Vo V3 = V2 - D3 = (1-f) 3 Vo

Generalizando: DK = f (1-f) K-1 Vo VK = (1-f) K Vo

Para K = N VN = Vs = (1-f) N Vo

Resultando:Vs 1/N

f = 1 -Vo

Método de Depreciación Acelerada o Declinante



Años (K)

Valo

r en

Libr

o (V

K)

VN = Vs

Vo


Ejemplo: Determine la depreciación y el valor en libros para el problema utilizando el método de depreciación acelerada.

Solución:8 1/10

f = 1 - = 0.2232100

Con el valor del factor f se determina la depreciación y el valor en libros.

D1 = 0.2232 * 100 = 22.3 V1 = 100 - 22.3 = 77.7D2 = 0.2232 * 77.7 = 17.3 V2 = 77.7 - 17.3 = 60.3D3 = 0.2232 * 60.3 = 13.5 V3 = 60.3 - 13.5 = 46.9

D8 = 0.2232 * 17.1 = 3.8 V8 = 17.1 - 3.8 = 13.3D9 = 0.2232 * 13.3 = 3.0 V9 = 13.3 - 3.0 = 10.3D10 = 0.2232 * 10.3 = 2.3 V10 = 10.3 - 2.3 = 8.0





100.077.760.346.936.428.322.017.113.310.38.0

22.317.313.510.58.16.34.93.83.02.3

012345678910



32



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10

Valo

r en

Libr

os (M

US$

de

0)

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dep

reci

ació

n (M

US$

de

0/A

ño)


Es un caso particular del método de depreciación acelerada y se asume que la razón anual de depreciación respecto al valor en libros (f) es igual a 2/N.

Las ecuaciones de depreciación acelerada se utilizan sólo si el valor en libros (VK) es mayor que el valor de rescate (Vs).

Sí en el año K (antes del año N) el valor remanente es inferior al valor de rescate, debe corregirse la depreciación del año K-1 para que el valor remanente en el año K sea igual al valor de rescate.

En el año N el valor en libros (VN) debe ser igual al valor de rescate o salvamento (Vs).

2f =

N

Método de Depreciación Doble Declinante



Años (K)

Valo

r en

Libr

o (V

K)

VN = Vs

Vo


Ejemplo: Determine la depreciación y el valor en libros para el problema por el método de depreciación doble declinante.

Solución:2

f = = 0.2010

Con el valor del factor f se determina la depreciación y el valor en libros.

D1 = 0.20 * 100 = 20.0 V1 = 100 – 20.0 = 80.0D2 = 0.20 * 80.0 = 16.0 V2 = 80.0 – 16.0 = 64.0

D9 = 0.20 * 16.78 = 3.36 V9 = 16.78 - 3.36 = 13.42D10 = 0.20 * 13.42 = 2.68 V10 = 13.42 - 2.68 = 10.74

De acuerdo a la formula la depreciación del año 10 debería ser 2.68 y el valor en libros sería de 10.74. Dado que el valor en libros del año 10 debe ser igual al valor de rescate (8.0 MUS$), se debe corregir la depreciación del año 10 a 5.42 MUS$.





100.080.064.051.241.032.826.221.016.813.48.0

20.016.012.810.28.26.65.24.23.45.4

012345678910





0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10

Valo

r en

Libr

os (M

US$

de

0)

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dep

reci

ació

n (M

US$

de

0/A

ño)

33


Comparación de los Diferentes Métodos de Depreciación

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10

Valo

r en

Libr

os (M

US$

de

0)

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dep

reci

ació

n (M

US$

de

0/A

ño)

Lineal

Lineal

Prima de los Dígitos

Acelerada

AceleradaPrim

a


7

FINANCIAM IENTODE PROYECTOS DE INVERSIÓN


Activo FijoCapital Fijo

IntangiblesInversión

Activo CirculanteCapital de Trabajo

Pasivo Circulante

El término "financiamiento" se refiere a las diferentes fuentes de recursos requeridos para formar el capital Fijo. Las fuentes son:

• Recursos Propios.• Emisión de Acciones.• Emisión de Bonos.• Crédito de proveedores• Préstamos

FINANCIAMIENTO DE PROYECTOS DE INVERSION


Financiamiento con Deuda

Ventajas:

• Se mantiene la propiedad.• Menor pago de impuesto a la renta.• Mejora la rentabilidad por efecto de la palanca financiera.

Desventajas:

• El servicio de la deuda (Amortización e intereses) es independiente del nivel utilidades.

• Se pierde capacidad de endeudamiento para momentos difíciles.• Si la deuda alcanza ciertos niveles se pierde autonomía.

Financiamiento de Proyectos de Inversión


Financiamiento con Deuda

Debe quedar claramente establecido:

• Fracción y tipo de inversión (monto deuda).• Plazo (tiempo para amortizar la deuda).• Período de Gracia (no se amortiza la deuda).• Tasa de interés y comisiones.• Forma de pago.

• Servicio de la deuda constante.• Amortización constante.• Pago vencido o adelantado.• Periodicidad.• Tipo de moneda.



Ejemplo: Se ha obtenido un préstamo de 30 MMUS$ para pagarlo en 3 años y 1 año de gracia, los pagos serán anuales y vencidos. La tasa de interés e inflación son 9% y 3% /año respectivamente. Calcular el servicio de la deuda en moneda corriente y en moneda constante.

Para pasar a moneda del año 0 : V0N = VN / (1+π)N

MMUS$ 0 1 2 3 4 Deuda 30.00 30.00 20.00 10.00 - Amortización 10.00 10.00 10.00 Intereses 2.70 2.70 1.80 0.90 Servicio de la Deuda - 2.70 12.70 11.80 10.90


MMUS$ de 0 0 1 2 3 4 Amortización - 9.43 9.15 8.88 Intereses 2.62 2.55 1.65 0.80 Servicio de la Deuda - 2.62 11.97 10.80 9.68 Ganacia por Inflación

Anual - 0.57 0.85 1.12 Acumulado - 0.57 1.42 2.54

34


Ejemplo: Resolver el problema anterior si el pago se hace con serviciode la deuda constante.

Servicio de la Deuda = 30 [ 0.09 (1.09) 3 ] / [(1.09) 3 - 1 ] = 11.85

Para pasar a moneda del año 0 : V0N = VN / (1+π)N

MMUS$ 0 1 2 3 4 Deuda 30.00 30.00 20.85 10.87 0.00 Amortización - 9.15 9.98 10.87 Intereses 2.70 2.70 1.88 0.98 Servicio de la Deuda - 2.70 11.85 11.85 11.85


MMUS$ de 0 0 1 2 3 4 Amortización - 8.63 9.13 9.66 Intereses 2.62 2.55 1.72 0.87 Servicio de la Deuda - 2.62 11.17 10.85 10.53 Ganacia por Inflación

Anual - 0.53 0.85 1.21 Acumulado - 0.53 1.37 2.58


Cuando se va ha evaluar alternativas de financiamiento, se debe considerar todos los factores involucrados tales como:

• Tasa de interés.• Plazo• Período de gracia• Forma de Pago• Tipo de moneda• Tasa de Cambio (Devaluación, re-valuación)• Comisiones (Generalmente es un porcentaje del préstamo y se paga

al momento de recibirlo.)

Considerando todos los factores se determina la tasa de interés global efectiva y se elige el préstamo que representa la menor tasa, ya que esta será el costo del préstamo. Desde el punto de vista económico, se debería elegir el préstamo de menor costo.

EVALUACIÓN DE PRESTAMOS


Ejemplo: Se dispone de dos líneas de crédito una en Dólares Americanos (US$) y otra en Yenes y presentan las siguientes características:

En US$ En YenesTasa de interés 8.0 4.5 %/añoComisión 2 4 %Período de Gracia 1 2 añosPlazo 4 3 añosRe valuación respecto al dólar - 3 %/añoForma de pago Servicio de la deuda constante y

vencidoPeriodicidad del Pago Anual Anual

¿Cuál de las líneas es más ventajosa?

Nota: Asumir Vo US$ como préstamo..

Evaluación de Prestamos


PRESTAMO EN US$

Servicio de la Deuda Año 1 = 0.08 Vo US$

0.08 (1.08) 4

Servicio en los Años 2 al 5 = Vo = 0.302 Vo US$(1.08) 4 - 1

El perfil de flujos de dinero estará dado por:

.


0.02 Vo 0.08 Vo 0.302 Vo 0.302 Vo 0.302 Vo 0.302 Vo

Vo

01 2 3 4 5


Equivalencia Financiera:

0.08 Vo 0.302 Vo 0.302 Vo 0.302 Vo 0.302 Vo0.98 Vo = + + + +

(1+ieg)1 (1+ieg)2 (1+ieg)3 (1+ieg)4 (1+ieg)5

Resolviendo: ieg = 8.69 %/Año

.



PRESTAMO EN YENES

Sea t la tasa de cambio ($/Yen) en el año 0

Préstamo = Vo US$ = Vo/t Yenes

Servicio de la Deuda años 1 y 2 = 0.045 Vo/t Yenes

Vo 0.045 (1.045) 3 VoServicio de la Deuda años 3, 4 y 5 = = 0.364

t (1.045) 3 - 1 t

.


1 2 3 4 5Tipo de Cambio 1.030 t 1.061 t 1.093 t 1.126 t 1.159 tServicio de la Deuda

Yenes 0.045 Vo/t 0.045 Vo/t 0.364 Vo/t 0.364 Vo/t 0.364 Vo/tUS$ 0.046 Vo 0.048 Vo 0.398 Vo 0.410 Vo 0.422 Vo

35


Perfil en US$:

Equivalencia Financiera:

0.046 Vo 0.048 Vo 0.398 Vo 0.410 Vo 0.422 Vo0.96 Vo = + + + +

(1+ieg)1 (1+ieg)2 (1+ieg)3 (1+ieg)4 (1+ieg)5

Resolviendo: ieg = 8.84 % / Año


Vo

0.04 Vo 0.046 Vo 0.048 Vo

0.398 Vo 0.410 Vo 0.422 Vo

01 2 3 4 5


RESUMEN:

PRESTAMO PRESTAMOEN US$ EN YENES

Préstamo Vo Vo US$Tasa de interés 8 4.5 %/añoComisión 2 4 %Tasa de interés efectiva 8.69 8.84 %/año

El préstamo en US$ es más barato.



8

COSTO DEL PRODUCTOY

COSTO DE PRODUCCION


La producción de una planta lleva asociada una serie de costos desde la materia prima, materiales, insumos, mano de obra, servicios (vapor, agua, electricidad, etc.), supervisión, almacenamiento, control de calidad, cargos por depreciación, etc.; la suma de todos estos costos se denominan costo de producción o de manufactura.

El costo de producción se distribuye entre el volumen de la producción, sea esta para ventas o para inventarios. El costo de materia prima y materiales es el correspondiente al volumen utilizado por el proceso productivo y no incluye las compras que se efectuaron para inventarios, estas últimas son consideradas el capital de trabajo.

Los productos que se venden se llevan sólo una parte de los costos de producción, a estos se le denomina gastos de producción y es la fracción del costo de producción atribuible a los productos que se venden. La otra fracción de los costos de producción son atribuibles a los productos (en proceso o terminados) que van a inventarios y cuyos costos son reportados en el capital de trabajo.

Costo del Producto, Costo y Gasto de Producción



COMPRASM. Prima

Materiales

Cargos Operativos

Capital de Trabajo

Gastos Generales

Costo del Producto


Costo de Producción o de

Manufactura

A Inventario

A P

rodu

cció

n

A VentasA

Inve

ntar

io



M. PrimaMateriales

100 TM100 M$

1 M$/TM

A Inventario

20 TM20 M$

PROCESOPRODUCTIVO

Cargos Operativos

120 M$1.5 M$/TM


80 TM200 M$

2.5 M$/TM

A Inventario

10 TM25 M$


70 TM175 M$

2.5 M$/TM

80 TM80 M$

A ventas

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Estructura del Costo de Producción/Manufactura

Seguridad y protecciónCostos de Servicio médicoSalario del gerenteEmpaqueServicio de cafeteríaAlmacenamientoGastos de superintendenciaLaboratorio de control final

Cargos de Superintendencia

DepreciaciónImpuesto a la propiedad (activos)Seguros

Cargos Fijos

Materia primaMano de obra directaSupervisiónServicios (vapor, electr., agua, comb., etc.)MantenimientoCargas operativasLaboratorioProductos químicos (solventes, catalizadores, etc.)

Costos Directos


Estructura de los Gastos Generales

Investigación y DesarrolloGastos Financieros

Oficina de VentasGastos de VendedoresPublicidad.Servicio Técnico de Ventas

Gastos de ventas y Distribución

Salario de EjecutivosSalario de empleadosGastos legales y de ingenieríaOficina de mantenimientoOficina de informáticaComunicaciones

Gastos administrativos


Estructura del Costo del Producto

Gastos administrativos

Gastos de ventas y Distribución

Investigación y Desarrollo

Gastos Financieros

Gastos Generales

Costos Directos

Cargos Fijos

Costos de Superintendencia

Costo de Producción o de manufactura


Ejemplo: En una planta se producen dos productos A y B, se tiene plenamente identificado los costos directo (operativo y materia prima), pero la materia prima que es común para ambos productos se guarda en un mismo almacén, el costo del almacén es 60 MUS$.

Determinar cual es el costo de cada producto, utilice diferentes criterios y la información siguiente:

Costo del Producto

1507040B802520A

Costo Op. y M. Prima (MUS$)

Uso de M Prima (TM)

Producción (TM)Producto


Solución:

a. Método Tradicional.- Este método distribuye los costos indirectos en forma proporcional al volumen de producción:

El costo del producto B es el más bajo, el costo promedio de los productos A y B es de 4.833, este costo promedio solo es informativo y no es útil para la toma de decisiones.

Costo del Producto

Producto Producción (TM)

Costo de Almacén (MUS$)

Costo Op. y M. Prima

(MUS$)

Costo Total

(MUS$)

Costo Unitario (M$/TM)

A 20 20.0 80.0 100.0 5.000B 40 40.0 150.0 190.0 4.750

TOTAL 60 60.0 230.0 290.0 4.833


B. Método Tradicional Revisado.- Este método distribuye los costos indirectos en forma proporcional al volumen de uso de materia prima, es un método más aproximado que el anterior.

Se observa que el costo de A es más bajo, por lo tanto convendría vender más de A que B.

Costo del Producto

ProductoUso de la Materia

Prima (TM)


Costo Op. y M. Prima

(MUS$)

Costo Total

(MUS$)


A 25 15.8 80.0 95.8 4.789B 70 44.2 150.0 194.2 4.855

TOTAL 95 60.0 230.0 290.0 4.833

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c. Método ABC.- El método requiere de una investigación para determinar como es la actividad del almacén y determinar el criterio para distribuir sus costos.

Asumamos que se ha encontrado que la entrega de materia prima no es continua sino por lotes y el esfuerzo del almacén es proporcional al número de lotes que entregas. También se ha encontrado que los lotes son de 12.5 TM.

De acuerdo a este método el costo de A es el menor.

Costo del Producto

Producto Número de Lotes


Costo Op. y M. Prima (MUS$)

Costo Total (MUS$)


A 2 15.0 80.0 95.0 4.750B 6 45.0 150.0 195.0 4.875

TOTAL 8 60.0 230.0 290.0 4.833


Tradicionalmente se ha considerado que el costo de manufactura se compone de costos variables y fijos, esta consideración solo es válida en el corto plazo, en el mediano plazo disminuyen los costos fijos para desaparecer en el largo plazo y dar lugar a la aparición de los cargos o costos regulados.

Costos variables.- Estos cargos son directamente proporcionales al nivel de producción. Ejemplo los costos de materia prima, productos químicos, materiales, servicios (vapor, electricidad, combustible, agua, etc.).

CV = v Q Donde v es el costo variable unitario.

Cargos Regulados.- Estos costos varían con el nivel de producción, pero no en forma proporcional. Ejemplo la mano de obra, mantenimiento, etc.

Cargos fijos.- Los costos o cargos fijos son independientes del nivel de producción. Ejemplo impuesto a la propiedad y seguros. Estos cargos se convierten en regulados si se prevé, para el largo plazo, un incremento o descenso del nivel de producción.

Elementos del Costo de Manufactura


Las unidades de proceso o plantas químicas en su mayoría trabajan las 24 horas del día y los siete días de la semana, el proceso es detenido sólo para efectuar inspección y/o mantenimiento programado y en ciertos casos de emergencias.

Las paradas de planta origina que la producción real anual sea inferior a la capacidad nominal. La relación entre la producción real y la nominal se denomina factor de servicio (FS).

Días operativos/períodoF.S. =

Días calendarios/período

Si el período de referencia es el año (365 días calendarios):

Días operativos/año Días de ParadaF.S. = = 1 -

365 365

CAPACIDAD (TM/DC) = CAPACIDAD (TM/DO) · FS

Factor de Servicio


Ejemplo: La capacidad nominal de una planta es 730 MTM/Año, cada año debe efectuarse una parada programada durante 45 días para inspección y mantenimiento, determinar la capacidad de la plante en TM/DO y TM/DC.

Solución: Si la Planta operara los 365 días al año alcanzaría una producción de 730 MTM, por lo tanto la capacidad por día operativo será:

730CAPACIDAD NOMINAL = = 2.00 MTM/DO

365

365 - 45FS = · 100 = 87.7%

365

Producción = 730 · 0.877 = 640 MTM/Año

CAP = 2.00 · 0.877 = 1.753 MTM/DC

Factor de Servicio


Observando la estructura y los elementos del costo de manufactura se aprecia que hay una porción que es directamente proporcional al nivel de producción denominado costos variables ( materia prima, servicios, productos químicos, etc.).

Otra fracción es directamente proporcional al costo de inversión fija (mantenimiento, seguro, impuesto a los activos, etc).

El resto de los elementos del costo de manufactura son sueldos ysalarios, y por lo tanto esta fracción será proporcional al costo de la mano de obra (US$/hr-hombre).

C = α Q + β I + γ L

Donde: C: costo de manufactura (US$/año)α, β y γ : Constantes de proporcionalidadQ: Nivel de producciónI: Inversión en capital fijoL: Costo de la mano de obra (US$/hr-h)

Estimado del Costo de Manufactura


Requisitos para Estimar en Costo de Manufactura

Conocer el proceso.- Contar con una definición apropiada del proceso, diagrama de flujo, balance de materia y energía. Se debe conocer la adición de materiales, insumos y servicios conforme progresa el proceso productivo desde el ingreso de la materia prima hasta laobtención del producto final, permitirá conocer o determinar el costo del producto en proceso.

Correcto estimado de la Inversión en Capital Fijo.- Una buena porción del costo de manufactura es proporcional a la inversión en capital fijo, de ahí la importancia para que su estimado sea lo más preciso y certero posible. Los componentes del costo de producción que son función de la inversión en capital fijo son: Depreciación de activo fijo, amortización de intangibles, mantenimiento, impuesto a la propiedad, seguros, etc.

Nivel de Producción.- Es importante definir el nivel de producción para determinar el costo de manufactura (costos variables). El nivel de producción estará muy ligado al factor de servicio, sobre todo cuando la planta opera a plena capacidad.


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Costos Proporcionales al Nivel de Producción ( α Q )

Para obtener la constante "α" es indispensable conocer los balances de materia y energía, donde se obtendrán los requerimientos unitarios (por Kg, TM, barril, etc.) de los componente del costo variable (materia prima, vapor, electricidad, combustible, agua, catalizadores, etc.).

La suma del producto de los requerimientos por sus correspondientes costos unitarios (precios) proporciona la constante "α" (US$/TM, US$/Kg, US$/Barril, etc.).

Cv = α [$/TM] · Q [TM/año] = α Q [$/año]


$/TM$/Kw-hr

$/m3

$/Bbl

TMKw-hr

M3

Barriles

Materia prima Electricidad

AguaCombustible

α =

Costo Variable (1) · (2)

Costo Unitario (2)

Requerimientos por TM de producto (1)Elementos


Costos Proporcionales a la Inversión en Capital Fijo ( β I )

Los elementos de esta fracción del costo de manufactura son la depreciación de activo fijo, amortización de intangibles, mantenimiento, seguros, impuesto a los activos, patentes, parte de los cargos operativos y de la seguridad y protección. El cargo por depreciación y amortización de intangibles por su importancia fue es tratado anteriormente. La constante de proporcionalidad "β" no incluye el cargo por depreciación.

Mantenimiento Fracción de la Inversión• Procesos Sencillos 0.02 - 0.06• Procesos severos (Altas P y T) 0.04 - 0.08• Procesos severos y corrosivos 0.07 - 0.12

Patentes 0.01 - 0.04Seguros 0.01Servicios Generales 0.02 - 0.10

β = 0.08 - 0.20

C(Inv) = β [1/año] · I [$] = β I [$/año]



Costos Proporcionales a la Mano de Obra ( γ L )

El requerimiento de mano de obra sigue una ecuación muy similar a la ecuación del exponente de capacidad utilizada para estimar la inversión en capital fijo.

LB = LA ( QB / QA ) 0.25

Donde: LA y LB : Hrs-h directas requeridas por las plantas A y B.QA y QB : Tamaño de las plantas A y B.

La mejor manera de estimar el costo en mano de obra es estimar primero el requerimiento de horas-hombre para toda categoría (no especializada, especializada, técnica, supervisión y profesional); luego se debe contar con el sueldo o salario de cada categoría, debe incluirse todos los cargos que realizarála empresa por tener a su cargo al personal tales como seguro social, seguro de vida, tiempo de servicio, vacaciones, gratificaciones, etc..

La suma del producto de los requerimientos por su correspondiente sueldo o salario proporcionará el costo de la mano de obra ( γ L ) dentro del costo de manufactura.



En la industria de los procesos químicos, el costo de la mano de obra representa entre el 5 y 12% del costo de manufactura, dependiendo si se hace poco uso de mano de obra (plantas con instrumentación moderna y avanzada) o el uso de mano de obra es intensivo.

El requerimiento de mano de obra depende del tipo de proceso y de la tecnología que utiliza.

γ L = t C

C = α Q + β I + t C C = ( α Q + β I ) / ( 1 – t )

tγ L = ( α Q + β I )

1 - t

1 β I Cu = α +

1 - t Q



Curva del Costo Unitario


Producción (Q)

Cos

to U

nita

rio

Variable

Fijo

Total


Ejemplo: Determinar el costo de fabricación en una planta de oxígeno de tonelaje, el nivel de producción de la planta es de 30 TM/Día y su inversión en capital fijo es de 540 MUS$.

Solución: Para calcular los costos proporcionales a la inversión en capital fija se debe determinar primero el factor β. Una planta de oxígeno trabaja a altas presiones pero su temperatura de operación es baja y los fluidos que se manipulan no son corrosivos. Un valoraparente para es 15%.

Costo proporcional a la Inversión = 0.15 · 540 = 81.0 MUS$/año

β I = 81.0 MUS$/año

El cálculo de los costos proporcionales al nivel de producción requieren de los consumos unitarios de cada uno de los insumos y servicios y de sus correspondientes precios, los consumos son obtenidos del balance de materia y energía.


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α = 0.00782

Costo proporcional a la Producción = α Q

α Q = 0.00782 · 30 · 365 = 85.63 MUS$/año


0.00782α

0.000550.0005 $/m31.09 m3Agua0.002421.10 $/TM2.2 KgVapor0.004850.01 $/KW-hr0.485 Kw-hElectricidad

Costo Total(US$/Kg de O2)

Costo Unitario (US$)

Requerimiento Unitario por Kg de Oxígeno

InsumoServicio



Para determinar los costos proporcionales a la mano de obra se asumiráque el valor de t es 10%.

0.10 0.1γ L = ( α Q + β I ) = (81.0 + 85.63)

1 - 0.10 0.9

γ L = 18.51 MUS$/Año

Costo de Manufactura: C = 81.0 + 85.63 + 18.51 = 185.14 MUS$/Año

C 185.14 MUS$/AñoCosto unitario: Cu = = = 16.91 US$/TM

Q 30 TM/Día


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ESTADOS FINANCIEROS

PROYECTADOS


Los Estados Financieros Proyectados son las herramientas imprescindibles en la evaluación de proyectos de inversión, que puede ser Económica o Financiera; también son muy útiles para estudiar y pronosticar la salud financiera de una empresa en marcha.

Evaluación Económica.- Determina la rentabilidad del total de la inversión requerida para efectuar el proyecto, los Estados Financieros Proyectados no consideran los efectos del financiamiento. Mide la economía intrínseca del proyecto, aún cuando el proyecto se efectuara con financiamiento, es necesario realizar la evaluación económica.

Evaluación Financiera.- Supone un financiamiento parcial externo de la inversión y determina la rentabilidad de la inversión hecha con recursos propios. Los Estados Financieros Proyectados deben considerar los efectos del financiamiento: escudo tributario, período de gracia, plazo, amortización e intereses. :

Los Estados Financieros Proyectados se preparan en moneda constante y considerando el efecto incremental del proyecto.

ESTADOS FINANCIEROS PROYECTADOS


Los Estados Financieros Proyectados se preparan para el escenario esperado, quiere decir que todas las variables intervienen con el valor de su esperanza o su valor medio (media probabilística de todos los escenarios posibles).

Los Estados Financieros Proyectados deben ser preparados en términos reales o moneda constante a fin de eliminar los problemas que genera la inflación y la devaluación.

Los Estados Financieros Proyectados son los siguientes:

• Estado de Ganancias y Pérdidas Proyectado,• Flujo de Caja Proyectado y• Balance General Proyectado.

Los dos primeros estados financieros son estados de flujo de dinero (miden las entradas y salidas de dinero del proyecto o empresa),mientras que el tercero es del tipo stock (muestra la situación del proyecto o empresa en un determinado momento).

Estados Financieros Proyectados


Cuadros Auxiliares para Preparar los Estados Financieros

CUADROS REFERENCIAS1.- Programa de Ventas Estudio de mercado y Cuadros 2 y 32.- Requerimiento de Capital de

TrabajoCuadros 1 y 3

3.- Programa de Producción Cuadros 1 y 24.- Programa de uso de Materia

Prima y Materiales.Cuadro 3

5.- Presupuesto de Ingresos Cuadro 1 x Precio de Venta + Otros Ingresos

6.- Programa de Compras Cuadros 2 y 47.- Presupuesto de Compras Cuadro 6 x Precio de Compra8.- Presupuesto de Materia Prima y

Materiales en ProducciónCuadro 4 x Precio de Compra

9.- Requerimiento de Mano de Obra Cuadro 310.- Presupuesto de Mano de Obra Cuadro 9 x (Salarios y Leyes Sociales)11.- Presupuesto de Gastos Generales

de Producción12.- Presupuestos de Costos de

ProducciónCuadro 8 + Cuadro 10 + Cuadro 11

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Cuadros Auxiliares para Preparar los Estados Financieros

CUADROS REFERENCIAS13.- Presupuestos de Gastos de

ProducciónCuadro 1 x Costo Unitario del Cuadro 12

14.- Presupuesto de Gastos de Administración

15.- Presupuesto de Gastos de Ventas16.- Presupuesto de Capital de Trabajo

GlobalCuadros 2 y 12

17.- Presupuesto de Capital de Trabajo Incremental

Cuadro 16

18.- Cronograma de Inversiones19.- Cronograma de Desembolsos Cuadro 1820.- Servicio de la Deuda Cuadro 18 - Cuadro 19 y condiciones de

financiamiento21.- Depreciación * Cuadros 18 y Tasa Legales22.- Servicio de la Deuda Corregido

por InflaciónCuadro 20

23.- Presupuesto de Ingresos en Efectivo

Cuadro 5 - Cuentas por Cobrar del Cuadro 17 + Cobros Adelantados del Cuadro 17

24.- Presupuesto de Costos de Producción en Efectivo

Cuadro 7 + Cuadro 10 + Cuadro 11 - Cuentas por Pagar del Cuadro 17 + Pagos Adelantados del Cuadro 17


El Estado de Ganancias y Pérdidas es elaborado para la etapa de operación del proyecto y muestra los resultados del período es un estado de flujo de dinero.

+ Ingresos por ventas y otros conceptos.- Gastos de Producción (Materias Primas, c. variables, c. fijos)- Gastos Administrativos.- Gastos de Ventas.

UTILIDAD DE OPERACIÓN- Gastos Financieros (Intereses en moneda constante)- Depreciación

RENTA NETA- Impuesto a la Renta (% de la R. Neta)

UTILIDAD NETAReserva Legal.Utilidad Retenida.DividendosPérdidas

U.N. = (Ing. - GP - GA - GV - Int - D) (1-t)

ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS


Se elabora para todo el horizonte el planeamiento y se determinan las entradas y salidas de dinero del proyecto, las que se denominan Flujo Neto de Fondos (FNF). El FNF es indispensable para determinar la rentabilidad del proyecto.

INVERSIONESInversión Propia.Amortización de la Deuda (en moneda constante).Capital de Trabajo Incremental.

TOTAL INVERSIONESUTILIDAD NETADEPRECIACIONFLUJO NETO DE FONDOS = U.N. + Dep. - Inversiones

Aportes.Dividendos (del Año anterior)Saldo de Caja anual = FNF + Aportes - DividendosCaja Residual = Saldo de Caja + Caja Residual del año anterior

FNF = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - Int - D) (1-t) + D - Inv

FLUJO DE CAJA PROYECTADO


El Balance General es un estado financiero del tipo stock y es válido para la fecha de su elaboración. Es la relación de saldos en la cuentas de activo, pasivo y de capital contable. Estos saldos están referidos a la fecha indicada en el Balance General, al día siguiente el estado de las cuentas podrían ser totalmente diferentes.

El Balance General Proyectado es como una fotografía del estado de las cuentas y registra la situación vigente en el momento de tomar la fotografía.

Se divide en Activo y Pasivo, el activo representa todo lo que el proyecto tiene (en que se emplearon los recursos otorgados al proyecto) y el pasivo todo lo que debe (fuentes de recursos otorgados al proyecto), ambos rubros deben ser numéricamente iguales.

El pasivo representa las fuentes que el proyecto utiliza para obtener fondos (dinero), los cuales son empleados para la adquisición de bienes (Activos) y para cubrir los egresos operativos. Desde este punto de vista el Balance indica cómo se han empleado los recursos asignados o confiados al proyecto.

BALANCE GENERAL PROYECTADO


Balance General Proyectado

ACTIVO PASIVOCaja Banco Pasivo a Corto Plazo

Cuentas por PagarInventario de Materia Prima Cobros AdelantadosInventario de Materiales Pago Anual de la DeudaInventario de Productos en Proceso DividendosInventario de Productos terminados

Pasivo a Largo PlazoCuentas por Cobrar Deuda

Pagos por Adelantado Patrimonio Capital Social

Activo Fijo e Intangible Neto Utilidades retenidas o Pérdidas Acumuladas Reserva Legal Acumulada

Ganancia o Perdidas por Inflación AcumuladasTotal Activo Total Pasivo


FNF = (Ing. - GO - GA - GV - Int - D) (1-t) + D - INV

FNF = (Ing. - GO - GA - GV - Int) (1-t) - D(1-t) + D - INV

FNF = (Ing. - GO - GA - GV - Int) (1-t) + Dt - INV

Se aprecia que la depreciación es un aporte al FNF y no representa una salida de dinero (costo), su efecto es disminuir el pago de impuestos (Dt), que es conocido como escudo Tributario o escudo Fiscal. De ahí la importancia de capitalizar los activos inmediatamente inicie la operación de dicho activo.

EFECTO DE LA DEPRECIACION

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Evaluación Económica

U.N.ECO = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - D) (1- t)IMP ECO = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - D) t

Evaluación Financiera

U.N.FIN = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - Int - D) (1- t)IMP FIN = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - Int - D) tIMP FIN = (Ing. - G.O. - G.A. - G.V. - D) t - t Int.

IMP FIN = IMP ECO - t Int

El financiamiento implica un menor pago de impuesto (t x Int) dado que los intereses generan escudo Fiscal.

EFECTO DEL FINANCIAMIENTO


Ejemplo: Elaborar los Estados Financieros Proyectados para el Proyectode Instalación de una Planta para la producción de MIBK a partir de IPA vía Acetona. La capacidad nominal de la planta será de 730,000 TM/año y operará con 90% de factor de servicio. El proceso utiliza como materiaprima IPA para producir Acetona (producto en proceso) requiriendo 1.26 TM de IPA/TM de Acetona, siendo el requerimiento de Acetona de 1.36 TM/TM de MIBK.

La inversión en capital fijo es de 72 y 64 MMUS$ del año 0 para las plantas de Acetona y MIBK respectivamente y los costos de operación son los siguientes:

Los costos anuales de mantenimiento y seguros son el 10 y 2% de la inversión respectivamente. Los Gastos Administrativos y de Ventas representan el 1 y 0.5% de las ventas respectivamente.


1,600.0 110.0 Planta de MIBK2,300.0 40.0 Planta de Acetona

Costo de mano de Obra (MUS$/Año)

Costos Variables (US$/TM)US$ del Año 0


Considerar 30% como impuesto a la renta, depreciación lineal sin valor de rescate, diez años de operación, un año de construcción, 10% de la Utilidad Neta como reserva legal y 1% como utilidad retenida. La determinación del Capital de Trabajo será de acuerdo a los parámetros siguiente:

30 días de Inventario de Materia Prima,10 días de Inventario de Productos en Proceso,25 días de Inventario de Productos Terminados,Cuentas por Cobrar: 15 días de Ventas yCuentas por Pagar: 20 días de Materia Prima.

Asumir como tasa de inflación 4% anual y las siguientes condiciones de financiamiento:

Préstamo: 60 MMUS$ del año 0.Tasa de Interés: 10% anual.Plazo para amortizar: 4 años.Forma de pago: Amortización constante.

Los precios de la Materia Prima y del Producto se muestran en lasiguiente tabla:



Asumir que la planta operará a plena capacidad y que los inventarios de materia prima, productos en proceso y productos terminados se generarán en el período de prueba y de puesta en marcha del proyecto, con lo cual el volumen de ventas será igual a la producción.


1.241.231.251.231.221.231.251.231.221.20MIBK0.510.520.520.500.530.510.510.520.520.50IPA

10987654321Precios (MUS$/TM)


Solución: El programa de producción es el primer cuadro que debe calcularse y dado que la Planta opera a plena capacidad los requerimientos de materia prima (IPA) y del producto intermedio (acetona) estarán fijados por la producción del producto final, que a su vez será igual a las ventas:

Producción de MIBK = 730 · 0.90 = 657 MTM/año = 657/365 = 1.80 MTM/DCRequerimiento de Acetona = 1.80 · 1.36 = 2.45 MTM/DCRequerimiento de IPA = 2.45 · 1.26 = 3.08 MTM/DC


Programa de Producción(TM/DC)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Producción

Acetona 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448MIBK 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800

RequerimientoIPA 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084

Acetona 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448


El ingreso anual por ventas se determina multiplicando el precio por el volumen de ventas, con el que se obtiene el ingreso por día calendario, a esta última cifra luego se le multiplica por 365 DC/año.

El costo de producción comprende materia prima, costos variables y costos fijos; la suma de estos dividido entre la producción proporciona el costo unitario. Los costos en materia prima como los variables son directamente proporcionales a la producción, mientras que el costo fijo (mano de obra, mantenimiento, seguros, etc.) se mantiene constante independiente del nivel de producción.

El costo unitario de producción de la acetona (producto en proceso o intermedio) se calcula para valorizar el inventario de este producto y para determinar el costo de transferencia a la planta de Metil Isobutil Cetona (MIBK).


Ingresos por Ventas(US$ de 0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ventas (TM/DC) 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800Precio (MUS$/TM) 1.20 1.22 1.23 1.25 1.23 1.22 1.23 1.25 1.23 1.24MUS$/DC 2,160 2,196 2,214 2,250 2,214 2,196 2,214 2,250 2,214 2,232MMUS$/Año 788.4 801.5 808.1 821.2 808.1 801.5 808.1 821.2 808.1 814.7

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Costo de Producción de la Acetona(US$ de 0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Materia Prima (IPA)TM/DC 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084MUS$/TM 0.50 0.52 0.52 0.51 0.51 0.53 0.50 0.52 0.52 0.51MUS$/DC 1,542 1,604 1,604 1,573 1,573 1,635 1,542 1,604 1,604 1,573MMUS$/Año 562.9 585.4 585.4 574.2 574.2 596.7 562.9 585.4 585.4 574.2Costos VariablesTM/DC 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448US$/TM 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0MUS$/DC 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98MMUS$/Año 35.7 35.7 35.7 35.7 35.7 35.7 35.7 35.7 35.7 35.7Costos Fijos (MMUS$/Año)Mano de Obra 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3Mantenimiento 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2Seguro 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4

Total Fijos 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9 10.9Costo de ProducciónMMUS$/Año 609.6 632.1 632.1 620.9 620.9 643.4 609.6 632.1 632.1 620.9MUS$/DC 1,670.1 1,731.8 1,731.8 1,701.0 1,701.0 1,762.7 1,670.1 1,731.8 1,731.8 1,701.0MUS$/TM 0.68 0.71 0.71 0.69 0.69 0.72 0.68 0.71 0.71 0.69



Costo de Producción del MIBK(US$ de 0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Materia Prima (Acetona)TM/DC 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448MUS$/TM 0.68 0.71 0.71 0.69 0.69 0.72 0.68 0.71 0.71 0.69MUS$/DC 1,670 1,732 1,732 1,701 1,701 1,763 1,670 1,732 1,732 1,701MMUS$/Año 609.6 632.1 632.1 620.9 620.9 643.4 609.6 632.1 632.1 620.9Costos VariablesTM/DC 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800US$/TM 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0 110.0MUS$/DC 198 198 198 198 198 198 198 198 198 198MMUS$/Año 72.3 72.3 72.3 72.3 72.3 72.3 72.3 72.3 72.3 72.3Costos Fijos (MMUS$/Año)Mano de Obra 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6Mantenimiento 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4Seguro 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

Total Fijos 9.3 9.3 9.3 9.3 9.3 9.3 9.3 9.3 9.3 9.3Costo de ProducciónMMUS$/Año 691.1 713.7 713.7 702.4 702.4 724.9 691.1 713.7 713.7 702.4MUS$/DC 1,893.6 1,955.2 1,955.2 1,924.4 1,924.4 1,986.1 1,893.6 1,955.2 1,955.2 1,924.4MUS$/TM 1.05 1.09 1.09 1.07 1.07 1.10 1.05 1.09 1.09 1.07


La planta de MIBK recibe como materia prima acetona, la cual es valorizada (costo de transferencia) a su costo unitario de producción, recordemos que este costo no incluye la depreciación de activo fijo ni la amortización de intangibles de la Planta de Acetona. De esta manera la planta de acetona no generará ganancias ni pérdidas.

El costo unitario de producción del MIBK, que tampoco incluye la depreciación de activo fijo ni la amortización de intangibles de la Planta de MIBK, es utilizado para determinar los gastos de producción y valorizar el inventario de productos terminados. No debe perderse de vista que el costo unitario de producción de acetona incluye rubros fijos, por los que la materia prima para la planta de MIBK no es un costo variable ya que no será proporcional a la producción de MIBK.

El costo unitario de producción así determinado no deberá emplearse para estudiar políticas de precios, antes habrá que agregarle los cargos unitarios por depreciación de activo fijo y amortización de intangibles de todo el proyecto (Plantas de Acetona y MIBK).



La amortización en moneda corriente se determina dividiendo el préstamo (60 MMUS$) entre período de pago (4 años), la deuda se determina restando la amortización del valor de la deuda del año anterior. Los intereses se calculan multiplicando la tasa de interés (10%) por la deuda del período previo.

Amortización = 60/4 = 15 MMUS$Intereses 1 = 0.1 · 60 = 6 MMUS$ Deuda 1 = 60 - 15 = 45 MMUS$


Servicio de la Deuda(MMUS$)

0 1 2 3 4Moneda CorrienteDeuda 60.0 45.0 30.0 15.0 0.0Amortización 15.0 15.0 15.0 15.0Intereses 6.0 4.5 3.0 1.5Moneda Constante (US$ de 0)Amortización 14.4 13.9 13.3 12.8Intereses 5.8 4.2 2.7 1.3Efecto de la Inflación 0.0 0.6 1.1 1.7 2.2Efecto de la Inflación Acumulado 0.0 0.6 1.7 3.4 5.6


Para expresar la amortización y los intereses en moneda constante del año 0 (US$ del año 0) se utiliza la ecuación 3.12 con 4% como tasa anual de inflación. Dado que los estados financieros se elaborarán en moneda constante, es imprescindible que el servicio de la deuda sea calculada en moneda constante.

En adición es necesario calcular la ganancia o pérdida por inflación (Amortización corriente - Amortización constante) ya que será utilizada en el Balance General para evaluación financiera.



Estados Financieros ProyectadosCapital de Trabajo

(US$ de 0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ACTIVO CIRCULANTEInv. de Materia Prima (30 días)

TM/DC 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084 3,084TM/DO 3,427 3,427 3,427 3,427 3,427 3,427 3,427 3,427 3,427 3,427

MTM/Año 103 103 103 103 103 103 103 103 103 103MUS$/TM 0.50 0.52 0.52 0.51 0.51 0.53 0.50 0.52 0.52 0.51

MMUS$/Año 51.4 53.5 53.5 52.4 52.4 54.5 51.4 53.5 53.5 52.4Inv. de Prod. en Procesos (10 días)

TM/DC 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448 2,448TM/DO 2,720 2,720 2,720 2,720 2,720 2,720 2,720 2,720 2,720 2,720

MTM/Año 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27MUS$/TM 0.68 0.71 0.71 0.69 0.69 0.72 0.68 0.71 0.71 0.69

MMUS$/Año 18.6 19.2 19.2 18.9 18.9 19.6 18.6 19.2 19.2 18.9Inv. de Prod. Terminados (25 días)

TM/DC 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800 1,800TM/DO 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000

MTM/Año 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50MUS$/TM 1.05 1.09 1.09 1.07 1.07 1.10 1.05 1.09 1.09 1.07

MMUS$/Año 52.6 54.3 54.3 53.5 53.5 55.2 52.6 54.3 54.3 53.5Cuentas por Cobrar (15 días)

MUS$/DC 2,160 2,196 2,214 2,250 2,214 2,196 2,214 2,250 2,214 2,232MMUS$/Año 32.4 32.9 33.2 33.7 33.2 32.9 33.2 33.7 33.2 33.5

ACTIVO CIRCULANTE (MMUS$) 155.0 160.0 160.2 158.5 158.0 162.2 155.8 160.8 160.2 158.3PASIVO CIRCULANTECuentas por Pagar (20 días)

MUS$/DC 1,542 1,604 1,604 1,573 1,573 1,635 1,542 1,604 1,604 1,573MMUS$/Año 30.8 32.1 32.1 31.5 31.5 32.7 30.8 32.1 32.1 31.5

CAPITAL DE TRABAJOMMUS$/Año 124.1 127.9 128.2 127.1 126.5 129.5 124.9 128.7 128.2 126.8

Δ CAPITAL DE TRABAJOMMUS$/Año 124.1 3.8 0.3 -1.1 -0.5 3.0 -4.6 3.8 -0.5 -128.2

43


En el capital de trabajo se determina el requerimiento tanto en unidades de volumen como en dinero. El activo circulante conformado por los inventarios y cuentas por cobrar implican una carga para el proyecto, puesto que se utilizan recursos (se efectúa inversión para conformarlos) para generarlos y son recuperados totalmente recién en el período de liquidación (año 10).

Las cuentas por pagar que forman parte del pasivo circulante implica un ingreso al proyecto. La inversión en capital de trabajo está dado por el activo circulante menos el pasivo circulante.




Estado de Ganancias y Pérdidas Proyectado - Evaluación Económica(MMUS$ de 0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ingresos 788.4 801.5 808.1 821.2 808.1 801.5 808.1 821.2 808.1 814.7

EgresosMateria Prima 562.9 585.4 585.4 574.2 574.2 596.7 562.9 585.4 585.4 574.2Costos Variables 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0Costos Fijos 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2

Gastos de Producción 691.1 713.7 713.7 702.4 702.4 724.9 691.1 713.7 713.7 702.4Utilidad Bruta 97.3 87.9 94.4 118.8 105.7 76.6 117.0 107.6 94.4 112.3Gastos Administrativos 7.9 8.0 8.1 8.2 8.1 8.0 8.1 8.2 8.1 8.1Gastos de Ventas 3.9 4.0 4.0 4.1 4.0 4.0 4.0 4.1 4.0 4.1Utilidad de Operación 85.4 75.9 82.3 106.5 93.6 64.6 104.8 95.3 82.3 100.1

Depreciación 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6Renta Neta 71.8 62.3 68.7 92.9 80.0 51.0 91.2 81.7 68.7 86.5Impuesto a la Renta 21.5 18.7 20.6 27.9 24.0 15.3 27.4 24.5 20.6 25.9Utilidad Neta 50.3 43.6 48.1 65.0 56.0 35.7 63.9 57.2 48.1 60.5

Reserva Legal 5.0 4.4 4.8 6.5 5.6 3.6 6.4 5.7 4.8 6.1Utilidad Retenida 0.5 0.4 0.5 0.7 4.0 0.4 0.6 0.6 0.5 0.6

Dividendos 44.7 38.8 42.8 57.9 46.3 31.8 56.8 50.9 42.8 53.9Pérdida 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


El Estado de Ganancias y Pérdidas ha sido preparado para el período de operación del proyecto (años 1 al 10), los gastos financieros (intereses) no son considerados por tratarse de evaluación económica y que si se tendrán en cuenta para la evaluación financiera.

Apréciese que para determinar la renta neta se resta la depreciación de la utilidad de operación, de esta manera la depreciación origina un menor pago de impuesto a la renta. La utilidad neta se distribuye en reserva legal, utilidad retenida y dividendos; si la utilidad neta hubiera sido negativa está se cargaría a pérdidas.




Flujo de Caja Proyectado - Evaluación Económica(MMUS$ de 0)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10InversiónCapital Fijo 136.0Δ Capital de Trabajo 124.1 3.8 0.3 -1.1 -0.5 3.0 -4.6 3.8 -0.5 -128.2

Total Inversión 136.0 124.1 3.8 0.3 -1.1 -0.5 3.0 -4.6 3.8 -0.5 -128.2Utilidad Neta 50.3 43.6 48.1 65.0 56.0 35.7 63.9 57.2 48.1 60.5

Depreciación 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6

Flujo Neto de Fondos -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3Aportes 136.0 60.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Dividendos 0.0 0.0 44.7 38.8 42.8 57.9 46.3 31.8 56.8 50.9 42.8Saldo Anual 0.0 0.0 8.7 22.7 36.9 12.2 0.0 50.3 10.2 11.4 159.5

Caja Acumulada 0.0 0.0 8.7 31.3 68.2 80.5 80.5 130.7 140.9 152.3 311.7


En el flujo de caja se aprecia, en el rubro inversión, que todo el capital de trabajo se recupera en el año de liquidación (año 10), también se observa que no hay valor de rescate puesto que toda la inversión en capital fijo es depreciada. Si hubiera valor de rescate se reportaría con signo negativo en el año 10 (rubro inversión propia).

El flujo neto de fondos, si es positivo, se distribuye en dividendos y saldo de caja anual, los dividendos corresponden al del Estado de Ganancias y Pérdidas del año anterior ya que los resultados de un ejercicio económico serán conocidos sólo cuando dicho ejercicio termine, en otras palabras al inicio del siguiente ejercicio.

Si el FNF es negativo y la caja residual nula debe ser cubierto por aportes, en el caso que la caja residual sea positiva y mayor que el valor absoluto del FNF se cubrirá con la caja residual. En el año cero el FNF es negativo y debe ser cubierto con aportes para evitar que la caja residual sea negativa, los aportes no necesariamente tienen que ser igual al valor absoluto del FNF sino que pueden ser mayores, en cuyo caso generarán caja residual.



Flujo Neto de de Fondos - Evaluación Económica(MMUS$ del Año 0)


-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

44



Balance General Proyectado - Evaluación Económica(MMUS$ de 0)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ActivoCaja Banco 0.0 0.0 8.7 31.3 68.2 80.5 80.5 130.7 140.9 152.3 311.7Inventario de Materia Prima 51.4 53.5 53.5 52.4 52.4 54.5 51.4 53.5 53.5 0.0Inv. de Productos en Proceso 18.6 19.2 19.2 18.9 18.9 19.6 18.6 19.2 19.2 0.0Inv. de Productos Terminados 52.6 54.3 54.3 53.5 53.5 55.2 52.6 54.3 54.3 0.0Cuentas por Cobrar 32.4 32.9 33.2 33.7 33.2 32.9 33.2 33.7 33.2 0.0Activo e Intangibles Netos 136.0 122.4 108.8 95.2 81.6 68.0 54.4 40.8 27.2 13.6 0.0

Total Activo 136.0 277.4 277.4 286.7 308.4 306.5 297.0 327.3 328.9 326.1 311.7

Pasivo Corto PlazoCuentas por Pagar 30.8 32.1 32.1 31.5 31.5 32.7 30.8 32.1 32.1 0.0

Dividendos 44.7 38.8 42.8 57.9 46.3 31.8 56.8 50.9 42.8 53.9Patrimonio

Capital Social 136.0 196.2 196.2 196.2 196.2 196.2 196.2 196.2 196.2 196.2 196.2Reserva Legal Acumulada 5.0 9.4 14.2 20.7 26.3 29.9 36.3 42.0 46.8 52.8

Utilidad Retenida Acumulada 0.5 0.9 1.4 2.1 6.1 6.5 7.1 7.7 8.2 8.8Perdida Acumulada 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Total Pasivo 136.0 277.4 277.4 286.7 308.4 306.5 297.0 327.3 328.9 326.1 311.7


El Balance General Proyectado se ha elaborado para el último día de cada año. En el año 10 (liquidación) se recupera todo el capital de trabajo (ver Flujo de Caja), por lo que en el Balancetodos los componentes del capital de trabajo (activos y pasivos circulantes) aparecen con valor cero.




Estado de Ganancias y Pérdidas Proyectado - Evaluación Financiera(MMUS$ de 0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ingresos 788.4 801.5 808.1 821.2 808.1 801.5 808.1 821.2 808.1 814.7

EgresosMateria Prima 562.9 585.4 585.4 574.2 574.2 596.7 562.9 585.4 585.4 574.2Costos Variables 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0 108.0Costos Fijos 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2 20.2

Gastos de Producción 691.1 713.7 713.7 702.4 702.4 724.9 691.1 713.7 713.7 702.4Utilidad Bruta 97.3 87.9 94.4 118.8 105.7 76.6 117.0 107.6 94.4 112.3Gastos Administrativos 7.9 8.0 8.1 8.2 8.1 8.0 8.1 8.2 8.1 8.1Gastos de Ventas 3.9 4.0 4.0 4.1 4.0 4.0 4.0 4.1 4.0 4.1Utilidad de Operación 85.4 75.9 82.3 106.5 93.6 64.6 104.8 95.3 82.3 100.1Gastos Financieros 5.8 4.2 2.7 1.3Depreciación 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6Renta Neta 66.1 58.1 66.1 91.6 80.0 51.0 91.2 81.7 68.7 86.5Impuesto a la Renta 19.8 17.4 19.8 27.5 24.0 15.3 27.4 24.5 20.6 25.9Utilidad Neta 46.2 40.7 46.2 64.1 56.0 35.7 63.9 57.2 48.1 60.5

Reserva Legal 4.6 4.1 4.6 6.4 5.6 3.6 6.4 5.7 4.8 6.1Utilidad Retenida 5.0 0.4 0.5 0.6 4.0 0.4 0.6 0.6 0.5 0.6

Dividendos 36.6 36.2 41.2 57.1 46.3 31.8 56.8 50.9 42.8 53.9Pérdida 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


El Estado de Ganancias y Pérdidas financiero es idéntico al económico hasta la utilidad de operación; la renta neta financiera es menor que la económica originando un menor pago de impuesto a la renta. En la distribución de la utilidad neta para el año 1, aparentemente hay un error puesto que la utilidad retenida no es el 1% de la utilidad neta. La distribución correcta sería:

Utilidad Neta 46.2Reserva Legal 4.6Utilidad Retenida 0.5Dividendos 41.1

Los dividendos del año 1 serán pagados en el año 2, y estarán limitados por la disponibilidad de caja es este año. En el Flujo de Caja del año 2 sólo se dispone de 36.6 MMUS$, por lo que el pago de dividendos correspondiente al año 1 no podría ser mayor que esta cantidad; pasando el remanente de utilidad neta a utilidad retenida.




Flujo de Caja Proyectado - Evaluación Financiera(MMUS$ de 0)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10InversiónCapital Fijo Propio 76.0Amortización de la Deuda 14.4 13.9 13.3 12.8Δ Capital de Trabajo 124.1 3.8 0.3 -1.1 -0.5 3.0 -4.6 3.8 -0.5 -128.2

Total Inversión 76.0 138.5 17.6 13.6 11.8 -0.5 3.0 -4.6 3.8 -0.5 -128.2Utilidad Neta 46.2 40.7 46.2 64.1 56.0 35.7 63.9 57.2 48.1 60.5Depreciación 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6Flujo Neto de Fondos -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3

Aportes 76.0 78.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Dividendos 0.0 0.0 36.6 36.2 41.2 57.1 46.3 31.8 56.8 50.9 42.8

Saldo Anual 0.0 0.0 0.0 10.0 24.8 13.0 0.0 50.3 10.2 11.4 159.5Caja Acumulada 0.0 0.0 0.0 10.0 34.9 47.9 47.9 98.2 108.3 119.7 279.2


En el Flujo de Caja para evaluación financiera la inversión propia en capital fijo es la inversión total en capital fijo menos el préstamo (136 - 60 = 76). El préstamo de 60 MUS$ es reemplazado por el rubro de amortización de la deuda expresado en moneda constante.

El capital de trabajo y depreciación son los mismos que para evaluación económica ya que estos rubros no cambian con el financiamiento. El flujo neto de fondos financiero es idéntico al económico a partir del año 5, dado que el financiamiento sólo afecta los año del 0 al 4.


45


Flujo Neto de Fondos - Evaluación Financiera(MMUS$ del Año 0)


-80

-30

20

70

120

170

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Estados Financieros ProyectadosBalance General Proyectado - Evaluación Financiera

(MMUS$ de 0)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ActivoCaja Banco 0.0 0.0 0.0 10.0 34.9 47.9 47.9 98.2 108.3 119.7 279.2Inventario de Materia Prima 51.4 53.5 53.5 52.4 52.4 54.5 51.4 53.5 53.5 0.0Inv. de Productos en Proceso 18.6 19.2 19.2 18.9 18.9 19.6 18.6 19.2 19.2 0.0Inv. de Productos Terminados 52.6 54.3 54.3 53.5 53.5 55.2 52.6 54.3 54.3 0.0Cuentas por Cobrar 32.4 32.9 33.2 33.7 33.2 32.9 33.2 33.7 33.2 0.0Activo e Intangibles Netos 136.0 122.4 108.8 95.2 81.6 68.0 54.4 40.8 27.2 13.6 0.0

Total Activo 136.0 277.4 268.8 265.5 275.0 273.9 264.5 294.8 296.3 293.5 279.2Pasivo Corto Plazo

Cuentas por Pagar 30.8 32.1 32.1 31.5 31.5 32.7 30.8 32.1 32.1 0.0Amortización de la Deuda 15.0 15.0 15.0 15.0

Dividendos 36.6 36.2 41.2 57.1 46.3 31.8 56.8 50.9 42.8 53.9Pasivo a Largo Plazo

Deuda 45.0 30.0 15.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Patrimonio

Capital Social 76.0 154.7 154.7 154.7 154.7 154.7 154.7 154.7 154.7 154.7 154.7Reserva Legal Acumulada 4.6 8.7 13.3 19.7 25.3 28.9 35.3 41.0 45.8 51.9

Utilidad Retenida Acumulada 5.0 5.4 5.9 6.5 10.5 10.9 11.5 12.1 12.6 13.2Perdida Acumulada 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Ajuste por Inflación 0.0 0.6 1.7 3.4 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6 5.6Total Pasivo 136.0 277.4 268.8 265.5 275.0 273.9 264.5 294.8 296.3 293.5 279.2


En el balance general para evaluación financiera se aprecia, en el pasivo, que los rubros de amortización de la deuda (corto plazo) y deuda (largo plazo) están expresados en moneda corriente y que la suma de ambos representa el saldo de la deuda. Para corregir lo anterior se introduce el ajuste por inflación acumulado, que viene a ser la diferencia de la amortizaciones corriente y real (moneda constante). Cuando el ajuste por inflación es positivo implica, para el proyecto, una ganancia por inflación.



La salud financiera de un proyecto o empresa en marcha se mide mediante el uso de índices conocidos como razones o ratios financieros. La información necesaria para calcular los índices financieros se obtienen de los estados financieros, los ratios financieros se dividen según su función y/o uso en:

• Índices de rentabilidad• Índices de operación o actividad • Índices de apalancamiento• Índices de liquidez

RAZONES FINANCIERAS


Sirven para determinar la rentabilidad de la empresa y se cuentaprincipalmente con los siguientes Índices:

Margen sobre las ventas.- Mide que porción de las ventas se ha convertido en utilidades antes de impuestos (renta neta) o utilidad neta (utilidad después de impuestos) y que proporcionan el margen de rentabilidad. Este índice también muestra la sensibilidad de la rentabilidad a los ingresos por ventas y a los costos o egresos.

Renta NetaMargen Antes de Impuestos = · 100

Ventas

Utilidad NetaMargen después de impuestos = · 100

Ventas

Índices de Rentabilidad


Rentabilidad sobre Activos.- Mide el rendimiento de los activos o la recuperación de la inversión en activos, para que el indicador sea comparable se utiliza la renta neta antes de descontarle los gastos financieros (Utilidad antes de impuestos e intereses que viene a ser la renta neta económica). Mide la rentabilidad de la operaciones intrínsecas de la empresa o proyecto, sin ninguna distorsión debido a factores fiscales y/o financiamiento externo.

Renta Neta EconómicaRentabilidad sobre Activos = · 100

Activos Totales

Rentabilidad sobre el Patrimonio.- Mide la rentabilidad sobre el aporte propio e indica que tan bien esta utilizando la empresa o proyecto los fondos de los accionistas.

Utilidad NetaRentabilidad sobre el patrimonio = · 100

Patrimonio


46


Ejemplo 9.2.- Determinar los índices de rentabilidad del problema del Ejemplo 9.1

Solución: Toda la información necesaria se obtiene de los estados financieros.


MMUS$ del Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Ingresos 788.4 801.5 808.1 821.2 808.1 801.5 808.1 821.2 808.1 814.7 2. Utilidad Neta Económica 50.3 43.6 48.1 65.0 56.0 35.7 63.9 57.2 48.1 60.5 3. Utilidad Neta Financiera 46.2 40.7 46.2 64.1 56.0 35.7 63.9 57.2 48.1 60.5 4. Renta Neta Económica 71.8 62.3 68.7 92.9 80.0 51.0 91.2 81.7 68.7 86.5 5. Activos (Ev. Económica) 277.4 277.4 286.7 308.4 306.5 297.0 327.3 328.9 326.1 311.7 6. Patrimonio (Ev. Económica) 201.8 206.6 211.9 219.0 228.7 232.6 239.6 245.9 251.2 257.8 7. Patrimonio (Ev. Financiera) 164.3 168.8 173.9 180.9 190.6 194.5 201.5 207.8 213.1 219.8 Margén sobre Ventas (% )

Ev. Económica (2)/(1) 6.4 5.4 6.0 7.9 6.9 4.5 7.9 7.0 6.0 7.4Ev. Financiera (3)/(1) 5.9 5.1 5.7 7.8 6.9 4.5 7.9 7.0 6.0 7.4

Rentabilidad sobre Activos (% ) (4)/(5)

25.9 22.4 24.0 30.1 26.1 17.2 27.9 24.8 21.1 27.7

Rentabilidad sobre Capital Contable (% )



Los índices de actividad muestran lo bien que son utilizados los activos por una empresa o proyecto. El uso no apropiado e ineficiente de los activos origina la necesidad de mayor financiamiento, costos financieros innecesarios y bajo rendimiento sobre el capital empleado. Valores bajos de los índices de actividad o un deterioro en su valor podrían reflejar cuentas por cobrar incobrables o inventarios y/o equipos obsoletos.

Rotación de Activos Totales.- Mide la eficiencia que posee una empresa para utilizar sus activos totales, muestra cuantas veces se han vendido en un año montos equivalentes al valor de los activos totales. Es muy útil utilizar los índices de rotación para cada tipo de activo, ya que el uso de activos totales podría ocultar problemas importantes en algunas categorías de activos específicos.

VentasRotación de Activos Totales =

Total Activo

Índices de Operación o Actividad


Rotación de Activos Fijos.- Mide la eficiencia en el uso del capital fijo neto (activo fijo e intangibles), muestra cuantas veces se han vendido en un año montos equivalentes a al valor del capital fijo neto.

VentasRotación de Activo Neto =

Capital Fijo Neto

Rotación de Inventarios.- Este índice informa que tan bien están siendo utilizados los inventarios, los cuales deben ser valorizados a su costo de producción y no a su precio de venta. Muestra cuantas veces, en un año, se han vendido los inventarios.

Costo de lo VendidoRotación de Inventarios =

Inventarios

El concepto de costo de lo vendido es el mismo que gasto de producción.



Plazo Promedio de Cobro.- Este índice permite tener información de las ventas al crédito, proporciona el período promedio entre la venta y su cobro en efectivo (denominado cuentas por cobrar).

Cuentas por CobrarPlazo Promedio de Cobro =

Ventas Diarias

Ejemplo 9.3.- Determinar los índices de actividad del problema del Ejemplo 9.1





MMUS$ del Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Ventas 788.4 801.5 808.1 821.2 808.1 801.5 808.1 821.2 808.1 814.7 2. Venta diaria 2.16 2.20 2.21 2.25 2.21 2.20 2.21 2.25 2.21 2.23 3. Capital Fijo Neto 122.4 108.8 95.2 81.6 68.0 54.4 40.8 27.2 13.6 0.0 4. Activo Total (Ev. Económica) 277.4 277.4 286.7 308.4 306.5 297.0 327.3 328.9 326.1 311.7 5. Activo Total (Ev. Financiera) 277.4 268.8 265.5 275.0 273.9 264.5 294.8 296.3 293.5 279.2 6. Inventarios 122.6 127.0 127.0 124.8 124.8 129.2 122.6 127.0 127.0 0.0 7. Costo de lo Vendido 704.7 727.3 727.3 716.0 716.0 738.5 704.7 727.3 727.3 716.0 8. Cuentas por Cobrar 32.4 32.9 33.2 33.7 33.2 32.9 33.2 33.7 33.2 33.5 Rotación de Capital Fijo (1)/(3) 6.44 7.37 8.49 10.06 11.88 14.73 19.81 30.19 59.42 Rotación de Activo Total


Rotación de Inventarios (7)/(6) 5.75 5.73 5.73 5.74 5.74 5.71 5.75 5.73 5.73 Plazo Promedio de Cobro (días) (8)/(2)

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15


Estos índices muestran que tan sano es el financiamiento en una empresa y miden la relación entre los recursos suministrados por los acreedores y los fondos proporcionados por los propietarios (patrimonio).

Índice de Endeudamiento.- Muestra cuanto de los activos totales ha sido financiado por acreedores (Pasivo total menos patrimonio).

Pasivo Total menos PatrimonioÍndice de Endeudamiento = · 100

Activo Total

Veces Ganados los Intereses.- Muestra la eficiencia de la empresa o proyecto para hacer frente a los pagos de intereses.

Utilidad antes de Imp. e Int.Veces Ganados los Intereses = · 100

Intereses pagados

La utilidad antes de intereses viene a ser la Utilidad de operación, recuérdese que la depreciación de activo fijo y amortización de intangibles forman parte de los gastos de ventas ya que son componentes del costo de manufactura.

Índices de Apalancamiento

47


Cobertura de Pagos Fijos.- Es muy parecido al índice de Veces Ganados los Intereses, a diferencia que este considera los pagos de arrendamiento bajo contrato ya que son tan obligatorios como losintereses.

Utilidad de Op. más ArrendamientoCobertura de Pagos Fijos = · 100

Intereses + Arrendamiento pagados

Plazo de Pago a Proveedores.- Determina el número de días en promedio que utiliza la empresa para pagar a sus proveedores y muestra el nivel de dependencia de la empresa al financiamiento por parte de sus proveedores. No olvidar que el crédito de los proveedores es gratis y desde este punto de vista es atractivo que el plazo sea grande.

Cuentas por PagarPlazo de Pago a Proveedores = · 100

Compras diarias



Ejemplo 9.4.- Determinar los índices de apalancamiento del problema del Ejemplo 9.1



MMUS$ del Año 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Activo Total (Ev. Económica) 136.0 277.4 277.4 286.7 308.4 306.5 297.0 327.3 328.9 326.1 311.7 2. Activo Total (Ev. Financiera) 136.0 277.4 268.8 265.5 275.0 273.9 264.5 294.8 296.3 293.5 279.2 3. Pasivo (sin Patrimonio) Evaluación Económica

0.0 75.6 70.9 74.9 89.4 77.8 64.5 87.7 83.0 74.9 53.9

4. Pasivo (sin Patrimonio) Evaluación Financiera

60.0 112.5 98.3 88.2 88.6 77.8 64.5 87.7 83.0 74.9 53.9

5. Utilidad Antes de Intereses e impuestos

71.8 62.3 68.7 92.9 80.0 51.0 91.2 81.7 68.7 86.5

6. Gastos Financieros 5.8 4.2 2.7 1.3 7. Cuentas por Pagar 30.84 32.08 32.08 31.46 31.46 32.70 30.84 32.08 32.08 31.46 8. Compra diaria promedio 1.54 1.60 1.60 1.57 1.57 1.63 1.54 1.60 1.60 1.57 Indice de Endeudamiento(% )

Ev. Económica (3)/(1) 0.00 27.25 25.54 26.12 28.98 25.39 21.70 26.79 25.23 22.97 17.28Ev. Financiera (4)/(2) 44.12 40.55 36.56 33.24 32.20 28.40 24.37 29.75 28.00 25.51 19.29

Veces Ganados los Intereses (6)/(5)

12.45 14.96 25.77 72.47

Plazo de Pago a Proveedores (días) (7)/(8)

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20


Miden la capacidad de la empresa para honrar sus obligaciones financiera a medida que estas se vuelven de corto plazo, en otras palabras mide la solvencia de la empresa.

Razón de Corto Plazo (Índice de Liquidez).- Mide la relación entre el activo (recursos) y pasivo (obligaciones) circulantes.

Activo CirculanteRazón de Corto Plazo =

Pasivo Circulante

Razón de Alta Disponibilidad (Prueba Ácida).- Es muy similar al índice anterior pero se excluye del activo circulante a los inventarios.

Activo Circulante menos InventariosRazón de Alta Disponibilidad =

Pasivo Circulante

Índices de Liquidez


Ejemplo 9.5.- Determinar los índices de liquidez del problema del Ejemplo 9.1


Índices de Liquidez

MMUS$ del Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Activo Circulante 155.0 160.0 160.2 158.5 158.0 162.2 155.8 160.8 160.2 158.3 2. Pasivo Circulante 30.8 32.1 32.1 31.5 31.5 32.7 30.8 32.1 32.1 31.5 3. Activo Circulante menos Inventarios

32.4 32.9 33.2 33.7 33.2 32.9 33.2 33.7 33.2 33.5

Índice de Liquidez (1)/(2) 5.02 4.99 4.99 5.04 5.02 4.96 5.05 5.01 4.99 5.03 Razón de alta Disponibilidad (3)/(2)

1.05 1.03 1.04 1.07 1.06 1.01 1.08 1.05 1.04 1.06


10

CRITERIOS DE EVALUACION DE INVERSIONES


Fundamento: Los indicadores de rentabilidad se determinan con los Estados Financieros Proyectados. En general una inversión serárentable cuando genera más dinero de lo que cuesta y más de lo que rinde la actividad corriente.

.

Criterios de Evaluación de Inversiones

Actividad Corriente Proyecto 1 Proyecto 2

US$

Inversión Ingresos Netos Ganancia o Rentabilidad

48


Los principales criterios de evaluación de inversiones son los siguientes:

• Valor Presente Neto (VPN) o Valor Actual Neto (VAN).• Tasa Interna de Retorno (TIR).• Relación Beneficio/Costo (B/C).• Índice del Valor Presente (IVP) o Índice del Valor Actual (IVA).• Valor Presente Neto Acumulado (VPNA)• Período de Recupero.

Todos los criterios comparan flujos presentes con futuros, el tiempo es una variable importante, y por lo tanto dichos flujos no son comparables numéricamente. Para hacerlos comparables y efectuar operaciones de sumas o restas con los flujos es necesario homogenizarlos o uniformizarlos y esto se logra mediante la utilización de la Tasa de Descuento.

Criterios de Evaluación de Inversiones


La Tasa de Descuento es la mínima rentabilidad que debe tener un proyecto para que sea aceptado (sea considerado rentable), proyectos con rentabilidad menores que la Tasa de Descuento son rechazados.

También se le puede definir como la rentabilidad de la actividad base o corriente o el costo medio de las diferentes fuentes de financiamiento que utiliza el proyecto, el más alto de los dos.

Tasa de descuento real : TDR (moneda constante)

Tasa de descuento corriente: TDC (moneda corriente)

1 + TDCTDR = - 1

1 + π

Tasa de Descuento (TD) o Costo de Capital (COK)


El VPN es la suma de los FNF actualizados con la TD, para todo el horizonte de planeamiento. Es equivalente a la cantidad de dinero que hoy ingresaría a caja después de cubrir todos los costes y gastos (inversión, costes operativos, administrativos, financieros, tributos, etc.) si se realiza el proyecto.

Es una medida absoluta de la rentabilidad y es utilizado para determina rentabilidad, escala óptima y fija prioridad.

FNF0 FNF1 FNF2 FNF3 FNFNVPN TD, 0 = + + + + . . . . . +

(1+TD)0 (1+TD)1 (1+TD)2 (1+TD)3 (1+TD)N

N FNFJVPN TD, 0 = Σ

J=0 (1+TD)J

Sí el VPN está expresado en moneda constante debe usarse la TDR y si está expresado en moneda corriente debe usarse la TDC .

Valor Presente Neto (VPN o VAN)


CRITERIO: Si el VPN > 0, el proyecto es rentable.

El concepto del VPN se interpreta como la cantidad de dinero que se recibiría en el año de actualización (normalmente el año 0) y que es totalmente equivalente a los flujos de dinero que ocurrirían de hacerse el proyecto durante su horizonte de planeamiento.


1 2 3 4 N-1 N

0

0 1 2 3 4 N-1 N

FNF1 FNF2 FNF3 FNF4 FNFN-1 FNFN

FNF0

=

VPN


Ejemplo.- Determinar el Valor Presente Neto de las evaluaciones económica y financiera del proyecto del Ejemplo 9.1, considerar 15%/año como Tasa de Descuento real.

Solución: A continuación se detallan los FNF's para evaluación económica (sin financiamiento) y para evaluación financiera, expresados en MMUS$ de 0.

Evaluación Económica: Utilizando la ecuación 10.2 en el Flujo Neto de Fondos Económico.

-136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1VPN 15%, 0 = + + + + + +

(1.15)0 (1.15)1 (1.15)2 (1.15)3 (1.15)4 (1.15)5

46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 + + + + = 113.32

(1.15)6 (1.15)7 (1.15)8 (1.15)9 (1.15)10


202.362.267.082.046.370.166.046.236.6-78.7-76.0Ev. Financiera

202.362.267.082.046.370.179.761.453.4-60.2-136.0Ev. Económica

109876543210MMUS$ de 0


VPN 15%, 0 = 113.32 MMUS$ del Año 0

Dado que el VPN Económico es mayor que cero, el proyecto es rentable desde el punto de vista económico. Ejecutar el proyecto es equivalente a recibir (cantidad neta) 113.32 MMUS$ en el año 0.

El Perfil:

Es equivalente a:

.


2 3 4 5 6 7 8 9 100 1

53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3

136.0 60.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

113.32

49


Evaluación Financiera: Utilizando la ecuación 10.2 en el Flujo Neto de Fondos Financiero.

-76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1VPN 15%, 0 = + + + + + +

(1.15)0 (1.15)1 (1.15)2 (1.15)3 (1.15)4 (1.15)5

46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 + + + + = 126.64

(1.15)6 (1.15)7 (1.15)8 (1.15)9 (1.15)10

VPN 15%, 0 = 126.64 MMUS$ del Año 0

Dado que el VPN Financiero es mayor que cero, el proyecto es rentable desde el punto de vista financiero. Ejecutar el proyecto es equivalente a recibir (cantidad neta) 126.64 MMUS$ en el año 0.

También se aprecia el efecto favorable de la palanca financiera, el VPN financiero es casi 12% mayor que el económico.



El Perfil:

Es equivalente a:


2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3

76.0 78.7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

126.64


Ejemplo: Determinar el VPN a diferentes tasas del siguiente perfil de FNF:

0 1 2 -100 61 80FNF (100) 61 80 VPNT, 0 = + +

(1+T)0 (1+T)1 (1+T)2

T(%) VPN T, 00 41.05 30.7

10 21.615 13.520 6.125 0.030 -5.735 -10.9

Solo si la TD es menor que 25% el proyecto es rentable


-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 15 10 15 20 25 30 35

T (%)

VPN

T, 0

ProyectoRentable

Proyecto noRentable


Es aquella tasa que hace que el VPN sea cero. Es un indicador relativo que mide rentabilidad.

N FNFJVPN TIR, 0 = 0 = Σ

J=0 (1+TIR)J

CRITERIO: Sí la TIR > TD el proyecto es rentable.

Tal como está escrita la formula de la TIR, en su cálculo se asume que todos los VPN´s se vuelven a invertir (reinversión total), situación totalmente teórica, esto representa una limitación del criterio de la TIR. Otra limitante para la aplicación del criterio de la TIR es cuando hay más de una solución positiva para la TIR.

La TIR se utiliza para medir rentabilidad y fija prioridad, tener presente que es una medida relativa y por lo tanto no es un criterio definitivo cuando se estudian alternativas mutuamente excluyentes.

Tasa Interna de Retorno (TIR)


Si el VPN está en moneda constante se determinará la TIR R y si está expresado en moneda corriente se determinará la TIRC, la relación entre estas dos tasas está dada por la siguiente relación:

1 + TIR C

TIR R = - 11 + π



La TIR es una medida de rentabilidad relativa, y muchas veces elcriterio no se puede utilizar en razón a la existencia de varías soluciones (varias TIR´s) de la ecuación de la TIR.

-20

-10

0

10

20

30

40

0 20 40 60 80

Tasa (%)

VPN

a la

Tas

a

ProyectoRentable

ProyectoRentable

Proyectono rentable

Proyectono rentable


50


Ejemplo.- Determinar la Tasa Interna de Retorno de las evaluaciones económica y financiera del proyecto del Ejemplo 9.1.

Evaluación Económica: Utilizando la ecuación de la TIR en el Flujo Neto de Fondos Económico.

-136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.10 = + + + + + +

(1+TIR)0 (1+TIR)1 (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)5

46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 + + + +

(1+TIR)6 (1+TIR)7 (1+TIR)8 (1+TIR)9 (1+TIR)10

TIRE = 26.1%

Dado que la TIR Económica (TIRE) es mayor que la Tasa de Descuento (15%), se concluye que el proyecto es rentable desde el punto de vista económico; esto es sin considerar financiamiento.



Evaluación Financiera: Utilizando la ecuación de la TIR en el Flujo Neto de Fondos Financiero.

-76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.10 = + + + + + +

(1+TIR)0 (1+TIR)1 (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)5

46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 + + + +

(1+TIR)6 (1+TIR)7 (1+TIR)8 (1+TIR)9 (1+TIR)10

TIRF = 29.9%

Dado que la TIR Financiera (TIRF) es mayor que la Tasa de Descuento (15%), se concluye que el proyecto es rentable desde el punto de vista financiero. Comparando las TIR Económica y Financiera, también se aprecia la mejora en la rentabilidad por efecto de la palanca financiera.



Es la relación del Valor Presente de los Ingresos y el Valor Presente de los Egresos, mide rentabilidad y prioridad.

FNFJ = IngJ - EgrJ

VPN = VPIng - VPEgr

VPIng TD, 0 Σ IngJ / (1+TD) J

B/C TD = =VPEgr TD, 0 Σ EgrJ / (1+TD) J

CRITERIO: Si B/C > 1 el proyecto es rentable.

La relación B/C indica cuanto dinero ingresa al proyecto por cada unidad monetaria que sale.

Relación Beneficio/Costo (B/C)


Ejemplo.- Determinar la relación Beneficio/Costo para las evaluaciones económica y financiera del proyecto del Ejemplo 9.1, use 15%/año como Tasa de Descuento real.

Solución: Evaluación Económica: Dado que se conocen los FNF y los Ingresos (Beneficios), se utilizará la ecuaciones del Valor Presente.

VPIngresos 15%, 0 = VPB 15%, 0 = 4,044.2 MMUS$ del Año 0

VPCostos 15%, 0 = VPC 15%, 0 = 3,930.9 MMUS$ del Año 0

VPB 15%, 0 4,044.2Relación B/C 15% = = = 1.029

VPC 15%, 0 3,930.9

Al resultar la relación B/C Económica mayor que 1.0, se concluye que el proyecto es rentable desde el punto de vista económico.


202.362.267.082.046.370.179.761.453.4-60.2-136.0FNF

612.4745.9754.2726.1755.2738.0741.5746.7748.1848.6136.0Costos

814.7808.1821.3808.1801.5808.1821.3808.1801.5788.4Ingresos

109876543210MM US$ de 0


Evaluación Financiera: Los ingresos (Beneficios) no dependen del financiamiento, sólo se afectan los egresos (Costos):

VPCostos 15%, 0 = VPC 15%, 0 = 3,917.5 MMUS$ del Año 0

VPB 15%, 0 4,044.2Relación B/C 15% = = = 1.032

VPC 15%, 0 3,917.5

Dado que la relación B/C Financiera es mayor que 1.0, se concluye que el proyecto es rentable desde el punto de vista financiero. Al igual que en los indicadores del VPN y la TIR se aprecia que la Relación B/C financiera es mayor que la económica, por efecto de la palanca financiera.


202.362.267.082.046.370.166.046.236.6-78.7-76.0FNF

612.4745.9754.2726.1755.2738.0755.3761.9764.9867.176.0Costos

814.7808.1821.3808.1801.5808.1821.3808.1801.5788.4Ingresos

109876543210MM US$ de 0


Es la relación entre el VPN y el VP de la inversión, mide rentabilidad y prioridad.

VPN TD, 0 Σ FNFJ / (1+TD) J

IVP TD = =VPInv TD, 0 Σ InvJ / (1+TD) J

CRITERIO: Si IVP > 0 el proyecto es rentable.

El IVP nos señala cuanta rentabilidad (medido en dinero) es generada por cada unidad monetaria invertida.

Índice del Valor Presente (IVP, IVA)

51


Ejemplo.- Determinar el Índice del Valor Presente para las evaluaciones económica y financiera del proyecto del Ejemplo 9.1, utilice 15%/año como Tasa de Descuento real.

Solución: El Flujo de Inversiones para las evaluaciones económica y financiera extraídos de sus respectivos flujos de caja son:

Los VPN's para las evaluaciones económica y financiera ya fueron calculados, sólo es necesario calcular el Valor Presente de la Inversiones.


-128.2-0.53.8-4.63.0-0.511.813.617.6138.576.0InversiónFinanciera

-128.2-0.53.8-4.63.0-0.5-1.10.33.8124.1136.0InversiónEconómica

109876543210MM US$ de 0


Evaluación Económica:

136.0 124.1 3.8 0.3 (1.1) (0.5)VPInv 15%, 0 = + + + + + +

(1.15)0 (1.15)1 (1.15)2 (1.15)3 (1.15)4 (1.15)5

3.0 (4.6) 3.8 (0.5) (128.2)+ + + +

(1.15)6 (1.15)7 (1.15)8 (1.15)9 (1.15)10

VPInv 15%, 0 = 215.0 MMUS$ del Año 0

VPN 15%, 0 113.3IVP 15% = = = 0.527

VPInv 15%, 0 215.0

Dado que el IVP es mayor que cero, el proyecto es rentable desde el punto de vista económico. Si la inversión del proyecto es realizado con recursos propios (evaluación económica), cada dólar invertido generará un retorno neto de 0.527 dólares.



Evaluación Financiera:

76.0 138.5 17.6 13.6 11.8 (0.5)VPInv 15%, 0 = + + + + + +

(1.15)0 (1.15)1 (1.15)2 (1.15)3 (1.15)4 (1.15)5

3.0 (4.6) 3.8 (0.5) (128.2)+ + + +

(1.15)6 (1.15)7 (1.15)8 (1.15)9 (1.15)10

VPInv 15%, 0 = 194.2 MMUS$ del Año 0

VPN 15%, 0 126.64IVP 15% = = = 0.652

VPInv 15%, 0 194.2

Dado que el IVP es mayor que cero el proyecto es rentable desde el punto de vista financiero. De la comparación de resultados se aprecia el efecto de la palanca financiera, El IVP financiero es superior que el económico por más de 20%. Si la inversión es financiada cada dólar correspondiente a los recursos propios generará 0.652 dólares de rentabilidad.



Es el VPN de los primeros k años del proyecto ( 0 < k < N), mide la evaluación de la rentabilidad.

FNF0 FNF1 FNF2 FNF3 . . . . . . . . FNFN-1 FNFN

VPNA TD, 0, 1

VPNA TD, 0, 2

VPNA TD, 0, 3

VPNA TD, 0, N-1

VPNA TD, 0, N = VPN TD, 0

Valor Presente Neto Acumulado (VPNA)


Ejemplo.- Determinar el VPNA para las evaluaciones económica y financiera del proyecto del Ejemplo 9.1, utilice 15%/año como Tasa de Descuento real.

Solución: Evaluación Económica: Con los FNF determinados en el Flujo de Caja Económico se determina el VPNA con la ecuación 10.10 y se considera 15% como Tasa de Descuento. A continuación se muestra los resultados del cálculo del VPNA.

Se aprecia el progreso de la rentabilidad económica (VPNA) con el transcurso de los años, se observa que el VPNA es negativo hasta el año 6, después es positivo, lo que quiere decir que recién después del año 6 se genera rentabilidad.


113.363.345.623.7-7.1-27.2-62.0-107.6-148.0-188.4-136.0VPNA 15%, 0, J

202.362.267.082.046.370.179.761.453.4-60.2-136.0FNF

109876543210MM US$ de 0

Año J




-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Año J

VPN

A 15

%, 0

, J

52


Evaluación Financiera: Efectuando el mismo cálculo para el FNF financiero se determina el Valor Presente Neto Acumulado Financiero, que a continuación se detalla:

Se aprecia el incremento de la rentabilidad (VPNA) financiero, se aprecia que el VPNA es negativo hasta el año 5, pasando a ser positivo en el año 6.

Valor Presente Neto Acumulado (VPA)

126.776.759.037.16.3-13.7-48.6-86.3-116.7-144.4-76.0VPNA 15%, 0, J

202.362.267.082.046.370.166.046.236.6-78.7-76.0FNF

109876543210MM US$ de 0

Año J




-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Año J

VPN

A 15

%, 0

, J


Es el tiempo en el que el VPNA se hace cero, nos indica cuanto tiempo se debe operar para recuperar la inversión.

Nos señala a partir de que momento se obtiene rentabilidad, antes de este período el VPNA es negativo (Pérdida).

Periodo de Recupero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10VPN

A TD

, 0

Periodo deRecupero


Ejemplo.- Determinar el Período de Recupero para las evaluaciones económica y financiera del proyecto del Ejemplo 9.1, utilice 15%/año como Tasa de Descuento real.

Solución: En las Figuras siguientes de los VPNA Económico y Financiero se muestran el período de recupero para la evaluaciones económica y financiera respectivamente.

En el caso de evaluación económica se aprecia que el período de recupero es de 6 años 3 meses y para la evaluación financiera de 5 años 8 meses. También en este indicador se muestra la ventaja del financiamiento (palanca financiera).

Período de Recupero




-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Año J

VPN

A 15

%, 0

, J

Periodo deRecupero

(6 años 3 meses)




-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Año J

VPN

A 15

%, 0

, J

Periodo deRecupero

(5 años 8 meses)

53


La TMIR no es un indicador de rentabilidad y se le utiliza para optimizar la rentabilidad de los proyectos, y sirve para determinar el tamaño (escala) óptimo y el momento óptimo para liquidar un proyecto.

TAMAÑO OPTIMO: La TMIR es la TIR de la inversión incremental (para llegar de Q1 a Q2 , siendo Q1 < Q2 ). Será atractivo pasar de Q1 a Q2 siempre y cuando la TMIR sea superior o igual a la TD.

N FNFBJ - FNFA

J

0 = Σ TMIRB/A = 46.0%J=0 (1+TMIRB/A) J

Criterio: El tamaño óptimo se determina cuando: TMIR = TD.

Tasa Marginal Interna de Retorno (TMIR)

FNFMMUS$ de 0 0 1 2 3Proyecto A -100 60 80 90 88.28 51.8Proyecto B -150 80 130 130 127.84 49.8

B-A -50 20 50 40 39.56 46.0

VPN 10%, 0 TIR (%)


MOMENTO OPTIMO DE LIQUIDAR: La TMIR es la TIR que se obtiene por el período (mes, año, etc) adicional de operación (pasar del periodo N al periodo N+1). Este criterio se aplica, generalmente, a los proyectos cíclicos (granjas, agricultura, etc.) y hay dos tipos de Liquidación (retiro definitivo de la actividad o continuar en la actividad)

TMIRB/A = TMIR 4/3 = 350.0%

CRITERIOS:1. Retiro de la Actividad: El Momento óptimo de liquidación se determina

cuando: TMIR = TD.2. Continuación en la Actividad: El Momento óptimo de liquidación se

determina cuando: TMIR = TIR.


FNFMMUS$ de 0 0 1 2 3 4Proyecto A -100 40 60 80 46.1 31.7Proyecto B -100 40 60 60 90 92.5 42.6

B-A 0 0 0 -20 90 46.4 350.0

VPN 10%, 0 TIR (%)


CURVA TÍPICA DE LA TIR Y TMIR


Tamaño o Tiempo

Tasa

(%)

TMIR

TIR

* La TMIR se cruza con la TIR enel valor máximo de la TIR.


Ejemplo : Determinación del Tamaño Óptimo : Determinar el tamaño óptimo para una planta, a continuación se detalla el VPN para cada tamaño expresado en MMUS$ de 0:

Se aprecia que la máxima rentabilidad ocurre entre los tamaños Q5 y Q6, precisamente cuando la TMIR es igual a la TD.


Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q70 -150 -170 -190 -210 -230 -250 -2701 30 36 44 50 54 57 592 32 38 46 53 57 60 623 33 40 49 55 60 63 654 35 42 51 58 63 66 685 36 44 53 61 66 69 726 38 46 56 64 69 73 757 40 48 59 67 72 76 798 42 51 62 70 76 80 879 44 53 65 74 80 84 8710 47 56 68 78 84 88 92

VPN15%, 0 29.2 45.7 72.7 89.3 93.6 90.3 83.6TIR (%) 19.5 21.2 23.6 24.5 24.1 23.2 22.0

TMIR QJ/QJ-1 (%) 32.5 42.5 32.6 20.0 10.8 6.9


Determinación del Tamaño Óptimo


5

10

15

20

25

30

35

40

45

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7

Tasa

(%)

20

30

40

50

60

70

80

90

100

VPN

TIR

VPN

TMIR

TD

Q Óptimo


Ejemplo: Momento Óptimo de Liquidación: Se tiene un proyecto de crianza de animales. Determinar el momento óptimo de venta de los animales, a continuación los VPN para cada mes de liquidación:

En caso de liquidar el proyecto pero continuar en la actividad, la liquidación sería en el mes 8 (TIR = TMIR), pero si se retira de la actividad la liquidación sería el mes 9 (TMIR = TD).


Mes de Venta - J MMUS$ de 0 5 6 7 8 9 10

0 -100 -100 -100 -100 -100 -1001 -5 -5 -5 -5 -5 -52 -11 -11 -11 -11 -11 -113 -17 -17 -17 -17 -17 -174 -23 -23 -23 -23 -23 -235 230 -29 -29 -29 -29 -296 325 -36 -36 -36 -367 420 -43 -43 -438 527 -44 -449 628 -5610 735

VPN10%, 0 0.7 23.3 35.1 43.3 43.3 36.6TIR (%) 10.1 13.2 13.8 13.8 13.2 12.3

TMIR J/J-1 (%) 25.5 16.3 13.8 10.0 7.5

54


Determinación del Momento Óptimo de Liquidación


0

5

10

15

20

25

5 6 7 8 9 10Mes de Liquidación

Tasa

(%)

0

10

20

30

40

50

VPNTIR

VPNTMIR

TD

Liquidación y Continua en la

Actividad TMIR = TIR

Liquidación y Retiro de la Actividad TMIR = TD


El VPNI se utiliza para determinar el momento óptimo para invertir, es el VPN de la diferencia entre invertir el próximo año e invertir este año.

N+1 FNFBJ - FNFA

J

VPNI TD, 0 = ΣJ=0 (1+TD)J

CRITERIO: Si el VPNI > 0 el proyecto debe ser postergado.

Valor Presente Neto Incremental (VPNI)

0 1 2 3 N-1 N N+1Invertir

HoyProyecto A

FNFA0 FNFA

1 FNFA2 FNFA

3 FNFAN-1 FNFA

N

Invertir Mañana

Proyecto BFNFB

1 FNFB2 FNFB

3 FNFBN-1 FNFB

N FNFBN+1


Simplificación:

El período de pre-operación es 1 año.

Los FNF son independientes de cuando se inicia el proyecto (año de operación).

N es muy grande y hace FNFN+1 / (1+TD)N+1 sea despreciable.

FNF 0 - FNF 1VPNI TD, 0 = - FNF 0 +

(1+ TD)

De donde resulta sí:

TD > - FNF1 / FNF 0 Postergar el proyecto e invertir en el año 1.

TD < - FNF 1 / FNF 0 Invertir en el año 0.

Valor Presente Neto Incremental (VPNI)


Muchas veces se presentan discrepancias entre los dos indicadores de rentabilidad más utilizados (VPN y TIR), esto ocurre cuando se debe elegir entre dos o más proyectos, mientras un indicador recomienda realizar un proyecto el otro indicador recomienda uno distinto. A continuación un ejemplo de discrepancia.

Según el criterio del VPN el proyecto B es mejor, pero según el criterio de la TIR el proyecto A es mejor.

VPN A < VPN B Se recomienda el proyecto B

TIR A > TIR B Se recomienda el proyecto A

Discrepancia entre el VPN y la TIR

FNF (MMUS$ de 0) 0 1 2 3 VPN10%,0 TIR(%) Proyecto A -80 50 40 40 28.6 30.3Proyecto B -100 50 50 65 35.6 28.4


Evaluación del VPN a diferentes tasas del ejemplo anterior:

.

TD (%) 0 5 10 15 20 25 30 35VPNA

TD, 0 50.0 38.5 28.6 20.0 12.6 6.1 0.3 -4.8VPNB

TD, 0 65.0 49.1 35.6 24.0 14.0 5.3 -2.4 -9.1


-10

0

10

20

30

40

50

5 10 15 20 25 30 35

Tasa

VPN

VPNB10%, 0

VPNA10%, 0

TIRA

TIRB


Razones de la Discrepancia

Cuando la discrepancia se da por diferencia de escala o perfil prevalece el criterio de VPN.


3. Diferencia de Horizonte de Planeamiento o número de años de operación.

A B

2. Diferencia de Perfil:

A B

1. Diferencia de Escala o Tamaño (Inversión):

A B

55


Discrepancia por Diferencia de Tamaño y/o Perfil

Se cuentan con dos proyectos A y B de diferentes perfiles y tamaños, determinar cual de ellos es el más rentable si la TD es 10%/año.

Si alguien decide por el criterio de la TIR elegiría el proyecto A, se le propone un nuevo proyecto C (B-A) y como tiene un VPN positivo y TIR mayor que 10% (TD) es aceptado.

Seleccionado inicialmente: ATambién se elige: CTotal elegido: A + C = A + B - A = B

Al final se elige el proyecto B, de mayor VPN, prevalece el Criterio del VPN.


FNFMMUS$ de 0 0 1 2 3 4Proyecto A -100 40 40 40 45 30.2 23.1Proyecto B -150 35 60 60 85 34.5 18.9

Proyecto C = B-A -50 -5 20 20 40 4.3 12.8

VPN 10%, 0 TIR (%)


Discrepancia por Diferencia de Horizonte de Planeamiento

Los VPN´s no son comparables, el VPNA es valido para 4 años de operación y el VPNB es válido para 5 años. Para resolver la discrepancia entre el VPN y la TIR por diferencia de horizonte de planeamiento existen los tres métodos siguientes:

• Multiplicación de los proyectos para que terminen el mismo año.• Valor Presente Neto Ajustado (VPN*)• Factor de Recuperación de Capital (FRK)


B:0

1 2 3 4 5 0

VPNB

2 3 4 51

A:0

1 2 3 4 0

VPNA

1 2 3 4


Multiplicación de los Proyectos

.

Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

AA2

A3

A4

A5

BB2

B3

B4


Ejemplo de Discrepancia por Diferencia de H/P: Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos VPN se muestran a continuación, determinar que proyecto es el mejor:

El proyecto A tiene 3 años de operación y el proyecto B, 4 años. La tasa de descuento es 10%.

Solución: Cálculo del VPN y la TIR de cada Proyecto:

Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR. El VPN de A es para 3 años de operación mientras que el de B es para 4 años, razón por la cual no se pueden comparar.

FNFMMUS$ de 0 0 1 2 3 4Proyecto A -100 45 55 55Proyecto B -120 35 45 55 60


Proyecto A 27.69 24.6 3Proyecto B 31.31 20.5 4

VPN 10%, 0

(MMUS$ de 0)TIR (%)

Años de Operación (a)


Para levantar la discrepancia multiplicaremos los proyectos para que ambos terminen el mismo año. El proyecto A lo multiplicaremos por 4 y B por 3, de esta manera habrá un total de 12 años de operación en ambos proyectos:

Se aprecia que el proyecto A es mejor que B, también se puede observar que al multiplicar los proyectos para que tengan el mismo numero de años de operación, la discrepancia entre el VPN y la TIR desaparece.


Proyecto A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A -100 45 55 55A2 -100 45 55 55A3 -100 45 55 55A4 -100 45 55 55

Total A -100 45 55 -45 45 55 -45 45 55 -45 45 55 55

VPN 10%, 0 = 75.86 TIR (%) 24.6

Proyecto B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B -120 35 45 55 60B2 -120 35 45 55 60B3 -120 35 45 55 60

Total B -120 35 45 55 -60 35 45 55 -60 35 45 55 60

VPN 10%, 0 = 67.30 TIR (%) 20.5


Valor Presente Neto Ajustado (VPN*)

Consiste en multiplicar todos los proyecto por infinito y de esta manera nos aseguramos que todos ellos tengan el mismo número de años de operación (infinito).

El VPN* viene a ser el Valor Presente de los VPN´s, apréciese que es una serie uniforme de flujos espaciados por “a” años y su correspondiente Valor Presente se calculará como un anualidad de periodicidad “a”.


0 1 … … a a+1 … … 2a 2a+1 … … 3a 3a+1 … … 4a 4a+1 … … 5a

FNF

AA2

A3

A4

A5

Equivalente a

VPN VPN VPN VPN VPN

a años a años a años a años a años

OO

56



VPN VPN VPN VPN VPNVPN* TD, 0, a = + + + + + . . . . .

(1+TD)0 (1+TD)a (1+TD)2a (1+TD)3a (1+TD)4a

N VPNVPN* TD, 0, a = Σ

J=0 (1+TD)J a

(1+TD)a

VPN* TD, 0, a = VPNTD, 0 a: Años de Operación

(1+TD)a - 1

El proyecto que se elija será aquel que tenga el más alto VPN*, obsérvese los parámetros del VPN *: Año al cual se le actualiza (generalmente el año cero), la Tasa de Descuento y el número de años de operación (a).


Ejemplo de Discrepancia por Diferencia de H/P: Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos FNF se muestran a continuación, determinar que proyecto es el mejor:



Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR. El VPN de A es para 3 años de operación mientras que el de B es para 4 años, razón por la cual no se pueden comparar. Para hacerlos comparables determinaremos el VNP* para cada uno de ellos.




VPN 10%, 0

(MMUS$ de 0)TIR (%)



Proyecto A:

(1+0.10)3

VPN* 10%, 0, 3 = 27.69(1+0.10)3 - 1

VPN* 10%, 0, 3 = 111.3

Proyecto B:

(1+0.10)4

VPN* 10%, 0, 4 = 31.31(1+0.10)4 - 1

VPN* 10%, 0, 4 = 98.8

Se aprecia que el Proyecto A es mejor que el proyecto B.



Factor de Recuperación de Capital (FRK)

Para hacer comparables los VPN´s hay que expresarlos en un mismo número de años de operación (VPN anualizado) conocido como Factor de Recuperación de Capital (FRK) que síes comparable por estar en base anual.

La selección se realiza por aquel proyecto que cuente con el mayor FRK (VPN anualizado):

(1+TD)a TDFRK TD, a = VPNTD, 0 a: Años de Operación

(1+TD)a - 1

Discrepancia entre el VPN y la TIR– Diferencia de HP

VPNA

VPNB

543210

0

43210 1 2 3 4

01 2 3 4 5

FRKA FRKA FRKA FRKA

FRKB FRKB FRKB FRKB FRKB


Ejemplo de Discrepancia por Diferencia de H/P: Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos VPN se muestran a continuación, determinar que proyecto es el mejor.:



Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR. El VPN de A es para 3 años de operación mientras que el de B es para 4 años, razón por la cual no se pueden comparar.


Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de HP


VPN 10%, 0

(MMUS$ de 0)TIR (%)



Para hacerlos comparables debemos expresarlos en la misma base, esto es VPN por año de operación (VPN anualizado, también conocido como FRK)

(1.1)3 0.1A: FRK10%, 3 = 27.69 = 11.13 MMUS$ de 0/Año

(1.1)3 - 1

(1.1)4 0.1B: FRK10%, 4 = 31.31 = 9.88 MMUS$ de 0/Año

(1.1)4 - 1

El proyecto A es mejor, por tener un mayor VPN anualizado (FRK).

Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de HP

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11

SELECCION DE ALTERNATIVAS DEREEMPLAZO


Es una herramienta muy útil que permite operar con los equipos que originan el mínimo costo o egreso. En las plantas industriales se efectúan reemplazos de equipos antiguos básicamente por las razones siguientes:

• Altos costos de mantenimiento y/o operativos,• Baja eficiencia,• Períodos continuos de mantenimiento y• Obsolescencia.

Generalmente los equipos nuevos o aquellos que reemplazarán a los antiguos prestarán los mismos servicios que los equipos reemplazados, razón por la cual no se genera ingresos adicionales sino ahorros o disminución de costos.

Dado que no habrá modificación en los ingresos, la selección realiza desde el punto de vista de costos, y la mejor alternativa será aquella que representen menores costos.

Selección de Alternativas de Reemplazo


Partiremos de la ecuación del Flujo Neto de Fondos:

FNFi = (INGi -EGi -Di) * (1 - t ) + Di + VSi - INVi

Eliminando los ingresos de la ecuación anterior y cambiando de signo para obtener el Flujo de Egresos.

FEGi = (EGi) * (1-t) - t * Di - VSi + INVi

Donde:i Año ( 0, 1, 2, 3, ..., n)FEG Flujo EgresosEG Egresos (Gastos de Producción, Administrativos y Ventas) D Depreciaciónt Tasa ImpositivaVS Valor de RescateINV Inversión

El Valor de Salvamento (VS) es el flujo de dinero que ingresaría a la empresa por venta de los equipos usados y no el valor en libros de estos activos.



Un efecto que no debe perderse de vista es que si se vende el activo usado a un precio superior al valor en libros, se deberá pagar impuesto a la renta por el mayor valor (Precio de Venta - Valor en Libros)

Valor en Libros: 100 MUS$Precio de Venta: 120 MUS$Mayor Valor: 20 MUS$

Deberá efectuarse un pago de impuesto a la renta por los 20 MUS$.

Si se vende el activo usado a un precio inferior al valor en libros, se deberáconsiderarse el escudo fiscal generado por el menor valor (Precio de Venta -Valor en Libros) y que se traduce en un menor pago de impuesto a la renta

Valor en Libros: 150 MUS$Precio de Venta: 120 MUS$Menor Valor: 30 MUS$

Deberá efectuarse un menor pago de impuesto a la renta por los 30 MUS$.



El resultado de la evaluación dependerá si existe impuesto a la renta o no, en caso de no existir la depreciación no será un elemento que influya en el resultado.

Todo ingreso o ahorro deberá ser considerado, en el flujo de egresos, como un egreso negativo.

Dependiendo del caso, la formula del FEG se modifica para t = 0 (sin impuesto a la renta) y t = valor (con impuesto a la renta).

• Sin Impuesto a la Renta: FEGi = EGi - VSi + INVi

• Con Impuesto a la Renta: FEGi = EGi * (1-t) - t * Di - VSi + INVi

Normalmente el resultado (la selección de la alternativa) no cambia pero hay excepciones por lo que es recomendable hacer ambos análisis.



Método del Valor Presente

Se aplica en alternativas que tienen los mismos años de operación y es conocido el perfil de egresos para todo el horizonte. El flujo de egresos se convierte en el valor presente de egresos. La mejor alternativa es aquella cuyo valor presente de egresos (costos) sea el menor.

Flujo de Egresos (FEgr i)

Se convierten en el Valor Presente de Egresos:

.


0 1 2 3 4 5 .... N

0 1 2 3 4 5 .... N

VP Egr TD, 0

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Ejemplo: Selección de Equipos

Una refinería debe instalar un sistema de filtración y se tiene dos alternativa: El Plan A utiliza un filtro prensa de placas y el Plan B utiliza un filtro continuo, ambos sistema operarán por 10 años. Determinar cual de los sistemas debe elegirse si el costo del capital (TD) es 10%/año.

Se asumirá que la inversión se realiza en el año 0 y que el valor de rescate se recupera en el último año de operación (año 10) y que la depreciación es lineal. Resolveremos el problema para los dos escenarios: con y sin impuesto a la renta.


Plan A Plan B Inversión 10,000 30,000 US$ de 0 Mano de Obra 18,600 11,000 US$ de 0/año Mantenimiento 800 3,000 US$ de 0/año Valor de rescate 600 1,000 US$ de 0


Tasa de Impuesto a la Renta = t = 0%

El plan B resulta más económico.


Plan A Plan BInversión Costos Depreciación FEgr Inversión Costos Depreciación FEgr

0 10,000 10,000 30,000 30,000 1 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 2 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 3 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 4 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 5 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 6 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 7 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 8 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000 9 19,400 940 19,400 14,000 2,900 14,000

10 (600) 19,400 940 18,800 (1,000) 14,000 2,900 13,000 VPEg 10%,0 128,973 VPEg 10%,0 115,638



El plan B resulta más económico, de la misma manera cuando t = 0%.

Conclusión: El egreso equivalente de comprar el Equipo A es mayor al de comprar el equipo B, es conveniente comprar el equipo B ya que significa un menor egreso de dinero.


Plan A Plan BInversión Costos Depreciación FEgr Inversión Costos Depreciación FEgr

0 10,000 10,000 30,000 30,000 1 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 2 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 3 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 4 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 5 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 6 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 7 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 8 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930 9 19,400 940 13,298 14,000 2,900 8,930

10 (600) 19,400 940 12,698 (1,000) 14,000 2,900 7,930 VPEg 10%,0 91,479 VPEg 10%,0 84,485


Ejemplo: Comprar o Reparar

Un equipo de servicio de pozos se encuentra malogrado y su valor en libros es 30 MUS$. Para operarlo nuevamente se requiere invertir 70 MUS$ (en el año 0) en reparaciones mayores. La reparación permitiráoperar 5 años más (1-5) al cabo del cual no tendrá valor residual, los costos de mantenimiento y operación serán de 30 MUS$/año. Puede ser reparado nuevamente al final de año 5 podrá operar 5 años más (6-10) para lo cual debe invertirse 60 MUS$ y los costos de operación y mantenimiento serán de 46 MUS$/año.

La alternativa es comprar un equipo nuevo cuyo costo instalado es de 160 MUS$. En este caso se revendería el equipo antiguo a 5 MUS$ (en el año 1). Después de 10 años de operación no tendrá valor residual y su costo de operación y mantenimiento será de 28 MUS$/año.

Determinar cuál de las posibilidades es más ventajosa para una tasa de descuento de 15%.



Depreciación en Reparar: Si se repara el equipo cuyo valor en libros es 30 MUS$ se invertirá 70 MUS$ y por lo tanto su valor en libros se incrementará a 100 MUS$ los cuales se depreciarán totalmente en cinco años.

D 1/5 = (70+30)/5 = 20

La reparación al final del año 5 (60 MUS$) será depreciada totalmente en los años 6 al 10.

D 6/10 = 60/5 = 12

Depreciación en Comprar: La inversión en el equipo nuevo se depreciará totalmente en los diez años de operación

D 1/10 = 160/10 = 16

De repararse el equipo, se dejará de percibir los 5 MUS$ en el año 1 por no venderlo.




La alternativa de reparar es más conveniente por ser la más barata.


Reparar ComprarInversión Costos Depreciación Fegr Inversión Costos Depreciación Fegr

0 70.0 70.0 160.0 160.0 1 5.0 30.0 20.0 35.0 28.0 16.0 28.0 2 30.0 20.0 30.0 28.0 16.0 28.0 3 30.0 20.0 30.0 28.0 16.0 28.0 4 30.0 20.0 30.0 28.0 16.0 28.0 5 60.0 30.0 20.0 90.0 28.0 16.0 28.0 6 46.0 12.0 46.0 28.0 16.0 28.0 7 46.0 12.0 46.0 28.0 16.0 28.0 8 46.0 12.0 46.0 28.0 16.0 28.0 9 46.0 12.0 46.0 28.0 16.0 28.0

10 46.0 12.0 46.0 28.0 16.0 28.0 VPEg 15%,0 281.4 VPEg 15%,0 300.5

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La alternativa de reparar es más conveniente por ser la más barata.

Conclusión: El egreso equivalente de reparar el equipo antiguo es menor que el de adquirir uno nuevo, es conveniente reparar el equipo antiguo ya que significa un menor egreso de dinero.


Reparar ComprarInversión Costos Depreciación Fegr Inversión Costos Depreciación Fegr

0 70.0 70.0 160.0 160.0 1 5.0 30.0 20.0 20.0 28.0 16.0 14.8 2 30.0 20.0 15.0 28.0 16.0 14.8 3 30.0 20.0 15.0 28.0 16.0 14.8 4 30.0 20.0 15.0 28.0 16.0 14.8 5 60.0 30.0 20.0 75.0 28.0 16.0 14.8 6 46.0 12.0 28.6 28.0 16.0 14.8 7 46.0 12.0 28.6 28.0 16.0 14.8 8 46.0 12.0 28.6 28.0 16.0 14.8 9 46.0 12.0 28.6 28.0 16.0 14.8

10 46.0 12.0 28.6 28.0 16.0 14.8 VPEg 15%,0 202.1 VPEg 15%,0 234.3


Ejemplo: Reparar o Alquilar

En una refinería hay un grupo de bombas malogradas cuyo valor en libros es cero, repararlas costaría 145 MUS$. Los costos de operación y mantenimiento serían 42 MUS$/año para los 5 años operación, después de los cuales tendrían 14.5 MUS$ como valor residual.

Existe la propuesta de alquilar bombas de las mismas características y cuyo costo de operación sería de 65 MUS$/año, esta cifra incluye los costos de mantenimiento. El costo de operación (energía eléctrica, lubricantes, refrigerante, etc.) de estas bombas asciende a 13 MUS$/año.

Determinar cuál de las alternativas es más atractiva. Utilizar 15% como tasa de descuento.



Depreciación en Reparar: Si se repara el grupo de bombas su valor en libros llegará a 145 MUS$, costo de la inversión en reparaciones mayores. Dicha inversión se depreciará en cinco años hasta llegar a una valor de rescate de 14.5 MUS$.

D 1/5 = (145.0 – 14.5)/5 = 26.1

Depreciación en Alquiler: En el caso de alquilar no existirá el cargo por depreciación, por no ser los dueños de los equipos.




La alternativa de alquilar es más conveniente que la de reparar, por ser la más barata.


Reparar AlquilarInversión Costos Depreciación Fegr Inversión Costos Depreciación Fegr

0 145.0 145.0 - 1 42.0 26.1 42.0 78.0 78.0 2 42.0 26.1 42.0 78.0 78.0 3 42.0 26.1 42.0 78.0 78.0 4 42.0 26.1 42.0 78.0 78.0 5 (14.5) 42.0 26.1 27.5 78.0 78.0

VPEg 15%,0 278.6 VPEg 15%,0 261.5



La alternativa de alquilar es más conveniente que la de reparar, similar resultado cuando la t = 0%.

Conclusión: El egreso equivalente de reparar el equipo antiguo es mayor que el de alquilar, es conveniente alquilar ya que significa un menor egreso de dinero.


Reparar AlquilarInversión Costos Depreciación Fegr Inversión Costos Depreciación Fegr

0 145.0 145.0 - 1 42.0 26.1 21.6 78.0 54.6 2 42.0 26.1 21.6 78.0 54.6 3 42.0 26.1 21.6 78.0 54.6 4 42.0 26.1 21.6 78.0 54.6 5 (14.5) 42.0 26.1 7.1 78.0 54.6

VPEg 15%,0 210.1 VPEg 15%,0 183.0


Ejemplo: Reemplazo por altos costos de Operación y Mantenimiento

Hace tres años se compró una bomba por 1300 US$, actualmente su valor en libros es 500 US$, sus costos de operación y mantenimiento son de 1000 US$/año y puede continuar operando durante cinco años más después de los cuales no tendrá valor de rescate.

Evaluar si es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva que cuesta 2000 US$, que tiene una vida útil de 5 años sin valor de rescate y cuyo costo anual de operación es de 400 US$/año.

Al adquirir la nueva bomba se venderá la antigua a 100 US$.

Asumir 15% como tasa de descuento.


60


El reemplazo de una bomba no requiere de un período largo para su cambio, por lo que se considerará un tiempo mínimo para este efecto.

Bomba Antigua: De continuar operando con la bomba antigua, la empresa dejará de recibir 100 US$ en el año 1 por no venderla (no los 500 US$ que es su valor en libros); este ingreso negativo se reporta como una inversión en el año 1.

D1/5 = 500/5= 100 US$/año.

Los 500 US$ de valor se depreciará en los 5 años siguientes.

Bomba Nueva: La inversión de 2000 US$ se depreciarátotalmente en 5 años.

D1/5 = 2000/5 = 400 US$/año.




Es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva.


Bomba Antigua Bomba NuevaInversión Costos Depreciación Fegr Inversión Costos Depreciación Fegr

01 100.0 1,000.0 100.0 1,100.0 2,000.0 400.0 400.0 2,400.0 2 1,000.0 100.0 1,000.0 400.0 400.0 400.0 3 1,000.0 100.0 1,000.0 400.0 400.0 400.0 4 1,000.0 100.0 1,000.0 400.0 400.0 400.0 5 1,000.0 100.0 1,000.0 400.0 400.0 400.0

VPEg 15%,0 3,439.1 VPEg 15%,0 3,080.0



Es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva, similar resultado cuanto la t = 0.

Conclusión: El egreso equivalente de comprar una bomba nueva ES menor al de seguir operando con la bomba existente, es conveniente reemplazar la bomba existente por una nueva.


Bomba Antigua Bomba NuevaInversión Costos Depreciación Fegr Inversión Costos Depreciación Fegr

01 100.0 1,000.0 100.0 770.0 2,000.0 400.0 400.0 2,160.0 2 1,000.0 100.0 670.0 400.0 400.0 160.0 3 1,000.0 100.0 670.0 400.0 400.0 160.0 4 1,000.0 100.0 670.0 400.0 400.0 160.0 5 1,000.0 100.0 670.0 400.0 400.0 160.0

VPEg 15%,0 2,332.9 VPEg 15%,0 2,275.5


Método del Costo Anualizado

Este método se aplica necesariamente cuando las alternativas que se comparan tienen diferentes tiempos de vida o de operación, en estos casos el VPEg no es aplicable para la toma de decisiones.

También se aplica en los casos en que no haya diferencia de tiempo de operación, para no abarcar todo el horizonte. En ambos casos es necesario calculara la anualidad de la inversión y del valor de rescate, y cualquier otro costo que no sea constante durante los años de operación del equipo.

La formula de anualidad es la siguiente:

(1+TD)a TDFRK TD, a = Anualidad TD, a = Inversión

(1+TD)a - 1

a: Número de Años de Operación



Ejemplo: Selección de Equipos

Una refinería debe instalar un sistema de filtración y se tiene dos alternativa: El Plan A utiliza un filtro prensa de placas y el Plan B utiliza un filtro continuo, ambos sistema operarán por 10 años. Determinar cual de los sistemas debe elegirse si el costo del capital (TD) es 10%/año.

Se asumirá que la inversión se realiza en el año 0 y que el valor de rescate se recupera en el último año de operación (año 10) y que la depreciación es lineal. Resolveremos el problema para los dos escenarios: con y sin impuesto a la renta.


Plan A Plan B Inversión 10,000 30,000 US$ de 0 Mano de Obra 18,600 11,000 US$ de 0/año Mantenimiento 800 3,000 US$ de 0/año Valor de rescate 600 1,000 US$ de 0


Determinación de la inversión y valor de rescate anualizados:

1.10 10 * 0.1Plan A: FRK 10%, 10 = (10000 – 600/1.1010) = 1589.8

1.10 10 - 1

1.10 10 * 0.1Plan B: FRK 10%, 10 = (30000 –1000/1.1010) = 4819.6

1.10 10 - 1

El egreso operativo se calcula mediante:

Egreso Operativo = Egreso (1 - t) – D t


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Se aprecia que el Plan B es más conveniente, en ambas evaluaciones, con y sin impuesto a la renta. Resultados similares se obtuvieron por el Método de Valor Presente de Egresos.


Sin Impuesto (t=0) Con Impuesto (t=30%)US$ de 0/año Plan A Plan B Plan A Plan B

Inversión Anualizada 1,589.8 4,819.6 1,589.8 4,819.6 Mantenimiento 18,600.0 11,000.0 18,600.0 11,000.0 Mano de Obra 800.0 3,000.0 800.0 3,000.0 Depreciación 940.0 2,900.0 940.0 2,900.0 Egreso Operativo 19,400.0 14,000.0 13,298.0 8,930.0 Egreso Total Anual 20,989.8 18,819.6 14,887.8 13,749.6


Ejemplo: Selección con diferente Horizonte de Planeamiento

Se requiere de un reactor para oxidar cera parafínica y producir ácidos grasos. Se disponen de dos alternativas. Alternativa A: Reactor de acero inoxidable de US$ 13000 de costo instalado, 2 años de vida y US$ 100 de valor de rescate y Alternativa B: Reactor de acero inoxidable revestido de fibra de vidrio de US$ 32000 de costo instalado, 6 años de vida y US$ 800 de valor de rescate.

El costo de mano de obra y costos operativos es similar para ambas alternativas, en el caso de la alternativa A se gastará US$ 500 en el segundo años de operación para mantenimiento, y en la alternativa B estos gastos serán de US$ 400 en el tercer año y 600 en el quinto año.

Se espera que el rendimiento en la alternativa B sea ligeramentesuperior, lo que equivale a US$ 400 anuales de incremento en lasutilidades. El costo del dinero es de 10%/año. Determinar cual de las alternativas es más atractiva, no considere impuesto a la renta.



Dado que años de operación son diferentes, es necesario determinar el egreso total anual. No es necesario calcular la depreciación ya que t=0%.

Se aprecia que es más conveniente adquirir el reactor de fibra de vidrio, por ser más económico.


Reactor de Acero Inoxidable Reactor de Fibra de VidrioInversión Costo Feg Inversión Mantenimiento Mejoras Feg

0 13,000 13,000 0 32,000 32,000 1 - 1 (400) (400) 2 (100) 500 400 2 (400) (400)

VPEg 10%, 0 13,331 3 400 (400) - FRK 10%, 2 7,681 4 (400) (400)

5 600 (400) 200 6 (800) (400) (1,200)

VPEg 10%, 0 30,479 FRK 10%, 6 6,998


Ejemplo: Selección con diferente Horizonte de Planeamiento

Se requiere transportar un material corrosivo por una tubería de 2 pulgadas de diámetro, se dispone de tres tipos de material (Acero al Carbono, Plomo y Monel), desde el punto de vista de costos y asumiendo 1%/mes como tasa de descuento, y que el espesor mínimo es la mitad del original, determinar cual de las alternativas es la que debe elegirse de acuerdo a la información siguiente:


Tubería Velocidad de Corrosión (pulgadas/año)

Espesor de la Tubería (pulgadas)

Costo Relativo (US$/metro)

Fierro 0.1190 0.218 16.0Plomo 0.0400 0.192 38.5Monel 0.0112 0.154 86.4


En la solución no se considerará impuesto a la renta, la vida de las tuberías es diferente y por lo tanto la inversión en ellas no es comparable y es necesario calcular la “anualidad” de las inversiones para compararlas y tomar la decisión.

Tubería de Fierro:

Operación = 12 * 0.50 * 0.218 / 0.119 = 11.0 meses

“Anualidad” (mensualidad) de la inversión:

1.01 11 * 0.01FRK 1%, 11 = 16.0 = 1.543 US$/mes

1.01 11 - 1



Tubería de Plomo:

Operación = 12*0.50*0.192/0.040 = 28.8 meses

1.01 28.8 * 0.01FRK 1%, 28.8 = 38.5 = 1.545 US$/mes

1.01 28.8 - 1

Tubería de Monel:

Operación = 12*0.50*0.154/0.0112 = 82.5 meses

1.01 82.5 * 0.01FRK 1%, 82.5 = 86.4 = 1.543 US$/mes

1.01 82.5 - 1

Prácticamente las tres alternativas son iguales, ligera ventaja muestran las tuberías de fierro y monel.


62


Vida Económica

Es el período en el cual se minimizan los costos de inversión, operación y mantenimiento de los equipos. Define el período de operación de los equipos.

Ejemplo: El costo de un compresor es de 30 MUS$ y tiene una vida útil de 10 años, los costos anuales de mantenimiento y operación se incrementan con el tiempo debido al envejecimiento del equipo, ydisminuye el Valor de Rescate (recuperado al año siguiente del último de operación). Los datos (expresados en MUS$) relativos a este equipo se muestran en la siguiente tabla:

¿Cada cuánto tiempo debe cambiarse el equipo?. Considere una tasa impositiva (t) de 30% y una Tasa de Descuento (TD) de 15%/año.


Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Costos Op. y Mant. 2.2 2.8 3.5 4.4 5.5 7.0 8.8 11.1 14.0 17.6 Valor de Rescate 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0


Solución: Es necesario construir la tabla de costos operativos, mantenimiento, inversión, valor de rescate y depreciación en base a la información proporcionada. El número de alternativas estará dado por la cantidad de posibles reemplazos antes que culmine su vida útil. En el ejemplo se cuenta con 10 alternativas.


Años de Operación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Inversión 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00

Valor residual 10.00 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 Depreciación 20.00 10.50 7.33 5.75 4.80 4.17 3.71 3.38 3.11 2.90

Costo operativo y de mantenimiento

1 2.20 2.20 2.20 2.20 2.20 2.20 2.20 2.20 2.20 2.20 2 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 3 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 4 4.40 4.40 4.40 4.40 4.40 4.40 4.40 5 5.50 5.50 5.50 5.50 5.50 5.50 6 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00 7 8.80 8.80 8.80 8.80 8 11.10 11.10 11.109 14.00 14.00

10 17.60


Flujo de Egresos

Se aprecia que el costo mínimo ocurre cuando el equipo se opera 7 años, esta es la vida económica del equipo.


Años de Operación --> J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 1 (4.46) (1.61) (0.66) (0.19) 0.10 0.29 0.43 0.53 0.61 0.67 2 (10.00) (1.19) (0.24) 0.24 0.52 0.71 0.85 0.95 1.03 1.09 3 (9.00) 0.25 0.73 1.01 1.20 1.34 1.44 1.52 1.58 4 (8.00) 1.36 1.64 1.83 1.97 2.07 2.15 2.21 5 (7.00) 2.41 2.60 2.74 2.84 2.92 2.98 6 (6.00) 3.65 3.79 3.89 3.97 4.03 7 (5.00) 5.05 5.15 5.23 5.29 8 (4.00) 6.76 6.84 6.90 9 (3.00) 8.87 8.93

10 (2.00) 11.45 11 (1.00)

VPEg 15%, 0 18.56 21.78 24.83 27.79 30.69 33.62 36.60 39.69 42.92 46.33 FRK 15%, J 21.34 13.40 10.88 9.73 9.15 8.88 8.80 8.84 8.99 9.23


Diagrama de Egresos Anualizados

La vida económica del equipo es 7 años.


8.5

8.7

8.9

9.1

9.3

9.5

9.7

9.9

4 5 6 7 8 9 10Año de Liquidación (Años de Operación)

FRK

de

Egre

sos

(Egr

eso

Anu

aliz

ado)

Vida Económica del Equipo


Ejemplo: Reemplazo Total o Parcial

Hace 4 años se instaló por 81 MUS$ un oxidador de asfaltos que aún puede continuar trabajando por 6 años, el costo anual de operación y mantenimiento es de 8 MUS$/año. Dadas las condiciones del mercado se debe duplicar la producción de asfaltos oxidados los próximos veinte años. Se puede instalar por 75 MUS$ una nueva unidad de igual capacidad que la existente y similares costos de operación y mantenimiento.

La instalación de una unidad de doble capacidad que la presente costaría 112 MUS$ y sus costos de operación y mantenimiento serían de 14 MUS$/año con una vida útil de 10 años. El oxidadoractual se puede vender hoy a 26 MUS$. En el momento de su retiro todas las unidades estudiadas tendrán un valor de rescate de 10% de su costo original. Asumir 15% como tasa de descuento y 30% como tasa impositiva.



La alternativa “A” será operar con el oxidador antiguo y uno nuevo de similar capacidad durante los próximos 6 años, el año 6 es último año de operación del antiguo equipo, y a partir del año 7 operarán en paralelo dos oxidadores nuevos de capacidad similar al antiguo.

La Alternativa “B” será operar con un nuevo oxidador del doble de capacidad que el antiguo, y se venderá el antiguo.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Alternativa A

Oxidador Antiguo qA qA qA qA qA qA qN qN qN qN

Nuevo de igual Capacidad

qN qN qN qN qN qN qN qN qN qN

Alternativa ANuevo de doble de

CapacidadQN QN QN QN QN QN QN QN QN QN

63


Alternativa “A”: Complementar Capacidad

Oxidador Antiguo: Operar con el oxidador antiguo implica que en el año 1 no se recibirá 26 MUS$ por no venderla y la depreciación será (81-8.1)/10=7.29 MUS$.

Continuar operando con el oxidador antiguo implica un egreso anual de 8.58 MUS$ durante los próximos 6 años.


Inversión Costos Depreciación Fegr01 26.00 8.00 7.29 29.41 2 8.00 7.29 3.41 3 8.00 7.29 3.41 4 8.00 7.29 3.41 5 8.00 7.29 3.41 6 8.00 7.29 3.41 7 (8.10) (8.10)

VPEg 15%, 0 32.48 FRK 15%, 6 8.58


Oxidador Nuevo de Similar Capacidad: D = (75-7.5)/10 = 6.75 MUS$/año.

El equipo nuevo de la misma capacidad que el oxidador antiguo generaráegresos anuales de 18.20 MUS$ durante los próximos 10 años.


Inversión Costos Depreciación Fegr0 75.0 75.0 1 8.00 6.75 3.58 2 8.00 6.75 3.58 3 8.00 6.75 3.58 4 8.00 6.75 3.58 5 8.00 6.75 3.58 6 8.00 6.75 3.58 7 8.00 6.75 3.58 8 8.00 6.75 3.58 9 8.00 6.75 3.58

10 8.00 6.75 3.58 11 (7.50) (7.50)

VPEg 15%, 0 91.33 FRK 15%, 6 18.20


Flujo de Egresos del Conjunto de la Alternativa “A”:

Esta alternativa implica un egreso anual de 30.58 MUS$ durante los próximos 20 años.


Oxidador 1 Oxidador 2 Total1 8.58 18.20 26.78 2 8.58 18.20 26.78 3 8.58 18.20 26.78 4 8.58 18.20 26.78 5 8.58 18.20 26.78 6 8.58 18.20 26.78 7 18.20 18.20 36.40 . 18.20 18.20 36.40 . 18.20 18.20 36.40

20 18.20 18.20 36.40 VPEg 15%, 0 191.42 FRK 15%, 20 30.58


Alternativa “B”: Reemplazo Total por Oxidador de Doble Capacidad

Esta alternativa implica un egreso anual de 28.61 MUS$ durante los proximos 20 años.


Inversión Costos Depreciación Fegr0 112.0 112.0 1 14.00 10.08 6.78 2 14.00 10.08 6.78 3 14.00 10.08 6.78 4 14.00 10.08 6.78 5 14.00 10.08 6.78 6 14.00 10.08 6.78 7 14.00 10.08 6.78 8 14.00 10.08 6.78 9 14.00 10.08 6.78 10 14.00 10.08 6.78 11 (11.20) (11.20)

VPEg 15%, 0 143.60 FRK 15%, 6 28.61


Conclusión.- Dado que los Egresos anualizados (FRK) de la alternativa A (30.58 MUS$/año) son mayores que los de B (28.61 MUS$/año), es conveniente vender el triturador antiguo y comprar uno nuevo del doble de capacidad.

La elección de la alternativa B generará un ahorro anual de 30.58-28.61=1.97 MUS$ durante los próximos 20 años.



Momento Óptimo para Reemplazar un Equipo

Este análisis se realiza cuando el equipo que viene operando está en condiciones de continuar trabajando pero existen en el mercado equipos que pueden prestar el mismo servicio y por sus mejores características, tienen costos de operación y mantenimiento inferiores. Se plantea varias alternativas que se caracterizarán por variar el tiempo de operación con el equipo antiguo antes de reemplazarlo por el nuevo.

A: Equipo Antiguo N: Equipo Nuevo


1 2 3 4 5Alternativa 1 A A A A AAlternativa 2 A A A A NAlternativa 3 A A A N NAlternativa 4 A A N N NAlternativa 5 A N N N NAlternativa 6 N N N N N

64


Ejemplo: Se estudia el reemplazo de un equipo que viene operando hace 4 años. El equipo puede operar 3 años más (años 1, 2 y 3) y sus costos de operación y de mantenimiento serán de 26.0, 28.0 y 30.0 MUS$/año respectivamente.

Si se adquiere uno nuevo en este momento (año 0), su costo será40 MUS$ y sus costos de operación y mantenimiento serán de 20.0 MUS$/año. Este equipo tiene una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de 10.0 MUS$. La compañía que vende el equipo nuevo pagará 9.0 MUS$ por el antiguo.

Si se demora la adquisición del equipo nuevo en 1, 2 ó 3 años el valor que se recibirá por la unidad actual será de 7.0, 5.0 y 3.0 MUS$ respectivamente. Considerar 2 MUS$/año como depreciación del equipo antiguo.

¿Cuándo se debe reemplazar el equipo? Asumir 30% de tasa de impuesto a la renta y 15% de tasa de descuento?.



Solución: Con el equipo antiguo se puede operar hasta el tercer año. Sea A el año en que se opera con el equipo antiguo y N con el nuevo.

En la matriz anterior se aprecia que la diferencia entre las cuatro alternativas son los tres primeros años de operación. Por lo tanto, bastará con analizar los tres primero años y elegir en base a este análisis la mejor alternativa.

En todas las alternativas lo que ocurra del año 4 para adelante es igual y en consecuencia no influyen en la decisión.


Alternativa 1 2 3 4 5A N N N N N Reemplazo en el año 1B A N N N N Reemplazo en el año 2C A A N N N Reemplazo en el año 3D A A A N N Reemplazo en el año 4


Un Año de Operación con el Equipo Antiguo

Dos Años de Operación con el Equipo Antiguo

Inversión Costos Depreciación Fegr0 9.0 9.0 1 (7.0) 26.0 2.0 10.6

VPEg 15%, 0 18.22 FRK 15%, 1 20.95


Inversión Costos Depreciación Fegr0 9.0 9.0 1 26.0 2.0 17.6 2 (5.0) 28.0 2.0 14.0

VPEg 15%, 0 34.89 FRK 15%, 2 21.46


Tres Años de Operación con el Equipo Antiguo


Inversión Costos Depreciación Fegr0 9.0 9.0 1 26.0 2.0 17.6 2 28.0 2.0 19.0 3 (3.0) 30.0 2.0 17.4

VPEg 15%, 0 50.11 FRK 15%, 3 21.95


Equipo Nuevo


Inversión Costos Depreciación Fegr0 40.0 40.0 1 20.0 6.0 12.2 2 20.0 6.0 12.2 3 20.0 6.0 12.2 4 20.0 6.0 12.2 5 (10.0) 20.0 6.0 2.2

VPEg 15%, 0 75.92 FRK 15%, 5 22.65


Flujo de Egresos de las Alternativas

Las cuatro alternativas se diferencian sólo en los tres primeros años (1, 2 y 3 ), a partir del cuarto año se operará con el equipo nuevo sea cual fuere la alternativa. Sólo es necesario construir perfil de egresos para los años 1, 2 y 3.

La alternativa que genera menos egresos a la empresa es la C, por lo tanto conviene operar con el equipo antiguo hasta el año 2 y el equipo nuevo iniciaría su operación en el año 3.


Alternativa 1 2 3 VPEg 15%, 0

A 22.65 22.65 22.65 51.71 B 20.95 22.65 22.65 50.24 C 21.46 21.46 22.65 49.78 D 21.95 21.95 21.95 50.11

65


Método de Alternativas Equivalentes

En algunas oportunidades resulta de suma importancia buscar las condiciones en que las alternativas resulten equivalentes.

A las condiciones y/o valor de las variables que hacen equivalentes a las diferentes alternativas se les conoce como puntos isocostos.

Muchas veces es necesario efectuar un análisis de este tipo, especialmente cuando una variable no es conocida, se busca el valor de dicha variable que hace que las alternativas sean equivalentes.



Ejemplo: Una planta de separación de líquidos de Gas Natural reemplazará los quemadores de un horno por otros de mejor rendimiento. Se dispone de dos alternativa cuyas características se muestran a continuación:

¿Cual sería la vida útil de la alternativa B, para que ambas sean equivalentes?. Considere como Tasa de Descuento 8%/año y cero de impuesto a la renta.


A BInversión 12,000 25,000 US$Costos Operativos 4,800 3,800 US$/añoValor de rescate 1,000 1,000 US$Vida Útil 10 ¿? Años


Solución: Las alternativas serán equivalentes si sus costos anualizados son iguales, sea N la Vida Útil de la Alternativa B.

Alternativa A:1.08 10 * 0.08

Costo anual = (12000 - 1000 / (1.08) 10 ) + 4800 = 6519.321.08 10 - 1

Alternativa B:1.08 N * 0.08

Costo anual = (25000 - 1000 / (1.08) N ) + 3800 = 6519.321.08 N - 1

Resolviendo: N = 16.9 años.

B deberá tener una vida útil igual 16.9 años, para que las alternativas sean equivalentes. Si la vida útil de B es menor, la alternativa A resulta más atractiva




N 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22FRK A

8%, 10 6,519 6,519 6,519 6,519 6,519 6,519 6,519 6,519 6,519 6,519 FRK B

8%, N 6,917 6,791 6,684 6,591 6,511 6,441 6,379 6,324 6,276 6,233

6200

6300

6400

6500

6600

6700

6800

6900

7000

13 15 17 19 21Vida Útil de la Alternativa B

Cos

to A

nual

izad

o

Alternativa B

Alternativa A

Equivalencia de las Alternativas


Ejemplo: Una planta de fuerza está estudiando la alternativa más ventajosa para generar electricidad, una es con motores Diesel yla otra es con turbinas de vapor. A continuación los datos relativos a dichas alternativas:

Ignore los efectos tributarios y determine el número de horas operativas que hace que las alternativas sean equivalentes, asuma 10%año como tasa de descuento.


Motores Diesel

Turbinas a Vapor

Inversión 160 120 US$/HpCostos Variable 0.004 0.006 US$/Hp-hrCostos Fijos 14% 14% InversiónValor de Rescate 16 12 US$/HpVida Útil 10 10 Años


Solución: Las alternativas serán equivalentes si sus costos anualizados son iguales, sea n las horas anuales de operación.

Motores Diesel:1.10 10 * 0.10

Costo anual = (160 - 16 / (1.10) 10) + 0.14*160 + 0.004 n1.10 10 - 1

Costo anual = 47.435 + 0.004 n US$/Hp-año

Turbinas a Vapor:1.10 10 * 0.10

Costo anual = (120 - 12 / (1.10) 10) + 0.14*120 + 0.006 n1.10 10 - 1

Costo anual = 35.577 + 0.006 n US$/Hp-año

Igualando: 47.435 + 0.004 n = 35.577 + 0.006 n n = 5929.4 horas.

Para que ambas alternativas sean equivalentes, las horas de operación al año deberán ser 5929.4, si es menor, será mas atractivo el uso de turbinas de vapor.


66



n 5000 5200 5400 5600 5800 6000 6200 6400 6600 6800FRK A

10%, 10 67.4 68.2 69.0 69.8 70.6 71.4 72.2 73.0 73.8 74.6FRK B

10%, N 65.6 66.8 68.0 69.2 70.4 71.6 72.8 74.0 75.2 76.4

65

67

69

71

73

75

77

5000 5500 6000 6500Horas Anuales de Operación

Cos

to A

nual

izad

o (U

S$/H

p-hr

)


Motor Diesel

Turbina a Vapor


Ejemplo: Se instaló un intercambiador de calor para recuperar energía a un costo de US$ 19600, con un rendimiento garantizado de 600000 Btu/hora. Después de las pruebas efectuadas se encontró que recupera el 95% de la energía garantizada. El costo de la energía es de 0.95 US$/10 6 BTU, el costo de capital 8%/año y 6 años de operación durante 7000 horas/año. Determinar cual deberá ser la penalidad a aplicarse en el precio del intercambiador debido a su menor eficiencia.

Solución:

Pérdidas = 600000*0.05* 0.95 US$/10 6 * 7000 = 199.5 US$/año

1.08 6 - 1VP Perdida 8%, 0 = 199.5 = 922.26 US$

1.08 6 * 0.08

Deberá penalizarse con US$ 922.26, esto es pagar por el intercambiadorUS$ 18677.74



Ejemplo: Se desea montar un sistema de bombeo y se cuentan con dos tipos de bombas cuyas características se resumen a continuación:

La potencia neta requerida es de 40 HP y el costo de la energía es de 0.16 US$/Kw-hr, la vida útil de los equipos es de 12 años y la tasa de descuento 12%año. Determinar cuantas horas de operación hacen equivalentes a ambas alternativas.


Bomba A Bomba B Inversión 12,000 17,000 US$ Eficiencia 86 90 % Costo de Operación y Mantenimiento 840 1,190 US$/año Valor de rescate 600 850 US$


Solución: Sea N las horas de operación por año.

Bomba A:

Costo Energía: (40*0.7457) * N * 0.16 /0.86 = 5.5494 N US$/año

Anualidad de la Inversión y Valor de Rescate:

1.12 12 * 0.12(INV+VS) 12%, 12 = (12000 - 600/1.1212 ) = 1912.38 US$/año

1.12 12 - 1

Costo Total = Energía + Inversión + Operación y Mantenimiento

Costo Total = 5.5494 N + 1912.38 + 840 = 2752.38 + 5.5494 N US/año



Bomba B:

Costo Energía: (40*0.7457) * N * 0.16 /0.90 = 5.3028 N US$/año

Anualidad de La Inversión y Valor de Rescate:

1.12 12 * 0.12(INV+VS) 12%, 12 = (17000 - 850/1.1212 ) = 2709.20 US$/año

1.12 12 - 1

Costo Total = 5.3028 N + 2709.20 + 1190 = 3899.20 + 5.3028 N US$/año

Igualando los costos anuales:

2752.38 + 5.5494 N = 3899.20 + 5.3028 N

N = 4650 horas.

Si la horas operativas son menores a 4650 horas, la Bomba A es mejor.




-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 5400

Horas Anuales de Operación

Cos

to A

nual

izad

o (B

-A)


N (Hrs Operativas) 4,000 4,200 4,400 4,600 4,800 5,000 5,200 5,400 Bomba A 24,959 26,069 27,180 28,290 29,400 30,511 31,621 32,731 Bomba B 25,119 26,180 27,241 28,302 29,363 30,424 31,485 32,546

B-A 160 111 61 12 (38) (87) (136) (186)

67


Ejemplo: La inversión en la reparación mayor de un equipo de refrigeración (actualmente, año cero, en operación) es de US$ 6000, se realizará en el año cero para que el equipo pueda permanecer operativo en el año 1. Luego se efectuarán reparaciones mayores en el año 4 por US$ 15000 y en el año 5 por US$ 60000, el equipo permanecerá operativo hasta el año 10 y no tendrá valor de rescate.

Como alternativa se puede comprar un equipo nuevo, el viejo se vendería a US$ 3000 en el año 1, que tendrá una vida útil de 10 años sin valor de rescate. El nuevo diseño originará ahorros en costos laborales de 2000 US$/año y requerirá de 600 US$/año adicional en mantenimiento.

Si la tasa de descuento es de 10% año e ignorando el efecto del impuesto a la renta, determine el precio máximo a pagar por el sistema nuevo.



Solución:

En el caso del equipo antiguo, los mantenimientos mayores son inversiones ya que se ejecutan para prolongar su vida útil. El hecho de no venderlo en el año 1, implica que la empresa no dispondrá del ingreso de US$ 3000.

Los costos operativos del equipo nuevo serán el ahorro (-2000 US$) más los costos de mantenimiento adicionales (US$ 600), haciendo un neto de –1400 US$.



Flujo de Egresos de las Alternativas:

Equivalencia: X - 8602 = 23723 X = 32325 US$

En caso el sistema nuevo costara más de 32325 US$, será mas ventajoso continuar operando con el sistema antiguo.


Equipo Antiguo Equipo NuevoInversión Costos Fegr Inversión Costos Fegr

0 6,000 6,000 X X1 3,000 3,000 (1,400) (1,400) 2 - (1,400) (1,400) 3 15,000 15,000 (1,400) (1,400) 4 - (1,400) (1,400) 5 6,000 6,000 (1,400) (1,400) 6 - (1,400) (1,400) 7 - (1,400) (1,400) 8 - (1,400) (1,400) 9 - (1,400) (1,400) 10 - (1,400) (1,400)

VPEg 10%,0 23,723 VPEg 10%,0 X - 8602


12

ANALISIS DE RIESGO


Cuando la rentabilidad de un proyecto, no es conocida con plena certidumbre, sino su distribución de probabilidades de ocurrencia se dice que hay riesgo.

Análisis de Riesgo

CERTIDUMBREVPN

P

VPNRIESGO

P

INCERTIDUMBREVPN

P


Riesgo e Incertidumbre

Análisis de Riesgo

INCERTIDUMBREDISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE OCURRENCIA

RIESGO+

68


Fuentes de Riesgo e Incertidumbre

Los FNF´s fueron calculados de los Estados Financieros que fueron elaborados para el escenario esperado, para lo cual se proyectaron las variables relevantes del proyecto como son:

• Inversión.• Precios (Venta, M.P., insumos).• Niveles de Producción.• Volumen de Ventas.• Eficiencia de proceso (rendimientos).• Consumo de Materia prima, materiales y servicios.

Cuanto más lejano del presente está el período proyectado, la probabilidad de ocurrencia del escenario esperado, y por lo tanto del FNF esperado, en dicho período es menor.

Análisis de Riesgo


Riesgo y Tiempo

Cuanto más lejano del presente esté el período proyectado, menor será la probabilidad de ocurrencia del valor esperado de las variables.

.

Análisis de Riesgo

Tiempo

Valo

r de

la V

aria

ble

V

VMAX

VMIN

V Espera

do (VE )


Ejemplo de Variables Relevantes en la Industria del Petróleo

Análisis de Riesgo

C.- Costos e ingresos• Costo de Perforación.• Costo de Plataforma.• Precios de petróleo y gas.• Costos Operativos.• Costo de facilidades de producción.• Impuestos.• Regalías, etc.

B. Perforación y producción•Número de pozos perforados.•Recuperación/pozo.•Potencial Inicial/pozo.•Velocidad de declinación.•Velocidad de Abandono.•Numero de pozos secos.•Número de Plataformas.•Tamaño de ductos.•Producción diferida por perforación o construcción de ductos, etc.

A.- Reservas recuperables•Área Productiva•Espesor de formación•Porosidad•Saturación de Agua•Factores de Recuperación.•Factor de volumen de formación de petróleo.•Porcentaje petróleo y gas en la estructura.•Temperatura y presión del reservorio.•Compresibilidad, etc.


Medición del Riesgo

El VPN esperado (VPNE) es la esperanza de los VPN´s

VPNE = Σ Pi VPNi σ 2 = Σ Pi (VPNi - VPNE ) 2

A pesar que el VPNE de las tres alternativas es el mismo, estos no pueden ser comparados ya que involucran diferentes niveles de riesgo. El VPN no es un buen indicador cuando hay riesgo o incertidumbre de por medio.

Análisis de Riesgo

VPN

P

VPNE = 100

VPN

P

VPNE = 100

VPN

VPNE = 100

P


VPN Esperado y Riesgo

Existen dos proyectos excluyentes, A y B, los ingresos dependen del escenario sea prospero o recesivo, los egresos son similares en ambos proyectos y no dependen de los escenarios.

ING EA = 0.8*200 + 0.2*100 = 1620

ING EB = 0.8*1750 + 0.2*1100 = 1620

Según el VPNE ambos proyectos son iguales. Debido a que el nivel de riesgo es diferente en cada uno de ello, los VPNE no son comparables.

Análisis de Riesgo

Probabilidad A B VP Ingresos

Escenario 1 0.80 2000 1750Escenario 2 0.20 100 1100

VP Esperado de Ingresos 1620 1620VP Esperado de Egresos 1000 1000

VPNE 620 620


Distribución de Probabilidades y Riesgo

Utilizaremos el ejemplo anterior para verificar que ambos proyectos no tienen el mimo nivel de riesgo.

• A presenta más riesgo que B.• A tiene 20% de probabilidad de ser no rentable, B tiene 100% de probabilidad

de ser rentable.• A pesar que los VPN esperados son iguales, los proyectos no son

equivalentes y por lo tanto sus VPN´s esperados no son comparables.

Análisis de Riesgo

P A B VPN

Escenario 1 0.80 1000 750Escenario 2 0.20 -900 100

VPNE 620 620Varianza - σ 2 577600 67600

Desviación Estandar - σ 760 260σUNITARIO = σU = σ / VPNE 1.23 0.42

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VPN Esperado en Perforación de Desarrollo

Probabilidadde Ocurrencia VPN 15%, 0

Pozo Seco 0.4 -20.0Pozo Productivo 0.6 60.0

VPN Esperado = VPNE = 28.0

El VPN esperado indica que el proyecto es rentable, el análisis de la distribución de probabilidades señala que existe 40% de probabilidad que el proyecto no sea rentable.

El VPN esperado es un indicador de rentabilidad riesgoso o incierto ya que se determinó de los FNF esperados (que también son riesgosos o inciertos).

Análisis de Riesgo


Introducción del Riesgo en el Análisis de Inversiones

Hay varios métodos, que en cierta medida, tratan de introducir el factor de riesgo o incertidumbre en la evaluación de inversiones:

• Tasa de Descuento Ajustada.

• Método del Equivalente de Certeza.

• Árboles de decisión.

• Análisis de Sensibilidad.

• Método de Simulación.

El método que mejor muestra el efecto del riesgo (distribución de probabilidades de ocurrencia de la variables) en la evaluación de inversiones es el método de simulación.

Análisis de Riesgo


Este método, modifica el denominador de la ecuación del VPN:

N FNFEJ

VPNETD, 0 = Σ

J=0 (1+TD)J

El FNFE es riesgoso y la TD es certera VPNE es riesgoso.

Para corregir el riesgo, a la TD se le adiciona una prima por riesgo (PR ) convirtiéndola en la TDA (que es una tasa riesgosa). De manera que el numerador y denominador sean riesgosos y por lo tanto se anulen, resultando el VPN certero.

TDA = TD + PR PR es función del riesgo ( σ ): PR ≈ σ

Si existen dos proyectos que comparar: PRA = PRB σAU / σB

U

Proyectos de alto riesgo (σ grande) tendrán PR mayores.

N FNFEJ N FNFE

JVPN certero = VPNC

TDA, 0 = Σ = Σ J=0 (1+TDA)J J=0 (1+TD+PR)J

Tasa de Descuento Ajustada (TDA)


Ejemplo: En el ejemplo de los Estados Financieros determinar el VPN si la PR es 5%, compararlo con el VPN (VPN esperado).

TD = 15% PR = 5% TDA = 20%.

Se aprecia que el proyecto sigue siendo rentable en un escenario certero. Se observa que la rentabilidad certera es menor que la esperada, esto debido a que el proyecto se ve castigado por la Prima por Riesgo.

La desventaja del método de la TDA es que no puede determinar la TIR certera.

FNFE (MMUS$ de 0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ev. Económica -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3Ev. Financiera -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3

Tasa de Descuento Ajustada (TDA)

Rentabilidad Esperada Rentabilidad CerteraVPNE

15%, 0 TIRE VPNC 20%, 0 TIRC

Ev. Económica 113.3 26.1% 51.8 -Ev. Financiera 126.7 29.9% 69.3 -


A diferencia del método de la TDA que actúa sobre el denominador de la ecuación del VPN, este método actúa sobre el numerador y convierte el FNF esperado (riesgoso) en FNF certero multiplicándolo por un factor de equivalencia de certeza (α).

FNFCJ = α J FNFE

J

El factor de equivalencia de certeza será inversamente proporcional al riesgo, para el FNF que no muestra riesgo será igual a 1. Los FNF futuros más alejados del presente serán más riesgosos y por lo tanto su factor de equivalencia de certeza será menor.

α J ≈ 1/σ J ↑ σ ↑ α J ↓

N FNFCJ N α J FNFE

JVPN certero = VPNC

TD, 0 = Σ = ΣJ=0 (1+TD)J J=0 (1+TD)J

En el método TDA se corrige el denominador y en el MEC se corrige el numerador de la ecuación del VPN, pero ambos métodos deben ser equivalentes, puesto que deben proporcionar el mismo VPN certero. Al Contar con el FNF certero ya se puede calcular la TIR certera.

Método del Equivalente de Certeza (MEC)


N FNFCJ N FNFE

J

VPNCTD, 0 = Σ VPNC

TDA, 0 = ΣJ=0 (1+TD)J J=0 (1+TD+PR)J

FNFCJ FNFE

J α J FNFEJ FNFE

J

= =(1+TD)J (1+TD+PR)J (1+TD)J (1+TD+PR)J

1 + TD J

α J = 1 + TD + PR

Si la TD es real, la PR también deberá ser real, lo mismo que α. Si la TD es corriente, la PR también deberá ser corriente, lo mismo que α.

Equivalencia entre la TDA y el MEC

70


Ejemplo: Determinar el FNF y la rentabilidad certeros del ejemplo de los Estados Financieros asumir que la Prima por Riesgo Real es 5%/Año (PR).

TDA = TD + PR α J = [ (1+TD) / (1+TDA) ] J α J = ( 1.15 / 1.20 ) J

Se verifica la equivalencia entre los métodos de la TDA y del MEC, también se muestra que el MEC en el único método que proporciona la TIRC.

FNFE (MMUS$ de 0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ev. Económica -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3Ev. Financiera -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3

α J 1.0000 0.9583 0.9184 0.8801 0.8435 0.8083 0.7746 0.7424 0.7114 0.6818 0.6534FNFC (MMUS$ de 0)

Ev. Económica -136.0 -57.7 49.1 54.1 67.2 56.7 35.9 60.9 47.7 42.4 132.2Ev. Financiera -76.0 -75.4 33.6 40.7 55.7 56.7 35.9 60.9 47.7 42.4 132.2

Método del Equivalente de Certeza (MEC)

Rentabilidad Esperada Rentabilidad CerteraVPNE

15%, 0 TIRE VPNC 15%, 0 TIRC

Ev. Económica 113.3 26.1% 51.8 20.8%Ev. Financiera 126.7 29.9% 69.3 24.5%


Se utiliza cuando el proyecto involucra muchas actividades o alternativas excluyentes para su ejecución, y por lo tanto se debe tomar la decisión de que alternativa realizar. Cada alternativa tiene una distribución de probabilidades de ocurrencia (eventos), o sea que es un escenario de riesgo.

.

Árboles de Decisión

Decisión

Eventos (Probabilidad de Ocurrencia)

Primero se deben tomar las decisiones más internas


Ejemplo: El futuro presenta dos escenarios: próspero (demanda alta) y recesivo (demanda baja), se desea determinar si la Planta a instalar debe ser de gran capacidad o de tamaño medio. Utilizar como Tasa de Descuento Real (TD) 10%/año.

.


D. Alta

GRANDE

(400$

)

MEDIANA

(200$)

D. AltaP = 0.6

200 $

D. BajaP = 0.4

(100 $)

D. AltaP = 0.6

100 $

D. BajaP = 0.4

0$

P = 0.8

D. BajaP = 0.2D. AltaP = 0.3

D. BajaP = 0.7

D. AltaP = 0.3

D. BajaP = 0.7

1000$

50$

500$

(500$)

300$

0$

AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2

Otra mediana(200$)

0$

D. Alta P = 0.8D. BajaP = 0.2

D. Alta P = 0.8

D. BajaP = 0.2

800$

200$400$

200$


Se toma la decisión más interna, construir o no otra planta mediana en el año 1:

Construir otra planta:- 200 0.8*800 + 0.2*200

VPNE10%, 1 = + = 418.2 $

(1.1)0 (1.1)1

No Construir:0.8*400 + 0.2*200

VPNE10%, 1 = = 327.3 $

(1.1)1

De acuerdo al VPNE, es conveniente construir otra planta mediana en el año 1.


Año 1 Año 2

(200$)

0$

D. AltaP = 0.8

D. BajaP = 0.2

D. Alta P = 0.8

D. BajaP = 0.2

800$

200$400$

200$


Incluyendo la decisión anterior en el árbol principal.

Árboles de DecisiónGRANDE

(400$

)

MEDIANA

(200$)

D. AltaP = 0.6

200 $

D. BajaP = 0.4

(100 $)

D. AltaP = 0.6

100 $

D. BajaP = 0.4

0 $

D. AltaP = 0.8

D. BajaP = 0.2D. AltaP = 0.3

D. BajaP = 0.7

D. AltaP = 0.3

D. BajaP = 0.7

1000$

50$

500$

(500$)

300$

0$

AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2

D. Alta P = 0.8D. BajaP = 0.2

800$

200$

-200 $-100 $


Construir Planta Grande

-400 0.6*200+0.4(-100) 0.6(0.8*1000+0.2*50)+0.4(0.3*500+0.7(-500))VPNE

10%, 0 = + +1.10 1.11 1.12

VPNE10%, 0 = 8.3 $

Construir Planta Mediana

-200 0.6*(-100)+0.4*0 0.6(0.8*800+0.2*200)+0.4(0.3*300+0.7*0)VPNE

10%, 0 = + +1.10 1.11 1.12

VPNE10%, 0 = 112.4 $

Es mucho más conveniente construir la planta mediana.


71


Ejemplo: Evalúe si es conveniente efectuar sísmica o no en el siguiente diagrama: (TD: 15%)


p=0.7

p=0.3

AÑO 0 AÑO 1

Hacer

sísm

ica(30

M$)

Favorable

Desfavorable

Perfora

No se perfora

(100 M$)

Perfora

No se perfora

(100 M$)

Se encuentra petróleop = 0.85

No se encuentra petróleop = 0.15





Perfora

(100 M$)

No se perfora

No hacer sísmica

400 M$

0 M$

0 M$400 M$

0 M$

0 M$

400 M$

0 M$

0 M$


Hay tres decisiones internas que se deben evaluar:

1. Perforar o no en sísmica favorable.

• Perforar: VPNE15%, 0 = -100 / (1.15)0 + (0.85*400+ 0.15*0 ) / (1.15)1 = 195.7 M$

• No Perforar: VPNE15%, 0 = 0 * Conviene perforar

2. Perforar o no en sísmica desfavorable.

• Perforar: VPNE15%, 0 = -100 / (1.15)0 + (0.1*400+ 0.9*0) / (1.15)1 = - 62.2 M$

• No Perforar: VPNE15%, 0 = 0 * No conviene perforar.

3. Perforar o no sin sísmica.

• Perforar: VPNE15%, 0 = -100 / (1.15)0 + (0.55*400+ 0.45*0) / (1.15)1 = 91.3 M$

• No perforar: VPNE15%, 0 = 0 * Conviene perforar.



Ingresando las decisiones tomadas en el árbol principal:


Hacer sísmica

No hacer sísmica (100 M$)

(100 M$)

Fav.

p =0

.7

Desf.

p =0.3

Se encuentra petróleo

p = 0.85


Se encuentra petróleo

p = 0.55


400 M$

0 M$

0 M$

0 M$

400 M$

(30 M$)

AÑO 0 AÑO 1


Hacer Sísmica:

-30 -100 0.85*400+0.15*0 0.3*0VPNE

15%, 0 = + 0.7 + + = 107.0 M$1.150 1.150 1.151 1.151

No hacer Sísmica:

-100 0.55*400+0.45*0 VPNE

15%, 0 = + = 91.3 M$1.150 1.151

Conviene efectuar sísmica.



Ejemplo: Determinar cual de los proyectos es de mayor riesgo en el siguiente árbol de decisión, indicar el VPNC. La tasa de descuento certera (TD) es 10% y la prima por riesgo (PR ) es de 5% para un proyecto de σ unitario (σ U) de 8.

.


P=0.9 90

-100

-120

P=0.780

P=0.330

P=0.7100

P=0.320

P=0.9 120

P=0.1 0

P=0.3 85

P=0.7 -30

P=0.1 25

P=0.3 85

P=0.7 -10

Año 0 Año 1 Año 2


Solución: Es necesario determinar los escenarios y las probabilidades deocurrencia de cada uno de ellos. En el árbol se observa que existen 4 escenarios.

σBU

PR B = PR A

σAU


EscenariosA B C D

ProbabilidadAño 1 0.7 0.7 0.3 0.3Año2 0.9 0.1 0.3 0.7

Probabilidad de Ocurrencia del

Escenario0.63 0.07 0.09 0.21

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Alternativa 1.


Escenarios EscenarioA B C D Esperado

Probabilidad 0.63 0.07 0.09 0.21 1.00FNF

0 -100 -100 -100 -100 -1001 80 80 30 30 652 90 25 85 -10 64

VPN 10%, 0 47.11 -6.61 -2.48 -80.99 11.98TIR 43.0% 4.0% 8.4% 18.8%

(VPN-VPNE) 2 1,233.7 345.8 209.2 8,644.4

Varianza = σ 2 = 2,635.6 Desviación Estándar = σ = 51.34

Desviación Estándar Unitario = σ U = 4.28

Prima por Riesgo = PR =4.28 * 0.05 / 8 = 0.027 = 2.7%

TDA = 10% + 2.7% = 12.7% VPN C 12.7%, 0 = 8.10


Alternativa 2.

Es mejor la Alternativa 1, cuya inversión es 100.


Escenarios EscenarioA B C D Esperado

Probabilidad 0.63 0.07 0.09 0.21 1.00FNF

0 -120 -120 -120 -120 -1201 100 100 20 20 762 120 0 85 -30 76.95

VPN 10%, 0 70.08 -29.09 -31.57 -126.61 12.69TIR 50.0% 17.8%

(VPN-VPNE) 2 3,294.4 1,745.3 1,958.6 19,403.8

Varianza = σ 2 = 6,448.7 Desviación Estándar = σ = 80.30

Desviación Estándar Unitario = σ U = 6.33

Prima por Riesgo = PR =6.33 * 0.05 / 8 = 0.04 = 4.0%

TDA = 10% + 4% = 14.0% VPN C 14.0%, 0 = 5.95


Estudia la variación de la rentabilidad con las variables más importantes del proyecto. También determina que variables son las que más influyen en el proyecto desde el punto de vista de variabilidad. Los pasos para realizar el análisis de sensibilidad son los siguientes:

1. Se identifican las variables relevantes e independientes del proyecto.

2. En adición al valor esperado de las variables, se identifican los valoresmínimos y máximos que alcanzarían las variables. Estos valores se expresan como tanto por uno del valor esperado.

Valor mínimo: VMIN VMIN / VE = β MIN

Valor esperado: VE β E = 1.0

Valor máximo: VMAX VMAX / VE = β MAX

En general: β = V / VE V = β VE

Análisis de Sensibilidad


3. Se varía el valor de la primera variable relevante e independiente desde su VMIN (β MIN) hasta su VMAX (β MAX), mientras que las otras permanecen en su valor esperado, y se determina la rentabilidad del proyecto.

4. Se retorna la variable anterior a su valor esperado VE (β = 1), y se repite el paso 3 para todas las variables identificadas en el paso 1.

5. Con los resultados se construye la matriz de rentabilidad.



Matriz de Rentabilidad


VPN TD, 0

β Variable 1 Variable 2 Variable 3 Variable 4 Variable 50.700.750.800.850.900.95

Escenario Esperado 1.00

1.051.101.151.201.251.30


6. En la matriz anterior se determina el número de puntos (#VPNs) y el número de VPN negativos (#VPN(-)). La siguiente relación proporciona un indicio de la probabilidad que el proyecto no sea rentable.

# VPN´s (-)δ =

# VPN´s

7. Para determinar la sensibilidad de la rentabilidad (sensibilidad del proyecto) respecto a cada variable, se grafica el VPN vs β .


73


Sensibilidad a las Variables.

El proyecto es más sensible a las variables VAR 1 y VAR 4, es más estas variables podrían hacer que el proyecto no sea rentable


0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

β

VPN

TD, 0

VPN = 0

VPN E

VAR 1

VAR 2

VAR 3

VAR 4


Ejemplo: En el ejemplo de los Estados Financieros efectuar el correspondiente análisis de sensibilidad a las siguientes variables.

Solución:

Se varía una variable por vez y se construye los cuadros de FNF e indicadores de rentabilidad.


Variables Valor Máximo

(β MAX)Valor Mínimo

(β MIN) Inversión 0.80 1.30 Precio de la Materia Prima 0.90 1.10 Precio del Producto 0.90 1.15 Costos Variables 0.80 1.30


Sensibilidad a la Inversión


Evaluación EconómicaFNF (MMUS$ de 0) Rentabilidad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.80 -108.8 -58.5 54.9 62.9 81.2 71.6 47.8 83.5 68.5 63.7 203.4 148.1 31.40.85 -115.6 -58.9 54.5 62.5 80.8 71.2 47.4 83.1 68.1 63.3 203.1 139.4 29.90.90 -122.4 -59.4 54.1 62.2 80.5 70.9 47.1 82.8 67.7 63.0 202.9 130.7 28.50.95 -129.2 -59.8 53.8 61.8 80.1 70.5 46.7 82.4 67.4 62.6 202.6 122.0 27.31.00 -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 113.3 26.11.05 -142.8 -60.7 53.0 61.1 79.4 69.8 46.0 81.7 66.6 61.9 202.0 104.6 24.91.10 -149.6 -61.1 52.7 60.7 79.0 69.4 45.6 81.3 66.3 61.5 201.7 95.9 23.91.15 -156.4 -61.6 52.3 60.3 78.6 69.0 45.2 80.9 65.9 61.1 201.4 87.2 22.91.20 -163.2 -62.0 51.9 60.0 78.2 68.7 44.9 80.6 65.5 60.8 201.1 78.6 21.91.25 -170.0 -62.5 51.6 59.6 77.9 68.3 44.5 80.2 65.2 60.4 200.8 69.9 21.01.30 -176.8 -62.9 51.2 59.2 77.5 67.9 44.1 79.8 64.8 60.0 200.5 61.2 20.1

β


Sensibilidad a la Inversión


Evaluación FinancieraFNF (MMUS$ de 0) Rentabilidad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.80 -60.8 -73.2 41.5 50.7 70.2 71.6 47.8 83.5 68.5 63.7 203.4 158.8 36.10.85 -64.6 -74.6 40.3 49.6 69.2 71.2 47.4 83.1 68.1 63.3 203.1 150.8 34.40.90 -68.4 -76.0 39.0 48.5 68.1 70.9 47.1 82.8 67.7 63.0 202.9 142.8 32.80.95 -72.2 -77.3 37.8 47.4 67.1 70.5 46.7 82.4 67.4 62.6 202.6 134.8 31.31.00 -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 126.7 29.91.05 -79.8 -80.1 35.4 45.1 64.9 69.8 46.0 81.7 66.6 61.9 202.0 118.7 28.61.10 -83.6 -81.4 34.2 44.0 63.9 69.4 45.6 81.3 66.3 61.5 201.7 110.7 27.41.15 -87.4 -82.8 33.0 42.9 62.8 69.0 45.2 80.9 65.9 61.1 201.4 102.7 26.21.20 -91.2 -84.2 31.8 41.7 61.8 68.7 44.9 80.6 65.5 60.8 201.1 94.7 25.11.25 -95.0 -85.5 30.6 40.6 60.7 68.3 44.5 80.2 65.2 60.4 200.8 86.6 24.01.30 -98.8 -86.9 29.4 39.5 59.7 67.9 44.1 79.8 64.8 60.0 200.5 78.6 23.0

β


Sensibilidad al Precio de la Materia Prima



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.800.850.90 -136.0 -12.8 94.7 102.4 119.7 110.3 88.4 121.0 108.3 103.2 234.1 321.5 47.80.95 -136.0 -36.5 74.1 81.9 99.7 90.2 67.4 101.5 87.7 82.7 218.2 217.4 36.71.00 -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 113.3 26.11.05 -136.0 -84.0 32.8 40.9 59.7 50.0 25.3 62.6 46.4 41.8 186.4 9.2 15.91.10 -136.0 -107.7 12.1 20.5 39.7 29.9 1.7 45.7 25.7 21.3 170.5 -95.0 6.01.151.201.251.30

β


Sensibilidad al Precio de la Materia Prima



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.800.850.90 -76.0 -31.2 77.9 87.2 106.0 110.3 88.4 121.0 108.3 103.2 234.1 334.9 59.50.95 -76.0 -55.0 57.3 66.7 86.0 90.2 67.4 101.5 87.7 82.7 218.2 230.8 43.81.00 -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 126.7 29.91.05 -76.0 -102.4 16.0 25.7 46.0 50.0 25.3 62.6 46.4 41.8 186.4 22.7 17.51.10 -76.0 -126.2 -4.8 5.4 26.0 29.9 1.7 45.7 25.7 21.3 170.5 -81.6 6.31.151.201.251.30

β

74


Sensibilidad al Precio del Producto



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.800.850.90 -136.0 -113.1 -6.8 2.5 26.8 14.5 -17.3 29.8 10.7 3.2 144.6 -171.5 -2.10.95 -136.0 -85.8 25.8 33.6 51.4 42.2 18.7 54.2 38.7 34.4 172.5 -25.1 12.51.00 -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 113.3 26.11.05 -136.0 -34.7 81.0 89.3 108.0 98.0 74.0 109.9 95.3 90.1 232.0 251.7 39.71.10 -136.0 -9.1 108.6 117.1 136.3 125.9 101.6 137.7 123.6 118.0 261.8 390.1 53.71.15 -136.0 16.4 136.2 145.0 164.6 153.8 129.3 165.6 151.9 145.9 291.5 528.5 68.11.201.251.30

β


Sensibilidad al Precio del Producto



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.800.850.90 -76.0 -133.3 -24.8 -13.5 12.7 14.5 -17.3 29.8 10.7 3.2 144.6 -161.3 -2.70.95 -76.0 -104.3 9.0 18.4 37.7 42.2 18.7 54.2 38.7 34.4 172.5 -11.7 13.71.00 -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 126.7 29.91.05 -76.0 -53.1 64.2 74.1 94.3 98.0 74.0 109.9 95.3 90.1 232.0 265.1 47.71.10 -76.0 -27.6 91.8 101.9 122.6 125.9 101.6 137.7 123.6 118.0 261.8 403.5 67.51.15 -76.0 -2.0 119.5 129.8 150.9 153.8 129.3 165.6 151.9 145.9 291.5 541.9 89.31.201.251.30

β


Sensibilidad a los Costos Variables



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.80 -136.0 -43.3 68.5 76.6 94.8 85.2 61.5 97.2 82.1 77.4 215.5 190.4 33.80.85 -136.0 -47.5 64.8 72.8 91.1 81.5 57.7 93.4 78.3 73.6 212.2 171.1 31.90.90 -136.0 -51.7 61.0 69.0 87.3 77.7 53.9 89.6 74.6 69.8 208.9 151.8 29.90.95 -136.0 -56.0 57.2 65.2 83.5 73.9 50.1 85.8 70.8 66.0 205.6 132.6 28.01.00 -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 113.3 26.11.05 -136.0 -64.5 49.6 57.7 75.9 66.3 42.6 78.2 63.2 58.5 199.0 94.1 24.21.10 -136.0 -68.7 45.9 53.9 72.2 62.6 38.8 74.5 59.4 54.7 195.6 74.8 22.31.15 -136.0 -73.0 42.1 50.1 68.4 58.8 35.0 70.7 55.7 50.9 192.3 55.5 20.41.20 -136.0 -77.2 38.3 46.3 64.6 55.0 31.2 66.9 51.9 47.1 189.0 36.3 18.51.25 -136.0 -81.5 34.5 42.5 60.8 51.2 27.4 63.1 48.1 43.3 185.7 17.0 16.61.30 -136.0 -85.7 30.7 38.8 57.0 47.4 23.7 59.3 44.3 39.6 182.4 -2.3 14.8

β


Sensibilidad a los Costos Variables



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VPN 15%, 0 TIR (%)0.80 -76.0 -61.7 51.8 61.4 81.1 85.2 61.5 97.2 82.1 77.4 215.5 203.8 39.90.85 -76.0 -66.0 48.0 57.6 77.3 81.5 57.7 93.4 78.3 73.6 212.2 184.5 37.40.90 -76.0 -70.2 44.2 53.8 73.6 77.7 53.9 89.6 74.6 69.8 208.9 165.3 34.80.95 -76.0 -74.5 40.4 50.0 69.8 73.9 50.1 85.8 70.8 66.0 205.6 146.0 32.41.00 -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 126.7 29.91.05 -76.0 -82.9 32.9 42.5 62.2 66.3 42.6 78.2 63.2 58.5 199.0 107.5 27.51.10 -76.0 -87.2 29.1 38.7 58.4 62.6 38.8 74.5 59.4 54.7 195.6 88.2 25.21.15 -76.0 -91.4 25.3 34.9 54.7 58.8 35.0 70.7 55.7 50.9 192.3 68.9 22.91.20 -76.0 -95.7 21.5 31.1 50.9 55.0 31.2 66.9 51.9 47.1 189.0 49.7 20.61.25 -76.0 -99.9 17.7 27.3 47.1 51.2 27.4 63.1 48.1 43.3 185.7 30.4 18.41.30 -76.0 -104.2 14.0 23.6 43.3 47.4 23.7 59.3 44.3 39.6 182.4 11.2 16.2

β


Resumen del Análisis de Sensibilidad


Evaluación EconómicaVPN 15%, 0

Inversión Precio de Materia Prima

Precio del Producto

Costos Variables

0.80 148.1 190.40.85 139.4 171.10.90 130.7 321.5 -171.5 151.80.95 122.0 217.4 -25.1 132.61.00 113.3 113.3 113.3 113.31.05 104.6 9.2 251.7 94.11.10 95.9 -95.0 390.1 74.81.15 87.2 528.5 55.51.20 78.6 36.31.25 69.9 17.01.30 61.2 -2.3

β


Análisis de Sensibilidad - Evaluación Económica


-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

β

VPN

15%

, 0

Inversión Precio M P Precio Prod C Var

75




Evaluación FinancieraVPN 15%, 0

Inversión Precio de Materia Prima

Precio del Producto

Costos Variables

0.80 158.8 203.80.85 150.8 184.50.90 142.8 334.9 -161.3 165.30.95 134.8 230.8 -11.7 146.01.00 126.7 126.7 126.7 126.71.05 118.7 22.7 265.1 107.51.10 110.7 -81.6 403.5 88.21.15 102.7 541.9 68.91.20 94.7 49.71.25 86.6 30.41.30 78.6 11.2

β


Análisis de Sensibilidad - Evaluación Financiera


-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

β

VPN

15%

, 0

Inversión Precio M P Precio Prod C Var



En ambas evaluaciones hay un total de 33 puntos, y tres puntos con valores negativos del VPN.

Una indicación de la probabilidad que el proyecto no sea rentable estará dada por la relación de número de puntos con VPN negativo y el número total de puntos.

Nro de VPN´s Negativosδ =

Nro de VPN´s

δ ECONOMICO = 4 / 33 = 12.1%

δ FINANCIERO = 3 / 33 = 9.1%



A diferencia del Análisis de Sensibilidad, este método varía todas las variables a la vez, y se requiere la distribución de probabilidades de ocurrencia de cada variable.

1. Estimar la distribución de Probabilidades de ocurrencia de cada una de las variables relevantes e independientes.

2. Seleccionar aleatoriamente un valor para cada variable utilizando su correspondiente distribución de probabilidades.

3. Calcular el FNF para el juego de valores de las variables determinadas en el paso anterior y luego la rentabilidad (VPN a la TD libre de riesgo).

4. Repita los pasos 2 y 3 muchas veces (1000 o más), de preferencia múltiplo de 100

Simulación de Montecarlo

, etc.

P

V1

P

V2

P

V3


5. Ordenar el indicador de rentabilidad (VPN) en forma ascendente yagrúpelos por rangos y determine su distribución de frecuencia.

VPN Número (N)de -50 a -30 50de -30 a -10 150de -10 a 10 300de 10 a 30 350de 30 a 50 200de 50 a 70 50

5. La relación de A(-)/A T proporciona la probabilidad de que el proyecto no sea rentable.


(-) 0 (+) VPN

N

A(-) A(+)


Probabilidad Acumulada

Una de las dificultades de trabajar con la distribución puntual de probabilidades de ocurrencia es realizar la selección aleatorio en función de dicha distribución.

Los números aleatorios generados en las computadoras son entre 0 y 1, razón por la cual resulta conveniente trabajar con la distribución de probabilidades acumulada (PAC), cuyo valor mínimo es 0 y el máximo 1.

La distribución puntual de probabilidades de ocurrencia se pasan a distribución de probabilidades acumulada (que va de 0 a 1) integrando al curva de distribución puntual.


76



0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Valor de la Variable

Prob

abili

dad

(P)


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Valor de la Variable

Prob

abili

dad

Acu

mul

ada

(PA

C)



• Se elige un número aleatorio entre 0 y 1 (random), viene a ser la Probabilidad Acumulada.

• Con el valor anterior y la ecuación:

V = f (PAC)

Se determina el valor de la variable V.

• De esta manera se ha elegido en forma aleatoria y de acuerdo a su distribución de probabilidades un valor para la variable V


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Valor de la Variable V

Prob

abili

dad

Acu

mul

ada

(PA

C )

PAC

V

V = f (PAC)o

PAC = g (V)


1. Determinar la distribución de Probabilidad Acumulada (PAC) para cada una de las variables relevantes e independientes.

2. Generar números random entre 0 y 1 (PAC) para cada variable y determinar un valor V (V = f (PAC)). PAC es la probabilidad que el valor de la variable sea menor o igual a V.

3. Calcular el FNF y luego la rentabilidad (VPN a la TD libre de riesgo).

4. Repetir los pasos 2 y 3 muchas veces (100 o más), de preferencia múltiplo de 100.

Montecarlo con Probabilidades Acumuladas

, etc

PAC

V1 V2

PAC

V3

PAC


5. Ordenar el indicador de rentabilidad (VPN) en forma ascendente, de esta manera se habrá determinado la distribución de probabilidades acumuladas del VPN (no es necesario agrupar por rangos).

6. La PAC para VPN = 0, será la probabilidad de que el proyecto no sea rentable (VPN < 0).

Montecarlo con Probabilidades Acumuladas

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

VPN

Prob

abili

dad

Acu

mul

ada

(PA

C )

VPN(-) 0 VPN(+)

Probabilidad de que el Proyecto no sea rentable


Muchas veces es muy difícil trabajar con la distribución de probabilidades real, en su lugar se utiliza la distribución triangular. El error que se comete es mínimo, pero la simplificación en el cálculo y el ahorro de recursos es grande.

El área total del triángulo es uno (1)

H (VMAX - VMIN) / 2 = 1

H = 2 / (VMAX - VMIN)

La probabilidad que el valorde la variable sea menor oigual a V estará dada por elárea A (PAC).

Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular

A

H

VMIN V V E VMAXβ MIN β β = 1 β MAX


PARA V < = VE


PAC = A = h (V - VMIN) / 2

Semejanza de triángulos

h V - VMIN=

H VE - VMIN

V - VMINh = 2

(VMAX - VMIN) ( VE - VMIN)

(V - VMIN) 2

PAC = A =(VMAX - VMIN) ( VE - VMIN)

V = VMIN + PAC (VMAX - VMIN) ( VE - VMIN) Para: PAC <= (VE–VMIN) / (VMAX–VMIN)


A

H

VMIN V V E VMAX

h

77


PARA V > VE

PAC = 1 - A = 1 - h (VMAX - V) / 2


Semejanza de triángulos:

h VMAX - V=

H VMAX - VE

VMAX - Vh = 2

(VMAX - VMIN) ( VMAX - VE )

(VMAX - V) 2

PAC = 1 - A = 1 -(VMAX - VMIN) ( VMAX - VE )

V = VMAX - (1 - PAC ) (VMAX - VMIN) ( VMAX - VE )

Para PAC > (VE – VMIN) / (VMAX – VMIN)


A

H

h

VMIN V E V VMAX


Ejemplo: En el ejemplo de los Estados Financieros efectuar el correspondiente análisis de riesgo a las siguientes variables.

Solución: Primero determinaremos las ecuaciones para determinar el βconocidos probabilidad acumulada y los valores máximos y mínimos de β, recordar que el β esperado es 1.0.


Variables Valor Máximo (β MAX)

Valor Mínimo (β MIN)

Inversión 0.80 1.30 Precio de la Materia Prima 0.90 1.10 Precio del Producto 0.90 1.15 Costos Variables 0.80 1.30


Inversión y Costos Variables:

Para: PAC <= (1.00 - 0.80)/(1.30-0.80) = 0.40

β = 0.80 + ( PAC (1.30 - 0.80) (1.00 -0.80) ) 0.5 β = 0.80 + 0.316228 PAC0.5

Para: PAC > 0.40

β = 1.30 - ( (1- PAC ) (1.30 - 0.80) (1.30 -1.00) ) 0.5 β = 1.30 - 0.387298 (1- PAC ) 0.5

Precio de la Materia Prima:

Para: PAC <= (1.00-0.90)/(1.10-0.90) = 0.50

β = 0.90 + ( PAC (1.10 - 0.90) (1.00 -0.90) ) 0.5 β = 0.90 + 0.141421 PAC0.5

Para: PAC > 0.50

β = 1.10 - ( (1- PAC ) (1.10 - 0.90) (1.10 -1.00) ) 0.5 β = 1.10 - 0.141421 (1- PAC ) 0.5



Precio del Producto:

Para: PAC <= (1.00-0.90)/(1.15-0.90) = 0.40

β = 0.90 + ( PAC (1.15 - 0.90) (1.00 -0.90) ) 0.5

β = 0.90 + 0.158114 PAC0.5

Para: PAC > 0.40

β = 1.15 - ( (1- PAC ) (1.15 - 0.90) (1.15 -1.00) ) 0.5

β = 1.15 - 0.158114 (1- PAC ) 0.5

Se generarán números aleatorios (random) para cada variable y luego se determinarán los β correspondientes (utilizando las ecuaciones descritas).

Los valores esperados de las variables son multiplicados por los β calculados para determinar los valores de las variables, con estos nuevos valores de todas las variables relevantes se calculan los indicadores de rentabilidad.

El proceso se repite, en este ejemplo, 100 veces.



Resultados de la Simulación:


Evaluación Económica Evaluación FinancieraVAN 15%,0 TIR B/C 15% IVP 15% PR15% VAN 15%,0 TIR B/C 15% IVP 15% PR15%

1 -396.95 0.91 -1.66 -386.72 0.91 -1.772 -387.88 0.91 -1.82 -377.66 0.91 -1.963 -244.37 0.94 -1.02 -234.15 0.94 -1.084 -203.47 -5.9% 0.95 -0.99 -193.25 0.95 -1.055 -187.71 -2.5% 0.95 -0.82 -177.49 -3.0% 0.96 -0.85.

17 -24.66 12.7% 0.99 -0.11 -11.24 13.8% 1.00 -0.0518 -24.63 12.6% 0.99 -0.11 -11.21 13.8% 1.00 -0.0619 -10.91 13.9% 1.00 -0.05 2.51 15.3% 1.00 0.01 9.9420 -3.18 14.7% 1.00 -0.01 10.24 16.2% 1.00 0.05 9.7621 -2.05 14.8% 1.00 -0.01 11.37 16.3% 1.00 0.06 9.7522 -1.43 14.9% 1.00 -0.01 11.99 16.4% 1.00 0.06 9.7323 -0.33 15.0% 1.00 0.00 13.08 16.3% 1.00 0.06 9.7224 4.51 15.5% 1.00 0.02 9.90 17.93 17.1% 1.00 0.10 9.6125 8.11 15.7% 1.00 0.03 9.83 21.53 17.3% 1.01 0.10 9.54.

96 479.17 57.7% 1.12 1.97 2.55 492.59 70.9% 1.12 2.22 2.2497 484.30 66.2% 1.13 2.34 2.26 497.72 88.0% 1.13 2.68 1.9098 519.41 68.3% 1.13 2.43 2.19 532.83 90.4% 1.13 2.77 1.8599 530.69 67.0% 1.13 2.38 2.22 544.11 86.7% 1.13 2.69 1.89

100 587.46 70.9% 1.15 2.54 2.07 600.88 91.2% 1.15 2.86 1.76


Resultados de Simulación – Evaluación Económica


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600

VPN

Prob

abili

dad

Acu

mul

ada

(%)

23.1 % de probabilidad

que el Proyecto sea no Rentable

78


Resultados de Simulación – Evaluación Financiera


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600

VPN

Prob

abili

dad

Acu

mul

ada

(%)

18.8 % de probabilidad

que el Proyecto sea no Rentable


Resultados de Simulación – Evaluación Económica y Financiera


15

17

19

21

23

25

27

29

-30 -20 -10 0 10 20 30

VPN

Prob

abili

dad

Acu

mul

ada

(%)

Ev. Financiera

Ev. Económica


13

MODELO MATEMATICO


El desarrollo de la computadoras ha convertido a los modelos matemáticos en una técnica indispensable de ingeniería, particularmente la Ingeniería Química ha sido una de las más beneficiadas con esta técnica.

Los procesos son formados por diferentes combinaciones de varias unidades de operación con muchas interacciones que las relacionan.

El modelamiento contribuye al diseño de los procesos químicos permitiendo una mejor comprensión y diseño de sistemas cada vez más complejos, otra ventaja es el mayor grado de confianza al diseñar procesos que anteriormente presentaban altos riesgos.

Un modelo de procesos requiere del conocimiento de cinética química, diseño en ingeniería química, costos, contabilidad, matemáticas y programación.

Modelo Matemático


Una empresa es un sistema que interactúa con otros sistemas (entorno) que tienen influencias en los resultados de Ella.

• Mercado • Competencia • Capacidad financiera • Disponibilidad de mano de obra • Restricciones gubernamentales • Provisión de materia prima y materiales.

La compañía está compuesta por sub-sistemas como el departamento de producción, de ventas, de investigación, de diseño de procesos, etc.. Los departamentos pueden ser divididos en módulos más pequeños, la inter-relación entre estos para lograr un resultado objetivo de la empresa es lo que debe ser modelado.

La rentabilidad de una empresa no es tarea de un solo departamento sino de todos en conjunto, y la solución óptima para un departamento no necesariamente significa que sea lo mejor para la empresa.

Modelo Matemático


Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema que está siendo investigado, debe quedar claro que el modelo es una aproximación del sistema físico.

Cuando esta aproximación sea grande el modelo será más confiable y sus resultados más útiles.

Los modelos matemáticos no ambicionan representar el comportamiento integral de los sistemas, sino sólo de las partes que afectan los aspectos que se quieren estudiar o investigar.

Un modelo matemático sirve sólo para el problema específico para el cual fue construido. Si se quiere obtener otro tipo de información para el mismo sistema, se deberán efectuar las modificaciones correspondientes en el modelo.

Modelo Matemático

79


La construcción de un modelo matemático involucra varias fases, que deben ser desarrolladas en orden cronológico y con la suficiente rigurosidad para que sus resultados sean útiles, las etapas son las siguientes:

1. Identificación del Objetivo.2. Selección de la Ecuaciones.3. Construcción del Modelo.4. Ajuste del Modelo.

Etapas de Construcción de un Modelo Matemático


Identificación del Objetivo.- El primer paso en la construcción de un modelo matemático es decidir que sistema debería ser modelado. El éxito en la aplicación de modelos a cualquier proyecto está en la habilidad para anticipar las preguntas que surgirán durante el desarrollo del proyecto y evaluarlas para decidir si justifican la construcción del modelo.

Para tomar una decisión es necesario listar las preguntas que surgirían durante el desarrollo del proyecto. Si las preguntas no se pueden responder con un cálculo simple y aislado, sino que requiere de la evaluación de una proporción considerable del sistema, es conveniente construir un modelo matemático. Si los cálculos no son simples y se efectuarán repetidas veces en el desarrollo del proyecto, se justifica plenamente la construcción de un modelo matemático.

La construcción del modelo se justifica por las preguntas que se realizarían en el desarrollo del proyecto y no por la complejidad del proceso. En otras palabras si el proceso es simple o complejo es irrelevante para la toma de decisión de construir un modelo.



Selección de la Ecuaciones.- Una vez que se ha decidido construir el modelo matemático, el siguiente paso es seleccionar las ecuaciones matemáticas que representan el sistema e identificar todas la variables que interviene en dichas ecuaciones.

Las ecuaciones seleccionadas deben ser independientes, ninguna debe ser combinación de las otras.

Las ecuaciones deberán describir el sistema en la suficiente profundidad, de tal manera que todos los factores relevantes sean considerados.

En el campo de la química e ingeniería es posible escribir las ecuaciones para todos los procesos encontrados.

El flujo de fluidos es gobernado por las ecuaciones de balance de materia y energía, las reacciones químicas por la ecuaciones de velocidad de reacción, la transferencia de masa y calor por las ecuaciones generales.

En adición todos los procesos físicos tienen sus ecuaciones características y sus propias restricciones. En la generalidad de los casos las restricciones se presentan en forma de inecuaciones.



Construcción del Modelo.- Consiste en ordenar y combinar todas las ecuaciones de tal manera que sean fácilmente resueltas y proporcionar la respuesta requerida por el modelo, los resultados deben ser dados en un formato entendible (unidades de medida).

Resolver un sistema de ecuaciones en forma consecutiva es mucho más fácil que la solución en forma simultánea.

La combinación de las ecuaciones se adecuan a la respuesta que se está buscando, lo que da origen a la existencia de varios modelos para un mismo sistema, la diferencia entre ellos es la combinación y secuencia de solución de las ecuaciones.

En un modelo para el diseño de una planta nueva los datos serán la producción y se calculará, entre otras variables, la alimentación de materia prima. Las ecuaciones se resuelven en orden inverso al proceso productivo.

Un modelo para determinar los cuellos de botella de plantas existentes utilizará como dato la alimentación de materia prima y resolverá las ecuaciones en la misma secuencia del proceso productivo.



Ajuste del Modelo.- Construido el modelo, este debe ser probado para verificar que los resultados sean los correctos, si no los fueran se deben hacer ajustes en los parámetro de las ecuaciones (constantes de las diferentes relaciones para el cálculo de propiedades). Muchas veces los resultados iniciales difieren de la realidad debido a que en su construcción se han asumido cierta idealidad.

La verificación de la validez de los resultados del modelos se pueden efectuar con datos de publicaciones o datos experimentales.

Ejemplo de parámetros:

Calor específico CP = a + b T + c T 2 + d T 3

Velocidad de reacción K = A e - E/RT

Los parámetros de las ecuaciones anteriores son las constantes a, b, c, d, A y E.



Las ecuaciones que forman parte del modelo están conformadas por variables y constantes de las propiedades físicas que son denominadas parámetros. Las propiedades físicas tales como la viscosidad, entalpía, entropía, calor específico, densidad, etc.. no deben ser consideradas como variables, ya que estas propiedades se determinan con las variables como la temperatura, presión, composición, etc..

Variables Independientes.- La variables independientes son aquellas que son alimentadas al modelo como datos, conforman toda la información necesaria para la resolución del modelo. Se dividen en variables de operación y de equipo.

• Las variables de operación son las referidas a la condiciones de operación del proceso como la temperatura, presión, flujos y composición.

• Las variables de equipos se refieren básicamente a las dimensiones como volúmenes, diámetro, longitud, número de platos, etc..

Variables de un Modelo

80


Variables Dependientes.- La variables dependientes son aquellas cuyos valores son calculados mediante la solución de las ecuaciones. Ellas son la respuesta que se busca con el modelo. Se dividen en variables de performance e intermedias.

• Las variables de performance son las respuestas finales y más valiosas del modelo, por ejemplo, la rentabilidad, dimensiones de equipos, etc.

• Las variables intermedias tienen poca relevancia como resultado final pero son muy importantes durante la solución de las ecuaciones. Estas variables son el resultado de algunas ecuaciones y a su vez son datos de otras.

Restricciones.- En los sistema reales o físicos, las variables están restringidas a límites mínimos y máximos, lo que se denomina como restricciones.

La suma de fracciones molares siempre es igual a uno. Las temperaturas de operación se restringen para evitar descomposición de los productos, la presión no debe sobrepasar determinados límites dados por el material y espesor de los equipos, etc.

Variables de un Modelo


Los modelos tienen una amplia aplicación en el diseño de procesos, se utilizan en investigación, desarrollo, planeamiento, ingeniería, producción, control etc..

Investigación.- Los modelos tiene una amplia aplicación en la fase de investigación de nuevos procesos, la alternativa es efectuar experimentos en unidades prototipos, pero esto resulta mucho mas costosa y requiere de un mayor tiempo.

La razón fundamental de la investigación es buscar nuevos procesos que incurran en menores costos. Sólo de esta manera se justificará el reemplazo del proceso actual.

En la fase de investigación no sólo se utiliza los modelos para simular procesos, sino también para calcular costos operativos, costos de inversión, ingresos, etc.. con los que se determinará la rentabilidad del proceso investigado.

Aplicaciones al Diseño de Procesos


Desarrollo.- La fase de desarrollo de los procesos requiere de modelos mucho más sofisticados y muchas veces se debe recurrir al diseño por experiencia, los conocimientos teóricos deben ser profundizados y debe desarrollarse ecuaciones más representativas.

También es necesario realizar trabajos experimentales con la finalidad de obtener condiciones óptimas de operación.

Las condiciones óptimas para un proceso aislado no necesariamente son las mismas para todo el sistema, tener presente esta afirmación es muy importante, porque al final lo que se busca es optimizar todo el sistema.



Planeamiento.- Los modelos se aplican perfectamente en los trabajos de planeamiento de los proyectos, en los cuales se deben decidir de que tamaño debe ser la planta y donde será su ubicación.

Existen muchas variables que determinan en forma aproximada tanto la ubicación como el tamaño:

• Tamaño del mercado• Disponibilidad de recursos financieros• Disponibilidad de materia prima y materiales• Tecnología disponible• Capacidad administrativa• Localización del Mercado• Concentración de la demanda• Ubicación de la materia prima y materiales• Disponibilidad de mano de obra, servicios y facilidades• Licencias de operación

El tamaño y localización finales serán los que maximizan la rentabilidad integral del proyecto.



Ingeniería del Proyecto.- Los modelos son utilizados para especificar el diseño de los equipos. Antes de proceder al diseño de los equipos debe disponerse de toda la data física necesaria. En esta etapa del desarrollo de un proyecto no hay excusa pata no emplear el mejor método de diseño y la mejor data física disponible, no debe utilizarse de ninguna manera métodos simplificados.

Producción.- Durante la etapa de producción los modelos resultan muy útiles en la determinación de las condiciones óptimas de operación de la planta, estas condiciones cambian día a día, ya que dependen de la calidad de materia prima disponible y del requerimiento de productos por el mercado.

Control.- Los modelos son utilizados para determinar los mejores y económicos arreglos en el sistema de control de las plantas, sobre todo se utilizan para determinar la variabilidad de los resultados con los cambios en las variables de operación. Se determina la sensibilidad a estas variables, las que presentan mayor sensibilidad y a su vez mayor variabilidad son las postulantes a ser controladas.



Los modelos de los sistemas de separación de multi-componentes, en varias etapas que a su vez manejan varias etapas, requieren de la solución interactiva de cientos de ecuaciones en forma simultanea. El proceso de solución se vuelve más complicado si hay reacción química entre los componentes.

Para iniciar la solución de los modelos el número de variables desconocidas deberá ser igual al número de ecuaciones independientes, generalmente el número de variables es mayor que el número de ecuaciones independientes, razón por la cual es necesario dar valores a un grupo de variables (fijar variables) para que el modelo pueda ser resuelto. El número de variables fijadas se conoce como grados de libertad del sistema o modelo.

ND = NV - NE

Donde: ND : Número de grados de libertadNV : Número de variablesNE : Número de ecuaciones independientes

Especificación de Procesos

81


El sistema quedará completamente definido cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de variables desconocida y cuando existe una única solución para el modelo matemático, para lo cual será necesario fijar (dar valores) a tantas variables como grados de libertad tenga el sistema.

Tampoco se trata de dar valores a cualquier variable, en un sistema real las variables que normalmente tienen valor (están fijas) son aquellas que corresponden a las corrientes de entrada al sistema.

Las variables pueden ser intensiva (no dependen de la masa) como las composiciones molares, temperatura, presión, etc.. y extensivas como flujos de corriente, de calor y dimensiones de los equipos.

Todo proceso puede ser dividido en sub-sistemas cada vez mas pequeños cuyos modelos son más sencillos, estos sub-sistemas pueden ser las etapas de equilibrio, condensadores, separadores de corriente, rehervidores, reactores, etc..



Análisis de una Corriente

Una corriente real puede contener diferentes fases y no necesariamente ser homogénea, para el análisis las corrientes reales o físicas se deben descomponer en líneas de corrientes de fase homogénea.

.


Corriente Real

Gas

Sólido

Líquido


Grados de Libertad de una Corriente

En una corriente de fase homogénea y de C componentes se pueden definir las siguientes variables:

Intensivas: Fracciones molares (X1, X2, X3,.......,XC) CPresión 1Temperatura 1

Extensiva: Flujo molar 1

Variables de una corriente: NV = C + 3

La única ecuación es la sumatoria de fracciones molares igual a 1.

CEcuación: Σ Xi = 1

i =1

Grados de Libertad: ND = C + 2

Para que una corriente de fase homogénea quede plenamente especificada (se conozca todo sobre ella) se necesitan fijar (dar valores) a C+ 2 variables.



Grados de Libertad de una Corriente

Al unirse dos sub sistemas con una misma línea de corriente se liberarán C+ 2 grados de libertad.

Grados de Libertad del Sistema: ND = ND1 + ND2 - (C+2)


Sub Sistema 1

Sub Sistema 2

Unión de una

Corriente

ND1 ND2Sistema

ND


Ecuaciones Típicas

Balance de Materia CBalance General 1Balance parcial C-1

Balance de energía 1C C

(FJ Σ hJ i Xi )ENTRADA + Q - W = (FJ Σ hJ i Xi )SALIDA i =1 i =1

Sumatoria de fracciones molares: Nº de corrientesCΣ Xi = 1i =1

Ecuaciones de equilibrio: C

K i = Yi / Xi = f(PL,PV, TL, TV, Yi, Xi)

Las otras ecuaciones son las de diseño de los equipos, las restricciones y condiciones de operación.



Caso de un Intercambiador de Calor Simple

Variables: El número de variables debe incluir la variable Q de calor transferido:

NV = 2 (C + 3) + 1 = 2 C + 7

F L QPF PLTF TLZi Xi


F L

Q

82


Ecuaciones:

Balance de Materia CBalance global F = L 1Balance parcial F Zi = L Xi C-1

Balance de Energía 1C C

F Σ Zi hF i + Q = L Σ Xi hL i i =1 i=1

Sumatoria de fracciones molares 2C CΣ Zi = 1 y Σ Xi = 1i =1 i =1

Número de ecuaciones: NE = C + 3

Grados de Libertad: ND = (2 C + 7) - (C+ 3) = C + 4



Para que el sistema quede definido se deben fijar C+4 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas C+2 variables:

F PF TF Z1 Z2 ..... ZC-2 ZC-1

La variable ZC no puede ser fijada para no ir contra la ecuación de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:

L QPLTL

ZC Xi

La variable L no se podrá fijar porque se atentaría a la ecuación del balance general de materia. Las composiciones X i en la corriente L no se pueden fijar ya que se calcularían con las ecuaciones de balance parcial de materia y la sumatoria de las fracciones molares en L.

Para completar las C+4 variables faltarían fijar 2, que pueden ser cualquiera de las tres siguientes:

PL TL Q



Caso de un Vaporizador Flash


NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10

F L V QPF PL PV

TF TL TV

Zi Xi Yi


F

Q

L

V


Ecuaciones:

Balance de Materia CBalance global F = L + V 1Balance parcial F Zi = L Xi + V Yi C-1

Balance de Energía 1C C C

F Σ Zi hF i + Q = L Σ Xi hL i + V Σ Yi hV i i =1 i =1 i =1

Sumatoria de fracciones molares 3C C C

Σ Zi = 1 Σ Xi = 1 Σ Yi = 1i =1 i =1 i =1

Ecuaciones de equilibrio C

K i = Yi / Xi = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i )

Condiciones de operación (equilibrio) 2

PV = PL TV = TL



Número de ecuaciones: NE = 2C + 6

Grados de Libertad: ND = 3C + 10 - (2C + 6) = C + 4

Para que el sistema quede definido se deben fijar C+4 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarán fijadas C+2 variables que son las siguientes:

F PF TF Z1 Z2 ..... ZC-2 ZC-1

La variable ZC no puede ser fijada por que iría contra la ecuación de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:

L V QPL PVTL PV

ZC Xi Yi

Fijada la corriente F faltarían fijar 2 variables, no puede ser la variable ZC, si se fija PV no se podrá fijar PL , de la misma manera TL y TV son excluyentes para no atentar a las condiciones de operación. De las variables L y V sólo se podrá fijar una de ellas para no atentar a el balance global de materia.



Caso de un Mezclador


NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10

F L G QPF PL PG

TF TL TG

Zi Xi Yi


F

L Q

G

83


Ecuaciones:

Balance de Materia CBalance global F + L = G 1Balance parcial F Zi + L Xi = G Yi C-1


F Σ Zi hF i + L Σ Xi hL i + Q = G Σ Yi hG i i =1 i =1 i =1


Σ Zi = 1 Σ Xi = 1 Σ Yi = 1i =1 i =1 i =1

Número de ecuaciones: NE = C + 4

Grados de Libertad: ND = 3C + 10 - (C + 4) = 2C + 6



Para que el sistema del mezclador de corriente quede especificado se deben fijar 2C+ 6 variables. Si especificamos las corrientes de entrada F y L quedarían fijadas 2C+ 4 variables que son las siguientes:

F PF TF Z1 Z2 ..... ZC-2 ZC-1

L PL TL X1 X2 ..... XC-2 XC-1

Las variables ZC y XC no pueden ser fijadas por que se atentaría a las sumatorias de fracciones molares en las corrientes F y L. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:

G QPGTG

ZC XC Yi

Para definir el sistema faltarían fijar 2 variables, G no puede ser por que atenta la balance global de materia, las variables Yi tampoco podrían fijarse para no ir contra las ecuaciones de balance parcial de materia. Por lo sólo se podrán fijar dos variables de las tres siguientes:

PG , TG y Q



Caso de un Separador

Las corrientes L y G se encuentra en la misma fase (líquido o vapor), el número de variables incluirá la variable Q que representa el calor ganado o perdido por el sistema:

NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10

F L G QPF PL PGTF TL TGZi Xi Yi


F

L

Q G


Ecuaciones:

Balance de Materia CBalance global F = L + G 1Balance parcial F Zi = L Xi + G Yi C-1


F Σ Zi hF i + Q = L Σ Xi hL i + G Σ Yi hG i i =1 i =1 i =1


Σ Zi = 1 Σ Xi = 1 Σ Yi = 1i =1 i =1 i =1

Condiciones de operación C+ 1PG = PL 1TG = TL 1Xi = Yi C-1




Grados de Libertad: ND = 3C + 10 - (2C + 5) = C + 5

El divisor de corriente quedará definido si se fijan C+5 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas C+2 variables que son las siguientes:

F PF TF Z1 Z2 ..... ZC-2 ZC-1

La variable ZC no puede ser fijada para que se atentar a la ecuación de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:

L G QPL PGTL TG

ZC Xi Yi

Para que el sistema quede definido faltarían fijar 3 variables. Las variables L y G, PL y PG , TL y TG son excluyentes (sólo se puede fijar una de ellas), ninguna de las composiciones de las corrientes L y G podrán ser fijadas por que se atentaría a las ecuaciones del balance de parcial de materia y de condiciones de operación.



Caso de una Etapa de Equilibrio

Variables: La variable Q que representa el calor ganado o perdido por el sistema:

NV = 7 (C + 3) + 1 = 7 C + 22

F LN LN+1 VN VN-1 SL SV QPF PL P*L PV P*V PSL PSVTF TL T*L TV T*V TSL TSVZi Xi X*i Yi Y*i XSi YSi


F

LN+1 VN

LN VN-1

SV

SL

ETAPA DE EQUILIBRIO N

Q

84


Ecuaciones:

Balance de Materia: CBalance global F+LN+1+VN-1 = LN+VN+SL+SVBalance parcial F Zi+LN+1 X*i+VN-1 Y*i = LN Xi+VNYi +SLXSi+SVYSi

Balance de Energía: 1F HF+LN+1H*L+VN-1H*V = LNHL+VNHV+SLHSL+SVHSV

Sumatoria de fracciones molares: 7C C C CΣ Zi = 1 Σ Xi = 1 Σ X*i = 1 Σ Yi = 1i =1 i =1 i =1 i =1

C C CΣ Y*i = 1 Σ XSi = 1 Σ YSi = 1i =1 i =1 i =1

Ecuaciones de Equilibrio: C

K i = Yi / Xi = f (PV, PL, TV, TL, Yi, Xi )



Condiciones de operación: 2C+ 4

PV = PL = PSV = PSL 3TV = T L = TSV = TSL 3Xi = XSi C-1Yi = YSi C-1


Grados de Libertad: ND = 7C + 22 - (4C + 12) = 3C + 10

Para definir la etapa de equilibrio es necesario 3C+10 variables. Si especificamos la corriente de entrada F, LN+1 y VN-1 quedarían fijadas 3C+6 variables que son las siguientes:

F PF TF Z1 Z2 ..... ZC-2 ZC-1LN+1 P*L T*L X*1 X*2 ..... X*C-2 X*C-1VN-1 P*V T*V Y*1 Y*2 ..... Y*C-2 Y*C-1

.



Para que el sistema quede definido faltan fijar cuatro variables, las variables que aún no se han fijado son las siguientes:

VN LN SL SV QPV PL PSL PSV

TV TL TSL TSV

ZC XC X*C Yi Xi XiS YiS



Secuencia de Solución de las Ecuaciones

El algoritmo que se explica a continuación permitirá encontrar la mejor secuencia de solución de las ecuaciones para resolver el modelo matemático.

Dado que el número de variables es mayor que el número de ecuaciones es necesario fijar tantas variables como grados de libertad tenga el sistema.

El procedimiento no proporcionara la secuencia de solución si las variables fijadas son equivocadas, de ahí la importancia de especificar correctamente las variables.



Caso de un Intercambiador de Calor Simple

Se determinará la secuencia de solución de las ecuaciones para un sistema de intercambiador simple y para el caso de dos componentes (C=2).

Variables: NV = 2 (C + 3) + 1 = 2 C + 7 = 2 · 2 + 7 = 11

F L QPF PLTF TLZ1 X1Z2 X2


F L

Q


Ecuaciones: NE = C + 3 = 2 + 3 = 5

1. Balance global: F = L2. Balance parcial: F Z1 = L X1

3. Balance de Energía: F ( Z1 hF1 + Z2 hF

2 ) + Q = L ( X1 hL2 + X2 hL

2 )4. Fracciones molares en F: Z1 + Z2 = 15. Fracciones molares en L: X1 + X2 = 1

Grados de Libertad: ND = (2 C + 7) - (C+ 3) = C + 4 = 2 + 4 = 6

Para que el sistema quede definido deben fijarse 6 variables y las 5 restantes deberán determinarse mediante la solución de las 5 ecuaciones.

Al fijar la corriente F (generalmente se fijan las corrientes de entrada a los sistemas) se fijarán cuatro variables (F, PF , TF , Z1), quedando pendiente por fijar 2 variables, asumiremos que estas son PL y TL .


85


Se detalla la matriz de las ecuaciones con las variables desconocidas (no se consideran las variables fijadas, ya que se comportan como constantes al tener un valor definido), la matriz se completa con "x" en la intersección de aquellas variables que intervienen en las correspondientes ecuaciones.

Se aprecia que la variable Q interviene solo en la ecuación 3 (B.G.E.), esta variable será necesariamente calculada mediante la solución de la ecuación 3. Para resolver la ecuación 3 debe conocerse el valor de las otras variables desconocidas, lo que implica que la ecuación 3 deberáser la última en resolverse.


Z2 L X1 X2 Q1 BGM: F = L x2 BPM: F Z1 = L X1 x x3 BGE: F HF + Q = L HL x x x x x4 Σfm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σfm L: X1 + X2 = 1 x x

Número de "x" 2 3 3 2 1


Al utilizar la ecuación 3 para resolver la variable Q, tanto la variable y la ecuación desaparecen de la matriz; la variable fue resuelta (ya no es desconocida) y la ecuación ya fue usada.

Se observa que la variable Z2 sólo se obtiene de la solución ecuación 4 y la variable X2 de la ecuación 5. Tanto la variables resueltas y las correspondientes ecuaciones deben ser retiradas de la matriz.


Z2 L X1 X2

1 BGM: F = L x2 BPM: F Z1 = L X1 x x4 Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σ fm L: X1 + X2 = 1 x x

Número de "x" 1 2 2 1

3 Q


Resolviendo las ecuaciones 4 y 5.

En la matriz remanente anterior se aprecia que la variable X1 necesariamente será calculada mediante la solución de la ecuación 2 (balance parcial de materia del componente 1)., y la variable L seráresuelta con la ecuación 1 (balance general de materia).


L X1

1 BGM: F = L x2 BPM: F Z1 = L X1 x x

Número de "x" 2 1

4 Z2

3 Q

5 X2


Resolviendo la Ecuación 2.

La variable L será resuelta necesariamente con la ecuación 1 (balance general de materia).


L1 BGM: F = L x

Número de "x" 1

4 Z2

2 X1 3 Q

5 X2


La secuencia de solución de las ecuaciones y las variables que proporcionarán cada una de ellas se detallan a continuación:


Variables Dato:F 4 Z2

PF

TF 1 L 2 X1 3 QZ1

PL 5 X2

TL


Para generar el algoritmo de solución del modelo se re-ordenan las ecuaciones de acuerdo a la secuencia determinada en el gráfico anterior.

Variables datos: F, PF , TF , Z1 , PL , y TL

BGM (ecuación 1): L = F

BPM (ecuación 2): X1 = F Z1 / L

Σfm en F (ecuación 4): Z2 = 1 - Z1

Σfm en L (ecuación 5): X2 = 1 - X1

BGE (ecuación 3): Q = L (X1 hL1 +X2 hL

2 ) - F (Z1 hF1 +Z2 hF

2 )

.


86


Caso de un Separador

Número de Variables para un sistema de dos componentes (C=2):

NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10

NV = 3 · 2 + 10 = 16

F L G QPF PL PGTF TL TGZ1 X1 Y1Z2 X2 Y2

.


F

L

Q G


Ecuaciones: NE = 2C + 5 = 2 · 2 + 5 = 7

1. BGM F = L + G2. BPM F Z1 = L X1 + G Y13. BGE F (Z1 hF

1 + Z2 hF2) + Q = L (X1 hL

1 + X2 hL2) + G (Y1 hG

1 + Y2 hG2)

4. Σ fm en F Z1 + Z2 = 15. Σ fm en L X1 + X2 = 16. Σ fm en G Y1 + Y2 = 17. Cond. Oper. PG = PL8. Cond. Oper. TG = TL9. Cond. Oper. X1 = Y1

Grados de Libertad: ND = C + 5 = 7

Para que el divisor de corriente quede especificado se deben fijar 7 variables. Al especificar la corriente F quedan fijadas las 4 variables siguientes:

F PF TF Z1

Las otras variables a fijar serán L, PL y Q, quedando 9 variables como incógnitas y que serán calculadas mediante la solución de las 9 ecuaciones.



La matriz de las ecuaciones con las variables desconocidas es lasiguiente:

En la matriz anterior ninguna variable interviene en una única ecuación, para forzar es necesario eliminar temporalmente una ecuación de la matriz. Aparentemente la ecuación que debería eliminarse es el balance general de energía (ecuación 3). La ecuación 3 será resuelta para determinar cualquiera de las variables que intervienen en dicha ecuación.


Z2 TL X1 X2 G PG TG Y1 Y21 BGM: F = L + G x2 BPM: F Z1 = L X1 + G Y1 x x x3 BGE: F HF + Q = L HL + G HG x x x x x x x x x4 Σfm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σfm L: X1 + X2 = 1 x x6 Σfm G: Y1 + Y2 = 1 x x7 C.Op. PG = PL x8 C.Op. TG = TL x x9 C.Op. X1 = Y1 x x

Número de "x" 2 2 4 2 3 2 2 4 2


Eliminando temporalmente la ecuación 3 se utiliza la ecuación pero se desconoce que variable se calculará con dicha ecuación):

Existen 6 variables (Z2 , TL , X2 , PG , TG y Y2 ) que intervienen cada una en una única ecuación. Con la ecuación 4 se determinará Z2 , con 8 la variable TL , con 5 la variable X2 , con 7 la variable PG (la ecuación 8 no se puede utilizar para resolver TG porque ya fue usada para determinar TL) y la variable Y2 será determinada resolviendo la ecuación 6.


Z2 TL X1 X2 G PG TG Y1 Y21 BGM: F = L + G x2 BPM: F Z1 = L X1 + G Y1 x x x3 BGE: F HF + Q = L HL + G HG z z z z z z z z z4 Σfm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σfm L: X1 + X2 = 1 x x6 Σfm G: Y1 + Y2 = 1 x x7 C.Op. PG = PL x8 C.Op. TG = TL x x9 C.Op. X1 = Y1 x x

Número de "x" 1 1 3 1 2 1 1 3 1

3 ?


Luego de Resolver las ecuaciones anteriores (eliminación) que la siguiente matriz:

Ninguna variable participa en una única ecuación, para lograr este requisito se debe eliminar temporalmente una de las tres ecuaciones: 1, 2 o 9.


X1 G TG Y1

1 BGM: F = L + G x2 BPM: F Z1 = L X1 + G Y1 x x x3 BGE: F HF + Q = L HL + G HG z z z z9 C.Op. X1 = Y1 x x


4 Z2

8 TL

5 X2 3 ?

7 PG

6 Y2


Eliminación temporal de la ecuación 9:

En la matriz anterior la ecuación 2 se puede utilizar para calcular una de las siguientes variables: X1 o Y1. La usaremos para determinar X1.


X1 G TG Y1

1 BGM: F = L + G x2 BPM: F Z1 = L X1 + G Y1 x x x3 BGE: F HF + Q = L HL + G HG z z z z9 C.Op. X1 = Y1 z z


4 Z2

8 TL

9 ? 5 X2 3 ?

7 PG

6 Y2

87


Eliminación de la ecuación 2:

En la matriz anterior la ecuación 1 se debe utilizar para calcular la variable G.


G TG Y11 BGM: F = L + G x3 BGE: F HF + Q = L HL + G HG z z z9 C.Op. X1 = Y1 z

Número de "x" 1 0 0

4 Z2

8 TL

2 X1 9 ? 5 X2 3 ?

7 PG

6 Y2



En la matriz anterior hay dos variables que no se han resuelto y dos ecuaciones pendiente de determinar a que variables darán solución. La variable TL deberáobtenerse de la ecuación 3 y la variable Y1 se determinará con la ecuación 2.


TG Y1

3 BGE: F HF + Q = L HL + G HG z z9 C.Op. X1 = Y1 z

Número de "x" 0 0

4 Z2

8 TL

1 G 2 X1 9 ? 5 X2 3 ?

7 PG

6 Y2


Se aprecia que para resolver la ecuación 2 se requiere conocer la variable Y1 , que es calculada posteriormente. Es necesario, al inicio, asumir un valor de Y1 y resolver la ecuación 2 y con el valor calculado de X1 se deberá resolver la ecuación 9 para obtener un nuevo valor de Y1. Si Y1 calculado es diferente al asumido se debe efectuar un cálculo iterativo hasta que el valor de Y1 obtenido sea igual al calculado en la iteración anterior.

Lo mismo ocurre con la ecuación 7, que requiere del valor de TG que es determinado por la ecuación 3 pero en una etapa de cálculo posterior, se debe asumir un valor inicial de TG y establecer un proceso de convergencia.


4 Z2

8 TL

1 G 2 X1 9 Y1 5 X2 3 TG

7 PG

6 Y2


Secuencia de solución:

.


Variables datos 4 Z2

F PF

TF 8 TL

Z1

L PL 1 G 2 X1 9 Y1 5 X2 3 TG

Q

Variables asumidas 7 PG

Y1

TG

6 Y2


Descripción del Método

Para encontrar la mejor secuencia de solución de un modelo es imprescindible haber realizado correctamente la selección de variables (fijar variables), para que el sistema quede especificado.

1. Especificar el Sistema: Determinar el número de variable, ecuaciones (deben ser independientes) y grados de libertad. Fijar tantas variables como grados de libertad tenga el sistema.

2. Construir la matriz (distribución estructural) de las ecuaciones con las variables desconocidas (no fijadas), colocar una "x" en la intersección de la variable con la ecuación sí la variable interviene en dicha ecuación.

3. Iniciar la eliminación con la variable que esté contenida en una sola ecuación (sólo una "x" en la columna correspondiente a la variable). Se eliminan variable y ecuación, lo que quiere decir es que la variable eliminada será calculada con la ecuación eliminada.

4. Se repite el paso 3 con la matriz remanente hasta terminar, este algoritmo proporcionará el orden inverso de solución de las ecuaciones del modelo.



Sí en el paso 4 no se logra eliminar todas las ecuaciones porque las variables intervienen en más de una ecuación (más de una "x" en las columnas), seguir el siguiente procedimiento.

i. Definir ρ (x i ) como la sumatoria de "x" en cada una de las columnas

ii. Definir "k" como: k = mínimo (ρ (x i ) ) -1

iii. Se identifican el conjunto de k ecuaciones tal que si se eliminan de la matriz queda una estructura en la que al menos una variable intervenga en una única ecuación (por lo menos un ρ (x i ) igual a 1.

iv. Se elimina temporalmente uno de los conjuntos de k ecuaciones identificados en el paso iii y se aplica el algoritmo de descrito en los pasos 3 y 4 a la estructura residual.

v. Si no se obtiene un orden de precedencia de solución se selecciona otro conjunto de k ecuaciones identificados en el paso iii y se retorna al paso iv.


88


vi. Si la eliminación de cualquiera de los conjuntos de k ecuaciones identificados en el paso iii no proporciona una estructura que pueda resolverse ordenadamente, se incrementa k en una unidad (k = k+1) y se retorna al paso iii.

vii. Una vez terminado de resolver la matriz residual, quedarán tantas variables no resueltas como ecuaciones eliminadas de manera temporal, se debe identificar que ecuaciones proporcionarán la solución de dichas variables.

viii.La eliminación temporal de ecuaciones indica que para resolver el modelo se deben dar valores iniciales a las variables calculadascon las ecuaciones eliminadas temporalmente. También señala que será necesario establecer un proceso de convergencia para obtener la solución final de estas variables.



Caso de un Vaporizador Flash

Variables: Sean dos componentes ( C = 2 ).

NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10

NV = 3 · 2 + 10 = 16

F L V QPF PL PV

TF TL TV

Z1 X1 Y1

Z2 X2 Y2


F

Q

L

V


Ecuaciones: NE = 2 C + 6 = 2 · 2 + 6 = 10

1. BGM F = L + V2. BPM F Z1 = L X1 + V Y13. BGE F (Z1 hF

1 + Z2 hF2) + Q = L (X1 hL

1 + X2 hL2) + V (Y1 hV

1 + Y2 hV2)

4. Σ fm en F Z1 + Z2 = 15. Σ fm en L Y1 + Y2 = 16. Σ fm en G X1 + X2 = 17. Equil. 1 K 1 = Y1 / X1 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i )8. Equil. 2 K 2 = Y2 / X2 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i )9. Cond. Op. PV = PL10.Cond. Op. TV = TL

Grados de Libertad: ND = C + 4 = 2 + 4 = 6

Para que el vaporizador flash quede definido se deben especificar 6 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas las 4 variables siguientes:

F PF TF Z1



Se asumirá que se busca las condiciones de operación y adición de energías necesarios para obtener una calidad de vapor (Y1 ) y una cantidad V en la corriente gaseosa, con esta 2 variables fijadas se completan los grados de libertad, quedando especificado el sistema del vaporizador flash. Resumiendo las variables fijadas son las siguientes:

F PF TF Z1 Y1 V

Las diez variables restantes (incógnitas) serán determinadas con las diez ecuaciones que gobiernan el sistema.

La matriz de distribución estructural de variables desconocidas y ecuaciones de la siguiente página se utilizará para encontrar la mejor secuencia de solución de las ecuaciones, y se utilizará paso a paso el procedimiento descrito.

´.



La variable con que inicia la eliminación es Q que interviene solo en la ecuación 3 de balance de energía (la ecuación 3 será resuelta para obtener la variable Q).


Z2 PV TV Y2 L PL TL X1 X2 Q1 BGM: F = L + G x2 BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 x x3 BGE: F HF + Q = L HL + V HV x x x x x x x x x x4 Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σ fm L: Y1 + Y2 = 1 x6 Σ fm G: X1 + X2 = 1 x x7 Equil 1: K1 = Y1 / X1 x x x x x x x8 Equil 2: K2 = Y2 / X2 x x x x x x x9 C. Op.: PV = PL x x

10 C. Op.: TV = TL x xNúmero de "x" 2 4 4 4 3 4 4 5 4 1



En la matriz anterior podrá eliminar la ecuación 4 que se utilizaría para resolver la variable Z2.


Z2 PV TV Y2 L PL TL X1 X2

1 BGM: F = L + V x2 BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 x x4 Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σ fm L: Y1 + Y2 = 1 x6 Σ fm G: X1 + X2 = 1 x x7 Equil 1: K1 = Y1 / X1 x x x x x x x8 Equil 2: K2 = Y2 / X2 x x x x x x x9 C. Op.: PV = PL x x

10 C. Op.: TV = TL x xNúmero de "x" 1 3 3 3 2 3 3 4 3

3 Q

89



En la matriz residual no existe ninguna variable con ρ(x i )=1

k = min ( ρ (x i ) ) - 1 = 2 - 1 = 1

Debe eliminarse temporalmente una ecuación, el siguiente paso es determinar que ecuación debe eliminarse.


PV TV Y2 L PL TL X1 X2

1 BGM: F = L + V x2 BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 x x5 Σfm L: Y1 + Y2 = 1 x6 Σfm G: X1 + X2 = 1 x x7 Equil 1: K1 = Y1 / X1 x x x x x x x8 Equil 2: K2 = Y2 / X2 x x x x x x x9 C. Op.: PV = PL x x

10 C. Op.: TV = TL x xNúmero de "x" 3 3 3 2 3 3 4 3

4 Z2 3 Q


Observando la matriz se aprecia que las únicas ecuaciones que después de eliminadas (sólo una de ellas) dejan por lo menos un ρ(x i ) =1 son la ecuaciones 1 o 2.

Si se elimina la ecuación 1 (o la 2 ) podrá resolverse la otra ecuación pero no podrá continuarse con el proceso ya que después de la eliminación de estas dos ecuaciones (1 y 2), la matriz no presenta ninguna variable con ρ(x i ) = 1. Por lo tanto k debe ser incrementado en una unidad.

k = k + 1 = 2

Debemos identificar los conjuntos de 2 ecuaciones tal que al ser eliminados de la matriz deje por lo menos una variable con ρ (x i ) = 1.

Los conjuntos de dos ecuaciones son los siguientes: 5 y 7, 5 y 8, 6 y 7, 6 y 8, 7 y 8, 7 y 9, 7 y 10, 8 y 9, y las ecuaciones 8 y 10, que hacen un total de 9 conjuntos de 2 ecuaciones.

También se aprecia que las ecuaciones que más variables contienen son la 7 y 8, y que a su vez son las que más participan en los 9 conjuntos de dos ecuaciones; razón por la cual son las mejores postulantes para considerarse como las ecuaciones que se eliminarán temporalmente, al final del proceso se determinarán las variables que serán determinadas por estas ecuaciones.



Eliminación temporal de las ecuaciones 7 y 8:

La variable PV se calculará con la ecuación 9 y TV con la ecuación 10, la variable Y2con la ecuación 5, las variables PL y TL no podrán ser determinada en este nivel del cálculo porque la ecuaciones 9 y 10 ya fueron utilizadas, y por último la variable X2 se resolverá con la ecuación 6.


PV TV Y2 L PL TL X1 X2

1 BGM: F = L + V x2 BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 x x5 Σ fm L: Y1 + Y2 = 1 x6 Σ fm G: X1 + X2 = 1 x x7 Equil 1: K1 = Y1 / X1 z z z z z z z8 Equil 2: K2 = Y2 / X2 z z z z z z z9 C. Op.: PV = PL x x

10 C. Op.: TV = TL x xNúmero de "x" 1 1 1 2 1 1 2 1

7 ?

4 Z2 3 Q

8 ?


En la matriz residual se aprecia que la variable X1 será determinada por la ecuación de balance parcial del componente 1 (ecuación 2)


L PL TL X1

1 BGM: F = L + V x2 BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 x x7 Equil 1: K1 = Y1 / X1 z z z8 Equil 2: K2 = Y2 / X2 z z z


9 PV

5 Y2 7 ?

4 Z2 3 Q

6 X2 8 ?

10 TV


Con la ecuación 1 (balance general de materia) se determinará la variable L.


L PL TL1 BGM: F = L + V x7 Equil 1 K1 = Y1 / X1 z z8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 z z


9 PV

5 Y2 7 ?

2 X1 4 Z2 3 Q

6 X2 8 ?

10 TV


En la última matriz residual aparecen las dos variable (PL y TL ) pendientes de calcular y las dos ecuaciones eliminadas temporalmente (7 y 8), se aprecia que dichas variables pueden ser determinadas indistintamente por cualquiera de las dos ecuaciones. Si empleamos la ecuación 7 para determinar PL , la ecuación 8 se utilizará para calcular TL.


PL TL

7 Equil 1 K1 = Y1 / X1 z z8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 z z

Número de "x" 0 0

9 PV

5 Y2 7 ?

1 L 2 X1 4 Z2 3

6 X2 8 ?

10 TV

90


Los valores de PL y TL son necesarios para resolver las ecuaciones 9 y 10 y que se encuentran en un nivel anterior de la etapa de cálculo, razón por la cual seránecesario dar valores iniciales a PL y TL y establecer reciclo de información y el correspondiente método de convergencia.


9 PV

5 Y2 7 PL

1 L 2 X1 4 Z2 3 Q

6 X2 8 TL

10 TV


Secuencia de Solución de las ecuaciones:


Variables datos F 9 PV

PF

TF

Z1 5 Y2 7 PL

VY1 1 L 2 X1 4 Z2 3 Q

Variables asumidas 6 X2 8 TL

PL

TL 10 TV


Caso de un Vaporizador Flash con Combinación de Ecuaciones

La combinación previa de ecuaciones nos permitirásimplificar la solución del modelo.

Variables: Sean dos componentes ( C = 2 ).

NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10

NV = 3 · 2 + 10 = 16

F L V QPF PL PVTF TL TVZ1 X1 Y1Z2 X2 Y2


F

Q

L

V


Ecuaciones: NE = 2 C + 6 = 2 · 2 + 6 = 10

1. BGM F = L + V2. BPM F Z1 = L X1 + V Y13. BGE F (Z1 hF

1 + Z2 hF2) + Q = L (X1 hL

1 + X2 hL2) + V (Y1 hV

1 + Y2 hV2)

4. Σ fm en F Z1 + Z2 = 15. Σ fm en L Y1 + Y2 = 16. Σ fm en G X1 + X2 = 17. Equil. 1 K 1 = Y1 / X1 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i )8. Equil. 2 K 2 = Y2 / X2 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i )9. Cond. Op. PV = PL10.Cond. Op. TV = TL

Grados de Libertad: ND = C + 4 = 2 + 4 = 6

Para que el vaporizador flash quede definido se deben especificar 6 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas las 4 variables siguientes:

F PF TF Z1



Se asumirá que se busca las condiciones de operación y adición de energías necesarios para obtener una calidad de vapor (Y1 ) y una cantidad V en la corriente gaseosa, con esta 2 variables fijadas se completan los grados de libertad, quedando especificado el sistema del vaporizador flash. Resumiendo las variables fijadas son las siguientes:

F PF TF Z1 Y1 V

Las diez variables restantes (incógnitas) serán determinadas con las diez ecuaciones que gobiernan el sistema.

La matriz de distribución estructural de variables desconocidas y ecuaciones de la siguiente página se utilizará para encontrar la mejor secuencia de solución de las ecuaciones, y se utilizará paso a paso el procedimiento descrito.

Previamente a la solución de la matriz, se efectuarán combinación de las ecuaciones a fin de que participen el menor número de variables en cada una de ellas, de esta manera la matriz será menos densa



Efectuaremos la combinación entre las ecuaciones a fin de disminuir el número de variables que participan en cada una de ellas, esto redundará en una mas fácil solución del modelo:

1. BGM F = L + V2. BPM F Z1 = (F-V) X1 + V Y1

3. BGE F (Z1 hF1 + (1-Z1) hF

2) + Q = (F-V) (X1 hL1 + (1-X1) hL

2) + V (Y1 hV1 +

(1-Y1) hV2)

4. Σ fm en F Z1 + Z2 = 15. Σ fm en L Y1 + Y2 = 16. Σ fm en G X1 + X2 = 17. Equil. 1 K 1 = Y1 / X1 = f (PV, TV, Y1, X1 )8. Equil. 2 K 2 = Y2 / X2 = f (PV, TV, Y1, X1 )9. Cond. Op. PV = PL

10.Cond. Op. TV = TL

.


91


Se aprecia que hay 7 variables que pueden ser determinadas en esta primera etapa. La variable Z2 se determina con la ecuación 4, la variable Y2 se determina con la ecuación 5, la variable L se determina con la ecuación 1, la variable PL se determina con la ecuación 9, la variable TLse determina con la ecuación 10, la variable X2 se determina con la ecuación 6 y la variable Q se resuelve con la ecuación 3 (balance de energía.


Z2 PV TV Y2 L PL TL X1 X2 Q1 BGM: F = L + V x2 BPM: F Z1 = (F-V) X1 + V Y1 x3 BGE: F HF + Q = (F-V) HL + V HV x x x x4 Σfm F: Z1 + Z2 = 1 x5 Σfm L: Y1 + Y2 = 1 x6 Σfm G: X1 + X2 = 1 x x7 Equil 1 K1 = Y1 / X1 x x x8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 x x x9 C. Op. PV = PL x x10 C. Op. TV = TL x x

Número de "x" 1 4 4 1 1 1 1 5 1 1


Eliminando las ecuaciones 4, 5, 1, 9, 10, 6 y 3:

Para proseguir se debe eliminar temporalmente una ecuación.


PV TV X1

2 BPM: F Z1 = L X1 + (F-L) Y1 x7 Equil 1 K1 = Y1 / X1 x x x8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 x x x


4 Z2

5 Y2

1 L

9 PL

10 TL

6 X2

3 Q


Eliminación temporal de la ecuación de la ecuación 8:

La ecuación 7 puede utilizarse para resolver PV o TV.


PV TV X1

2 BPM: F Z1 = L X1 + (F-L) Y1 x7 Equil 1K1 = Y1 / X1 x x x8 Equil 2K2 = Y2 / X2 z z z


4 Z2

5 Y2

1 L

8 ? 9 PL

10 TL

6 X2

3 Q


Eliminación de la ecuaciones 7 para resolver PV:

Con la ecuación 2 se determinará X1.


TV X1

2 BPM: F Z1 = L X1 + (F-L) Y1 x8 Equil 2K2 = Y2 / X2 z z

Número de "x" 0 1

4 Z2

5 Y2

1 L

2 X1 7 PV 8 ? 9 PL

10 TL

6 X2

3 Q


La ecuación 8 resolverá la variable TV.

Secuencia de Solución de las EcuacionesTV

8 Equil 2K2 = Y2 / X2 zNúmero de "x" 0

4 Z2

5 Y2

1 L

2 X1 7 PV 8 ? 9 PL

10 TL

6 X2

3 Q


Para resolver la ecuación 7 se requiere conocer TV.


4 Z2

5 Y2

1 L

2 X1 7 PV 8 TV 9 PL

10 TL

6 X2

3 Q

92


Secuencia de Solución de las ecuaciones:


Variables datos 4 Z2

F PF

TF 5 Y2

Z1

VY1 1 L

Variables asumidas 2 X1 7 PV 8 TV 9 PL

TV

10 TL

6 X2

3 Q


14

OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS


El proceso de optimización consiste en encontrar un valor óptimo (máximo o mínimo) para una función respuesta, más que el valor de la función respuesta lo que se busca son las condiciones del proceso paraque la respuesta sea óptima.

Para alcanzar una meta existen muchos cursos de acción posibles, la selección del mejor camino es denominado como proceso de optimización.

La función respuesta (denominada función objetivo, FO) relaciona los criterios de optimización (costos, ingresos, utilidad, rendimientos, eficiencias, tiempo, etc) con las condiciones, parámetros o variables del proceso.

La función objetivo debe escribirse en termino absolutos (US$/día, US$/mes, US$/año) y no en termino relativos (US$/Kg, US$/ciclo).

Las condiciones óptimas para un sistema de múltiples unidades son diferentes a las condiciones óptimas si las unidades trabajaran separadamente.

Optimización de Procesos


F = FO = f ( X1 , X2 , X3 , ....... , X N )

Para encontrar el valor de las variables que optimicen la función objetivo:

δ F / δ X i = 0

Sí la función objetivo depende de una sola variables: F = f (X)

δ F / δ X = f ' (X) = 0 Se determina X al que denominaremos Xo

Si f '' (Xo) > 0 F es mínimof '' (Xo) < 0 F es máximo

Encontrado las condiciones óptimas debe verificarse la factibilidad de la solución, los procesos tienen asociados ciertas restricciones que pueden hacer que la solución esté fuera del área factible..



Métodos Analíticos

Los métodos analíticos se emplean cuando la función objetivo puede escribirse en forma explícita con las variables independientes, otra condición necesaria para aplicar los métodos analíticos es la factibilidad para determinar las derivadas parciales de primer orden.

• Procesos no cíclicos• Procesos cíclicos• Multiplicadores de Lagrange• Programación Lineal

Métodos no Analíticos

Estos métodos se utilizan cuando no se puede determinar analíticamente las derivadas parciales de la función objetivo respecto a cada variable independiente. Estos métodos también son conocidos como métodos numéricos.



Caso: Compresor de dos Etapas

En los procesos de compresión el trabajo que se efectúa sobre el sistema es mayor a medida que la temperatura del gas se incrementa, es por todos conocido que al comprimir un gas la temperatura de este aumenta. Los incrementos de presión (ΔP) son más costosos al aumentar la presión .

Cuando ΔP son grandes se efectúa la compresión por etapas, después de cada etapa el gas es enfriado para disminuir los requerimientos de energía.

El objetivo es determinar la presión inter-etapas que haga que la energía suministrada al compresor para elevar la presión del gas sea la mínima, por la tanto la función objetivo estará dada por:

Función Objetivo = Trabajo consumido por el compresor = Ws

Se hace notar que la función objetivo no está contemplando otros costos relacionados como inversión, costo del enfriamiento, etc. Sólo contempla la energía requerida para lograr elevar la presión del gas.

Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos

93



P1 , T1

W1 W2

Q

P2 , T2 P2 , T1 P3 , T3

Temperatura

Pres

ión



Presión Inter-etapa (P2)

Trab

ajo

Con

sum

ido

P1 P3

Primera Etapa

Segunda Etapa

Total

P2 Óptimo


Para escribir la ecuación general de energía el contenido unitario de energía (e) como la suma de la energía interna, energía cinética y energía potencial:

v 2 ge = u + + z

2 gC gC

Energía - Energía que ingresa + Energía que sale = Calor cedido por - Trabajo realizadoAcumulada con el fluido con el fluido el entorno por el sistema

δ ρe δ M1 δ M2 δ Q δ Wδ Vol - e1 + e2 = -

VOL δ t δ t δ t δ t δ t

El trabajo realizado por el sistema (W) se divide en trabajo efectivo o trabajo de eje (WS) y trabajo para el movimiento del fluido (Wf).

W = WS + Wf



δ Wf δ M1 δ M2= - P1 v1 + P2 v2

δ t δ t δ t

Reemplazando las dos relaciones en la ecuación general de energía.

δ e δ M1 δ M2 δ Q δ WSδ Vol - (e1+ P1 v1 ) + (e2 + P2 v2 ) = -


Si la energía cinética y la potencial son despreciables respecto a la energía interna o no varían en el proceso la ecuación anterior se modificaría a:

δ u δ M1 δ M2 δ Q δ WSδ Vol - (u1+ P1 v1 ) + (u2 + P2 v2 ) = -




δ u δ M1 δ M2 δ Q δ WSd Vol - h1 + h2 = -


Las otras ecuaciones termodinámicas que ayudan a resolver la relación anterior son:

δ U = T δ S - P δ Vδ H = T δ S + V δ P

Un compresor es un sistema abierto y si trabaja en estado estacionario la acumulación de energía en el sistema es cero. Si el proceso es adiabático y reversible el calor transferido y la variación de entropía son nulos.

δ M1 δ M2 δ WS- h1 + h2 = -

δ t δ t δ t



δ M1 = δ M2 = δ M

δ M δ WS(h2 - h1 ) = -

δ t δ t

- WS = (h2 - h1) δ M = δ H

- WS = Δ H = V δ P

Cuando se trata de un gas ideal: PV = NRT

Compresión adiabática:PV λ = P1 V1

λ = Constante

T P (1 − λ)/λ = T1 P1 (1 − λ)/λ = Constante


94


Reemplazando e integrando desde P1 a P2 para determinar el trabajo entregado en la primera etapa:

W1 = NRT1 λ / (λ−1) [ (P2 / P1 ) (λ−1)/λ - 1 ]

De la misma manera para la segunda etapa.

W2 = NRT1 λ / (λ−1) [ (P3 / P2 ) (λ−1)/λ - 1 ]

El trabajo total estará dado por la suma de los trabajos de cada una de las etapas.

WT = W1 + W2



WT = W1 + W2 = NRT1 λ / (λ−1) [ (P3 / P2 ) (λ−1)/λ + (P2 / P1 ) (λ−1)/λ - 2]

Para determinar la presión inter-etapas que minimice el trabajo derivaremos la función objetivo (WT) respecto a P2 y la igualaremos a cero.

δ WT

= 0δ P2

Resolviendo se obtiene:

P2 ÓPTIMO = (P1 P3 )0.5



Caso: Espesor de Aislamiento en Tuberías

En los procesos donde se transportan fluidos por tuberías y debe mantenerse su temperatura se utiliza aislamiento para evitar que gane o pierda calor del/al ambiente. No necesariamente a grandes espesores la pérdida (ganancia) de calor es mínima, al aumentar el espesor aumenta el área de transferencia incrementando el flujo de calor.

Existe un espesor de aislamiento que minimiza la pérdida de calor, pero que noesel espesor que minimiza los costos totales relacionados con el uso del aislamiento. La variable explicativa de la función objetivo será el espesor del aislamiento o el radio externo (R2).


R1

R2T0

K

Th

hT2


Para desarrollar el caso asumiremos la siguiente información:

• k: Conductividad térmica [Kcal/hr-m-ºC]• h: Coeficiente de convección [Kcal/hr-m2-ºC]• Y: horas de operación al año• CQ: Costo de la energía (US$/Kcal)• Costo del aislamiento: CA = a + b R2 (US$/m) donde a y b = f (R1)• Costos fijos anuales= θ CA

Función objetivo = costo de la pérdida de calor + costos fijos

CT = CQ Q Y + θ (a + b R2)

Para encontrar el espesor de aislamiento óptimo se deberáescribir la relación de costos totales en función del radio externo, para lo cual la variable Q debe expresarse como una función de R2.



δ TPérdida de calor por conducción: Q = 2 π R k

δ R

Integrando desde R1 a R2 y desde T1 hasta T2 (temperatura en la pared exterior del aislamiento).

2 π k ( T1 - T2 )Q =

Ln (R1 / R2 )

Pérdida de calor por convección: Q = 2 π R2 h (T2 - Th )

Combinando ambas ecuaciones:

2 π R2 (T1 - Th )Q =

1/h + (R2 /k) Ln (R1 / R2 )



La función objetivo quedará descrita con la siguiente ecuación.

2 π R2 (T1 - Th )CT = CQ Y + θ (a + b R2 )

1/h + (R2/k ) Ln (R2 / R1 )

Para encontrar el radio óptimo que minimice los costos se deriva la función anterior con respecto a R2 e iguala a cero.

δ CT = 0

δ R2

Resolviendo se obtiene:

2 π (T1 - Th ) (R2 /k - 1/h ) CQ Y = θ b [1/h + (R2 /k) Ln (R2 / R1 ) ] 2

Conocidos los valores de los diferentes parámetros se podrá resolver para calcular el espesor de aislamiento óptimo, R2 - R1.


95


Espesor Óptimo de Aislamiento en Tuberías


Espesor del Aislamiento

Cos

to (U

S$/m

etro

)

CQ

CT = CQ + CF

CFCosto

Mínimo

Mínima Pérdida de Calor


El caso resuelto determina el espesor de aislamiento que minimiza el costo de operación (pérdida de calor y costos operativos y de mantenimiento), si se quisiera considerar el costo de inversión, se deberá adicionar la inversión anualizada que depende de la tasa de descuento (TD) y la vida del aislamiento (N).

TD (1 + TD) N

FRK = (1 + TD) N - 1

La función objetivo de costos totales (pérdida de calor, costos de operación y mantenimiento, e inversión anualizada) será la siguiente:

2 π R2 (T1 - Th )CT = CQ Y + (θ + FRK) (a + b R2 )

1/h + (R2/k) Ln (R2 / R1 )

El espesor que minimiza el costo total será diferente al espesor que minimiza el costo de operación. Si se quiere minimizar el flujo de egresos habría que considerar en adición la depreciación y el impuesto a la renta.



Caso: Aislamiento en Superficies Planas

El caso es aplicable a superficies planas o sectores circulares con diámetros de gran magnitud, para simplificar se asumirá que el efecto de la convección es despreciable.

k: Conductividad térmica [Kcal/hr-m-ºC]Y: Horas operación/añoe: Espesor del aislamiento [m]ΔT: Diferencia de temperatura entre las paredes

del aislamiento [ºC]CA: Costo del aislamiento instalado [US$/m3]CQ: Costo de la energía térmica [US$/Kcal]θ : Costos fijos anuales como fracción de la inversión N: Tiempo de vida del aislamientoTD: Tasa real de descuento




k

e

ΔTT1 T2

A = Área transversal (de transferencia)


Recordemos la formula de anualidad:

TD (1 + TD) N

FRK = (1 + TD) N - 1

Base: Área Transversal = 1 m2 de superficie aislada.

Volumen de aislamiento: e m 3 Inversión: CA e US$

Inversión anualizada: CA e FRK US$/año

Costos fijos: θ CA e US$/año

Pérdida de calor: Q = k A ΔT / ΔX = k ΔT / e Kcal/hr

Costo del calor perdido: CQ Y k ΔT/e US$/año

Costo total CT = CQ Y k ΔT / e + (θ + FRK) CA e US$/año



Para encontrar el espesor óptimo derivaremos la función de costos totales con respecto al espesor y los igualaremos a cero.

δ CT= - CQ Y k DT/e 2 + (θ + FRK) CA = 0

δ e

CQ Y k ΔTe 2 = m

( θ + FRK) CA

La relación anterior se utiliza para generar nomogramas, que faciliten la selección del espesor óptimo de aislamiento.

La construcción de nomogramas se deben realizar en forma genérica sin dar valor a ninguno de los parámetros, solo de esta manera el nomograma podrá ser utilizado en cualquier tiempo y lugar.


96


Nomograma para la determinación del espesor óptimo de aislamiento en superficies planas


0123456789

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000(FRK+θ) CA [US$/m3 -año]

K Y

(T-T

h) C

Q [

US$

/m-a

ño]

e = 2 cm

e =

20 c

m

e = 15

cm

e = 12

cm

e = 10 cm

e = 8 cm

e = 6 cm

e = 4 cm


Caso: Evaporadores de Múltiple Efecto

En los procesos de evaporación y concentración de soluciones acuosas se utiliza vapor como fuente de energía térmica para lograr la evaporación del agua de las soluciones.

El consumo de vapor y por lo tanto los costos en vapor disminuyen con el número de efectos. A continuación se muestra una relación empírica entre el consumo de vapor y el número de efectos.

WE WS =

0.75 N 0.95

Donde: WE: Agua evaporada [Kg/hr]WS: Consumo de vapor [Kg/hr]N : Número de efectos




FWS


El número de efectos disminuye los costos en vapor y a su vez incrementa la inversión y por consiguiente los costos fijos que dependen de la inversión.

Para determinar el número óptimo de efectos que minimicen los costos totales se requerirá la siguiente información:

INVE: Costo instalado de un efectoCS: Costo del vapor [US$/Kg]θ : Costos fijos como fracción de la inversión totalY: Horas de operación al añoJ: Tiempo de vida de los equipos [años]TD: Tasa real de descuento

FO = CT = Costo del vapor + Costos fijos + Inversión anualizada



Costo del vapor = WS CS Y = (4/3) WE N -0.95 CS Y US$/año

Inversión total = N INVE US$

Costos fijos = θ N INVE US$/año

Inversión anualizada = N INVE FRK US$/año

CT = (4/3) WE N -0.95 CS Y + θ N INVE + N INVE FRK

CT = (4/3) WE N -0.95 CS Y + ( θ + FRK ) N INVE



Para encontrar el número óptimo de efectos se toma la primera derivada de los costos totales con respecto a N y se iguala a cero:

δ CT= - 0.95 (4/3) WE N -1.95 CS Y + ( θ + FRK ) INVE = 0

δ N

Resolviendo:

1.267 WE CS YN 1.95 =

( θ + FRK ) INVE

Con la relación anterior se puede construir el nomograma correspondiente.


97


Nomograma para la determinación del número óptimo de efectos en evaporadores


0

1

2

3

4

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4

θ + FRK

WE

CS

Y / I

NV E

1 Efecto

3 Efectos

2 Efectos

6 Efe

ctos

5 Efec

tos

4 Efectos7 Efe

ctos


Los procesos cíclicos se caracterizan por tener una etapa de operación (producción) seguida de un período en que no se produce ya que los equipos están en procesos (no productivos) de descarga, limpieza, carga, regeneración, etc.

Casos típicos: reactores por lotes, filtros prensa, torres desionizadorasde agua, evaporadores sujetos a ensuciamiento, equipos con lecho fijo de catalizadores que requieren ser regenerados, etc.

En los procesos cíclicos la producción, eficiencia o performance disminuyen conforme transcurre el tiempo de producción u operación, incrementando los costos unitarios.

TC = TO + TL TC : Tiempo de cicloTO : Tiempo de operación o producciónTL : Tiempo de no producción

Operación (TO ) No operación (TL )

Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos


Caso: Reactor por Lotes

En un reactor por lotes la velocidad de formación del producto disminuye con el tiempo debido al descenso en la concentración de los reactantes y está dado por la siguiente ecuación:

R = 150 TR-0.5 TM/día

TR: Tiempo (días) desde que se inicia la reacción.

El costo de operación es de 4260 US$/día, el período de descarga, limpieza y carga es de 0.75 días y su costo es de 10500 US$.

Encontrar el tiempo de reacción óptimo que minimiza el costo de producción si se desea producir 3000 TM/mes, si se desea que la producción sea de 4800 TM/mes.



Velocidad de Formación del producto en un reactor por lotes


Tiempo de Reacción

Velo

cida

d de

For

mac

ión


Primero debemos determinar es la producción por ciclo, lo que se logrará integrando la ecuación de la velocidad de formación del producto.

TOQC = 150 TR

-0.5 δTR = 300 TO0.5 TM/ciclo

0

Sea N el número de ciclos por mes y Q la producción mensual.

Q = N QC = 300 N TO0.5 N =Q/( 300 TO

0.5 )

Los costos de operación estarán dados por la suma del costo de reacción y el costo de limpieza:

Costo mensual: C = 4260 N TO +10500 N

Reemplazando el valor de N: C = Q (14.2 TO0.5 + 35.0 TO

-0.5 )



Para encontrar el tiempo óptimo de reacción habrá que derivar la función objetivo de costo de operación con respecto a la variable TO y luego igualarlo a cero.

δ C= Q (14.2 · 0.5 TO

-0.5 - 35.0 · 0.5 TO-1.5 ) = 0

δ TO

Resolviendo: TO = 2.465 días TC = 2.465 + 0.75 = 3.215 días

Se aprecia que el tiempo óptimo de reacción es independiente del requerimiento de producción mensual.

Caso: Producción mensual = 3000 TM/mes

N =3000/[300 (2.465) 0.5 ] = 6.37 Ciclos

Tiempo total: N TC = 6.37 · 3.215 = 20.48 días

Producción factible ya que se logra en menos de 30 días (1 mes)


98


Caso: Producción de 3000 TM/mes


120

130

140

150

160

170

180

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo de Reacción (Dias)

Cos

to M

ensu

al (M

US$

)

15

20

25

30

Día

s Tr

abaj

ados

/Mes

Costo Mínimo


Caso: Producción mensual = 4800 TM/mes

N =4800/[300 (2.465) 0.5 ] = 10.19 Ciclos

Tiempo total: N TC = 10.19 · 3.215 = 32.76 días

Producción no factible, trabajando con tiempo de reacción igual a 2.465 días se logra en más de 30 días (1 mes). Este resultado se debe a que no se consideró la siguiente restricción:

N (To + 0.75 ) <= 30

Para encontrar la solución se utilizará las siguientes relaciones:

N =4800/[300 To 0.5 ]

N (To + 0.75 ) = 30

Resolviendo: To = 1.681 días



Caso: Producción de 4800 TM/mes


200

220

240

260

280

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0Tiempo de Reacción (Dias)

Cos

to M

ensu

al (M

US$

)

26

28

30

32

34

36

38

Día

s Tr

abaj

ados

/Mes

Costo Mínimo

RegiónFactible


Caso: Reactores por Lotes Operando en Paralelo

Se debe producir 20000 Kg/año de un compuesto, el proceso se puede realizar en un reactor o en varios conectados en paralelo. El ciclo (reacción, carga, descarga y limpieza) toma 8 horas y se dispone de 3500 horas/año. El proceso es patentado, el costo de la regalía es inversamente proporcional al número de reactores utilizados, si se utiliza un reactor el pago por regalía es de 113,100 US$/año.

Tamaño de un reactor: QR Kg

Inversión de un reactor = IR = 4000 QR1.2 US$

Costo anual de mantenimiento: 10% de la inversión

Costo de reacción, carga, descarga y limpieza: 40 US$/reactor-ciclo.

Determinar el tamaño del reactor (QR) y el número de reactores (M) óptimos.



Número de ciclos por año = N

Número de reactores = M

Producción anual = 20000 = M·N·QR

Costo de mantenimiento = CMAN = 0.10·M·IR = 400 M·QR1.2 US$/año

Costo de reacción, carga, descarga y limpieza = CLIM = 40·M·N US$/año

Pago por regalía = CREG = 113100/M US$/año

Costo total: CT = CMAN + CLIM + CREG

CT = 400 M QR1.2 + 40 M·N + 113100 / M

Reemplazando la relación M·N de la ecuación de producción anual:

CT = 400 M QR1.2 +800000 / QR + 113100 / M



Para encontrar el tamaño y número de los reactores óptimos seránecesario determinar las correspondientes derivadas parciales e igualarlas a cero.

δ CT= 400 QR

1.2 - 113100 / M 2 = 0δ M

δ CT= 400 · 1.2 M QR

0.2 – 800000 / QR2 = 0

δ QR

Resolviendo: QR = 17.684 Kg M = 3 reactores

N = 20000 / (3·17.684) = 378 ciclos/año

Verificación de la factibilidad: Tiempo total = 378 · 8 = 3024 horas/año.

El tiempo total es menor que el tiempo disponible (3500 horas/año), se concluye que la solución es factible.


99


Caso: Tamaño Óptimo de Reactores por Lotes Operando en Paralelo


110

120

130

140

150

160

170

5 10 15 20 25 30 35Tamaño de los Reactores (Kg)

Cos

to A

nual

(MU

S$)

1 Reactor

2 Reac

tores

3 Reactores

4 Reactores

6 Rea

ctore

s

8 Rea

ctores


Caso: Procesos de Filtración

En un filtro se obliga a una suspensión pasar a través de él aplicando una diferencia de presión entre la entrada de la suspensión y salida del filtrado.

Durante el proceso los sólidos de la suspensión se quedan en el equipo formando un lecho de partículas, conocido como torta.

Durante la operación el espesor de la torta aumenta con el correspondiente incremento de la resistencia al flujo del filtrado, si la diferencia de presión es mantenida constante (caso usual) la velocidad de filtración disminuirá con el tiempo.

En un determinado tiempo la producción de filtrado es tan pequeña que se procede al desmontaje del filtro, descarga de la torta, limpieza y montaje del filtro y luego se reinicia el proceso con filtro limpio dando origen a ciclos de operación y no operación.



Hay operaciones de filtrado muy especiales en que se debe mantener constante la velocidad de filtración, en este caso conforme transcurre el tiempo será necesario incrementar la presión a la entrada del filtro, con el consiguiente mayor consumo de energía (mayor costo).

Llegará un momento que el consumo de energía es muy alta haciendo antieconómico el proceso y originando la paralización de la operación para descargar la torta.



El flujo del filtrado a través del lecho poroso de la torta es de régimen laminar y viene expresado por la siguiente relación:

δ PT k1 μ v (1- ε ) 2 (SP / VP ) 2

= δ L gC ε 3

Donde:δ PT / δ L: Caída de presión [(Kgf /m2 )/m]

μ: Viscosidad del filtrado [Kg/m-seg]v : Velocidad del filtrado, basada en el área del filtro [m/seg]ε : Porosidad de la tortaSP: Superficie de una partícula [m2 ]VP: Volumen de una partícula [m3 ]k1 : Constante que depende de la distribución de partículasgC : 9.8067 [(Kg m/seg2 )/Kgf ]



Si ρP es la densidad de las partículas, la masa de sólidos, mC , contenida en la torta estará dado por la siguiente relación.

δ mC = ρP (1- ε ) A δ L

Reemplazando estas dos últimas relaciones en la ecuación que gobierna el flujo a través de la torta y efectuando la integración resulta:

k1 μ v (1- ε ) (SP / VP ) 2 mC μ v mCΔPT = = α

gC ρP A ε 3 gC A

La caída de presión en el medio filtrante (RM es la resistencia del medio) estará dada por:

μ v Δ PM = RM

gÇ



La caída de presión en el filtro en conjunto estará dada por la suma de las caídas de presión en la torta y el medio filtrante:

μ vΔ P = Δ PT + Δ PM = ( α mC /A + RM )

gC

Sea V el volumen de filtrado obtenido desde la primera gota al principio de la operación y como el área del filtro es A, la velocidad del filtrado (v) estará dada por:

δ V / δ tv =

A


100


Sea c la cantidad de partículas en la torta por unidad de volumen de filtrado (V), la masa de partículas en la torta estará dada por:

mC = V c

Reemplazando las dos últimas relaciones en la ecuación de la caída de presión se obtiene la función que gobierna los procesos de filtración:

δ t μ= ( α c V /A + RM ) = a + b V

δ V A gC ΔP

La ecuación anterior es una línea recta con variable independiente V.



μ RM

a = A gC ΔP

μ α c b =

A2 gC ΔP



Caso de un Filtro Prensa:

Se desea filtrar una suspensión que contiene 350 m3 de líquido en un mes. Determinar el tiempo óptimo de filtración si el costo de operación es de 5 US$/hora y la descarga limpieza y montaje toma una hora y cuesta 320 US$.

El área del filtro es 120 m2 y opera a ΔP constante e igual a 3 Kgf/cm2.

Con la finalidad de obtener la información necesaria se ha efectuado pruebas en un filtro pequeño de 0.44 m2 de área con la misma solución, las pruebas se realizaron para caídas de presión de 2.0 y 2.6 Kgf /cm2.

En la tabla siguiente se resumen los resultados de las pruebas.



Datos del Tiempo de Filtración


Tiempo (Minutos)Volumen de

Filtrado (Litros)ΔP = 2.0 Kg-f/cm2

ΔP = 2.6 Kg-f/cm2

0.50 6.4 5.4 1.00 14.1 11.6 1.50 24.3 19.5 2.00 37.0 29.1 2.50 51.8 40.5 3.00 69.1 53.7 3.50 89.0 68.6 4.00 110.0 85.2 4.50 134.1 103.6 5.00 160.0 123.7


La ecuación que gobierna los procesos de filtración cuando se opera a DP constante se puede escribir como la ecuación de una línea recta:

δ t μ= ( α c V / A + RM ) = a + b V

δ V A gC ΔP

Para determinar las constantes a y b, deberá efectuarse la regresión entre el volumen de filtrado (V) y la inversa del la velocidad de filtración (δt/dV), dichas variables deberán ser obtenidas de la tabla anterior.

δ t Δ t tJ - tJ-1= =

δ V Δ V VJ - VJ-1

La inversa de la velocidad de filtración determinada con la relación anterior será válida para el valor medio de VJ-1 y VJ.

VJ-1 + VJ V =

2



Inversa de la Velocidad de Filtración vs Volumen de Filtrado


Δ T / Δ V (minutos/litro)Volumen de

Filtrado (Litros)ΔP = 2.0 Kg-f/cm2

ΔP = 2.6 Kg-f/cm2

0.75 15.40 12.401.25 20.40 15.801.75 25.40 19.202.25 29.60 22.802.75 34.60 26.403.25 39.80 29.803.75 42.00 33.204.25 48.20 36.804.75 51.80 40.20

CorrelaciónIntersección (a) 9.1633 7.1122

Pendiente (b) 9.0800 6.9733Coef. de Corr. (R2) 0.9969 0.9999

101


Para P = 2.0 Kgf /cm2

δ t μ= ( α c V / A + RΜ ) = 9.1633 + 9.0800 V

δ V A gC ΔP

μ RM μ RM

= = 9.1633 μ RM / gC = 8.0637A gC ΔP 0.44 · gC· 2.0

μ α c V / A μ α c V/0.44= = 9.0800 V μ α c / gC = 3.5158

A gC ΔP 0.44 · gC · 2.0



Para P = 2.6 Kgf /cm2

δ t μ= ( α c V / A + RΜ ) = 7.1122 + 6.9733 V

δ V A gC ΔP

μ RM μ RM

= = 7.1122 μ RM / gC = 8.1364A gC ΔP 0.44 · gC· 2.6

μ α c V / A μ α c V/0.44= = 6.9733 V μ α c / gC = 3.5101

A gC ΔP 0.44 · gC · 2.6



Los valores definitivos de μ RM /gC y μ α c/gC se considerarán como los valores promedios de las pruebas a P = 2.0 Kg-f /cm2 y a P = 2.6 Kg-f /cm2.

μ RM /gC = (8.0637 + 8.1364)/2 = 8.1000

μ α c/gC = (3.5158 + 3.5101)/2 = 3.5130

La ecuación que gobierna el proceso de filtración de la suspensión del problema será la siguiente:

δ t 8.10 3.513 = + V

δ V A ΔP A 2 ΔP



Para el caso de A= 120 m2 y P= 3.0 Kg-f /cm2

δ t= 0.0225 + 8.132·10-5 V V [litros] y t [min]

δ V

Integrando desde t = 0 para V = 0, hasta t =tO y V = V:

tO = 0.0225 V + 4.066·10 -5 V 2

Número de ciclos: N = 350000 / V

Costo de operación en US$/mes:

C = N (5 tO + 320)

C = 350000 (0.1125 + 2.033·10 -4 V + 320 / V)



Derivando la ecuación del costo mensual de operación e igualando a cero para determinar el tiempo óptimo de filtrado.

δ C= 350000 (2.033 · 10 -4 - 320 / V 2 ) = 0

δ V

V = 1254.6 Litros

N = 350000 / 1254.6 = 279 ciclos/mes

tO = 0.0225 · 1254.6 + 4.066 · 10-5 (1254.6)2 = 92.2 min = 1.54 horas

tC = 1.54 + 1 = 2.54 horas

TT = 279 · 2.54 = 707.86 horas = 29.49 días/mes

La solución es factible ya que los días empleados es menor a 30.



Costo en la operación de un filtro prensa


0

100

200

300

400

500

200 600 1000 1400 1800 2200Volumen de Filtrado (Litro/ciclo)

Cos

to M

ensu

al (M

US$

)

Costo Mínimo

Costo de Descarga, Limpieza y Ensamble (CL)

Costo de Operación (CO)

Costo Total (CT)

102


Variables en la operación de un filtro prensa


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

200 600 1000 1400 1800 2200Volumen de Filtrado (Litros/ciclo)

Núm

ero

de C

iclo

s/m

es

0

50

100

150

200

250

300

Tiem

po d

e Fi

trad

o (t o

)

Minutos/c

iclo


Se emplea cuando existen restricciones de igualdad.

Sea F una función objetivo que depende de las variables X i :

F = f ( X1 , X2 , X3 , ....... , XN )

Restricciones:

GJ = gJ ( X1 , X2 , X3 , ....... , XN ) = 0 J = 1 , ... , M

Se define una nueva función Φ con la función objetivo F y las restricciones G.

MΦ = F + Σ λJ GJ

J = 1

La nueva función Φ es exactamente igual a F por lo tanto el óptimo para Φ lo será también para F.

Métodos Analíticos – Multiplicadores de Lagrange


Para encontrar el valor de las variables que optimicen la nueva función objetivo Φ es necesario resolver el siguientes sistema de N+M ecuaciones:

δ Φ= 0 K = 1, ... , N

δ XK

δ Φ= GJ = 0 J = 1, ... , M

δ λJ

Se aprecia que las derivadas parciales con respecto a los Multiplicadores de Lagrange ( λJ ) son las correspondiente restricciones GJ.



Caso: Reactores Continuos Tipo Tanque Agitado Conectados en Paralelo

Un sistema cuenta con tres reactores continuos del tipo tanque agitado de volúmenes V1, V2 y V3 conectados en paralelo. El sistema se alimentará con un caudal Q y concentración CA0, la reacción es de primer orden, ocurre en fase líquida y sigue la siguiente estequiometríaA B+C. Determinar la distribución óptima de la alimentación a los reactores para que la conversión sea la máxima.

.


V1

V2

V3

Q1

Q3

Q2Q


La concentración del compuesto a la salida de cualquiera de los reactores se determina mediante un balance de materia en dicho equipo.Moles que ingresan - Moles que reaccionan = Moles que salen

QJ CA0 - VJ K CAJ = QJ CAJ

QJ CA0CAJ =

QJ + VJ K

La conversión a la salida será máxima cuando la concentración o flujo de A (CA o NA) sean mínimas.. Para el caso se minimizará el flujo de A (NA) a la salida .

NA = Q1 CA1 + Q2 CA2 + Q3 CA3

Q12 CA0 Q2

2 CA0 Q32 CA0

NA = + + Q1 + V1 K Q2 + V2 K Q3 + V3 K



Existe la siguiente restricción de Igualdad:

Q = Q1 + Q2 + Q3 Que se convierte en: G = Q - Q1 - Q2 - Q3 = 0

La nueva función objetivo será:

Q12 CA0 Q2

2 CA0 Q32 CA0

Φ = + + + λ (Q - Q1 - Q2 - Q3 )Q1 + V1 K Q2 + V2 K Q3 + V3 K

Para determinar los valores óptimos de las variables se deberá derivar en forma parcial la nueva función objetivo y luego igualarla a cero.

δ Φ QJ CA0 (QJ + 2 VJ K)= - λ = 0 3 ecuaciones J = 1, 2 y 3

δ QJ (QJ + VJ K ) 2

δ Φ= Q - Q1 - Q2 - Q3 = 0

δ λ


103


Resolviendo las cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

V1

Q1 = Q V1 + V2 + V3

V2

Q2 = Q V1 + V2 + V3

V3

Q3 = Q V1 + V2 + V3



Caso: Dimensiones de Equipos

Se desea construir un separador de fases de forma cilíndrica con cabezales semi-esféricos de 30 m3 de capacidad. Determinar las dimensiones (longitud y diámetro) que minimicen su costo de construcción, el costo de la porción cilíndrica es 2500 D 1.2 US$/m y el de cada cabezal 1400 D 2.4 US$, D es el diámetro expresado en metros.

F = C = Costo de la parte cilíndrica + Costo de los dos cabezales

F = C = 2500 L D 1.2 + 2·1400 D 2.4

Restricción: V = (1/4) π D 2 L + (1/6) π D 3 = 30

G = (1/4) π D 2 L + (1/6) π D 3 - 30 = 0

La nueva función objetivo será:

Φ = 2500 L D 1.2 + 2800 D 2.4 + λ [ (1/4) π D 2 L + (1/6) π D 3 - 30 ]



Para determinar los valores óptimos de las variables se deriva en forma parcial la nueva función objetivo para luego se iguala a cero.

δ Φ= 2500 D 1.2 + λ (1/4) π D 2

δ L

δ Φ= 3000 L D 0.2 + 6720 D 1.4 + λ [(1/2) π D L + (1/2) π D 2 ] = 0

δ D

δ Φ= (1/4) π D 2 L + (1/6) π D 3 - 30 = 0

δ λ

Resolviendo las tres ecuaciones con tres incógnitas:

D = 2.5787 m L = 4.0250 m



La programación lineal es una técnica que se utiliza para determinar los valores de un grupo de variables que maximizan o minimizan una función objetivo, dicha función es lineal con la variables independientes y está sujeta a un grupo de restricciones también lineales.

F = c1 X1 + c2 X2 + ...... + cN XN

Sujeta a M restricciones:

a11 X1 + a12 X2 + ........ + a1N XN <, >, = b1a21 X1 + a22 X2 + ........ + a2 N XN <, >, = b2... ... ... ...aM 1 X1 + aM 2 X2 + ...... + aM N XN <, >, = bM

Los vectores “b” y “c” y la matriz “a” son proporcionados por el sistema que se quiere optimizar. Lo más importante de esta técnica es describir la función objetivo y las restricciones en forma adecuada de tal manera que incluyan todos los parámetros relevantes del sistema.

Métodos Analíticos – Programación Lineal


Caso: Programación de la Producción de dos Productos

Una planta tiene la flexibilidad de producir los productos A o B, si produce sólo A su máxima capacidad es de 100 TM/día y si produce sólo B su máxima capacidad es de 120 TM/día.

Una TM del producto A requiere de 1.25 TM de materia prima cuyo costo es de 1.0 US$/Kg y una TM de B requiere de 1.2 TM de materia prima que cuesta 1.1 US$/Kg.

Los costos variables de producción de A y B son 0.50 y 0.45 US$/Kg de producto respectivamente.

El mercado requiere de 50 TM/día de A y 80 TM/día de B, los precios de venta de A y B son 5 y 4 US$/Kg respectivamente.

Determinar cuál es la estructura de producción que maximice el margen variable de la planta.



Lo primero que se debe definir son las variable y luego las restricciones:Variables:

PROD A Producción del producto A, TM/díaPROD B Producción del producto B, TM/díaMP A Uso de materia prima de A, TM/díaMP B Uso de materia prima de B, TM/díaVTA A Ventas del producto A, TM/díaVTA B Ventas del producto B, TM/día

Restricciones:

CAPROD Limitación en la capacidad de producciónBAL A Relación entre la producción y las ventas de ABAL B Relación entre la producción y las ventas de BREQMP A Relación entre la materia prima y producción de AREQMP B Relación entre la materia prima y producción de BRESVTA A Limitación en las ventas de ARESVTA B Limitación en las ventas de B


104


Formulación de las relaciones:

Función objetivo: El margen variable está dado por los ingresos menos los egresos en materia prima y costos variables de producción.

F.O= Margen Variable = - 0.5 PROD A - 0.45 PROD B – 1.0 MP A - 1.1 MP B + 5.0 VTA A + 4.0 VTA B

Capacidad de producción: La producción no debe exceder máxima capacidad de producción, esta es diferente para A y B y se tomará como base el producto B. Producir una TM de A equivale a dejar de producir 1.2 TM de B.

CAPROD: 1.2*PROD A + 1.0 PROD B <= 120

Relaciones de las ventas con la producción: Los volúmenes producidos deben ser iguales a las ventas.

BAL A: PROD A – VTA A = 0BAL B: PROD B – VTA B = 0



Requerimiento de Materia Prima: Los requerimientos de materia prima están relacionados con el nivel de producción, por cada TM del producto A se requiere de 1.25 TM de materia prima y para B de 1.2 TM.

REQMP A: 1.25*PROD_A – MP_A = 0REQMP B: 1.20*PROD_B – MP_B = 0

Restricciones en la ventas: El volumen de las ventas están limitadas por el requerimiento del mercado.

RESVTA A: VTA A <= 50RESVTA B: VTA B <= 80



Matriz del Problema


Variables PROD A PROD B MP A MP B VTA A VTA B REL RHS

Función Objetivo -0.50 -0.45 -1.00 -1.10 5.00 4.00

Restricciones

CAPROD 1.20 1.00 <= 120.00

BAL A 1.00 -1.00 = 0.00

BAL B 1.00 -1.00 = 0.00

REQMP A 1.25 -1.00 = 0.00

REQMP B 1.20 -1.00 = 0.00

RESVTA A 1.00 <= 50.00

RESVTA B 1.00 <= 80.00


La solución del problema es óptimo:

Función Objetivo = Margen variable: 296.3 MUS$/día (Máximo).

Solución Primal (Estado de las Variables):

En este reporte se aprecia los valores de las variables, lo más importante es la columna del margen neto, cuando esta es positiva quiere decir que conviene incrementar el valor de dicha variable ya que la función objetivo se incrementará.


Variable Estado Valor Margen Unitario

Margen Unitario

Margen Neto (1)

PROD A Básica 50.0 -0.50 -0.50 0.00PROD B Básica 60.0 -0.45 -0.45 0.00

MP A Básica 62.5 -1.00 -1.00 0.00MP B Básica 72.0 -1.10 -1.10 0.00VTA A Básica 50.0 5.00 5.00 0.00VTA B Básica 60.0 4.00 4.00 0.00

(1) Tambíen conocido como Gradiente reducido


Solución Dual (Estado de las Restricciones):

Un información importante es el “Valor Dual” o “Multiplicador de Lagrange”, que indica en cuanto se incrementaría la Función Objetivo si se incrementa en una unidad el valor de la restricción.

Se aprecia que la restricción del mercado para la venta de B es no limitante, la producción y la venta de B es de 60 TM/día y el mercado estaría dispuesto a adquirir 80 TM/día, quedando una holgura de 20 TM/día, el valor del RHS de esta restricción puede reducirse hasta 60 y la solución del problema sería la misma.


Restricciones Estado Valor Dual (1)

Valor RHS

Usado Holgura (2)

CAPROD Obligatorio 2.230 120.00 120.00 0.00BAL A Opcional -4.426 0.00 0.00 0.00BAL B Opcional -4.000 0.00 0.00 0.00

REQMP A Opcional 1.000 0.00 0.00 0.00REQMP B Opcional 1.100 0.00 0.00 0.00RESVTA A Obligatorio 0.574 50.00 50.00 0.00RESVTA B Opcional 0.000 80.00 60.00 20.00

(1) Tambíen conocido como Multiplicador de Lagrange(2) Tambíen conocido como Divergencia


Rango de los coeficientes de la F.O.:

En este cuadro se aprecia el rango de variación que podrían tener los coeficientes de la función objetivo sin que la solución del problema se altere.


Variable Estado Valor Margen Unitario

Mínimo Máximo

PROD A Básica 50.0 -0.50 -1.06 NingunoPROD B Básica 60.0 -0.45 -2.68 0.03

MP A Básica 62.5 -1.00 -1.46 NingunoMP B Básica 72.0 -1.10 -2.96 -0.70VTA A Básica 50.0 5.00 4.43 NíngunoVTA B Básica 60.0 4.00 1.77 4.48

105


Rango de los valores del RHS:

Se aprecia los rangos de los valores en los que puede variar el RHS sin originar el uso deficiente de los recursos. Es caso el RHS tome valores fuera del rango indicado, se estarían perdiendo oportunidades por no utilizar eficientemente los recursos.


Restricciones Estado Valor Dual (1)

Valor RHS

Mínimo Máximo

CAPROD Obligatorio 2.230 120.00 60.00 140.00BAL A Opcional -4.426 0.00 -16.67 50.00BAL B Opcional -4.000 0.00 -20.00 60.00

REQMP A Opcional 1.000 0.00 Ninguno 62.50REQMP B Opcional 1.100 0.00 Ninguno 72.00RESVTA A Obligatorio 0.574 50.00 33.33 100.00RESVTA B Opcional 0.000 80.00 60.00 Ninguno


Estos métodos se utilizan cuando no se puede determinar analíticamente las derivadas parciales de la función objetivo respecto a cada variable independiente. Los casos de minimización pueden ser tratados como problemas de maximización del negativo de la función respuesta.

.


X

FO 0

F

- F

X óptimo

FMIN

(- F)MAX


Búsqueda en una Sola Dirección

Se aplica cuando la función objetivo depende de una sola variable independiente [ F = f (X) ] y la determinación de su primera derivada es muy difícil. El procedimiento será desarrollado para el caso de maximización.

1. Se toma un punto inicial X1 y un salto inicial ascendente (h).2. Se evalúa la función en el punto inicial, determinando F1.3. Se incrementa X en una longitud equivalente al salto h y se evalúa la

función en este nuevo punto.4. Si el punto evaluado es mejor que el anterior se incrementa X en una

longitud equivalente al doble del salto anterior.5. Se evalúa la función en el último punto y si esta es superior a la anterior se

incrementa X en una longitud equivalente al doble del salto anterior, se evalúa la función y se repite los pasos 4 y 5.

6. En el primer punto que la función no muestre una mejora, se deja de incrementarse el valor de X y se avalúa la función en el punto intermedio de los dos últimos valores de X.

XN+1 = ( XN-1 + XN )/2 FN+1 = f( XN+1 )




X

F

h 2h 4h 8h 16h

7Punto medio

de 5 y 6

6

5

4

321


7. Con los últimos tres mejores puntos se ajusta una curva cuadrática.

Y = a + b X + c X 2

8. Se determina la primera deriva de la cuadrática y se iguala a cero para calcular el valor de X en el punto máximo de la parábola.

Y' = b + 2 c X = 0

XOP = - b/(2 c)

8. Se evalúa la función objetivo en punto donde ocurre el máximo de la parábola

10. Si el valor de la función objetivo es superior a las anteriores se retorna al paso 7. En caso la función objetivo presenta incrementos despreciables, se da por terminada la búsqueda.




X

F

7

6

5

4

Ajuste a una cuadrática con los tres últimos mejores puntos

Máximo de la Parábola

8

106



X

F

7

6

5

4



8



X

F

7

6

5

4



89



X

F

7

6

5



8 9



X

F

7

6

5



8 9


Ejemplo: Determinar el valor óptimo de la variable independiente y de la función objetivo de la siguiente relación:

Y = 23.0 – 1.848 X + 0.0687 X 2 - 0.00056 X 3

Asumir como punto de partida X1 = 20 y como salto inicial 2 (h). Aplicar el método dé Búsqueda en una sola Dirección.



Solución:

El punto 6 no muestra una mejora, por lo tanto se deja de incrementar el valor de X y el punto 7 se determina como un intermedio de los puntos 5 y 6.

X7 = (50+82)/2 = 66.0 F7 = 39.291


Punto X F1 20.00 9.040 2 22.00 9.632 3 26.00 11.551 4 34.00 17.575 5 50.00 32.350 6 82.00 24.637

107


Los tres últimos mejores puntos son el 5, 6 y 7:


Punto X F5 50.00 32.350 6 82.00 24.637 7 66.00 39.291

F = a + b X + c X2

a = -128.54 b = 5.3267 c = -0.0422

Xop = - b / (2 c) = 63.14

8 63.14 39.239




Punto X F5 50.00 32.350 7 66.00 39.291 8 63.14 39.239

F = a + b X + c X2

a = -93.69 b = 4.1018 c = -0.0316

Xop = - b / (2 c) = 64.86

9 64.86 39.349




Punto X F7 66.00 39.2918 63.14 39.2399 64.86 39.349

F = a + b X + c X2

a = -128.37 b = 5.1764 c = -0.0399

Xop = - b / (2 c) = 64.80

10 64.80 39.349



Se aprecia que el punto 11 es similar al 10 (mínima mejora) por lo tanto se detiene la búsqueda concluyéndose que:

XOPTIMO = 64.81 FMAX = 39.349


Punto X F7 66.00 39.2919 64.86 39.349

10 64.80 39.349

F = a + b X + c X2

a = -132.34 b = 5.2979 c = -0.0409

Xop = - b / (2 c) = 64.81

11 64.81 39.349


Este Método es utilizado cuando es factible el cálculo de los valores de la primera derivada parcial (gradiente) de la función objetivo, las que se usan para determinar la dirección de máxima mejora.

El método se puede comparar con la conducta de un ciego que quiere alcanzar el tope de una colina, primero evaluará la dirección de máximo ascenso y avanzará en dicha dirección, en el momento que empiece a descender buscará otra dirección de máximo ascenso.

Cuando llegue a un punto en la que cualquier dirección que tome es de descenso, llegará a la conclusión de que alcanzó el tope de la colina.

Método de la Gradiente



X

Y

1

2

34

5

108


1. Se toma un punto inicial y se evalúa la función en este punto.

F1 = f(X11 , X1

2 , X13 ,......., X1

N )

2. Se determina las derivadas parciales y su correspondiente valor3. En función a la gradiente se encuentra la dirección del vector de

máxima mejora.

X21 = X1

1 + h X2i = X1

i + h ( δF / δX i ) / ( δF / δX1 )

Al variar X1 cambian otras variables independientes convirtiéndose en dependientes de X1. La función objetivo, dada una dirección, depende de una sola variable.

• Para la dirección elegida se efectúa la optimización por el método de búsqueda en una sola dirección. Cuando se alcance el máximo se encuentra una nueva dirección, para lo cual se retorna al paso 2.

• El procedimiento anterior se continua hasta que las mejoras en el valor de la función objetivo sean despreciables.



Estos métodos hacen uso de los valores numéricos de la función objetivo (es muy dificultoso o imposible calcular su gradiente) y efectúan la búsqueda del óptimo con una dirección a la vez.

Entre los métodos primigenios y los que se tratarán figuran los siguientes:

• Método de Rosembrock• Método de Powell

Métodos de Búsqueda Directa


1. Se toma un punto inicial y se evalúa la función en este punto.

F1 = f(X11 , X1

2 , X13 ,......., X1

N )

2. Se realiza la optimización siguiendo una dirección paralela al eje X1, se efectúa la maximización por el método de búsqueda en una sola dirección.

3. Una vez alcanzado el máximo en la dirección anterior, se cambia de dirección que será paralela al eje coordenado X2 y se busca el

máximo en esta nueva dirección .

4. Se repite el paso 3 hasta terminar con todas las direcciones paralelas a los ejes coordenados, todas las direcciones de optimización serán perpendiculares entre si.

Método de Rosembrock


Método de la Rosembrock

X

Y

12

3


6. Terminados con todas direcciones (igual a número de variables independientes) se determina el vector efectivo (unión del punto final e inicial) del ciclo de cálculo anterior.

7. Se inicia un nuevo ciclo efectuando la búsqueda del máximo siguiendo una dirección perpendicular a la del vector efectivo (determinado en el paso 5).

8. La siguiente dirección será perpendicular a la anterior, se continua hasta terminar (tantas direcciones como variables independientes)

9. Si la mejora en el valor de la función objetivo es alta se retorna al paso 5 y se continúa.

10. El proceso se da por terminado cuando las mejoras en la función objetivo sean despreciables.




X

Y

1 2

3

4

5

67

8

109


1. Es similar al método de Rosembrock en los pasos del 1 al 5.2. Se efectúa la búsqueda del máximo en la dirección del vector

efectivo (unión del punto inicial y final). La nueva dirección descarta al primer eje coordenado, con lo que se da por terminado un ciclo, quedando vigentes tantas direcciones como variables independientes.

3. Se inicia un nuevo ciclo siguiendo direcciones paralelas a las vigentes y encontrando los máximos por el método de búsqueda en una sola dirección.

4. Terminado con las direcciones paralelas a las vigentes, se determina la dirección efectiva (unión del punto final e inicial).

5. Se realiza la búsqueda en la dirección del vector efectivo, esta última dirección elimina la primera dirección vigente del ciclo que termina.

6. Si la mejora en el valor de la función objetivo es alta se retorna al paso 3 y se continúa.

7. El proceso se da por terminado cuando las mejoras en la función objetivo sean despreciables.

Método de Powell


Método de Powell

X

Y

1 2

34

56

7


15

RELACIÓN DE REFLUJO ÓPTIMO


Columna de Fraccionamiento:

F: Flujo de alimentación

D: Producto de tope(Destilado)

B: Producto de Fondo.

R: Relación de Reflujo.

QC: Energía retirado en elcondensador.

QB: Energía suministrada enel rehervidor

Relación de Reflujo Óptimo

DR D

QC

QB

B

F

V


Efecto de la Relación de Reflujo:

El incremento en la relación de reflujo afectará las dimensiones y condiciones de operación de la columna de la siguiente manera:

• Incremento de los flujos de líquido y vapor dentro de la columna.• Aumento del diámetro de la columna.• Disminución del número de platos.• Incremento del calor retirado por el condensador y del área de este

equipo.• Incremento del consumo de agua de enfriamiento en el condensador.• Incremento del calor cedido por el rehervidor y del área de este

equipo.• Incremento del consumo de vapor en el rehervidor.



Ejemplo: En una columna de destilación se tratarán 320 Kg-mol/hr de alimentación, cuya composición es de 45% molar de benceno y 55% molar de tolueno. La alimentación se encuentra a 1 atmósfera y en su punto de ebullición (93.9ºC). El destilado deberá contener 92% de benceno y los fondos 5%. Determinar la relación de reflujo que minimice el costo de operación de la columna.

1. Curva de equilibrio para el benceno en el Sistema Benceno-Tolueno.

2.6 XY =

1 + 1.6 X

2. Capacidad calorífica del líquido: 40 Kcal/Kg-mol*ºC

3. Calor de vaporización a 81.7ºC: 7604.4 Kcal/Kg-mol


110


4. Datos de la Columna de Destilación:Presión de trabajo: 1 atm.Máxima velocidad del vapor en el tope: 2750 m/hrCosto instalado (US$/plato) : 445.8 Φ 1.6 Φ [m]: DiámetroEficiencia de plato: 60%

5. Datos del Condensador:Tipo: Condensador totalTemperatura de condensación del destilado: 81.7ºCMedio de enfriamiento: Agua TPROMEDIO = 30ºC

ΔTW = 25ºCCosto del agua: 0.008 US$/TMCosto instalado (US$): 464.1 A 0.6 A[m 2 ]: AreaCoeficiente de transferencia: U = 490 Kcal/hr-m2-ºC



6. Datos del Rehervidor:Tipo: Rehervidor parcialTemperatura del producto de fondos: 108ºCFuente de calor: Vapor de agua saturado a 4.1 atm y 145ºC

Calor latente del vapor = λs = 508.2 Kcal/KgCosto del vapor: 1.10 US$/TM

Costo instalado (US$): 778.4 A0.59 A[m2 ]: AreaCoeficiente de transferencia: U = 390 Kcal/hr-m 2-ºC

7. Otros costos de inversión: Los costos de tuberías, instrumentación, accesorios y aislamiento son el 60% del costo del equipo instalado.

8. Costos fijos: 10% de la inversión total9. Factor de servicio: 90% (7890 hr/año)



Solución: El primer paso será plantear todas las ecuaciones a emplear, primero la función objetivo. Dado que no se proporciona la tasa de descuento, la función objetivo será minimizar el costo operativo anual.

F.O. = Costo Anual = Costo de Vapor + Costo de Agua + Costos Fijos

1. Balance de materia: Dado que son dos componentes habrá dos ecuaciones de balance de materia; balance global y parcial para el benceno.

F = D + B 0.45 F = 0.92 D + 0.05 B

2. Balance de energía: elegiremos una temperatura base (TBASE) en la cual la entalpía de la mezcla será cero.

QB + F CP (TF - TBASE) = QC + D CP (TD - TBASE) + B CP (TB - TBASE)

3. Etapas de equilibrio: Las etapas de equilibrio estarán determinadas por las líneas de operación de la zona de tope, zona de despojamiento y la curva de equilibrio. Las pendientes de la línea de operación dependerán de la relación de reflujo (R).



Curva de equilibriopara el benceno:

2.6 XY =

1 + 1.6 X

YX =

2.6 - 1.6 Y


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

Y

T

B Zona de Despojamiento Zona de Enriquecimiento


Línea de operación en la zona de Tope (zona de enriquecimiento):

R 0.92 YN+1 = XN +

R + 1 R + 1

Se define YCORTE al cruce de la línea de operación de la zona de Tope y a la línea de operación del Plato de Alimentación.

R 0.92 YCORTE = 0.45 +

R + 1 R + 1




0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

Y

T

B

Y CORTE

111



0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

Y

T

B

Y CORTE


Línea de operación en la zona de Fondos (zona de Despojamiento) unión entre el punto B y el YCORTE:

Seguirá la siguiente ecuación de línea recta:

YN+1 = m XN + b

YCORTE - 0.05m =

0.45 - 0.05

b = 0.05 (1 - m)




0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

Y

T

B

Y CORTE



0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

Y

T

B

Y CORTE



0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

Y

T

B

Y CORTE


4. Condensador: El calor retirado en el Condensador será el necesario para condensar el flujo de vapores V, el calor retirado será ganado por el agua que elevará su temperatura en 25ºC.

QC = V λ = D (1+R) λ = 7604.4 D (1 + R) Kcal/hr

QC = U AC ΔT = 490 AC (81.7 - 30)

AC = 0.00003947 QC

Consumo de agua:

QC QC

MW = = = 0.04 QC Kg/hrCP ΔTW 25


112


5. Rehervidor: El calor ganado en el Rehervidor será determinado por el balance de energía, este calor será cedido por vapor de agua que condensa proporcionando su calor latente.

QB = QC + D CP (TD - TBASE) + B CP (TB - TBASE) - F CP (TF - TBASE)

QB = U AB ΔT = 390 AB (145 - 108)

AB = 0.000693 QB

Consumo de vapor:

QB QB

MS = = = 0.001968 QB Kg/hrλ S 508.2



6. Platos ideales y reales en la columna:

Sea NEI el número total de etapas de equilibrio.

El Rehervidor parcial se comporta como una etapa de equilibrio, por lo tanto dentro de la columna habrán NEI -1 platos ideales (NPI).

El número de platos reales (NPR) se determina dividiendo los platos ideales (NPI) entre la eficiencia de plato.

Nº de platos ideales = NPI = NEI - 1

NPI NEI - 1 Nº de platos reales = NPR = =

0.6 0.6



7. Diámetro de la columna:

El valor mínimo del Diámetro estará dado por la velocidad de los vapores en el tope.

El flujo vapores V es igual a D(1+ R), asumiendo comportamiento de gas perfecto en el tope se determina el flujo volumétrico.

Flujo molar en el tope = V = D (1 + R) Kg-mol/hr

Flujo volumétrico en el tope = 29.12 D (1 + R) m3/hr

29.12 D (1 + R) = 2750 · 0.25 π Φ 2

Φ = 0.1161 [D (1 + R)] 0.5 m



Algoritmo de solución:

Lo primero que se debe de resolver son las ecuaciones de balance de materia, esta solución no necesariamente debe considerarse dentro del algoritmo.

F = 320 Kg-mol/hrD = 147.13 Kg-mol/hrB = 172.87 Kg-mol/hr

La otra información que debe calcularse, antes de ingresar al algoritmo de solución, es la relación de reflujo mínima. Esta relación estará dada por la línea de operación de la zona de tope, cuando el YCORTE coincida con la línea de equilibrio.

2.6 X 2.6 · 0.45 YCORTE = = = 0.6802

1 + 1.6 X 1 + 1.6 · 0.45



0.6802 - 0.92 Pendiente de la línea de operación: m = = 0.5101

0.45 - 0.92

RMINm = = 0.5101 RMIN = 1.0414

1 + RMIN

Pasos del algoritmo de solución:

1.- Asumir un valor de R > RMIN

2.- Calculo del numero de etapas de equilibrio y platos reales,es necesario calcular el YCORTE.

R 0.92 YCORTE = 0.45 +

R + 1 R + 1



Número de etapas en la zona de tope:

N = 0 (contador) Y = 0.92

YX = curva de equilibrio

2.6 - 1.6 Y

N = N + 1SI

R 0.92 Y = X +

R + 1 R + 1

Es Y > YCORTE ?

El número de etapas de equilibrio calculado será siempre mayor que el número de etapas ideales en un valor menor al de una etapa.


113


Número de etapas en la zona de despojamiento:

Ecuación de la línea de operación de esta zona.

Y = m X + b

YCORTE - 0.05 YCORTE - 0.05Pendiente = m = =

0.45 - 0.05 0.40

Intersección = b = 0.05 (1 - m)



K = 0 (contador)

X = 0.05

2.6 XY = curva de equilibrio

1 + 1.6 X

K = K + 1S I

Y - bX =

m

Es X < 0.45 ?

La rutina anterior proporciona un número de etapas mayor que el de etapas físicas, pero en un valor menor al de una etapa.



El numero total de etapas calculado excederá en por lo menos una etapa de equilibro, al número de etapas físicas.

Etapas de equilibrio: NEI = N + K - 1

Dado que el Rehervidor es parcial se comporta como una etapa de equilibrio, por lo tanto la columna de destilación contendrá un etapa menos.

Platos teóricos: NPI = NEI - 1

NEI - 1Platos reales: NPR =

0.6



3.- Diámetro de la Columna

Φ = 1.4082 (1 + R) 0.5 m

4.- Inversión en la Columna

IC = 445.8 NPR Φ 1.6 US$

5.- Inversión en el Condensador

QC = 1118835.37 (1 + R) Kcal/hr

AC = 0.00003947 QC m 2

CC = 464.1 AC0.6 US$



6.- Inversión en el Rehervidor

QB = QC + 25699.24 Kcal/hr

AB = 0.0000693 QB m 2

CB = 778.4 AB0.59 US$

7.- Inversión total

I = 1.6 (IC + CC + CB ) US$

8.- Costos fijos

CF = 0.10 I US$/año



9.- Costos variables

Consumo de agua: MW = 0.04 QC Kg/hr

Costo del agua: CW = 0.0252 QC US$/año

Consumo de vapor: MS = 0.001968 QB Kg/hr

Costo del vapor: CS = 0.0171 QB US$/año

10.- Función objetivo: La función objetivo es el costo de operaciónque estará dado por los costos fijos más los costos variables.

FO: COPERACION = 0.10 I + CW +CS US$/año

11.- Asumir otro valor de la relación de reflujo (R) y retornar al paso 2.


114


Relación Reflujo vsDimensiones de la

Columna

Relación de Reflujo ÓptimoRelación de Platos Teóricos Platos DíametroReflujo ( R ) Tope Fondo Total Reales (metros)

1.0415 20 19 39 65 2.011.0416 19 18 37 62 2.011.0418 17 17 34 57 2.011.0420 17 16 33 55 2.011.0425 16 15 31 52 2.011.0430 15 14 29 48 2.011.0440 14 13 27 45 2.011.0460 13 12 25 42 2.011.0500 12 11 23 38 2.021.0550 11 11 22 37 2.021.0600 10 10 20 33 2.021.0700 10 9 19 32 2.031.0800 9 9 18 30 2.031.0900 9 8 17 28 2.041.1000 8 8 16 27 2.041.1500 7 7 14 23 2.061.2000 7 6 13 22 2.091.3000 6 6 12 20 2.141.4000 6 5 11 18 2.181.6000 5 4 9 15 2.271.8000 5 4 9 15 2.362.0000 4 4 8 13 2.44


Relación de Reflujo vs Dimensiones de la Columna


0

10

20

30

40

50

60

70

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0Relación de Reflujo

Núm

ero

de P

lato

s

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Dám

etro

(m)Díametro

Platos Ideales

Platos Reales


Relación Reflujo vsDimensiones de de

Equipos

Relación de Reflujo ÓptimoRelación de Area del Area del Reflujo ( R ) Condensador (m2) Rehervidor (m2)

1.0415 90.15 160.071.0416 90.16 160.081.0418 90.17 160.091.0420 90.18 160.111.0425 90.20 160.151.0430 90.22 160.191.0440 90.26 160.261.0460 90.35 160.421.0500 90.53 160.731.0550 90.75 161.121.0600 90.97 161.501.0700 91.41 162.281.0800 91.85 163.051.0900 92.30 163.831.1000 92.74 164.611.1500 94.94 168.481.2000 97.15 172.361.3000 101.57 180.111.4000 105.99 187.871.6000 114.82 203.371.8000 123.65 218.882.0000 132.48 234.39


Relación Reflujo vsInversiones en

Equipos


Relación de Columna Condensador Rehervidor Total EquipoReflujo ( R ) (US$) (US$) (US$) (US$)

1.0415 88,690 6,912 15,551 111,153 1.0416 84,600 6,912 15,551 107,063 1.0418 77,784 6,913 15,552 100,248 1.0420 75,060 6,913 15,553 97,526 1.0425 70,980 6,914 15,555 93,449 1.0430 65,533 6,915 15,557 88,005 1.0440 61,461 6,917 15,562 83,940 1.0460 57,409 6,921 15,570 79,900 1.0500 52,022 6,929 15,588 74,540 1.0550 50,752 6,939 15,610 73,302 1.0600 45,353 6,949 15,633 67,936 1.0700 44,150 6,970 15,677 66,796 1.0800 41,550 6,990 15,721 64,261 1.0900 38,929 7,010 15,765 61,704 1.1000 37,683 7,030 15,809 60,522 1.1500 32,710 7,130 16,028 55,868 1.2000 31,869 7,229 16,244 55,342 1.3000 30,020 7,425 16,671 54,116 1.4000 27,954 7,617 17,091 52,662 1.6000 24,836 7,991 17,910 50,737 1.8000 26,352 8,355 18,704 53,411 2.0000 24,135 8,708 19,474 52,317


Relación de Reflujo vs Inversiones en Equipos


0

20

40

60

80

100

120


Inve

rsió

n (M

iles

de U

S$)

Rehervidor

Condensador

Columna

Total Equipos


Relación Reflujo vs Consumo de Servicio

Relación de Reflujo ÓptimoRelación de Vapor AguaReflujo ( R ) (Kg/hr) (M3/hr)

1.0415 4,546 91.4 1.0416 4,546 91.4 1.0418 4,546 91.4 1.0420 4,547 91.4 1.0425 4,548 91.4 1.0430 4,549 91.4 1.0440 4,551 91.5 1.0460 4,556 91.6 1.0500 4,564 91.7 1.0550 4,575 92.0 1.0600 4,586 92.2 1.0700 4,608 92.6 1.0800 4,630 93.1 1.0900 4,652 93.5 1.1000 4,674 94.0 1.1500 4,785 96.2 1.2000 4,895 98.5 1.3000 5,115 102.9 1.4000 5,335 107.4 1.6000 5,775 116.4 1.8000 6,216 125.3 2.0000 6,656 134.3

115


Relación de Reflujo vs Consumo de Servicios


4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000


Con

sum

o de

Vap

or (K

g/hr

)

90

100

110

120

130

140

150

Con

sum

o de

Agu

a (m

3 /hr)

Vapor

Agua


Relación Reflujo vs Costos de Operación

Relación de Reflujo ÓptimoRelación de Fijos Vapor Agua TotalReflujo ( R ) (US$/año) (US$/año) (US$/año) (US$/año)

1.0415 17,784 39,452 5,767 63,003 1.0416 17,130 39,454 5,767 62,351 1.0418 16,040 39,458 5,768 61,265 1.0420 15,604 39,462 5,768 60,834 1.0425 14,952 39,471 5,770 60,193 1.0430 14,081 39,481 5,771 59,333 1.0440 13,430 39,500 5,774 58,704 1.0460 12,784 39,538 5,780 58,102 1.0500 11,926 39,614 5,791 57,332 1.0550 11,728 39,710 5,805 57,243 1.0600 10,870 39,806 5,819 56,494 1.0700 10,687 39,997 5,847 56,532 1.0800 10,282 40,188 5,876 56,345 1.0900 9,873 40,379 5,904 56,155 1.1000 9,683 40,570 5,932 56,186 1.1500 8,939 41,525 6,073 56,538 1.2000 8,855 42,481 6,215 57,550 1.3000 8,659 44,392 6,497 59,548 1.4000 8,426 46,303 6,780 61,508 1.6000 8,118 50,125 7,345 65,587 1.8000 8,546 53,947 7,910 70,402 2.0000 8,371 57,769 8,475 74,614


Relación de Reflujo vs Costos de Operación


0

10

20

30

40

50

60

70

80


Cos

to O

pera

tivo

(MU

S$/a

ño)

Variable

Fijo

Total


Relación de Reflujo vs Costos de Operación


55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40Relación de Reflujo

Cos

to O

pera

tivo

(MU

S$/a

ño)

Relación de Reflujo Optimo = 1.09


La función Objetivo deberá contener en adición a los costos operativos el rubro inversión. Dado que los costos operativos están expresados en base anual, la inversión hay que expresarla también en base anual, es decir anualizarla con la Tasa de Descuento y con los años de operación.

La nueva función Objetivo será:

FO: COPERACION + InversiónANUALIZADA US$/año

Donde:COPERACION = 0.10 I + CW +CS

InversiónANUALIZADA = FRK Inversión

(1+TD)a TDFRK TD, a = a: Años de Operación y

(1+TD)a - 1 TD: Tasa de Descuento.

Relación de Reflujo Óptimo (C. Operativo más Inversión)


Relación Reflujo vs Costos de Operación e Inversión:

Años de Operación: 10 años

Tasa de Descuento: 10%/año

FRK = 0.1627454


Relación de Costos Operativos

Inversión Total

Inversión Anualizada

C. Op. más Inv. Anual.

Reflujo ( R ) (US$/año) (US$) (US$/año) (US$/año) 1.0415000 63,003 177,844 28,943 91,947 1.0416000 62,351 171,301 27,878 90,230 1.0418000 61,265 160,397 26,104 87,369 1.0420000 60,834 156,042 25,395 86,229 1.0425000 60,193 149,518 24,333 84,526 1.0430000 59,333 140,808 22,916 82,249 1.0440000 58,704 134,304 21,857 80,561 1.0460000 58,102 127,840 20,805 78,907 1.0500000 57,332 119,264 19,410 76,741 1.0550000 57,243 117,283 19,087 76,331 1.0600000 56,494 108,697 17,690 74,184 1.0700000 56,532 106,874 17,393 73,925 1.0800000 56,345 102,818 16,733 73,078 1.0900000 56,155 98,727 16,067 72,223 1.1000000 56,186 96,835 15,759 71,945 1.1500000 56,538 89,388 14,548 71,085 1.2000000 57,550 88,547 14,411 71,961 1.3000000 59,548 86,586 14,091 73,639 1.4000000 61,508 84,259 13,713 75,221 1.6000000 65,587 81,179 13,211 78,799 1.8000000 70,402 85,457 13,908 84,310 2.0000000 74,614 83,707 13,623 88,237

116


Relación de Reflujo vs Costos de Operación e Inversión


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


C. O

pera

tivo

e In

vers

ión

(MU

S$/a

ño)

Costo Operativo


Total


Relación de Reflujo vs Costos de Operación e Inversión


65

70

75

80

85

90

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40Relación de Reflujo

C. O

pera

tivo

e In

vers

ión

(MU

S$/a

ño)



La función Objetivo deberá ser el de flujo de egresos, esta es la optimización´completa:

La nueva función Objetivo será:

FO: COPERACION (1 – t) – D t + InversiónANUALIZADA US$/año

Donde:COPERACION = 0.10 I + CW +CS

InversiónANUALIZADA = FRK Inversión

D: Depreciación y

t : Tasa de impuesto a la renta.

Relación de Reflujo Óptimo (Flujo de Egresos)


Relación Reflujo vs Flujo de Egresos

Depreciación Lineal

Tasa Impositiva = 30%


Relación de Costos Operativos

Depreciación


Flujo de Egresos

Reflujo ( R ) (US$/año) (US$/año) (US$/año) (US$/año)1.0415 63,003 17,784 28,943 67,710 1.0416 62,351 17,130 27,878 66,385 1.0418 61,265 16,040 26,104 64,178 1.0420 60,834 15,604 25,395 63,298 1.0425 60,193 14,952 24,333 61,983 1.0430 59,333 14,081 22,916 60,224 1.0440 58,704 13,430 21,857 58,921 1.0460 58,102 12,784 20,805 57,641 1.0500 57,332 11,926 19,410 55,964 1.0550 57,243 11,728 19,087 55,639 1.0600 56,494 10,870 17,690 53,975 1.0700 56,532 10,687 17,393 53,759 1.0800 56,345 10,282 16,733 53,090 1.0900 56,155 9,873 16,067 52,414 1.1000 56,186 9,683 15,759 52,184 1.1500 56,538 8,939 14,548 51,442 1.2000 57,550 8,855 14,411 52,039 1.3000 59,548 8,659 14,091 53,177 1.4000 61,508 8,426 13,713 54,241 1.6000 65,587 8,118 13,211 56,687 1.8000 70,402 8,546 13,908 60,626 2.0000 74,614 8,371 13,623 63,342


Relación de Reflujo vs Flujo de Egresos


50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

70


Fluj

o de

Egr

esos

(MU

S$/a

ño)

Costo Operativo


Total


Relación de Reflujo vs Flujo de Egresos


50

51

52

53

54

55

56

57

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30Relación de Reflujo

Fluj

o de

Egr

esos

(MU

S$/a

ño)


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Título



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