Calculo 3: 2015-1

1

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

En esta parte generalizaremos el concepto de incrementos y diferenciales a funciones de dos

o más variables. Recordemos que dada ( )y f x se define el incremento de la variable

dependiente y como

( ) ( ) y f x x f x

De manera análoga para una función de dos variables ( , )z f x y , definimos el incremento de

la variable dependiente z como

( , ) ( , )z f x x y y f x y

Como podemos observar, z produce la cantidad de cambio en la función cuando ( , )x y cambia

de ( , ) x x y y .

Definición de diferenciabilidad

Una función f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )P x y si z puede expresarse en la

forma

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y

donde 1 2 y 0 cuando ( , ) (0,0)x y . La función f es diferenciable en una región R si

es diferenciable en todo punto de R.

Ejemplo Mostrar que la siguiente función es diferenciable en todo punto

2( , ) 3f x y x y

En efecto Haciendo ( , )z f x y , el incremento de z en un punto arbitrario ( , )x y en el plano es

2 2 2

2

1 2

( , ) ( , )

( 2 ) 3( ) ( 3 )

2 3

2 3 ( ) 0( )

( , ) ( , ) ( ) ( )x y

z f x x y y f x y

x x x x y y x y

x x x y

x x y x x y

f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0x . Como 1 20 y 0 cuando ( , ) (0,0)x y , se sigue que f es

diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura siguiente

2

Debemos de tener en cuenta que el hecho de que existan las derivadas parciales de f no garantiza

que la función sea diferenciable. El teorema siguiente proporciona una condición suficiente para la

diferenciabilidad. A continuación presentamos un teorema que proporciona una condición suficiente

para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

Definición de diferencial total

Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las

variables independientes x e y son

dx x y dy y

y la diferencial total de la variable dependiente z es

( , ) ( , )x y

z zd z dx dy f x y dx f x y dy

x y

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si

( , , , )w f x y z u entonces dx x , dy y , dz z y du u y la diferencial total de w es

w w w wd w d x d y d z d u

x y z u

Ejemplo Hallar la diferencial total de cada función

a) 2 22 3z xsen y x y b) 2 2 2w x y z

Solución

3

a) La diferencial total dz de 2 22 3z xsen y x y es

2 2(2 6 ) (2 6 ) .

z zdz d x d y

x y

sen y xy d x xcos y x y d x

b) La diferencial total dw de 2 2 2w x y z es

2 2 2 .

w w wdw d x d y d z

x y z

x d x yd y zd z

TEOREMA 1 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Si f es una función de e x y , para la que y x yf f son continuas en una región abierta R , entonces

f es diferenciable en R.

Interpretación del teorema 1

El teorema 1 nos dice que se puede elegir ( , )x x y y suficientemente cerca de ( , )x y para

hacer que 1 2 y x y sean insignificantes. En otros términos, para y x y pequeños, se puede

usar la aproximación

z dz

lo cual lleva a la siguiente aproximación

( , ) ( , ) ( , ) ( , )z z z z

f x x y y f x y dx dy f x x y y f x y dx dyx y x y

Ejemplo 1 Uso de la diferencial como aproximación

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en 2 24z x y cuando ( , )x y se desplaza del

punto (1,1) al punto (1.01,0.97) . Comparar esta aproximación con el cambio exacto en z .

Solución

Se hace ( , ) (1,1)x y y ( , ) (1.01 ,0.97)x x y y y se obtiene 0.01d x x y

0.03d y y . Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante

2 2 2 24 4

z z x yz dz dx dy x y

x y x y x y

4

Cuando 1 y 1x y , se tiene 1 1 0.02

(0.01) ( 0.03) 2(0.01) 0.0141.2 2 2

z

con

respecto al cambio exacto se tiene

2 2 2 21.01

(1.01,0.97) (1,1)

4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0.010 3.97 1 1 7

z f f

(Proceso solucionado con calculadora)

En la figura siguiente se puede observar el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las alturas

de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio

Ejemplo2 Estimar 3 22(2.02) (2.97)

Solución

Estimar 3 2( , ) 2( ) ( )f x y x y , 2 , 3.a b Después es fácil calcular el valor exacto de

(2,3) 2.8 9 25 5f . A continuación, 2

3 2 3 2

3

2 2

df x df yy

dx dyx y x y

Por lo que

12 3(2,3) (2,3)

5 5x yf y f

En este caso utilizando 0.02 0.03x yy tenemos

5

2 22(2.02) (2.97) (2.02,2.97)

(2,3) (2,3).(0.02) (2,3).( 0.03)

12 35 .(0.02) .(0.03) 5.03

5 5

x y

f

f f f

El valor real con cuatro decimales es 5.0305 Ejemplo 3

Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto, 6 pulgadas de altura

interior, 2 pulgadas de radio interior y 0.1 pulgadas de grosor. Si el costo del metal es de 40

centavos por pulgadas cúbica. Aproxime mediante diferenciales el costo total del metal

empleado en la elaboración del envase.

Solución

La figura muestra el envase. Si V pulgadas cúbicas es el volumen de un cilindro circular

recto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces

V r h 2

El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volúmenes de

dos cilindros circulares rectos para los cuales 2 1r . , 6 2h . y 2r y 6h respectivamente. El incremento V proporciona el volumen exacto del metal, pero como

únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV que es el diferencial total de V.

22

V VdV dr dh

r h

hdr r dh

Con 2, 6, 0.1 0.2,r h dr y dh

0.1pulg

0.1pulg

6

22 (2)(6)(0.1) (2) (0.2)

3.2

dV

De este modo, 3.2 ,V por lo que el metal empleado en el envase es aproximadamente

3.2 pulg3. Puesto que el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cúbica, entonces el

número aproximado de centavos del costo aproximado es 128 402 .

Conclusión El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.

Ejemplo 4 El punto (1,2) está sobre la curva cuya ecuación es

3 3( , ) 2 5 0f x y x y xy ……………………. (1)

Aproxime la coordenada y del punto cercano ( , )x y sobre dicha curva para el que 1.2.x

Solución

El incremento entre (1, 2) 0f y ( , ) 0f x y sobre esta curva es ( , ) 0 ,f x y df por lo que

cuando se calculan las diferenciales en la ecuación (1) se obtiene

2 2(6 5 ) (3 5 ) 0

f fdf dx dy x y dx y x dy

x y

Ahora al sustituir 1, 2x y y 0.2dx , se obtiene la ecuación ( 4)(0.2) 7 0dy . De donde se

sigue que 0.8

0.114 0.17

dy . Esto deja a (1.2;2.1) como las coordenadas aproximadas del

punto cercano.

Nota Una función de tres variables ( , , )w f x y z se dice que es diferenciable en ( , , )x y z si

( , , ) ( , , )w f x x y y z z f x y z

puede expresarse en la forma

1 2 3x y zw f x f y f z x y z

7

donde 1 2 3, y 0 cuando ( , , ) (0,0,0)x y z . Con esta definición de diferenciabilidad el

teorema 1 pude generalizarse y lo podemos utilizar en el siguiente ejercicio.

Ejemplo 5 Estimar

Solución

Tomamos , como ; así 0,02h ; 0,01k ; 0,05r ;

luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; además 2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

2

3

f x

x x y z

;

; 2 2 2

( 2,2,1)( 2,2,1)

1

3

f z

z x y z

; finalmente se tiene que

2 2 2 2 2 11,98 2,01 1,05 3 ( 0,02) (0,01) (0,05) 3,01

3 3 3 .

Ejemplo 6 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es 0.1

milímetros. Las dimensiones de la caja son 50x centímetros, 20y centímetros y 15z

centímetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado.

Solución

El volumen de la caja está dado por V xyz , y por tanto

.

V V VdV dx dy dz

x y z

yzdx xzdy xydz

2 2 21,98 2,01 1,05

2 2 2( , , )f x y z x y z 0 0( , , ) (2,2,1)oP x y z

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f y

y x y z

8

Utilizando 0.1 milímetros = 0.01centímetros, se tiene 0.01dx dy dz , y el error propagado

es aproximadamente

(20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01)

300(0.01) 750(0.01) 1000(0.

centímetros cúbico

01)

2 s0.5 .

dV

Derivada de la Función Compuesta

Teorema.- Sea 2:f D una función diferenciable, definida por ( , )u f x y y

( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y

x y r s r s

; Entonces

las derivadas parciales de la función compuesta ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s se pueden calcular mediante:

u u x u y

r x r y r

;

u u x u y

s x s y s

.

Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de z respecto

de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la siguiente fórmula:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

………………….. (1)

Ejemplo 7 Dada la función z=2xy donde 2 2x s t ; s

yt

; hallar ;z z

s t

Solución

Como 2

12 ; 2 ; 2 2 ; ;

z z x x y y sy x s t

x y s t s t t t

entonces

2 21 2 2(3 )(2 )(2 ) (2 ) 4

z z x z y x s ty s x ys

s x s y s t t t

2 3

2 2 2

2 2 2(2 )(2 ) (2 )( ) 4

z z x z y s xs st sy t x yt

t x t y t t t t

Ejemplo 8 Si 2 43z x y xy , donde 2x sen t y cosy t . Determine dz dt cuando 0t .

Solución

9

Por la regla de la cadena tenemos

4 2 3(2 3 )(2cos2 ) ( 12 )( )

dz z dx z dyxy y t x xy sent

dt x dt y dt

No es necesario escribir las expresiones para y x y en términos de t simplemente observemos

que cuando 0t tiene 0 0x sen y cos0 1y . Por lo tanto

0

(0 3)2cos0 (0 0)( 0) 6t

dz z dx zsen

dt x dt t

La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t cuando

el punto ( , )x y se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones parametricas son 2x sen t ,

y cost . Ver figura

En particular, cuando 0t , el punto ( , )x y es (0,1) y 6dz dt es la razón del incremento cuando

uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si 2 4( , ) 3z T x y x y xy

representa la temperatura en el punto ( , )x y , entonces la función compuesta ( 2 , )z T sen t cost

representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz dt representa la razón a la cual la

temperatura cambia a lo largo de C .

Ejemplo 9 La figura anterior muestra un bloque de hielo cilíndrico que se funde. Debido al calor del Sol

que le llega desde arriba, su altura h decrece con más rapidez que su radio r . Si su altura

disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando 15r cm y 40h cm ¿Cuál es la tasa de cambio

del volumen V del bloque en ese instante?

Solución

10

Con 2V r h , la regla de la cadena ofrece

22 .dV V dr V dh dr dh

rh rdt r dt h dt dt dt

Al sustituir los valores de 15r cm , 40h cm , 1dr

dt y 3

dh

dt se encuentra que

22 (15)(40)( 1) (15) ( 3) 1875 5890.49dV

dt (cm3/h).

Así en el instante en cuestión, el volumen del bloque cilíndrico disminuye a poco menos de

6 litros por hora.

Ejemplo 10 Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones parametricas

siguientes

1 1

2 2

4cos y 2 (Primer objeto)

2 2 y 3cos2 (Segundo objeto)

x t y sent

x sen t y t

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?

Solución

En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada por

2 2

2 1 2 1( ) ( )s x x y y

y que cuando t , se tiene 1 1 2 24 , 0 , 0 , 3x y x y y

2 2(0 4) (3 0) 5s .

11

Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

Cuando t , las derivadas de 1 1 2 2, , y x y x y son

1 1

2 2

4 0 , 2 2

4 2 4 , 6 2 0

x ysent cost

t t

x ycos t sen t

t t

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidad o

ritmo

1 1 2 2

1 1 2 2

4 3 4 3(0) ( 2) (4) (0)

5 5 5 5

22.

5

dx dy dx dyds s s s s

dt x dt y dt x dt y dt