Informe 7

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DIFRACCIÓN

Andrés López Facultad de Ciencias

Universidad Nacional Autónoma de México

Ciudad Universitaria

04510 México, D.F.

Resumen

El objetivo de esta práctica es verificar experimentalmente los patrones de difracción generados por tres

aperturas distintas, rectangular, circular y hexagonal; así como determinar el ancho de un cabello de

cada integrante del equipo. Para esto, se utilizaron diapositivas con las aperturas antes mencionadas, así

como una dispositiva de una rendija en donde se colocó el cabello dividiéndola a la mitad, a fin de

obtener el patrón de interferencia de una rendija doble, y con esto calcular la distancia de separación

(entre rendijas) midiendo la separación entre sus mínimos. Se encontró que los patrones de las aperturas

tratadas coincidieron en gran medida con aquellos predichos teóricamente, con el mismo orden de

magnitud en la escala y la misma forma del patrón. Para el grosor de los cabellos, se encontró que

comparados con el valor “real” presente en la literatura, los errores porcentuales fueron de 18.5 %, 9.8 %

y 14.2 % respectivamente. Con lo que se corroboró experimentalmente lo que en un principio se

propuso.

1. Introducción

1.1 Difracción

Cuando un haz de luz es bloqueado parcialmente por un objeto parte de la luz se dispersa alrededor del

este, y se pueden observar bandas brillantes y obscuras en el borde de su sombra. A este fenómeno se le

conoce como difracción. Estos efectos pueden ser descritos usando el principio de Huygens, el cual dice

que cualquier punto alcanzado por una onda se convierte él mismo en una fuente de ondas esféricas con

la misma amplitud y fase. Entonces, en un conjunto de puntos alcanzados por un haz de luz se convertirán

cada uno en una fuente, en donde las ondas resultantes van a interactuar una con la otra, interfiriendo

tanto constructiva como destructivamente.

Para simplificar los cálculos de los efectos de la interferencia en cualquier apertura, usualmente se utiliza

la difracción de Franhofer, la cual se obtiene de hacer una aproximación a infinito de la difracción de

Fresnel. Estas se pueden deducir de la siguiente manera.

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Figura 1: Difracción de Fraunhofer para una apertura cualquiera a una distancia r de la pantalla.

Consideremos una onda plana (de amplitud A) que incide normalmente sobre una apertura como se

muestra en la figura 1. Usando el principio de Huygens, calculamos el campo producido a un punto P en

una pantalla SS’, la cual se encuentra a una distancia Z de la apertura. Para una onda esférica divergiendo

del origen, la distribución del campo está dada por:

𝑢~1

𝑟𝑒𝑖𝑘𝑟 (1)

Donde r es la distancia de la fuente (en el origen) al punto de observación. Consideremos un elemento de

área 𝑑𝜉𝑑𝜂 (alrededor del punto de observación M) en el plano que contiene la apertura; el campo en el

punto P dadas las ondas emanando de este diferencial de área será proporcional a:

𝐴𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟𝑑𝜉𝑑𝜂 (2)

Donde r=MP. Para calcular el campo total (en el punto P), hay que sumar sobre todos los elementos de

área (en la apertura), para obtener:

𝑢(𝑃) = 𝐶 ∬𝐴𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟𝑑𝜉𝑑𝜂 (3)

Donde C es una constante de proporcionalidad y la integración es sobre toda la apertura. Para una teoría

más general, se puede demostrar que:

𝐶 = −𝑖𝑘

2𝜋=

1

𝑖𝜆 (4)

Entonces obtenemos:

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𝑢(𝑃) =𝐴

𝑖𝜆 ∬

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟𝑑𝜉𝑑𝜂 (5)

Si la amplitud y la distribución de fase en el plano z=0 están dadas por 𝐴(𝜉, 𝜂) entonces la integral anterior

se hace:

𝑢(𝑃) =1

𝑖𝜆 ∬ 𝐴(𝜉, 𝜂)

𝑒𝑖𝑘𝑟

𝑟𝑑𝜉𝑑𝜂 (6)

La cantidad r, que representa la distancia entre el punto M (cuyas coordenadas son (𝜉, 𝜂, 0)) en el plano de

la apertura, y el punto P (cuyas coordenadas son (x,y,z)) en la pantalla estará dada por:

𝑟 = [(𝑥 − 𝜉)2+(𝑦 − 𝜂)2 + 𝑧2]1/2 = 𝑧√1 + 𝛼 (7)

Donde:

𝛼 =(𝑥−𝜉)2

𝑧2 +(𝑦−𝜂)2

𝑧2 (8)

Ahora bien, para 𝛼 < 1 podemos escribir:

√1 + 𝛼 + 1 +1

2𝛼 −

1

8𝛼2 + ⋯ (9)

Si asumimos 𝛼 ≪ 1 y despreciamos los términos cuadrático y de orden mayor en la expansión anterior,

obtenemos:

𝑟 ≈ 𝑧 +(𝑥−𝜉)2

2𝑧2 +(𝑦−𝜂)2

2𝑧2 (10)

En el denominador de la ecuación (6) bien podemos remplazar r por z, de donde podemos escribir:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≈1

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧 ∬ 𝐴(𝜉, 𝜂)𝑒{

𝑖𝑘

2𝑧[(𝑥−𝜉)2+(𝑦−𝜂)2]}

𝑑𝜉𝑑𝜂 (11)

O bien:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≈1

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒{

𝑖𝑘

2𝑧[𝑥2+𝑦2]}

∬ 𝐴(𝜉, 𝜂)𝑒{𝑖𝑘

2𝑧[𝜉2+𝜂2]}𝑒−𝑖(𝑢𝜉+𝑣𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂 (12)

Lo cual es la integral de difracción de Fresnel. Con:

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𝑢 =2𝜋𝑥

𝜆𝑧 𝑦 𝑣 =

2𝜋𝑦

𝜆𝑧

Ahora bien, en la difracción de Fraunhofer asumimos a z tan grande que dentro de la integral en la

ecuación (11), la función 𝑒{

𝑖𝑘

2𝑧[𝜉2+𝜂2]}

puede ser remplazada por la unidad. En esta aproximación, la

ecuación (12) toma la forma:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≈1

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒{

𝑖𝑘

2𝑧[𝑥2+𝑦2]}

∬ 𝐴(𝜉, 𝜂)𝑒−𝑖(𝑢𝜉+𝑣𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂 (13)

Lo cual, es la integral de difracción de Fraunhofer, que representa el patrón de difracción de Fraunhofer.

En donde, la condición para que la aproximación sea válida es que 𝑧 ≫𝜉2+𝜂2

𝜆. Otra manera de llegar a este

patrón de difracción es, tomando la transformada de Fourier de la función que describe a la apertura.

1.2 Difracción en una apertura cuadrada

Para una apertura cuadrada de lado b, vamos a tener:

𝐴(𝜉, 𝜂) = 𝐴 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜉| = |𝜂| <𝑏

2

𝐴(𝜉, 𝜂) = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 |𝜉| = |𝜂| >𝑏

2

Entonces, sustituyendo en la ecuación (13) vamos a obtener:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝐴

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒{

𝑖𝑘

2𝑧[𝑥2+𝑦2]}

∫ 𝑒−𝑖(𝑣𝜂)𝑑𝜂𝑏/2

−𝑏/2∫ 𝑒−𝑖(𝑢𝜉)𝑑𝜉

𝑏/2

−𝑏/2 (14)

En donde:

∫ 𝑒−𝑖(𝑣𝜂)𝑑𝜂

𝑏/2

−𝑏/2

=1

−𝑖𝑢𝑒−𝑖(𝑣𝜂)|

−𝑏/2𝑏/2 =

2

𝑢

𝑒𝑖𝑢𝑏/2 − 𝑒−𝑖𝑢𝑏/2

2𝑖= 𝑏

𝑠𝑒𝑛𝛽

𝛽

Y:

𝛽 =𝑢𝑏

2=

𝜋𝑏𝑥

𝜆𝑧≈

𝜋𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜆 𝑦 𝜃 ≈

𝑥

𝑧

Entonces, generalizando para ambas integrales, y evaluando al cuadrado obtenemos la expresión para la

intensidad:

𝐼 = 𝐼0 (𝑠𝑒𝑛𝛾

𝛾)

2

(𝑠𝑒𝑛𝛽

𝛽)

2

(15)

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Con:

𝛾 =𝑣𝑏

2=

𝜋𝑏𝑦

𝜆𝑧≈

𝜋𝑏𝑠𝑒𝑛𝜙

𝜆 𝑦 𝜙 ≈

𝑦

𝑧

Figura 2: Patrón de difracción teórico para una apertura cuadrada con la correspondiente escala.

1.3 Difracción en apertura circular

Consideramos una onda plana incidente normalmente en una apertura circular como la mostrada en la

figura 3. En el plano de la apertura, escogemos coordenadas cilíndricas:

𝜉 = 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 𝜂 = 𝑝𝑠𝑒𝑛𝜙

Figura 3: Difracción de Fraunhofer para una apertura circular a una distancia z de la pantalla.

Dada la forma de la apertura, podemos predecir que el patrón consistirá en anillos concéntricos cada uno

de intensidad diferente. Consecuentemente, podemos calcular la distribución de intensidad solo a lo largo

del eje-x (i.e. en puntos para los cuales y=0) y en el resultado final, reemplazar a x por √𝑥2 + 𝑦2. Ahora,

cuando y=0:

𝑣 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑥

𝑧

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Donde el ángulo 𝜃 es el ángulo que OP hace con el eje z. Entonces:

𝑢 =2𝜋𝑥

𝜆𝑧= 𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃

La ecuación (13) toma la forma:

𝑢(𝑝) =𝐴

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒{

𝑖𝑘

2𝑧𝑟2}

∫ ∫ 𝑒−𝑖𝑘𝑝𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑝𝑑𝑝𝑑𝜙2𝜋

0

𝑎

0 (16)

Figura 4: Apertura circular con sus correspondientes medidas en coordenadas cilíndricas.

Entonces:

𝑢(𝑝) =𝐴

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒

{𝑖𝑘2𝑧

𝑟2} 1

(𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃)2∫ 𝜁𝑑𝜁 ∫ 𝑒−𝑖𝜁𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝜙 =

𝑘𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

0

𝐴

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒

{𝑖𝑘

2𝑧𝑟2} 2𝜋

(𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃)2 ∫ 𝜁𝐽0(𝜁)𝑑𝜁𝑘𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

0 (17)

Donde 𝜁 = 𝑘𝑝𝑠𝑒𝑛𝜃 y 𝐽0(𝜁) =1

2𝜋∫ 𝑒−𝑖𝜁𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝜙

2𝜋

0. Si hacemos uso de la relación

𝑑

𝑑𝜁[𝜁𝐽1(𝜁)] = 𝜁𝐽0(𝜁) entonces, la

ecuación (17) se convierte en:

𝑢(𝑝) =𝐴

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒

{𝑖𝑘2𝑧

𝑟2} 2𝜋

(𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃)2[𝜁𝐽1(𝜁)]0

𝑘𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

=𝐴

𝑖𝜆𝑧𝑒𝑖𝑘𝑧𝑒

{𝑖𝑘

2𝑧𝑟2}

𝜋𝑎2 [2𝐽1(𝑣)

𝑣] (18)

Donde 𝑣 = 𝑘𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃. Entonces, la distribución de la intensidad está dada por:

𝐼 = 𝐼0 [2𝐽1(𝑣)

𝑣]

2

(19)

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Figura 5: Patrón de difracción teórico para una apertura circular. Este patrón se denomina como el disco de Airy.

1.3 Difracción en una apertura hexagonal

Para el caso de una apertura hexagonal, podemos calcular la distribución de irradiancia haciendo uso de

la transformada de Fourier de la ecuación asociada a la apertura. En este caso, dicha ecuación tiene la

forma:

ℎ(𝑥, 𝑦) = [𝜃(2𝑦 + √3) − 𝜃(2𝑦 − √3)] • [𝜃(𝑦 − √3(𝑥 − 1)) − 𝜃(𝑦 − √3(𝑥 + 1))] • [𝜃(𝑦 − √3(−𝑥 − 1)) −

𝜃(𝑦 − √3(−𝑥 + 1))] (20)

Entonces, aplicando la transformada de Fourier:

𝑓(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦ℎ(𝑥, 𝑦)𝑒−𝑖(𝑢𝑥+𝑣𝑦) (21)

Esta expresión no está escalada, ya que no contiene ningún término que especifique las medidas de la

apertura, o la distancia a una pantalla, entonces, definimos a u y a v de la siguiente manera:

𝑢 = 𝑏𝑘𝑥′2𝑍⁄ 𝑦 𝑣 =

𝑏𝑘𝑦′2𝑍

⁄ (22)

Donde x’ y y’ son coordenadas en l pantalla, b es el ancho de la rendija, Z es el número de onda 𝑘 = 2𝜋𝜆⁄ y

Z es la distancia a la pantalla. Entonces:

𝑢 = 𝑏𝜋𝑥′𝜆𝑍⁄ 𝑦 𝑣 =

𝑏𝜋𝑦′𝜆𝑍

⁄ (23)

Al igual que los casos anteriores, la irradiancia está dada por el cuadrado del campo por una constante de

proporcionalidad. Así bien:

𝐼 = 𝐼0[𝑓]2 (24)

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1.4 Grosor de un cabello

Para medir el grosor de un cabello haciendo uso del fenómeno de la difracción, se usa una sola rendija en

donde se coloca el cabello a la mitad, generando dos rendijas. De esta manera, se usa la teoría

concerniente a la difracción dada por un par de rendijas separadas una distancia b. En donde se tiene que

la distancia entre dos mínimos está dada por:

𝑑 ≈𝐷𝜆

𝑏 (25)

Donde D es la distancia entre la rendija y la pantalla, 𝜆 es la longitud de onda y b es la separación entre las

rendijas o, en este caso, el diámetro del cabello.

2. Desarrollo Experimental

Para este experimento se utilizó el siguiente material:

- Láser de He-Ne (λ=632.8 nm)

- Pantalla

- Calibrador (Vernier)

- Porta-diapositivas

- Carros para riel

- Diapositiva con una rendija

- Flexómetro

- Diapositiva con apertura circular,

rectangular y hexagonal

- Cabellos

Figura 5: Montaje experimental utilizado para el experimento.

El experimento se llevó a cabo en dos partes. Para la primera, se montó el material de acuerdo a la figura

5, donde se colocaron el porta-diapositivas, la pantalla y el láser en carros para riel, que posteriormente se

ubicaron en dicho lugar. Así bien, se usó la diapositiva con distintas aperturas. Posteriormente, se hizo

incidir el láser sobre dichas aperturas (una a la vez) y se observó el patrón de difracción generado en la

pantalla. Con esto, se ubicó la pantalla en una posición donde el patrón se pudiere ver de manera óptima

y se registró la distancia de separación. Cada uno de estos patrones se fotografió con el fin de ser

comparados posteriormente con los patrones teóricos descritos en las ecuaciones (15) (19) y (24).

Para la segunda parte, se utilizó el mismo montaje que en la sección anterior, con la diferencia de que se

usó una diapositiva e una rendija. En esta, se colocó un cabello dividiéndola a la mitad, a manera de crear

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una doble rendija, en donde observando el patrón y midiendo la distancia entre los máximos se puede

determinar el grosor del cabello haciendo uso de la ecuación (25). Esto se repitió para los cabellos de los

3 integrantes del equipo.

3. Resultados

3.1 Difracción en aperturas

Para una distancia de separación entre la diapositiva y la pantalla de D=74.5 (0.05) cm se obtuvieron los

siguientes patrones de difracción, en donde se coloca cada uno junto con su contraparte teórica, la cual

tiene su escala en metros. Dichas imágenes teóricas fueron elaboradas con el software Mathematica 9 (el

código se encuentra en el apéndice).

Dada la dificultad en la obtención del patrón de difracción teórico para el hexágono, se realizaron dos

gráficas de densidad, donde en la primera se utilizaron solo los primeros términos de la transformada de

Fourier, y en la segunda se utilizaron todos. Esta última no pudo colorearse del color del láser como los

demás patrones dada su complejidad, y es debido ajustar la escala, ya que se tienen las cantidades

transformadas por la fórmula de Fourier. Esta escala se corresponde de la siguiente manera. Cada 100

unidades corresponden aproximadamente a 14 cm.

Así mismo, es importante resaltar que al obtener las imágenes teóricas se estimó el tamaño de la rendija

buscando en la literatura, lo cual arrojó anchos de 0.0001 m para el cuadrado y el círculo, y 0.000001 m

para el hexágono.

Imagen1: Patrón de difracción tanto experimental como teórico para una apertura cuadrada de ancho 0.0001 m.

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Imagen 2: Patrón de difracción tanto experimental como teórico para una apertura circular de radio 0.0001 m.

Imagen 3: Patrón de difracción tanto experimental como teórico para una apertura hexagonal de ancho 0.000001 m, a una

primera aproximación.

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Imagen 4: Patrón de difracción tanto experimental como teórico para una apertura hexagonal de ancho 0.000001 m, usando la

transformada de Fourier completa.

3.2 Grosor de cabello

Para esta parte del experimento, se obtuvo el patrón de difracción típico para una doble rendija ordinaria,

tal y como se muestra en la siguiente imagen, tomada directamente del experimento.

Imagen 5: Patrón de interferencia para una doble rendija constituida por una rendija singular con un cabello dividiéndola por la

mitad.

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Para los 3 distintos cabellos (uno por integrante del equipo) se obtuvieron los siguientes resultados.

Cabello Distancia entre mínimos [cm] Grosor [µm]

1 0.48 (0.016) 98.2 (1.14)

2 0.535 (0.016) 88.7 (1.14)

3 0.509 (0.016) 93.3 (1.14)

Tabla 1: Resultados obtenidos para cada uno de los cabellos utilizados, con su medida de patrón de interferencia y grosor

respectivamente.

4. Discusión

De los resultados obtenidos experimentalmente, se puede comparar con la teoría como se representó en

las imágenes y las tablas anteriores. En la primera parte, se observa que el patrón de difracción

experimental para cada una de las aperturas coincide en forma con el patrón teórico predicho por las

ecuaciones (15), (19) y (24), donde se halla mucha intensidad concentrada en el centro y se va difuminando

hacia los extremos dependiendo de la forma de la apertura. Para el cuadrado se tiene que la figura central

es también un cuadrado, para el círculo igualmente el centro coincide con un círculo y para el hexágono

de igual manera se muestra la forma correspondiente. Es interesante hacer notar cómo en el resultado

experimental para el cuadrado y el hexágono, se observa no una gran mancha al centro sino un conjunto

de puntos brillantes muy cerca el uno del otro. Estos, en la teoría, al estar tan cerca unos de otros son

tratados como como si fuesen una sola zona de gran intensidad a la escala utilizada. Sin embargo, los

puntos que se presentan fuera del patrón principal son más claros en la teoría que en el experimento, lo

cual sugiere que se perdió intensidad de la luz en el trayecto de la diapositiva a la pantalla, más que aquella

predicha por la distancia de separación.

En el hexágono, es fácil darse cuenta que la mejor aproximación teórica es aquella que considera todos

los términos del transformada de Fourier de la apertura, mostrando incluso más información que su

contraparte experimental, como los pequeños anillos formados alrededor del patrón principal que, si bien

si se notan en la fotografía correspondiente, no son tan claros como en la teoría.

Por otro lado, usando los valores del ancho de las rendijas encontrado en la literatura, se encuentra que la

escala de los patrones de difracción teóricos es de unos cuantos centímetros, alrededor de 20 cm de

extremo a extremo, lo cual coincide con las fotos experimentales, ya que la pantalla en la que fueron

proyectados no rebasa los 30 cm de lado a lado, y el patrón se ve claro sólo en el área central. Si bien no

podemos hacer un análisis más exhaustivo de esta situación, se puede afirmar que la correlación es buena,

ya que el orden de magnitud de las distancias es el mismo, y los valores son bastante cercanos.

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Esto en cuanto a la primera parte del experimento. Ahora bien, para la segunda parte, donde se midió el

grosor de 3 cabellos haciendo uso de la teoría de difracción, se encontró que el valor de dicho grueso

corresponde en buena medida con el valor real encontrado en la literatura, que consiste en 80 µm. De la

tabla 1 puede extraerse que los errores porcentuales correspondientes son los siguientes: 18.5 % para el

cabello 1, 9.8 % para el cabello 2, y 14.2 % para el tercero. Esto muestra valores bastante cercanos al real,

con lo cual puede concluirse que es un método bastante certero. Esto aún conlleva algo de subjetividad,

ya que el grueso del cabello humano no es el mismo para todos, sino que cada quien tiene uno

correspondiente, lo cual puede incrementar la veracidad del método. Sin embargo, también podría ser

que el error fuera incrementado debido a la dificultad de distinguir el principio y el final de un máximo en

el patrón de interferencia generado, por lo que se sugiere un método más exacto para poder definir dichas

distancias, y como consecuencia, tener más certeza en afirmar un grueso obtenido.

En general, se considera que el experimento fue llevado a cabo correctamente, ya que se obtuvieron

resultados muy cercanos a la teoría, tanto cualitativa como cuantitativamente, sin embargo, se sugiere

realizar los experimentos con instrumentos un tanto más precisos de tal forma que el error humano se

elimine lo más posible, y el error que quede sea atribuible sólo a los instrumentos utilizados.

5. Conclusiones

Para la primera parte del experimento, se encontró que los patrones de difracción obtenidos tanto

experimental como teóricamente coinciden en buena medida tanto en forma como en escala. Donde se

obtuvo que la distancia de lado a lado coincide en orden de magnitud y en valor aproximado. Así mismo,

se observó que los puntos de mayor intensidad coinciden entre ambas partes y la distribución es la misma.

Para la segunda parte, se encontró que los valores experimentales para el grueso de los 3 cabellos fueron

bastante cercanos al valor real hallado en la literatura (80 µm) con errores porcentuales de 18.5 %, 9.8 % y

14.2 % respectivamente. Dichos valores indican cercanía con el valor promedio de un cabello humano, sin

embargo, dicho valor no es fijo o global, y como tal, puede haber cabellos de distinto grueso sin que

necesariamente el resultado esté equivocado. A esto entonces se concluye que lo relevante es que se trate

del mismo orden de magnitud, lo cual se cumple, y debidamente.

6. Bibliografía

1. J. Miranda, Evaluación de la Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Física, UNAM, México,

2000).

2. E. Hecht, Optics, 1ª Edición, Addison-Wesley Publishing Co. (Massachusets, E.U.A., 1974).

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Apéndice

Código utilizado para obtener las gráficas de densidad del patrón de difracción para las aperturas

cuadrada y circular:

Cuadrada:

Circular:

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Transformada de Fourier de la apertura hexagonal:

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Apertura hexagonal: