Difracción de Rayos Láser- Carlos David Gonzales Lorenzo

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(6) Difracción de Rayos Láser

Gonzales Lorenzo Carlos David

Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería

E-mail: [email protected]

La difracción es un fenómeno de tipo interferencial y como tal requiere de la superposición de ondas que

tengan un desfasaje constante. Una fuente de rayos láser es un instrumento que produce un haz de luz

monocromática de alta coherencia, y por lo tanto puede ser utilizado para producir difracción al ser colocado

una distancia adecuada de un obstáculo. En este caso los obstáculos serán rejillas con distintas forma de

abertura, con esto se tendrán distintos patrones de difracción la cual analizaremos para determinar el tipo de

rejilla que se esta usando y con el uso de las ecuaciones de difracción determinar el parámetro de red.

Palabras Claves: Difracción, rejillas, rayos láser.

The diffraction is guy's phenomenon interferential and as such requires of the overlap of waves that they

have a constant phase shift. A source of rays the laser is an instrument that produces a bundle of

monochromatic light of high coherence, and therefore a distance made suitable of an obstacle can be used to

cause diffraction to the drugged being. In this case obstacles will be little grates with different form of

opening, with this the several landlords of diffraction will have which themselves we will analyze to determine

the kind of little grate that is using and with the use of the equations of diffraction determining the parameter

of net.

Key words: Diffraction, grates, rays laser.

1. Introducción

La difracción es un fenómeno físico que se produce en

las ondas cuando se distorsionan por un obstáculo quetenga dimensiones comparables con la longitud de

onda, λ, de la onda. El obstáculo puede ser una

pequeña abertura que solo permita pasar parte de la

onda que incide en la abertura. También puede ser un

objeto pequeño (como un pelo frente a luz visible) que

impida el paso de una pequeña parte del frente de

onda.

La difracción se divide en: difracción de Fraunhofer y

difracción de Fresnel. En la difracción de Fraunhofer

la fuente que produce la onda y la pantalla sobre la

que se forma los patrones de difracción se encuentrana grandes distancias del obstáculo, es decir los rayos

que inciden sobre el obstáculo y los que llegan a la

pantalla serán paralelos.

En la difracción del tipo Fresnel la fuente es puntual y

la pantalla se encuentra muy cerca del obstáculo.

2. Fundamento Teórico:

2.1 Difracción de Fraunhofer por una rendija

única.

Se tiene una pequeña rendija única lineal, es decir enla que solo se toma en cuenta el ancho, y sobre esta

incide una onda plana coherente. La onda al pasar la

rendija se desviara como se muestra en la figura 1.

La ecuación para difracción destructiva es

nbsen (1)

Donde b es la dimensión de la abertura de la rendija, θes el ángulo de desviación del frente de onda, n es un

número entero que da el orden del mínimo (n≠0) y λ es la longitud de onda. La intensidad de la onda

difractada es:

λ

πbsenθ

)λ

πbsenθsen(2

oII (2)

Si hacemos2

kbsen , k=2π/λ

Tendremos

2

o

senI I

(3)

Donde: β = 0: Máximo principal

β = ±π,±2π,±3π,…..: Mínimos



Para los máximos secundarios:

k B , k=1,2,3

1 B = 1.4303, 2 B = 2.4590, 3 B = 3.4707

De la figura 2: k

k

k

Z sen R

y considerando que

k R L , donde L es la distancia de la rejilla a la

pantalla, esto es posible debido a que k z L

k

k K

k

B Lb L z B

z b

(4)

La gráfica de intensidad que expresa la ecuación 3 se

muestra en la figura 3. Y el patrón de difracciónformado tiene la forma que se observa en la figura4.

Figura 1. Difracción de fraunhofer (con lentes). S y P

se consideran en el infinito, al estar en el plano focal

de las lentes L1 y L2, respectivamente.

Figura 2. Difracción de Fraunhofer por una rendija

única.

Figura 3. Gráfica de la intensidad del patrón de

difracción de una rendija lineal .

Figura 4. Patrón de difracción para una rendija

lineal.

2.2 Difracción de Fraunhofer por una rendijarectangular

Se tiene una rendija rectangular de lados a y b, como

se muestran en la figura 5.

La intensidad de la onda difractada tiene la ecuación

2 2

( ) ( )

o

bsen asenb asen sen

I I bsen asen

b a

(5)

Entonces haciendo

( / 2) ;ka sen ;( / 2)kb sen k=2π/λ

2 2( , ) (0)( ) ( )sen sen

I x y I

(6)



De la figura 5:x

sen R

,

ysen

R

,2

ka x

R

2

kb y

R (7)

Figura 5. Rendija rectangular.

, 0 :

, 1.4303 , 2.4590 , 3.4707 ... :

sec

, , 2 , 3 ..... :

Máximoprincipal

Máximo undarios

Mínimos


1 1 2 2 3 3

; ; 1, 2,3

1.4303; 2.4590; 3.4707k k

A B k

A B A B A B

; ;k k

k k

A Ba L b L

x y (8)

;k k

k k

ax by L

A B (9)

En la figura 6 se muestra el patrón que se forma en

este caso.

Figura 6. Patrón de difracción de una rendija

rectangular.

Se muestra en la figura 6 una rejilla porta muestras y

el patrón de difracción que forma al incidirle con un

láser.

Figura 7. Rejilla y su patrón de difracción.

2.3 Análisis de Fourier: [3]

a) Transformada unidimensional de Fourier

1( ) ( )

2

iux f x F u e du

( ) ( ) iuxF u f x e dx

Caso I: La función para una rendija lineal esta dada

por:

1,..( )

0,..

x a f x

x a

Aplicando la Transformada de Fourier a esta función

tenemos:

( ) ( )( ) 2 2 (0) sin ( )

( ) (0) sin ( ),

.

sen ua sen uaF u a F c ua

u ua

F u F c

ua

b) Transformada bidimensional de Fourier

Dada una función f ( x, y) definida en un plano x, y, la

transformada bidimensional de Fourier es la función

compleja F (u,v) determinada por la fórmula:

( )

2

1( , ) ( , )

4

i ux vy f x y F u v e dudv

( )( ) ( , )

i ux v yF u f x y e dxdy



Caso II: La función para una rendija lineal esta dada

por:

1,.. ,( )

0,.. ,

x a y b f x

x a y b

Aplicando la Transformada de Fourier a esta función

tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( , ) 4 4

( , ) (0, 0) sin ( ) sin ( ),

, .

sen ua sen va sen ua sen vbF u v ab

u v ua vb

F u v F c c

ua vb

3. Equipo experimental

Materiales:

5 rejillas de difracción.

Soporte de rejillas.

Cinta métrica.

Un par de cuchillas metálicas.

Equipo:

Fuente de rayos láser (633nm).

Figura 8. Equipo usado en el laboratorio. (a)Fuente

de rayos láser con el porta-muestras conteniendo las

rejillas de difracción. (b) Rendija única usada.

4. Procedimiento experimental

1. Con las dos cuchillas se simula una rendija

delgada. Luego se hace pasar por esta abertura

el láser.

2. Sobre una rejilla se incide luz de un láser, el

objetivo es formar un patrón de difracción auna larga distancia. Se procede de manera

similar con las otras rejillas.

Los patrones que se obtienen se muestran en las

figuras 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15.

Figura 9. Patrón de difracción de la rendija única.

Figura 10. Patrón de difracción de la primera rejilla.

Figura 11. Patrón de difracción de la primera rejilla

rotada 45º

a

b



Figura 12. Patrón de difracción de la tercera rejilla

Figura 13. Patrón de difracción de la cuarta rejilla.

Figura 14. Patrón de difracción de la quinta rejilla.

Figura 15. Patrón de difracción de la rejilla patrón.

En la figura 9 se observa el patrón para el caso de una

rendija única que se forma en una pantalla que esta a

214 cm de la rendija.

La figura 10 muestra el patrón de una rejilla con

rendijas cuadradas, aquí la distancia entre rejilla y

pantalla es 203.5 cm. La figura 11 es el patrón dedifracción de la primera rejilla pero rotada 45º con

respecto al eje del laser.

La segunda rejilla se compone de rendijas cuadradas

con distinto parámetro de red. Esta rejilla esta a 208.5

cm de la pantalla.

La figura 12 muestra el patrón de difracción de un

grupo de rendijas rectangulares, con una distancia

entre rejilla y pantalla de 208.4 cm.

La figura 13 muestra el patrón de una rejilla con

rendijas hexagonales, a 200.9 cm.

En la figura 14 se observa nuevamente el patrón para

rendijas rectangulares a 201 cm, pero con parámetros

de red mayores que los de la figura 10, esto debido a

que el patrón de difracción es más pequeño.

La figura 15 muestra el patrón de difracción de la

rejilla patrón la cual es una rejilla cuadrada de

parámetro de red más pequeña que las anteriores

rejillas. Esta rejilla esta a una distancia de la pantalla

de 203.5 cm.

5. Cálculos

A) Calculo del parámetro “b” de la red para la

rendija única (anexo, página1):


k B , k=1,2,3

1 B = 1.4303, 2 B = 2.4590, 3 B = 3.4707

De la ecuación (4) tenemos que k K

L z B

b

k K

L z B

b

(10)

Como: 2 B - 1 B =1.0287; 3 B - 2 B =1.0117, entonces

podemos aproximar 1 1k k B B

Luego: k

k

L L

z bb z



De la hoja de datos tenemos que

633 ,

2.14

nm

L m

Tabla 1: Valores calcular del parámetro de red “b”.

Δzk (mm) bk (μm)

z2-z1 6 225.77

z3-z2 6 225.77

z4-z3 6.5 208.40

promedio 220.0

Lego tenemos que el parámetro de la rendija es de:

b = 220.0 μm

B) Calculo del parámetro “b” de la red para la “rejilla

Patrón”:

De la hoja de de resultados (Anexo, Página 2) para

la “rejilla patrón” se puede notar que la rejilla es

cuadrada, donde 52k k x y mm , entonces

de la ecuación 8:

k

k

Aa b L

x

(11)

Además como: 2 A - 1 A =1.0287; 3 A - 2 A =1.0117,

entonces podemos aproximar 1 1k k A A

Entonces nos quedara:

52

La b

mm

y con

633 ,

2.41

nm

L m

Con esto obtenemos el parámetro de red:

b = 29.34 μm

C) Calculo del parámetro “b” de la red para la

“Primera rejilla” para un ángulo de desviación de

0º y 45º. (Anexo, página 3 y 5)

Para una desviación de 0º tenemos que el patrón en

la hoja de datos es cuadrada con longitudes

15.5k k x y mm , entonces de la ecuación

hallada en (B):1

k

a b L x

Con633 ,

2.035

nm

L m

Con estos datos obtenemos que el parámetro de red de

esta rejilla es:

b = 83.11 μm

Para una desviación de 0º tenemos que el patrón

en la hoja de datos es rectangular con longitudes

18.17 , 15.5k k x mm y mm , entonces de la

ecuación (8) tenemos que:

; ;k k

L La b

x y

(12)

Con 1, 1k k A B y633 ,

2.045

nm

L m

Con esto obtenemos que los parámetros de red sean:

71.24 ma y 83.51 mb .

D) Calculo del parámetro “b” de la red para la

“Segunda rejilla” (Anexo, página 6).

De la hoja de de resultados para la “Segunda

rejilla” se puede notar que el patrón es

rectangular y con longitudes

20.25 , 20.75k k x mm y mm , entonces

usando la ecuación 12 y además

633 , 2.085nm L m obtenemos que:

65.17 ma y 63.61 mb



6. Resultados.

Tabla 2: Parámetros de red de las rejillas

analizadas.

Tipo de abertura Parámetro de red

(μm)rendija hendidura 220.0

Rejilla patrón cuadrada 29.34

Rejilla 1 , 0º cuadrada 83.11

Rejilla 1, 45º rectangular a=71.24; b=83.51

Rejilla 2 rectangular a=65.17; b=63.61

7. Programas:

Con el siguiente programa en Matlab se simula el

comportamiento de la grafica intensidad I vs

bsenθ/λ, donde:

b: parámetro de la rendija,

L: distancia de la pantalla a la rendija

function difracción

% I (b,L,lamda),

teta=linspace(-pi/4,pi/4,300); % intervalo devalores que puede tomar el ángulo teta.

Io=100; % valor de la intensidad pico máxima (

%es relativo)

%b=220um; parámetro de la rendija única

%λ= 633nm; longitud de onda del rayo láser.

%r = (b./lamda), se nombra a esta relación "r"

% que es igual a 347.55

r=347.55;

x=r*(sin(teta))

u=(pi*r*sin(teta));

I=Io*(sin(u)./u).^2;

plot(x,I);text(100,0.5,'G=G(b,L,λ )');

xlabel(' bsen(teta)/lamda ');

ylabel ( 'I’ );

Figura 16. Gráfica I vs. bsenө/λ con

I= I (b,L,lamda).

Figura 17. Gráfica I vs. bsenө/ 2 λ con

I= I (b/2,L,lamda).

Figura 18. Gráfica I vs.2 bsenө/λ con

I= I (b,L/2,lamda).



Figura 19. Gráfica I vs.2 bsenө/λ con

I= I (2b,L,lamda).

8. Conclusiones:

Si se dan la longitud de onda de la luz incidente así

como los valores de las distancias entre las

posiciones de los puntos iluminados en un patrón

de difracción, se pueden determinar, por medio de

un análisis matemático, las posiciones y el arreglo

geométrico de la rejilla que generó el patrón.

De los resultados obtenidos se puede concluir que

a menor parámetro de red el patrón de difracción

correspondiente se hace más grande.

La transformada de Fourier relaciona el espacio

directo con el espacio reciproco, que corresponde

al patrón de patrón de difracción, y por tantorelacionado con la distribución de intensidades en

un determinado punto de la pantalla.

Del Programa Difracción se pueden obtener loas

distintas curvas de intensidad vs bsenθ/λ,comparando con las graficas al variar los

parámetros como b, L y λ. De la figura 16,17 y 19podemos notar que el máximo de intensidad

aumenta al reducir el parámetro “b” a la mitad y

disminuye cuando se duplica el parámetro “b”.

_________________________________________________

[1] Eugene Hecht, Optics.

[2] Moran M. José, Informe de difracción de Rayos Láser, Facultad de Ciencias, UNI, Octubre del 2007.

[3] http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/difraccion/difraccion.html

[4] http://www.cie.uva.es/optica/Practicas/segundo/opticaII/fraunhofer/fraunhofer.htm

[5] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/difraccion1/difraccion1.htm

http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/difraccion/difraccion.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/difraccion1/difraccion1.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/difraccion1/difraccion1.htm

http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/difraccion/difraccion.html

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