Difusión en Sólidos fenómenos de transporte

DIFUSIÓN EN SÓLIDOS

Se la puede caracterizar como un proceso de difusión en el cual se pueden despreciar los movimientos convectivos.

Se debe hacer la distinción entre dos casos de difusión que pueden darse dentro de los sólidos:

1. Difusión en sólido poroso:

1 Dra. Larrondo - Ing. Grosso 1° cuatrimestre de 2014

ocurre dentro de los poros de sólidos muy porosos. La fase gaseosa o líquida ocupa el espacio libre de los poros y la difusión tiene lugar en esta misma fase.

2. Difusión en la estructura del sólido: en cuanto a la forma de plantear la difusión es igual a los casos vistos para gases o líquidos.

Existen dos tipos de difusión: - Sustitucional (dopado del Silicio) - Dentro de los intersticios

(carbono en hierro en la fabricación del acero)

DIFUSIÓN EN SÓLIDOS Difusión en sólidos porosos Los modelos propuestos consideran que el sólido está compuesto por islotes sólidos y canales intermedios, siendo el flujo neto de la especie A:

Existen dos modelos límites para representar la difusión en sólidos porosos:

• El diámetro de los canales (Dp) es mucho mayor al camino libre medio de las moléculas (λ).

• El camino libre medio de las moléculas es mucho mayor al diámetro de los canales.

Dra. Larrondo - Ing. Grosso 2

AeffA CDNA

(Deff = difusividad efectiva)

1° cuatrimestre de 2014

DIFUSIÓN EN SÓLIDOS Difusión en sólidos porosos Para determinar la aplicación o validez de cada modelo se define el número de Knudsen (Kn) como:

Difusión molecular: si Kn << 1 se puede decir que el proceso de difusión no se ve afectado por la presencia del sólido, ya que λ << Dp.

3

p

nD

K

ABA DeffD ,,f (τ = tortuosidad)

e

L

Longitud real que recorre la molécula

ABeff DD

A

DIFUSIÓN EN SÓLIDOS Difusión en sólidos porosos Para determinar la aplicación o validez de cada modelo se define el número de Knudsen (Kn) como:

Didusión Knudsen: si Kn >> 1 el proceso de difusión está fuertemente afectado por la presencia del sólido, ya que λ >> Dp.

4

p

nD

K

AKA DeffD ,,f

AKeff DD

A

A

p

AKMr

RTDD

2

3

Dra. Larrondo - Ing. Grosso 1° cuatrimestre de 2014

DIFUSIÓN EN SÓLIDOS Difusión en sólidos porosos Para cualquier valor intermedio del número de Knudsen, se podrá emplear la fórmula de Bozanquet:

5

AKAB DDD

111

Dra. Larrondo - Ing. Grosso

Luego, la difusividad efectiva será:

DD

Aeff


Se va a estudiar que es lo que ocurre en el caso de una pastilla o “pellet” de catalizador poroso. Se considerará que la pastilla es rectangular, pero con una dimensión mucho menor a las otras dos, es decir, se la considerará como una placa plana de ancho 2b, mucho menor que su altura (H) y su profundidad (L).


Difusión con reacción química dentro de un catalizador poroso.

• Este ejemplo representa un caso de interés para el diseño de reactores catalíticos de lecho relleno.

• Es importante tener un entendimiento de la difusión en poros, ya que lo que se busca en los catalizadores es que tengan una elevada superficie específica y esto se logra aumentando la porosidad del mismo.

Difusión en sólidos porosos




•Estado estacionario.

•Se conoce la concentración (CAb) de A en ambos lados de la placa de catalizador poroso.

•La reacción A → B es irreversible y no es fuertemente exotérmica o endotérmica.

•Por lo anterior, consideraremos a la pastilla isotérmica.

•Se propone una cinética de primer orden:

Simplificaciones que se asumen para la resolución:

AvA CakR sup

7 Dra. Larrondo - Ing. Grosso 1° cuatrimestre de 2014

8 Dra. Larrondo - Ing. Grosso

No se va a describir la difusión dentro de los poros, cuyos caminos pueden ser muy tortuosos.




Modelo:

Se va a representar la difusión media del reactivo (A), es decir, el modelo de “difusividad efectiva”.


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Planteo de la ecuación diferencial de materia para el reactivo (A):

AAA RN

t

C

AA RN 0

Restringiendo el flujo NA sólo a la coordenada z y reemplazando por la expresión propuesta para la cinética de reacción:

Av

ACak

dz

dNz

sup0




Resolución:

10




Resolución:

Mediante el modelo propuesto, el flujo neto de A se lo define como:

dz

dCDN A

effzA A,

Av

Aeff Cak

dz

CdD

A sup2

2

0

Reacomodando la ecuación llegamos a una ecuación diferencial de 2° orden homogénea:

A

eff

vA CD

ak

dz

Cd

A

sup

2

2

0

Ya se conoce el método de resolución de este tipo de ecuaciones. Se propone una solución del tipo CA(z)=erz, siendo r un coeficiente a determinar:

rz

A eC rzA re

dz

dC rzA er

dz

Cd 2

2

2

Si se reemplaza en la ecuación, se obtiene el denominado polinomio característico:

0sup2 rz

eff

vrz eD

aker

A

rD

akr

Aeff

v

sup

2,1




Resolución:

Dra. Larrondo - Ing. Grosso 11 1° cuatrimestre de 2014

12

rzrz

A eCeCC 21

Como se obtienen dos raíces reales, la solución general estará compuesta por una combinación lineal de las dos exponenciales:

Como condiciones de contorno podemos plantear:

Condiciones de contorno : bAA CC bz

0z 0dz

dCA




Resolución:

Dra. Larrondo - Ing. Grosso 1° cuatrimestre de 2014

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Aplicando ambas condiciones de contorno se obtiene:

rb

CCC bA

cosh21

12 CC

rbrb

A eCeCCb

21





Resolución:

210 rCrC

Aeffv Dakr sup


14

Entonces, el perfil de concentraciones queda:

rb

rzCC

bAAcosh

cosh





Resolución:

Aeffv Dakr sup

¿Cómo podría estimarse los moles de A que van a consumirse por reacción química dentro de la pastilla de catalizador?

En condición de estado estacionario, todos los moles que atraviesen la superficie en z = ±b serán consumidos por la reacción química.


15

bz

AeffbzzA

dz

dCDN

A

,






rb

rbsenhrCDN

bA AeffbzzAcosh

,

rbtghrCDNbA AeffbzzA

,

Aeffv Dakr sup







rbtghrCDLHnbA AeffA 2sup

Aeffv Dakr sup

Este flujo representa los moles de A que se van a consumir por la reacción química dentro de los poros de catalizador.

¿Cómo podría estimarse la máxima cantidad de moles de A que van a consumirse por reacción química dentro del catalizador?

Si se considera que dentro del catalizador se tiene la máxima concentración posible (CAb), este flujo se podría estimar a través de la expresión cinética.






bAv

máx

A CakbLHn sup2

¿Cómo podría estimarse la máxima cantidad de moles de A que van a consumirse por reacción química dentro del catalizador?

En esta expresión se esta despreciando el gradiente de concentraciones dentro del catalizador.

Ahora, se podría comparar los dos flujos calculados y definir una efectividad de pastilla de catalizador como:

máx

A

A

n

nsup


18




Efectividad de pastilla de catalizador:

b

bA

Av

Aeff

CakbLH

rbtghrCDLH

sup2

2

Aeffv Dakr sup

rb

rbtgh

Al producto de r·b se lo denomina “Módulo de Thiele” (φ)

tghb

D

ak

Aeff

v

sup




Efectividad de pastilla de catalizador / Modulo de Thiele:

El módulo de Thiele representa la importancia relativa de la velocidad de reacción con respecto a la velocidad de difusión dentro de la pastilla.

bD

ak

Aeff

v

sup

20





xtanh

21





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