Dinamica de Fluidos

Dinmica dos fluidosFsica II

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Dinmica dos Fluidos

4.1. Introduo

O que determina o estado fsico - slido, lquido, gasoso - em que a matria se apresenta, a grandeza das foras internas, que os seus tomos ou molculas exercem uns sobre os outros.

Apesar destas diferenas entre lquidos e gases possvel encontrar um conjunto aprecivel de propriedades comuns a ambos. Designam-se vulgarmente por fluidos o conjunto de lquidos e gases.


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Fluidos em movimentoFluidos em movimento

Que fluidos vamos estudar? Em que condies ?Que fluidos vamos estudar? Em que condies ?

. estes no . estes no


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A Hidrodinmica o estudo dos fluidos em movimento.

um dos captulos mais difceis da Fsica porque, embora cada partcula do fluido siga leis simples, como as de Newton, o enorme nmero de partculas envolvido torna impraticvel esta via de estudo. Felizmente, muitas situaes de importncia prtica podem ser representadas por modelos ideais que so suficientemente simples para poderem ser entendidos.

Devemos comear por dividir os fluidos em ideais e reais. Um fluido ideal incompressvel e no apresenta foras internas de atrito ou seja, foras de viscosidade.

A primeira condio muito aproximadamente verificada pelos lquidos, e, em algumas circunstncias, por gases se o movimento no envolver grandes diferenas de presso.

Obviamente, os fluidos compressveis e que apresentam foras de viscosidade sero os fluidos reais.


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4.2 Fluidos ideais

Definimos uma linha de fluxo como sendo a trajectria de um elemento dum fluido em movimento. A sua velocidade pode variar ao longo dessa trajectria. Se, considerando um dado ponto dessa trajectria, todos os elementos seguintes que por l passam, tiverem a mesma velocidade, o fluxo do fluido diz-se estacionrio. Isto significa que a velocidade das partculas do fluido sempre a mesma num dado ponto do espao embora possa variar de ponto para ponto.

Definimos linha de corrente como a linha que, em cada ponto do espao, tangente direco da velocidade das partculas que a passam.

Quando um movimento estacionrio as linhas de corrente coincidem com as linhas de fluxo.


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O modo como um fluido se desloca - muitas vezes referido como regime de escoamento - pode ser classificado de duas maneiras:

Regime laminar - o tipo de escoamento em que as camadas de fluido deslizam umas sobre as outras. Este tipo de escoamento pode ser representado por um conjunto regular de linhas de corrente, que se mantm estvel no tempo.

Regime turbulento - caracterizado pela ausncia de um mapa de linhas de corrente estvel e surge quando o fluido se desloca a altas velocidades ou quando no seu percurso aparecem obstculos que provocam variaes de velocidade bruscas e o fluxo se torna irregular.

H duas equaes bsicas na Dinmica de Fluidos, a equao da continuidade e o teorema de Bernoulli.


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4.2.1 Equao da continuidade

Num fluido ideal o volume de fluido que atravessa qualquer seco recta por unidade de tempo (caudal) constante. Isto significa simplesmente que hconservao da massa do fluido, no se criando, nem se perdendo, fluido em nenhum ponto ao longo do trajecto.

Para traduzir matematicamente esta constatao, imaginemos um fluido ideal que se escoa ao longo do tubo representado na figura.

O volume de liquido que atravessa a seco recta A1 por unidade de tempo pode ser calculado atendendo a que o volume A1.dx1, de fluido, leva o tempo dt a atravessar A1. Logo, teremos que o caudal em A1, ser

1111 vA

dtdxAQ ==


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A1.v1 = A2.v2 = constante

Esta equao mostra que a velocidade de um fluido num tubo com estrangulamentos maior nesses pontos do que nas zonas mais largas.


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4.2.2 Equao de Bernoulli

Num fluido ideal s existem foras conservativas. Deve, portanto, haver conservao de energia para qualquer elemento do fluido que consideremos.

O teorema de Bernoulli a expresso dessa conservao.

O trabalho realizado pelas foras de presso, devidas a P1, quando o fluido se desloca de s1 P1.A1.s1.

O trabalho realizado pelas foras de presso, devidas a P2, quando o fluido se desloca de s2 foras de presso realizam um trabalho (negativo) de P2.A2.s2Wforas de presso = P1.A1.s1 P2.A2.s2


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Equao da continuidade A1.v1 = A2.v2s1 = v1.t e s2 = v2.t A1.s1 = A2.s2 = VPodemos ento escrever esse trabalho como

Wforas de presso = (P1 - P2).V

A variao de energia potencial dada por:

Ep = - m.g.(y2 y1) = - .V.g.(y2 y1)

E a variao de energia cintica:

( ) ( )21222122 2121 vv.V..vv.m.Ec ==


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Usando o teorema da energia cintica, podemos escrever:

( ) ( ) ( )1221212221 yy.g.V.V.PPvv.V.. =

Dividindo por V e re-arranjando obtemos:

( ) ( )12212221 21 yy.g.vv..PP +=Esta equao traduz o teorema de Bernoulli.

Pode ainda ser utilizada de uma outra forma, mais comum

2222

211 2

121 v..y.g.Pv..y.g.P ++=++


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Ou, como y1 e y2 so quaisquer, podemos ainda escrever:

tetanconsv..y.g.P =++ 221

Implicaes


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Aplicaes da equao de Aplicaes da equao de BernoulliBernoulli

1 . Fluido em equilbrio:Calcular a presso exercida pelo lquido no fundo do frasco.

1 . Fluido em equilbrio:

Podemos aplicar o teorema de Bernoulli, entre as seces sa ( superfcie) e sb (no fundo):

em a: pa=patm, va =0 em b: pb=?, vb = 0, sa =sbAplicando a equao de Bernoulli:

patm+gya+1/2va2 = pb+gyb+1/2vb2 pb= patm+ g(ya-yb)pb= patm+ gh

Princpio de PascalPrincpio de Pascal


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Aplicaes da equao de Aplicaes da equao de BernoulliBernoulli

2. Teorema de Torricelli:2. Teorema de Torricelli:

ya yb

ha

bUm grande tanque de gua tem um pequeno furo a uma distncia h da superfcie. Calcule a velocidade da gua sada do orifcio.

Teorema de TorricelliTeorema de Torricelli

Podemos supor que superfcie do tanque a gua est em repouso(vasa=vbsb, como sa muito maior que sb, va aproximadamente nula). Ento: em a: pa=patm, va =0 em b: pb=patm, vb = ?Aplicando a equao de Bernoulli:

patm+gya+1/2va2 = patm+gyb+1/2vb2 gya= gyb+1/2vb2 vb2 =2g(ya- yb) vb2 =2gh


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoAplicaes da equao de Aplicaes da equao de BernoulliBernoulli

3. Tubo de Venturi:3. Tubo de Venturi:A figura mostra um tubo por onde passa gua. Relacione a presso nas duas zonas do tubo

Se o fluido no compressvel, o caudal constante (lei da continuidade) ento:

v1A1 = v2A2 v2= v1A1/A2 v2 > v1Aplicando a equao de Bernoulli:

p1+gy1+1/2v12 = p2+gy2+1/2v22 p1+1/2v12 = p2+1/2v22 p2+1/2v22 = Cte

Quando h um estreitamento a velocidade aumenta (lei da continuidade), como o termo de Venturi constante, a presso mais baixa.

Efeito de VenturiEfeito de Venturi


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoAplicaes da equao de Aplicaes da equao de BernoulliBernoulli

v

h

ba

4 4 -- Tubo de Pitot ou de Prandtl:Tubo de Pitot ou de Prandtl:

Calcular a velocidade do fluido, a partir da diferena de presso nos dois ramos do manmetro.

==

=

++=++

'221'

) (porque )0(21

21

21

2

2

22

ghvvgh

yyvPP

gyvPgyvP

AA

BAAAB

AAABBBAplicando a equao de Bernoulli entre a seco b (vb = 0) e a outra seco do lquido, (va) vem :

Observao: Este aparelho pode ser colocado no exteriorde um avioou de um barco, e devidamente calibrado mede a velocidade do

avio em relao ao ar ou do barco em relao gua.


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoExemplosExemplos

Um medidor de Venturi utilizado para medir a velocidade da gua (ver figura). A gua passa atravs do tubo de seco A1= 40 cm2 que tem uma zona mais estreita de seco A2 = 10 cm2. As duas zonas esto ligadas por um tubo em parcialmente preenchido com mercrio (Hg=13.5, h=10cm). Calcule a velocidade v1.

s/m....

)AA(

ghv

ghv)AA(PP

vAAvvPvP

gua

Hg

Hggua

guagua

7641116

10895132

1

2

121

21

21

2

2

1

21

21

2

2

121

12

12

222

211

==

=

=

=

=+=+

mas ,


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoExemploExemplo

O efeito de Venturi utilizado na construo de avies. As asas so construdas de forma a que o ar se mova mais depressa na parte de cima da asa, fazendocom que a presso por cima da asa seja mais baixa:

v2

v1

)(

ventoao relao em avio do de velocida 2

)

))((2

)(2

)(

) mos-admitir (se )(21

21

21

12resultante

12

121221

2221resultante

2121

2221

22221

211

vvvSF

vvmas

vvvvSvvSPPSF

yyvvPP

gyvPgyvP

==+

+===

=

++=++


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoExemplos:Exemplos:

Fluxo de ar numa asa - quando a asa est horizontal o fluxo uniforme a presso igual em cima e em baixo; quando a asa se inclina a presso maior em baixo.


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoexemplosexemplos

Se quiser ver o efeito da posio da asa na presso e na velocidade do ar pode visitar o site:http://www.idra.unige.it/~irro/profilo_e.htmlhttp://www.idra.unige.it/~irro/profilo2_e.htmlonde existem algumas sequncias animadas que demonstram este efeito.

as foras que actuam na asa.

Representao da velocidade do fluxo de ar em torno da asa

A presso em torno da asa. Vermelho: presso mais elevada, verde presso mais baixa.


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoExemploExemplo

Trajectria de uma bola em rotao:Trajectria de uma bola em rotao:

Observemos uma bola que se move da esquerda para a direita, rodando no sentido anti-horrio:

Devido ao movimento de rotao e superfcie rugosa da bola, o ar arrastado neste movimento: esquerda a velocidade do ar em relao bola maior - a presso menor; direita a velocidade menor - a presso maior.Como a resultante da presso para a esquerda a bola vai ter uma trajectria que curva para a esquerda


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4.3. Fluidos reais

4.3.1 Viscosidade

Podemos pensar na viscosidade como as foras de atrito entre camadas adjacentes de lquido.

Por causa dela ser necessrio exercer uma fora para deslocar uma camada de fluido sobre outra.

Verifica-se que um fluido em contacto com uma superfcie tem a mesma velocidade que ela.

As velocidades das restantes camadas de fluido distribuem-se regularmente ao longo da direco normal s superfcies (se o regime for laminar), constituindo-se assim um gradiente de velocidade ao longo dessa direco que se representa por dv/dy.


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As velocidades das restantes camadas de fluido distribuem-se regularmente ao longo da direco normal s superfcies (se o regime for laminar), constituindo-se assim um gradiente de velocidade ao longo dessa direco que se representa por dv/dy.

Se A a rea do fluido sobre a qual incide esta fora verifica-se, para muitos fluidos, que

dydv.A.F =

A grandeza o coeficiente de viscosidade (dinmica) do fluido. uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema Internacional, o Pa.s. Em muitas tabelas encontramos como unidade o Poise, que pertence ao sistema C.G.S. sendo 1 Poise = 10-1 Pa.s.


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Coeficientes de viscosidade de alguns fluidos em funo da temperatura

0.02180.284170100

0.02090.35730080

0.02000.46980060

0.01900.65623140

0.01811.00598620

0.01711.79253000

(mPa.s)(mPa.s)(mPa.s)

(Ar) (gua) (leo de rcino)T (C)


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoFluidos reais Fluidos reais

Coeficientes de viscosidade:

fluido T(C) (mPa.s)gua 0 1.8

20 1.0060 0.65

leo 30 200glicerina 0 10000

20 141060 81

ar 20 0.018

LquidosLquidos : diminui com a temperatura:aumenta a temperatura, aumenta o volume, aumentam as distncias,

diminuem as interacesGasesGases : aumenta com a temperatura:aumenta a temperatura, aumentam os choques, aumentam as interaces.


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4.3.2 Lei de Stokes

Quando um corpo se desloca no seio de um fluido viscoso, este exerce sobre ele, para alm de foras de impulso, foras de atrito devidas viscosidade.

Como sabemos essas foras so da forma:

F = - .v

Para uma esfera de raio r, que se desloca com uma velocidade v, essas foras podem escrever-se

F = - 6..r.vEsta expresso traduz a lei de Stokes.


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Uma partcula esfrica abandonada (v0 = 0) num lquido viscoso, fica inicialmente submetida a duas foras: a impulso e o peso. Se o peso for maior que a impulso, a partcula comea a cair no interior do fluido, aumentando a sua velocidade a partir do zero, ficando assim sujeita tambm a uma fora de viscosidade, com sentido contrrio velocidade, e que aumenta com esta. Temos assim uma resultante:

R = Fg - I 6rvUma vez que as foras de viscosidade aumentam medida que a velocidade aumenta, atinge-se uma situao de equilbrio para uma velocidade vT(velocidade terminal), tal que

Fg - I 6rvT = 0Passando a partcula a deslocar-se com velocidade constante. Supondo uma densidade para a partcula e l para o fluido, temos:

Fg = .g.V ; I = l.g.V ; 334 rV =

( )lT grv = 92 2

Obtemos assim:


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4.3.3 Escoamento de um fluido: lei de Pouseuille

No escoamento laminar de um fluido viscoso num tubo, a distribuio de velocidades no a que se verifica entre duas superfcies, como suposemos para definir o coeficiente de viscosidade.

Na realidade verifica-se que uma camada de lquido adere s paredes e a a velocidade zero. As restantes camadas vo-se movimentando umas sobre as outras com velocidades crescentes medida que se aproximam do centro do tubo, onde a velocidade mxima. A figura seguinte mostra o perfil de velocidades de um fluido nestas condies.


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Por causa das foras de viscosidade entre as camadas de fluido as presses no interior do fluido j no so iguais, mesmo em pontos ao mesmo nvel. Estabelece-se um gradiente de presso ao longo do comprimento do tubo.

O caudal de lquido, Q, que se escoa num tubo de raio R, e comprimento L funo da diferena de presses P1 P2 e do coeficiente de viscosidade do liquido, atravs da expresso

LPPRQ 21

4

8

=

Que constitui a lei de Poiseuille.


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4.3.4 Escoamento laminar e turbulento: nmero de Reynolds

Quando a velocidade de um fluido excede um valor crtico, que depende das propriedades do fluido e do raio do tubo, o regime de escoamento torna-se mais complicado. Na vizinhana das paredes do tubo o regime ainda laminar mas no interior altamente irregular. Aparecem localmente correntes circulares, vrtices, como se observa frequentemente no fumo de cigarro, aumentando grandemente a resistncia do fluido. Este regime designado por turbulento.

Experimentalmente verifica-se que uma combinao de quatro factores determina se um regime de escoamento laminar ou turbulento. Esta combinao conhecida como nmero de Reynolds, NR, definido como:

= vDN R

O nmero de Reynolds uma grandeza adimensional e tem sempre o mesmo valor, para um dado lquido e tubo, qualquer que seja o sistema de unidades utilizado para fazer o seu clculo.


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Experimentalmente verifica-se que:

NR < 2000 o escoamento laminar

NR > 3000 o escoamento turbulento

2000 < NR < 3000 o escoamento instvel,

passando vrias vezes de um para o outro tipo de regime.

Quando um objecto se desloca no seio de um fluido, mesmo que este flua em regime laminar, a deformao produzida nas linhas de corrente mostra que se estabelecem em torno do objecto grandes gradientes de velocidade e portanto aparecem nessa regio foras de viscosidade. Por essa razo os fluidos, mesmo de baixa viscosidade, no podem ser tratados como ideais na vizinhana de objectos slidos.


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoRegime laminar e regime turbulento:Regime laminar e regime turbulento:

SeSe a velocidade no muito grande o escoamento laminar laminar, e o perfil de velocidades toma a forma mostrada na figura.Se o tubo for suficientemente largo toda a regio central tem aproximadamente a mesma velocidade. Nestes casos a contribuio das regies junto parede pode ser desprezada e a eq de Bernoulli pode ser aplicada.


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoRegime laminar e regime turbulento:Regime laminar e regime turbulento:

Quando a velocidade excede um valor crtico, o escoamento torna-se complicado. Formam-se correntes irregulares - Escoamento Escoamento turbolentoturbolento


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Fluidos em movimentoFluidos em movimentoPerda de cargaPerda de carga

Perda de cargaPerda de carga: Verifica-se experimentalmente que se tivermos uma conduta horizontal, de seco constante, a presso decresce no sentido do movimento do fluido, ao contrrio do que seria de esperar pela equao de Bernoulli .

h

PatmLPatm+gh

Patmmontagem que permite calcular a perda de carga


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Fluidos em Fluidos em movimentomovimentoPerda de carga Perda de carga

ViscosidadeViscosidade resistncia as deslizamento, atrito interno de um fluido.

Nas situaes reais Nas situaes reais existe atrito interno resistncia as deslizamento no h conservao de energia.No se verifica a equao de Bernoulli - recordar que esta equao foi deduzida, admitindo que no havia energia dissipada por atrito.

Perda de carga linear: Perda de carga linear: o abaixamento de presso por unidade de comprimento:

dldp=

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