Dinámica de la partícula

Dinámica de la Dinámica de la partículapartícula

Ivana Devita

Alejandro Brusco

Federico Senattore

2008

Índice

• Introducción

• Letra del problema

• Fundamento teórico

• Desarrollo de ideas

• Resolución del ejercicio

• Otros casos

• Gráficos

Introducción

• Estudiaremos el movimiento de un sistema de 2 masas vinculadas por una cuerda. Por lo tanto, el movimiento de cada una, está relacionado con el movimiento de la otra. Resolveremos el ejercicio y luego procederemos a realizar algunos cambios, asignanado diferentes condiciones iniciales con el fin de ampliar el ejercicio. Estos cambios serán en cuánto a las aceleraciones, y la relación entre las masas.

Bloque de masa M

Plataforma

Cuerda

Hombre parado sobre plataforma

Representación gráfica

Las flechas gruesas indican para dónde se mueve la cuerda en el primer caso

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) El bloque llega a la polea que cuelga del techo antes

que la plataforma.b) El bloque llega a la polea que cuelga del techo después

que la plataforma.c) El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la

polea que cuelga del techo.d) Sólo el bloque llega a la polea que cuelga del techo ya

que la plataforma permanece en su posición inicial.e) No es posible que el bloque o la plataforma lleguen

hasta la polea que cuelga del techo.”

Problema

Plataforma

Comenzamos explicando porque tomar el sistema hombre-

plataforma como uno sólo y no por separado, estudiando en él las

fuerzas internas

j

T

HPF

gmH

.

PHF

gmP

.

j) T + FP->H – mH.g = mH.a

- FH->P – mP.g = mP.a

Por acción y reación (3era ley): FP->H = - FH->P

T – g.(mH + mP) = a.(mH + mP)

mH + mP = M Por hipótesis

T – g.M = M.a ---> Sistema hombre - plataforma

Nos tomamos un sistema de referencia inercial, aplicando la primera ley de Newton, luego desarrollamos el diagrama de cuerpo libre para identificar por

separado las fuerzas existentes sobre cada objeto.

1 2gM.

T

T

gM.

k̂

Aplicando la Ley Horaria llegamos a la conclusión que las velocidades son iguales y por partir desde la misma altura, llegarán a

la polea a la vez.

Solución: Opción C

2da Ley de Newton

amF

21

22

11

aM

TMga

M

TMgaMaTMg

M

TMgaMaTMg

¿Cómo reaccionaría el sistema en cada uno de estos casos?

• Caso 1: a1 > a2

• Caso 2: a1 < a2

• Caso 3: a1 = 0

• Caso 4: a2 = 0

• Variando las masas

Aplicando una fuerza

externa

1 2

1111) amgmTM

2222 2) amgmTM

2

0)22(

)(

21

21

1

gaa

aggam

gamT

mmm 21

x1 x2

Para generar estas Para generar estas aceleraciones, es aceleraciones, es necesario ejercer necesario ejercer

una Fuerza (Tensión) una Fuerza (Tensión) externaexterna

k

)1.2().1.2(..2

2. 2222

22

g

agagaaga

a

2

11.21

Aplicando ley horaria vemos que

v1>v2

M1 llega antes a la polea que M2

)..(

...

..

2

2

1

gamT

gmamT

gmamT

¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?

Definimos α:21

2

1 .aaa

a

CasoCaso 1: ¿es posible que a1: ¿es posible que a11>a>a2 2 ??

CasoCaso 2: ¿es posible que a2: ¿es posible que a11<a<a2 2 ??

)1.2().1.2(..2

2. 2222

22

g

agagaaga

a


v1<v2

M2 llega antes a la polea que M1

)..(

...

..

2

2

1

gamT

gmamT

gmamT


Definimos β: 12

1 a

a

01 2 a

CasoCaso 3: a3: a11=0 --> a=0 --> a2 2 =g=g

M1 queda quieto porque su velocidad inicial y aceleración, valen 0. En cambio M2 sube por tener velocidad positiva. Sólo cuando M2 llega a la polea, M1 comienza a subir. Conclusión, M2 llega antes a la polea que M1.

mggmmT

gmamT

.0.

.. 1¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?

gagaga

a

222

1 02

0

CasoCaso 4: a4: a22=0 --> a=0 --> a11=(-g/2)=(-g/2)

2.

2.

.. 1mg

gmg

mT

gmamT


22

00 112

ga

gaa


v1<0

Entonces M1 y M2 nunca llegan a la polea.

¿Qué pasa con el sistema si ¿Qué pasa con el sistema si variamos las masas?variamos las masas?

222111

111222

2222222

1111111

22

222

2)

)

aMgMaMgM

aMgMaMgM

aMgMTaMgMTM

aMgMTaMgMTM

Diagrama de cuerpo libre

2

1

M

M

1

22121 2

)2(

M

MaMMga

2

22221 2

)2(

M

MaMMga

2

)21( 21

aga

2

21222

2

11212

2)2(2)2(

M

MaMMga

M

MaMMga

12 2)12( aga

Gráficosa1 como función de la relación m1/m2

-20

0

20

40

60

80

100

0,1

0,5

0,9

1,3

1,7

2,1

a1 para a2=3

a1 para a2=-3

a1 para a2=9,8

a1 como función de la relación m1/m2

-20

0

20

40

60

80

100

0,1

0,5

0,9

1,3

1,7

2,1

a1 para a2=3

a1 para a2=-3

a1 para a2=9,8

De ésta gráfica podemos concluir que cuando la a2=g, y gamma=1 (o sea que m1=m2), a1=0. Además, otra curiosidad es que cuánto mayor es gamma (o sea que cuánto mayor es m1 con respecto a m2), la a1 es cada vez menor. Concluimos entonces, que la relación entre m1 y m2, es inversamente proporcional a a1.

Aquí observamos que el menor valor que toman las 3 funciones es -9,8 (-g) para cuando gamma toma un valor tendiendo a ∞.Conclusión:Cuando m1/m2 tiende a 0, a1 tiende a +∞.Cuando m1/m2 tiende a +∞, a1 tiende a –g.Cuando m1/m2=1 y a2=g, a1=0.


-20

0

20

40

60

80

100

0,1

0,5

0,9

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

3,3

3,7

4,1

4,5

4,9

a1 para a2=3

a1 para a2=-3

a1 para a2=9,8


-50

0

50

100

150

200

0,1

0,5

0,9

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

3,3

3,7

4,1

4,5

4,9

a2 para a1=9,8

a2 para a1=-3

a2 para a1=3

Según la gráfica, ésta función es uniformemente continua en el intervalo (0,+∞). Cuando gamma tiende a 0, la función (a2) tiende a -g. Y cuando gamma tiende a +∞, la función (a2) tiende a +∞.La función es una recta, esto significa que es a2 es linealmente proporcional a gamma. Entonces se corresponde con una ecuación de 1er grado.


-5E+300

0

5E+300

1E+301

1,5E+301

2E+301

2,5E+301

3E+301

3,5E+301

4E+301

4,5E+301

1,00E-300 1,00E+300

a2 para a1=9,8

a2 para a1=-3

a2 para a1=3

Al observar la segunda gráfica con únicamente puntos extremos (gamma=1,00x10-300 y gamma=1,00x10300), comprobamos que el codominio de la función es el intervalo [g,+∞).

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