Universidad Nacional de IngenieraFacultad de Ingeniera CivilDepartamento Acadmico de Ciencias Bsicas

ASIGNATURA: FSICA gENERAL i TRABAJO: Informe de laboratorio N 04: Dinmica de Rotacin DOCENTE: Baltazar Franco, Armando Ulises ESTUDIANTE: Venero Carrasco, Fabio FrancoCDIGO: 20124506H

Noviembre del 2012.

NDICE

I. OBJETIVOS pg. 3 II. MATERIALES Y EQUIPO pg. 3 III. FUNDAMENTO TERICO pg. 4 IV. PROCEDIMIENTO pg. 6 V. TABLAS, DATOS EXPERIMENTALESY GRFICOS pg. 7VI. CLCULOS Y RESULTADOS pg. 8VII. CONCLUSIONES pg. 17

INFORME N 04: DINMICA DE ROTACIN

I. OBJETIVOS:

I.I. OBJETIVO TEMTICOExisten en la naturaleza ciertas interacciones que conservan la energa total del sistema en el que ellas se manifiestan; son las llamadas interacciones elsticas o conservativas. En el siguiente proyecto se verifica esta ley de conservacin.

I.II. OBJETIVO ESPECFICOMediante el siguiente proyecto calculamos, experimentalmente, el momento de inercia (con respecto al eje de simetra) de una rueda, haciendo uso de la conservacin de la energa mecnica.

II. MATERIALES Y EQUIPO: Rieles paralelos (como plano inclinado) Rueda de Maxwell Cronmetro Pie de rey Regla milimetrada Balanza Nivel

III. FUNDAMENTO TERICO Y ANLISIS

a) Conservacin de la Energa Mecnicala conservacin de la energa mecnica se manifiesta de la siguiente forma:EM INICIAL = EM FINAL

b) Descomposicin de la energa cintica en energa de traslacin y energa de rotacin. La energa cintica de traslacin de las partculas y cuerpos rgidos viene dada por:EK(T) = m G2 Por otra parte la energa cintica de rotacin de los cuerpos rgidos se expresa como:EK(R) = IG 2La descomposicin de la energa cintica se ve reflejada cuando la rueda pasa de la posicin G0 a la posicin G4, como se tiene en a continuacin en la figura:

A0A1A3A2A4

Pues tenemos: EP(0) + EK(0) = EP(4) + EK(4) + WFRICCIN Si en G0 la volante parte del reposo: mgh0 = mgh4 + EK + Wf Las prdidas por friccin, Wf, se deben a la friccin por deslizamiento (calor perdido por rozamiento) y a la friccin por rodadura (calor producido por la deformacin de las superficies en contacto). Las prdidas por rodadura son despreciables en el caso de cuerpos rgidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las prdidas por friccin son nulas (insignificantes). Adems, la ausencia de deslizamiento significa que el punto de contacto A juega el papel de centro (instantneo) de rotacin, cumplindose entonces que vG = A r, donde vG es la velocidad de G, (que es tangencial porque a es el centro de rotacin), A es la velocidad angular alrededor de A y r es la distancia de G a A (radio del eje de la rueda). El movimiento puede ser visualizado entonces como una serie de sucesivas rotaciones con velocidad angular A alrededor de un eje de giro mvil A. Otra manera de visualizarlo quizs ms natural, es considerarlo como la composicin de una traslacin del centro de masa G, ms una rotacin simultnea, con velocidad angular G alrededor de G. Se puede demostrar que A = G.Tomando el segundo punto de vista, la energa cintica consta de dos partes:EK = EK(TRASLACIN) + EK(ROTACIN)EK = m vG2 + IG 2

donde vG es la velocidad de centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotacin que pasa por G (que en este caso es el de simetra).Pero vG = vA = r, entonces:mgh0 = mgh4 + m vG2 + IG vG2 / r2De aqu podemos calcular IG si es que conocemos vG. Observando esta velocidad, notamos que parece ser la de un movimiento uniformemente acelerado. Suponiendo que as es, se tiene:x = at2 , v = at : es decir v =

IV. PROCEDIMIENTO

1. Nivelar el plano de manera que sirva de base.2. Marcar en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados 10 cm entre s.3. Medir con el pie de rey el dimetro del eje (de la rueda) que se apoya sobre los rieles. Tener en cuenta que el eje sufri desgaste desigual. 4. Fijar la inclinacin de los rieles de manera que la rueda avance por rodamiento puro (sin patinaje).5. Colocar la rueda en reposo en la posicin A0, soltarla y simultneamente comenzar a medir el tiempo (es decir, t0 = 0); medir los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1,A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente.Tomar tres mediciones para t1, t2, t3 y diez mediciones para t4.6. Medir la masa de la rueda y la diferencia de alturas entre las posiciones de G.7. Modificar la inclinacin de los rieles (tener cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda) y medir tres veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.

V. TABLAS, DATOS EXPERIMENTALES Y GRFICOS

A. EN LA RUEDA DE MAXWELL

MASA DE LA RUEDA (kg)0.5186 kg

DIMETROS DEL EJE

LADO A6.5 mm6.4 mm6.3 mm

LADO B6.3 mm6.4 mm6.6 mm

DIMETRO PROMEDIO = 6.416 mmRADIO (r) = 3.208 mm

B. EN LA PRIMERA TRAYECTORIA

ALTURA (H)

H0 = 2.9 cmH = H4 - H0 H = 3.9 cm

H4 = 6.8 cm

TRAMOTIEMPO (s)

t12345678910tPROMEDIO

A0 A1t108.5108.8108.6308.65

A0 A2t212.1812.0312.4912.23

A0 A3t314.9215.1416.0215.36

A0 A4t417.7817.5817.5117.8018.3717.2517.9217.2718.0517.2217.68

C. EN OTRA TRAYECTORIA

ALTURA (cm)TIEMPO (s)

H0H4Ht1t2t3tPROMEDIO

7.903.104.8015.3215.8315.8115.653

VIII. CLCULOS Y RESULTADOS

1. Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4 grafique los puntos (0,G0) , (t1,G1), (t4,G4). Es el movimiento de traslacin uniforme?

RESPUESTA:La grfica de posicin tiempo nos brindar el tipo de movimiento que se realiza en el experimento, para esto utilizaremos el programa MS Excel, lo cual nos da la siguiente grfica.

Como se observa en la grfica, notamos que se produce un Movimiento de Traslacin Uniformemente Acelerado, pues se forma una curva cuya ecuacin es a su vez el desplazamiento por cada segundo, que tambin se podra expresar de la siguiente forma:X(t) = 0.1134x2 + 0.3054x 1.0352

2. Suponiendo que la aceleracin de traslacin es constante y aplicando la desviacin estndar y propagacin de errores, calcular:

A. LA ACELERACIN DEL CENTRO DE MASA aG CASO 1: Utilizando la ecuacin conocida en cinemtica para aceleracin:a(t) = = podemos hallar la ecuacin para la aceleracin en el experimentoa(t) = 0.2269 cm/s2

CASO 2: Utilizando las frmulas de MRUV x = at2, = at hallaremos que la aceleracin es igual a

a = = 0.2529 cm/s2

B. LA VELOCIDAD DE TRASLACIN, v4, DEL CENTRO DE MASA EN LA POSICIN G4 CASO 1: Utilizando la frmula de cinemtica, encontramos que la velocidad es igual a:t) = (t) = 0.2269x +0.3054(t) = 4.31699 cm/s

CASO 2: Utilizando la frmula de MRUVx = at2, = at = hallaremos que la velocidad es igual a: = 4.524 cm/s

C. LA VELOCIDAD ANGULAR DE LA RUEDAUtilizando la expresin: = r , encontraremos las velocidades angulares para ambos casos CASO 1: Como v = 4.31699 cm/s y r = 0.3208 cm= 13.14523 rad/s CASO 2: Como v = 4.524 cm/s y r = 0.3208 cm = 14.10224 rad/s

D. EL MOMENTO DE INERCIA DE LA VOLANTE CASO 1: Mediante la expresin mgh0 = mgh4 + m vG2 + IG vG2 / r2y los siguientes datos:m = 0.5186 kg, g = 9.81 m/s2, obtendremos que el momento de inercia es igual a

I = 1.9732503 10-3 kg.m2

CASO 2: Hallaremos el momento de inercia de la rueda como la sumatoria de los momentos de inercia de cada parte de la rueda,para esto necesitamos la masa de cada una de ellas y como no tenemos las medidas de stas, hallaremos la densidad total de la rueda por medio de su volumen y al multiplicarla por el volumen de cada parte obtendremos la masa de cada una de ellas, como se muestra a continuacin:

REPRESENTACIN GRFICA DE LA RUEDA DE MAXWELL

NOTA: Utilizaremos las siguientes figuras y los datos que ellas contiene para hallar nuestros clculos posteriores.

VOLUMEN

V1 = (R22 R12).h.V1 = (6,72 4,932).10-4. 2,5.10-2 .V1 = 161, 6749. 10-6 m3

V2 = R2..hV2 = (3,208. 10-3)2. . 15,48 .10-2V2 = 5,0048 .10-6 m3

V3 = (R22 R12).h.V3 = (13,052 3,2082).10-6.2,7 .10-7 .V3 = 13,5726 .10-6 m3

V4 = a.b.hV4 = 3,625.10-2. 8,9.10-3. 7,4.10-3V4 = 2,3874 .10-6 m35V4 = 11,9371 .10-6 m3

VT = V1 + V2 +V3 + 5V4VT = 192,1894 .10-6 m3

Como, = y m = 0.5186 kg = 2698,3798 kg.m-3

Ahora como tenemos el valor de la densidad de la rueda, podremos hallar la masa de cada una de las cuatro partes ya que tambin poseemos sus volmenes.

MASASM1 = 0,436260 kg M2 = 0,013504 kgM3 = 0,036624 kg M4 = 0,006442 kg

MOMENTOS DE INERCIAPodremos calcular el momento de inercia de cada una de las partes con la siguiente expresin:I = r2 dmDe ah podremos calcular el I para cada parte de la rueda.

I1 = M(R12 + R22)I1 = 0,4326. (4,932 + 6,72).10-4I1 = 1509,14 .10-6 kg.m2

I2 = MR2I2 = 0,013504. (3,208 .10-3)2I2 = 0,069486 .10-6 kg.m2

I3 = M(R12 + R22)I3 = 0,036624. (13,052 + 3,2082).10-6I3 = 3,307033 .10-6 kg.m2 I4 = M(R12 +3R22)I4 = 0,006442. (3,6252 + 3. 1,3052).10-4I4 = 3,918818 .10-6 kg.m25I4 = 19,59409 .10-6 kg.m2IT = I1 + I2 + I3 +5I4

IT = 1,5321106 .10-3 kg.m2

OBSERVACIN: Como podemos observar los valores del momento de inercia, tanto en el caso 1 como en el caso 2, son muy similares lo cual abala que nuestros clculos y resultados son correctos.

E. CULES SON LAS MEDICIONES QUE INTRODUCEN MAYOR INCERTIDUMBRE EN EL CLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA? Las mediciones que producen mayor incertidumbre son, sin duda alguna, las que se hacen al medir la rueda de Maxwell pues presentan muchas variantes, ya que el material con el que est hecha sta, no es uniforme en toda su superficie.Adems una de las posibles fallas que pueden ocurrir es la falta de las medidas de las masas de cada una de las partes de la rueda ya que el material con el que est hecha no es el mismo que el del eje de la misma, cosa que se asume en el experimento para obtener los valores respectivos.Otras posibles causas de incertidumbre en el clculo del momento de inercia son las mediciones de los tiempos y distancias en el recorrido.

F. CMO INFLUYE LA LONGITUD DEL RECORRIDO SOBRE EL VALOR DE I?PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA COMPARE EL VALOR OBTENIDO DE LAS MEDICIONES EN LOS PUNTOS G1, G2, G3 Y G4.Calculemos el momento de inercia con la ecuacin despejada de la conservacin de la energa mecnica.mgh0 = mgh4 + m vG2 + IG vG2 / r2 IG = ( m) r2

Ahora podremos encontrar el I para cada tramo del recorrido.

TRAMO A0 A1 1 = = = 2,31213 cm/s h1 = = 0,975cmIA0-A1 = 1,90442929. 10-3 kg.m2

TRAMO A0 A2 1 = = = 3,2706 cm/s h1 = = 1,95cmIA0-A2 = 1,9035489. 10-3 kg.m2

TRAMO A0-A3 1 = = = 3,93442 cm/s h1 = 3. = 2,925cm IA0-A3 = 1,973293. 10-3 kg.m2

TRAMO A0-A4Es el tramo para el cual realizamos los clculos en el punto D.IA0-A4= 1,9732503. 10-3 kg.m2

OBSERVACIN: Podemos notar que los cuatro valores de I son muy parecidos, esto confirma que nuestros clculos son correctos pues el momento de inercia no depende de las distancias que recorra un cuerpo, por el contrario depende de su forma y masa. Encontramos que los valores de I son casi iguales y que existe un error promedio de 0,000197325 kg.m2

G. CMO INFLUYE LA INCLINACIN DE LOS RIELES SOBRE EL VALOR DE I?Como notamos en el caso anterior, el momento de inercia depende muy poco del valor de las distancias recorridas y esta vez no ser una excepcin.

CLCULO 2Con la expresin despejada anteriormente y los siguientes datos, hallaremos el nuevo I. H2 = 4,8 cm tPROMEDIO = 15,653 s 2 = 5, 1108413 cm/s

I2= 1,918892. 10-3 kg.m2

Como podemos observar los valores son casi iguales como en los casos anteriores lo que comprueba una vez ms la validez de nuestros clculos.ERROR = 0,000543 kg.m2

VII. CONCLUSIONES1. Luego de realizar las cuatro ltimas preguntas se llega a la conclusin de que el valor del momento de inercia no depende de la variacin de tramos que recorra o la diferencia de alturas que separen al punto inicial del final en el recorrido, sino que depende de la masa que el cuerpo (en este caso la rueda) posea y las longitudes que tengan cada una de sus componentes.Esto se ve reflejado con los resultados anteriormente hallados y que a continuacin se muestran para la apreciacin del poco porcentaje de error que existe entre estos.ITERICO = 1.9732503 10-3 kg.m2ITOTAL = 1,5321106 .10-3 kg.m2 IA0-A1 = 1,90442929. 10-3 kg.m2 IA0-A2 = 1,9035489. 10-3 kg.m2 IA0-A3 = 1,973293. 10-3 kg.m2 IA0-A4= 1,9732503. 10-3 kg.m2 I2= 1,918892. 10-3 kg.m2

ERROR PROMEDIO = 0,0001058 kg.m2

2. El momento de inercia es una cantidad que permanece constante para un cuerpo aunque ste este en movimiento o cambie de posicin, esto se comprueba con los valores muy similares hallados anteriormente.

3. Se producen errores en el clculo del momento inercia ya que no se poseen datos exactos y precisos de las masas de cada parte de la rueda de Maxwell, lo que facilitara el trabajo y nos permitira comprobar con mayor eficacia que el momento de inercia es constante par un cuerpo.

4. Los valores como la separacin de alturas entre los rieles o las distancias recorridas durante la trayectoria son poco influyentes en el clculo del momento de inercia ya que terminan siendo proporcionales entre s o con otros datos que se hayan usado con anterioridad.

5. Para una mayor facilidad de clculo se toman valores insignificantes en algunos datos para que stos no afecten en el desarrollo del proyecto, por ejemplo el trabajo de la fuerza de friccin se asume como cero ya que este valor es insignificante de tal forma que simplifica la expresin de la energa mecnica.Wfriccin 0 J

6. La Ley de la Conservacin de la Energa es una de las leyes fsicas con ms aplicacin en nuestra vida cotidiana y que a su vez facilita el clculo de diversos valores que son muy importantes en la mayora de los cuerpos

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