Dinamica de sistemas

ESCUELA POLITECNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

LABORATORIO DE AUTOMATIZACION INDUSTRIALDE PROCESOS MECANICOS

LABORATORIO DE DINAMICA DE SISTEMASINFORME 3

INTEGRANTES:Maigua Barreno Christian Andres

Darwin Santiago Velastegui MasapunchoHORARIO: 14 - 16

GRUPO: 6

1. TEMA

ANALISIS DE METODOS NUMERICOS PARA EL ESTUDIO DE LA DINAMI-CA DE SISTEMAS

2. OBJETIVOS

Entender el concepto de metodo numerico.Conocer la base teorica del metodo de Euler.Implementar el metodo de Euler en Matlab.Simular la dinamica de un sistema en Matlab mediante el metodo de Euler.

3. Resumen de la explicacion de clases

La explicacion de clase se trato acerca de la diferencia de aplicacion del metodo de Euler y RungeKutta, en los respectivos programas; VENSIM y MATLAB, de los cuales se analizo particular-mente la programacion de estos metodos en MATLAB, haciendo diferencias en las discretizacio-nes con pasos de iuntegracion, e iteraciones variadas.Al variar la cantidad de iteraciones se pudo ver como varia la grafica del la solucion de la ecua-cion diferencial evaluada, que represento menos presicion mientras esta variable disminua.Tambbien se analizo la mecanica del algoritmo del metodo.

4. CuestionarioEn base a la informacion suministrada por el tem anterior, responda las siguientes preguntas:

A que se refiere el teorema fundamental del calculo?El Teorema fundamental del Calculo, como su nombre lo indica es un importante resultadoque relaciona el Calculo Diferencial con el Calculo Integral. Conceptualmente, este teore-ma unifica los estudios de la derivacion e integracion, mostrando que ambos procesos sonmutuamente inversos. El teorema fundamental del calculo consiste (intuitivamente) en laafirmacion de que la derivacion e integracion de una funcion son operaciones inversas. Estosignifica que toda funcion continua integrable verifica que la derivada de su integral es iguala ella misma. El teorema se denomina fundamental porque el calculo aproximado de areas(integrales) es por separado al calculo diferencial dando lugar a conceptos como el de lasderivadas.

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El metodo de Euler se ve limitado por el orden o el grado de la ecuacion diferencial?Si, debido a que el metodo se lo puede modificar para que pueda resolver Ecuacionesdiferenciales parciales. El objetivo de este metodo es desarrollar un logaritmo numericopara resolver un problema de valores iniciales, con una funcion acotada y que sea continuaen una de sus variables y en la otra variable dentro de un dominio [a, b]. El algoritmo deeste metodo consiste en obtener una aproximacion a una ecuacion diferencial y resolverlapaso a paso con un aumento de tiempo t por h, donde h es el tamano de paso y se determinacon base a los requerimientos de precision y las limitaciones del calculo.En que casos no es fiable el metodo de Euler? Bajo casos de que las Ecuaciones Diferencialessean de orden superior o que no se tengan datos de valor inicial.En que forma varan los datos de la variable independiente de la solucion de la ecuaciondiferencial? Varan en forma Exponencial o en forma hiperbolica; dependiendo del tipo desolucion.Enumere y explique RESUMIDAMENTE otros metodos numericos para resolver ecuacionesdiferenciales.Metodo de EulerEs un procedimiento de integracion numerica para resolver ecuaciones diferenciales ordina-rias a partir de un valor inicial dado. Consiste en ir incrementando paso a paso la variableindependiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.Se puede pensar en la ecuacion diferencial como una formula que nos permite calcular lapendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que ose conozca. La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su puntode comienzo (A0) es conocido. Entonces, de la ecuacion diferencial se puede computar lapendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva. Dando unpequeno paso sobre dicha recta, tomamos un nuevo punto A1 y suponemos que dicho puntopertenece a la curva, siguiendo el mismo razonamiento aplicado anteriormente volvemos acalcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasostendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemosal aplicar el metodo no diverge lejos de la curva original.Metodos de Runge-KuttaEs uno de los metodos mas utilizados para resolver ecuaciones diferenciales y se deriva apartir de la series de Taylor. Es una serie de metodos numericos usados para encontraraproximaciones de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones di-ferenciales lineales y no lineales. Una particularidad del metodo de Runge- Kutta es queno necesita calcular derivadas de la funcion f para avanzar, por ello se evalua mas veces lapropia funcion f. Metodo de Taylor de orden superiorConsiste en medir la cantidad en que la solucion exacta de la ecuacion diferencial no satis-face la ecuacion de diferencia con que se obtiene la aproximacion.

El error local de truncamiento esta dado por:

Ejercicio 1

Para el sistema mecanico de la figura:

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Figura 1: Expansion de Taylor

Figura 2: Error de truncamiento de la serie de Taylor

a) Modelar el sistema a traves de sus ecuaciones diferenciales.

Para la masa Mc:

Fx = mc

d2xcdt2

kcxc + bxc F ka(xa + xc) = mcxc

Para la masa Ma:

Fx = ma

d2xadt2

mag ka(xa + xc) = maxa

b) Simular en VENSIM con los siguientes datos: ma = 2[kg], mc = 7[kg], k = 1, 5[N/m], ka = 1,1[N/m], b = 1, 6[N s/m], F = 20[N ], h = 0, 25 (paso de integracion), v0 = 0 y x0 = 0. Mostrarlas graficas de como vara el desplazamiento y velocidad para las dos masas.

ANEXO 1Diagrama de Forrester del sistema:

c) Simular en Matlab, utilizando el metodo de Euler. Mostrar las graficas de como vara el des-plazamiento y velocidad para las dos masas.

ANEXO 2

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Figura 3: Sistema masa, resorte, amortiguado

Figura 4: diagrama de Forrester del Sistema

d) Realizar un analisis comparativo entre las simulaciones obtenidas en VENSIM y Matlab.Para las graficas de la masa de A y C:Velocidad:Las curvas en VENSIM son mucho mas suavizadas que con el algoritmo desarrollado en MATLAB,lo que quiere decir que el metodo es mas refinado en este programa pero su forma tiene la tenden-cia a ser la misma, esto tambien se debe a los pasos de integracion aplicados como a el numero deiteraciones aplicada en cada metodo pero la causa de mayor peso es el desarrollo del algoritmode cada programa.

Posicion:De la misma manera, como en las velocidades, tomando en cuenta que en VENSIM existe massencibilidad en la graficacion, hay que tomar en cuenta que las graficas de MATLAB tiene laforma inversa de la de VENSIM en lo referente a velocidad, se debe a el ingreso de datos de ladiscretixacion de de la ecuacion diferencial.

e) En Matlab, variar la masa de A con un valor mayor al original. Comentar como influyeeste cambio en el sistema con respecto a su desplazamiento y velocidad. Agregar las graficasrespectivas.Variando la masa hasta 20 kg se tiene:Que influye en el comportamiento de las curvas de forma que parece trazar una linea recta, enlos lugares donde se presentaba una curva abierta hacia abajo.

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ANEXO 3f) En Matlab, variar la masa de A con un valor menor al original. Comentar como influyeeste cambio en el sistema con respecto a su desplazamiento y velocidad. Agregar las graficasrespectivas.Variando la masa hasta 0.01 kg se tiene:Al variar de esta manera, cambia totalmente su forma de una manera forzada, en lo respectantea la velocidad y desplazamiento del bloque A.para la velocidad de C se suaviza la curva demasiado hasta tomar valores incorrectos, la posiciontiene la tendencia de mantenerse.

ANEXO 4g) En Matlab, variar el amortiguamiento b con un valor menor al original. Comentar comoinfluye este cambio en el sistema con respecto a su desplazamiento y velocidad. Agregar lasgraficas respectivas.Variando la b hasta 0.9 se tiene:La grafica del desplazamiento se forma solo con dos lineas tomando la tendencia de la anteriorcurva, y se inflexiona tendiendo a una linea curva no tan pronunciada para la velocidad en lamasa C.para la masa A se alinean totalmente.ANEXO 5h) En Matlab, variar el resorte k con un valor mayor al original. Comentar como influye estecambio en el sistema con respecto a su desplazamiento y velocidad. Agregar las graficas respec-tivas.

Variando la Kc hasta 3 se tiene:Aumenta ligeramente los valores pico, o mas bajas del desplazamiento y velocidad, para ambasmasas.ANEXO 6i) Cambiar el valor de paso de integracion por h = 0, 03 en Matlab. Como influye este cambioen el sistema? (Presentar los graficos que justifiquen su respuesta).

Variando la h hasta 0.03 se tiene:

varia de form que las graficas en general mantienen sus valores pico o mayores y menores, perocon la diferencia de que las graficas son de mayor calidad.ANEXO 7

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones (Christian Maigua)

Cualquier tipo de sistema dentro de los parametros que peueden evaluar los programasestudiados, es muy factible pero siendo concientes no es igual su uso, dado que la interfaz

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grafica de VENSIM facilita demasiado tanto resolucion como comprension del fenomenoestudiado, lo que se debe tener en cuenta en MATLAB, que no desarrolla esta facilidad.Las graficas del fenomeno estudiado son un poco mas fieles por as decirlo de parte del pro-grama VENSIM, pero el programa MATLAB permite modificar de la menera que queramosde manera mas versatil.Los resultados obtenidos en Vensim y en MATLAB son semejantes pero no exactamente losmismos, para lograr una similitud coherente se debe evaluar en rangos de tiempo similares.Las diferencias que se generan en los dos programas se debe a la manera de como discretizanel metodo ya que se trata del mismo metodo y debera dar resultados iguales cosa que definelo antes expuesto.

Recomendaciones (Christian Maigua)

Para la modelacion matematica revisar la teora de vibraciones correspondiente.Investigar la deduccion del metodo tanto de Euler como de runge kutta.Revisar la sintaxis de programacion de estos metodos detenidamenta ya que las funcionesque tiene MATLAB no permiten ver a fondo como trabaja el metodo de resolucion.

Conclusiones (Santiago Velastegui)

Mediante el diagrama de Forrester, se puede obtener graficas de velocidad, desplazamientoen funcion del tiempo, ademas se pudo analizar que es lo que sucede en un sistema masaresorte, con amortiguador en el transcurso del tiempo y como se comporta al momento dellegar a valores pico de este fenomeno.En Matlab la simulacion de estos procesos demanda de bastante conocimiento en lo respec-tante a la modelacion matematica.La interfaz grafica de VENSIM permite que la resolucion de ecuaciones que representansistemas de los que se estudia comunmente, sean de facil aplicacion y acceso.

Recomendaciones (Santiago Velastegui)

La utilizacion de diagrama de bloque facilitara la comprension del proceso.Recordar los parametros de programacion.

6. BIBLIOGRAFIAEscuela Politecnica Nacional, Laboratorio de Automatizacion Industrial de Procesos Mecani-cos,(2015 - A), Guia de practicas.

Garcia, J. M. (2003). Teora y Ejercicios Practicos de Dinamica de Sistemas (Primera ed.),Barcelona.UPM, Calculo Integral, http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc1.html. n.d.

ANEXOSANEXO 1 Graficas:

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Figura 5: ANEXO 1. velocidad de la masa A

Figura 6: ANEXO 1. Posicion de la masa A

ANEXO 2 Pseudocodigo Matlab:

ANEXO 3ANEXO 4ANEXO 5ANEXO 6ANEXO 7

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Figura 7: ANEXO 1. Velocidad de la masa C

Figura 8: ANEXO 1. Posicion de la masa C

Figura 9: ANEXO 2. Metodo de Euler

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Figura 10: ANEXO 2. posicion y velocidad de la masa A

Figura 11: ANEXO 2. posicion y velocidad de la masa C

Figura 12: ANEXO 3. Posicion y velocidad en A con ma=20 kg

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Figura 13: ANEXO 4. Posicion y velocidad en A con ma=0.01 kg

Figura 14: ANEXO 4. Posicion y velocidad en C con ma=0.01 kg

Figura 15: ANEXO 5. Posicion y velocidad en C con b=0.9

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Figura 16: ANEXO 5. Posicion y velocidad en A con b=0.9

Figura 17: ANEXO 6. Posicion y velocidad en A con kc=3

Figura 18: ANEXO 6. Posicion y velocidad en C con kc=3

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Figura 19: ANEXO 7. Posicion y velocidad en C con h=0.03

Figura 20: ANEXO 7. Posicion y velocidad en A con h=0.03

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