Dinamica de Sistemas - Modelo_Cazador - presaCamilo Bernal

11 de julio de 2012

ProblemaUna bióloga se encuentra estudiando la población de conejos y zorros. En la

actualidad la población está conformada por 100 conejos, los cuales se alimentande un tipo especial de planta, de la cuál solo hay disponible 10 unidades. Cadauno de los conejos consume 0.002 unidades de alimento diariamente. Los conejosson conocidos por su basta reproducción, por lo cual se puede considerar quela tasa de reproducción es igual a 1 y depende de la población de conejos y del20% del alimento disponible.

Desafortunadamente los conejos son la comida predilecta de los zorros cadauno de los zorros tiene una probabilidad de 0.035 de cazar un conejo, sus ataquessiempre son certeros, por lo cual los conejos cazados se convierten en su cena entodos los casos sin excepción. La tasa de reproducción de los zorros es inferiora la de los conejos e igual a 0.01. Esta tasa es directamente proporcional ala cantidad de alimento disponible que tengan los zorros. De acuerdo con lasestadísticas se estima que cada día muere un zorro.

a.) La bióloga desea conocer el comportamiento de la población iden-tificando los picos y los valles de cada una, así como las relacionesentre las mismas.b.) Después de un análisis, la bióloga se ha dado cuenta que al igualque los conejos, el alimento disponible tiene asociada una tasa dereproducción, la cual es del 0.008. Como cambia esta situación elcomportamiento de la población?c.) Un estudio más complejo reveló que los nacimientos de los cone-jos tienen una tendencia clara hacia las hembras, se estima que enpromedio el 65% de los nacimientos son hembras, las cuales puedentener hasta 2.5 conejos por camada. Desafortunadamente, debido alas condiciones ambientales no todos los conejos sobreviven, por locual se estima un porcentaje de mortalidad de los recién nacidosigual al 10%d.) Posteriormente, se determinó que la población de árboles se en-cuentra afectada por el área disponible, inicialmente se contaba con10 árboles y 1000 m2 de área disponible. Se estima que cada árbolrequiere de un área de 50m2. En condiciones ideales, es decir cuandoel área es suficiente la tasa de reproducción de los árboles es de 0.04,sin embargo, a medida que el área disminuye la tasa también lo hacedebido al estrés. En este caso la tasa es de 0.02. ¿Como afecta estanueva variable el comportamiento de la población?

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Solución

a.)Descripción preliminar

El modelo cazador presa puede modelarse esencialmente a través de un con-junto de ecuaciones diferenciales relativamente sencillo:

�

Modelo Cazador-Presa (Ecuaciones de Lotka-Volterra )X ′(t) = a ∗X(t) − b ∗X(t) ∗ Y (t) (Para la presa)Y ′(t) = −c ∗ Y (t) + d ∗ Y (t) ∗X(t) (Para el cazador)Donde : a, b, c, d Son constantes

(1)

�La figura 1 muestra el diagrama de causa y efecto para el modelo cazador-

presa que se pretende representar inicialmente.

Figura 1: a.) Diagrama de Causa y Efecto�

Fuente: Autor

A continuación se presentan los datos utilizados en el modelo.�Datos del modelo correspondientes a la población1

Zorros =´ t1

t0ReproduccionZorros−MortalidadZorros δt+ C

1Las ecuaciones se derivan del modelo Cazador-Presa presentado en la ecuación 1

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Conejos =´ t1

t0ReproduccionConejos−DepredacionConejos δt+ C

Plantas =´ t1

t0−ConsumoP lantas δt+ C

ConsumoP lantas = Plantas ∗ Conejos ∗ TCP

ReproduccionConejos = Conejos ∗ Plantas ∗ TRC ∗ 0,2

DepredacionConejos = Conejos ∗ Zorros ∗ TDC

ReproduccionZorros = Zorros ∗ Conejos ∗ TRZ

MortalidadZorros = TMZ2

TCP (Tasa deConsumodeP lantas) = 0,002

TRC (Tasa deReproduccion deConejos) = 1

TDC (Tasa deDepredacion deConejos) = 0,035

TRZ (Tasa deReproduccion deZorros) = 0,01

TMZ (Tasa deMuerte deZorros) = 1 (Por dıa)

Una vez identificados los diversos elementos que conforman el modelo, se procedea la realización del modelo causal que representa de manera simplificada elcomportamiento de la población de Zorros y Conejos (Figura 2).

Figura 2: Modelo Causal - Población de Zorros y Conejos�

Fuente: Autor

Los cuadros presentados en color representan las variables de nivel, los re-cuadros en blanco representan las variables auxiliares y las letras sin recuadrorepresentan las contantes del modelo.

2Este flujo es independiente de la población de zorros; obviamente esto es perfectamentecuestionable, ya que el sentido común dicta que el flujo de zorros muertos depende de lapoblación actual de zorros

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Construcción del modelo en VensimPara realizar el modelo de simulación se hizo uso del software Vensim V5.11A

en su versión estudiantil. La figura 3 muestra el aspecto del modelo planteadoutilizando diagramas de Forrester en el software mencionado.

Figura 3: Diagrama de Forrester - Vensim�

Fuente: Autor

Al realizar el modelo de cazador-presa basado en las ecuaciones de Lotka-Volterra se obtiene el siguiente comportamiento para la población de conejos(Figura 4)

Figura 4: a.) Población de conejos�

Fuente: Autor

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La tasa de mortalidad de los zorros es relativamente baja, lo cual se reflejaen una alta población sin alimento. Esto se contradice con la realidad, en la cualla mortalidad aumenta dramáticamente una vez terminado el alimento (Figura5).

Figura 5: a.) Población de zorros�

Fuente: Autor

b.)Al modelo se agregará la tasa de crecimiento de las plantas:

TCP = 0,008

Construcción del modelo en VensimSe añade un flujo a la variable que representan las plantas. La figura muestra

el diagrama de Forrester en Vensim.

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Figura 6: Diagrama de Forrester - Vensim�

Fuente: Autor

La población de conejos no se altera significativamente, con lo cual se puedeinferir que existe un desbalance considerable en las tasas que influyen en el siste-ma. Es importante notar que los equilibrios son difíciles de lograr en los modeloscerrados de cazador-presa, pues se necesitan tasas relativamente equivalentes ybajas, de otro modo un desequilibrio transitorio puede provocar la extensión dealguna especie e iniciar un efecto domino (Figura 7).

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Figura 7: b.) Población de conejos�

Fuente: Autor

La población de zorros depende de la población de conejos, así que tampocose modificará (Figura 8).

Figura 8: b.) Población de zorros�

Fuente: Autor

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c.)Al modelo se agregará la tasa de crecimiento de los conejos:

PH = 0,65

CH = 2,5

MRN = 0,1

Construcción del modelo en VensimCon los cambios en el comportamiento en la reproducción de los conejos, el

ciclo se reduce aproximadamente un 25% (Figuras 9 y 10).

Figura 9: c.) Población de conejos�

Fuente: Autor

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Figura 10: c.) Población de zorros�

Fuente: Autor

d.)Al modelo se agregará la tasa de crecimiento de las plantas:

ATD = 1000 (m2)

ANA = 50 (m2/arbol)

TRACI = 0,04

TRACNI = 0,02

Con estos nuevos parámetros se evidencia un intento de recuperación de lasplantas, pero sin presentar mayores cambios en la pobación, como se muestraen la figuras .

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Figura 11: d.) Población de conejos�

Fuente: Autor

Figura 12: d.) Población de zorros�

Fuente: Autor

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