Diplomado en Herramientas para el Desempeño …€¦ · Simetrías del cuadrado en diferentes sistemas de representación y Transformaciones en el plano ... Geometría en el espacio

Diplomado en Herramientas para el Desempeño Profesional del

Docente de Matemáticas en la Educación Media Superior

Dirigido a docentes del subsistema de Educación Media Superior de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos (UAEM)

Material del participante

Morelos, del 8 al 11 de junio de 2015

2Herramientas para el Desempeño Profesional del Docente de Matemáticas en la Educación Media Superior

Contenido

1. Descripción del curso.................................................................................................................. 3

Introducción.................................................................................................................................... 3

Propósito.................................................................................................................................... …..3

Duración.......................................................................................................................................….3

Modalidad...................................................................................................................................…..3 Dirigido a......................................................................................................................................... 3

Contenidos...................................................................................................................................... 4

Criterios de evaluación ………………...................................................................................................4

Materiales....................................................................................................................................... 5

Plan de trabajo presencial……………….............................................................................................. 6

Plan de trabajo en línea………...........................................................................................................7

Ponentes..........................................................................................................................................7

Contacto......................................................................................................................................... 6

2. Actividades..................................................................................................................................7

Situación 1. Simetrías del cuadrado en diferentes sistemas de representación y

Transformaciones en el plano........................................................................................................8

Situación 2. El problema de la repartición equitativa...................................................................14

Situación 3. Resolución de problemas......................................................................................... 17

Situación 4. Análisis de un test donde fallan los estudiantes....................................................... 20

Situación 5. Modelación en matemática educativa..................................................................... 22

Situación 6. Los problemas de la caja........................................................................................... 25

Situación 7. Modelos de crecimiento poblacional........................................................................ 26

Referencias...................................................................................................................................34

El Diplomado en Herramientas para el Desempeño Profesional del Docente de Matemáticas en la

Educación Media Superior, dirigido a docentes de matemáticas, fue diseñado por la Universidad

Nacional Autónoma de México (UNAM).

México, Distrito Federal, enero de 2014.

Las actividades que se presentan a continuación han sido diseñadas o adaptadas para los propósitos de este curso por Vicente Carrión Velázquez, Jesús Enrique Hernández Zavaleta, e Iñigo Prieto Beguiristáin.

Material del participante 3

1. Descripción del curso

Introducción

Los nuevos planes de estudio demandan de los profesores de la educación media superior de matemáticas una diversidad de tareas y competencias: diseñar actividades significativas e integradoras, que permitan vincular los saberes previos de los estudiantes con los objetos de aprendizaje; propiciar el desarrollo de un clima escolar favorable para el aprendizaje; estimular el deseo de aprender de los alumnos y el desarrollo de la competencia matemática; la utilización de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC); fomentar la autoevaluación y coevaluación por parte de los alumnos y un trabajo colegiado e interdisciplinario con los colegas, entre otras cosas.

En el curso se hará una reflexión inicial sobre estos temas y sobre el rol del docente de matemáticas a través de propuestas de estrategias que puedan ser utilizadas por los docentes para estimular el pensamiento matemático de sus alumnos. En particular se trabajarán actividades de introducción al desarrollo de la resolución de problemas, la modelación en matemáticas, la representación, la argumentación y la comunicación.

Propósito

Resolver, analizar y discutir durante el curso las actividades y artículos propuestos, para que el docente se apropie de la metodología de las secuencias y así, por medio de ejemplos, vivencias, y el diseño de situaciones integradoras se observe la pertinencia del desarrollo de competencias a través del uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) y el trabajo colaborativo.

Duración

40 horas totales: 24 presenciales y 16 de trabajo en línea.

Modalidad

Presencial y en línea

Dirigido a

Docentes del subsistema de Educación Media Superior de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos (UAEM)

Criterios de evaluación

Los requisitos para ser evaluados son:

• Puntualidad, presencia y asistencia de al menos un 100%.

• Participar de manera activa y colaborativa en cada uno de los temas y actividades propuestas.

• Demostrar interés, respeto, tolerancia y apertura a las opiniones del resto de los integrantes de la comunidad de aprendizaje.

• Entregar cada una de las tareas y productos solicitados en tiempo y forma.

El ponente retroalimentará las discusiones y las tareas de los docentes durante un tiempo determinado o hasta que el contenido de las tareas refleje la comprensión del tema analizado. Valorará la pertinencia de las participaciones y establecerá los criterios de evaluación de las


actividades a entregar. La suma ponderada de estos elementos dará una calificación que deberá ser al menos de siete (7) para poder aprobar el módulo.

Contenidos

Con base al diagnóstico en los docentes de matemáticas de bachillerato de la UAEM, y los resultados que se muestran en la tabla, se abordaran algunos de los contenidos de forma integradora a través de actividades concretas, se analizará la pertinencia del uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) en la enseñanza de las matemáticas, como también discutir cuales competencias están en uso en la realización de dichas actividades como la : Representación, Modelación, Resolución de problemas, argumentación, comunicación entre otras.

Contenidos difíciles de enseñar

Contenidos difíciles de aprender

Contenidos difíciles de evaluar

Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas

Álgebra Álgebra Álgebra

Deducción de fórmulas Deducción de fórmulas Graficar funciones

Factorizar Comportamiento gráfico de funciones

Ley de senos y cosenos

Conversión de fracciones decimales periódicas a fracciones comunes

Números complejos Hipérbola

Función polinomial Leyes de los exponentes Variables continuas

Variables aleatorias Función exponencial Derivadas

Análisis de varianza Función logarítmica Integrales

Cálculo diferencial Despejar Límites e incrementos

Cálculo integral Factorizar Métodos de solución de ecuaciones

Límites e incrementos Análisis de varianza Regresión-correlación

Derivadas Derivadas Pruebas de hipótesis

Geometría en el espacio Integrales Distribución de probabilidad

Regresión-correlación Geometría en el espacio Estructuras de control

Pruebas de hipótesis Geometría analítica Apuntadores

Distribución de probabilidad Ley de senos y cosenos Ficheros

Contextualización de los temas

Regresión-correlación Ninguno

Optimización Pruebas de hipótesis

Estructuras de control Distribución de probabilidad

Apuntadores Optimización

Ficheros Estructuras de control

Apuntadores

Ficheros


Materiales

Cañón proyector, computadora, fotocopias de algunos materiales. Además, es conveniente que dispongan de una computadora con acceso a internet y el programa de geometría dinámica Geogebra instalado (se puede descargar gratuitamente en www.geogebra.org).

Plan de trabajo

Sesión 1 / Lunes 8 de junio de 2015

Hora Actividad

8 – 9 Presentación del curso y de los participantes

9 – 10:30 Diagnóstico, análisis y discusión

10:30 – 11:30 Presentación 1 Análisis de la complejidad del oficio del maestro, enseñanza,

aprendizaje y evaluación. Apoyo en el artículo de Louise Bélair

11:30 – 12 RECESO

12 – 13:30 Situación 1. Simetrías del cuadrado en diferentes sistemas de representación y Transformaciones en el plano

13:30 – 14 Cierre de la sesión. Productos y lecturas

Sesión 2 / Martes 9 de junio de 2015

Hora Actividad

8 - 10

Situación 2. El problema de la repartición 10 – 11:30

11:30 – 12 RECESO

12 – 13:30 Situación 3. Resolución de problemas.


http://www.geogebra.org/



Sesión 3 / Miércoles 10 de junio de 2015

Hora Actividad

8 – 10 Situación 4. Análisis de un test donde fallan los estudiantes

10 – 11:30 Situación 4. Análisis de un test donde fallan los estudiantes

11:30 – 12 RECESO

12 – 13:30 Situación 5. Variación de parámetros


Sesión 4 / Jueves 11 de enero de 2015

Hora Actividad

8 – 10 Situación 6. Los problemas de la caja

10 – 11:30 Presentación 3. Modelación

11:30 – 12 RECESO

12 – 13:30 Situación 7. Modelos de crecimiento poblacional


Lecturas y materiales por sesiones:

Sesión Lecturas y materiales audiovisuales obligatorios por sesión presencial y en la parte en

línea

1ª

presencial Carrión V., Ávila R. (2009) El contexto de la enseñanza y los significados de los

objetos matemáticos” XIV JAEM. Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de la

Matemática.

2ª

presencial Santos-Trigo, M. (2008). La resolución de problemas matemáticos: Avances y

Perspectivas en la Construcción de una Agenda de Investigación y Práctica. Memorias

del seminario de resolución de problemas: 30 años después del XII Simposio de la

Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.

3ª

presencial Miramontes P., Koppen E,(2005).La Interdisciplinar desde la Teoría de los Sistemas

Complejos, Revista Ciencias #79

4ª

presencial Rico L. La Competencia Matemática en Pisa, PNA 1(2), 47-66


Lecturas y materiales para trabajo en línea:

1ª En Línea Introducción a las funciones polinómicas. Incorporación del Geogrebra al trabajo en el aula.

Carmen Sessa

2ª En Línea Reseña de dos artículos a escoger y, o capítulo de libro.

Ponente

Ponente Lugar Fechas Horario

Vicente Carrión Velázquez UAEM Del 8 al 11 de junio 8:00 a 14:00

Contacto

Coordinación de Actualización Docente: www.cad.unam.mx

http://www.cad.unam.mx/programas/actuales/cursos_diplo/cursos/01_ene_2014/04_mate/semblanza/Vicente_Carrion_Velazquez.html

http://www.cad.unam.mx/programas/actuales/cursos_diplo/cursos/01_ene_2014/04_mate/semblanza/Vicente_Carrion_Velazquez.html

http://www.cad.unam.mx/

http://www.cad.unam.mx/


2.Actividades

Situación 1.Simetrías del cuadrado en diferentes sistemas de representación y Transformaciones en el plano

Propósito

En esta actividad se analizará una manera de afrontar el aprendizaje de algunos temas de la matemática del nivel medio superior recurriendo a la geometría del movimiento en el plano. El

tema es introductorio al estudio de las transformaciones rígidas. Se enfoca con herramientas de geometría sintética y se trabajan aspectos matemáticos básicos sobre el tema de transformaciones

rígidas. Un objetivo de la actividad es estructurar estos contenidos para utilizarlos en cursos de geometría.

Parte 1. Representar las simetrías del cuadrado

Se construye un cuadrado. A cada vértice del cuadrado se le asocia un número. Se efectúan las

simetrías y se observa la posición de los vértices. Las rotaciones se realizan con respecto al centro

geométrico del cuadrado y las reflexiones con respecto al segmento marcado en cada cuadrado. Se

llega a las ocho simetrías siguientes.

Identidad: IRotación 90: RRotación 180: R2

Rotación 270: R3Reflexión 1: rReflexión 2: Ror

21

4 3

4 1

3 2

3 4

2 1

2 3

1 4

4 3

1 2 32

41

2 1

3 4

3 2

4 1


Reflexión 3: R2orReflexión 4: R3o r

Verifica que la composición de cualesquiera de dos de estas simetrías conduce a una de las ocho encontradas; esto exhibe la cerradura de la operación composición de estas simetrías.

Se representan numéricamente en forma de permutación como un subgrupo de las permutaciones de S4.

IdentidadRotación 90Rotación 180Rotación 270

I =

4321

4321R =

1432

4321R2=

2143

4321R3=

3214

4321

Reflexión 1 Reflexión 2 Reflexión 3 Reflexión 4

r =

1234

4321, Ro r =

2341

4321, R2o r =

3412

4321, R3o r =

4123

4321.

Dotar de significado a la conversión de un registro a otro y discutirlo.

Otra manera es ver a cuadrado ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas con vértices en

A = (1, 1), B = (1, 1), C = (1, 1) y D = (1, 1).

El punto de la forma P = (x, y) puede ser un vértice del cuadrado.

A cada simetría se asocia una matriz de 22.

De esta manera, el punto P se transforma de la siguiente manera:

I

y

x=

10

01

y

x =

y

x

R90

y

x=

90cos90

9090cos

sen

sen

y

x =

01

10

y

x =

x

y

R180

y

x=

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x =

10

01

y

x =

y

x

1x

Y

-1

1

-1

D C

BA


R270

y

x=

270cos270

270270cos

sen

sen

y

x =

01

10

y

x =

x

y

r

y

x =

10

01

y

x =

y

x

R90o r

y

x =

01

10

10

01

y

x =

01

10

y

x =

01

10

y

x =

x

y

R180o r

y

x =

10

01

10

01

y

x =

10

01

y

x =

10

01

y

x =

y

x

R270o r

y

x =

01

10

10

01

y

x =

01

10

y

x =

01

10

y

x =

x

y

Discutir en el grupo este registro.


Construir la tabla de la composición de simetrías del cuadrado.

o I R R2 R3 r R o r R2 o r R3 o r

I

R

R2

R3

r

R o r

R2 o r

R3 o r

Parte 2. ¿Geometría o geometrías?

La geometría, además de estudiar las propiedades de las figuras geométricas, estudia sus movimientos. Si movemos en el plano todos los puntos de una figura geométrica siguiendo reglas establecidas previamente podemos crear una nueva figura geométrica. Tal movimiento establece una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los puntos de la nueva figura. Ésta es la imagen de la primera. Si a cada punto del plano se asocia exactamente uno de la imagen; y si a cada punto de la imagen se asocia exactamente un punto de la figura original, se obtiene una correspondencia llamada transformación. Una transformación puede, o no, preservar las medidas. Si sucede lo primero, a la correspondencia se llama transformación rígida o isometría. En una isometría la imagen es una figura congruente con la original. En el plano existen solamente cuatro tipos de isometrías: la reflexión, la traslación, la rotación y la que se conoce con el nombre de reflexión deslizada o, simplemente, deslizamiento. Esta última es la composición de una reflexión con una traslación en la dirección de la recta de reflexión. La composición de dos isometrías es una isometría. Dadas dos figuras congruentes existe una isometría, y sólo una, que lleva la primera en la segunda. Tratemos de determinar cuál es esa isometría que asocia dos figuras congruentes del plano. Además, la composición de reflexiones es una isometría y toda isometría es la composición de al menos tres reflexiones.

Algunos resultados por descubrir pueden ser los siguientes.

i. La composición de dos isometrías es una isometría.

ii. Toda traslación es la composición de dos reflexiones de rectas paralelas. iii.

La longitud de la traslación es el doble de la distancia entre las paralelas. iv.

La composición de dos reflexiones en rectas paralelas es una traslación.


v. Una rotación es la composición de dos reflexiones en rectas concurrentes. Se produce una rotación con centro en el punto de concurrencia de las rectas y de ángulo igual al doble del ángulo que forman las rectas. La proposición recíproca también se cumple: la

composición de dos reflexiones en rectas concurrentes es una rotación.

vi. La composición de reflexiones entre una recta perpendicular a dos paralelas produce un

deslizamiento. La proposición recíproca también se cumple: todo deslizamiento se puede expresar como la composición de tres reflexiones.

vii. Dadas dos figuras congruentes, existe una y solo una isometría que lleva una en la otra.

viii. Toda isometría es la composición de al menos tres reflexiones.

La actividad se puede desarrollar utilizando doblado de papel, un programa de geometría dinámica como Geogebra o con regla y compás, entre otros.

Parte 3. Construyendo un pantógrafo

Ahora, vamos a construir cuatro pantógrafos en Geogebra. Los pantógrafos se construyen con varillas y articulaciones. Las varillas serán segmentos fijos y las articulaciones las intersecciones entre segmentos.

1. Construyamos primero una máquina que refleje. Sea l un segmento fijo en el que se puede mover los puntos A y B, el punto O es el que queremos reflejar con respecto al segmento, como se muestra en la figura.

Al mover O se mueve P de modo que la trayectoria de P es justamente la reflexión de la trayectoria de O respecto a l.

2. Ahora, para hacer una máquina que traslade, se necesitan dos reflexiones. Para eso, articularemos dos máquinas que reflejen adecuadamente.


3. Para hacer una máquina que rote, articularemos dos máquinas que reflejen.

4. Finalmente, construya una máquina que realice un deslizamiento. Recuerde que se necesitan tres máquinas que reflejen.

Tarea

Dibuje la imagen del polígono en cada una de las transformaciones siguientes.

1.(x,y)→(-x,y) 2.(x,y)→(x+2,y-4)

3.(x,y)→(-x,-y) 4.(x,y)→(2x,2y)


Realice la actividad en su cuaderno o con Geogebra. Diga en cada caso si las transformaciones son isométricas o no.

Situación 2. El problema de la repartición equitativa

Si no esperas lo inesperado, no lo encontraras, pues es penoso y difícil de encontrar.

Heráclito

Propósito

Esta actividad consta de tres partes que serán resueltas en equipos. Con ella se pretende que analicen el proceso de resolución e indagación de problemas con el uso de Geogebra y mostrar que es un software con el potencial adecuado para involucrar a los estudiantes en las actividades

propias del quehacer matemático.

Parte 1. El problema del reparto

A dos estudiantes Luis y Pablo encargados de la siembra de hortalizas en el jardín de la escuela, se

les asigna un pedazo de tierra en forma de cuadrado y deciden repartirse el terreno en dos partes

iguales de tal manera que a cada uno le corresponda la misma área. Las Figuras 1 y 2 representan

las dos formas en que inicialmente consideraron dividir el terreno.

Figura 1 Figura 2

1. Escriban uno o varios argumentos que validen el reparto del terreno propuesto por Luis y Pablo.

Continúa el problema. Alguien que escucha su discusión les propone seleccionar cualesquiera dos puntos en lados opuestos del cuadrado y afirma que esta recta divide al cuadrado en dos regiones con la misma área (Figura 3).

Figura 3


Utilicen Geogebra como apoyo para dar respuesta a las siguientes preguntas.

2. ¿Es cierta está afirmación? Justifiquen su respuesta

3. De no ser cierta, ¿qué se debería tomar en cuenta para que siempre lo fuera? 4. ¿Existe alguna relación entre el método original de Luis y Pablo con este nuevo procedimiento

propuesto?

5. Escriban uno o varios argumentos que validen este resultado (conjetura).

Herramienta: Utilicen la herramientas polígono regular para trazar un cuadrado,

polígono para trazar un polígono irregular (se pueden encimar los polígonos según lo requieran).

El cálculo de área se lo hacen utilizando la herramienta .

Las construcciones en Geogebra suelen utilizar polígonos encimados sobre construcciones para facilitar los cálculos. A lo largo de esta situación didáctica se utilizarán estas herramientas frecuentemente y de modos diversos.

Puede consultar más detalles en la wiki de Geogebra: http://wiki.geogebra.org/es/Vista_Algebraica_CAS

Parte 2. Buscando más soluciones

Con la ayuda de Geogebra seleccionen un punto P dentro del cuadrado y tracen los segmentos que unan P con los vértices del cuadrado de tal forma que se formen cuatro triángulos (ver Figura 4), de acuerdo con esta construcción a Luis le corresponderían dos triángulos opuestos por el vértice (marcados con un color más obscuro) mientras que Pablo se queda con los restantes.

Figura 4

1. ¿Con esta repartición cada estudiante obtiene regiones con la misma área total? Justifiquen su respuesta.

2. Ahora vamos a construir un cuadrilátero dentro del cuadrado inicial. Tracen rectas paralelas a los lados del cuadrado de tal forma que se encuentren perpendicularmente en P y a su vez intersecten los lados del cuadrado. Unan las intersecciones para formar un nuevo cuadrilátero, realicen la construcción de tal forma que el tamaño de los lados del cuadrilátero dependa del movimiento de P.

3. Escriban todo lo que pueda inferir sobre este cuadrilátero y justifiquen sus respuestas.

4. ¿Esta nueva construcción puede ser una solución para el problema de Luis y Pablo?

http://wiki.geogebra.org/es/Vista_Algebraica_CAS



5. ¿Cómo es el comportamiento del área del cuadrilátero mientras P se mueve en el interior? Justifiquen este comportamiento.

6. ¿Cómo es el comportamiento del perímetro mientras P se mueve en el interior? Describan brevemente este comportamiento.

7. ¿Podrían decir qué posición debe tener P para que el perímetro sea mínimo? Utilicen Geogebra para justificar su respuesta.

Parte 3. Generalización

1. ¿Pueden mostrar que los procedimientos para la división equitativa del terreno funcionan para figuras como rectángulos y paralelogramos?

2. ¿Pueden mostrar que los procedimientos para la división equitativa del terreno funcionan para figuras como el pentágono y el hexágono?

Referencia

Santos-Trigo, M. (2008). La resolución de problemas matemáticos: Avances y Perspectivas en la Construcción de una Agenda de Investigación y Práctica. Memorias del seminario de resolución de problemas: 30 años después del XII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.


Situación 3. Resolución de problemas

Propósito

Analizar y resolver los siguientes problemas y argumentar en torno a la validez de los procedimientos y respuestas sugeridas.

Problema 1. Conteo de triángulos

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Pregunta para discutir

¿De qué tamaño son los triángulos?

¿Cuántos tamaños de triángulos distintos hay?

¿Habrá uno o varios métodos para resolver el problema?

¿Qué método escojo para contar todos los triángulos?

¿Cómo aseguro que estoy contando todos?

¿Cuántos triángulos habrá si escojo retículas de distintos tamaños como de 10, 11 y 12 puntos por lado?

¿Se podrá encontrar una fórmula general para contar los triángulos si tiene n puntos por lado?

¿Si al triángulo más pequeño le asocio la unidad como área cuantos triángulos de una unidad hay?

¿Cuáles son las áreas posibles de los triángulos?

¿Cuántos hay de cada área?


Recuerda que la suma de los primeros n naturales es

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2

Cuál sería la fórmula para la suma

1 + 6 + 15 + 28 + ⋯ +2𝑛(2𝑛 − 1)

2=?

3 + 10 + 21 + 36 + ⋯ +2𝑛(2𝑛 + 1)

2=?

¿Cómo utilizarías estas fórmulas para contestar la pregunta cuando el triángulo tiene n puntos?

¿Puedes encontrar una fórmula de recurrencia para contar los triángulos?


Problema 2. Encontrando raíces

En el campo de los números reales se considera la siguiente ecuación dependiente del parámetro a:

𝑥 + √𝑥2 − 4𝑎𝑥 = 3𝑎

Pon una cruz en la celda conveniente de cada una de las columnas de la tabla de abajo.

En el caso

La ecuación tiene 0 solución

La ecuación tiene una solución

La ecuación tiene dos soluciones

La ecuación tiene una infinitud de soluciones que no cubren R

La ecuación tiene todo elemento de R como solución

Algunas preguntas:

¿A qué nivel (medio, medio superior, superior) aparece relevante este tipo de problema?

¿Parece fácil o difícil el problema, sin o con herramienta computacional?

¿Se sitúa la situación más bien dentro del marco del algebra o de estudio de funciones?

¿Carácter representativo de la situación?

¿Es adecuada una pregunta de elección múltiple?

¿Referencias de interés relacionadas con la situación?

a<0 a=0 a>0


Situación 4. Análisis de un test donde fallan los estudiantes

1. Suponga que la recta L es tangente a la curva y =f(x) en el punto (5, 3) como se indica abajo. Encuentre f(5) y f’(5)

2. ¿Por qué ∫𝑑𝑥

𝑥2 = −2 1

−1es obviamente incorrecta?

3. Encuentre la pendiente máxima de 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 − 27

4. Evalúe ∫ |𝑥 + 2|𝑑𝑥3

−3

5. Usando la gráfica de 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)2(𝑥 − 3)3, bosqueje la gráfica de la función

𝑦 = 𝑓(𝑥)

6. Si f es una función impar sobre [a, -a] evalúe ∫ (𝑏 + (𝑓(𝑥)))𝑑𝑥𝑎

−𝑎

7. Sea 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥𝑠𝑖𝑥 ≤ 1

𝑏𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑥 > 1 encuentra a y b tales que f sea derivable en 1.

8. En el diagrama P, Q y R son puntos sobre la gráfica de f. Para todo x, -1 < x < 0, f’’(x) < 0 y para toda x, 0< x < -1, f’’(x) > 0. Si la derivada de f en [-1, 1] existe ¿cuál de lo siguiente debe ser correcto?

a) f’(x) = 0

b) f tienen un máximo en x = 0

c) f tiene un mínimo en x = 0

d) Existe un número c, -1<c<0 para el cual f tiene un máximo

e) Existe un número d, 0<d<1 para el cual f tiene un máximo


9. Dada una función derivable, tal que f(-x) = -f(x). Entonces para cualquier a:

a) f’(-a) = -f’(-a)

b) f’(-a) =f’(a)

c) f’(-a) = -f’(a)

d) Ninguna de las anteriores

10 . Suponga que f es una función continua. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

𝐴) ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑘)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏−𝑘

𝑎−𝑘

𝑏

𝑎

𝐵) ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑘)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 + 𝑘)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝐶) ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑘)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏+𝑘

𝑎+𝑘

𝑏

𝑎

𝐷) ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑘)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 + 𝑘)𝑑𝑥𝑏+𝑘

𝑎+𝑘

𝑏

𝑎

E)Ninguna de las anteriores

*Extraído de Visualization in teaching and learning mathemathics, por W. Zimmerman y S. Cunningham en las notas de la MAA, no. 19 pp. 25-26.


Situación 5. Modelación en matemática educativa

Propósito

Analizar funciones a partir del análisis de sus comportamientos gráficos utilizando la variación de

Utilizando Geogebra, realicen las siguientes actividades

1. Grafiquen el haz de rectas que pasa por el punto .

2. Grafiquen la familia de parábolas que pasan por el punto .

3. Usando la forma , investiguen cuál es su comportamiento y describan

que sucede al variar los parámetros , y .

4. Dados los puntos , y , den la parábola que pasa por ellos.

5. Encuentren el lugar geométrico que describe el vértice de una parábola al variar cada uno de sus parámetros.

6. Den la función que describe el lugar geométrico de vértice al variar el parámetro .

parámetros con Geogebra.

Parte 1.

Herramienta: Geogebra tiene vistas múltiples de los objetos matemáticas. Para definir una función se p de barra la utilizando hacer uede Entrada parte la en , la directamente introduciendo inferior, definición de la función y con los símbolos específicos para cada operación. La función aparecerá en la Vista Algebraica y representada en la Vista Gráfica.

Ge ogebra permite también introducir una vista de Hoja de cálculo y, desde la versión 4.0, un ambiente para realizar Cálculo Simbólico (CAS) .

Lanzamiento de GeoGebra 4.0 y Tutorial: http://wiki.geogebra.org/es/Notas_Lanzamiento_de_GeoGebra_4.0_y_Tutorial#Respecto_de_la_Interfa z

http://wiki.geogebra.org/es/Notas_Lanzamiento_de_GeoGebra_4.0_y_Tutorial#Respecto_de_la_Interfaz

http://wiki.geogebra.org/es/Notas_Lanzamiento_de_GeoGebra_4.0_y_Tutorial#Respecto_de_la_Interfaz


Esta parte se basa en una propuesta de Francisco Cordero Osorio (Cordero, 2006). Se sugiere leer como complemento el artículo Elementos teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la modelación del cambio y de la variación en un ambiente tecnológico (Cordero Osorio y Suárez Téllez, 2008), mencionado en las referencias bibliográficas.

1. Defina en Geogebra una función cualquiera a la que llamaremos . Escoja una función

Sencilla ( , √ , , , etc.).

2. Con la ayuda de deslizadores, defina la función a partir de como indica el artículo:

donde a, b, c y d son parámetros.

3. Manipule los parámetros (deslizadores) para observar y registrar el comportamiento de la función en relación a .

a. ¿Qué pasa al variar cada uno de los parámetros por separado? Explique cada caso.

b. ¿Qué puntos quedan invariantes?

c. ¿Qué lugar geométrico siguen los puntos críticos de la función? 4. En un documento, explique el comportamiento observado de la función respondiendo a

cada una de las preguntas del inciso anterior. Utilice imágenes de Geogebra para ilustrar sus razonamientos.

7. Encuentren la forma paramétrica del lugar geométrico descrito en el inciso 6.

Parte 2.

Herramienta: Los deslizadores se colocan en la Vista Gráfica . Permiten definir un parámetro cuyo valor podremos ir variando posteriormente, de manera manual o automática. Una vez

nuestra introducir definidos para entrada podemos deslizadores, los la barra de utilizar parámetros. Geo función con los un valor gebra detectará estos parámetros porque tienen

como deslizadores.


5. Para finalizar, incluya en su escrito una reflexión sobre los aprendizajes que usted ha adquirido durante la tarea. ¿Cómo podría trasladar lo aprendido al aula con sus alumnos? ¿Podría pensar en tres preguntas que les haría a sus alumnos donde aplique los conocimientos adquiridos?

Producto

Entreguen por escrito las respuestas a la pregunta 5 de la parte 2.

Referencias

• Cordero Osorio, Francisco (2006). La modelación y la graficación en la matemática escolar. La Matematica e la sua Didattica, 20, 1, pp. 59-79.

• Liliana Suárez Téllez, Francisco Cordero Osorio (2008). Elementos teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la modelación del cambio y de la variación en un ambiente tecnológico. Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, vol. 3, núm. 1, 2008, pp. 51-58, Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Argentina. Disponible en:

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=273320549005




Situación 6. Los problemas de la caja

Propósito

Analizar el proceso de modelación y la validez de las soluciones matemáticas en los contextos reales que originan el problema.

Parte 1. Modelando

Resuelva los dos problemas propuestos a continuación. Utilice hojas de papel o Geogebra si lo cree necesario para modelar y dar soluciones para cada una de las situaciones.

1. En las esquinas de una hoja cuadrada de longitud se recortan cuadrados de lado para construir una cajita. Determina la función volumen , su dominio y su imagen.

2. Determinar ahora el volumen máximo que puede tener una cajita de base cuadrada, sin tapa, construida con una lámina cuadrada de de lado, donde la base se forma con una de las esquinas de la lámina.

Parte 2. Conclusiones

Escriba una reflexión sobre el análisis de la actividad y las implicaciones en la enseñanza.

Referencia

Carrión, V., Pluvinage, F. (2013). Resgistros y estratos en ETM al servicio del pensamiento

funcional.. Cinvestav México.


Situación 7. Modelos de crecimiento poblacional

En aquel imperio, el arte de la cartografía logró tal perfección que el mapa de una sola

provincia ocupaba toda una ciudad, y el mapa del imperio toda una provincia. Con el tiempo,

estos mapas desmesurados no satisficieron y los colegios de cartógrafos levantaron un mapa

del imperio, que tenía el tamaño del imperio y coincidía puntualmente con él. Menos adictas al

estudio de la cartografía, las generaciones siguientes entendieron que ese dilatado mapa era

inútil y no sin impiedad lo entregaron a las inclemencias del sol y de los inviernos. En los

desiertos del oeste perduran despedazadas ruinas del mapa habitadas por animales y por mendigos; en todo el país no hay otra reliquia de las disciplinas cartográficas.

Jorge Luis Borges

Propósito

Analizar el proceso de modelación y comparar varios modelos de crecimiento poblacional.

Parte 1. El problema de Fibonacci.

Esta actividad consta de cuatro partes y se utilizará Geogebra durante toda la actividad.

Consideraremos algunas sugerencias para construir modelos matemáticos:

Paso 1. Establezca claramente las hipótesis en que se basará el modelo. Éstas deben describir las relaciones entre las cantidades por estudiarse.

Paso 2. Defina completamente las variables y parámetros que ayudaran a construir el modelo.

Paso 3. Use las hipótesis formuladas en el paso 1 para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades en el paso 2.

Aunque es difícil saber cuándo se originó el primer modelo matemático, se tiene memoria que el crecimiento poblacional fue de los primeros en ser modelado. Esto sucedió en Italia durante la Edad Media y lo propuso Leonardo de Pisa (1190-1247), también conocido como Fibonacci, quien

escribió en su Liber Abasi publicado en 1202,la siguiente afirmación que supone un problema ideal:

“Una pareja de conejos en un corral aislado, da una vez por mes una cría de conejitos, un macho y

una hembra; a los dos mesesde nacidas, las nuevas parejas son capaces de procrear. ¿Cuántas

parejas de conejos habrá al cabo de un año, suponiendo que ninguno se muera en ese lapso?”

Analizaremos a continuación este planteamiento siguiendo las sugerencias anteriores.

Paso 1. Se revisan las hipótesis del modelo. Éstas nos permitirán recortar un segmento de la realidad de forma que podamos manipularla matemáticamente.

1. Una pareja de conejosse encuentra en un corral aislado, en otras palabras, no hay

emigración, inmigración, depredación o competencia.

2. Cada par de conejos produce otros dos, hembra y macho por mes.

3. Los nuevos se convierten en fértiles a la edad de un mes.

4. Los conejos no mueren.

Paso 2. Se definen las variables y parámetros que ayudarán a construir el modelo. A) ¿Cuáles cree usted que sean las variables implicadas? Escriba y argumente

B) Con ayuda de las hipótesis complete los datos faltantes en la tabla y en la información a la derecha:


Mes No. Parejas Información

2 1 + 1 = 2 Al cumplirse el segundo mes la primera pareja tendrá sus crías,

entonces en el corral habrá dos parejas.

3 De las dos solamente una procrea en el siguiente mes.

4 3 + 2 = 5

5 De las cinco las dos más jóvenes no tienen descendencia.

6 8 + __ = 13 De las ocho solamente cinco parejas tienen descendencia.

7 13 + 8 = 21

8

:

:

:

:

:

:

12

La tabla y los enunciados anteriores han ayudado a responder el problema planteado por Fibonacci, pero aún no se ha dado una generalización de él.

Seguramente se habrá dado cuenta que los términos en la tabla se generan a partir de la suma de los dos anteriores, a esta serie se le conoce como la sucesión1 de Fibonacci.

Paso 3. Utilizar las hipótesis formuladas en el paso 1 para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades en el paso 2.

C) Para denotar el término general de una sucesión se utilizan los símbolos

Los subíndices indican el número de posición de los elementos en la lista:

… ,

1)Escriba una fórmula en la hoja de cálculo de Geogebra y encuentre los términos y

de la sucesión, guarde su archivo.

1 En el lenguaje común la palabra sucesiónse emplea para designar un conjunto de objetos o eventos colocándolos en cierto orden y también en matemáticas se utiliza en sentido semejante.


3)A partir de la exploración hecha mediante la hoja de cálculo de Geogebra se deduce lo que se conoce como el término general recursivo2 para la sucesión, complete los espacios:

= _____ +_____

Parte 2. Una fórmula para la sucesión de Fibonacci

Recordemos que el término no pudo ser obtenido mediante el método recursivo obtenido como modelo anteriormente, así pues, es necesario mejorar la representación de tal forma que no

se utilice la recursividad.

A) Utilice algún buscador en Internet para responder la siguiente pregunta: ¿Existe una fórmula para obtener el término sin el uso de la recursividad?

B) Use el ambiente Cálculo Algebraico Simbólico (CAS) de Geogebra para encontrar los términos y de la sucesión de Fibonacci utilizando la fórmula encontrada en la Internet.

La fórmula obtenida es otra representación del modelo recursivo encontrado en la Parte 1.

2 ¿Qué entiende usted como recursividad? Dé una definición.

Herramienta: Habilite la vista de la hoja de cálculo en Geogebra. Para eso, vaya a la opción del menú Vista y seleccione Hoja de cálculo . Aparecerá un nuevo panel en su pantalla.

La columna A le debe servir para poner el índice de la sucesión, es decir, los números naturales a partir del 1 y la columna B servirá para introducir la fórmula que servirá para generar los valores de la sucesión.

2) Utilizando este método ¿puede encontra r los términos , y ? Argumente


Una manera diferente de aproximarse al problema, y es un método aplicable a distintas situaciones,

es a través de la aproximación por medio de funciones a un conjunto de puntos en el plano, llamado generalmente regresión3.

A)Con los datos generados en la hoja de cálculo en el inciso (C) de la primera parte, utilice Geogebra para representar 100 de los puntos que obtuvo.

3 ¿Qué tipos de regresión conoce? Investigue los diferentes tipos de regresión.

Herramienta: La vista ) Cálculo Algebraico Simbólico ( CAS pe rmite operar algebraicamente utilizando literales.

En este ambiente cambian algunas cosas respecto a la barra de Entrada :

- Pueden emplearse literales sin valor asignado en operaciones simbólicas .

- operación correspondiente al producto debe explicitarse La empleando el signo respectivo (*).

- Cambian los usos del igual (=). Se emplea := para la asignación de variables

consultar más de Geogebra: Puede detalles en la wiki e http://wiki.geogebra.org/ S s/Vista_Algebraica_CA

Para responder la pregunta solicitada, puede introducir la fórmula encontrada en el CAS y darle un nombre utilizando “:=” (por ejemplo, ) y luego evaluar los valores que busca sustituyendo el valor de x .

Parte 3. R egresiones






1) Considere la función exponencial donde y son parámetros.

a) Grafique la función en Geogebra utilizando la herramienta de deslizadores para definir y .

b) Varíe los parámetros y para obtener la mejor aproximación visual al conjunto de puntos.

c) ¿Qué valores de y son los que aproximan mejor el conjunto de puntos?

d) Escriba la función con los valores de y obtenidos:

.

Herramienta: Los deslizadores aparecen en el menú superior de herramientas presionando el ícono que se muestra en este recuadro y se colocan sobre la Vista Gráfica. Permiten definir un parámetro cuyo valor podremos ir variando posteriormente, de manera manual o automática. Una vez definidos los deslizadores, podemos utilizar la barra de entrada para introducir nuestra función con los parámetros. Geogebra detectará estos parámetros porque tienen un valor como deslizadores.

La función que acaba de obtener también es un modelo para nuestro fenómeno.

2) Ahora utilice la función Análisis Regresión de Dos Variables de Geogebra para obtener una función que aproxime de la mejor manera el conjunto de punto. Escriba la función que obtiene.

Herramienta: Para graficar puntos que ya tiene en la Hoja de cálculo ( entendiendo que un punto viene dado por dos coordenadas x=A 1 e y= B1 ) lo que tiene que hacer es seleccionar las celdas correspondientes a los puntos que quiere graficar (representar) y utilizar la función Crea Lista.

Después de haber representado los puntos, realice lo siguiente:


A) Llene la siguiente tabla con los datos obtenidos con los diferentes modelos obtenidos a lo largo de todas las actividades.

Meses Modelo Recursivo

No. Parejas

ModeloCálculo Simbólico

No. parejas

Modelo con Deslizadores

No. parejas

Modelo con Análisis de Regresión

No. Parejas

10

20

50

70

80

En la tabla se puede ver que existen varios modelos para una situación dada y que cada uno de ellos presenta ventajas y desventajas cuando se comparan entre sí.

B) A partir de los cuatro modelos obtenidos, realice un cuadro descriptivo en donde muestre los pros y los contras de cada uno de ellos.

A modo de cierre…

Herramienta: L herramienta a de Regresión Análisis V Dos ariables un aproximar permite conjunto de puntos por una función. Analice la herramienta para ve r qué función es la más conveniente:

Parte 4. Conclusiones


En esta actividad se han utilizado diferentes aspectos relacionados con la modelación matemática en el ámbito de la dinámica de poblaciones a partir del problema planteado por Fibonacci en el s. XIII. No fue hasta principios del siglo XIX que se elaboró un modelo más formal propuesto por el reverendo inglés Robert Malthus en su libro Primer ensayo sobre poblaciones. Desde entonces, los modelos de crecimiento han evolucionado, y estos pueden identificarse con un proceso de debilitamiento de las hipótesis o supuestos generales que subyacen al proceso de modelaje.

Producto

Entregue por escrito las respuestas a la parte 4, con las conclusiones y la discusión sobre los pros y los contras de cada modelo construido.

Referencia

Miramontes, Pedro (2004). La biología matemática. En: Bautista Ramos, Raymundo, J. Rafael Martínez Enríquez y Pedro Miramontes (coord.). Las matemáticas y su entorno. Siglo XXI Editores:México.


Referencias

Blomhøj, Morten (2004). “Mathematical modelling - A theory for practice”. Clarke, B.; Clarke, D. Emanuelsson, G.; Johnansson, B.; Lambdin, D.; Lester, F. Walby, A. & Walby, K. (Eds.) International Perspectives on Learning and Teaching Mathematics.National Center for Mathematics Education. Suecia, p. 145-159. Traducción al español autorizada por el autor de María Mina.

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Duval, Raymond (1999). Argumentar, demostrar, explicar. ¿continuidad o ruptura cognitiva? Grupo

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Salinas Herrera, Jesús (2011). Propuesta para fortalecer una educación con valores en ciencias. Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas. Volumen 78, noviembre de 2011, páginas 3–4. ISSN: 1887-1984.

Santos Trigo, Manuel (2008). La resolución de problemas matemáticos: avances y perspectivas en la construcción de una agenda de investigación y práctica. Memorias del seminario Resolución de problemas: 30 años después del XII simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.

Secretaría de Educación Básica (2009). Programa de estudios. Matemáticas. Bachillerato

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Suárez Téllez, Liliana; Cordero Osorio, Francisco (2008). Elementos teóricos para estudiar el uso de las gráficas en la modelación del cambio y de la variación en un ambiente tecnológico. Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, vol. 3, núm. 1, 2008, pp. 5158, Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Argentina. Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=273320549005

Enlaces

Geogebra: www.geogebra.org





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