Diplomado para Profesores delColegio de Bachilleres

Modulo 2

Didáctica de las Matemáticas I

ACTIVIDAD 3Fundamentos de la enseñanza

Mat. Josefina Santiago MuñozAsesora: Mtra. Elsa Frías Silver

13 de Diciembre del 2016Act3_U1_Santiago_Josefina

OBJETIVO

De la lectura “Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de lasmatemáticas para maestro”

Capítulo I unidades 1, 2,3, 4. 5 y 6;Contesta el cuestionario de contextualización parte A, súbelo al foroy después lee la parte B “desarrollo de conocimientos” y comenta..

INTRODUCCIÓN

Los Profesores de Bachillerato hemos visto como cada generación deestudiantes llega peor preparada que la anterior, hasta el punto en que losalumnos ya no saben casi nada, he recibido alumnos que no saben nimultiplicar la tabla del 2, no solo no tienen conocimientos, sino que estánbloqueados mentalmente, les cuesta mucho trabajo pensar abstractamente.

Si este es el método educativo que se esta aplicando en las primarias deMéxico, estamos en graves problemas; se han aplicado conceptospedagógicos de otras áreas a las Matemáticas, como si fuera solo “otramateria”. Como decía Freudenthal no se esta “construyendo una teoríaeducativa basada en evidencia, sino en ideas preconcebidas”. Una teoríasocialista permeo en la mentalidad de la Pedagogía y se aplico acríticamente,el resultado es un desastre.

La idea de que el conocimiento matemático es social y se valora por medio dela comunicación es absurda, cada alumno es diferente, dos alumnostrabajando en equipo pueden tener ideas totalmente contrarias, el

conocimiento se valora por medio de la capacidad del individuo deinteriorizar el conocimiento, no de socializarlo. Creo que ahora estamosrepitiendo el error de las New Maths, pero desde el lado de la Pedagogíateórica, en vez de Matemáticos en su Mundo ideal, tenemos Pedagogos en sumundo ideal; algo así como New Peds o más bien seria New Fads.

DESARROLLO

1.Para los siguientes objetos matemáticos, razona si su existencia es o noindependiente de la cultura:a) Sistema de numeraciónb) Unidades de Medidac) Notación Algebraica

Esto depende de lo que definamos como cultura, si asumimos que cualquiergrupo humano es una cultura, entonces los dos primeros son fundamentales,hasta las culturas más atrasadas como los aborígenes australianos tienen unaforma de contar, que en escencia es el sistema de numeración, bueno hastalos animales saben contar.1 Las unidades de medida son básicas en lasculturas, es la medida de lo que hacen, el más fundamental es el día, y dehecho son una medida de la cultura de un pueblo, mientras que lassociedades atrasadas solo usan los más básicos, las más avanzadasdesarrollan Sistemas de Unidades acordes a sus avances tecnológicos.

Ahora bien, el álgebra ya es otra cosa, es un desarrollo más avanzado, peromuchas culturas han vivido sin ella, aún en la actualidad.

2. Busca algún episodio de historia de las matemáticas en que se muestrecómo un concepto ha evolucionado.

Mi episodio favorito es el plano cartesiano:

En la Geometría Griega los conceptos eran abstractos, cuando se planteabaun concepto, se dibujaba1 Documerntal El Misterio de las Matemáticas, Youtube, visitado 2016

No existían ni métrica ni planos, las figuras “flotan” en el espacio. Y asípermanecieron las cosas por mas de 2 milenios.

Un día un joven Ingeniero Militar, se pasaba largas horas de inactividad, en elsitio de la ciudad de Neuburg, y para matar el tiempo, decidió hacerGeometría, para resolver un viejo problema de dimensiones mayores a 3,decidió que las rectas podían multiplicarse y dividirse, asimismo pensó quepara poder representar mejor los planteamiento algebraicos, necesitaba de launidad geométrica y de rectas privilegiadas que llamo x e y, inclinadas entresi, pero no perpendiculares.

Así nacieron los planos cartesianos y se usaron de esa manera por casi 200años, hasta que un Matemático, llamado Euler decidió que serían más útilessi se colocaban perpendicularmente y se dividían en unidades de longitud yde área, de tal forma que cualquier cuadrado en el, fuera idéntico a cualquierotro cuadrado, y así tenemos el Plano Cartesiano como lo conocemos y lousamos en la actualidad.

Pero vino Einstein, un día andaba paseando y tuvo uno de susGedankenexperiment y pensó que el plano no tenia porque ser estático, ¿qué

tal y si se moviera, a una velocidad constante?, así nació la RelatividadEspecial, que nos hace ver que los planos son relativos, pero eso, todavía nose enseña en las escuelas, por lo menos no en las de aquí, ese, es el futuro,quizá en unos 100 años lo podremos enseñar en Bachillerato.

3. Consulta algunos libros de texto destinados a estudiantes de secundaria ode primeros cursos de Universidad y escritos en los años 70s y 80s. Comparacon algunos libros recientes destinados a los mismos alumnos. ¿Puedesidentificar si la concepción del texto sobre las matemáticas es del tipoPlatónico? ¿Cómo lo deduces?

Elemental mi querido Watson, si empieza con la inútil Teoría de Conjuntos,entonces es Platónico. La moda de las New Math, tuvo como principalproblema que fue planteada desde los escritorios de Matemáticos puros,pero que no tenían experiencia en la educación.

En la actualidad, han desaparecido los temas absurdos como la Teoría deConjuntos reemplazados por lo que me parece otra moda, las Competencias.

4. ¿Porqué son necesarios los conceptos de longitud y área? ¿Qué tipos deproblemas resuelven? ¿Que otos conceptos, operaciones y propiedades se lesasocian?

La orientación espacial de un individuo es fundamental, para que puedadarse cuenta de en que mundo vive, ¿se imaginan un piloto de avión que nopueda medir distancias?, ¿quien mantendría a nuestros honestos diputados sino pudiesen cobrar predial en base al área de una casa?. Longitud y Área, son

dos de los conceptos más antiguos en Matemáticas, ya los Sumerios loscalculaban, el primer Teorema que un estudiante ve, es el de Pitágoras y sonfundamentales en temas tales como Geometría y Cálculo.

5. Las siguientes informaciones han sido obtenidas de un mapa, una estaciónde tren y de la prensa. Indica para cada uno de ellos los conocimientosmatemáticos necesarios para una lectura comprensiva

a) Geometría, Escalas (Aritmética)b) Unidades de tiempo, distancias, economía por el precio del boleto.c) Aritmética y Estadística

6. Contrasta tu propia forma de interpretar el conocimiento matemático conla perspectiva sugerida en los siguientes párrafos. ¿Qué implicacionessuponen para la forma de organizar la clase de matemáticas?

Para empezar, yo trabajo con jóvenes, no con niños; segundo se dice modelar,no modelización; la mente de un joven es muy diferente a la de un niño, perocreo que es mejor hablar basándose en una experiencia real, pongamos porejemplo, la derivada, para intentar entenderla, el alumno debe de tener unabagaje de conocimientos suficiente, al menos debe de saber Aritmética,Álgebra, Funciones y Limites, en particular los dos últimos ya sonconocimientos abstractos, no vas por la calle y dices ahí va un límite, sonconceptualizaciones cognoscitivas sistematizadas, para poder entender elconcepto de derivada, el joven debe de entender que la gráfica de unafunción es continua y que en cierto punto adquiere un valor, esto es, debe depasar del mundo real, al mundo abstracto, si ve:

f(x) = sen x

Piensa en una gráfica del siguiente estilo:

No en un evento del día al día, la realidad matemática se impone a la realidadfenomenológica, por lo menos en este momento educativo.

Ya que el alumno comprendió el principio básico de la derivada, que es el depoder describir un objeto en movimiento, entonces podemos regresar a larealidad, y poder enseñarle que todo lo que se mueve puede ser descrito poruna derivada.

Y ahora, si puede ir por la calle y ver que en todas partes hay derivadas, quetodo lo que se mueve puede ser descrito de esa forma.

Entre más elevada es la Matemática, mas difícil es “intuirla”, más necesario sehace este proceso de abstraer y luego aplicar.

7. En el siguiente problema, ¿cuál es el conocimiento matemático quepermite resolverlo? ¿Qué significado intuitivo permite construir sobre dichoconocimiento? Inventa otros problemas sencillos que permitan construir unsignificado diferenciado para el conocimiento en cuestiónProblema. Unos niños llevan a clase caramelos, Andrés lleva 5, María 8, José6, Carmen 1 y Daniel no lleva ninguno, ¿Como repartir los Caramelos deforma equitativa?

Es necesario que los niños manejen aritmética, suma y división, el significadointuitivo es que la Matemática tiene dos momentos muy diferentes, laprimera es la Básica, la que se alimenta de la realidad evidente, como laaritmética o la geometría, incluso el Álgebra y un segundo que es laAbstracta, como la Geometría Analítica o el Calculo, que requieren una mentecapaz de conceptualizar matemáticamente.

Todos los problemas de Matemáticas Básicas tienen que ver con Contar, asípor ejemplo podemos plantear el siguiente problema:

¿Cuantos carritos hay aquí?

Y luego preguntar, ¿cuantos son rojos, cuantos verdes cuantos cerrados,cuantas motocicletas?

Pero ya para los alumnos a nivel bachillerato, las preguntas deben de ser másabstractas, como por ejemplo:

¿Cuantos son familiares, cuantos gran turismo? ¿como podríamos evitar que

se formen los congestionamientos? ¿que tan contaminado esta el aire? ¿aque escala esta la maqueta? ¿usar el auto, está matando al planeta?

8. ¿Que contenidos matemáticos serian útiles para resolver los siguientestipos de problemas?

• Construir a escala la maqueta de un edificio:• Determinar en forma aproximada la altura de una torre desde el suelo• Calcular el numero de lentejas en un paquete de un kilo, sin contarlas

todas.Parta todos ellos se necesita Aritmética.

• Fracciones, Geometría y Álgebra• Trigonometría• Fracciones o Estadística

a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 72, 100b) n2

c) La serie de los números enteros al cuadrado

10. Repite el proceso para los “números triangulares”

a) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55b) n+(n-1) c) inducción matemática

11. Analiza el papel del razonamiento empírico-inductivo y deductivo en laresolución de los problemas anteriores.

El método es quizá el más viejo del mundo, el ensayo y error, solosistematizado en el terreno de la formulación matemática.

12 Analiza una pagina de un libro de matemáticas de primaria. Identifica losdiferentes medios de expresión en el texto (términos, símbolos gráficas,diagramas). Localiza los conceptos implícitos y explícitos a que hacenreferencias. ¿Como se representan los diferentes conceptos?

Desafíos matemáticos, 2o Grado, usa dibujos, números, términos impositivosy pide la colaboración de dos alumnos para resolver un problema.

12.1 ¿Como podemos comunicar matemáticas alumnos ciegos? ¿Piensas quepueden tener dificultades especiales con alguna parte de las matemáticas,debido a su carencia?

Viven otra realidad, no visual, no pueden contar con los dedos ni tenerexperiencia espacial como nosotros la manejamos, pero pueden abstraerigual que todos los demás. Tienen lenguaje escrito, que puede usarse paracomunicarles conceptos matemáticos.

13. Considera los siguientes conjuntos numéricos: números racionales,números naturales, números enteros, números decimales, números primos,¿como se relacionan entre si?

Para empezar los racionales y los decimales son los mismos. Se relacionan:

Z c N

N U Q = R

Los primos son una construcción aritmética

14. ¿Porque en los diseños curriculares, se contempla una enseñanza cíclicade algunos conceptos? Identifica algunos conceptos que aparezcancíclicamente en los diferentes niveles de la educación primaria.

No tengo experiencia en educación primaria, pero asumo que lo hacen porreforzamiento o por ineptitud.

Usando el mismo libro que anteriormente, se repite de una y otra forma lasuma y la resta, con diferentes dinámicas.

15. ¿Es posible medir con exactitud la longitud de una cosa? ¿la cantidad deagua embalsada en un pantano? ¿el nivel de ruido ambiental? Pon otrosejemplos en que la medida solo pueda ser aproximada. ¿Qué interés tiene enestos casos un valor aproximado de la medida?

En esta sección es evidente que el que escribió es un Estadístico, la verdad,tanto la Estadística y la Probabilidad no comparten el espíritu fundamental delas Matemáticas, no son exactas ni sirven para describir un fenómeno, porejemplo las Encuestas decían que ganaría Hillary, pero gano Trump, ¿sepuede ser mas inexacto?. Y con respecto a las mediciones exactas, hay todauna Teoría de la Medición, que establece unas reglas decentes para ello, en laépoca del medidor láser, podemos ser exactos hasta lo que necesitemos,cienmilesimas de milímetro; o bien en lagos, se puede definir como 1, lacantidad de un embalse, o con la remodelación láser 3D, podemos medirhasta mililitros; existen aparatos exactos hasta milésimas de decibel paramedir el ruido; hablar de aproximaciones ya no tiene mucho sentido, por lomenos en la realidad actual.

El valor aproximado de una medida es normal en áreas de las ciencias queaun están en construcción, que no han madurado lo suficiente o que sonimposibles de acceder, como la Astronomía, la reina de las medicionesinexactas, pero en vez de usar la poco fiable estadística, se usan medidas deincertidumbre, de propagación de incertidumbres y unidades arbitrarias.

Así podemos tener la Unidad Astronómica, que esta definida como ladistancia de la Tierra al Sol, la cual no es constante, o bien las distanciasestelares, con una incertidumbre del 50%.

En ese sentido, no son mediciones que puedan usarse para describirexactamente un fenómeno, sino como marcadores de una tendencia, quedespués se podrá formalizar.

16 La suma de números naturales es a la vez un concepto (suma) y unprocedimiento (sumar) Explica como se apoyan entre si el aprendizaje delprocedimiento y el concepto en este caso en particular.

En este caso el concepto y el procedimiento son casi lo mismo, sumar escontar y el procedimiento es contar y unir, si los números son pequeños, unniño lo podría hacer con los dedos.

17 Formula dos objetivos conceptuales y dos procedimientos referentes a lasuma de números naturales.

• Suma de centenas 200 + 300 = 500, como la suma normal, pero seagregan dos ceros

• En Bachillerato, una de las fallas mas graves es la suma de enteros,positivos y negativos, el procedimiento es sencillo, sobre la rectanumérica, un numero positivo hace saltar la rana a la derecha, unonegativo a la izquierda; así si sumamos - 2 + 3, primero nos movemosdos unidades a la izquierda y después nos movemos tres unidades a laderecha, quedándonos en el uno.

18. Como se forman las actitudes negativas hacia las Matemáticas? ¿Cómo semanifiestan?

Por frustración y usualmente se manifiestan como fobia, basta decir: examende quebrados, para que los jóvenes necesiten un cambio de ropa interior.Tengo mis dudas sobre los métodos que se están usando en la actualidad, losjóvenes están llegando a Bachillerato peor que antes, y más traumados,

algunos hasta el punto de parálisis.

19. Describe la actividad que llevan a cabo los niños en la supuesta clase dematemáticas. ¿A qué juegan? ¿Cómo anotan los puntos obtenidos en lacompetición? ¿Qué tipo de representaciones matemáticas usan?

Están aprendiendo a sumar, tienen tres juegos diferentes, anotando suspuntos en el pizarrón, usan números como representaciones matemáticas.

20. ¿Qué preguntas deben de resolver los alumnos que usan el texto? ¿A quésituación se refieren? ¿Qué conceptos matemáticos y procedimientos debede aplicar el alumno para resolverlas?

Preguntas sobre puntuaciones, son unos cuantos juegos. Deberían sercapaces de usar procedimientos de sumar y restar.

21. ¿Qué otro nuevo problema se propone?

La suma de tres elementos en vez de dos.

22. Analiza

Como términos usa los números, expresados en base a unidades, decenas ycentenas; usa el concepto de agrupaciones y de suma, describa elprocedimiento operativo por columnas, y representar la suma en la rectanumérica.

23. ¿Qué nuevas tareas se incluyen? ¿En que se diferencian? ¿Qué finalidadtiene cada uno de ellos?

Aumenta el grado de complejidad, ahora con miles y decenas de miles,ademas incluye una resta.

24. ¿Qué nuevas propiedades se estudian en la suma? ¿Cómo se justifican?¿Cuál es la finalidad de los nuevos problemas presentados?

Asociatividad y conmutatividad, no se justifican, en realidad solo sepresentan, la finalidad es que el alumno entienda que se pueden realizaroperaciones de suma de diferentes formas.

25 Analiza como se usa la resolución de problemas en el texto previamenteanalizado.

Mal, Polya se refiere a problemas de nivel muy diferente a estos, el explora laresolución de problemas a nivel bachillerato y universidad, Schoenfeld usa laheurística, que también implica un proceso de abstracción mas elevado, no espara nivel básico. Lakatos propone una idea diferente, ya que el estudia losprincipios logicos de la Demostración, no la educación.

26. Indica algunas situaciones en la vida diaria en que sea precisa laresolución de problemas. Problemas de suma y resta existen en todo momento, en el supermercado,en la medición de tiempos de transporte, en los gastos diarios, los problemassimples son muy abundantes, problemáticas más complejas requierenpensamiento mas abstracto, por ejemplo, todos los días podemos enfrentardilemas fenomenológicos, epistemológicos, morales, no es posible entenderla ética Kantiana si no pensamos abstractamente, los problemas matemáticoscomplicados entrenan a nuestro cerebro para poder comprender situacionesasí de complejas.

27. Haz una lista de las posibles representaciones de :a) un triángulo, b) de un númeroc) de un conjunto de datos estadísticos¿Qué características se visualizan mejor en cada una de ellas?

a) Representación geométrica, algebraica, física, mental.

b) Representación hindú, árabe, romana, maya, algebraica, vectorial,geométrica.c) La ventaja de la estadística, cada quien la ve como quiere

Las características que mejor se visualizan son las que más usamos en cadauna de ellas, la forma escrita y gráfica de los dos primeros, las gráficas en latercera.

28 Estudia las conexiones de concepto de Polígono con otras ideasmatemáticas. Elabora un mapa conceptual que ponga de relieve esasconexiones

El Polígono se relaciona con las áreas de geometría, planos, vectores,dimensional, dentro de las matemáticas y con muchas más fuera de ella,como en la química

29 A partir de la observación de una clase de matemáticas, identifica losdiferentes procesos que se ponen en juego entre los descritos anteriormente

Los seis procesos propuestos son:

1. Resolución de problemas, modelación de la realidad, en realidad este seríael último, no el primero, las Matemáticas no surgen de problemas, sino dedefiniciones, por lo menos en el nivel bachillerato.2. Representación, toda representación abstracta de la realidad es unamodelación, pero no estoy de acuerdo con el concepto de traducción, estoproviene de la idea de que las Matemáticas son un lenguaje en si y quenecesita ser traducido, craso error, si se le ve como un lenguaje, este debe deser dominado, no traducido; la peor forma de intentar comprender un idiomaes traduciéndolo, se pierde casi toda la escencia y se queda solo una pálidasombra de lo que en realidad es3. Comunicación, esta es la parte más absurda del método, la vi en el libro dematemáticas de primaria que revise, el conocimiento es individual, no social;al enfatizar la parte social, se descuida la individual, posiblemente estoexplique el porque los alumnos que están llegando a Bachillerato no sabennada de Matemáticas, ni siquiera multiplicar.4. Justificación, Otro termino de moda, puedes hablar de lo que estashaciendo, pero no entender los principios matemáticos implícitos5. Conexión La realidad no siempre es fácil de interpretar, dejar esta labor enmanos del alumno implica que alguien sin madurez matemática debe deconstruir un edificio complejo, lo que esta dejando un conocimientodegradado en la mente de los alumnos.6. Institucionalización, El lenguaje común no es el lenguaje de lasMatemáticas, es una pálida imagen de ellas; “la manera de decir,públicamente compartida”, sin tener los conceptos abstractos asociados, esabsurda.

CONCLUSIÓNLa Teoría Pedagógica que estudiamos en esta actividad, me dejo preocupada,no es coherente, en algunos momentos habla de educación infantil, en otroshabla de resolución de problemas “a la Polya”, que requieren otro tipo debagaje y nivel, se enfatiza el componente social y se descuida el individual, sepropone que el conocimiento no es exacto, y si hay una rama que lo es, estaes la Matemática, se ignora la Teoría de la Medida y se piensa en el alumnocomo un ente estúpido, incapaz de abstraer conceptos, reemplazandolos con

“lenguaje social”, que es una forma de conocimiento degradado, pero lo peor,es tratar de llevar conceptos de educación infantil a la educación deadolescentes, que son un universo totalmente diferente.