UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

FACULTAD DE INGENIERIA GEOGRAFICA, AMBIENTAL Y

ECOTURISMO

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA GEOGRAFICA

Calculo II

Pertenece a: Rosas Palencia, Dennis Ivan Código : 2010000421Aula : D6 - 4 Turno : Tarde ( TA )Profesor : Lic. Reynaldo Narváez C.angalaya

Tema:

Discontinuidad

de

Funciones

INTRODUCCIÓN

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Una función real f(x) es continua en xo si se cumple lim f(x) = f(xo) x→xo

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Con estas definiciones y condiciones para la continuidad de funciones, ya se tiene una idea para poder desarrollar y entender mejor el tema discontinuidad de funciones.

DESARROLLO

1) DEFINICIONES:

Si alguna de las tres condiciones mencionadas en la parte introductiva, acerca de la continuidad de las funciones no se cumple, la función es discontinua en a.

Ejemplo1.

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

Ejemplo2.

La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite.

Ejemplo3.

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES:

2. GRÁFICOS:

2.1. Discontinuidad Evitable:

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

Las dos funciones anteriormente estudiadas las redefinimos de manera que:

2.2. Discontinuidad NO Evitable:

a) De Primera Especie: Existen los límites laterales, pero son distintos.

1. Discontinuidad inevitable de salto finito. La diferencia entre los límites laterales es un número real.

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito.

La diferencia entre los límites laterales es el infinito.

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

b) De Segunda Especie: No existe alguno de los límites laterales.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.

3. TEOREMAS:

TEOREMAS USUALES PARA IDENTIFICAR FACILMENTE LA CONTINUIDAD O DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN:

TEOREMA 1. Una función polinomial es continua en todo su dominio. Una función polinomial es de la forma:

f (x) = box n + b1x n - 1 + … + bn – 1x + bn

donde bi Є R, n = 0, 1, 2, … Dom (f) = R TEOREMA 2. Una función racional f (x) = P(x) es discontinua en todo x Є R, tal que, Q(x) = 0. Q(x)

4. EJERCICIOS:

1. Dada la función:

Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

2. Encontrar los puntos de la función f(x) = x2 + 1+ |2x − 1| es discontinua.

La función es continua en toda  .

CONCLUSIONES

Cuando una función no cumple las condiciones para ser denominada continua, se le denomina función discontinua ya que su grafica presenta “saltos” o “rupturas”. Se dividen en dos tipos de discontinuidades; las evitables o removibles y las no evitables también llamadas irremovibles.

Se amplia el tema de función continua con los casos de no cumplirse la continuidad y presentarse la forma de función discontinua y sus respectivas situaciones.

LINKOGRAFÍA

www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Continuidad.pdf

www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7fun/u7funte40.pdf

http://www.vitutor.com

BIBLIOGRAFÍA

Limites y Continuidad – Moisés Lázaro Carrión

Limites y Derivadas – LAFONTE

Análisis Matemático I – Eduardo Espinoza Ramos