R E A L A C A D E M I A D E C I E N C I A S

E X A C T A S , F Í S I C A S Y N A T U R A L E S

D I S C U R S OLEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN

POR EL

E X C M O . S R . D . E D U A R D O T O R R O J A Y M IR E TY

C O N T E S T A C I O NDEL

E X C M O . S R . D . A L F O N S O P E Ñ A B O E U FEL DÍA 2 9 DE NOVIEMBRE DE I 9 4 4

M A D R I D D o m i c i l i o d e l a A c a d e m i a : V A L V E R D E , 2 2

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E X A C T A S , F Í S I C A S Y N A T U R A L E S

D I S C U R S OLEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓN

POR EL

E X C M O . SR. D. E D U A R D O T O R R O JA Y M IRET

CONTESTACIONDEL

E X C M O . SR. D. A L F O N S O P E Ñ A B O E U F

EL DÍA 29 DE NOVIEMBRE DE 1 9 4 4

M A D R I D D o m i c i l i o d e l a A c a d e m i a : V A L V E R D E , 2 2

T E L E F O N O 1 2 5 2 9

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C . B e r m e j o , I m p r e s o r . — G a r c í a M o r a t o , i i 8 .— T e l é f o n o 3 1 1 .9 9 .— M a d r id .

D I S C U R S ODEL

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S e ñ o r e s A c a d é m i c o s ; s e ñ o r a s y s e ñ o r e s :

TA N antigua com o la A cad em ia m ism a es la costum bre de

em pezar el discurso, en estas ocasiones, con unas palabras de m odestia, porque la propia de cada elegido le hacía ver sus

indudables méritos m uy por bajo del honor que a ellos hacía la Corporación y ponían especial empeño en recalcarlo, dando así inconscientem ente una prueba de que los dem ás. A ca ­dém icos y público, no estaban de acuerdo en este punto con el conferenciante.

Pero al pretender yo , com o buen rutinario y sim ple im ita­dor, seguir esta costum bre;Am e encuentro bien em barazado, aun cuando parezca paradójico; porque ahora en mí la modes­tia sería insincera si tratase de convenceros de la escasez de mis méritos, y a que supondría admitir, por mi parte, la exis­tencia de alguien que pudiera creer fundadam ente en la abun­

dancia de ellos.En otros casos decir esto supondría una crítica para los

m iem bros de la A cad em ia que intervinieron en la elección;

pero, en éste, tan fam iliarm ente especial, todo se explica buenam ente por la fuerza de la tradición y la costum bre, por el respeto y la adm iración de todos a aquel mi buen padre, que hace cincuenta y un años, a esta m ism a hora y en este mismo sitio, decía: «Llego, no por m erecim ientos propios, sino

por sum a indulgencia vuestra (en mi caso es plenaria), a poseer un puesto que nunca am bicioné; y , por lo mismo que no logro h oy satisfacer aspiración alguna de mi vida, no existe velo que me impida ver con claridad la alta distinción con que me habéis favorecido, ni pasión que m enoscabe el sentimiento de gratitud profunda que em barga mi alm a por

la benevolencia que conm igo habéis usado.»

Palabras claras com o la sinceridad misma de un espíritu

serenamente sabio, de un hombre cristianamente humilde. Perdonad, o, por bien decir, respetad este inciso ofrecido a su venerada m em oria, fuera quizá del protocolo, antes de dedicar

el justo hom enaje a mi predecesor el Excm o. Sr. D. M iguel V egas y Puebla Collado; porque no se puede separar éste de aquél, com o no puede separarse el hijo del padre, lo mismo si la paternidad viene por la sangre que si viene por la

ciencia.

Entre esos recuerdos, inciertos e indelebles a la vez, que en el fondo todavía inm aculado de nuestra m em oria dejan los primeros años de la niñez, quedó para siempre la visión

aleccionadora de una habitación hum ilde en la que dos hom ­bres, sentados junto a una pobre mesa, frente a unas cuarti­llas, callaban frecuente y largam ente y aun cerraban los ojos para abstraerse mejor. Eran ellos dos. Parando extrañado mis ju ego s para mirarlos, aprendí a reflexionar; y si h oy llego

aquí, es aquello lo que me trae.

Por aquel entonces preparaba D. M iguel su discurso de entrada en esta A cadem ia tam bién. Porque después de estu­diar en la m ayor estrechez económ ica su bachillerato y su carrera, ayudado solam ente de su inteligencia y de su volun­tad, logró term inarla brillantem ente y alcanzar sucesivam ente las cátedras de Zaragoza y Madrid, a la par que desarrollaba

tan interesantes trabajos científlcos de su especialidad que

pronto fué elegido para el puesto que h oy, por desgracia do­

blada, vengo y o a ocupar.Desde que pasó por el aula de mi padre, com prendió éste

el valor m oral y científico de su nuevo discípulo, y , com o hacía siem pre en estos casos, le atrajo a colaborar con él, es­trechándose así la buena am istad y el mutuo aprecio que los

unió siem pre.V eg a s fué un científico puro y un m aestro com pleto.

G racias a las clases que de él recibí so y h oy Ingeniero y por propia observación puedo señalar lo rectilíneo de su vida corno característica esencial de ella.

Firm e en su visión clara, inflexible en su carácter recto, bondadoso y hum ilde en su vida íntima, sólo pensaba en sus

hijos y en sus alum nos.Si el éxito de una vida es un ideal de juventud cum plido

en la edad m adura, él lo logró com pleto y supo mantenerlo firm e hasta sus últim os días, porque sólo aspiró a ser un buen padre y un buen m aestro, y supo despreciar y aun rehuir

todos los honores y vanidades, m andos y prebendas, que tanto

atraen a otros.

U tilizando el encantador símil del poeta indio, bien puede decirse de él que puso todo su empeño en hacer su vida recta y vacía com o flauta de caña, para que la C iencia la llenara por entero con su música; y el eco de sus notas claras engarzó en acordes fecundos la generación de sus discípulos. Entre ellos, com o dije, me cuento con orgullo y m odestia a la vez.

El correr del tiem po se lo llevó de nuestro lado; y hoy, por azorante contrasentido de la vida, vengo a ocupar aquí su sitial, tristemente vacío; pero su espíritu, el de aquellos que am aron la verdad por encim a de todo y supieron sacrificarle m ansam ente toda una vida, ese, para bien de todos, perdurará con su m em oria en esta Casa, refugio de sus anhelos, aunque

fuera la Hum anidad se deshaga, com o ahora, al em puje mal­dito de locas am biciones que, en momentos com o este, es

m ejor olvidar.* ^

L os Estatutos de esta Academ ia me mandan leeros un dis­

curso sobre tem a científico. Es una prueba más de que, por lo menos cuando se hicieron, no se pensaba que pudieran llegar hasta aquí personas com o yo, que no soy, ni he sido, ni pien­so ser más que un ingeniero constructor, dispuesto siempre a

hurtar en el campo ajeno y dadivoso de la Ciencia algo de lo poco que, con mis modestos aperos de trabajo, pueda servirm e

para construir mejor.Porque en eso que se ha dado en llam ar, y no sin funda­

mento, el Arte de la Construcción, existe siempre un fondo esencialm ente científico y más particularm ente matem ático sin

el que h oy no puede vivir el técnico.Ello no basta ciertamente; el ingeniero, para triunfar, nece­

sita tam bién otras cualidades de artista, de im aginación crea­dora, de voluntad, de serenidad y valentía frente al peligro, de observación, de am or y entusiasm o por su obra y , sobre todo,

de sentido constructivo; un verdadero instinto de las form as

resistentes, innato o adquirido; y todo ello hace que m uchas veces, en su labor y en su personalidad, aparezca desdibujada su preparación científica. Sin em bargo, se aprecia siempre m uy acusada en las grandes figuras de la Ingeniería; y la historia de la construcción es, incluso en su form a artística, y más en la técnica, un claro reflejo del avance científico y cultural de

la época.Pero en el período de la Construcción que arranca del si­

glo XIX y continúa h oy en pleno desarrollo, la T écnica necesita tanto de la Ciencia com o de los materiales mismos con los que

construye y sólo es posible gracias a las enorm es e im previstas posibilidades que le prestan una y otros. Y es interesante ob­servar con cuánta rapidez y aceleración se ha increm entado la

aportación científica al A rte de la Construcción.

Seguram ente se pierde en el am anecer de la H um anidad la aplicación de la M atem ática a la Construcción, porque no se com prende cóm o h ayan podido realizarse sin un m ínim o de

acerbo m atem ático y sin unos m edios de representación g e o ­métrica relativam ente adelantados, m uchas de aquellas obras cuya contem plación, todavía hoy, nos produce tanta adm i­ración y otras de las que, sólo por referencias, entrevem os la perfección de su traza y el arte con que fueron construidas sin dejar lugar a dudas, com o aquel soberbio tem plo de Salo­món, por no citar otros, cu yos enorm es sillares y bien labradas maderas fueron preparados por los artífices del rey de Hiram con tan m aravillosa técnica, que al llegar a Jerusalén encajaron

unos en otros com o por arte de m agia, sin necesidad de rela­bra, ni martillo, ni herram ienta alguna de hierro, hasta form ar

la fábrica com pleta del más digno edificio que conoció la anti­güedad. Pero es evidente que fuesen cuales fuesen los conoci­mientos científicos de los antiguos artífices de la piedra y la madera, nada representaban frente a lo que la C iencia ha aportado en poco más de un siglo para hacer posible el des­arrollo de las nuevas técnicas del hierro y del horm igón

armado.Este form idable salto se ha debido en gran parte a la teo­

ría de la Elasticidad y se ha desarrollado todo él en torno y

al am paro de esta teoría.

Corría el año 1660 cuando H ooke ideó aquella ley que h oy nos parece tan sencilla; «Ut tensio sic vis»; y presintien­do acaso en toda su m agnitud el valor del hallazgo, tardó diez y seis años en publicarla y aún lo hizo bajo aquel anagram a

«ceiiinosssttuu» que nos recuerda el obscuro encanto de la al­quim ia medieval.

G alileo había planteado en 1638 el problema de la resis­

tencia de las barras o piezas prism áticas alargadas; pero sin pensar en establecer ninguna hipótesis análoga entre tensión y deform ación. Tam poco parece que H ooke intentase sacar partido de su ley para el estudio del problem a de Galileo; Ma-

riotte, casi sim ultáneam ente (1680), intuye el problem a de la flexión y da lugar a que los Bernouilli y Euler desarrollen sus

conocidas teorías sobre la flexión y com presión de las barras y la forma de la elástica. Por fin, Coulom b (1776), es decir, un siglo después de Hooke, deja sentada la clásica ley plana de la deform ación y de la tensión y , con ello, las bases de la vie­ja y elemental teoría de la Resistencia de Materiales, conside­

rando inclusive ,el esfuerzo cortante, pero sin considerar la consiguiente deformación.

En la primera mitad del siglo x ix suenan nom bres tan co­nocidos todavía h oy como los de Poisson, Navier, Cauchy,

Creen, Stokes, Y oung. Puede decirse que es al em pezar la ter­cera década del siglo cuando se plantean las bases de la teoría de la Elasticidad en tres dimensiones con la ley de Hooke ge­neralizada. Las mem orias de Navier, de C au ch y y de Poisson dejaron en realidad claram ente establecidos los conceptos fun­dam entales de la teoría de la Elasticidad; y Creen, m uy poco después, introdujo, ya como básicos, los principios energéticos tan elegantes como fecundos en esta ram a de la Ciencia.

En el tercer cuarto de siglo o poco más, se resuelven los problem as de reparto de tensiones por cargas concentradas en la superficie del sólido, con los estudios de Betti, Lord Kelvin, Boussinesq, Cerrutti y Hertz. Es la misma época en que se descubren las funciones de A iry y de M axwell y en la que Saint V enant, en 1855, resuelve satisfactoria y definltivam en-

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te el problem a de la pieza prism ática, incorporando, por asi

decir, la Resistencia de M ateriales a la teoria de la Elasticidad.Mientras tanto, los nuevos inventos del vapor y del acero

extendían por doquier las redes de sus ferrocarriles; los re­cientes Cuerpos de Obras Públicas construían sus carreteras, puentes y viaductos, con la intensidad de los m ejores tiem pos rom anos, y la creciente densidad de las capitales obligaba, a aum entar la altura y las cargas de las edificaciones, al mismo tiem po que aparecían las grandes naves de tipo industrial.

Se em pezaba a-sentir la aprem iante necesidad de aplicar

una teoria que perm itiera racionalizar las estructuras y hacer­las m ás económ icam ente; sobre todo, las form adas por piezas prism áticas enlazadas en los diferentes tipos de celosías que aquellos hom bres hablan ido creando, con genial intuición, al

form idable em puje de las nuevas necesidades.

Pero ellas m ism as no hubieran podido ni siquiera plan­tearse sin la iniciación de los adelantos siderúrgicos; y , a su vez, aquéllas im pulsaban éstos con acuciante im petuosidad, pues y a se habla construido en 1808 un arco de fundición, en

1824 uno de perfiles lam inados y en 1828 el colgante de V iena.

Precisam ente en aquel año de 1855, en que Saint V^enant resuelve el problem a de la pieza prism ática, es cuando se vier­te la primera lingotada de acero Ressem er y , poco después, la de M artin-Siem ens; con ello se desencadena la catarata inco- hercible de las construcciones m etálicas que a los pocos años construye el puente de Forth con sus dos luces de 500 metros, apenas superadas h oy en ese tipo de estructura, y culm ina en la célebre cubierta de la sala de m áquinas de la Exposición de Paris y en la torre E iffel, que lanza la m araña graciosa de sus celosías a 300 metros de altura en soberbio y genial desafío

al peso y al viento.

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Por su parte, el horm igón armado hace su aparición y des­arrolla rapidísimamente la técnica de sus estructuras. Tam bién en ese mismo año de 1855 aparece el cemento Portland; en realidad, con los cementos naturales anteriores, y a se habia pensado en colocar en su interior alam bres o arm aduras que sirvieran para darle m ayor resistencia a tracción, y , cinco

años antes, habia llegado a navegar por algún estanque o río tranquilo el bote construido por Lam bot. Inm ediatam ente em­piezan a aparecer patentes com o las de Coignet, Monier y Hennebique; todas ellas de hom bres prácticos que dan la idea y crean el material sin conocer todavía sus leyes. Hasta 1894

no aparece la obra de Bauschinger sobre horm igón armado. En 1899 Considere hace sus interesantes publicaciones, y por aquella misma época, aparecen las obras clásicas de Melan, Möller, W unsch, Emperger, etc. Es, en definitiva, la obra pre­

sente del hormigón armado con su teoría completam ente des­arrollada y pujante sobre las bases clásicas de la Fíesistencia de Materiales aplicadas al sólido heterogéneo hormigón-hierro.

¿Qué había ocurrido?

Ello es bien digno de señalar. La teoría había sido creada por hom bres de ciencia con poca o ninguna concom itancia con la técnica de la construcción; hombres que discutieron, por ejem plo, largamente sobre la elección de una elasticidad

rarioonstante o una multiconstante; que buscaron las razones físicas de la elasticidad partiendo de la teoría m olecular y de las leyes newtonianas y que, mientras tanto, se intere.saron bien poco o nada por los problem as prácticos.

Por otra parte, los técnicos, con sus maderas primero, sus frágiles fundiciones después, con sus hierros forjados y lam i­nados, y su horm igón armado por último, presentían las enormes posibilidades de las estructuras trianguladas y porti- cadas e ideaban continuam ente nuevos tipos de celosías y en­

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tram ados. Con unos conocim ientos rudim entarios de m ecáni­

ca racional, a veces sin ninguno, iban creando los esquem as estructurales actuales y lanzaban sus pequeños ferrocarriles

sobre ellos, aprendiendo casi solam ente lo m ucho que les en­

señaban sus propios desastres.

Este aprendizaje, este cam po que ellos m ism os iban abrién­

dose y las posibilidades cada dia m ayores que la industria m e­

talúrgica les iba proporcionando, les im pulsaba a buscar en la C iencia la ju sta proporción y eñcacia de sus estructuras. Si bien se mira, todas ellas podían calcularse con sobrada aproxi­m ación m ediante unos polígonos funiculares y , con la entonces

y a vieja teoría de C oulom b, para determ inar la tensión m áxim a

en sus barras o vigas. El horm igón arm ado, por su m onolitis­mo, requería ciertam ente a lgo más de teoría hiperestática, pero

todo ello podía obtenerse arrancando de las m ism as bases en sólido heterogéneo y aplicando el viejo teorem a de Clapeyron. T od o existía, e incluso la teoría de la Elasticidad había ido

m ucho más allá; sin em bargo, apenas se utilizaba; pero el cien­

tífico y el técnico, que hasta entonces habían m archado por se­parado, acabaron por m irarse. Q uizá el científico se asom braba

de las obras del técnico, y éste, h su vez, com prendía m ejor que nadie la necesidad de salir de su ignorancia para seguir

avanzand o por el cam ino em prendido y realizar sus sueños queridos. ,Sin em bargo, aquellas teorías m aravillosas resultaban dem asiado com plicadas y abstrusas para ser em pleadas por el

constructor del x ix .F u é necesario, de una parte, elevar el nivel del técnico,

crear las escuelas de Ingeniería y hacer m ás científica y m ate­

m ática su enseñanza. Es la época de Perronet.

P or otra parte, la teoría tuvo que buscar tam bién cam inos

m ás fáciles de aplicación, aun a trueque de perder en exactitud y profundidad; y se recurrió a soluciones, no rigurosas, com o

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las de G rashof, por ejem plo, para desarrollar con sus bases

propias los m étodos actuales de resistencia de m ateriales iso

e hiper-estática, com o el de M ohr, y los desarrollados en las

obras clásicas de M üller-Breslau, Bresse, W eyrau ch , Ritter, et­cétera.

D e esta feliz conjunción vive h oy todavía, y vivirá quizá

m ucho tiem po, la técnica corriente de las estructuras de cons­

trucción; pues, al mismo tiem po que los m ateriales, el acero

lam inado y el horm igón arm ado en este caso, han permitido el desarrollo de la nueva técnica, la teoría ha encontrado ca­

m inos suficientem ente fáciles y cóm odos para poder trabajar prácticam ente con ellos.

Esta últim a condición es esencial; porque no es, com o

podría parecer a simple vista, una cuestión de com odidad o de

pereza en el técnico; es una necesidad ineludible de resolver el problem a planteado y de construir la obra en un plazo deter­m inado y siem pre corto.

Seguram ente C au ch y se extrañaría sobrem anera si viera

cóm o se ha generalizado y cóm o continúa aplicándose h o y la m ayor parte de su teoría, cuando las bases en que él la fun­

daba están totalm ente abandonadas por la Ciencia y susti­tuidas por las nuevas teorías de la constitución de la materia;

porque al técnico puram ente práctico no le interesa ir más allá en el por qué íntimo de sus hipótesis, sino, sim plem ente,

disponer de unas que le perm itan llegar rápidam ente a resul­

tados suficientem ente aproxim ados a la realidad dentro del cam po de aplicación en que él los va a em plear.

En este sentido la Resistencia de M ateriales, y aun la

teoría de la Elasticidad, son útilísim as, porque las hipótesis se

asem ejan suficientem ente a la realidad del m aterial dentro de

las condiciones normales de trabajo; y , al ser lineales las

ecuaciones que ligan tensiones y deform aciones, resulta apli­

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cable el principio de superposición de efectos, y los cálculos a

que conducen, en la m ayoría de los casos, son fáciles y

breves; tanto, que los técnicos tienden con frecuencia a extra­polarlos incorrectam ente a otros casos y m ateriales en los que esas hipótesis de la^Elasticidad lineal se separan bien sensible­mente de las condiciones reales de los materiales.

Desde ciertos puntos de vista, poco parece lo que se ha hecho en el cam po de las estructuras de construcción en los últim os cincuenta años si se com para con lo hecho en los cuarenta anteriores. El empleo de aceros especiales, el perfec­cionam iento de los enlaces con el uso de los m artillos pneu­m áticos para el roblonado y el más m oderno y revolucionario de la soldadura eléctrica, la m ayor rigidez de las estructuras y el abandono de ciertos tipos de celosía y triangulación, son poca cosa, en el cam po de las estructuras m etálicas, al lado de la creación y el em pleo en grande de aquellos tipos de es­tructura y form as de trabajo que aun h o y seguim os conside­rando insustituibles. Y en horm igón arm ado, salvo los moder­nos pretensados y las grandes estructuras lam inares, la técnica sigue siendo, más o menos, la misma de hace cuarenta años.

Por su lado, estas estructuras superficiales o lam inares de horm igón arm ado se han desarrollado particularm ente en el último decenio, tam bién por disponerse a la vez del m aterial y de la teoría apropiados.

Tam bién aquí vem os unas prim eras teorías desarrolladas científicam ente en el siglo pasado, pero de escasa aplicación en construcción con los m ateriales entonces existentes. En el cam po de la Elasticidad, y a Poisson y C auch y, en 1828, habían redactado interesantes m em orias sobre el problem a de las vibraciones en placas planas; pero, en realidad, la teoría de placas puede considerarse arrancando de la m em oria de K irch h o ff de 1850, en la que sentó su conocida hipótesis, que

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los trabajos de A ron y Lord R ayleigh utilizaron y com pleta­

ron en lo que al régim en de vibración se refiere.

A rrancando de aquí, se fueron desarrollando los estudios

de placas rectan gulares, de tanta aplicación en horm igón ar­

m ado, lo m ism o apoyadas sobre m arcos rígidos que sobre

ap o yo s aislados o colum nas con capitel. Para su resolución se

utilizan corrientem ente los desarrollos en serie de las cargas,

para la más fácil resolución de la ecuación de L agrange, a la

que conducen; y no necesito recordar que una solución prácti­

ca y de aplicación cóm oda y sencilla ha sido estudiada por

D. A lfon so Peña.

D e otra parte, el estudio de las m em branas elásticas, sin

resistencia teórica a la flex ión , perm ite la construcción de ele­

m entos de m ayores dim ensiones, en general, que la placa

plana. C onocidas son las soluciones y los m étodos de cálculo

sencillos de la m em brana de revolución, de la cilindrica y de

la hiperbólica; y el m ás com plicado del conoide, resuelto en

E spaña.Pero las m em branas encuentran lim itado su cam po de

aplicación; pues, para que las hipótesis se cum plan y pueda

establecerse el equilibrio elástico sin fenóm enos de flexión , las

condiciones de borde no son arbitrarias ni coinciden con las

condiciones reales de la sustentación, salvo en determ inados

casos particulares.

Por esto, los grandes elem entos superficia les no han sido

posibles hasta que las m odernas soluciones de lám inas elásti­

cas, con resistencia a flex ió n , han hecho su aparición.L a genial solución utilizada por F in sterw alder en la lám ina

cilindrica o de teja sobre m arcos rígidos en las directrices e x ­

trem as y la exposición de Ekstrom sobre la lám ina de revolu­

ción , entre otras m uchas, han abierto ancho cam po a estas es­

tructuras, cu yo s m árgenes de aplicación han de aum entar to­

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davía con ia u tilización de la m em brana heterogénea o rigidi- zad a en uno o dos sentidos.

L a presencia de flexiones con ejes, según las tangentes a la

sup erficie m edia en este género de lám inas, obliga, en m u­

chos casos, a aum entar el espesor y el peso por fuera de lo

prácticam ente conveniente o posible, y esa m ism a necesidad de aligerar cada vez m ás las construcciones para resolver los

nuevos problem as que se nos plantean, m e hizo pensar, com o

di cuenta el año pasado en la Real A cad em ia de C iencias de B arcelona, en la posibilidad de hacer desaparecer las flexiones

lam inares alterando sus condiciones en los bordes m ediante la introducción en ellos de arm aduras pretesas y h orm igo­

nadas posteriorm ente al resto de la lám ina. M ediante la m o­derna técnica de los pretensados es fácil producir este efecto

en m uchos casos, al m enos para las condiciones norm ales de

trabajo de la lám ina, y dar realidad práctica a dislocaciones

de los tipos estudiados por V olterra o Som igliana y a una v a ­riedad de estados de auto-tensión que, al superponerse al esta­

do producido por la carga, determ inan form as de trabajo m ás

apropiadas con la consiguiente econom ía y aum ento de posi­bilidades. E l cam po de estas estructuras ha de extenderse to­

davía m ucho, tanto en cuanto a su realización práctica, com o

en lo referente a su estudio teórico y m étodos de cálculo; y

los recientes trabajos de Púcher sobre m em branas, son una buena prueba de que esta ram a está en pleno desarrollo.

Pero no podem os seguir h o y por esos cam inos trillados que trabajosam ente lograron enseñarnos los sabios de ayer. El

deseo de m ayores econom ías y la necesidad de a lcanzar m a­yores luces en el cam po de la construcción civil y la de alige­

rar al lím ite las de tipo m ecánico, y más en particular todavía las de aviación, obligan a considerar estados de equilibrio y

resistencia, considerados antes absurdos o peligrosísim os y

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que, aún hoy, se toleran difícilm ente en las grandes estructu­ras de construcción. Ciertamente se ha llegado a resultados

insospechados ayer en las características resistentes y elásticas de los materiales; pero las exigencias crecen más acelerada­mente todavía. Para ciertas estructuras, com o las del avión, la aproxim ación hacia las condiciones de peligro, rotura y desas­

tre es, aun con los materiales actuales, cuestión de vida o muerte, de ser o no ser.

A sí, pues, es necesario afinar las teorías, aproxim arse a las condiciones de inestabilidad, agotar y hasta sobrepasar los lí­

mites elásticos, estrujar al límite los coeficientes de seguridad. En construcción, la apremiante falta de hierro ha inducido ya

a algunos organism os de nuestro país, a bajar el coeficiente de seguridad bien por bajo de dos en un momento en que los materiales presentan frecuentemente defectos alarmantes. Y en otros tipos de estructura, ciertamente más cuidados, se llega

a m ucho más. Es escalofriante pensar que hay aviones de guerra que trabajan con sólo el i,o8 de coeficiente de se­guridad, y , en ciertos instantes, según parece, se llega hasta

bajar de uno respecto a las teorías elásticas clásicas para apro­vechar posiciones de equilibrio más allá de las de primer pan­deo, e inclusive para contar con el aumento de resistencia y límite elástico que presentan los materiales en condiciones bre­vísim as de carga.

L legar a esto parece ciertamente una locura; y , sin em bar­go, al técnico se le piden continuam ente y se le exigen con apremio y autoridad otras locuras todavía m ayores; porque, al fin y al cabo, si él no las hace, la probabilidad que tenga el aviador de salir con vida del fuego enem igo será todavía menor.

En consecuencia, los centros y trabajos de experim entación se m ultiplican y amplían en proporciones de fantasía. Pero no

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basta; cada experiencia, cada ensayo no enseña más que un

caso, un dato concreto. Sólo la teoría, afianzándose en ellos, es capaz de enseñarnos algo más allá con carácter de genera­lidad; y h oy el técnico angustiado, sudoroso y jadeante, llam a con aprem io a las puertas del tem plo de la Ciencia y no se conform a con que los sabios estudien y discutan sus teorías y

extiendan sus elucubraciones por los cam pos áridos de las abstracciones, m ientras él lucha denodadam ente con la realidad y ve agotarse sus armas; él necesita consecuencias prontas y determ inadas.

Y en medio de tantas desgracias com o vivim os y cream os, es quizá una más, y no despreciable, esta de que cada vez de­jem os menos científicos puros trabajando tranquilos por un cam po en el que no se atisben aplicaciones directas; porque en cuanto se entrevé una, y a no se le deja vivir y se le obli­ga a poner todas sus facultades en obligada tensión y orienta­ción fija , com o un soldado o un esclavo m ás de esta vorágine que nos devora sin que sepam os adonde nos lleva ni tan si­quiera para qué la pusim os en m archa.

Ciertam ente en el cam po de las construcciones fijas la evolución es un poco m ás lenta; y , desde luego, resultaría más agradecida si la aviación no se dedicase a destruirlas, antes de

tiem po, con catástrofes apocalípticas. Pero aun así y todo, los que vivim os esa técnica vem os con adm iración y espanto, que, para avanzar, para aprovechar m ás los m ateriales, para com ­petir y seguir a tono la m archa inevitable del progreso con su cortejo de com plicaciones, se necesita salirse de la Elasticidad clásica. Para el técnico esto resulta abrum ador, porque repre­senta tener que em plear teorías y m étodos enorm em ente más com plicados y prolijos, casi siem pre con una prem ura de tiem ­po y una carga de responsabilidad que, unidas, constituyen la carga m aldita que pesa sobre el ingeniero y la que, por eso

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mismo, valora y m agnifica a la vez la grandeza de su empeño

y el valor de su misión.En efecto, otras teorías se han ido desarrollando y en este

afán de h oy se emplean con avidez.A sí, por ejemplo, la teoría desarrollada por la escuela de

T refftz, que considera las deform aciones com o función, no sólo de las derivadas primeras de los recorridos, sino tam bién

de derivadas de orden superior de los mismos, permite, por su com pleta generalidad, estudiar los casos de inestabilidad elás­

tica más allá del primer pandeo o pandeo euleriano y ha en­contrado equilibrios estables posteriores y soluciones prácticas m uy útiles en la construcción, lo mismo para el caso de pie­zas prism áticas que de superficies, com o el pandeo de alm a en vigas llenas con o sin montantes de rigidización; y se pue­de aplicar tam bién al caso de mem branas y aun láminas cur­

vas de simple o doble curvatura com o las cúpulas.

Los cálculos a que conduce esta teoría son de gran com ­plicación y de primera intención parecen inaplicables a los

problem as prácticos; sin em bargo, son m uchos los casos en que a través de unos desarrollos teóricos de gran com plicación m atem ática se puede llegar a fórmulas prácticas o a tabula­ciones o ábacos que permitan resolver el problema particular

que se plantee con gran facilidad.

Por otro lado, la teoría de la plasticidad representa bastante bien lo que le sucede al acero después de alcanzar su límite de fluencia; y h oy se calculan ciertos elementos m etálicos de las estructuras teniendo en cuenta los aumentos de resistencia que pueden obtenerse de la utilización de este período postelás­tico cuando no han de intervenir fenóm enos de fatiga.

L as teorías de Tresca y Navier, y las más modernas de von Misses y Nadal, permiten h o y el estudio de la distribución de

tensiones en estos cuerpos que, tras de un comportam iento

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sensiblem ente elástico, pasan rápidam ente al período plástico cuando el estado de tensión alcanza unos ciertos límites; y , Colonetti, ha generalizado a estos casos los principios energé­ticos de mínim o trabajo y de los trabajos virtuales desarrollan­do métodos de cálculo verdaderam ente prácticos, tanto en el caso de estructuras lineales sim ples com o en las múltiples y trianguladas.

En el horm igón, los fenóm enos son todavía m ás com plejos, porque com o en todo pseudosólido se presentan deform aciones im portantes que no se ajustan a la ley de H ooke y , en ciertos tipos de estructura, la tendencia plástica de estas deform acio­nes puede colocar la obra en condiciones desfavorables respecto a la .teoría puram ente elástica, sin serles tam poco aplicables las de la plasticidad perfecta.

A sí, por ejem plo, en el caso de un arco importante y m uy rebajado, la contracción de la directriz aum enta con el tiem po y , en consecuencia, aum enta el rebajam iento y se pro­ducen nuevos aum entos de la com presión y de la deform ación; y , aum entando las deform aciones plásticas y rebajam ientos

m ás rápidam ente que las com presiones, van colocando a la obra, cada vez más aceleradam ente, en condiciones excesivas y peligrosas de trabajo.

En las construcciones lam inares, es h oy corriente llegar a esbelteces del quinientos y aún del seiscientosavo y esta carre­ra de espesores m ínim os se limita por las condiciones de pan­deo o inestabilidad; pero, según se ha visto, es el com portam ien­to, dijéram os sem iplástico, del horm igón el que hace que esta inestabilidad sea más grttve, y, por consiguiente, será necesario com plicar la teoría de la ine.stabilidad elástica para poder par­tir de hipótesis anelásticas que se ajusten m ejor a las caracte­rísticas propias y al com portam iento real del horm igón.

L as com plicaciones de cálculo a que todo esto obliga y que

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los nuevos recursos de los procesos matem áticos hacen posible es tal, que se ha planteado repetidamente la duda de si estas

teorías tan complicadas pueden estar justificadas en el campo real de la construcción; es decir, si el afinamiento que llevan consigo responderá verdaderam ente al fenóm eno real que se presente con los materiales de que se dispone, y se ha dejado traslucir algo así como la pregunta, no siempre ingenua, de si

los materiales conocerán realmente esas teorías tan com plica­das y sabrán cum plir las obligaciones que de ellas se deriven; y creo que interesa aclarar bien que esta duda es verdadera­mente fundada en lo que a las hipótesis en sí se refiere; pero, en modo alguno, a la m ayor o menor com plicación del proceso

matem ático que de ellas sea necesario derivar para llegar a los

resultados.

Si se parte de la hipótesis de Elasticidad lineal perfecta y el material no las cumple, es evidente que, en general, los re­

sultados no corresponderán con la realidad. Pero si las leyes que rigen el com portam iento del material coinciden con las tom adas como punco de partida para la resolución del pro­blem a, el resultado final que se obtenga corresponderá a la solución real, lo mismo si el proceso matem ático que con­

duzca de las hipótesis a los resultados es sencillo que si es com plicado, tanto si el problem a plantea una sim ple ecuación lineal, com o un com plejo sistem a de ecuaciones diferenciales; si la solución satisface este sistem a, a nadie se le ocurrirá pen­sar que la bondad y exactitud del resultado pueda ponerse en duda porque, para llegar a él, haya sido necesario utilizar unos recursos matem áticos más o menos abstrusos.

Pero el verdadero problem a para el técnico está no sólo en encontrar un método de cálculo que, fundado en leyes a las que verdaderam ente responda la naturaleza, le conduzca a un resultado eficaz; sino que, además, le permita llegar a él con

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la necesaria rapidez y con la más com pleta seguridad, elim i­nando las probabilidades de error.

Indudablem ente, en todo cálculo existe el peligro, tanto m ayor cuanto más prolijo es, de un error oculto que no se en­cuentre ni siquiera en repetidas y concienzudas com probacio­nes. Por eso es conveniente tener algún sistem a para com pro­bar que la solución a que se llega satisface efectivam ente el problem a inicialm ente planteado y poder así detectar la presen­cia de un error o equivocación a corregir; y si el cálculo no tiene estos defectos, su m ayor o m enor com plicación no restará ningún valor a sus resultados.

El técnico necesita, pues, m étodos de cálculo que le per­m itan com probar la resistencia de sus estructuras con suficien­te com odidad y rapidez para cum plir su misión; pero, cuando estos métodos rápidos no existen, no tiene m ás remedio que aceptar la com plicación de cálculo que sea, si no puede recu­rrir a m étodos experim entales de com probación para llegar a la m eta que se le impone. De ningún modo puede rehuir el problem a, alegando que aquella com plicación puram ente de m ecánica operatoria h aya de desvirtuar el fenóm eno real, por­que com o decía Leonardo de V in ci, en la técnica, «los que censuran la sum a exactitud de las m atem áticas se contentan

con ilusiones» y «no existe certidum bre donde no pueda apli­carse alguna de ellas».

Por ello la técnica actual de la Construcción, a medida que se va proponiendo problem as más difíciles y que trata de afi­nar m ás, necesita por una parte m ejorar sus medios de inves­tigación para determ inar hasta los m enores detalles las carac­terísticas físicas y el com portam iento m ecánico de los mate­riales que emplea; y , por otra parte, ha de ir aceptando, forzo sám ente, m ayores com plicaciones teóricas y nuevos recursos m atem áticos.

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Antiguam ente, la construcción de una obra no requería prácticamente cálculo ninguno; hoy, ciertos proyectos requie­ren con frecuencia cientos de páginas de cálculos. Hace poco, teniendo que proyectar un viaducto en sustitución de otro cons­truido hacía cincuenta años, tuve la curiosidad de mirar el pro­

yecto primitivo, y me quedé ingenuam ente sorprendido al ver que todo su cálculo estaba escrito en perfecta letra inglesa en folio y medio de papel; el nuevo proyecto que yo estudié lle­vaba y a unas ciento cuarenta páginas a m áquina de cálculos y com probaciones; y ¡quién sabe dentro de otros cincuenta años cuál será el procedim iento de com probación y a qué lí­mites de com plicación y afinam iento se llegará, para la cons­

trucción de una obra análoga!

* * *

V eam os en este sentido lo que ocurre en el caso del hor­

m igón armado.

En sus primeros tiempos, cuando se form aba su técnica y se m odelaban sus métodos de cálculo, se hicieron las primeras

investigaciones necesarias para com probar si el material se am oldaba con suficiente aproxim ación a las hipótesis o leyes elásticas; y si se analizan cuidadosam ente los datos obtenidos por aquellos investigadores y los que prepararon la misma Instrucción francesa para construcciones de horm igón armado, de 1906, se pueden apreciar y a algunas deformaciones no elás­

ticas y ciertas divergencias respecto a lo que la teoría exigía en sus hipótesis. Sin em bargo, la necesidad obligaba a ir rápi­damente. Era necesario construir, y quizá se dió un poco de lado a algunas de estas divergencias, en el buen deseo de poder aplicar al horm igón armado la siempre m aravillosa y atrayen­te teoría de la Elasticidad lineal, y m ás en particular, la de la

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R esistencia de M ateriales, que entonces constituía la m áxim a

perfección técnica y la m áxim a com plicación adm isible de

cálculo , m u y superior indudablem ente a la que hasta entonces

se h abía em pleado.

E fectivam ente, la Resistencia de M ateriales es perfectam en­

te aplicable al horm igón arm ado; y el conjunto enorm e de

construcciones h echas, de entonces acá, con el éxito que está a la vista de todos, es m ás que suficiente para ju stifica r aque­lla elección.

No cabe duda que el h istorial y buen com portam iento de

tantas construcciones corrientes, y aun de gran im portancia,

que se han proyectado con buena técnica y con am plio m ar­

gen de estabilidad, avalan y acon.sejan u n a continuidad en la

trayectoria em prendida, y que las insustituibles ventajas que

la hipótesis de H ooke y la de igualdad de deform aciones entre

las arm aduras y el horm igón contiguo representan, haciendo

posible el cálcu lo de las estructuras con com odidad y seguri­

dad, h acen que la teoría clásica del h orm igón arm ado conti­núe considerándose h o y establecida sobre firm es bases y con

seguro porvenir.

Pero avanzand o en la carrera em prendida de luces, esbelte­

ces y cargas, se ha llegado a lím ites en los que las deform a­

ciones no elásticas pueden y a producir fuertes recorridos y

peligros de inestabilidad; se ha visto que el fenóm eno se agra­

va peligrosam ente con la in flu en cia de estas deform aciones no

elásticas y de estas divergencias de com portam iento entre el

m aterial y la teoría elástica. Precisam ente este fenóm eno, que am enazaba con la ruina el puente de A llier, fué lo que llam ó

la atención de F reyssin et y le h izo estudiar a fondo la cues­

tión y desarrollar sus interesantísim as investigacion es sobre el

tem a, que h oy son conocidas de todos. E stos fenóm enos, cu yo

estudio arranca aproxim adam ente de 1928 , han dado y a lu gar

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en diferentes países a estudios experim entales y métodos de

cálculo particularm ente cuidados, como son los de F aber, G landw ille, W h itn ey, D ischinger, etc.

A quí y a no se trata de disquisiciones diletantistas desarro­lladas en la m esa de trabajo del hom bre de ciencia y desliga­

das del problem a práctico, sino que, por el contrario, parecen

m ás bien teorías de visión parcial, sim plistas o provisionales,

desarrolladas rápidam ente, sin m irar a sus fundam entos, de

cara meramente al dato experim ental y a la necesidad práctica que se le plantea al proyectista con toda la urgencia y la res

ponsabilidad que lleva siem pre consigo el problem a de la gran construcción.

Y es que en el seno del horm igón se ocultan infinidad de

elem entos, rebeldes a la teoría de la Elasticidad, pequeñísim as m asas de agu a, gas, m icelas, cristales en crecim iento entrecru­

zando, por así decir, sus com plejas leyes. A penas sabemos, de

todo ello, m ás que los efectos de conjunto que se producen en el material, y estos efectos son de tan varios orígenes, depen­

den de tantas variables y son tan diferentes de unos horm igo­

nes a otros, que parece difícil llegar a establecer sus leyes y discrim inar sus causas.

Se observa que su coeficiente de dilatación térm ico no es

el mismo que el del hierro, y que, por otra parte, el horm igón

sufre retracciones y deform aciones higroscópicas que descono­ce su com pañero metálico; ello conduce a la creación de es­

fuerzos internos parásitos o autotensiones im portantes que

h an sido investigadas experim entaim ente y estudiadas desde un punto de vista teórico, con gran extensión y acierto, por

diferentes autores, entre los que es ju sto citar a Caquot, quien

h a obtenido im portantes deducciones sobre los fenóm enos de m icrofisuración interna, de deform ación y deslizam iento finito entre el horm igón y la arm adura.

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Pero, aparte de todo esto y con más im portancia que ello, se observan otros fenóm enos anóm alos en el com portam iento del horm igón bajo la acción de las cargas o esfuerzos perm a­nentes.

Por una parte, si se som ete una probeta prism ática, de su­ficiente longitud respecto a su sección transversal, a com pre­sión axil, y se dibujan en un diagram a los puntos que ligan la tensión con la deform ación, este diagram a, bajo la acción

de cargas inferiores a las alcanzadas anteriorm ente, es relati­vam ente asim ilable a una recta, aun cuando presenta, com o es lógico en esta clase de m ateriales, estrechos ciclos de histére- sis; pero, durante la prim era puesta en carga, o para valores

de ella superiores a los y a alcanzados anteriorm ente, el dia­gram a es acusadam ente curvilíneo, con concavidad hacia el eje de las deform aciones y con curvatura creciente a medida que se aproxim a la com presión a la carga m áxim a de rotura del material; y no h ay que decir que no es posible llegar a las condiciones del diagram a rectilíneo sin haber pasado prim era­mente por las correspondientes a esta prim era carga; aparte

de que son m uchas las construcciones en que el peso propio tiene una im portancia fundam ental y no se aplica más que una sola vez, en el m om ento del descim bram iento, para conti­nuar actuando después constante e indefinidam ente.

Ciertam ente, en el primer trozo del diagram a, para cargas bajas, la curva puede asim ilarse a la tangente o a una secante y admitir, en esta form a, la ley de H ooke o de proporcionali­dad entre tensiones y deform aciones; pero esto no será adm i­sible cuando se quieren estudiar las condiciones de resistencia del m aterial en estados próxim os a la rotura o en aquellos otros en que se quiere trabajar a cargas relativam ente altas, y menos cuando haya peligro de que estas cargas se produzcan por fenóm enos de inestabilidad.

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Por otra parte, desde las primeras investigaciones sobre el com portam iento del horm igón armado, se viene observando

que éste presenta inexorablem ente resistencias menores a com ­presión simple o axil que a compresión por flexión en las fi­bras extrem as más comprimidas. Claro está, que este fenóme­no no puede observarse más que con cuantías suficientemente fuertes para producir la rotura del horm igón por compresión

antes que la de la arm adura por tracción. En estos casos la diferencia de resistencias es m uy importante. Me refiero, natu­ralmente, a la resistencia teórica, es decir, a la carga de tra­bajo que se obtiene por la aplicación de la teoría clásica de la Elasticidad lineal, o, lo que en este caso es prácticamente igual, por la teoría de la Resistencia de Materiales partiendo de la hipótesis de Coulom b. Tanto es esto así, que es corrien­

te admitir en las normas de cálculo del horm igón arm ado, una resistencia m ayor del horm igón a fiexión que a compresión

simple sin ninguna justificación teórica; es decir, sin tratar de explicarse el por qué de fenómeno tan anóm alo que claram en­te delata un defecto en las hipótesis admitidas.

V arios autores han señalado que el fenóm eno puede ser debido a que la ley de reparto de tensiones a lo largo de la sección sometida a flexión no sea lineal; particularmente

Schreyer ha hecho el estudio admitiendo una ley de reparto hiperbólica en la zona de compresión y ha llegado a resulta­dos m ucho más am oldados a la realidad que con la hipótesis

lineal. Más conocida es quizá la solución adoptada por Em ­perger y Saliger, quienes consideran una ley trapecial consis­tente en cortar la ley triangular de la hipótesis clásica por una paralela a la base, determinada por la resistencia o carga de

rotura a compresión simple del horm igón. .Salvo el estudio de Schreyer, no se ha buscado una justificación a estas leyes, o, por m ejor decir, no se ha tratado de ligarla con el diagram a

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tensión-deform ación en com presión sim ple com o parece lógi­co. Tam poco parece justificado el diagram a hiperbólico de Schreyer ni su asim ilación al rectángulo envolvente, ya que este diagram a se dedujo de una escasa experim entación en probetas de poca longitud, no som etidas, por consiguiente, a verdadera com presión sim ple a causa del efecto perturbador de la coacción establecida por las superficies de aplicación de la carga.

T odo ello hace pensar en la posibilidad de estudiar el com ­portam iento a flexión de la pieza partiendo del diagram a real tensión-deform ación obtenido en com presión simple, aun cuando para ello se presente alguna dificultad especial; en rea­lidad, el problem a debería considerarse com o una am pliación o generalización del problem a de Saint Venant partiendo de

las nuevas relaciones, no lineales, entre tensiones y deform a­ciones; pero atacar el problem a así, en toda su generalidad y com plicación requiere, en primer lugar, conocer o admitir de­term inadas leyes entre tensiones y deform aciones en el caso general de solicitación triple del material. A u n suponiendo co­

nocidas experim entalm ente estas leyes, para lo que se reque­ría com pletar las experim entaciones hechas (como las de Róss, entre otras), es claro que el planteam iento del problem a sería de una com plicación que considero inabordable h o y por hoy; por otra parte, si en la técnica actual se considera admisible y conveniente la sim plificación de la teoría de Saint Venant, parece lógico buscar aquí hipótesis sim plificadoras aun a true­qu e de perder generalidad en la solución, siempre que estas hipótesis sean aceptables y conduzcan a resultados concordan­tes con la experim entación en los casos de piezas prism áticas que interesan en la práctica.

Prescindiendo de la influencia de los esfuerzos cortantes para el cálculo de los longitudinales, com o se hace corriente­

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mente, o sea, tratando de estudiar con exactitud solamente el problem a de la flexión pura en el que sólo aparecen tensiones normales en una sola dirección, podrá establecerse un método de determ inación de las tensiones y las deform aciones en los distintos puntos de la pieza siempre que se adm ita una deter­m inada ley entre las tensiones norm ales y las deform aciones

longitudinales y otra ley de distribución de estas últim as den­tro de la sección.

No disponiendo de una teoría que permita determinar esta segunda ley com o consecuencia de las nuevas hipótesis sobre

las características propias del material en lugar de las elásticas (pudiéramos decir al estilo de Saint Venant), es necesario re­currir a la experim entación para su establecimiento.

L a hipótesis plana llega a no ser adm isible en el caso de

secciones espaciales tubulares, de grande ala, etc., pero para secciones com pactas, las investigaciones hechas hasta la fecha parecen abonar en favor de ella, aun cuando al llegar a cargas

altas en el horm igón se puedan producir, com o parece haber observado experim entalm ente Brandtzaheg, una ligera curva­tura de la sección que tiende a disminuir la deform ación en las fibras extremas. De todos modos, la curvatura es pequeña

y puede admitirse con sobrada aproxim ación a la deform ación plana. Por otra parte, el admitir otra ley curva de deforma­ción no representaría una gran com plicación; y la variación, que puede introducir esta ligera curvatura de la sección, es

m ucho menor que la que representa la curvatura del diagra­ma tensión-deform ación, siendo ésta m ucho más acusada que aquélla en los casos que más interesan para este estudio, o sea, en aquellos en que hay realm ente posibilidad de que el

agotam iento resistente de la pieza se produzca por rotura a com presión del hormigón.

Queda, sin em bargo, para arrancar y poder establecer una

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teoría con cierto carácter de generalidad, una dificultad, y es

la variedad de diagram as tensión-deform ación que se obtiene de unos horm igones a otros, y , en consecuencia, la variab ili­dad de lo que pudiera llam arse m ódulo de elasticidad instan­táneo. No vo y a extenderm e en este tem a en el que tan bri­llante aportación ha hecho D. A lfonso Peña, llegando a esta­blecer un método de cálculo de la m ayor elegancia y aplicación práctica para el cálculo y dim ensionam iento de las piezas de horm igón arm ado, habida cuenta de la variación de este m ó­dulo de elasticidad de unos horm igones a otros.

L a confrontación de algunas importantes series de ensayos de diferentes investigadores y la experiencia propia me hicie­ron pensar en la posibilidad de establecer un diagram a único

tensión-deform ación que sirviera para todo género de horm i­gones; y llegué a la conclusión de que podía establecerse una ley única, suñcientem ente aproxim ada dentro de los casos prácticos, siem pre que se considerasen la tensión y la deform ación relativas en lugar de las reales. En efecto, lla­mando tensión relativa el cociente de la tensión real H, o com ­presión unitaria en la pieza trabajando a com presión simple, por la resistencia o carga unitaria de rotura R del m aterial para igual género de solicitación; llam ando, a su vez, deform a­ción relativa al cociente de la deform ación actual o real en

cada m om ento 8, por la deform ación A correspondiente a la carga m áxim a de rotura y , estableciendo el diagram a en estas coordenadas, se llega a obtener una ley prácticam ente única; es decir, una ley aplicable con suficiente aproxim ación a todo género de horm igones.

L as experim entaciones de W alker-Stanton, Em perger, Sali­ger y otros encajan todos sus resultados, abarcando más de diez m il ensayos, dentro de una estrecha zona, alrededor de la ley única, con pequeña dispersión.

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Parece que la ley más cóm oda de manejo y que se aproxi­ma m ejor a la realidad es de tipo parabólico de la forma:

Es decir, una parábola de grado n con vértice en el punto co­rrespondiente a la carga m áxim a de rotura. El exponento n que se ajusta m ejor a la experim entación es 2,33 y prácticamente todos los puntos o casos se acoplan entre valores de n com ­prendidos entre 1,8 y 2,7.

Seguram ente un estudio más detallado de la cuestión per­mitirá establecer la variabilidad de n en función de las carac­terísticas del material, tales com o calidad del árido, etc.; pero los errores que se obtienen adoptando un valor único del ex­

ponente n en los resultados del método que más adelante se

desarrolla, son m uy pequeños y , por consiguiente, se puede aceptar esta ley, a mi ju icio , con carácter de generalidad y aproxim ación sobrada para todos los ñnes de la técnica práctica.

Incluso creo que puede considerarse incluido en esta ley el fenóm eno llamado deform ación lenta del hormigón; se trata de una deform ación que se produce a lo largo del tiempo bajo la acción de las cargas permanentes. Esta deform ación, desta­cada por primera vez por Freyssinet en Francia y por Faber

en Inglaterra, es de carácter plástico en cuanto no se recu­pera o desaparece al retirar la carga ni parece producir tam ­

poco fatiga o disminución de resistencia en el material, pero no sigue ni con m ucho las leyes de la plasticidad perfecta, sino que tiende a estabilizarse y disminuir con el tiempo.

No es éste lugar para entrar en la difícil discusión sobre las causas físicas y quím icas del fenóm eno, en las que parece

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influir la elim inación por efecto de la com presión no y a sólo del agua libre intersticial, com o propuso Freyssinet, sino más bien del agua coloidal y de la adsordida por el gel, unida pro­

bablem ente a deslizam ientos internos en los planos de cristali­zación. Las experim entaciones de que se dispone se refieren casi exclusivam ente a cargas unitarias bajas respecto a las de rotura, com o corresponde a las tensiones norm ales de trabajo; y acusan, al cabo de tres o cuatro años, deform aciones tres y hasta cuatro veces superiores a las que se obtienen en los prim eros m om entos de aplicación de la carga. Por los expe­rim entos hechos con cargas algo más elevadas, y en especial los de D avis, se ve que tam bién aum entan con la com presión

unitaria más rápidam ente que ésta y que, por tanto, el diagra­

m a tensión-deform ación en periodos de cargas iguales y dentro de iguales edades del horm igón es curvo, análogam ente al correspondiente a las cargas breves, hasta el punto de que va­rios experim entadores lo consideran proporcional a éste.

Adm itiendo esto asi, m ientras nuevas experiencias con ten­siones relativas más próxim as a la unidad no den nuevos datos sobre ellas, resulta que la ley establecida anteriorm ente

se m antiene tam bién para las deform aciones lentas siempre que, al definir la tensión y la deform ación relativas, se tom en com o referencia o denom inador los valores de la tensión y de la deform ación de rotura correspondientes a periodos de carga y edades del horm igón iguales o parecidas a las que se refieran las tensiones y deform aciones de trabajo.

En todo caso, si la experim entación dem ostrase que esta correlación no es exacta, podrían adoptarse valores del expo­nente n diferentes para el estudio del fenóm eno en carga breve y en carga duradera.

Si quieren tenerse en cuenta, con m ayor aproxim ación que la usual, todos los fenóm enos resistentes que entran en

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el trabajo de la pieza prism ática de horm igón armado, ha de

considerarse tam bién la resistencia a tracción el horm igón. La experimentación de que se dispone en tracción simple es más escasa y mucho más delicada que la del horm igón en com ­

presión. Adem ás sus leyes son totalmente diferentes cuando el horm igón está armado, que cuando no lo está, y varia tam ­bién según la cuantia de arm adura longitudinal de que se dis­

ponga. Y a Hennebique observaba que el horm igón se hace más dúctil cuando está armado; y esta m ayor ductilidad, o defor- mabilidad sin agrietamiento a tracción, es tanto m ayor cuanto más próxim as están las arm aduras en su seno. El fenómeno ha recibido especial atención en estos últimos años, con moti­

vo del empleo de aceros de alto limite elástico para su empleo a fuertes tensiones dentro del horm igón.

Estableciendo también los diagram as tensión-deform ación en valores relativos, como se ha indicado para el trabajo de com presión, y utilizando los datos proporcionados por el Oesterreichschen Eisenbeton A nschuss, se ve que los diagra­mas resultantes son más variables que en el caso de com pre­sión, pero como esta resistencia es m uy pequeña en relación a la de la compresión, la influencia de estos errores puede con­siderarse despreciable; por ello, para uniform idad del cálculo, parece admisible una ley media tal com o ésta:

J / § \"' / S V"

en la que J, 5 son la tensión y la deform ación a tracción, y R, A los mismos valores anteriores correspondientes a la m áxi­ma carga unitaria de rotura por compresión simple. Esta ley se centra bien en los diagram as que se deducen de la experi­mentación antes citada (dando a sus coeficientes los valores

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= o ,i6 6 ; n' = 1,33 ; n" — 21,23) Y acusa claram ente el fe­nóm eno de ductilidad y pérdida paulatina de resistencia que se observa en el horm igón cuando la deform ación aum enta exce­sivam ente y el m aterial se ve obligado por adherencia a seguir en sus alargam ientos a una arm adura bien dispuesta.

No tiene, por otra parte, esta expresión m ás valor que el de perm itir el establecim iento de ecuaciones que den unos valores de la deform ación utilizables para el estudio de las reacciones en sistem as hiperestáticos, con un grado de aproxim ación m a­

yor que el que proporcionan los m étodos corrientes de cálcu­lo; pues, para la com probación de la resistencia de secciones, se considera corrientem ente preferible no tener en cuenta estas resistencias a tracción, y a que sus valores son relativam ente aleatorios y a favor de la seguridad.

Por últim o, para el acero de construcción, com o es bien sabido, el diagram a tensión-deform ación está com puesto de una parte sensiblem ente recta, cu ya tangente define el m ódulo de elasticidad, y otra parte, que puede considerarse horizontal, y que m arca el escalón de fluencia, siguiendo luego el período de estricción que y a no interesa al caso; entre las dos primeras partes rectas indicadas, aparece u n a pequeña zona curva de transición. Este diagram a podría asim ilarse a una ram a de hi­pérbola m uy aguda con centro ju n to al punto de intersección de las dos alineaciones rectas indicadas anteriorm ente, y que

arrancara, en el origen de tensión nula, tangente a la recta que define el m ódulo de elasticidad inicial; siendo prácticam ente este m ódulo inicial constante, en todos los aceros de construc­ción, podrían fijarse los parámetros de esta hipérbola de form a que pasara sensiblem ente horizontal por el escalón de fluencia correspondiente a cada tipo de acero. Este diagram a quizá pu­diera interesar en piezas m etálicas para el desarrollo de una teoría análoga a la que vam os a ver para el horm igón ar-

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mado; pero, no parece interesar en este último caso, porque estas piezas, al aproxim arse el escalón de fluencia en su arm a­dura de tracción, sufren agrietam ientos importantes que, no solam ente alteran y a el régim en de trabajo normal, sino que las colocan fuera del campo admisible en la práctica, por los peligros de oxidación de la arm adura al entrar la humedad am biente en estas fisuras, cuando alcanzan ya una cierta

abertura.

Por esta razón, parece preferible seguir admitiendo un dia­

gram a discontinuo en el acero, igual al que han aplicado otros autores para el establecimiento y cálculo de piezas metálicas que entran por flexión en periodo plástico. A si, pues, se consi­derará solamente la primera ram a del diagram a en el acero com o recta hasta el escalón de fluencia, limitando el cam po de

trabajo de la pieza, al alcanzarse este límite.

Aceptando estas leyes para el estudio de las tensiones lon­gitudinales con independencia de las cortantes, se puede des­arrollar una teoría que, si bien es más com plicada que la co­rriente, permite, sin em bargo, llegar a valores, diagram as y

fórm ulas finales de utilidad práctica.

No v o y a entretener vuestra atención con el problem a téc­nico, sino exclusivam ente con la posibilidad de desarrollo de la teoría en una form a general. Com o se ha indicado antes, pa­rece aconsejable partir de la hipótesis de deform ación plana, puesto que la experim entación existente da valores sensible­mente correspondientes a esta ley. En todo caso, podría ha­cerse el estudio partiendo de una hipótesis de deform ación curva fija, o, probablemente con más exactitud, con una cur­vatura variable, siguiendo una ley análoga a la que hem os establecido entre las tensiones y las deform aciones relativas; pero no pareciendo que la experim entación existente aconseje introducir esta nueva com plicación, he partido de la hipótesis

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de deform ación plana. Claro está que, adm itida la ley funda­m ental anterior tensión-deform ación, esto no provoca una ley

de tensión plana com o se deduce en Elasticidad lineal en el problem a de Saint V enant, sino que aparecerá forzosam ente una ley de tensión curva y de form a y curvaturas variables según el grado de agotam iento o de tensión relativa del hor­migón.

Por lo dem ás, considerando solam ente los esfuerzos longi­tudinales com o en el caso flexión pura o en los asim ilables a

él, no es necesario establecer nuevas peticiones de principio para desarrollar las ecuaciones de equilibrio con arreglo a las bases de la M ecánica racional, y lo m ism o sucede en el cam po de la com presión axil y en el com puesto de com presión y flexión; es decir, de flexión o com presión com puestas.

De todo lo anteriorm ente expuesto se deduce que para el establecim iento de este método de cálculo de los esfuerzos longitudinales en una pieza de horm igón arm ado som etida a flexión o com presión com puestas, puede partirse de las cuatro bases experim entales siguientes;

1.°— ^Mantenimiento de las secciones planas durante la de­form ación.

2.°— L ey fundam ental entre la tensión y la deform ación relativas en el horm igón a compresión;

H \ / Si»I — ^ | = / i o b l e n ( i — A) = ( i — Y¡)«

en la que H es la tensión en el hormigón; R la de rotura a

com presión simple; 8 la deformación correspondiente a H; AH S

la deform ación de rotura; h = — ¡a. tensión relativa; 4 = —

la deform ación relativa; y un exponente de valor constante

37

que, fijado en 2,33, encaja suficientem ente las diferentes expe­rim entaciones.

3 .°— Com o ley aproxim ada en la zona de horm igón some­tido a tracción en sección armada:

J= I —R

o bien / = . (i — r¡)"' — . (i — y¡)«''

en donde x , n', n", son constantes que pueden fijarse, como pri­

mera y suficiente aproxim ación, en 0,116, 1,33 y 21,33 res­pectivam ente. J es la tensión a tracción en el hormigón;

y ’ = •— ; y Yj, R, los m ism os valores indicados anteriormente.K

4C— E l módulo de elasticidad E del acero, lo mismo a tracción que a compresión, se supone constante hasta un cierto límite L y nulo a partir de este valor dentro de la zona de com presión única en que puede interesar.

Partiendo de estas bases pueden establecerse las ecuacio­nes de equilibrio correspondientes.

En el caso de flexión com puesta, es decir, con com presio­nes y tracciones dentro de la sección, y partiendo de estas le­yes en lugar de las clásicas de Navier, se pueden establecer igualm ente las dos conocidas ecuaciones de equilibrio entre la resultante de las tensiones y la fuerza exterior N norm al a la sección y aplicada a una distancia e del punto medio del canto.

Estas ecuaciones son:

N = . de — J . d z . a — A, — íO O

N í -f- N ---------- = J' b^ . H. . z . dz -¡- J ’b,, . J . . z . d z -j-

o o+ A., . a ( g — r j + A , . s (d — g — r , )

38

en las que a es la arm adura de com presión, .c la de tracción, A„, A sus respectivas tensiones (en valor absoluto) r , los recubrim ientos respectivos, b, el ancho de la fibra g la dis­tancia de la fibra extrem a más com prim ida al plano neutro, d

el canto total, N la carga axil total, y e su distancia al pun­to m edio de la sección o m itad del canto.

Llam ando R la resistencia confiable del horm igón (para la que pueden tom arse los dos tercios de la media a com presión sim ple obtenida por ensayos, al objeto de igualar los coeficien­tes de seguridad a aplicar después al horm igón y al acero), siendo b un cierto ancho medio y dividiendo la prim era ecua­

ción por b d R , la segunda por bd^R y haciendo = — , las

dos ecuaciones anteriores tom an la forma:

1 —í!d

N g , N / g Ib d R ^ b d R { d 2 '

Í-Sid

= +

O

+ .72 . ~ y ) +O

^ L b d R \ d d j

Por últim o, adoptando los sím bolos siguientes:

NP = que llamaremos coeficiente de com presión o sim plem en­

te compresor.

N i!■' = 2- ¡7~ Coeficiente flexor o simplemente flexor.

39

— bd\l Cuantía característica de compresión o característica adi­cional.

s LCuantía característica de tracción o característica básica.

<2 L

Ol~£¡d

O

u = - : ^ j b , . / i , .Z , .dZ.,

O1-dM

z = ~ J b , .72 . í. .

cuyas expresiones desarrollaremos más adelante.

las ecuaciones de equilibrio se reducen a:

P = T (T) - T (W) + ( A J - | A j

F = P ( 4 ~ t) + tVU) + f (Z) + ( A J (Y_ p,) +

+ ( ^ ) — T — PÙ

Para determinar los seis valores entre paréntesis, puede operarse en la siguiente forma:

40

S e a a el g iro qu e corresponde a u n a longitud de p ieza igu a l al can to d de ta l m odo que:

\ . d

siendo 8 la deform ación longitudin al o n orm al a la sección . H aciendo:

se tiene:

A . d ‘ 7 A

que in troducida en la s leyes de tensión -deform ación estab le­c id as da:

^2 = I — ( i IB íQ ”

/, = . . [ ( ! - pe:,)«' - (I

In troduciendo e sto s v a lo re s en la s ex p resio n es de T U W Z, siem pre que el an cb o se a exp resab le an aliticam en te en fun-

. , j -S'cion de — — pueden obtenerse la s exp resio n es de e sta s

fu n cion es en fun ción de P y e in tegran d o q u ed an en función P y T. E n todo c a so puede h acerse la in tegración gráficam en te .

E n el caso m á s corrien te de an ch o con stan te o sección rec ta n gu la r se obtienen l a s . fó rm u las y re su ltad o s sigu ien tes :

In troduciendo lo s v a lo re s de y y <j> = p in tegran d o y h acien do op eracion es, qu eda:

T = A j U « , = I - p « - ]

oT T

u = 4 / = T - - pciri»

41

Y com o

se tiene

ü.- =

dZ.

I - ( 1 - p e : . )

p

7 ( 1 - p e : .

y queda:

U =- T + i f -

z i A - K - )

2 ^ (j)2

i - 1

+ 1n - h 2

W

« - f - I

« ' + 1

I —

. r ■' Í P - ^ + t P

k " - U 9. I ^ I . ------------- +V I « + 2 Y + 2

+ WTT(«" + i) (n" + 2) («' i) (k + 2

expresion es en las que ha de hacerse :

« = 2,33 «' = 1,33 «" = 2,33 . = o , i i 64 2

Aa AsPor últim o, las expresiones -¡-b se deducen inm ediatam en-

te por las conocidas relaciones geom étricas que dan

{ g — ra)

_d

p. \ E AL

g )

Con todo ello, las ecuaciones de equilibrio se reducen fácil­mente a;

M - t ) YE A

< I

F = P

t ; l

4 ~ t ) + U . y + Z . y + «,

- p w jt} ) ( T _ I _ _El

(t — P«) +

E A _4» (-------I — í—7 \ T t í L < \

Se indica en ellas, dentro del primer paréntesis, la lim ita­

ción del valor <(> ( i — — ) que representa la tensión deT y

la arm adura de com presión, dividida por L, cuyo valor se man-

43

tiene constante al llegar a la unidad y entrar el material en el escalón de fluencia; de modo que al ser:

I —

h a y que sustituir su expresión por este últim o valor constan­te % que llam arem os parámetro critico. Aparte de esto, el cam ­

po de validez de las ecuaciones está lim itado, de una parte, por la rotura del horm igón, y de otra, porque se alcance en la arm adura de tracción el valor lim ite L.

Lo primero, la rotura del horm igón, se produce para

è = f ìY = — . X = J £ - = Y i - I

es decir, para tj) > i.

Lo segundo, el lim ite de fluencia en la arm adura de trac­ción, se alcanza para:

o sea:

Es corriente, en los problem as de flexión simple o com ­puesta, considerar el canto útil c en vez del canto total d. Las

ecuaciones obtenidas en este caso serian en todo análogas a las anteriores, sin m ás que sustituir d por c, y prescindir del recubrim iento r^.

44

A sí, l lam ando

P . =N

b c RF . =

Mbc-^R

quedan las ecuaciones siguientes:

P . = T . Y — W - Y + u.

F . = P

4- — UsT /

— - i p t < i

(T - PA +

+ (I - T )

Obsérvese que la generalidad de las ecuaciones proviene de que todos sus térm inos son adim ensionales, viniendo los seis

sím bolos P, F, , w ., p , Y . ligados con los elementos a

m anejar corrientem ente por las fórmulas:

P = Nb d R

Mbd^R

a L í LJ d ' T ” b d ' R

en las que L y R son valores conocidos para cada tipo de hor­

m igón.Si en lugar de flexión com puesta se trata de compresión

com puesta (sin tracciones), puede seguirse la mism a m archa y

llegar a las ecuaciones:

P = T . y - T ' . y + i f l i -P«

+

T

< 1

«a

Us

45

F == P — ?! + U . f — u'. Y* + 4> |i — - 4 x < I (T — pri Ua +

+7 ' - T + t ) *

< I (y — I — p . ) « .

en las que T ' U ' representan las m ism as integrales T U ha­

lladas anteriormente, pero con los límites [ f ' e n lugar der T T ; porque de este modo representan el area de compresio-*■ ones a restar, correspondiente a la altura desde la fibra neutra

1 = 0 a la cara menos com prim ida (t — i) = ) • L a s

expresiones W , Z, han desaparecido por no existir áreas de tracciones.

En la compresión com puesta, la resistencia se agota sola­

mente por la condición 4» = i; aun cuando pueda suceder que se alcance el límite de fluencia, no sólo en la armadura más com prim ida a, sino tam bién, aunque más raramente, en la t.

Puesto que se ha llegado a ecuaciones distintas para flexión y para compresión com puestas, puede hacerse, por separado tam bién, su aplicación a la com probación de secciones en uno y otro género de solicitación.

Se trata para ello de determinar los valores de los coefi­cientes flexor y compresor que agotan la resistencia. Esto puede suceder, por rotura del horm igón, es decir, para

4’ = P y = '

o por alcanzarse el valor límite o de fluencia en la armadura de tracción:

46

Introduciendo sucesiva y separadam ente estos dos valores en

las ecuaciones generales y prescindiendo de los térm inos de tracción en el horm igón Y Z, com o es corriente para más se­guridad, se tiene:

Para rotura del horm igón:

Pr = Tr. Y +í ( -

- p 4 x < i i — - I.\ T / \T T

pR = Pr(-^ Y + Ur Y - f Ua I Y \ ^ < i (T — ?a) +

y para la iniciación de la fluencia en la arm adura s:

Pl — Tl Y “h < I ~ Us

Fl -f- U l . Y 4 - Íi - - £ 2T

(t — P«) +

- r ( I — Y — p.

En estas ecuaciones 7 y UL.son los valores de estas inte­grales para el valor particular de 'I' que corresponde al límite de fluen cia en la arm adura de tracción y que viene dado por la condición

g II — g E á

T Ï

X (I — Y — p.,

En com presión com puesta, el agotam iento de resistencia viene dado en todos los casos por alcanzarse la tensión de ro­tura del horm igón en la cara más alejada de la Abra neutra;

47

es decir, por la condición 4> = i , que ha de introducirse en las ecuaciones generales obtenidas para com presión compuesta, y

que toman con esta sustitución la forma:

P r = T r y — T r y + Us

F r == PR-(4 - - í ) + U R . f - U í i . f + [ ( 1 - 4 X < I (T — P a )« .4-

I - - L + Í Í T t ;

X < I h — I + pú Us

En la flexión se ha prescindido del área de tracción, pero podría tenerse tam bién en cuenta simplemente con establecer

los límites correspondientes de las funciones W , Z.Se han referido las dimensiones longitudinales de la sección

al canto total, pero y a se ha visto que lo mismo pueden dedu­

cirse las fórm ulas en función del canto útil c con lo que se llega a las mismas expresiones sin más que suprim ir en ellas p,.

Teniendo en cuenta todo esto pueden sintetizarse las ex­

presiones obtenidas en las siguientes:

í T ' para Y < • ) 1P = Y . T y - y ' +

A ' P a r a Y < i i ( i _ ^ _ p , y

+ X < I '*a “h 4) — — I — P„ X < I

F = P ( 4 - - í ) - f - f . U Y - Y ’U' (para y > i) (

Z ( p a r a Y < i ) í ( , _ ^ _ p ^ ^ )+

48

< I {l — 9a)Ua + (t — ) x < I (y — I — pw)«.

en las que p.. desaparece si se refieren al canto total a?; y p,

desaparece si se refieren al canto útil c\ y en las que, por últi­mo, ha de establecerse tam bién el lím ite 4»= i , porque para este valor límite sobreviene la rotura por com presión del horm igón.

Igualm ente puede generalizárselas a los casos de piezas en T , en las que el área de com presiones coge las alas y una parte

del alm a, considerando 7 > 7 > descom puestos en dos áreas parciales con sus anchos y lím ites correspondientes.

A h ora bien, si la pieza está sustentada hiperestáticam ente, es necesario tener en cuenta las deform aciones para la deter­m inación de las reacciones hiperestáticas.

L os recorridos de una sección cualquiera correspondiente a un punto x y , de la línea media, respecto a otra x^ , y^ que se tom e com o fija, vienen dados, com o siempre, por lasfórm ulas:

A A

*1*01 = jl>-dl

A

= j'i). .j'. d/ -j- J'K . dx'o k

A A

Yoi = fí>- .x.d/+ Jk.A

dy

en las que X es la deform ación longitudinal (unitaria) de la fibra media, ¡x es el giro relativo de una sección respecto a otra por unidad de longitud de pieza, 4)01 es el recorrido angu­lar de la sección l respecto a la O, y X Y son las proyeccio­nes de los recorridos lineales sobre los dos ejes respectivos; cuando estos recorridos son conocidos, las ecuaciones anterio-

4 4 9

res han de permitir la obtención de las reacciones hiperestá­ticas.

En estas ecuaciones 1 , ¡x, vienen dadas por las fórmulas;

y estos valores quedan a su vez ligados, por las ecuaciones generales de equilibrio obtenidas anteriorm ente, con los dos coeficientes, compresor y flexor P, F , que dependen exclusi­vam ente do las fuerzas exteriores y de las características de la

sección.Dada la com plicación de estas ecuaciones generales no

puede pensarse en utilizarlas directamente para la resolución de un problem a concreto; pero puede seguirse con relativa

facilidad el procedimiento de aproxim aciones sucesivas si­

guiente:Supónganse determinadas, en primera aproxim ación, las

reacciones hiperestáticas por los métodos usuales, esto es, ad­

mitiendo que

N MIFÓT n I" =Eü ” R I

Divídase la pieza en un número de trozos lo bastante grandes para que a lo largo de cualquiera de ellos las varia­ciones de su sección y de sus deform aciones sean suficiente­mente pequeñas.

En el centro de cualquiera de estos trozos podrán deter­minarse los valores de P y de F , que se deduzcan con las

50

reacciones hiperestáticas halladas; con la ayuda de ábacos pre­parados al efecto, se determ inarán los valores de 'x, ¡x; y en

consecuencia, los de ji, X , Y , que y a no serán los previstos, sino que aparecerán con unas diferencias o errores.

C om o segunda aproxim ación pueden introducirse en el sistem a unas ciertas reacciones hiperestáticas supletorias de corrección o correctores hiperestáticos previam ente desconocidos,

pero que pueden determ inarse en prim era aproxim ación por las consideraciones siguientes: A estos errores hiperestáticos corresponderán unos aum entos o increm entos (V P) y (V F) de P y de F en cada punto o trozo y unas variaciones de >■ y [A que en prim era aproxim ación pueden suponerse iguales a las

expresiones

( V ) . ) = ^ ( V P ) + 4 Í , V F )

( V | . ) = 4 t , v P ) + - | t ( v r )

Para los valores de

dX dX ¿>¡x ¿[X~d P' ' W ’ T p '

en cada trozo pueden tom arse, de ábacos o tablas preparadas al efecto, los valores correspondientes a los P y F que se han

obtenido en el prim er cálculo.L as expresiones (V P) y (V F) pueden obtenerse directa­

mente en función de los correctores hiperestáticos y de las coordenadas del punto com o se hace en el método clásico, y con ello se dispone de tres ecuaciones lineales en dichos co­rrectores de las que pueden deducirse sus valores y que expre­san la condición de que, por efecto de la introducción de esas

51

fuerzas o correctores, se produzcan unos recorridos iguales y

contrarios a las diferencias o errores (V $), (V X ), (V Y), que

h ayan resultado del primer cálculo respecto a lo que exijan

las condiciones de sustentación de la pieza; esto es:

A I ' J (VF)a/

- ( V X ) = f „ A I" ( v p ) r . a / + S, A I' (VF)jz .á / +

+ x „ A | ( V P ) a . + x , A | ( V F ) a .

_ ( V Y ) = F„ A J ( v p ) . . a / + L „ 4 f / ( V F ) 2r . á / +

+ Y „ A J ( V P ) a 4 - f S „ A | ( V F ) dJ

en las que representan la sum a de las integrales correspon­

dientes a cada trozo con sus lím ites correspondientes.Si los trozos se tom an lo suficientem ente cortos para po­

der adm itir que P y F son constantes a lo largo de cad a uno

de ellos, las ecuaciones tom an la forma;

- ( V 0 ) = ' - . 4 £ ( V P ) / + v . | t ( V n /

_ (VX) =

+

_ (V Y) = S.

| 2 - ( V P ) + - | f ( V F

dX dX(V P) + ^ (V F)d P (?F

(J IX ó |J.

( VP) + 7 t ( V F )c)P

dX

d P( V P ) 4-

d F

dX

y l f l

. / +

¿IF(V F) y

52

E stas ecuaciones, un a vez puestas en ellas las expresiones

(V P) y (V F) en función de los correctores h iperestáticos des­

conocidos, resultarán, en general, lineales en ellos, por ser P

y F funciones lineales de las fuerzas exteriores.Sum ando algébricam ente estos valores a los obtenidos an­

teriorm ente, se tendrán unos valores m ás aproxim ados que perm itirán pasar a una tercera corrección y asi sucesivam ente

hasta obtener el lím ite de aproxim ación que se desee, con la m ism a o an áloga com plicación en cada caso que la que

se tiene para el cálculo clásico de estas reacciones hiperes­

táticas.No se han considerado en todo lo expuesto anteriorm ente

m ás que las variaciones iniciales del h orm igón bajo la acción

de la prim era carga. Y a se indicó que al descargarse la pieza,

el d iagram a tensión-deform ación deja de ser único, y durante

el período de carga negativa o descarga sigue una ley m ás

aproxim ada a la rectilínea.

Sería necesario, por consiguiente, para el estudio de este

segundo fenóm eno, aplicar las leyes y fórm ulas de la elastici­dad clásica para superponer sus efectos (deform aciones y ten­

siones) a lo s obtenidos con arreglo a esta teoría que se aproxi­

m a a lo que le sucede al h orm igón en prim era carga solam ente. L a diferencia entre am bos resultados dará el conjunto de es­

fuerzos parásitos que quedan en la pieza de horm igón arm ado

después de som etida a uno o varios períodos de carga.

Si se adm ite, com o y a se dijo, que a igualdad de tiem po

las deform aciones lentas son proporcionales a las producidas por la carga instantánea o breve, y se adm ite una ley para su

variación a lo largo del tiem po com o la de W h itn e y , por ejem ­

plo, se pueden estudiar tam bién las alteraciones del régim en

de esfuerzos que se producen en la pieza bajo la acción del

tiem po por efecto de estas cargas duraderas. B ajo su efecto,

53

varían las deform aciones del horm igón con el tiempo y , por

consiguiente, al variar a varía el parámetro crítico r.Com o consecuencia de estas variaciones pueden alterarse

las reacciones hiperestáticas a lo largo del tiempo, y pueden determinarse estas variaciones por un método análogo al indi­

cado en el párrafo anterior.Llam ando (V, (V ,P ), (V ,F ) las variaciones o increm en­

tos que sufren las tres variables en un determinado período

de tiempo a lo largo del cual las derivadas parciales

d\ dX dX 3 [X c> |x c> ¡X

' a p' ’ 7 F ’ 7 7 ’ 7p" ’ 7 F

tengan variaciones suñcientem ente pequeñas para poder supo­

ner unos valores medios constantes de las mismas, pueden escribirse para cada punto o trozo de la pieza, las expresiones

(V//.) = 4 ^ ( Y x) + A ( V , P ) + ^ ( 7 F )

d IX í? |x <3 |x(V.,x) = - A ( V . x ) q - A ( v , P ) + 7 - ( V . F )

T om ando de ábacos o tablas preparados para ello, los valores de las derivadas parciales, e introduciéndolos en las expresio­nes de los recorridos totales de un extremo de la pieza respec­

to al otro, se tiene:

(V, $) = (V, |X) /(V, X) = S, (V, ¡,)J'yd/+ 2„ (V, X) X

(V, Y) = F, == (V, |x) (V, X)j

Los primeros términos han de ser nulos si la pieza está

5 4

¡rígidamente em potrada, o ser iguales a los de las piezas con quienes enlaza en el extrem o; los segundos térm inos son fun­ciones solam ente de las derivadas parciales antedichas, y de los valores (V, d), (V, P), (V, F), de los cuales, el primero es un dato fijad o por la ley de W h itn ey u otra análoga, y los otros dos pueden ponerse en función de las tres variables o incre­mentos de las reacciones hiperestáticas en el extrem o (si las dem ás fuerzas exteriores son independientes de sus reco­rridos).

Se tendrá, pues, un sistem a de tres ecuaciones que perm i­tirá determ inar las variaciones de las tres reacciones hiperes­táticas que se produzcan por efecto de las variaciones del m ó­

dulo de deform ación en un determ inado período de tiempo.

Del mismo modo, en el período siguiente, entrando con estas reacciones increm entadas, podrán determ inarse las nue­vas variaciones, etc.

Fn general, bastará descom poner el proceso total de la deform ación lenta bajo las cargas perm anentes en unos pocos períodos o partes, para cada uno de los cuales podrán prepa­rarse los ábacos, de los que pueden tom arse con suficiente aproxim ación todos los datos necesarios para hacer estos cálculos en una pieza de determ inadas cuantías características.

Fl modo de operar en esta últim a parte no es m uy elegan­te desde el punto de vista m atem ático, pero puede resultar útil en la práctica siempre que se disponga de estos ábacos o tablas que faciliten los valores que entran en las fórm ulas a em plear.

Claram ente se ve, y es quizá la consecuencia más im por­tante que puede sacarse de este estudio, la prolijidad que en el cálculo concreto de una estructura representa la com plica­ción de leyes com o éstas, en lugar de las clásicas de la Flasti- cidad lineal. No es posible pretender su aplicación directa a la

55

técnica y al cálculo de los proyectos de construcción a no ser que se establezcan tablas, ábacos o fórm ulas empíricas, de

cómodo manejo, cuyos resultados se acom oden aproxim ada­mente a los que se obtengan de teorías así desarrolladas.

Pero com o, por otra parte, la técnica actual exige este grado de afinam iento y estudio para continuar avanzando por

los cam inos iniciados de las grandes luces y fuertes esbelteces a que ellas obligan, es evidente que será necesario establecer sistem as de trabajo que permitan obtener resultados avalados por teorías así establecidas sobre regímenes anelásticos o por lo menos de Elasticidad no lineal.

Los resultados que se obtienen de la teoría anteriormente expuesta son, por otra parte, alentadores en cuanto que la ex­perimentación directa sobre piezas en flexión que he podido recoger los corrobora completamente. Las flexiones que produ­cen la rotura, particularm ente con cuantías críticas o supra-

críticas, son m uy superiores a las que se deducen de la teoría clásica y superan ligeram ente a las que se obtienen operando com o acaba de hacerse, según correspondería a la aplicación de esta nueva teoría si en vez de considerarse para agota­

miento resistente de la pieza el momento en que la fibra ex­trem a alcanza la m áxim a carga de rotura, se considerase aquel en que esta fibra alcanza la carga final de rotura. Es decir, si se considerase el diagram a tensión-deform ación com ­pleto hasta esta carga final de rotura.

No parece, sin em bargo, prudente hacerlo así para las apli­caciones prácticas, ni tom ar esa resistencia última para la aplicación del coeficiente de seguridad, por razones de tipo técnico y práctico, que se salen del marco de esta exposición; pero sí interesa señalarlo, no sólo por la com probación que ello representa, sino porque es prueba también de que, análo­

gam ente a lo que ocurre con el horm igón en tracción cuando

56

está acom pañado de arm aduras, en este caso de com presión por flexión en el que sólo las Abras extrem as trabajan al m á­

xim o, éstas siguen m ejor su trabajo hasta más allá de su carga m áxim a de rotura, sin que aparezcan roturas prem aturas antes de llegar en el diagram a tensión-deform ación a la tangente ho­rizontal, com o sucede a veces en el ensayo a com presión sim ­

ple de probetas sin armar.

T od o el estudio se ha referido solam ente al diagram a o es­tado de prim era carga breve o perm anente; en los casos de cargas repetidas o alternativas, la aparición de los esfuerzos parásitos antes indicados, harán probablem ente im posible la utilización de m ateriales com o los actuales; pero, por lo gene­ral, en las grandes construcciones, son las cargas fijas las que predom inan, y en ellas el em pleo de estas teorías anelásticas son, a mi ju icio , de un porvenir inm ediato, o en realidad perte­necen y a al m om ento presente, puesto que se tiende a cons­truir las estructuras y se calculan h oy con procedim ientos y fórm ulas em píricas preparadas de modo que se tengan en cuenta con m ayor o menor aproxim ación los fenóm enos que se acusan por efecto de esta falta de constancia en los m ódu­los cuando se trabaja con fuertes tensiones relativas.

Por otra parte, los estudios qué he podido realizar partien­do de estas teorías, me han demostrado la posibilidad de obte­ner, por lo m enos en gran número de casos, fórm ulas verda­deramente prácticas para su aplicación directa, que permitan igual o quizá m ayor sencillez de com probación todavía que las

fórm ulas usuales. Com o resultados generales en este sentido, pueden establecerse los siguientes: Las cuantías críticas que resultan son siem pre superiores a las que se deducen con los m étodos y teorías clásicos de cálculo del horm igón armado, y m ucho m ás aproxim ados a la realidad experim ental.

En general, com o las cuantías prácticas y económ icas son

57

inferiores a las críticas, basta aplicar la teoría anterior, con vistas solam ente al cálculo de la arm adura; pues y a se sabe de antem ano que el fallo de resistencia tiene que ser, en este gé­nero de piezas, por la arm adura y nunca por el horm igón. En estos casos corrientes de cuantías infracríticas, los momentos

que se obtienen se separan tanto menos de los resultados de la teoría clásica cuanto menor es la cuantía; aun cuando, en general, la resistencia que se obtiene es superior a la que se deduce de la teoría clásica; sin em bargo, con cuantías fuertes y con cargas permanentes o duraderas, resulta la armadura algo sobrecargada, y es necesario aum entar a veces hasta un diez por ciento la que se obtiene de la teoría clásica.

Con cuantías supracríticas se obtiene un fuerte aumento de resistencia sobre la teoría usual, de acuerdo siempre con la

com probación experimental.Fijándose en el caso más corriente de flexión simple en

piezas rectangulares, es curioso observar la sencillez de los re­sultados siguientes, que pueden com probarse en la teoría an­

terior.Para los coeficientes de seguridad clásicos y con errores

menores del 2 por 100, se tiene, trabajando con el acero nor­mal, que la cuantía crítica viene dada por las fórm ulas si­guientes:

R (kg/cm4para cargas breves: q (“/o) =

para cargas duraderas: q ('Vo) =

100 R (kg/cm*)

86

siendo R la carga m áxim a de rotura obtenida directamente de ensayos a com presión simple.

Para cuantías superiores a ésta:

A 7 - = o 2 7 5 / y 7 AR . b . C / R

58

siendo q la cuantía en por lOO y R la resistencia o carga m áxim a de rotura a com presión real del material; y para

cuantías inferiores, que suelen ser las económ icas, se tiene:

c > 3 ,3 7 L m / R . ú

para cargas breves: ( m= ioq{o/o) + 0,003 R

b . d

0 3 , 3 2 Km /r"7para cargas duraderas: < M

, , = 9 í* (Vo) + 0,003 RO .

Cito ésto, solam ente com o ejem plo de la posibilidad de en­contrar fórm ulas de m anejo práctico sencillísim o que perm itan aplicar cóm odam ente los resultados de una teoría relativam en­te com plicada para su aplicación directa por el técnico práctico com o es la anterior; y , en todo caso, siem pre se puede disponer de ábacos preparados al efecto que relacionen directam ente el flexor y el com presor, para obtener las condiciones de a g o ­tam iento de resistencia de la pieza, lo mismo si se trata de una pieza de sección rectangular que en T ; por consiguiente, la com probación a flexión o com presión com puestas de una pieza de este género puede hacerse tam bién rápidam ente con un cortísim o núm ero de operaciones aritm éticas.

No concedo, sin em bargo, a las leyes y métodos expuestos m ás im portancia que la de iniciar un posible cam ino de gene­ralización sobre la Resistencia de M ateriales clásica. El cam ino a recorrer es largo, en realidad indefinido; pero.no cabe duda de que en esta ram a de la técnica, com o antes señalé, se afina cada día m ás a trueque de m ayores com plicaciones y perfec­cionam ientos en las teorías; y no es posible volver la es­palda a ello ni buscar razones en contra, sobre todo si después de la com plicación de las teorías se encuentran fórm ulas prác­

59

ticas o métodos de trabajo que perm itan obtener el resultado con relativa sim plificación, aun cuando ésta no sea tan grande

ni tan cóm oda com o la que se obtiene en las teorías elabora­das en el siglo pasado, cuya eficacia no hem os apreciado bas­tante hasta el momento en que se han visto las com plicaciones de estas otras; por ello debemos un agradecim iento m áxim o a aquellos genios de la Ciencia que, m uchas veces sin pensar en las aplicaciones prácticas, nos proporcionaron esta m agnífica, eficaz y cóm oda herramienta con la que sigue trabajando hoy el Ingeniero.

Y no tenemos ciertamente idea de la preparación científica que necesitará el Ingeniero futuro ni del grado de com plica­ción de las teorías y de los recursos m atem áticos que habrá de utilizar para el proyecto de ciertas obras; porque, cuanto

m ás se quiere en la práctica aproxim arse a las condiciones de rotura para obtener un m ayor aprovecham iento de los mate­riales, más im portancia tendrá, no sólo encajar en fórm ulas e hipótesis estos estados de tensión anelásticos, sino también el llegar a conocer lo más íntimamente posible las causas intrín­secas de la rotura o de la plasticidad y el por qué de la resis­tencia y de la cohesión. Ello ha obligado, ya hoy, a enlazar estos estudios con los de la constitución de la materia y a bus­car las leyes estadísticas que rigen los fenóm enos resistentes, entre otros, com o tan brillantemente ha expuesto en recientes cursos el Profesor Terradas, maestro m áxim o en todas estas cuestiones físicas y m atem áticas relacionadas con los proble­mas de la construcción.

Mi aportación a todas e.stas materias no puede ni siquiera considerarse modesta; es nula. Pero, com o Ingeniero, no tengo

más remedio que interesarme por ellas y pedir de vosotros, los que sabéis hacerlo y lo estáis haciendo, que nos sum inistréis las nuevas teorías y métodos de trabajo y cálculo que hagan

6 o

avanzar más y m ás la técnica de la construcción para poder atender debidam ente las exigencias cada vez m ayores que so­bre los Ingenieros carga la sociedad moderna.

Si mi presencia aquí logra hacer el papel de m endigo que a fuerza de pedir una lim osna sirve para haceros com prender m ejor el valor de vuestra fortuna, que en este caso es sabidu­ría, me daré por satisfecho.

He dicho.

6 i

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Mí aportacióií « corísíderarse, modesí! más remedio que írn q u e s a b é i s h a c e r i o

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DISCURSO DE CONTESTACIÓNPOR EL ACADÉMICO NUMERARIO

E X C M O . SR. D. A L F O N S O P E Ñ A B O E U F

S e ñ o r a s y s e ñ o r e s :

-A . C A B A IS de oir el discurso de D. Eduardo T orro ja , lleno de

erudición científica, pletòrico de conocim iento, y con tan ele­

vados conceptos en el cam po de la técnica del ingeniero, que

acredita de m odo bien patente el acierto de esta Real A cad e­m ia al llam arle a su seno.

E l apellido T o rro ja está vinculado desde hace m uchos años

a esta ilustre C orporación. El inolvidable D. E duardo, padre

del actual, era geóm etra de los m ás em inentes, que ha dejado

en la U niversidad im borrable recuerdo, y a quien tuve el

h onor de conocer, en los últim os años de su vida y los prim e­ros de la mía; y los dos herm anos D. José M aría, Inspector

gen eral de Ingenieros de C am in os,'q u e ostenta la M edalla a ca ­dém ica hace un cuarto de siglo, y D. A n tonio, Ingeniero de

M inas y Catedrático de la U niversidad de B arcelona, elegido

recientem ente, form an con el nuevo una dinastía m u y fecun­da, que seguram ente será continuada.

El electo A cad ém ico viene a ocupar la vacante de D. M iguel V eg a s, aquel hom bre ejem plar que hasta hace poco fué nues­

tro V icepresidente, analista y geóm etra conocido en todo el

m undo científico y del que conservam os no sólo la adm iración

por sus interesantísim as obras de texto y de consulta, sí que

tam bién verdadera gratitud por haber sido nuestro m aestro en

5 65

aquella cátedra de Analítica de la Universidad Central, que tantos alum nos ha tenido en largo período reciente.

El Ingeniero D. Eduardo T orroja se atribuye en su ante­rior discurso el papel de técnico constructor exclusivam ente, pero en rigor no es esa su verdadera significación, aunque por el criterio que tenemos de la construcción moderna no sea este título profesión modesta; educado desde su infancia en el

más elevado ambiente matemático, es en realidad el tipo de ingeniero-hom bre de ciencia, que se dedica a la construcción.

Mucho se ha debatido y tratado en los oportunos Congre­sos sobre cuál debe ser el alcance de la dotación científica que han de tener los ingenieros modernos, y aunque no pocos apegados a la cóm oda rutina consideran que la form ación del técnico profesional debe ser rápida y ágil en su ejecución, lo cierto es que si se aspira, como es natural, a producir avances sucesivos y a lograr nuevas form as, es indispensable poseer

tan amplio equipaje científico que las más elevadas teorías de la Física necesitan entrar en ju ego y éstas tienen que mane­

jarse con el conocim iento adecuado para entender de modo com pleto en la materia y plantear el problem a con pleno do­minio de su alcance.

Los efectos de vibración en las estructuras, las cargas di­nám icas y alternativas, el com plicado proceso del pandeo en las superficies y otras varias causas análogas que antiguam en­te no se tenían en cuenta por la preponderancia aplastante de la masa, modernamente en virtud de la ligereza de las cons­trucciones y por la m ayor utilización de la materia, suscitan problem as de tal com plejidad, que requieren am pliar de modo

m u y notorio los program as de m atem áticas que hasta el pre­sente tienen las Escuelas técnicas, m uy lejos, por tanto, de considerar excesivas las m atem áticas de aplicación.

En cuanto se plantea un problem a elástico o de deform a­

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ción, cuyo desarrollo no está encajado en estudios anteriores, surgen siempre cuestiones de análisis, generalm ente en deriva­das parciales, de tal com plicación, que se necesita por una parte un gran conocim iento en el m anejo del cálculo y no poca habilidad, adem ás, para ver la form a de reducir a térm inos más asequibles las naturales dificultades de integración y de determ inación de las constantes. Y m ucho más, si para pro­yectar elem entos m óviles se hacen entrar, com o es necesario, las fuerzas de inercia y los fenóm enos vibratorios.

En realidad, el cuadro m atem ático de las E scuelas de In­genieros es actualm ente deficiente y prueba de ello la dan los ingenieros destacados form ados por sí solos después de una carrera de fatigados esfuerzos.

Pues Eduardo T orroja pertenece a esta categoría, y , abun­dando en dicho criterio, es bien sabido que no por su previo estudio durante el período de la carrera pudo alcanzar tal nivel, sino por consecuencia de sus posteriores investigaciones y com o consecuencia de su espíritu m atem ático acrecentado sucesivam ente.

A dem ás de sus publicaciones de carácter especulativo son notables las obras, de original estructura, que ha producido el nuevo Académ ico: entre ellas destacan, principalm ente, las bó­vedas en forma de lám ina cilindrica polilobular, cu yo estudio

técnico fué prem iado por esta Real A cadem ia. Su intervención, no única, pero sí eficaz, en la construcción y proyecto refor­mado del arco del V iaducto sobre el Esla, en el que obtuvo exacta confirm ación experim ental de sus estudios respecto a

la form a de la directriz.

Y tam bién las cubiertas de las tribunas del nuevo H ipó­dromo de Madrid, de com posición sum am ente original, y las estructuras de cúpulas y bóvedas para varios edificios de ser­vicios m unicipales... y num erosos proyectos, m uchos de ellos

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ejecutados en la esfera de actuación particular, dotados todos de form as singulares con positiva personalidad. Labor intensa que llena m agnífico álbum y que permite ser todavía m uy au­mentada, por la relativa juventud de nuestro querido com pa­ñero y su infatigable laboriosidad.

Desde hace seis años es Profesor de la Escuela de Ingenieros de Cam inos; en la de Arquitectura explicó varios cursos poco tiem po después y es, actualmente. Jefe del Laboratorio Central de materiales de construcción de la primera de estas Escuelas, donde, en su doble aspecto de Catedrático e investigador, pres­

ta relevantes servicios a la Patria.Dedicam os, por tanto, al Sr. Torroja, en este acto de su in­

greso com o numerario en la Corporación, todo el elogio que a

su meritísima labor corresponde.V am os ahora a comentar, siquiera sea brevem ente, el su­

gestivo tem a de su discurso.

L a técnica de la construcción es arte y ciencia a la vez. Antiguam ente era sólo un arte, y el trazado de las formas y el proyecto de la estructura se hacía por un conjunto de reglas, de índole parecida a la de los dibujos de los arcos de fábrica, análogam ente a lo que se hacía para la com posición de los ele­mentos arquitectónicos y por el empleo de los m ódulos o ín­dices, de los que son ejem plo los de la arquitectura clásica.

A medida que ha ido progresando el conocim iento de los rhateriales con el trabajo fecundo de los físicos por una parte, y la gran experim entación de los laboratorios, por otra, se ha conseguido entrar cada vez más de lleno el estudio de las teo­rías físicas de la constitución de la materia en la técnica de las construcciones, de tal modo, que hoy día el ingeniero cons­tructor tiene m ucho más de hom bre de ciencia que de artífice.

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T odos nosotros, aun los que quizá de m odo optim ista, to­davía no nos consideram os com o viejos, conservam os el re­cuerdo no lejano del m odo de proyectar los arcos de piedra de los puentes antiguos, que tan decorativos son en las poblacio­nes, y que no llevaban m ás cálculo de estabilidad que la arbi­traria curva de las presiones, trazada de modo caprichoso por el extrem o del tercio central de arranques, com o regla sim plísi­m a legada de las artes antiguas. Y , de modo análogo, los arcos por tranquil para las escaleras y las zapatas de repartición para los pilares, así com o las archivoltas de las iglesias y casi todas

las obras de Estereotom ía.

Sin embargo, en la época presente, el estudio de una cons­trucción lleva un copioso cálculo de estabilidad estática y elás­tica que hace mejorar, de modo m uy notorio, el aprovecha­m iento de la materia y la mejor distribución de ella, con cono­cim iento de m ás tranquilizadora seguridad.

No obstante, estam os aún bastante lejos del límite teórico de agotam iento de la resistencia, pues prescindiendo de casos tan singulares com o el citado por el Sr. T orroja, de los aviones de guerra, en los que se ha llegado al lím ite inconcebible del coeficiente de trabajo m u y próxim o a la unidad, explicable por

el grave riesgo que por las demás causas ha de sufrir el apa­rato y para ponerse a tono con ellas, lo cierto es que en las dem ás construcciones, aunque sean de naturaleza dinám ica, el coeficiente de seguridad rara vez es inferior a 2, y en las más

frecuentes llega a pasar de 3.

' . Es preciso tener en cuenta que para llegar al aquilatam ien- to de la resistencia, en condiciones de cierta garantía, se nece­sita un gran conocim iento de las condiciones en que se com ­porta la materia, y , adem ás, se precisa contar con una hom oge­neidad de constitución que es m uy poco constante en los sólidos naturales, y aunque mejorada notablem ente en los artificiales,

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requiere m uy esmerada fabricación al efecto. A un dentro de esa relativa constancia de las propiedades físicas de los mate­riales, h ay que tener presente que el modo hasta ahora asequi­

ble de conducir los cálculos, se basa en los principios de la teo­ría de la Elasticidad, rama inmensa de la Ciencia que presenta

tal generalidad, que sólo en casos singulares permite resolver el problem a de orden práctico, siendo preciso ir por degenera­ciones sucesivas a llevar en cada aplicación unas sim plificacio­nes susceptibles de manejo algorítm ico.

A sí, por ejemplo, la ecuación general de Elasticidad es siempre la misma, una función que enlaza las cargas externas

e internas del cuerpo con los recorridos o deformaciones de los puntos respectivos. Pero esta función, desconocida en form a, por lo general, es en realidad com plejísim a, porque si bien se considera siempre como dependencia única entre el vector tensión y la deform ación o recorrido, es evidente que adem ás deben entrar, com o variables, otras varias que pueden alterar el equilibrio físico, com o son el estado de temperatura, el higrom étrico y el potencial elástico previo. Planteada de ese modo general la ecuación diferencial de dependencia, no habría posibilidad de aplicación. Por eso, en casi todos los casos, se prescinde de varias variables de orden físico, pero es porque en los cuerpos de corriente empleo suele haber inalterabilidad de ellas o, por lo menos, escasa influencia en el campo restrin­gido de su actuación normal. Pero bien de todos conocidos, aunque sean superficialm ente, son algunos cuerpos com o el lacre y las resinas, en los que su estado de elasticidad es de tal m odo variable con la temperatura, que si a ellos se aplicaran los principios elásticos no podría por menos de tenerse en cuenta esta variable térm ica que habría de ligarse con la tensión y la deformación.

En estos cuerpos, una barra de dim ensiones pequeñas y

.70

en las que la relación entre la longitud y la sección no sea desproporcionada (esbeltez no superior a lo ), los fenóm enos m ecánicos de flexión y de com presión o tracción dan una sensación de casi perfecta elasticidad a tem peraturas corrien­tes del am biente (inferiores desde luego a 40°), pero si las car­gas actúan durante largo tiem po, o si se aum enta la tem pera­tura, se aprecia una evidente deform ación prolongada, con

caracteres de acusada plasticidad. En otros cuerpos es por im bición en líquidos que se obtienen análogo efecto-, y esto hace com prender que, sólo en condiciones restringidas, pueden

para estos materiales tener aproxim ación en las aplicaciones de la práctica, la ecuación de elasticidad, tal com o ordinaria­mente se desarrolla, y es que el régim en elástico en m uchos cuerpos es indudablem ente caso particular de un estado m ucha más com plicado y más general, que es el de la plasticidad re­lativa, teoría que hasta ahora sólo tiene realizados estudios incipientes; pero que permite ver el error que en algunos casos se com etería si sólo se atribuyera el desarrollo en form a lineal de las ecuaciones de elasticidad dando únicam ente apli­cación por los desarrollos analíticos de T a y lo r o de M ac-Lau­rin, al primer térm ino de la serie, que es lo frecuente y casi

única manera de actuar hasta el presente. '

Bien por el m ejor estudio científico o por deducciones ob­tenidas por método e.xperimental, se podrá conseguir con el tiempo una más exacta aplicación de las ecuaciones que en­lazan las tensiones interiores con las deform aciones concor­dantes, y entonces esos primeros térm inos que ahora se aplican, serán la norm al sim plificación obtenida por estados particula­

res de las otras variables físicas.

Esto dará desarrollo a la teoría de la plasticidad relativa, con caracteres más generales que la anterior, pero en la que

todavía queda un amplísimo cam po de investigación, de in­mensa dificultad.

Pues aun con el simple concepto teórico de los sólidos isó­tropos perfectam ente elásticos, el estudio de la elasticidad en los cuerpos de tres dimensiones y todavía en los de dos, como son las placas, membranas, superficies vibrantes, etc., la apli­cación del Análisis matemático es, en general, de inabordable desarrollo; motivo que ha hecho observar el problem a con pun­tos de vista especiales en cada caso, y que la determ inación de

la ley, entre cargas internas y deform aciones, constituyen ver­daderas conquistas de la ciencia con soluciones que han reve­lado la fuerza de genio extraordinaria de matemáticos tan des­tacados com o Lorenz, Saint-Venant, Herz, C auchy, Boussinesq y otros sabios de universal reconocim iento, que dan nombre a sus respectivas investigaciones. '

Para las aplicaciones constructivas el sólido de tres dimen­siones ha sido esquem atizado y sim plificado en sus líneas, dando lugar a la estructura constructiva, y la elasticidad triple ha degenerado entonces en elasticidad lineal porque puede considerarse que el cuerpo queda concentrado en su línea di­rectriz para los efectos m ecánicos. Es ésta una forma de consi­derar polarizados los esfuerzos y las reacciones elásticas y es el último grado, por decirlo así, de sencillez analítica, que ha formado la teoría de la resistencia de materiales y la m ecánica aplicada en las construcciones, ciencia básica del ingeniero. Pero todavía, dada la naturaleza de los materiales, se ha hecho m ás sencilla su adaptación, por dos leyes aceptadas com o pri­mera aproxim ación: la de conservación de la deform ación pla­na y la de proporcionalidad, llam ada ley de Hooke, citada re­petidamente en el anterior Discurso.

La primera de estas leyes es de gran aproxim ación en los materiales rígidos, pero deja de serlo en aquellos cuerpos com o

72

las gom as, en los que el recorrido o deform ación de los puntos es grande, relativam ente.

La segunda ley se acepta generalm ente para estas materias de gran rigidez, pero se observa con gran dificultad en la trac­ción de cuerpos pétreos.

* * *

El fecundo trabajo realizado m odernam ente por los labo­ratorios ha hecho conocer los m ateriales de construcción con m ucha m ayor precisión que lo eran hasta el siglo pasado, ha­ciendo ver sus notorias discrepancias con el concepto teórico de la isotropía y de la perfecta elasticidad.

Los m ateriales de fabricación artificial, com o el horm igón, que tan extenso cam po de aplicación tiene en la técnica moder­na, son los que m ejor se conocen desde el punto de vista físico,

y tantos y tan copiosos son los estudios realizados en los últi­mos veinte años, que su técnica puede considerarse com o una de las más avanzadas en la hora actual.

Precisam ente por este conocim iento se ha llegado a la con­clusión de que no pueden aplicarse, en aprovecham ientos más am biciosos, las sim ples leyes elásticas, com o las de H ooke, y todavía h ay que profundizar, com o lo ha hecho Freyssinet, en el estudio físico para encontrar el concepto de com posición in­terna del m aterial y la verdadera ley del reparto de las tensio­nes interiores por efecto de carga o de acciones higrom étricas y térm icas.

En esta difícil cuestión ha trabajado nuestro nuevo A ca ­dém ico, D. Eduardo T orroja, y en el discurso que acaba de leer se presenta el desarrollo de cálculo con el que puede enfo­carse la ley de distribución de tensiones m ucho más aproxim a­da con la experim entación, que la de H ooke considerada hasta ahora.

En el horm igón arm ado y en masa había anom alías que no

73

satisfacían al riguroso estudio. Se sabía, ciertamente, que la ap­titud a los esfuerzos de com presión y de tensión no era la mis­ma, ni con m ucho. Que el coeficiente de elasticidad lineal no era independiente del estado de carga, y que, en rigor, más que coeficiente numérico debe ser una función. Que los des­

garram ientos por cargas tangenciales no eran tam poco concor­dantes con las aptitudes de tensión. Que las adherencias con las arm aduras tenían cierta sem ejanza con las cargas de des­garram iento, aunque eran diferentes de ellas.

Y todo esto se regulaba en el estudio técnico de la práctica mediante una serie de coeficientes que habían sido sugeridos

por experim entaciones obtenidas en los estados restringidos de cargas. ,

Para la seguridad oficial de empleo de estas estructuras se han dictado en todos los países las respectivas instruccionesj que difieren m uy poco unas de otras y en las que de modo sistem ático se proscribe el empleo de hormigón a tensión, no teniéndole en cuenta en el cálculo de resistencia.

De igual modo tiene lugar la arbitrariedad de no atender de por sí solas a las cargas tangenciales del horm igón, y aun­que no se atreven a suprim ir su influencia porque siempre en­tra en ju ego en los corrientes regímenes de flexión, se limita, de un modo quizá excesivam ente prudente, su influencia en el cuadro de reacciones internas.

Eduardo T orroja, alejándose de la ley de Hooke, que des-; de luego no tiene confirm ación experim ental más que en una región m uy restringida de algunos cuerpos, adapta el fenóm e­no de flexión en el horm igón a una ley con forma de parábola de grado «, variable con el sentido de la carga y distinta en la compresión y en la tensión. Esta ley es mucho más concor­dante con las deform aciones observadas y permite un m ejor aprovecham iento del material y de m ayor exactitud en las de­

74

form aciones, que es, en sum a, progreso en el estudio y econo­mía en el sistem a.

Claro es, que la sustitución de una ley tan sencilla com o la de proporcionalidad por otra, aunque el tipo parabólico sea, en general, bastante cóm odo, da lugar a una com plicación m ucho m ayor en los cálculos de las tensiones y sobre todo en el m a­

nejo, que debe ser expedito, para fijación de las secciones; pero para los casos corrientes de flexión en perfiles rectangulares,

y a se ha dem ostrado en esos cálculos desarrollados, que no es nada prolijo, y , adem ás, si el resultado de un estudio arroja ex­presiones analíticas por com plicadas que sean, que reflejen el sentido físico del problem a, siem pre cabe medir la relativa in­fluencia de los térm inos, porque en cualquier caso la supresión

consciente de aquéllos, m enos influyentes, da un grado de aproxim ación m u y superior al arbitrario concepto de em plear un prudente coeficiente de seguridad.-

* * *

Decíam os, al principiar este discurso, que la T écn ica de la construcción era ciencia y arte.

Y a hem os visto el considerable avance que en esta ram a del saber se ha producido por las investigaciones de orden cientí­fico, en las que aún queda m ucho cam ino por recorrer y g ran ­des posibilidades de aquilatar la masa con estudios más apro­xim ados al límite de fatiga y con conocim iento más adecuado de las propiedades físicas del material em pleado.

Pero el concepto de arte en la construcción siem pre debe­rá perdurar afortunadam ente.

El estudio de la form a es de tal modo fundam ental que sólo de por sí constituye posibilidad de éxito.

Bien sabido es que el problem a planteado en una construc­ción estática o dinám ica es en su conjunto indeterm inado:

75

puede resolverse de múltiples maneras y antes de aplicar el cálculo es preciso hacer el trazado virtual de las directrices. En

este proceso previo, el arte y la sensibilidad personal ju egan un papel preponderante, pero luego hay que dar íorm a corpórea a la estructura, fijar sus dimensiones para que satisfagan impe­riosas necesidades materiales y el cálculo, apoyado en las pro­

piedades físicas de la materia, tiene que entrar de lleno, en su doble aspecto de determinación de reacciones y deform acio­nes, que deben dar un mínimo en el trabajo interior elástico

si se quiere llegar al m ayor aprovecham iento del material.Los materiales de construcción, como así todos los cuerpos

de la naturaleza, son heterogéneos y su aptitud es m uy distin­ta para unos esfuerzos o para otros, y del mismo modo los fa­bricados artificialmente. En los metálicos, por ejem plo, .su gé­nero de solicitación más adecuado es el régimen de tensión absoluta, exaltándose aún más esta facultad si se descomponen en fibras com o los cables. Por el contrario, en los pétreos, es el régimen de compresión el que resiste con mejor aprove­

chamiento.

Una construcción salva vanos, cubre espacios, transmite

cargas y , en sum a, puede cum plir esos fines con formas dis­tintas. El ideal es llegar a este resultado del modo m.ás aéreo

y más económ ico, con el mínimo de trabajo.Pero no se puede plantear la form a com o un problema de

m áxim o y mínimo, porque tiene m uchas más variables que

las precisas para la resolución analítica.

El genio del artista da a veces una solución intuitiva in­

superable y así se ve en algunos casos cóm o los trazados de bóvedas y cúpulas de Leonardo de V inci, hechos con tal per­fección que pueden ponerse com o ejem plo, no sólo por la be­lleza de su línea, sino tam bién porque constituyen envolventes de compresión perfectamente ajustadas al sistema de cargas.

76

La N aturaleza ofrece m aravillosos ejem plos, com o la cásca­

ra de huevo, capaz de soportar varios kilogram os, con espesor

m enor de una décim a de milímetro, los panales de abejas que tienen espléndida estabilidad estática, los caparazones de los m oluscos, las cristalizaciones de los cuerpos, y , en general,

cuantas form as ofrece el mundo mineral y anim al, de adm ira­

ble arm onía en su com posición.En época no lejana, durante el siglo x ix , se hicieron por

prim era vez, y luego se han imitado, los ingeniosos trazados para cubrir espacios form ando con m alla de cuerda el sistem a de equilibrio por tracción y solidificada esta retícula por lecha­

da de yeso, se tiene la figura invertida de la superficie adecua­da para constituir con m ateriales pétreos el sistem a de equili­

brio de com presión simple.

Si en una construcción se realizara este desiderátum de

que todos los elem entos trabajaran en el régim en más adecua­do a su constitución, se llegaría evidentem ente al m áxim o de la econom ía, al m ínim o de la materia y a la m ayor perfección

en la distribución de los esfuerzos.En la gran m ayoría de los casos, los elem entos resisten a

esfuerzos com binados, y desde luego, el de menor aprovecha­miento es el de flexión, en el que cam bian de sentido las ten­siones, dando com o siempre escaso rendim iento en las zonas de pequeña tensión y desarrollo inevitable de cargas tangen­ciales, para las que los materiales corrientes tienen escasa

aptitud.' De un modo general, puede afirm arse que si pudiera esta­

blecerse una condición de notoria econom ía en el plantea­miento de la form a, la ecuación debería interpretar el siguiente

criterio:

M áxim o de com presión o tracción.

M ínimo de flexión.

77

Fácilm ente se comprende que en algunos casos es casi imposible prescindir de las flexiones, pero, como concepto ge­neral, bien podemos establecer este principio, de plena confir­

mación.La habilidad del proyectista estriba principalmente en este

efecto y las líneas estructurales de una construcción serán tan­to más acertadas, si por el conocim iento de las cargas solici­tantes, com o datos, se conducen las fibras resistentes para que

envuelvan los esfuerzos simples de un mismo signo.Pero no debemos olvidar que en los esfuerzos de com pre­

sión nace un fenóm eno perturbador: el pandeo, que es, por

decirlo así, un límite que la N aturaleza pone a las exageracio­nes de la esbeltez y que suele ser la causa de efectos más per­niciosos para los inconscientes en el atrevimiento.

Y a se ve, pues, el amplio campo que tiene la T écnica de la construcción y la necesidad de invocar frecuentemente el auxi­lio de los hombres de ciencia en la resolución de los arduos problem as que la edificación moderna requiere, pero sólo para su planteo y para la determ inación de las líneas estructurales

necesita el ingeniero ir dotado de elementos cuyo concepto ge­

neral debe dominar.En pocos años, el progreso en esta ram a de la ciencia ha

sido enorme y es de esperar que surja con rápido em puje cuan­do, pasada esta locura que envuelve al mundo, cese el afán vesánico de destruir ciudades y venga con la penitencia el m ag­

nífico albor de la reconstrucción.

He dicho.

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