Diseño de controladores digitales en el dominio Z

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN, POSTGRADO Y DESARROLLO

ESPECIALIZACIÓN EN INSTRUMENTACIÓN Y AUTOMATIZACIÓN

DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES EN EL DOMINIO Z

PROFESOR : INGº SATURNO SARMIENTO ASIGNATURA : CONTROL DIGITAL FECHA : CIUDAD GUAYANA, MARZO DEL 2004

UNEXPO CATEDRA DE CONTROL DIGITAL DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES EN EL DOMINIO Z

1. EL PLANO Z, EL L.G.R. Y LOS PARÁMETROS rciclomuestreopoSdN #,,,, ωωωζ PARA LOS

SISTEMAS DISCRETOS.

Información sobre este tema se consigue, en forma muy amplia, en casi todos los textos de control digital que fueron sugeridos en la bibliografía. Por favor, revísese el libro texto. Especial atención debe ponérsele a los siguientes textos:

a. Digital Control System, Phillips and Nagle, Prentice Hall, Tercera Edición.

b. Sistemas de Control Automático, Benjamin Kuo, Prentice Hall, Septima Edición.

c. Digital Control Systems, Benjamín Kuo, Oxford, Segunda Edición

d. Digital Control Of Dynamic Systems, Franklin, Powell and Workman, Tercera Edición.

2. DISEÑO DE CONTROLADORES PID USANDO EL L.G.R. DISCRETO.

Las ideas de diseño de controladores PID, usando el L.G.R. discreto, siguen una metodología muy similar a la estudiada en teoría de control continuo. Debe tenerse en cuenta, entre otras cosas, que la frontera de estabilidad en el plano Z es el circulo unitario y no el eje imaginario. Para este apartado, en cuanto a bibliografía se refiere, también aplica lo dicho en el apartado 1. Se sugiere usar la herramienta de MATLAB RLTOOL.

)2)(1(

10)(++

=SS

sGP

PLANTA

.1.0 segT =

)(tr( )y t

)(te)(KTuC

+

−

( )y t SENSOR

1

)(zGC )(sGZOH

1 º . NFIG

Prof. INGº SATURNO SARMIENTO Page 2 of 8


3. CONTROLADORES QUE PRODUCEN RESPUESTA CON OSCILACIONES MUERTAS

Una diferencia entre un sistema de control continuo y un sistema de control de tiempo discreto es que este último es capaz de exhibir una respuesta con oscilaciones muertas. Una respuesta de este tipo es aquella que alcanza la trayectoria de referencia deseada en un tiempo mínimo sin error. La operación de muestreo permite a los sistemas en tiempo discreto ser capaces de tener un período transitorio finito.

La FIG Nº 2 muestra una respuesta temporal ante el escalón unitario con oscilaciones muertas.

2 Nº FIG.

T T2 T3 T4 T5 T6 T7 t

)(KTc

H. R. SIRISENA mostró en 1985 que un sistema de control en tiempo discreto, con el proceso controlado, puede ser descrito por:

[ ] ( )( )

11

1( ) ( ) ( )ZOH P

Q zG z G s G s

P z

−−

−= =Z Ec.1.

y para que este sistema tenga una respuesta con oscilaciones muertas ante una entrada escalón unitario, G debe ser: )(zC

1

1

( )( )(1) ( )CP zG z

Q Q z

−

−=−

Ec. 2.


Aquí Q(1) es el valor de Q(z-1) con Z-1 = 1.

UNEXPO CATEDRA DE CONTROL DIGITAL DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES EN EL DOMINIO Z La característica de un sistema de respuesta con oscilaciones muertas es que los polos de la función de transferencia de lazo cerrado están todos en Z = 0, con lo cual la sensibilidad de las raíces es muy alta.

La FIG. Nº 3 muestra el sistema de control a estudiar.

( )ZOHG s( )E s *( )E s( )R s ( )Y s

0.1 .T seg=+

−

( )Cu t

)127.0)(173.3(

26.0)(

++

−=

SS

SesPG

Figura N° 3: Sistema de control discreto a ser usado como modelo para poner en práctica los

conceptos emitidos.

4. CONTROLADORES QUE UTILIZAN EL ALGORITMO DE DAHLIN.

El algoritmo que se desarrolla a continuación fue propuesto originalmente por Dahlin e independientemente por Higham en 1968. El algoritmo es conocido como la Respuesta de Dahlin – Higham o simplemente Respuesta de Dahlin.

Este algoritmo es capaz de compensar tiempo muerto, pero también se puede usar para sistemas que no exhiban explícitamente tiempo muerto.

Dahlin en 1968 sugirió que la respuesta del sistema se corresponda con la de un sistema continuo de primer orden más tiempo muerto con ganancia unitaria, en lazo cerrado, ante una entrada escalón de altura “A”, es decir:

0

( ) *1

t S

C

AY sS Se

τ

−

=+

Ec. 3.

Donde es la constante de tiempo del sistema de lazo cerrado y es un parámetro ajustable. Cτ

De acuerdo a lo anterior se tiene que:

1( ) (1 )1( ) 1

NY z q ZR z qZ

− −−= −−

Ec. 4.

CqT

e τ=−

Ec. 5.

0tNT

= , Redondeado al entero más cercano Ec. 6.

q es un parámetro ajustable y N representa el número de muestras tomadas por tiempo muerto.



El algoritmo de control puede ser planteado de la siguiente manera:

( )( )

1

1

11( ) *( ) 1 1

N

C N

q ZG z

G z qZ q Z

− −

−

−=

− − − 1− − Ec. 7.

Ajuste del parámetro q:

El ajuste del parámetro q hace posible el ajuste de la respuesta de lazo cerrado a los requerimientos del proceso. Se puede ver de la Ec. 5 que q afecta la ganancia del controlador, pero su efecto depende, aunque no explícitamente, del parámetro de tiempo muerto N.

Si , la ganancia del controlador es máxima y la respuesta de lazo cerrado es del tipo Deadbeat (con oscilaciones muertas). La respuesta Deadbeat es:

0q =

( ) 1( )C z NZR z

− −= Ec. 8.

En otras palabras, la salida es forzada a seguir a la referencia y a mantenerse sobre ella en los primeros instantes de muestreo, es decir, en una muestra más que el número de muestras tomadas por tiempo muerto (la referencia se alcanza en la muestra N+1). Ver figura 4a.

Si (se aproxima a la unidad), la ganancia del controlador es reducida a cero. 1q→

Si , entonces la respuesta se aproxima exponencialmente a la referencia. Ver figura 4b. 0 q≤ <1

Mientras más grande sea q, más pequeña es la ganancia y más muestreos son requeridos para eliminar el error.

Para seleccionar el valor de q siempre hay un compromiso entre la velocidad con el cual el error es eliminado y el movimiento en la salida del controlador (el esfuerzo de control).

En la entonación del controlador, debemos siempre considerar la velocidad de respuesta de la variable controlada y el razonable movimiento de la salida del controlador (el esfuerzo de control).

Cálculo del parámetro N:

Teóricamente N se define como el número entero de muestras contenidas en el tiempo muerto. Ahora cabe preguntarse ¿Que valor de N debemos usar cuando este sea mayor que 0.5?. La respuesta es que resulta conveniente usar el entero más cercano por redondeo, ya que este será más representativo del verdadero tiempo muerto.



0

1

2 4 6 8 1210

0

N

( )r kT

( )y kT

( )k muestras.)a 0

1

2 4 6 8 1210

0

N

( )r kT

( )y kT

( )k muestras

q

.)b

FIG. N° 4: Especificaciones de la respuesta de lazo cerrado. a.) Respuesta Deadbeat: q = 0. b.) Respuesta de Dahlin: 0 q<1. ≤



PONIENDO EN PRACTICA LOS CONCEPTOS APRENDIDOS

1. CONTROLADORES PID QUE HACEN QUE EL SISTEMA RESPONDA A ESPECIFICACIONES DADAS EN EL DOMINIO TEMPORAL.

a) Para el sistema de control de la figura Nº 1, diseñe un controlador PID digital, G , usando el L.G.R. discreto, que haga que el sistema responda a las siguientes especificaciones. Para esto use ideas similares a las estudiadas en teoría de control continuo, tomando en cuenta que este diseño debe ser hecho en el plano Z. Se recomienda usar la herramienta de MATLAB RLTOOL.

)(zC

. unitaria rampa la ante 2.0≤SSe

. 5%1 ≤≤ PM

. 0.1 . 0.5 .rseg t seg≤ ≤

. 0.7 . para un 2% de y(t)St seg≤

b) Simule la respuesta temporal del sistema con el controlador hallado en el punto anterior, ante el escalón unitario, y llene la tabla N° 1. Dibuje la respuesta temporal y señale las especificaciones alcanzadas en su diseño.

TABLA N° 1:

%MP tP tr tS

2. CONTROLADORES QUE PRODUCEN RESPUESTAS CON OSCILACIONES MUERTAS (RESPUESTA DEADBEAT).

a) Para el D.B. de la figura Nº 3, discretice la planta usando un ZOH y diseñe un controlador digital, G , basado en la metodología de respuesta con oscilaciones muertas. )(zC

b) Simule la respuesta temporal del sistema con controlador, usando cinco cifras decimales para los parámetros constantes del controlador, ante el escalón unitario, y observe y comente lo que pasa con las oscilaciones. Llene la tabla N° 2.

TABLA N° 2:

%MP tP tr tS




c) Rediseñar el controlador utilizando solo dos cifras decimales para sus parámetros constantes. Esto significa que Ud. debe escribir el controlador solo con dos cifras decimales, es decir, truncando de la tercera cifra decimal en adelante.

d) Simule la respuesta temporal del sistema con controlador, usando solo dos cifras decimales para los parámetros constantes del controlador, ante el escalón unitario, y observe y comente lo que pasa con las oscilaciones. Llene la tabla N° 3.

TABLA N° 3:

%MP tP tr tS

e) Monte en una misma gráfica las dos respuestas, sin truncamiento (con cinco cifras decimales) y con truncamiento (solo con dos cifras decimales), y compárelas.

3. CONTROLADORES QUE UTILIZAN EL ALGORITMO DE DAHLIN. a) Para q = 0:

Para el diagrama de bloques de la FIG. Nº 3, discretice la planta con un ZOH y diseñe un controlador digital basado en el algoritmo de DAHLIN.

Simule la respuesta temporal del sistema con controlador, ante el escalón unitario, y observe lo que pasa con las oscilaciones. Llene la tabla N° 4.

TABLA N° 4

%MP tP tr tS

En cuál muestra la respuesta alcanza a la referencia: K = -----------------------.

b) Para q = 0.2, q = 0.5 y q = 0.8 repita el procedimiento de la parte a.)

c) Explique lo que sucede para q = 1.

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