FACULTAD DE CIENCIAS PECUARIAS

INGENIERIA EN PRODUCCION ACUICOLA

CONSULTA DE MÍNIMOS CUADRADOS

PRECENTADO POR: KEVIN ARNOL BOLAÑOS

PROFESOR: MARCO ANTONIO IMUEZ

UNIVERSIDAD DE NARIÑO

FACULTAD DE CIENCIAS PECUARIAS

NGENIERIA PRODUCCION ACUICOLA

2015

PROCEDIMIENTO DE MINIMOS CUADRADOS

Sea   un conjunto de n pares con abscisas distintas, y

sea   un conjunto de m funciones linealmente independientes (en un espacio vectorial de funciones), que se llamarán funciones base. Se desea

encontrar una función   de dicho espacio, o sea, combinación lineal de las funciones base, tomando por ello la forma:

.

Ello equivale por tanto a hallar los m coeficientes:  . En concreto, se

desea que tal función   sea la mejor aproximación a los n pares   empleando, como criterio de "mejor", el criterio del mínimo error cuadrático medio

de la función   con respecto a los puntos .

El error cuadrático medio será para tal caso:

Minimizar el error cuadrático medio es equivalente a minimizar el error cuadrático, definido como el radicando del error cuadrático medio, esto es:

OBTENCIÓN DE ECUACIONES NORMALES DEL MÍNIMO CUADRADO

Se obtiene un sistema de m ecuaciones con m incógnitas, que recibe el nombre de "Ecuaciones Normales de Gauss". Operando con ellas:

, para i=1,2, . . .,m

, para i=1,2, . . .,m

Si se desarrolla la suma, se visualiza la ecuación "i-ésima" del sistema de m ecuaciones normales: 

, para cada i=1,2, . . .,m

Lo cual, en forma matricial, se expresa como:

Siendo   el producto escalar discreto, definido para dos funciones dadas h(x) y g(x) como:

,y para una función h(x) y vector cualquiera u, como:

La resolución de dicho sistema permite obtener, para cualquier base de funciones derivables localmente, la función f(x) que sea mejor aproximación mínimo cuadrática al conjunto de puntos antes mencionado. La solución es óptima –esto es, proporciona la mejor aproximación siguiendo el criterio de mínimo error cuadrático–, puesto que se obtiene al optimizar el problema

ESTIMACIÓN DE βo Y β1

Los parámetros del modelo lineal se estiman a través del método de mínimos cuadrados. Llamamos β o ˆ y 1 βˆ a los estimadores de mínimos cuadrados de β o y β1 , para obtenerlos no es necesario hacer los supuestos 1,2 y 4, sólo el de LINEALIDAD. ♦

β o ˆ es un estimador insesgado deβ o

♦ βˆ1 es un estimador insesgado de β1

Esto significa que: ♦

β o ˆ tiene una distribución de muestreo con media βo y

βˆ1 tiene una distribución de muestreo con media β1

Recordar. La distribución de muestreo de β o ˆ y 1 βˆ se obtendría empíricamente repitiendo infinitas veces el experimento (5 ratas con las mismas dosis y en las mismas condiciones), y calculando para cada repetición las estimaciones β o ˆ y 1 βˆ de los parámetros.