DISEÑO DE MAQUINAS I

COLUMNAUna columna es una barra recta y larga que se somete a cargas axiales de compresión.

Debido a su forma las columnas tienden a deformarse lateralmente bajo la acción de una carga, y si la deflexión se hace mas grande fallan catastróficamente. Abaleo se define como una deformación grande y repentina de una estructura provocada por un ligero incremento de la carga existente, bajo la cual la estructura había presentado muy poca o ninguna deformación, antes del incremento de la carga.

Regímenes de equilibrio

Columnas cargadas concéntricamenteMaterial elástico lineal

En la Eq 1 se describe el momento comoEq 1

Para el equilibrio de la sección de la barra se requiere que . Sustituyendo esto en la Eq 1 se obtiene

Eq2

Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución general de esta ecuación es:

Eq 3

Donde las condiciones de frontera son:

Eq 4

Sin embargo, no puede ser igual a cero; de otra forma, existe una solución trivial de y la columna siempre permanecerá recta, lo cual es contrario a la experiencia que se tiene en la practica. La otra posibilidad de satisfacer la Eq 4, para que se cumpla:

Eq 5

Que se satisface cuando

Eq 6

Eq 7

Donde

El valor mas pequeño de se obtiene para . de esta forma, la carga critica para una columna con extremos articulados es

Eq 8

Se denomina carga de EulerLas columnas se diseñan de manera que la mayoría de su área de sección transversal se localice tal lejos como sea posible de los ejes centroidales principales de la sesión

Sustituyendo la Eq 6 y en la ecuación de deflexión (Eq 3) se obtiene la forma del alabeo como

Eq 9

Cuando y

Eq 10

El radio de giro se proporciono en la ecuación Re 1. Sustituyéndolo en la Eq 8 se obtiene el esfuerzo critico para la ecuación de Euler como:

Eq 11

Alabeo inelástico

Con frecuencia la Eq 11 se modifica como:

Eq 12

Donde es el modulo tangente (es decir, el modulo elástico en el nivel de esfuerzo en la columna).

La anterior ecuación se denomina el modulo tangente u ecuación de Essenger.

Condiciones de los extremosLa carga y el esfuerzo critico que se proporcionaron en las Eq 8 y 11, respectivamente, se modifican simplemente reemplazando con la longitud efectiva de la condición del extremo correspondiente. Sustituyendo por en las Eq 8 y 11 se obtiene:

Eq 13

Eq 14

Estas ecuaciones de la carga y el esfuerzo críticos de los criterios de Euler son validas para cualquier condición de los extremos.

En la anterior tabla se presentan las recomendaciones mínimas del American Institute of Steel Construction (AISC)

Criterio de alabeo de EulerEl criterio del American Instituted of Steel Construction (1989) supone que existe el limite proporcional de un material a la mitad de la resistencia a la frecuencia, o que el esfuerzo permisible para el alabeo elástico es:

Eq 15

Sustituyendo la Eq 15 en la 14, se obtiene la razón de esbeltez por medio de la formula de Euler como:

Eq 16

Criterio de alabeo de JohnsonDado el cambia abrupto en la curva de Euler cuando se aproxima a la resistencia la fluencia se requiere una modificación empírica propuesta por Johnson quien consigue esta modificación mediante una ecuación parabólica.

Ecuación de Johnson

Eq 17

Para determinar el valor de , se igualan las ecuaciones de Euler y Johnson (Eq 14 y 17):

Eq 18 Despejando se obtiene

Eq 19  

Si , se deberá usar la ecuación de Johnson del esfuerzo; si , se deberá usar la ecuación de Euler

Relación entre la ecuación de Euler y la Johnson

Áreas de secciones transversales sometidas a pandeo

Criterio del AISCEn las ecuaciones de las AISC se hacen correcciones por reducciones en el modulo elástico cuando el esfuerzo en la columna excede el limite de proporcionalidad.

El esfuerzo normal permisible para el alabeo elástico esta dado por:

Eq 20

Para alabeo inelástico

Eq 21

Donde

razón de esbeltez para el alabeo de Euler definido por la Eq 16 reducción en el esfuerzo permisible dada por

Eq 22

La American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) usan tanto para alabeo elástico como inelástico

Columnas cargadas excéntricamente

El momento interno de una columna es:

Eq 23

Ecuación diferencial para la curva de deflexión:

Eq 24

Si la excentricidad es cero, las Eq 24 y 1 son idénticas. La solución general para la Eq 24 es:

Eq 25

Las condiciones de frontera son

1. , 2. ,

Al derivar la Eq 25 se obtiene

Eq 26

Con la Eq 26 y la condición de frontera 2 resulta:

Eq 27

Sustituyendo y la Eq 27 en la 25 se obtiene:

La deflexión máxima ocurre en

Eq 28

Eq 29

El esfuerzo máximo en la columna es causado por la carga axial y por el momento. El momento máximo ocurre a media altura de la columna y tiene una magnitud de:

Eq 30

El esfuerzo máximo y de deflexión es:

Utilizando la Eq 30 se obtiene

Como el radio de giro es , la ecuación anterior se transforma en:

Eq 31

carga critica donde el alabeo ocurrirá en la columna con carga excéntrica, N. área de la sección transversal de la columna, excentricidad de la carga, medida desde el eje neutro del área de la sección transversal de la columna hasta la línea de acción de la carga, m. distancia desde el eje neutro a la fibra externa de la columna, m. radio de giro, m. longitud antes de la aplicación de la carga, m. modulo de la elasticidad del material de la columna, Pa.

Para las condiciones de los extremos no articulados, la longitud se reemplaza con la longitud efectiva y las Eq 29 y 31 se transforma en:

Eq 32 Eq 33

El parámetro se denomina la razón de excentricidad. La Eq 32 se conoce como ecuación de la secante. Observe en la Eq 33 que no es conveniente calcular la carga explícitamente.

Si , la Eq 33 se transforma en

Eq 34

Un dato inicial para es el valor que se obtiene de la condición de carga concéntrica:

Eq 35

Usando la Eq 35 en la 34 se obtiene un nuevo valor de . Este proceso se continua hasta:

Eq 36