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Diseño de observadores de estado de orden completo y reducido.
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7/16/2019 Diseño de observadores de estado - Henry Mendiburu Diaz
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Henry Mendiburu Diaz http://hamd.galeon.com
1
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO
CONCEPTO
TIPOS
1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO
1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO
1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN
1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO
1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB
2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO
2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO
2.2. METODOLOGÍA DE DISEÑO
3. OBSERVADOR PARA SISTEMAS MIMO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REFERENCIAS DE INTERNET
CONCEPTO:
Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar lasvariables o estados de un sistema en base a mediciones de las señales de salida yseñales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acercadel valor que toman dichos estados, permitiendo conocer un aproximado del valorreal, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error.
Se le considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software oprograma dentro de una computadora.
TIPOS:
Existen 2 tipos de observadores: observadores de orden completo, y observadores deorden reducido u orden mínimo.
Los observadores de orden Completo, son aquellos utilizados para observar oestimar todos los estados de un sistema.
Los observadores de orden Reducido, son aquellos utilizados para observar oestimar solo algunos estados de un sistema.
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2
1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO
Dado el sistema:
DxCx y
Bu Ax x
donde: x Vector de estado (n x 1) u Señal de control (escalar)
y Señal de salida (escalar) A Matriz (n x n) B Matriz (n x 1) C Matriz (1 x n)
D Matriz (escalar)
Se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresión:
)( y y L Bu x A x
donde:
L Vector de ganancias que permiten la observación de estados (1 x n) x Vector de estados estimados y Salida estimada
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3
Debe notarse que las matrices A, B, C, D son las mismas tanto para un sistema realcomo para el sistema estimado. Para los cálculos siguientes se asume que el valor deD es cero.
La diferencia existente entre x y x se denomina error de observación, y el término)( y y L se denomina factor de corrección.
Para determinar el error de observación restamos x x , así tenemos:
))((
)()(
)()(
)(
))(()(
x x LC A x x
x x LC x x A x x
xC Cx L x x A x x
y y L x A Ax x x
y y L Bu x A Bu Ax x x
Si se sabe que el error esta definido como la diferencia entre el estado real y el estado
estimado, entonces se tendrá:
e LC Ae
x xe
x xe
)(
A partir de esta expresión se puede conocer el comportamiento dinámico y laestabilidad del sistema, si la matriz |A-LC| es estable, entonces el observador harábien su trabajo, y dada cualquier condición inicial, el sistema tenderá a un error cero.
La elección de correctos valores para el vector de observabilidad L, permitirá que elcomportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y losuficientemente rápido para tender a un valor de cero.
La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica del error sedetermina mediante los autovalores de la matriz |A-LC|, dados por el polinomiocaracterístico |sI-A+LC|.
Existe una condición necesaria, la cual consiste en que el sistema obtenido seaestable y completamente controlable y observable.
Ejemplo:
Determinar la ecuación característica del sistema siguiente, si se le agrega un
observador de estados L.
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4
x y
u x x
10
1
0
41
20
Solución.
Si el sistema es de orden 2, es de suponer que el observador también será de orden 2,
y lo podemos definir como
2
1
L
L L
Luego el polinomio característico estará dado por:
2
1
2
1
0
0
41
20
0
0
1041
20
10
01
L
L
s
s LC AsI
L
Ls LC AsI
)2()4(
)2()4(
41
2
122
12
2
1
Ls Ls LC AsI
L Lss LC AsI
Ls
Ls LC AsI
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO
1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO
Analizando la respuesta del ejemplo anterior nos podemos dar cuenta que los valoresque toman L1 y L2 están condicionadas por las raíces del polinomio, las cuales a suvez están condicionadas por las características con que queremos que cuente elsistema, por tanto se puede elegir raíces de tal modo de poder controlar la respuesta
del sistema en lazo cerrado.
Por lo tanto podemos asumir valores para dichas raíces, a los que llamaremos 1 y 2 de modo tal que el polinomio tenga una respuesta estable. Luego por simpleequivalencia de términos podemos hallar el valor de las incógnitas.
Ejemplo:
Dado el polinomio característico del ejemplo anterior: s2+(4+L2)s+(2+L1),
encontrar el valor de L1 y L2 si se quiere que los polos deseados del sistema se
ubiquen en -4 y -3.
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5
Solución.
Las raíces del polinomio son 1 = -4 y 2 = -3127)3)(4())(( 2
21 ssssss
Luego por equivalencia |sI A + LC| = s2
+ 7s + 12
Es decir, s2
+ (4 + L2)s + (2 + L1) = s2
+ 7s + 12
s2
= s2
donde (4 + L2)s = 7s L2 = 3 (2 + L1) = 12 L1 = 10
Podemos generalizar la metodología seguida anteriormente, de la siguiente manera:
Si tenemos que [ 1 2 3 n] son los autovalores deseados para la matriz delobservador |A-LC|, estos conforman el polinomio característico:
(s- 1) (s- 2) (s- 3) (s- n)
Este polinomio se iguala al polinomio característico original |sI-A+LC|, creándoseuna equivalencia entre términos:
|sI-A+LC| = (s- 1) (s- 2) (s- 3) (s- n)
Resolviendo la equivalencia se podrá encontrar el valor del vector L.
NOTA: Este método esta restringido a sistemas de hasta 3er orden, además el sistemadebe estar en la forma canónica observable.
Es aconsejable que los polos del observador sean de 3 a 5 veces mayores (másnegativos) que los polos del controlador por realimentación de estados, pero sinsalirse de la región de estabilidad dada por el lugar geométrico de las raíces. Laelección de los polos deseados van a determinar las características de la respuestaobtenida, por lo que puede existir un conjunto infinito de vectores L como solución,de las cuales solo un limitado número de soluciones cumplen con las necesidades
requeridas para el sistema (como por ejemplo: sobreimpulso, velocidad de respuesta,etc. del sistema estimado), por lo que se aconseja probar, mediante simulación, larespuesta del sistema a diferentes valores de polos escogidos.
1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN
La formula de Ackerman aplicada al diseño de observadores de estado, esta dadapor:
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6
1
0
0
)(
1
1nCA
CA
C
A L
En donde )( A es equivalente a )(s , que es el polinomio característico deseado,pero en vez de la s se coloca la matriz A .
Ejemplo:
Para el siguiente sistema, determinar el vector de observadores de estados L, si se
quiere que los polos deseados se ubiquen en -3+j y -3- j
x y
u x x
10
10
2110
Solución.
Si (s) = (s- 1) (s- 2) = (s+3-j) (s+3+j) = s2+ 6s + 10
por lo tanto (A) = A2
+ 6A + 10I
4
9
0
1
14
49
1
0
01
12
100
010
126
60
32
21
1
0
21
10)106(
12
L
L
L
I A A L
1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO
1°) Determinar la controlabilidad del sistema y la observabilidad
Controlabilidad: B A AB BWcn 1
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7
Observabilidad:
1n
CA
CA
C
Wo
2°) Calcular el polinomio característico original |sI-A|, el cual será : |sI-A| = sn
+ a1sn-1
+ a2sn-2 + + an-1s + an = 0
3°) Es conveniente trabajar con las ecuaciones de estado en su forma canónicaobservable, si no se encuentra en esta forma, se debe determinar una matriz detransformación para llevarla a esta forma, la cual se define como:
Q = (W x Wo)-1
En donde Wo es la matriz de observabilidad, y W se define como:
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
W
nn
nn
En donde a1, a2, an-2, an-3, son los coeficientes del polinomio característicooriginal |sI-A|.
4°) Se determina el polinomio característico deseado a partir de (s- 1) (s- 2) (s- 3)
(s- n), donde i es un polo deseado, obteniéndose: sn
+ b1sn-1
+ b2sn-2 + + bn-1s + bn
5°) Finalmente el vector L se encuentra a partir de la siguiente expresión:(*)
11
22
11
ab
ab
ab
ab
Q L nn
nn
nn
Ejemplo:
Para el siguiente sistema, determinar el vector de observadores de estados L, si se
quiere que los polos deseados se ubiquen en -5, -2+j y -2- j
(*)
La deducción de esta expresión puede encontrarse en el libro Ingeniería de Control Moderna ,Katsuhiro Ogata, 3ra Edición, Cáp.12, Pág. 817-820.
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8
x y
u x x
0011
0
0
212
100
010
Solución.
1°) Controlabilidad
321
210
100
Wc
rank(Wc) = 3det(Wc) = -1
El sistema es controlable
Observabilidad
100
010
001
Wo
rank(Wo) = 3 det(Wo) = 1
El sistema es observable
2°)
212
100
010
00
00
00
s
s
s
AsI
212
22
2)12(
212
10
01
321
322
1323
2
aaa
asasassss AsI
sss AsI
s
s
s
AsI
3°) Q = ( W x Wo )-1
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9
321
210
100
001
012121
100
010001
001
012121
001
012
121
001
01
1
1
12
Q
WoW
a
aa
W
4°) (s - 1) (s - 2) (s - 3)
= (s + 5) (s + 2 + j) (s + 2 - j)
= (s + 5) (s2 + 4s + 5)
= s3
+ 9s2+ 25s + 25 s
3+ b1s
2+ b2s + b3
25259 321 bbb
5°)
7
24
23
321
210
100
11
22
33
ab
ab
ab
Q L
4
10
7
3
2
1
L
L
L
L
1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB
Se puede hacer uso del software Matlab, para lo cual se emplea el comando acker o
el comando place.
Dado el sistema DxCx y
Bu Ax x, y un vector de polos deseados:
nP 21
Se puede obtener un observador de estados utilizando:
L = place (A ,B ,P) o también L = acker (A ,B ,P)
Ejemplo:
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10
Para el siguiente sistema, determinar el vector de observadores de estados L, si se
quiere que los polos deseados se ubiquen en -2, -1+j y -1- j
x y
u x x
002
1
00
123
100010
Solución.
>> A = [0 1 0; 0 0 1; -3 -2 -1]; >> C = [2 0 0];>> P = [-2 -1+j -1- j];
>> L = acker(A',C',P)' L =
1.50000.5000
-3.0000
>> L = place(A',C',P)' L =
1.5000
0.5000-3.0000
Ejemplo:
Para el siguiente sistema, determinar el vector de observadores de estados L
aplicando los 4 métodos antes descritos, si se quiere que los polos deseados se
ubiquen en -2, -3+0.5j y -3-0.5j
x y
u x x
100
1
0
0
210
101
400
Solución.
1°) METODO COMPLETO
Controlabilidad Observabilidad
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11
321
210
840
Wc
rank(Wc) = 3det(Wc) = 16
El sistema es controlable
321
210
100
Wo
rank(Wo) = 3 det(Wo) = -1
El sistema es observable
Polinomio característico original
412
42
4)12(
210
11
40
210
101
400
00
00
00
321
322
1323
2
aaa
asasassss AsI
sss AsI
s
s
s
AsI
s
s
s
AsI
Q = ( W x Wo )-1
001
012121
001
011
1
12
aaa
W
100
010
001
321
210
100
001
012
121
WoW
100
010
001
Q
Polinomio característico deseado
(s - 1) (s - 2) (s - 3)
= (s + 2) (s + 3 + 0.5j) (s + 3 0.5j)
= (s + 2) (s2+ 6s + 9.25)
= s3
+ 8s2+ 21.25s + 18.5 s
3+ b1s
2+ b2s + b3
5.1825.218 321 bbb
Vector Observador
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12
6
25.20
5.14
100
010
001
11
22
33
ab
ab
ab
Q L
6
25.20
5.14
3
2
1
L
L
L
L
2°) METODO ABREVIADO
))()(( 321 sss LC AsI
3
2
1
3
2
1
00
00
00
210
11
40
100
210
101
400
00
00
00
L
L
L
s
s
s
LC AsI
L
L
L
s
s
s
LC AsI
3
2
1
210
11
40
Ls
Ls
Ls
LC AsI
)4()1()2(
)4()12(
122
33
1232
Ls Ls Ls LC AsI
L LssLss LC AsI
Polinomio deseado
5.1825.218)5.03)(5.03)(2())()(( 23321 sss js jsssss
Luego por equivalencia s3 + (L3)s2 + (1 + L2)s + (4 + L1) = s3
+ 8s2+ 21.25s + 18.5
(2+L3)s2 = 8s2 L3 = 6 donde (1 + L2)s = 21.25s L2 = 20.25
(4 + L1) = 18.5 L1 = 14.5
3°) METODO POR FORMULA DE ACKERMAN
Si (s) = (s- 1) (s- 2) (s - 3) = s
3
+ 8s
2
+ 21.25s + 18.5
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13
por lo tanto (A) = A3
+ 8A2
+ 21.25A + 18.5I
1
0
0
001
012
121
100
010
001
51.18
210
101
400
25.21
210
101
400
8
210
101
400
1
0
0
321
210
100
)5.1825.218(
23
1
23
L
I A A A L
0
0
1
825.86
25.325.825.20
33245.14
L
6
25.20
5.14
3
2
1
L
L
L
L
4°) USANDO MATLAB
>> A = [0 0 -4; 1 0 -1; 0 1 -2]; >> C = [0 0 1]; >> P = [-2 -3+0.5j -3-0.5j];
>> L = acker(A',C',P)' L =
14.500020.25006.0000
>> L = place(A',C',P)' L =
14.500020.25006.0000
2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO
En la práctica no todas las variables necesitan ser observadas, habrá algunas que sepodrán medir directamente y con buena precisión, por tanto no será necesario un
observador que estime todos los estados, sino más bien solo algunos de ellos.
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14
Si se cuenta con un vector de estados X de dimensión (n x 1) del cual m estadospueden ser medibles, se tendrá que el orden del observador será (n-m x 1).
El vector X puede ser dividido en 2 vectores:
Xa que corresponde a los estados medidos, de orden (m x 1) Xb que corresponde a los estados observados, de orden (n-m x 1)
X1 Xm Estados conocidos o medibles
Xm+1 Xn Estados no conocidos que requieren ser observados
Obteniéndose:
Xb
XaCbCaY
u Bb
Ba
Xb
Xa
Abb Aba
Aab Aaa
b X
a X
Las dimensiones de las sub-matrices son:
Aaa m x m Aab m x n-m
Aba n-m x m
1
2
1
2
1
nn
m
m
m
X
X
X
X
X
X
X
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Abb n-m x n-mBa m x 1 Bb n-m x 1 Ca 1 x m
Cb 1 x n-m
El sistema queda reducido a la siguiente expresión:
u Bb Xb Abb Xa Abab X
u Ba Xb Aab Xa Aaaa X
2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO
En el diseño de observadores de orden completo, el sistema era descrito por
DxCx y
Bu Ax x
En cambio para el diseño de observadores de orden reducido el sistema es descritopor
la Ecuación de Estado: u Bb Xb Abb Xa Abab X
y por la Ecuación de Salida: Xb Aabu Ba Xa Aaaa X
De estos 2 sistemas se pueden establecer una serie de equivalencias:
Observador Orden Completo Observador Orden Reducido
X b X A Aab
u B u Bb Xa Aba
Y u Ba Xa Aaaa X
Y b X Aab
C Aab
Cabe mencionar que se busca encontrar un vector de observadores L, de orden (n-m
x 1)
En el diseño de observadores de orden completo se determino la siguiente ecuación:
)( y y L Bu x A x
La cual puede llevarse a su correspondiente equivalencia para el caso deobservadores de orden reducido, obteniéndose la siguiente representación:
(*)
(*) La deducción de esta expresión puede encontrarse en el libro Ingeniería de Control Moderna ,
Katsuhiro Ogata, 3ra
Edición, Cáp.12, Pág. 832-833.
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)()( u Ba Xa Aaaa X Lu Bb Xa Abab X Aab L Abbb X
y la Ecuación del Error es: e Aab L Abbe )(
La Ecuación Característica para el observador es la siguiente:
|sI Abb + L.Aab| = si+ a1s
i-1+ a2s
i-2 + + ai-1s + ai = 0
donde i equivale al orden de L, es decir (n-m)
2.2. METODOLOGÍA DE DISEÑO
Se pueden aplicar los mismos métodos usados para hallar los observadores de ordencompleto, pero tenemos que hacer una variación la cual consiste en reemplazar losíndices: en vez de considerar el índice n , se debe considerar el índice i . Porejemplo si un sistema es de orden 4 y tiene un estado medible, entonces m=1, y portanto el sistema observado será de orden 3 (n m = 4 1 = 3 = i).
El otro cambio que hay que hacer es realizar una equivalencia entre las matrices,dada de la siguiente manera:
Aaa DAab C
Aba BAbb A
Lo que resta por hacer, es aplicar la misma metodología que para los observadores de
orden completo, considerando el nuevo orden del sistema (i) y las nuevas matrices
del sistema (Abb, Aba, Aab, Aaa).
Ejemplo:
Para el siguiente sistema, suponga que el estado X1 se puede medir con precisión,
diseñe el observador de orden reducido L aplicando los 4 métodos antes descritos, si
se quiere que los polos deseados se ubiquen en -3+0.5j y -3-0.5j
x y
u x x
001
1
0
0
6116
101
010
Solución.
Nuevo orden para el sistema observado: 3 1 i = 2
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17
Nuevas matrices del sistema:
D Aaa
C Aab B Aba A Abb
611
10
6
0010 Abb Aba Aab Aaa
1°) METODO COMPLETO
Controlabilidad
66
60 Aba Abb AbaWcr
rank(Wc) = 2det(Wc) = -36
El sistema es controlable
Observabilidad
10
01
Abb Aab
AabWor
rank(Wo) = 2 det(Wo) = 1
El sistema es observable
Polinomio característico original
611
1
611
10
0
0
s
s
s
s AbbsI AsI
116
116
21
2122
aa
asasss AbbsI
Q = ( W x Wo )-1
01
16
01
11aW
01
16
10
01
01
16Wor W
61
10Q
Polinomio característico deseado(s - 1) (s - 2)
= (s + 2 + 3.4641j) (s + 2 3.4641j)
= s2
+ 4s + 16 s2
+ b1s + b2
164 21 bb
Vector Observador
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18
2
5
61
10
11
22
ab
abQ L
172
2
1
L L L
2°) METODO ABREVIADO
))((][ 21 ss Aab L AbbsI LC AsI
¨
611
1
0
0
611
1
01611
10
10
01
2
1
2
1
2
1
s L
Ls Aab L AbbsI
L
L
s
s Aab L AbbsI
L
L
s Aab L AbbsI
)11()6(
)11()6)((
212
21
Ls Ls Aab L AbbsI
Ls Ls Aab L AbbsI
Polinomio deseado164))(( 2
21 ssss
Luego por equivalencia
6 + L1 = 4 L1 = -26 L1 + 11 + L2 = 16 L2 = 17
3°) METODO POR FORMULA DE ACKERMAN
Si (s) = 164))(( 221 ssss
por lo tanto (A) (Abb)= Abb2
+ 4Abb + 16I
1
0
10
01
10
0116
611
104
611
10
1
0)164(
12
12
L
Wor I Abb Abb L
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19
17
2
1
0
1722
25
2
1
L
L L
L
4°) USANDO MATLAB
>> Aaa = [0]; >> Aab = [1 0]; >> Aba = [0; -6]; >> Abb = [0 1; -11 -6];
>> P = [-2 + 3.4641j -2-3.4641j];
>> L = acker(Abb', Aab',P)' L =
-217
>> L = place(Abb', Aab',P)' L =
-217
3. OBSERVADOR PARA SISTEMAS MIMO
Hasta el momento hemos visto el diseño de observadores para sistemas SISO (singleinput, single output), es decir, sistemas que tienen una entrada y una salida. Acontinuación vamos a estudiar el diseño de observadores para el caso de sistemas con
varias entradas y varias salidas, llamados sistemas MIMO (multiple input, multipleoutput).
Un sistema MIMO puede ser descrito de la siguiente manera:
r qnq
r
u DC y
u B Ax x 1
donde: x Vector de estado (n x 1) u Señal de control (1 x r)
y Señal de salida (escalar) A Matriz (n x n) B Matriz (n x r)
C Matriz (q x n)
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20
D Matriz (q x r)n Es el orden del sistema (numero de estados) r Es el número de entradas q Es el número de salidas
En el diseño de observadores, se sabe que el número de entradas que tenga elsistema, no afectará el diseño del observador, puesto que estos datos no intervienenen los cálculos.
En cambio, el número de salidas con que cuente el sistema si afecta el diseño delobservador. En este caso se aplica el Principio de Separabilidad Lineal, el cualconsiste en separar las salidas y trabajarlas como si fueran provenientes de sistemasdistintos.
Ejemplo:
Si se tiene la siguiente matriz C (matriz de salidas)654
321C
Esta se podrá descomponer bajo el Principio de Separabilidad Lineal, en dos sub-matrices: 654321 21 C yC
Para cada una de estas nuevas matrices se requerirá un observador independiente: L1
y L2, cuyo orden será de (n x 1), en este caso será de (3 x 1) c/u. Así mismo cadaobservador requiere de polos deseados , los cuales pueden ser independientes otambién comunes, siempre que cumplan con dar estabilidad al sistema y dependiendode las condiciones de respuesta que se desee obtener al estimar cada salida.
Ejemplo:
Para el siguiente sistema, determinar la matriz de observadores de estados L, si se
quiere que los polos deseados se ubiquen en -1 y -2 para la primera salida, y -1- j, y
-1+j para la segunda salida.
x y
u x x
10
01
1055 10
Solución:
C1 = [1 0] C2 = [0 1]
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21
22
21
12
11
2122
21
212
11
1 L
L
L
L L L L
L
L L
L
L L
METODO COMPLETO
Controlabilidad
51
10 B A BWc
rank(Wc) = 2det(Wc) = -1
El sistema es controlable
Observabilidad
10
01
1
11
AC
C Wo
rank(Wo) = 2 det(Wo) = 1
El sistema es observable
55
10
2
22
AC
C Wo
rank(Wo) = 2det(Wo) = 5
El sistema es observable
Polinomio característico original
55
1
55
10
0
0
s
s
s
s AsI
55
55
21
2122
aa
asasss AsI
DISEÑO DEL PRIMER OBSERVADOR (L1)
Q = ( W x Wo1 )-1
01
15
01
11aW
01
15
10
01
01
15
1
WoW
51
10Q
Polinomio característico deseado(s - 1) (s - 2)
= (s + 1) (s + 2)
= s2 + 3s + 2 s2 + b1s + b2
23 21 bb
Vector Observador
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22
2
3
51
10
11
221
ab
abQ L
72
12
11
1 L L L
DISEÑO DEL SEGUNDO OBSERVADOR (L2)
Q = ( W x Wo2 )-1
01
15
01
11aW
10
05
55
10
01
152WoW
10
02.0Q
Polinomio característico deseado(s - 1) (s - 2)
= (s + 1+j) (s + 1- j)= s
2+ 4s + 5 s2 + b1s + b2
22 21 bb
Vector Observador
3
3
10
02.0
11
222
ab
abQ L
3
6.0
22
21
2 L
L L
3
6.0
7
2
22
21
12
11
21 L
L
L
L
L L L
Se puede obtener los mismos resultados usando Matlab:
>> A = [0 1; -5 -5]; >> B = [0; 1]; >> C = [1 0; 0 1]; >> C1 = C(1,:); >> C2 = C(2,:);
>> P1 = [-1 -2] ;
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23
>> P2 = [-1+j -1- j]
>> L1 = acker(A ,C1 ,P1)L1 =
-2.00007.0000
>> L2 = acker(A ,C2 ,P2)L2 =
0.6000-3.0000
>> L = [L1 L2]; L =
-2.0000 0.6000
7.0000 -3.0000
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Chi Tsong Chen
Linear System. Theory and DesignOxford University Press. 3
raEdición. USA. 1998
Katsuhiko Ogata
Ingeniería de Control ModernaPrentice Hall. 3ra Edición. México. 1998
Michael O Flynn
Linear Systems. Time Domain and Transform AnalysisWiley. Singapore. 1987
Donald M. Wiberg Espacio de Estado y Sistemas Lineales
Mc.Graw-Hill. México. 1971
MathWorks Inc
MATLAB User´s Guide, Toolbox deCcontrol.Versión 5.3. USA. 1998.
Apuntes de clases de Teoría de Sistemas Lineales.
Maestría en Ingeniería de Control y Automatización Pontificia Universidad Católica del Perú
REFERENCIAS DE INTERNET
http://www.manufacturing.net/ http://www.prodigyweb.net.mx/saucedo8/ http://www.fiobera.unam.edu.ar/Materias/ControlDigital/home.text.html
Henry Mendiburu Díaz
Ingeniero Electrónico