Diseno~ de un Sistema Avanzado de Guiado y Control para ... · aerodin amico de aletas en cola, de un importante momento de control adicional conse- guido a partir del chorro de gases

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS

Tesis Doctoral

Diseno de un Sistema Avanzado de

Guiado y Control para Misiles con

Doble Mando Aerodinamico

INVESTIGACION AEROESPACIAL UNIVERSITARIA

PREMIOS EJERCITO DEL AIRE 2016

Este trabajo es una version redactada de la tesis doctoral: Optimiza-

tion of the Integrated Guidance and Control for a Dual Aerodynamic

Control Missile, defendida ante tribunal academico en la ETS Inge-

nieros Aeronauticos de la Universidad Politecnica de Madrid en el ano

2015. El original de la tesis se presento en ingles obteniendo la califica-

cion Sobresaliente Cum Laude. La presente version es una traduccion

al castellano de dicho trabajo, adaptada ligeramente en su formato y

extension, para poder presentarla al premio del Ejercito del Aire 2016

en su modalidad de Investigacion Aeroespacial Universitaria. Es, en

todo lo demas, una reproduccion fiel del original. Se entrega junto a

este documento una version impresa del original de la tesis doctoral

tal y como fue presentada en ingles, como referencia.

i

Resumen

La presente investigacion pertenece al campo de la aeronautica y mas concretamente

al guiado y control aerodinamico de los misiles aire-aire con aplicacion militar.

La Tesis desarrolla un nuevo sistema de interaccion del guiado y control tal que

proporcione a un misil con doble mando aerodinamico (con aletas delanteras y en cola)

de una extraordinaria maniobrabilidad, que le permita la defensa o ataque contra blan-

cos aereos situados en todo el volumen esferico alrededor del avion lanzador, incluido

el hemisferio posterior.

Los misiles aire-aire, dadas las altas caracterısticas dinamicas del lanzador y del

blanco (dos vehıculos aereos de combate), requieren poseer una elevada maniobrabilidad

para efectuar su mision.

Dado el medio en que se desplazan, la atmosfera, la forma mas logica para efectuar

las maniobras es el generar y utilizar fuerzas y momentos de control aerodinamicos. Ası

se ha realizado desde la decada de los 50 hasta la del 2000, utilizando un unico conjunto

de aletas moviles situadas bien en la parte delantera (canards) o en la central o en la

cola. El movimiento de estas aletas producıa los pares aerodinamicos que hacıan girar el

vehıculo para dotarle de un angulo de ataque que, a su vez, generaba la fuerza normal

y la consiguiente aceleracion normal (maniobra) del misil. Pero ya en los anos 2000

las exigencias dinamicas del combate aereo aumentaron en grado extremo al aumentar

la maniobrabilidad de los aviones y, sobre todo, al aparecer los UAV (Unmaned Air

Vehicles) que, al no estar pilotados, podıan realizar maniobras muy altas no limitadas

por la supervivencia del hombre.

La respuesta en el diseno del misil para esas nuevas demandas ha sido de dos tipos.

Uno de ellos, al que se refiere esta Tesis, es dotar al misil de un doble mando aero-

dinamico, canards y cola. Otro es dotar al misil, ademas de un mando convencional

aerodinamico de aletas en cola, de un importante momento de control adicional conse-

guido a partir del chorro de gases del motor cohete, bien por movimientos de la tobera,

bien introduciendo aletas moviles en el chorro, o por otros metodos. El primer tipo de

misil, el de doble mando aerodinamico, esta aun en estado experimental y no ha sido

introducido en ningun misil aire-aire operativo. El estudio de su guiado y control no

es facil dado el complejo comportamiento de esa configuracion. Empleando los metodo

clasicos para ese estudio, como es el utilizar un lazo dinamico para el guiado y otro

ii

para el control , que se superaran drasticamente con esta invencion, la maniobrabilidad

que se alcanza con este misil, aunque es superior a la de sus predecesores con mando

aerodinamico simple (canard o aletas centrales o aletas de cola), no llega a satisfacer

las necesidades mencionadas para el moderno combate aire-aire, lo que si consiguen los

misiles con control hıbrido aerodinamico y chorro de gases.

Ahora bien, estos misiles hıbridos tienen dos desventajas principales frente al de

doble mando aerodinamico. La primera es su inherente complicacion de diseno y ma-

nufactura pues los mecanismos y materiales a utilizar para el control por chorro son de

complicada produccion, ya que deben trabajar con precision en un ambiente de muy

altas temperaturas y extremadamente erosivo, como es el chorro de un motor cohete.

La segunda, y operativamente muy importante, es que si en su trayectoria hacia el

blanco se termina la combustion del motor cohete, como no es anormal que ocurra, el

misil pierde toda la capacidad de control proveniente del chorro de gases, quedando

unicamente con el mando aerodinamico simple en cola que puede resultar insuficiente

para mantener el control con exito durante el resto de la trayectoria.

En esta Tesis se desarrolla un sistema de interaccion entre los subsistemas de guiado

y control de un misil con doble mando aerodinamico, que le permita alcanzar la ma-

niobrabilidad exigida en el combate aereo moderno, tal como lo consiguen los hıbridos

pero sin las desventajas descritas para estos.

iii

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Motivos para esta Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Misiles actuales con control aerodinamico . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Caracterısticas de la respuesta dinamica del misil . . . . . . . . 3

1.1.3. Propuesta de doble mando aerodinamico . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. El bucle de guiado y control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Revision de la Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2. Autopiloto y Guiado con control doble . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3. Integracion del Autopiloto y Guiado . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Esquema de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Aerodinamica del Misil con Doble Control y su Maniobrabilidad 21

2.1. Configuracion y fenomenos aerodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2. Acoplamiento Aerodinamico Canard-Cola . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3. Incidencia de los Controles y Saturacion Supersonica . . . . . . 30

2.2. Modelo Aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1. Fuerza Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Fuerza en Guinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3. Momento de Cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4. Momento de Guinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.5. Momento de Balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.6. Fuerza Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.7. Variaciones con el numero de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3. Maniobrabilidad Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1. Diagrama de maniobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2. Eficiencia Aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iv

INDICE GENERAL

3. Guiado y Control en Doble-Lazo 52

3.1. Guiado Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Dinamica de Corto Periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3. Formulacion en el Espacio de los Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4. Solucion Optima del Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.1. Condiciones de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.3. Solucion Sub-optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5. Ejemplos Guiado-Autopiloto en Doble-Lazo . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.1. Lanzamiento con error de apuntamiento moderado . . . . . . . 64

3.5.2. Calculos de dominio de tiro en curso de colision . . . . . . . . . 68

3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Guiado y Control Integrados 74

4.1. Planteamiento matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2. Resolucion del problema IGA-DAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.1. Ecuacion diferencial y condiciones de contorno . . . . . . . . . . 79

4.2.2. Resolucion mediante la ecuacion de Lyapunov . . . . . . . . . . 80

4.2.3. Controlador de pre-alimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.4. Procedimiento Practico de Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3. Ejemplos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.1. Errores de apuntamiento moderados . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.2. Trayectorias alejadas del curso de colision . . . . . . . . . . . . 86

4.4. Efectos de Ruido, Estimacion y Radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.1. Errores de Radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4.2. Efecto de los ruidos radar y su frecuencia de muestreo . . . . . . 94

4.4.3. Filtro Variable tipo Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.4. Evaluacion de la distancia de paso con ruidos radar . . . . . . . 97

4.4.5. Experimentos con la frecuencia de muestreo de datos . . . . . . 98

4.5. Defensa contra ataque por la cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.1. Soluciones previas y retos tecnologicos . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.2. Blanco de oportunidad en el hemisferio trasero . . . . . . . . . . 102

4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5. Conclusiones 112

5.1. Resumen de resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.1.1. Soluciones a las Preguntas de Investigacion . . . . . . . . . . . . 112

5.1.2. Implicaciones en el diseno del misil . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.3. Implicaciones teoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2. Limitaciones al Estudio y Areas de Desarrollo Futuras . . . . . . . . . . 119

v

INDICE GENERAL

5.2.1. Aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2.2. Guiado y control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A. Derivacion de Matrices y Producto de Kronecker A1

A.1. Estructuras de Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1

A.2. Producto de Kronecker y sus Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . A3

A.3. Algebra del Calculo de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A4

A.3.1. Derivada de Matrices Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . A5

A.3.2. Derivada de la Forma Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5

B. Teorıa de Control Optimo B1

B.1. Principio del Mınimo de Pontryagin para Misiles . . . . . . . . . . . . . B1

B.2. Ecuacion de Riccati Dependiente de los Estados . . . . . . . . . . . . . B3

C. Misil NASA NTCM Geometrıa y Modelo Aerodinamico C1

C.1. Geometrıa del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1

C.2. Parametros basicos y definicion de la mision . . . . . . . . . . . . . . . C3

D. Datos Aerodinamicos D1

D.1. Tablas de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D2

E. Coeficientes Aerodinamicos E1

F. Dinamica del Misil y Cinematica Terminal F1

F.1. Velocidad en ejes cuerpo y viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1

F.2. Angulos de Euler y Cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1

F.3. Ecuaciones cinematicas y dinamicas con cuaterniones . . . . . . . . . . F2

G. Elementos de Matrices en el Espacio-Estado G1

G.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G1

G.2. Elementos de la Matriz de Estado Aerodinamica . . . . . . . . . . . . . G1

G.3. Elementos de la Matriz de Entrada del Control . . . . . . . . . . . . . G4

G.4. Elementos de la Matriz de Control Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . G6

G.5. Elementos de la Matriz de Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . G8

G.6. Elementos de la Matriz de Actuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . G9

G.7. Elementos de la Matriz del Guiado-Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . G12

H. Tratamiento Analıtico del Error de Radomo y Ruidos Radar. H1

H.1. Buscador radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H1

H.2. Modelos Ruido Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H3

H.2.1. Destello (Glint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H3

H.2.2. Ruidos Independientes del Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . H4

vi

INDICE GENERAL

H.2.3. Ruidos en Distancia y Velocidad de Colision . . . . . . . . . . . H5

Bibliograf

vii

ıa

Indice de figuras

1.1. INTA Misil Banderilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Cohete Guiado Superficie-Aire Stunner , con control doble aerodinamico 7

1.3. Diagrama de guiado y control del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Evolucion de los dominios de tiro del misil. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Lıneas principales de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Interaccion entre control delantero y trasero . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Resultados experimentales para el misil NASA . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Modos de operacion del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Ejes y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Contornos de presion total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Modelo de interferencia entre controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Sustentacion del control aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Coeficiente de interferencia Kt−vc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Perdida de fuerza normal en la cola debido a la interferencia aerodinami-

ca entre canard y cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Saturacion supersonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8. Coeficiente de fuerza normal, dos controles. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9. Momento de cabeceo, un control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.10. Momento de cabeceo, dos controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.11. Balanceo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12. Balanceo inducido debido a α y δcr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.13. Momento de Control en Balanceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.14. Contornos a Mach constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.15. Fuerza Axial, un control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.16. Fuerza Axial, dos controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.17. Respuesta dinamica en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.18. Eficiencia aerodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.19. Diagrama de maniobra a 6,000m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.20. Diagrama de maniobra a 12,000m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

viii

INDICE DE FIGURAS

3.1. Esquema del guiado y control en dos bucles . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Encuentro aire-aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Constante de navegacion optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Diagrama de fuerzas en el misil de doble mando . . . . . . . . . . . . . 64

3.5. Guiado y Control en doble bucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6. Condiciones de lanzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7. Trayectoria del misil DAC, canard, cola y del blanco . . . . . . . . . . . 69

3.8. Acceleracion del misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.9. Angulos de los controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.10. Mach Misil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.11. Angulo de preservacion del guiado θg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.12. Dominio tiro misil cola con navegacion proporcional . . . . . . . . . . . 71

3.13. Dominio tiro misil canard con navegacion proporcional . . . . . . . . . 72

3.14. Dominio tiro misil cola con guiado optimo . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.15. Dominio tiro misil canard con guiado optimo . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.16. Dominio tiro misil control doble con guiado optimo . . . . . . . . . . . 73

4.1. Esquema del auto piloto y guiado integrados . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2. Escenario para el Guiado y control Integrado . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Algoritmo de calculo del sistema integrado . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4. Trayectoria, error de apuntamiento moderado . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5. Ratio de Aceleracion del misil vs Blanco , error de apuntamiento moderado 86

4.6. Parametros , error de apuntamiento moderado . . . . . . . . . . . . . . 87

4.7. Trayectorias alejadas del curso de colision. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.8. Ratio de aceleraciones misil a blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.9. Parametros, trayectorias alejadas del curso de colision . . . . . . . . . . 90

4.10. Esquema del guiado y control integrado con efectos reales . . . . . . . . 91

4.11. Definicion de los angulos del buscador radar . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.12. Sensibilidad a pendiente de radomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.13. Trayectoria del blanco medida por el radar. . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.14. Aceleracion del misil en presencia de ruido radar. . . . . . . . . . . . . 99

4.15. Error con esquema integrado y ruido radar. . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.16. Error con esquema no-integrado y ruido radar. . . . . . . . . . . . . . . 100

4.17. Variacion de la distancia de paso con la frecuencia de muestreo . . . . . 100

4.18. Trayectoria contra un blanco el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . . 104

4.19. Maniobra del misil, blanco en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . 105

4.20. Angulo de cabeceo, blanco en el hemisferio trasero. . . . . . . . . . . . 105

4.21. Parametros, blanco en el hemisferio trasero . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.22. Defensa contra un ataque por la cola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

ix

INDICE DE FIGURAS

4.23. Defensa contra un ataque por la cola, maniobra del misil. . . . . . . . . 110

4.24. Defensa contra un ataque por la cola, angulo de cabeceo. . . . . . . . . 110

4.25. Defensa contra un ataque por la cola, otros parametros . . . . . . . . . 111

5.1. Subsistemas en un misil de control doble . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

C.1. Geometrıa del misil base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C1

C.2. Experimentos en Tunel Aerodinamico en NASA y Onera. . . . . . . . . C2

F.1. Definicion de angulos de Euler para misiles . . . . . . . . . . . . . . . . F2

H.1. Dinamica del Buscador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H4

x

Indice de cuadros

1.1. Comparacion de control canard y cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Referencias JCR para autopilotos de doble control . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Referencias JCR para el guiado de misil DAC . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. Variables de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Limites para la envolvente de vuelo del misil . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1. Lımites mecanicos y aerodinamicos del misil . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2. Parametros: Simulaciones de Guiado y Control Doble Bucle . . . . . . 66

3.3. Doble-Bucle G & C Resultados Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1. Resultados de la simulacion, G & C Integrado vs Doble Bucle para misil

doble mando aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2. Parametros de ruido seleccionados para el radar activo . . . . . . . . . 97

4.3. Parametros de la simulacion. Blanco o de oportunidad en el hemisferio

trasero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4. Parametros de la simulacion defensa contra ataque desde cola . . . . . 107

C.1. Model Geometry Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C2

C.2. Guidance and Control Model Mission Specifications . . . . . . . . . . . C4

D.1. CN Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D2

D.2. DATCOM Semiexperimental Method Results for CN . . . . . . . . . . D2

D.3. Numerical CFD experiments results for CN . . . . . . . . . . . . . . . . D3

D.4. Cm Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D3

D.5. Numerical CFD experiments results for Cm . . . . . . . . . . . . . . . . D4

D.6. CA Wind Tunnel Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D4

D.7. Numerical CFD experiments results for CA . . . . . . . . . . . . . . . D4

D.8. Numerical CFD experiments results for δcr = 5 deg . . . . . . . . . . . . D5

D.9. Numerical CFD experiments results for δcr = 10 deg . . . . . . . . . . . D5

D.10.CFD Numerical Experiments, Induced Rolling Moment . . . . . . . . . D6

D.11.CFD Numerical Experiments, Sideslip . . . . . . . . . . . . . . . . . . D7

xi

INDICE DE CUADROS

D.12.CFD Numerical Experiments, Roll Driving Moment . . . . . . . . . . . D8

E.1. Fin Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E1

E.2. Normal and Side Force Aero Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . E1

E.3. NASA Missile Pitch and Yaw Moment Aero Coefficients . . . . . . . . E2

E.4. NASA Missile Aero Roll Moment Coefficients . . . . . . . . . . . . . . E4

E.5. NASA Missile Axial Force Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . E6

E.6. Mach Dependence Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E7

xii

Nomenclatura

En esta seccion se da una lista de la notacion empleada a lo largo del cuerpo

principal de la tesis ası como su definicion. Para otras definiciones por favor consultese

la seccion del apendice. El resumen se divide en nomenclatura matematica general,

su ındices y superındice es, letras griegas y latinas, coeficientes aerodinamicos y sus

derivadas, y abreviaciones y acronimos. A lo largo de la tesis las unidades estan en el

sistema internacional a no ser que especıficamente se indique lo contrario.

NOTACION MATEMATICA GENERAL

A⊗B Kronecker product

a ∧ b Vector cross product

A Matriz

AT Matriz transpuesta

‖A‖p Norma-P de una matriz

a Vector columna

aL Los componentes del vector se expresan en ejes L

a Escalar

a Variable adimensional

a Derivada en el tiempo

a Variable estimada

a∗ Variable medida, con ruido

aij Elemento de A, Fila i, Columna j

E Operador valor medio

c Coseno

In Madrid identidad de orden n

s Seno

sinc Funcion sinc

t Tangente

vect Vectorizacion de una matriz

[0] Matriz cero de dimension apropiada

xiii

NOMENCLATURA

SUBINDICE Y SUPERINDICE

a (Subındice) Referido a auto piloto misil

B (Sub/Super) Referido a cuerpo misil axes

c (Superındice) Referido a control delantero, canard

d (Subındice) Variable demandada

g (Subındice) Referido a guiado

L (Superındice) Ejes Inerciales

M (Subındice) Misil

OG (Superındice) Ley de guiado optimo

p (Subındice) Eje de balanceo del misil, (MXB)

q (Subındice) Plano de cabeceo del misil, (MXBZB)

r (Subındice) Plano de guinada del misil, (MXBY B)

s (Subındice) Servos

T (Subındice) Blanco

t (Superındice) Control trasero, cola

trim (Subındice) Condicion de equilibrio, trimado

W (Superındice) Referido a ejes viento

LETRAS LATINAS

Sımbolo Definicion

AR Alargamiento

A Matriz de los estados dinamicos

B Matriz de entradas de control

be Envergadura expuesta

cq Relacion de trimado en cabeceo

cr Relacion de trimado en guinada

d Diametro misil

dcm Posicion del centro de masas desde la ojiva

Eff Eficiencia aerodinamica

e Vector de error

∆eδ Esfuerzo de control

∆en Esfuerzo de maniobra

∆ek Perdida de energıa por unidad de masa

FA Fuerza axial aerodinamica

FN Fuerza normal aerodinamica

xiv

NOMENCLATURA

FS Fuerza lateral aerodinamica

fs Frecuencia de muestreo radar

G Matriz de entrada Kalman

H Hamiltoniano

H Matriz de actuaciones

h Altitud de vuelo del misil

I Momento de inercia

i Angulo de incidencia local

icq Angulo de incidencia en canard-cabeceo

icr Angulo de incidencia en canard-guinada

itq Angulo de incidencia en cola-cabeceo

itr Angulo de incidencia en cola-guinada

J Indice de control optimo

K Matriz de ganancias de control optimo

kg Vector de ganancias

L Momento aerodinamico de balanceo

M Riccati, matriz solucion de la ecuacion de

Ma Matriz de acoplamiento cruzado aerodinamico

M Momento aerodinamico de cabeceo

M∞ Numero de Mach

N Momento aerodinamico de guinada

Nt−vc Fuerza normal en la cola debido a los vortices del cuerpo misil

N ′ Constante de navegacion proporcional

m Masa del misil

n Aceleracion

p Vector de parametros

p Velocidad angular de balanceo, ejes cuerpo

Ph Perıodo del radomo

Q Matriz de peso de los estados

qM Vector de quaterniones

q Velocidad angular de cabeceo, ejes cuerpo

q∞ Presion dinamica

R Pendiente maxima de radomo

R Matriz de peso de los controles

r Vector de distancias

rTM Distancia misil-blanco

r Velocidad angular de guinada, ejes cuerpo

S Matriz de transformacion

Se Superficie alar expuesta

xv

NOMENCLATURA

Sref Superficie de referencia aerodinamica

s Distancia del centro de masas al de referencia

T Empuje del motor cohete

Ts Intervalo de muestreo de datos

Ts Matriz de servo frecuencias

tb Tiempo de combustion motor cohete

tf Tiempo de vuelo total, s

tgo Tiempo hasta impacto, s

u Vector de entradas de control

u Velocidad de misil en eje OXb

v Velocidad de misil en eje OYb

w Velocidad de misil en eje OZb

x Vector de estado

xa Vector de estados del auto piloto

xm Estados extendidos del auto piloto

xs Vector de posiciones de los servos

dcm Posicion de centro de masas, desde ojiva

VM Velocidad del misil

Vc Velocidad de colision

Vp Matriz de balanceo

Vq Matriz de cabeceo

Vr Matriz de guinada

V Matriz de ruidos de medida

W Matriz de ruidos de proceso

y Distancia perpendicular a la lınea de mira

z Vector de salida

za Vector de salida del auto piloto

LETRAS GRIEGAS

Sımbolo Definicion

α Angulo de ataque en cabeceo

αT Angulo de ataque total

β Angulo de guinada

δ Angulo del control aerodinamico

δ1c Canard Fin 1

δ2c Canard Fin 2

δ3c Canard Fin 3

xvi

NOMENCLATURA

δ4c Canard Fin 4

δ1t Cola Fin 1

δ2t Cola Fin 2

δ3t Cola Fin 3

δ4t Cola Fin 4

δd Demanda de posicion a los controles

δp Posicion del control en balanceo

δcq Canard Posicion del control en cabeceo

δtq Tail Posicion del control en cabeceo

δcr Canard Posicion del control en guinada

δtr Tail Posicion del control en guinada

εq Angulo de estela en la cola, cabeceo

εr Angulo de estela en la cola, guinada

εk Parametro auxiliar

εq Parametro auxiliar

Γb Intensidad del vortice del fuselaje

Γc Intensidad del vortice del canard

λ Vector de coestados

Λg Constante de navegacion efectiva

λ Parametro de retardo

φa Angulo de balanceo aerodinamico

φh Fase de radomo

Ψ Matriz de transicion

Ψ Coste terminal

Σ Desviacion estandar

σ Angulo de lınea de mira

θ Angulo de cabeceo

θg Angulo de guiado

θh Angulo del cardan

θr Angulo de refraccion

τc Retardo del servo-canard

τt Retardo del servo-cola

τu Retardo del servo-altas frecuencias

τg Retardo sistema guiado

Υ,Υ Parametros de reparto

$T Frecuencia del blanco en cabeceo, rad/s

ωLOS Velocidad angular de la lınea de mira

xvii

NOMENCLATURA

COEFICIENTES DE INTERFERENCIA AERODINAMICA

Sımbolo Definicion

CA Axial Force, entire missile

Cm Pitch Moment at moment reference center, entire missile

Cmα Pitch moment first derivative

Cmα Pitching-moment with rate of change in angle of attack

Cmα|α| Pitch moment second derivative

Cmα3 Pitch moment third derivative

Cmβ2αIncremental pitch moment due to sideslip

Cmβ2δcqVariation of canard pitch effectiveness with sideslip

Cmβ2δtq

Variation of tail pitch effectiveness with sideslip

Cmδcqδ

tq

Incremental pitch moment,canard and tail combined action

Cmq Rotary derivative

Cnδtr Tail effectiveness in yaw

Cnδcr Canard effectiveness in yaw

Cmδtq Tail effectiveness in pitch

Cmδcq Canard effectiveness in pitch

CN Normal Force coefficient, entire missile

CNα Normal-force first derivative

CNα Change of normal force with rate of change in angle of attack

CNα|α| Normal-force second derivative

CNαδcq Variation of canard lift effectiveness with angle of attack

CNαδtq

Variation of tail lift effectiveness with angle of attack

CNα3 Normal-force third derivative

CNβ2αIncremental normal force due to sideslip

CNβ2δcqVariation of canard lift effectiveness with sideslip

CNβ2δtq

Variation of tail lift effectiveness with sideslip

CNB Normal Force due to Missile Body only, Ojive and Afterbody sections

CNBc Incremental normal force at missile body due to presence of canard fins

CNBt Incremental normal force at missile body due to presence of tail fins

CNcB Incremental normal force at the canard fins due to missile body

∆CNc−vB Incremental normal force at the canard fins to body shed vortices

∆CNt−vB Incremental normal force at the tail fins to body shed vortices

∆CNt−vc Incremental normal force at the tail fins to canard shed vortices

CNδcq Canard lift effectiveness in pitch at constant angle of attack

CNδcqδ

tq

Loss of normal force due to canard and tail combined control action

CNδtq

Tail lift effectiveness in pitch at constant angle of attack

xviii

NOMENCLATURA

cN Normal force at control fin alone

cNi Change of control alone normal force with incidence angle

CNq Normal force pitching derivative

CNs Incremental normal force due to the sideslip angle

CNtB Incremental normal force at tail fins due to missile body

Cn Yaw Moment at moment reference center, entire missile

Cl Roll Moment, entire missile

CS Side Force, entire missile

CSα2βIncremental side force due to angle of attack

CSβ Side force first derivative

CSβ|β| Side force second derivative

CSβ3 Side force third derivative

CSδcr Canard effectiveness in side force

CT Thrust coefficient

KBc Ratio of body lift with canard to canard lift alone

KBt Ratio of body lift with tail to tail lift alone

KcB Ratio of canard lift with body to canard lift alone

KtB Ratio of tail lift with body to tail lift alone

Kc−vB Interference factor for effect of body vortex on canard

Kt−vB Interference factor for effect of body vortex on tail

Kt−vc Interference factor for effect of canard vortex on tail

Kφa Interference factor for sideslip

DERIVADAS PARCIALES

Symbol Definition∂εq∂α

Gradiente de estela por angulo de ataque actuando en la cola∂εr∂β

Gradiente de estela por angulo de guinada actuando en la cola∂εq∂δcq

Gradiente de estela por control de canard-cabeceo actuando en la cola

∂εr∂δcr

Gradiente de estela por control de canard-guinada actuando en la cola∂εq∂δcq

Valor medio del gradiente de estela por grado de control canard-cabeceo en la

seccion de cola∂εr∂δcr

Valor medio del gradiente de estela por grado de control canard-guinada en la

seccion de cola

xix

NOMENCLATURA

ABREVIATURAS Y ACRONIMOS

Symbol Definition

APN Augmented Proportional Navigation

cm center of mass

CAS Control Actuation System

CDLE Continuous-time Differential Lyapunov Equation

CDM Coefficient Diagram Method

CFD Computer Fluid Dynamics

DAC Dual Aerodynamic Control

DCM Direction Cosine Matrix

G&C Guidance and Control

GS Gain Schedulling

HJB Hamilton-Jacobi-Bellman

IGA Integrated Guidance and Autopilot

IGC Integrated Guidance and Control

IMU Inertial Measurement Unit

INTA Instituto Nacional de Tecnica Aeroespacial

IR Infrared

ISA International Standard Atmosphere

JCR Journal of Citation Reports

JNDA Japan National Defense Academy

LOS Line of Sight

LPV Linear Parameter Variation

LTI Linear Time Invariant

LQD Linear Quadratic Differential (game theory)

LQR Linear Quadratic Regulator

LQT Linear Quadratic Tracking

MIMO Multi Input Multi Output

MFSC Model Following Servo Controller

mrc Moment Reference Center

ND Non-dimensional

NTCM NASA Tandem Control Missile

OGL Optimal Guidance Law

PID Proportional-Integral-Derivative

PSD Power Spectral Density

PD Pulse Doppler

PN Proportional Navigation

RCS Radar Cross Section

xx

NOMENCLATURA

SBT Slender Body Theory

SDC State Dependent Coefficient

SDDRE State Dependent Differential Riccati Equation

SDRE State Dependent Riccati Equation

SMC Sliding Mode Control

SNR Signal to Noise Ratio

ST Side Thruster

STT Skit To Turn

TPBVP Two Point Boundary Value Problem

TVC Trust Vector Control

UCAV Unmanned Combat Air Vehicle

VCL Vector Control Law

xxi

Capıtulo 1

Introduccion

Tradicionalmente, el diseno del misil tactico se ha basado en una superior velocidad

y maniobrabilidad sobre el blanco para conseguir la intercepcion. Las nuevas misiones

para misiles aire-aire que operen dentro de la atmosfera incluyen la intercepcion de

blancos de combate no tripulados supersonicos y la defensa del avion lanzador frente a

ataques laterales o por su cola.Para conseguir pequenas distancias de paso, se requeriran

avances radicales en la aerodinamica del misil, las tecnologıas de guiado y control ası

como el aprovechamiento de la sinergias entre los distintos subsistemas. Esta tesis

esta dedicada al estudio del misil con doble mando aerodinamico, Dual Aerodynamic

Control (DAC), como una nueva configuracion para misiles de corto y medio alcance

aire-aire. Este primer capıtulo introductorio esta organizado como sigue. En primer

lugar se presentan los motivos para esta tesis, seguida por una descripcion general del

bucle de guiado y control. A continuacion se especifican los objetivos de la investigacion,

y se hace una revision del estado del arte en la literatura cientıfica a dıa de hoy.

Finalmente se presenta un esquema de desarrollo del trabajo.

1.1. Motivos para esta Tesis

1.1.1. Misiles actuales con control aerodinamico

Para un misil de alcance medio o corto en mision aire-aire , la configuracion mas

comun actualmente es axil-simetrica, con un motor cohete de combustible solido, y con

cuatro superficies fijas y cuatro superficies de control alineadas , que permiten la manio-

bra en cabeceo guinada y control en balanceo. Las arquitecturas modernas con control

aerodinamico son tipo canard o control en cola 1. Un misil con control canard maniobra

1A pesar de su popularidad inicial, el control por ala tipo Sparrow no se considera como unaopcion viable en el diseno moderno de misiles debido a sus desventajas. Otras aproximaciones menosconvencionales, como control por deflexion de la ojiva, aero frenos etc. no han entrado en servicio enmisiles debido a su perdida de actuaciones, pero actualmente estan en desarrollo para el control de

1

1.1. MOTIVOS

mediante la deflexion de sus superficies de control delanteras, mientras un misil con

control en cola deflecta sus superficies de control en la parte trasera. Tıpicamente la

superficies de control del misil son totalmente movibles y con bajo alargamiento. La

ojiva del misil es de baja resistencia aerodinamica o de tipo semiesferico y aloja el

buscador que es de tipo electromagnetico u electro optico, que va a dotar al misil de

su posicion relativa al blanco durante el vuelo.

Esta configuracion esta estabilizada en balanceo o tiene limitaciones en su velocidad

de giro en balanceo, y emplea maniobra con resbalamiento a lo largo de la lınea de

mira del buscador (Skid To Turn, STT) para interceptar al blanco. Las principales

ventajas de esta configuracion son su alta velocidad de respuesta sin alabeo previo y el

acoplamiento aerodinamico reducido entre los canales de cabeceo y guinada.

Esta disposicion clasica sufre de ciertos efectos aerodinamicos no lineales que com-

plican su control durante el vuelo. Estos efectos pueden ser divididos en dos categorıas:

1. Efectos en un plano, donde a bajos angulos de ataque, los torbellinos desprendidos

de las superficies delanteras cambian el angulo de incidencia local en la cola,

provocando que el momento aerodinamico del misil cambie abruptamente para

pequenas variaciones en el angulo de ataque. Al aumentar el angulo de ataque,

la ojiva del misil y el pequeno alargamiento de las aletas comienzan a crear no

linealidades en fuerza y momento de cabeceo. Este mismo efecto se repite en el

plano de guinada debido a la simetrıa del misil.

2. Los efectos fuera de plano son a su vez de dos tipos. El momento de balanceo in-

ducido aparece por ejemplo cuando el angulo de ataque y el angulo de guinada son

distintos durante una maniobra con resbalamiento. El segundo tipo es la guinada

fantasma, phantom yaw, donde a angulos de ataque moderados, los torbellinos

desprendidos del fuselaje del misil se vuelven asimetricos, creando de modo si-

multaneo perturbaciones en balanceo y en guinada. Estos efectos fuera de plano

son muy problematicos y causan dificultades para mantener un angulo de ba-

lanceo razonablemente estable o con una variacion suave. En el caso de un misil

canard las superficies de control delanteras tienen una capacidad de control muy

limitada en balanceo a traves de deflexiones diferenciales, debido al efecto opuesto

creado en la cola por la estela. Diversas soluciones se han ensayado en la practica

para el misil canard: rolerones como en el Sidewinder, como un mecanismo pa-

sivo que limita la velocidad de rotacion en balanceo; aletas fijas estabilizadoras

por delante del canard como en el Phyton-5; o desacoplar la cola dejandola que

gire libre, como en el cohete guiado MLRS, que permite a la seccion delantera

mantenerse estabilizada en balanceo, ya que el momento de reaccion creado en

la cola no se transmite al resto del fuselaje. El prototipo de misil Banderilla (ver

vuelo de municiones inteligentes y cohetes guiados.

2

1.1. MOTIVOS

Figura 1.1), incorporo de modo novedoso controles adicionales en la cola para

estabilizar el misil en balanceo, aunque estos servos adicionales no fueron usados

para el control en cabeceo o en guinada (Sanz-Aranguez and Simon, 2012).

Figura 1.1: INTA misil experimental Banderilla. Desarrollado en el Instituto como unproyecto de investigacion, era un misil con control delantero y controles adicionalesen la cola. Notese los flaps moviles en las superficies de cola, que se empleaban paramantener el balanceo estable durante el vuelo.

1.1.2. Caracterısticas de la respuesta dinamica del misil

El misil interceptor maniobra constantemente respondiendo a las sucesivas manio-

bras evasivas del blanco. Tıpicamente el motor de combustible solido no puede modifi-

car su ley de empuje una vez que comienza su mision. Aunque hay algunos misiles con

motores de empuje variable,la gran mayorıa de los misiles tacticos no lo tienen y son

capaces de maniobrar unicamente mediante la generacion de maniobra lateral, normal

a su eje de simetrıa. Al deflectar una de las superficies de control, se genera una fuerza

normal de pequena magnitud de modo casi instantaneo, que da lugar a un momento

aerodinamico alrededor del centro de gravedad del misil, que resulta en una rotacion

del mismo modificando su angulo de ataque. Es este angulo de ataque el responsable de

generar la aceleracion lateral del misil. Esta cadena de acontecimientos ocurre durante

cierto tiempo, y por lo tanto hay un retardo en la respuesta dinamica del misil desde

que se deflecta una superficie de control hasta que se alcanzan condiciones estacionarias

(trimado).

En condiciones estacionarias las superficies del canard generan una pequena fuerza

aerodinamica normal que estan, para un misil estaticamente estable, en la misma direc-

cion que la fuerza normal del misil. El misil canard en su respuesta dinamica tiende a

sobrepasar el nivel de aceleracion requerido por el sistema de guiado y el tiempo hasta

estabilizarse suele ser relativamente grande, siempre dependiendo de las condiciones de

vuelo. La respuesta en fase depende de la estabilidad del misil y de la influencia de

los efectos de estela en las superficies de control traseras. Por otro lado, para un misil

estaticamente estable con control en cola, la cola genera una fuerza normal inicial-

mente opuesta a la direccion principal de maniobra, creandose lo que se conoce como

3

1.1. MOTIVOS

respuesta inversa, que retrasa la respuesta total del misil. Debido a este efecto, la cola

se conoce como un control de fase no mınima, que se caracteriza por la presencia de un

cero a bajas frecuencias en la parte derecha del plano s si consideramos su funcion de

transferencia lineal. De modo opuesto, un misil con control delantero tiene un control

de fase mınimo.

Desde el punto de vista de control del misil, las caracterısticas de fase no mınima del

control en cola representan un reto muy significativo, ya que retarda la respuesta general

del misil. El autor en (Gutman, 2003) demostro la superioridad del misil canard sobre el

de control cola, siendo capaz de conseguir menores distancias de paso contra un blanco

maniobrero. Sin embargo Gutman considero un modelo simplificado, con un retardo

de primer orden del misil, en su demostracion. Como se ha discutido brevemente, la

aerodinamica del misil esta en realidad dominada por efectos altamente no lineales y

estos efectos no fueron considerados en el analisis citado.

1.1.3. Propuesta de doble mando aerodinamico

Ademas del efecto de fase considerado en la seccion anterior, hay otros elementos a

valorar en la arquitectura tradicional de misiles. Comparado con cola, el control canard

tiende a saturarse a angulos de ataque del misil mas bajos, ya que su incidencia local es

la suma del angulo de ataque del misil mas el angulo de deflexion del control delantero.

De este modo un control en cola suele ser preferido para realizar giros muy cerrados,

especialmente cuando la presion dinamica es baja. El control canard tambien requiere

mayores momentos de control en los servo mecanismos para mantener mayores pares

de charnela. A bajos angulos de ataque, y debido al efecto de estela en la cola, el

misil canard suele generar un mayor momento, ya que en este caso el brazo de palanca

correspondiente sera la distancia entre los centros de presiones del canard y de la cola.

A altos angulos de ataque, cuando la estela no afecta a la cola, el control trasero en cola

puede ofrecer un mayor brazo de palanca, una vez que el motor cohete se ha consumido

y por tanto el centro de gravedad esta en su posicion mas adelantada. En este ultimo

caso se requieren menores angulos de deflexion en el control de cola que en el caso

del canard para mantener mantener los mismos angulos de ataque del misil, con los

beneficios anadidos de una reduccion de la resistencia aerodinamica.

La tabla 1.1 resume las ventajas y desventajas relativas de cada tipo de control

aerodinamico para un mismo misil. La tabla sugiere que el control canard y cola son

complementarios y que la optima combinacion de un tipo y otro como funcion de las

condiciones de vuelo (angulo de ataque, aceleracion angulos del control, ley de guiado

etc.) podrıa resultar en mejores actuaciones del misil. Una combinacion de este tipo

deberıa incluir los efectos aerodinamicos de alto orden de ambos tipos de control, pero

podrıa resultar en un diseno mucho mas efectivo del misil sin modificar su estructura.

4

1.1. MOTIVOS

Ventajas Desventajas

Cola

· Bajo momento de charnela ybajo par de control debido a losangulos de incidencia reducidos.· Momento de balanceo inducidoreducido..· Para un misil estaticamente es-table, mayor efectividad del con-trol a altos angulos de ataque.· Baja resistencia aerodinamicainducida.· Control en balanceo sencillo me-diante de reflexiones diferenciales.

· Para un misil estaticamente es-table Menor maniobra en trima-do.· Efecto de fase no mınima, res-puesta inicial mas lenta.· El control se empaqueta alrede-dor del tubo de salida de gases delmotor.· Requiere un compromiso entreestabilidad y maniobrabilidad.

Canard

· Empaquetamiento efectivo delsistema de en control, guiado ybuscador en la ojiva del misil.· Fabricacion simplificada y faci-lidad para introducir cambios dediseno.· Alta maniobrabilidad a bajosangulos de ataque para un misilestable.· Mayor brazo de par de controlaerodinamico a bajos y modera-dos angulos de ataque.

· Altos angulos de incidencia en elcontrol, tendencia a saturarse.· Problemas con picos de manio-bra y tiempos de estabilizacion.· Alto balanceo inducido y perdi-da de control en cola debido a losvortices delanteros.· Control de balanceo complicado.· Momentos de flexion altos en laestructura.· Perdida de estabilidad altas ve-locidades.

Cuadro 1.1: Comparacion de control canard y cola

La idea para esta tesis surge entonces para investigar como integrar ambos tipos de

control en un misil aire-aire de control doble, donde tanto las superficies delanteras

como las superficies traseras sean moviles y que se actuen de modo simultaneo para

maniobra del misil en cabeceo y en guinada, y con la adecuada combinacion de estos

dos tipos de control dentro de un piloto automatico de tipo avanzado puede aumentar

significativamente las actuaciones de un misil ya existente.

Este control doble atmosferico (DAC) no debe confundirse con otros tipos de con-

trol avanzados ya existentes tipo hıbrido, en los que un misil con control en cola se

combina con control vectorial de empuje -Thrust Vector Control (TVC) - o empuje

lateral - Side Thrusters (ST)-, que puede generar momentos de control adicionales

independientemente de la presion dinamica exterior del misil:

La aplicacion de control hıbrido mas popular actualmente en servicio consiste en

control en cola combinado con control vectorial de empuje a traves de alabes de-

flectores (misiles IRIS y Sidewinder 9-X). Aqui el mismo actuador por se usa para

mover la cola y el alabe deflector dentro de la tobera, aumentando la velocidad

de respuesta del misil pero aumentando el efecto de fase no mınima. Como todos

5

1.1. MOTIVOS

los sistemas de tipo hıbrido una vez que la combustion del motor se termina, el

misil tiene unicamente control en cola disponible para interceptar al blanco.

El control por empuje lateral es un metodo en el cual una masa de flujo pulsado se

expulsa durante un corto periodo de tiempo en direccion normal a la superficie del

cuerpo del misil, por delante del centro de gravedad. Este flujo cruzado causa una

separacion local del flujo aerodinamico sobre la superficie del misil, que cambia la

distribucion de presion sobre la misma y como resultado modifica su trayectoria.

Este tipo de control ocurre en impulsos, con un modo de operacion conocido como

bang-bang. El control por empuje lateral tiene un ancho de banda elevado pero

es extremadamente complejo de modelizar en detalle y tiene limitaciones, tanto

en magnitud como en tiempo de operacion, esto ultimo limitado por la cantidad

de gas a presion que el misil puede llevar a bordo.

Estos dos tipos de control hıbrido tienen tres misiones caracterısticas:

1. En misiles exo-atmosfericos, en aplicaciones superficie aire, operando en las capas

altas de la atmosfera para interceptar misiles de tipo balıstico en las cercanıas

del apogeo.

2. En aplicaciones aire-aire de misiles endo-atmosfericos, para la defensa del avion

lanzador contra ataques desde su cola. Aquı el mando simple aerodinamico no es

suficiente para girar el misil 180 grados inmediatamente despues del lanzamiento

con la suficiente rapidez.

3. En aplicaciones dentro de la atmosfera tipo SAM superficie-aire para la defensa

de area, donde el control vectorial del empuje provee al misil de capacidad de

maniobra ya desde el lanzamiento, cuando la presion dinamica es baja y el control

aerodinamico todavıa no es eficiente.

En esta tesis se demostrara mediante simulaciones que el misil con control doble

aerodinamico sera capaz de ejecutar la mision de defensa contra ataques desde cola

unicamente con control aerodinamico y sin modificar el empuje del misil, como sera

revisado en la seccion 4.5.

A dıa de hoy solamente hay una aplicacion desclasificada del control doble aero-

dinamico, y solo esta en fase de desarrollo. Se trata del cohete guiado superficie-aire

Stunner, que formara parte del sistema de defensa aerea de Israel David’s Sling, (ver

Figura 1.2). Se espera que entre en servicio en 2017. Esta aplicacion se ha concebido

contra blancos no maniobrables, cohetes no guiados o derivados del Scud descendiendo

contra zonas urbanas. Por su configuracion estructural, pensamos que este cohete guia-

do no es capaz de soportar grandes esfuerzos estructurales y que por tanto el angulo

de ataque en vuelo estara limitado a pequenos valores. El control doble se emplea para

6

1.1. MOTIVOS

pequenas correcciones de trayectorias en los ultimos segundos antes de la intercepta-

cion, y con ambos controles delanteros y traseros actuando en la misma direccion, en

lo que se conoce como modo de desviacion 2 -(Fleeman, 2012) y Figura 1.8-, pero no

para generar una aceleracion de decenas de veces la aceleracion de la gravedad como

se esperarıa en una aplicacion aire-aire.

Figura 1.2: Cohete Guiado Superficie-Aire Stunner , con control doble aerodinamico.Este cohete guiado se utiliza para defensa de area y se espera que entre en servicio en2017. Se disena para interceptar cohetes no guiados en su fase de descenso a tierra.Notese las pequenas superficies fijas situadas justo enfrente de las aletas moviles decola, que se emplean para estabilizar la celula y reducir el balanceo inducido creadopor la superficies moviles delanteras.

La configuracion DAC tiene la ventaja frente a la hıbrida de un menor coste y

mayor simplicidad, y no estar restringido por el tiempo de combustion del motor cohete

o por la cantidad de reservas de gas presurizado a bordo para generar maniobras

adicionales. Comparado con un misil con control en cola, el control doble solo requiere

dos servomecanismos adicionales para actuar las superficies delanteras en picado y

guinada, para lograr un incremento sustancial en las actuaciones del misil como sera

demostrado.

Con las mejoras en la fiabilidad tamano peso y par de salida de los servomecanismos,

junto a su coste cada vez mas reducido, la complicacion adicional de la instalacion de

los servomecanismos adicionales que se requieren para el control doble se compensa

mas que sobradamente con la mejora que se obtiene en las actuaciones. Sin embargo

los grados de control adicionales requieren de un tratamiento matematico complejo que

contemple todas las implicaciones resultantes en la aerodinamica del misil ası como en

el lazo de guiado y control.

2ambos controles deflectados en la misma direccion generando un incremento en sustentacion yprovocando la traslacion del misil pero con una pequena, si no nula, rotacion del misil

7

1.2. EL BUCLE DE GUIADO Y CONTROL

1.2. El bucle de guiado y control

La trayectoria del misil interceptor se divide tıpicamente en tres segmentos: lanza-

miento, curso medio y fase terminal. Durante la fase terminal los algoritmos de guiado

y control son responsables de corregir los errores de apuntamiento residuales de las

fases previas y considerar las maniobras del blanco para conseguir la mınima distancia

de paso final. La figura 1.3 representa el bucle de guıado y control (G&C) para un misil

interceptor tipo avanzado. Este bucle se usara a lo largo de la tesis como una referencia

en la investigacion, en la que progresivamente se ira definiendo la estructura y cada

uno de los componentes para un misil de control doble. A continuacion se realiza una

breve descripcion de cada uno de los bloques:

El Buscador de a bordo se encarga de detectar las variables necesarias del

blanco durante el vuelo para alimentar a la ley de guiado del misil. El buscador

esta enganchado al blanco durante esta fase terminal, permitiendo el guiado del

misil durante todo el vuelo. Sin embargo a traves del buscador se introduce ruido

no deseado dentro del bucle de guiado y control. El buscador es un sistema

electromecanico con su propio bucle de realimentacion que ademas introduce

retardos de tiempo en el bucle de guiado y control del misil. La gran mayorıa de

los misiles aire-aire en servicio hoy emplean un buscador tipo radar (activo, pasivo

o semiactivo) o un buscador de infrarrojos IIR de tipo pasivo. Una ventaja de

que el buscador este a bordo del propio misil, activo o pasivo, es que la precision

de sus medidas aumenta en general a medida que la distancia relativa entre el

blanco y el misil se reduce, aunque algunos tipos de ruidos como el destello (glint)

aumentan.

El Filtro de Navegacion es el responsable de separar el ruido de la senal de

entrada y de proveer estimaciones de las variables del blanco entre los instantes de

toma de datos del buscador, ası como calcular y estimar otras variables del blanco

no directamente medidas pero que son requeridas por la ley de guiado del misil.

Como ejemplo de estas ultimas tıpicamente se necesita la aceleracion vectorial del

blanco o su derivada con el tiempo. El filtro de navegacion contiene un modelo

dinamico del encuentro aire-aire, ası como de los ruidos de medida esperados. El

retardo de tiempo introducido por el filtro de navegacion es despreciable ya que

se trata de un subsistema puramente electronico.

El bloque de Guiado contiene la ley de guiado, que calcula, basado en la ci-

nematica relativa y la aceleracion del blanco, el vector de aceleracion demandada

nLd al misil, necesario para conseguir un curso de colision hacia el blanco. Esta

demanda se calcula en tiempo real a bordo del misil. La mayorıa de los misiles

8

1.2. BUCLE G&C

DinamicaBlanco

Radar Ruidos radar y radomo

Sistemade

Navegacion

ModeloAceleracion

Blanco

Guiadoxg = f(xg,n

Ld )

time-to-goEstimador

Autopilotoxa = f(xa,xsd)

Servosxs = f(xs,xsd)

dinamica alto orden τu

StrapdownIMU

SensoresNoise

ActitudFiltro/

Estimador

DinamicaRotacion

Misil

DinamicaTraslacion

Misil

xT , xT+

rTM , Vc

t∗s,ω∗LOS

nLT

tgo

rTM , Vc

nLd+

nB

−

xsd

xs

nB

nB

xM , xM

−

xa

p, q, r

u, v, w

Figura 1.3: Diagrama de guıa de control para un misil aire aire moderno. Se represen-tan unicamente las principales variables. El time-to-go y el modelo de aceleracion delblanco solo se emplean en un misil con guiado optimo, que la practica no esta todavıaampliamente extendido. Notese que hay cuatro entradas exogenas, la maniobra delblanco xT , xT , el sistema de deteccion (buscador y radomo), la IMU con sus ruidosasociados y la dinamica de alto orden de los servos.

actualmente en servicio emplean una de las variantes de la conocida ley de na-

vegacion proporcional, que requiere que el misil tenga una ventaja de velocidad

9

1.2. BUCLE G&C

significativa sobre el blanco y que sea capaz de maniobrar al menos tres veces

mas que el blanco. La ley de navegacion proporcional demanda una aceleracion

al misil sin considerar su capacidad remanente de maniobra, los lımites de su

envuelta de vuelo o el tiempo de respuesta del piloto automatico. Por otro lado

la ley de guiado optimo incorpora la aceleracion actual del misil nB en su calculo

de nLd (consultese la seccion 3.1).

El Piloto automatico, control de vuelo o autopiloto y el sistema de con-

trol de actuadores (CAS) son los responsables de transformar la demanda de

aceleracion de la ley de guiado nLd en la respuesta adecuada de la celula del misil.

El piloto automatico es el mismo un bucle de control con realimentacion den-

tro del bucle general de guiado y control del misil. Constantemente monitoriza

la aceleracion obtenida nB y genera ordenes al CAS, codificadas generalmente

como angulos de posicion demandados para cada uno de los controles xsd , ver

Figura 1.3 .

Una unidad de medida inercial (IMU ) mide en tiempo real las aceleraciones y

velocidades angulares del misil, y un filtro digital estima a partir de estas medidas

el angulo de ataque α y de guinada β con la suficiente precision. Se hace notar que

los angulos aerodinamicos no pueden medirse directamente sin cometer errores

importantes (Stevens and Lewis, 2003).

Las senales de salida de la IMU se combinan con las ordenes de guiado en el

piloto automatico para calcular la demanda a cada uno de los actuadores de las

superficies de control. Estos son de tipo electromecanico o neumatico y fuerzan

el angulo de las aletas xs a seguir a la demanda xsd . La respuesta dinamica de

la celula a la senal del control depende de las condiciones de vuelo del misil en

ese instante (altitud, numero de Mach, angulo de ataque, etcetera). El objetivo

basico del sistema de control es conseguir que la dinamica resultante siga los

comandos de guiado de una forma efectiva.

El piloto automatico debe incluir un modelo dinamico de rotacion y tras-

lacion , que lleva aparejado tener programada una representacion completa ae-

rodinamica del misil con sus correspondientes limitaciones. El piloto automatico

completo representa el mayor retardo de tiempo dentro del bucle de G&C loop.

Todo este bucle se cierra cuando el buscador vuelve a detectar la posicion relativa entre

el blanco y el misil, generandose nuevas ordenes de guiado, que a su vez inician una

nueva respuesta del auto piloto y movimiento de las superficies de control del misil. El

objetivo ultimo del bucle de guiado y control es obtener la mınima distancia de paso

al blanco dentro de las limitaciones y capacidades del misil interceptor aereo.

10

1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS

En la Figura 1.3 notese que los calculos del guiado y del auto piloto se realizan en

bloques separados y consecutivos. Esta aproximacion corresponde al tradicional meto-

do de dos lazos, que considera que hay una separacion espectral entre el guiado y el

auto piloto (Yanushevsky, 2008). Esto se debe a que tıpicamente el tiempo caracterısti-

co del encuentro aire-aire contra blancos poco maniobreros ha sido siempre mayor que

el tiempo caracterıstico de respuesta del auto piloto del misil. Dentro de esta aproxi-

macion, el auto piloto siempre se ha disenado como un regulador que trabaja con un

horizonte de tiempo infinito. En esta tesis se modificara el esquema clasico descrito en

la Figura 1.3 al combinar el control de vuelo y el guiado en un unico bucle.

1.3. Objetivos de la Tesis

El objetivo esta tesis es investigar las actuaciones del misil de control doble aero-

dinamico como una nueva alternativa al control convencional, canard o cola, e hıbrido,

para misiles aire-aire en aplicaciones contra blancos modernos no pilotados y para la

defensa en cola. Este misil sera empleado contra blancos altamente maniobreros. En

este escenario la hipotesis de separacion espectral entre el control de vuelo y el guiado

puede que no sea valida. Se plantea entonces una solucion integrada, optimizando el

auto piloto y el guiado en un unico bucle de control aprovechando su sinergias.

Este objetivo general se transforma en tres lıneas de investigacion y para cada una

de ellas se plantean cuestiones especıficas a resolver, ninguna de las cuales ha sido

resuelta a dıa de hoy en la literatura cientıfica. Estas son:

1. Modelo aerodinamico avanzado para misil con control doble.

1.1. Analizar y caracterizar los fenomenos aerodinamicos esperados, en particular

el acoplamiento cruzado entre los controles. La influencia de los controles

delantero sobre los traseros a distintos angulos de ataque del misil, necesita

ser caracterizada en detalle.

1.2. Desarrollar una nomenclatura especıfica, no existente a dıa de hoy, para

tratar el problema matematico de este tipo de misil.

1.3. Desarrollar un modelo teorico aerodinamico con la suficiente precision para

estudios de guiado y control avanzados. El nivel de detalle requerido no ha

sido encontrado en ninguna publicacion existente. Este modelo necesita ser

definido con la ayuda de coeficientes invariantes que podran ser ajustados a

un misil particular mediante metodos de identificacion de parametros.

1.4. Obtener datos fiables experimentales para validar el modelo teorico aero-

dinamico, bien de ensayos en tunel de viento o bien calculandolos a traves

de metodos CFD.

11

1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS

1.5. Investigar la estabilidad el control en balanceo del misil con control doble

aerodinamico.

2. Desarrollo de un auto piloto para el misil con control doble y el estudio de su

conexion con una ley de guiado optimo para formar un sistema de dos lazos para

el misil DAC.

2.1. Definir las limitaciones especıficas y los indicadores de actuaciones para el

auto piloto de control doble.

2.2. Optimizar y resolver el auto piloto del misil, con entradas de control multi-

ples, aerodinamica no lineal e incluyendo el acoplamiento cruzado entre con-

troles. Establecer la estrategia para la distribucion del esfuerzo del control

entre los canales delanteros y traseros.

2.3. Comparar los resultados obtenidos con el metodo estandar en la industria

moderna de ajuste de ganancias.

2.4. Evaluar el doble bucle de G&C de la figura 1.3, aplicado a un misil DAC

atacando a un blanco que maniobra y compararlo con las actuaciones de

misiles convencionales.

3. Investigar el guiado auto piloto integrado (IGA) y compararlo con la aproxima-

cion de dos bucles. Puede potencialmente optimizar el esfuerzo de control durante

el vuelo al considerar los estados de guiado como parte del algoritmo de control

de vuelo.

3.1. Definir el modelo matematico adecuado para el problema integrado.

3.2. Manejar adecuadamente las variables de guiado y del auto piloto ya que

trabajan en diferentes ordenes de magnitud y podrıan saturar el control del

misil.

3.3. Definir los objetivos de actuaciones para el sistema integrado.

3.4. Resolver el nuevo problema matematico de optimizacion de una planta no

lineal en un tiempo finito.

3.5. Comparar las actuaciones del misil con control integrado frente al mismo

misil empleando un esquema en doble lazo.

3.6. Evaluar como el ruido, la frecuencia discreta de datos del blanco y los errores

de radomo afectan a las actuaciones del misil DAC.

3.7. Evaluar las capacidades del misil con doble mando aerodinamico y control

integrado en la defensa contra ataque por la cola, como un requisito para

misiles modernos y sin emplear deflexion de empuje. (vease Figura 1.4).

12

1.4. REVISION DE LA LITERATURA

1960’s 1970’s 1980’s 1990’s 2000’s+

MT = 1,2, M = 1,5, nT = 3, h = 12, 000m

Figura 1.4: Evolucion de los dominios de tiro del misil (Sanz-Aranguez, 2000). El ejem-plo muestra un misil lanzado a M = 1,5, atacando un caza pilotado volando a MT = 1,2con maniobra nT = 3 g. En la decada de los anos 60 y 70, las limitaciones en el bus-cador de infrarrojos y de la capacidad de maniobra del misil restringıan el dominio detiro a la parte trasera del blanco. En los 80 y 90 del avion lanzador se equipa con unradar y es capaz de lanzar el misil cerca del curso de colision, extendiendo el dominiode tiro a casi todos los sectores alrededor de un blanco poco maniobreros. Estas figurasse reproduciran en la tesis para la intercepcion de blancos altamente maniobrables, enla seccion 3.5.2. Los ultimos desarrollos en la maniobrabilidad de los misiles desde losanos 2000 han extendido el dominio de tiro aun mas, pero no son aun suficientes parala defensa contra un ataque por la cola solo empleando control aerodinamico. En estatesis se desarrollaran de modo analıtico y se demostraran de modo numerico, que ladefensa contra un ataque por la cola es posible realizarla de modo optimo con un misilcon control doble aerodinamico e integracion de su guiado y control.

Estas tres lıneas de investigacion y las cuestiones principales asociadas se repre-

sentan de modo grafico en la figura 1.5. El tema de la tesis implica una variedad

de disciplinas como la aerodinamica, el control, la optimizacion matematica pura o

la mecanica de vuelo. En efecto la investigacion enfocada en el area de misiles tiene

siempre un caracter multi-disciplinar ya que todos sus subsistemas estan fuertemente

interconectados.

Debido a que esto es una tesis doctoral en ingenierıa aeroespacial, es apropiado com-

plementar los resultados teoricos con simulaciones numericas, para evaluar los logros

obtenidos y ponderar su dificultad de implantacion practica. No se trata sin embar-

go, de realizar un diseno de ingenierıa de detalle sino de ilustra los conceptos y los

resultados de investigacion obtenidos.

1.4. Revision de la Literatura

1.4.1. Aerodinamica

La referencia(Beresh et al., 2009) describe experimentos llevados a cabo en un tunel

de viento subsonico con dos controles, con la intencion de investigar la interaccion en-

13


ObjetivosInvestigacion

Tesis

GuiadoDoble-Bucle

AutopilotoNolineal

Lımites

RepartoControl

Optimizacion

G y CIntegrado

OptimizacionSaturacion

Ruidos

DefensaCola

DisenoMisil

AcoplamientoControles

ModeloAerod.

DatosAerod.

ControlBalanceo

Figura 1.5: Lıneas principales de investigacion

tre ellos sin la presencia de un fuselaje (ver 1.6). La conclusion del estudio es que los

vortices generados por el control delantero cambian el angulo de incidencia efectivo del

control trasero. Debido a que la estructura de torbellinos se mantiene en supersonico,

(Spahr and Dickey, 1953), es de esperar que esta conclusion se mantenga en este regi-

men, aunque los valores de sustentacion varıen al depender del Mach. La presencia del

fuselaje del misil creara interacciones mas complejas que habra que tener en cuenta.

La literatura cientıfica publicada ha sido examinada buscando estudios sobre aero-

dinamica de misiles con dos controles. La unica referencia valida encontrada ha sido

acerca de una serie de experimentos en tunel llevados a cabo en el centro Langley

Unitary Plan Wind por A.B. Blair en 1993, como parte del NASA Langley Research

Center. Sin embargo, los datos aun estan sujetos a US Export Control Regulations, y

la NASA no ha podido desclasificarlos para este estudio. El prototipo ensayado NASA

Tandem Control Missile (NTCM) es un misil tıpico de configuracion cruciforme y ojiva

14


(a) Diseno del experimento (b) Fuerza normal en control trasero. α1 = 10,M∞ = 0,8

Figura 1.6: Interaccion entre control delantero y trasero, tomado de la referencia (Be-resh et al., 2009).

tangente (vease Figure C.1 en los Apendices), y se ensayo en supersonico a distintos

angulos de ataque entre 0 y 28 deg, y a distintas combinaciones de posiciones de los

control delantero y trasero, limitadas a 20 como maximo.

Sin embargo, un extracto limitado de los datos experimentales se ha publicado

en tres artıculos distintos (Lesieutre et al., 2002a,b) y (Cross et al., 2010). Los datos

muestran grandes variaciones de la aerodinamica con el angulo de ataque a distintas

posiciones de los controles, y pueden encontrarse en los apendices (ver Figure 1.7). Las

no-linealidades son especialmente acusadas en las cercanıas de α = 0, debido al efecto

de la estela.

Figura 1.7: Resultados experimentales para el misil NASA. Reproducidos aquı de lareferencia (Lesieutre et al., 2002a)

Otros autores han llevado a cabo estudios numericos con el misil NTCM (Blair,

1978; Khalid et al., 2005b,a; Al-Garni et al., 2008; Akgul et al., 2012) 3. Sin embar-

3El informe del NATO Research and Technology Organization (RTO) - (Khalid et al., 2005b) - fue

15


go estos estudios no incorporan deflexiones simultaneas de los controles delanteros y

traseros, pero pueden servir como referencia para separar los efectos aerodinamicos

generales del misil de las acciones del control doble.

En resumen se han encontrado algunos artıculos cientıficos indicando el potencial

de este tipo de misil, sin embargo debido a la escasez de datos disponibles, se hace

necesario extenderlos mediante un estudio aerodinamico adecuado.

1.4.2. Autopiloto y Guiado con control doble

Se han encontrado solo seis artıculos en la literatura cientıfica sobre este tema, vease

la tabla 1.2. Se han disenado auto pilotos para misiles con control doble empleando el

metodo no lineal de State Dependent Riccati Equation en (Mracek, 2007) y Apendice

B.2, ası como con tecnicas de control lineal: LQT linear quadratic tracking en (Mracek

and Ridgely, 2006), regulador optimo proporcional-integral en (Ochi, 2003; Ochi and

Kanai, 1997; Ochi et al., 1994) y control clasico general en (Manabe, 2001).

Los trabajos en (Mracek, 2007; Mracek and Ridgely, 2006) consideraban solo co-

rrecciones por desviacion positiva, donde ambos controles se deflectan en la misma

direccion, generando un incremento de sustentacion inmediata y la traslacion del misil.

Con este metodo los misiles de control doble pueden tener dificultades en conseguir

angulos de ataque grandes y por tanto altos niveles de aceleracion lateral. Los metodos

lineales en (Ochi, 2003; Ochi and Kanai, 1997) se combinaron con un generador de

ordenes de angulo de ataque que puede conseguir que el misil opere de modo opuesto,

que gira el misil aumentando el angulo de ataque final. En contraste la referencia (Ochi

et al., 1994) solo consideraba el modo opuesto pero no el de desviacion.

Cuadro 1.2: Referencias JCR para autopilotos de doble control

Referencia Modelo aerodinamico Control

Mracek (2007) Ajuste polinomio SDREMracek and Ridgely (2006) Coeficientes constantes LQTOchi (2003) Coeficientes constantes LQTManabe (2001) Coeficientes constantes PIDOchi and Kanai (1997) Coeficientes constantes PIDOchi et al. (1994) Coeficientes constantes PID

Ninguno de estos artıculos incorpora el efecto de acoplamiento cruzado entre los

controles ( terminos δcqδtq y de orden superior) en el diseno del auto piloto. Aunque

el efecto neto en fuerza puede ser pequeno, se dan fluctuaciones importantes en el

momento de cabeceo debido al efecto de la estela sobre la cola.

proporcionado amablemente por la oficina espanola Spanish NATO RTO Office

16


δcq

−δtqVM

q

α

(a) Opuesto

δcqδtq

VM

α

n

(b) Desviacion

Figura 1.8: Modos de operacion del misil con control doble.

En la aproximacion de dos lazos el auto piloto se coloca en un bucle interior y

se disena separadamente del lazo exterior de guiado, asumiendo que existe separacion

espectral entre el auto piloto y el guiado. Cuando se asume que la dinamica del misil

es de primer orden, que el blanco esta efectuando una maniobra constante, se deriva la

ley de guiado optimo, (Sanz-Aranguez, 2011; Zarchan, 2012). Distintos investigadores

en la literatura cientıfica han estudiado la ley de guiado optima para el misil de control

doble, vease la tabla 1.3.

Cuadro 1.3: Referencias JCR para el guiado de misil DAC.

Referencia Modelo aerodinamico G& C Control

Levy et al. (2015) Coeficientes constantes IGA LQRYan and Ji (2012) Coeficientes constantes IGA Small-gainM. Idan and Golan (2007) Coeficientes constantes IGA SMCShima and Golan (2007) Transferencia lineal Two-Loop LQDShima and Golan (2006) Transferencia lineal Two-Loop LQDShima and Golan (2005) Transferencia lineal Two-Loop LQD

Estos autores del Israel Institute of Technology han conseguido soluciones al pro-

blema de la interceptacion final, lınearizada alrededor del curso de colision, empleando

un regulador lineal cuadratico diferencial LQG con y sin limitaciones en los angulos de

control del misil. El bloque de guiado imparte los comandos directamente a los canales

de control delantero y trasero, cada uno de los cuales se representan por funciones de

transferencia lineales, asumiendo que los angulos de actitud del misil son pequenos, la

velocidad es constante y no existe acoplamiento entre las acciones del canard y de la

cola. Con estas hipotesis, los autores sugieren que debe darse preponderancia al control

canard, ya que incrementando el esfuerzo de control en la cola tiene un efecto negativo

al aumentar el efecto de fase no mınima. Estos resultados son consistentes con el es-

tudio anteriormente citado de Gutman, acerca de la superioridad del misil con control

canard bajo hipotesis similares.

17


1.4.3. Integracion del Autopiloto y Guiado

La integracion de guiado y del auto piloto es una de las areas de investigacion mas

activas a dıa de hoy en el area de misiles. En esta aproximacion de guiado y auto piloto

integrados (IGA), las instrucciones de control se generan directamente a los servos,

calculadas a partir de los estados de guiado y control de vuelo de modo conjunto,

sin un lazo separado de auto pilotado. En artıculos cientıficos sobre el esquema IGA

para misil con control doble aerodinamico, ver tabla 1.3 se han empleado control con

resbalamiento M. Idan and Golan (2007), el teorema de pequenas ganancias Yan and

Ji (2012) y reguladores lineales cuadraticos Levy et al. (2015). Todos estos autores

consideraron un misil de dinamica lineal operando en modo de desviacion. Levy Levy

et al. (2015) recientemente ha concluido que, asumiendo dinamica linearizada de la

trayectoria del misil en torno al curso de colision, la aproximacion integrada y la de

dos lazos dan resultados equivalentes, sin ninguna ventaja para la solucion integrada.

Como se ha visto, al resolver el problema integrado es tıpico recurrir a linealizar el

problema alrededor del curso de colision (Levy et al., 2013; Park et al., 2011; Zhurbal

and Idan, 2011a) o plantearlo en ejes cuerpo (Balakrishnan et al., 2013; Dancer et al.,

2008; Xin et al., 2006; Menon and Ohlmeyer, 2001). Esto se hace porque, debido a

que la aproximacion integrada combina los estados de guiado y del misil, que tienen

diferentes escalas, con cualquiera de estas dos aproximaciones mencionadas reduce la

magnitud de los estados de guiado al omitir la distancia entre el misil y el blanco a

lo largo de la lınea de mira, o a lo largo del eje de simetrıa del misil respectivamente.

El control proporcional tiende a compensar por errores en proporcion a su magnitud.

Si los errores de guiado dominan sobre los estados del misil, los comandos de control

resultar en una aceleracion del misil muy alta y causan la saturacion de los controles,

con la perdida de control del misil. Este es un factor que se eliminara en la tesis.

Como alternativa a las distancias al blanco, es conveniente hacer notar que otros

autores que han integrado guiado y auto piloto-aunque no para misil con control doble-

han empleado la velocidad angular de la lınea de mira (Vaddi et al., 2009; Menon et al.,

2002b), los errores de apuntamiento a un punto previsto de impacto (Harl et al., 2010)

o el angulo entre la lınea de mira y la velocidad del misil (Yamasaki et al., 2012), ya que

las escalas de cualquiera de estas magnitudes es comparable a la escala de los estados

del misil. Las estrategias de guiado que resultan en estos escenarios son similares a

seguir una ley de navegacion proporcional en los dos primeros y una ley de persecucion

pura en el ultimo. Sin embargo es bien conocido que una ley de navegacion proporcional

o una ley de desviacion pura resultan en demandas de aceleracion al misil superiores

que las que se obtienen con una ley de guiado optimo (Zarchan, 2012).

En esta tesis ademas se empleara el desarrollo matematico en ejes inerciales, ya que

la formulacion en ejes cuerpo tiene varios inconvenientes: la eliminacion de la distancia

18

1.5. ESQUEMA DE LA TESIS

a lo largo del eje de simetrıa puede resultar en que el misil se deslice alrededor del blanco

sin conseguir el impacto (Balakrishnan et al., 2013) y es muy sensible a la seleccion de

los factores de ponderacion (Xin et al., 2006), ası como un comportamiento oscilatorio

del misil debido al bajo amortiguamiento de la celula en cabeceo.

1.5. Esquema de la Tesis

Las conclusiones sobre la efectividad del concepto de misil DAC frente a arquitec-

turas mas tradicionales en servicio actualmente solo puede establecerse una vez que

todos los aspectos relevantes del problema se han investigado. El cuerpo de la tesis

refleja los principales resultados obtenidos, mientras que resultados secundarios se han

trasladado a los apendices para facilitar la exposicion. La estructura de capıtulos es

como sigue:

Capıtulo 2, se centra en el estudio del aerodinamica del misil con control doble

y en el desarrollo de un modelo aerodinamico analıtico completo. Se presentan

los diagramas de maniobra para este tipo de control.

Capıtulo 3, esta dedicado al guiado y control empleando una aproximacion

clasica en doble bucle, donde el auto piloto y el guiado son independientes. El

auto piloto aquı se ha desarrollado de modo que tenga en consideracion las ca-

racterısticas no lineales del control doble, y se desarrolla una solucion completa

tridimensional desarrollando la teorıa matematica del control optimo. En com-

binacion con la ley de guiado optimo, el esquema de doble bucle se compara fa-

vorablemente con las actuaciones de misiles con control clasico en cola o canard,

obteniendose menores distancias de paso y requiriendose menos maniobra en el

misil. Se obtienen los dominios de tiro desde distintas posiciones de lanzamiento.

Capıtulo 4 esta dedicado al desarrollo y a la solucion de la logica integrada IGA

para el misil de doble mando aerodinamico DAC. Este es el principal capıtulo de

la tesis e incorpora resultados obtenidos en los capıtulos anteriores. Para resol-

ver el problema matematico que resulta, se ha desarrollado dentro de la teorıa

de control optimo, una nueva solucion empleando la ecuacion de Lyapunov. Se

evalua los resultados de este tipo de control frente a la aproximacion desacopla-

da del capıtulo anterior, con resultados muy positivos, superiores para el control

integrado. Se incorporan ademas en este capıtulo efectos reales como ruidos en

el radar, efectos de radomo y el efecto de considerar datos del radar en forma

digital. Finalmente se demuestra que este misil IGA-DAC puede, realizar man-

teniendo siempre el control aerodinamico, una defensa contra un blanco que le

ataque por la cola.

19

1.5. ESQUEMA DE LA TESIS

Capıtulo 5, contiene las conclusiones de la Tesis, implicaciones para el diseno

del misil y las recomendaciones para futuros trabajo.

Apendice A trata el calculo diferencial de matrices y su relacion con el producto

de Kronecker.

Apendice B contiene los resultados principales de la teorıa de control optimo

que son necesarios para el desarrollo.

Apendice C contiene la geometrıa y los parametros de mision del misil base

NASA que se emplea para ilustrar los resultados teoricos de la tesis.

Apendice D Contiene los datos aerodinamicos en bruto para el misil de control

doble, obtenidos a traves de experimentos en tunel de viento de la literatura ası

como resultados numericos obtenidos con metodos de aerodinamica computacio-

nal (CFD) y metodos semi-experimentales (software US Air Foce DATCOM).

Appendix E contiene los coeficientes aerodinamicos para el misil base.

Appendix F ecuaciones cinematicas y dinamicas del movimiento del misil.

Appendix G ecuaciones analıticas obtenidas para cada componente de las ma-

trices en el espacio de los estados obtenidas en los capıtulos 3 y 4.

Appendix H aquı se describe el modelo de ruido para un radar aire-aire activo

ası como la dinamica del servomecanismo de la cabeza buscadora.

Se incluye una seccion con la Bibliografıa al final.

20

Capıtulo 2

Aerodinamica del Misil con Doble

Control y su Maniobrabilidad

Este capıtulo propone un modelo aerodinamico para estudiar los efectos no lineales

asociados con altos angulos de ataque y acoplamiento entre controles que se dan en

nuestro misil. La seccion 2.1 define la geometrıa y las caracterısticas operativas del

misil, introduce la nomenclatura especıfica para el control doble y estudia los fenome-

nos aerodinamicos que tienen que ser incluidos en el modelo analıtico con la ayuda de

la teorıa de cuerpos esbeltos. La seccion 2.2 desarrollar y presentar el modelo aero-

dinamico analıtico para todos los coeficientes CN , Cm, CA, Cl, CS and Cn. Los datos

aerodinamicos procedentes de experimentos en tunel y calculos numericos del aero-

dinamica se han empleado para validar el modelo. En la seccion 2.3 se describe la

respuesta en lazo abierto, sin control -para el misil de doble mando aerodinamico y el

diagrama de maniobra. Finalmente la seccion 2.4 contiene las conclusiones para este

capıtulo. Los resultados aquı obtenidos seran empleados en los estudios de guiado y

control del capıtulo siguiente.

2.1. Configuracion y fenomenos aerodinamicos

Se describe a continuacion la configuracion del misil seleccionada en este trabajo:

El misil de control doble aerodinamico es un misil de corto a medio alcance en

misiones aire-aire, con un motor cohete de propulsante solido, equipado con un

radar activo 1

Radomo de tipo ojiva tangente para reducir la resistencia aerodinamica (ver figura

1Los requisitos de informacion impuestos por la ley de guiado incluyen distancias y velocidadesrelativas al blanco, ası como una estimacion de la maniobra del blanco, que solo pueden ser obtenidosa traves de un radar. Un buscador de infrarrojos solo mide directamente la velocidad angular de lalınea de mira y ademas instala un irdome semiesferico con una alta resistencia aerodinamica.

21

2.1. CONFIGURACION Y FENOMENOS AERODINAMICOS

2.1), seguido por un cuerpo cilındrico de alta relacion de aspecto y dos sets de

aletas cruciformes colocados en la seccion delantera (canard) y trasera (cola).

Todas las aletas son de pequena envergadura y bajo alargamiento, con una rela-

cion entre la semienvergadura y el radio del misil proxima a, o menor que uno.

Esto ultimo se debe a los requisitos mas restrictivos que se imponen en los misi-

les modernos con respecto al tamano de las aletas para el transporte en el avion

lanzador.

Toda la aleta de control se mueve alrededor de un eje de charnela perpendicular

al cuerpo del misil.

Se asume que todas las aletas tienen la misma forma en planta.

Finalmente se asume que el misil es un cuerpo rıgido con tetra-simetrıa, tanto en

geometrıa como propiedades masicas.

Con respecto a la operacion del misil:

Se considera solo la fase de vuelo supersonico, de acuerdo con la mision de ataque

terminal aire-aire definida en el apendice C.2, o con la mision de defensa contra

ataque en cola definida en 4.5.

El misil emplea control cartesiano (skid-to-turn) y estara estabilizado en balanceo

en cruz +. Esta configuracion es inestable en balanceo, y por tanto requiere que el

auto piloto compense por cualquier perturbacion en balanceo para mantener esta

orientacion. Aunque la configuracion en ”x”puede resultar en una mayor capaci-

dad de maniobra, se selecciona la configuracion en cruz ya que reduce el numero

de torbellinos que se desprenden de las aletas delanteras y que interaccionan con

las superficies en cola, lo que se traduce en una mayor controlabiliad del misil

DAC.

El control en balanceo se consigue mediante deflexiones diferenciales de los con-

troles en la cola. En este misil solo seis servomecanismos son necesarios, ya que la

superficies 1c y 3c, ası como las 2c y 4c, estan ligadas mecanicamente (ver figura

2.1). Cada una de las aletas de cola 1t, 2t, 3t, 4t, esta accionada por su propio

servomecanismo.

2.1.1. Definiciones

Los ejes cuerpo (B) MXBY BZB (ver figura 2.1) estan centrados en el centro de

gravedad del misil, y alineados con las superficies de control y los ejes principales de

inercia del misil. El eje MXB apunta hacia la ojiva del misil, el eje MY B hacia la

22


Figura 2.1: Ejes y definiciones

derecha visto desde atras y el eje MZB havia las aletas inferiores. El plano MXBY B

es el plano de guinada y el plano MXBZB es el plano de cabeceo.

La velocidad del misil con respecto a una referencia inercial LXLY LZL, expresada

en ejes cuerpo es:

V BM =

[u v w

]T(2.1)

y su velocidad angular:

ωBM =[p q r

]T(2.2)

Las velocidades angulares del misil en ejes cuerpo, cabeceo q, balanceo p y guinada

r, siguen la regla de la mano derecha, ver Figura 2.1. Los ejes viento se definen de

modo que OXW esta alineado con la velocidad del misil:

VWM =

[VM 0 0

]T(2.3)

con VM =√u2 + v2 + w2 .

Los angulos de ataque y de guinada se definen como:

α = t−1(wu

)(2.4)

23


β = s−1

(v

VM

)(2.5)

El angulo de guinada es positivo cuando la velocidad aerodinamica esta en el lado

derecho del plano de simetrıa. Notese que con esta definicion de guinada no se mantiene

la simetrıa de los angulos de incidencia con respecto a los dos planos de control del

misil, pero se acepta ya que se restringe el analisis a valores moderados de β.

El angulo de ataque total y el angulo de balanceo aerodinamico se definen como:

αT = c−1

(u

VM

)= c−1 (cαcβ) (2.6)

φa = t−1( vw

)= t−1

(tβ

sα

)(2.7)

donde los coeficientes aerodinamicos son funciones periodicas de φa.

Con respecto al criterio de signos para los angulos del control, mirando desde la

trasera del misil, un angulo positivo para las superficies verticales mueve el borde de

ataque a la derecha, y para las superficies horizontales mueve el borde de ataque hacia

arriba. Notese que para aeronaves se suele adoptar un criterio distinto (Klein and

Morelli, 2010). Un balanceo positivo es en el sentido de las agujas del reloj visto desde

la trasera del misil.

Debido a que en misiles el centro de gravedad se desplaza con la combustion del

motor, se definen los coeficientes de momento aerodinamico alrededor de un punto fijo,

conocido como centro de referencia de momentos, o moment reference center (mrc): L

M

N

= q∞Srefd

Cl

Cm

Cn

(2.8)

Las fuerzas y momentos aerodinamicos en el centro de gravedad del misil se calculan

a traves de: FA

FS

FN

= q∞Sref

CA

CS

CN

(2.9)

Lcm

Mcm

Ncm

= q∞Srefd

Cl

Cm + s(t) · CNCn − s(t) · CS

(2.10)

con:

s(t) = dcm(t)− dmrc (2.11)

donde d es una distancia adimensional medida en calibres d. Notese que en la ecuacion

24


2.10 cuando s(t) 6= 0 existe acoplamiento entre las fuerzas y momentos aerodinamicos..

Cuadro 2.1: Variables de movimiento

Ejes Cuerpo Balanceo XB Cabeceo Y B Guinada ZB

Velocidad angular p q rVelocidad u v wFuerzas aerodinamicas FA FS FNMomentos aerodinamicos Lcm Mcm Ncm

Momentos de Inercia IBx IBy IBzDeflexiones del Control δp δq δrAngulos de Euler φ θ ψEmpuje del Misil T

Se verifica que

β > 0⇒ FS > 0 (2.12a)

α > 0⇒ FN > 0 (2.12b)

angulo de control en cabeceo:

δcq =1

2(δ1c + δ3c) (2.13)

δtq =1

2(δ1t + δ3t) (2.14)

δcq > 0⇒ (FN > 0,M > 0) (2.15a)

δtq > 0⇒ (FN > 0,M < 0) (2.15b)

angulo de control en guinada:

δcr =1

2(δ2c + δ4c) (2.16)

δtr =1

2(δ2t + δ4t) (2.17)

δcr > 0⇒ (FS < 0, N > 0) (2.18a)

δtr > 0⇒ (FS < 0, N < 0) (2.18b)

25

2.1. ACOPLAMIENTO AERODINAMICO CANARD-COLA

angulo de control en balanceo:

δp =1

4(δ3t + δ4t − δ1t − δ2t) (2.19)

δp > 0⇒ L > 0 (2.20)

δ1c

δ2c

δ3c

δ4c

δ1t

δ2t

δ3t

δ4t

=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 −1 1 0

0 0 −1 0 1

0 0 1 1 0

0 0 1 0 1

·

δcq

δcr

δp

δtq

δtr

(2.21)

2.1.2. Acoplamiento Aerodinamico Canard-Cola

La fuerza normal de la configuracion completa se define como:

CN = CNB + CNBc + CNcB + CNBt + CNtB

+ CNβ + CNβ + ∆CNt−vc + ∆CNt−vB + ∆CNc−vB(2.22)

La complejidad adicional en nuestro misil viene dada por la interferencia que resulta

cuando los vortices desprendidos por el canard cambian las caracterısticas de control

de la cola. Este efecto en la ecuacion 2.22 esta incluido en el termino ∆CNt−vc .

Las investigaciones de los autores (Spahr and Dickey, 1953; Wood et al., 2003) des-

criben las caracterısticas esperadas en la estela del canard. Para el misil con control

doble con angulo nulo de balanceo y sin guinada, las superficies delanteras superior

e inferior no producen ningun torbellino porque no tienen angulo de incidencia con

respecto al flujo incidente. Las superficies delanteras horizontales desprenden un tor-

bellino al aumentar el angulo de incidencia. Experimentos numericos llevados a cabo

en esta tesis, demuestran que para las aletas de pequeno alargamiento, este torbellino

esta completamente desarrollado antes de llegar a la cola (ver figura 2.2).

Esta situacion se puede aproximar por un modelo teorico representado en la figura

2.3.

Con la aplicacion de la teorıa de torbellinos bidimensional y la teorıa de cuerpos

esbeltos (Rogers, 1954; Pitts et al., 1957), se obtiene que:

26


Figura 2.2: Contornos de presion total. Para el misil a 2,5 Mach y angulos de ataquede α = 5 deg (superior) y α = 30 deg (inferior). El canard del misil esta deflectadoδqc = 20 grados.

Γc =2VMc

cNSrefπbe

(2.23)

Se ha definido:

cN = cNi (i) · i

=n∑k=0

c2k+1i2k+1

(2.24)

como la sustentacion del control aislado, que es una funcion de su incidencia local i.

27


δcq

Zb

Xb

be2

d

VM

hφ=0Trayect

oriaVortic

e

α

δtq

δtr

Yb

Zb

−ΓcΓc

fc

Figura 2.3: Modelo de interferencia entre controles

La pendiente de esta curva es cNi(i) =∑n

k=0 c2k+1i2k.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

Angulo de incidencia, i, deg

c N

Ajuste polinomico, ec.( 2.24)Missile Datcom

Figura 2.4: Sustentacion del control aislado, 2.5 Mach. Calculado con el programaMissile DATCOM de la US Air Force (Auman et al., 2011).

Definiendo el centro de vorticidad como (Moore, 2000) fc:

fc =d

2+π

4

be2

(2.25)

La perdida de sustentacion en la cola puede expresarse como:

∆Nt−vc = q∞Sref∆CNt−vc (2.26)

28


donde:

∆CNt−vc = Kt−vc

(Γc

πitqVMbe

)ctN (2.27)

y Kt−vc < 0 esta representado en la figura 2.5 para distintos angulos de canard y de

ataque.

De aquı:

∆CNt−vc(α, δcq, δ

tq) =

Kt−vc

2π

(d

be

)2

ccNictNiicq (2.28)

donde ccNi y ctNi estan calculadas a icq y itq respectivamente.

−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14

−1,4

−1,2

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0

Angulo de ataque, deg

Kt−vc

δcq = −5δcq = 0δcq = 5δcq = 10δcq = 20

Figura 2.5: Coeficiente de interferencia Kt−vc.

De la ecuacion 2.28 se desprende que ∆CNt−vc es una funcion no lineal que depende

del angulo de ataque α del angulo del canard δcq, y tiene una dependencia de segundo

orden del angulo de control de cola δtq a traves del termino ctNi , vease ecuacion 2.24.

Ası este termino en su desarrollo contiene terminos del tipo δcqδtq.

La figura 2.6 representa la ecuacion 2.28, donde se hacen las siguientes observa-

ciones. El efecto significativo se da en la zona de bajos angulos de ataque y se disipa

rapidamente a medida que los vortice del canard se alejan de la cola a mayores angu-

29


los de ataque. El efecto del angulo de control en la cola es de importancia secundaria

comparado con el angulo de control del canard y el angulo de ataque, aunque aumenta

con el primero.

De aquı se obtiene que:

∆CtNt−vc(α, 0, δ

tq) =

Ktt−vc

2π

(d

be

)2

cNi (KcBα) ctNiKcBα (2.29)

∆CcNt−vc(α, δ

cq, 0) =

Kt−vc

2π

(d

be

)2

ccNicNi (KtBα) icq (2.30)

2.1.3. Incidencia de los Controles y Saturacion Supersonica

Puede definirse un angulo de estela medio en la seccion de cola como:

εq(α, δcq) =

∂εq∂α· α +

∂εq∂δcq· δcq (2.31)

siendo

∂εq∂α

=∆CNt−vc(α, 0, 0)

α · cNi (KcBα)(2.32)

∂εq∂δcq

=∆CNt−vc(0, δ

cq, 0)

δcqcNi(kcBδcq

) (2.33)

Los angulos de incidencia se definen como:

icq = KcB · α + kcB · δcq (2.34)

itq = KcB · α ·(

1 +∂εq∂α

)+ ktB ·

(δtq +

∂εq∂δcq· δcq)

+ δp (2.35)

icr = KcB · β − kcB · δcr (2.36)

itr = KcB · β ·(

1 +∂εr∂β

)− ktB ·

(δtr +

∂εr∂δcr· δcr)− δp (2.37)

donde de la simetrıa del misil se desprende que:

∂εr∂β

=∂εq∂α

(2.38)

∂εr∂δcr

=∂εq∂δcq

(2.39)

30


−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14−0,6

−0,55

−0,5

−0,45

−0,4

−0,35

−0,3

−0,25

−0,2

−0,15

−0,1

−5 · 10−2

0

5 · 10−2

0,1

Angulo de ataque, deg

∆CNt−vc

δtq = −10o

δtq = 0o

δtq = 10oδcq = 20

δcq = 10

δcq = 0∆CNt−vc

Figura 2.6: Perdida de fuerza normal en la cola debido a la interferencia aerodinamicaentre canard y cola.El efecto es mas significativo a bajos angulos de ataque cuando losvortices impactan directamente en la cola.

31

2.2. MODELO AERODINAMICO

Como consecuencia, la incidencia en cada uno de los ocho controles del misil sera

distinta. La saturacion supersonica ocurre cuando el coeficiente de fuerza normal del

control cN no sigue aumentando con incrementos en el angulo de incidencia local. El

dominio controlable para nuestro misil se define como el conjunto de angulos de inci-

dencia 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37, que estan por debajo del angulo de saturacion supersonica

iss. El valor de iss se obtiene de una funcion experimental del tipo:

cNss = f (AR,M∞) (2.40)

cNss = cNi (iss) · iss (2.41)

1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 32,3

2,35

2,4

2,45

2,5

2,55

2,6

2,65

2,7

M∞

c Nss

AR = 2,0AR = 1,8AR = 1,6AR = 1,4AR = 1,2

Figura 2.7: Saturacion supersonica

Cuando el control se satura

∂Cm∂δ

= 0 parai > iss

2.2. Modelo Aerodinamico

Para un cierto numero de Mach M∞ se ha desarrollado un modelo matematico

original para la aerodinamica de un misil generico de control doble, incorporando este

modelo el efecto visto de acoplamiento cruzado entre controles. Este modelo se define

32


en terminos de coeficientes invariantes que pueden ser ajustados mediante metodos de

identificacion de parametros.

2.2.1. Fuerza Normal

Static Control Fixed Terms

CN = CNαα + CNα|α|α|α|+ CNα3α3 + CNβ2α

β2α

Canard Control Effects

+(CNδcq + CNαδcqα + CNβ2δcq

β2)δcq

Tail Control Effects

+(CN

δtq+ CN

αδtqα + CN

β2δtqβ2)δtq

Dual Control Interference Effects

+(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)δcqδ

tq

Dynamic Terms

+(CNqq + CNαα)d

2VM

(2.42)

El coeficiente de fuerza normal se presenta en la ecuacion 2.42 y contiene terminos

estaticos y dinamicos. Los terminos estaticos se deben al angulo de ataque, angulo

de guinada, deflexiones de los controles y acoplamiento cruzado entre los mismos.La

respuesta del misil DAC al angulo de ataque cuando no hay control se aproxima por

un modelo de orden tres, CNαα + CNα|α|α|α| + CNα3α3. El efecto de β por el termino

CNβ2αβ2α.

La respuesta en los controles individuales, canard o cola, es lineal mas un termino

que considera la variacion de la efectividad del control con el angulo de ataque. La

efectividad del control en cola o canard es distinta con el angulo de ataque.

33


−5 0 5 10 15 20 25 30−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Angle of attack, deg

CN

Aero Model (all lines)

EXP δcq = 10 δtq = 10


CFD δcq = 10 δtq = −10

EXP δcq = 20 δtq = −20

CFD δcq = −10 δtq = −10

Figura 2.8: Coeficiente de fuerza normal, dos controles. EXP indica datos experimen-tales de tunel de viento, CFD datos calculados numericamente, mientra que las lıneascontınuas representan el modelo aerodinamico analıtico.

34


2.2.2. Fuerza en Guinada

Sin control

CS = CSββ + CSβ|β|β|β|+ CSβ3β3 + CSα2β

α2β

Control Canard

+(CSδcr + CSβδcrβ + CSα2δcr

α2)δcr

Control Cola

+(CS

δtr+ CS

βδtrβ + CS

α2δtrα2)δtr

Control Doble

+(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)δcrδ

tr

Amortiguamiento

+(CSrr + CSβ β)d

2VM

(2.43)

2.2.3. Momento de Cabeceo

Sin Control

Cm = Cmαα + Cmα|α|α|α|+ Cmα3α3 + Cmβ2α

β2α

Control Canard

+(Cmδcq(α) + Cmβ2δcq

β2)δcq

Control Cola

+(Cmδtq(α) + Cm

β2δtqβ2)δtq

Control Doble

+(Cm

δcqδtq

+ Cmαδcqδ

tqα)δcqδ

tq

Amortiguamiento

+(Cmqq + Cmαα)d

2VM

(2.44)

Donde las efectividades de los controles vienen definidas por:

35


Cmδcq(α) =

n1∑k=1

Ckmαδcq

e−

α−αkδcq

∆αkδcq

2

α ≥ 0

n1∑k=1

2Ckmαδcq

e−

α−αkδcq

∆αkδcq

2

− Ckmαδcq

e−

|α|−αkδcq∆αk

δcq

2

α < 0

(2.45)

Cmδtq(α) =

C0mαδtq

+n2∑k=1

Ckmαδtq

(α)k α ≥ 0

2C0mαδtq

−n2∑k=1

Ckmαδtq

(|α|)k α < 0(2.46)

2.2.4. Momento de Guinada

Sin control

Cn = Cnββ + Cnβ|β|β|β|+ Cnβ3β3 + Cnα2β

α2β

Control Canard

+(Cnδcr(β) + Cnα2δcr

α2)δcr

Control Cola

+(Cnδtr(β) + Cn

α2δtrα2)δtr

Control Doble

+(Cn

δcrδtr

+ Cnβδcrδ

trβ)δcrδ

tr

Amortiguamiento

+(Cnrr + Cnβ β)d

2VM

(2.47)

Cnδcr(β) =

n1∑k=1

2Cknβδcr

e−(β−βk

δcr∆βk

δcr

)2

− Cknβδcr

e−

β−βkδcr

∆αkδcq

2

β ≥ 0

n1∑k=1

Cknβδcr

e−(|β|−βk

δcr∆βk

δcr

)2

β < 0

(2.48)

Cnδtr(β) =

2C0

nβδtr

−n2∑k=1

Cknβδtr

(β)k β ≥ 0

C0nβδtr

+n2∑k=1

Cknβδtr

(|β|)k β < 0(2.49)

36


−5 0 5 10 15 20 25 30−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Angle of attack, α (deg)

Cm



CFD δcq = 20 δtq = 0





Missile Datcom δcq = 0 δtq = 0

Figura 2.9: Momento de cabeceo, un control.

37


−5 0 5 10 15 20 25 30−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20


Cm







Figura 2.10: Momento de cabeceo, dos controles

38


2.2.5. Momento de Balanceo

Balanceo Inducido

Cl = Cli(α, β) + Clαδcr (α)δcr + Clβδcq (β)δcq

Control de Balanceo

+Clδp(α, β)δp

Amortiguamiento

+Clpg6(α, β)pd

2VM

(2.50)

Cada uno de los distintos terminos se detalla en los siguientes parrafos.

Momento de Balanceo Inducido

Se distinguen dos casos, balanceo inducido debido a una combinacion de α y β, Cli ,

y debido a deflexiones del control. En el primer caso:

Cli(α, β) = s (4φa)(Cli01

β2 + Cli21α2 + Cli41

α4 + Cli61α6)

+s (8φa)(Cli02

β2 + Cli22α2 + Cli42

α4 + Cli62α6) (2.51)

Debido a la simetrıa, este momento inducido es nulo cuando:

β = t−1(s(α)) (2.52)

El balanceo inducido asociado con una deflexion del control se define con una serie

truncada de Fourier (ver Figura 2.12):

Clαδcr (α) =

n4∑k=1

Cklαδcr

s(ωkαδcrα + φkαδcr) (2.53a)

Clβδcq (β) =

n5∑k=1

Cklβδcq

s(ωkβδcqβ + φkβδcq) (2.53b)

39


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

−0,14

−0,12

−0,1

−8 · 10−2

−6 · 10−2

−4 · 10−2

−2 · 10−2

0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2

8 · 10−2

0,1

0,12

0,14


Cl i(α,β

)

aero model β = 5 degCFD, β = 5 degaero model β = 10 degCFD, β = 10 degaero model β = 15 degCFD, β = 15 deg

Figura 2.11: Balanceo inducido

Momento de Control en Balanceo

Clδp(αT ) =

n6∑k=1

CklαT δp

e

(αT−α

kTδp

∆αkTδp

)2

(2.54)

40


0 5 10 15 20 25 30 35 40−0,5

−0,45

−0,4

−0,35

−0,3

−0,25

−0,2

−0,15

−0,1

−5 · 10−2

0

Angulo de ataque, α (deg)

Cl αδc r(α

)

Aero Modelδcr = 5δcr = 10

Figura 2.12: Balanceo inducido debido a α y δcr.

0 5 10 15 20 25 30 35 400,118

0,12

0,122

0,124

0,126

0,128

0,13

0,132

0,134

Angulo de ataque total, αT (deg)

Clδp(α

T)

Aero ModelCFD data

Figura 2.13: Momento de Control en Balanceo.

41


2.2.6. Fuerza Axial

Figura 2.14: Contornos a Mach constante. α = 15, δcq = 10 , δtq = −10. La figura ilustrala complejidad de la interaccion axial.

El modelo para la fuerza axial, ecuacion 2.55, contiene numerosos factores de in-

terferencia, debido a la fısica tan compleja que aparece con el doble mando en esta

direccion. Cuando no actua ningun control la respuesta en fuerza axial se representa

por un modelo de tercer orden en angulo de ataque. En este modelo la respuesta axial

con la guinada es lineal debido a las restricciones en guinada que se mencionaron al

discutir las hipotesis del modelo. Notese que la fuerza axial es lineal con el angulo de

ataque en el caso del canard, pero cuadratica en angulo de ataque con la deflexion de

la cola, para considerar el hecho de que la cola opera dentro de la estela del fuselaje y

el canard. Cuando ambos controles estan deflectados, la ecuacion introduce terminos

de mayor orden, para considerar la mayor complejidad de la interaccion en direccion

axial.

42


Sin control

CA = CA0 + CAα |α|+ CAβ |β|+ CAα2α2 + CAα3 |α|

3

Resistencia de base

+∆CAb

Control canard cabeceo

+(CAδcq sgn δcq + CAαδcqα + CAβδcqβ

)δcq

Control canard guinada

+(CAδcr sgn δcr + CAαδcrα + CAβδcrβ

)δcr

Control balanceo

+CAδp |δp|

Control cola cabeceo

+(CA

δtqsgn δtq + CA

αδtqα + CA

α2δtqα2 + CA

βδtqβ)δtq

Control cola guinada

+(CA

δtrsgn δtr + CA

αδtrα + CA

α2δtrα2 + CA

βδtrβ)δtr

Control doble en cabeceo

+

(CA

δcqδtq

+ CAαδcqδ

tqα + CA

δcq2δtqδcq + CA

δcqδtq2δtq

)δcqδ

tq

Control doble en guinada

+(CA

δcrδtr

+ CAβδcrδ

trβ + CA

δcr2δtrδcr + CA

δcrδtr2δtr

)δcrδ

tr

(2.55)

con:

sgn δ =

|δ|δ

δ 6= 0

0 δ = 0(2.56)

La resistencia de base es:

∆CAb (t) =

−CAb AeSref

t ≤ tb

0 t > tb(2.57)

donde Ae es el area de salida de la tobera.

43


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

Angle of attack, α deg

CA

Aero model






Figura 2.15: Fuerza Axial, un control.

44


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6


CA

Aero Model





Figura 2.16: Fuerza Axial, dos controles.

45

2.3. MANIOBRABILIDAD ESTATICA

2.2.7. Variaciones con el numero de Mach

Se asume que en la fase terminal de la maniobra las variaciones 4M∞ alrededor de

M∞, siendo M∞ > 2,0, son pequenas, y por tanto se tiene que:

CA (M∞ +4M∞) = CA(M∞) +∂CA∂M∞

∣∣∣∣M∞

4M∞M∞

(2.58a)

CN (M∞ +4M∞) = CN(M∞) +∂CN∂M∞

∣∣∣∣M∞

4M∞M∞

(2.58b)

CS (M∞ +4M∞) = CS(M∞) +∂CS∂M∞

∣∣∣∣M∞

4M∞M∞

(2.58c)

Cm (M∞ +4M∞) = Cm(M∞) +∂Cm∂M∞

∣∣∣∣M∞

4M∞M∞

(2.58d)

Cn (M∞ +4M∞) = Cn(M∞) +∂Cn∂M∞

∣∣∣∣M∞

4M∞M∞

(2.58e)

2.3. Maniobrabilidad Estatica

2.3.1. Diagrama de maniobra

Esta seccion evalua la maniobra lateral que puede dar el misil con control doble en

condiciones de equilibrio, empleando las ecuaciones 2.42 y 2.44. La maniobra se define

como:

ntrim =q∞Srefmg

CNtrim (2.59)

donde CNtrim se define en condiciones de equilibrio:

Cm(α, δcq, δ

tq

)= 0

αtrim,δcqtrim

,δtqtrim===========⇒ CNtrim = CN

(αtrim, δ

cqtrim

, δtqtrim

)(2.60)

Se buscan soluciones a la ecuacion Cm(α, δcq, δ

tq

)= 0 que sean compatibles con las

limitaciones aerodinamicas del misil, definidas en la tabla 2.2.

Los diagramas de maniobra del misil en equilibrio y compatibles con los lımites ası

definidos para αtrim > 0 y φa = 0, se representan el las figuras 2.19 y 2.20, para dos

altitudes distintas. Se obtienen los valores de la maniobra estatica en condiciones de

equilibrio ntrim vs. δcqtrim con αtrim y δtqtrim como parametros. Los resultados se dan

para Mach constante y cierta posicion del centro de gravedad.

46

2.3. MANIOBRABILIDAD ESTATICA

Cuadro 2.2: Limites para la envolvente de vuelo del misil

Parametro Sımbolo Valor Unidades

Maximo angulo de ataque αmax 30 degSaturacion supersonica iss 25,2 degLımite mecanico del control δmech ±30 degLımite estructural nstruc 40 g

Los resultados de las figuras 2.19 y 2.20 permiten ilustrar la comparacion entre el

control canard y el control en cola para un mismo misil, como se vio en la seccion 1.1.1.

Debido a que la cola produce un incremento de momento de cabeceo mucho mayor,

que ademas es constante en un rango amplio de angulo de ataque, da lugar a angulos

de ataque de equilibrio mayores. Sin embargo el control en cola produce un incremento

negativo de fuerza normal, con lo que el control en cola necesita un angulo de ataque

mayor para producir la misma fuerza normal CN que el misil canard para el mismo

angulo de control. Tambien se aprecia como el control delantero se satura mucho antes,

con lo que el misil con control en cola es capaz de generar una maniobra maxima mayor.

Cuando se accionan los dos controles, delantero y trasero de modo simultaneo, se

observan tres regiones diferenciadas:

1. Desviacion positiva , δcqtrim > 0 y δtqtrim > 0. La maniobra maxima es menor

que la del misil canard.

2. Control opuesto,δcqtrim > 0 y δtqtrim < 0, localizado entre el misil canard δtq = 0

y el cola δcq = 0.

3. Desviacion negativa, δcqtrim < 0 y δtqtrim < 0. Corresponde a la region a la

izquierda del misil cola, y limitado por el angulo mecanico maximo del control.

Potencialmente obtiene la maniobra mas elevada.

Sin embargo es interesante observar las caracterısticas de respuesta dinamica para

cada uno de estos modos. La figura 2.17 representa la respuesta no lineal en lazo abierto

para la misma maniobra final nBtrim = 10 g. Observese como la respuesta en lazo abierto

esta muy poco amortiguada y tendra que ser corregidas por el auto piloto. En el caso

de la desviacion negativa se observa como la respuesta dinamica comienza con valores

de maniobra negativos muy importantes y que su tiempo de estabilizacion es elevado,

lo que previene su utilizacion practica.

2.3.2. Eficiencia Aerodinamica

La eficiencia aerodinamica del misil es:

47

2.4. CONCLUSIONES

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

−5

0

5

10

15

20

tiempo, segundos

Ace

lera

cion

n(g

)

Desviacion-positiva δcqtrim > 0 δtqtrim > 0

Modo Opuesto δcqtrim > 0 δtqtrim < 0

Desviacion - Negativa δcqtrim < 0 δtqtrim < 0

Figura 2.17: Respuesta dinamica en lazo abierto, 12,000 m

Eff =CNcα− CAsαCNsα + CAcα

(2.61)

Este factor es indicativo de las actuaciones del misil en crucero, ası como de el uso

eficiente de la propulsion para perseguir al blanco. En general el misil debe mantener

una ventaja en velocidad sobre el blanco si se va a conseguir la interceptacion. Los

resultados para el misil de control doble se representan en la figura 2.18. El empuje

requerido para mantener el vuelo sostenido es aproximadamente igual al peso del misil

dividido entre su eficiencia aerodinamica (Chin, 1961; Fleeman, 2012). Se requiere

menos empuje para un misil DAC, lo que se traduce en menos peso estructural y un

factor de maniobra mayor. O de modo alternativo, para el mismo empuje el control

doble tendra mas capacidad de aceleracion o mas alcance para interceptar al blanco.

Ademas una vez que el motor se apaga la eficiencia aerodinamica superior se traduce

en un mayor alcance efectivo.

2.4. Conclusiones

En este capıtulo se ha caracterizado de modo teorico la interferencia entre los con-

troles delantero y trasero, y se han definido los angulos de incidencia para cada uno de

48

2.4. CONCLUSIONES

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

Canard

Cola

DAC

Angulo Canard, trimado, δcqtrim, (deg)

Rel

acio

nSust

enta

cion

/Res

iste

nci

a,L

/D

δtqtrim=-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15

Figura 2.18: Eficiencia aerodinamica.

los controles.

Igualmente se ha desarrollado un modelo analıtico continuo que captura todos los

efectos no lineales e incluye terminos estaticos y dinamicos. Este modelo ajusta adecua-

damente todos los datos experimentales disponibles ası como los datos aerodinamicos

numericos calculados.Como aplicacion directa del modelo se ha obtenido la maniobra-

bilidad estatica del misil y su eficiencia en crucero.

49

2.4. CONCLUSIONES

−30−

28−

26−

24−

22−

20−

18−

16−

14−

12−

10−

8−

6−

4−

20

24

68

1012

1416

1820

2224

051015202530354045

δt q=

-25

-20

-15

-10

-5

Misi

lCan

ard

5

10

15

αtrim

=5

αtrim

=10

αtrim

=15

αtrim

=20

Mis

ilC

ola

δc q

ntrim(g)

Fig

ura

2.19

:D

iagr

ama

de

man

iobra

a6,

000m

.

50

2.4. CONCLUSIONES

−30−

28−

26−

24−

22−

20−

18−

16−

14−

12−

10−

8−

6−

4−

20

24

68

1012

1416

1820

2224

05101520253035

δt q=

-30 -2

5

-15

-10

-5

Misil

Can

ard

5

10

15

αtrim

=5

αtrim

=10

αtrim

=15

αtrim

=20

αtrim

=25

Mis

ilC

ola

δc q

ntrim(g)δc q

−δt q

VM

αtrim

nB trim

=−nB ztrim

Fig

ura

2.20

:D

iagr

ama

de

man

iobra

a12

,000

m

51

Capıtulo 3

Guiado y Control en Doble-Lazo

Este capıtulo trata sobre el guiado y control en dos bucles para el misil de do-

ble mando aerodinamico y el metodo propuesto de resolucion. Asumiendo que existe

separacion espectral entre el auto piloto y el guiado, ambos bucles son disenados inde-

pendientemente en una arquitectura de G&C desacoplada. El bucle de guiado externo

puede ser tratado como solucion de un problema de control optimo lineal en horizonte

temporal finito. El modelo completo de auto piloto se plantea como una solucion no li-

neal de un problema de control en tiempo infinito, que sigue la demanda de aceleracion

del guiado. El modelo aerodinamico desarrollado en el capıtulo anterior se empleara en

la formulacion del problema en tres dimensiones.

3.1. Guiado Optimo

En el esquema de doble lazo se asume que el misil tiene una respuesta de primer

orden en la forma:

τgnL + nL = nLd (3.1)

donde nLd es la maniobra optima que tiene que calcularse y τg es el retardo de guiado.

La cinematica en su formulacion en el espacio de los estados y para una maniobra

constante del blanco resulta ser:

xg = Agxg +Bgug (3.2)

xg =[rLTM

TV LTM

TnLT

TnL

T]T

(3.3)

ug = nLd (3.4)

52

3.1. GUIADO OPTIMO

TargetDynamics

Guidancexg = f(xg,nd)

time-to-goEstimate

Autopilotxa = f(xa,xsd)

FinServosxs = f(xsd)

Unmodeled dynamics τu

MissileRotationalDynamic

MissileTranslational

Dynamic

xT , xT+

rLTM ,Vc

tgo

nLT

nd+

xsd

xs

n

xM , xM

−

p, q, r, α, β

VM

n

−

Figura 3.1: Esquema del guiado y control en dos bucles. Se senalan los bloques que setratan en este Capıtulo.

Ag =

[0] I3 [0] [0]

[0] [0] I3 −I3[0] [0] [0] [0]

[0] [0] [0] − 1τgI3

(3.5)

Bg =1

τg

[0]

[0]

[0]

I3

(3.6)

tgo = −‖rLTM‖

‖rLTM‖(3.7)

El ındice de coste a minimizar, con estado final del misil libre, es::

53

3.1. GUIADO OPTIMO

XL

YLZL

M

L ≡M0

T

T0

PIC

V LT

nB

nLT

rLTM

ωLOS

ts

XB

Y B

ZB

Figura 3.2: Encuentro aire-aire. Se senalan las posiciones del Misil M , del blanco, T , yel punto previsto de Impacto (PIP). Los puntos M0 y T0 senalan las posiciones inicialesde misil y blanco respectivamente.

mınnL

d

Jg =1

2rLTM

T(tf )Sgr

LTM (tf ) +

∫ tf

0

(nLd

TRgn

Ld

)dt

s.t. xg= Agxg +Bgug

(3.8)

donde tf se calcula por el valor de la ecuacion 3.7 en t = 0, y Sg = cI3 , R = bI3 con

b yd c constantes.

El problema definido por el sistema de ecuaciones 3.2 y 3.8 tiene solucion analıtica,

(Ben-Asher and Yaesh, 1998; Zarchan, 2012; Lin, 1991; Sanz-Aranguez, 2011) que puede

representarse por:

nLd =(kTg ⊗ I3

)· xg (3.9)

donde ⊗ representa el producto de Kronecker (ver Apendice A) y kg es:

kg =Λg

t2go

[1 tgo

t2go2−τ 2

g

(e−ξg + ξg − 1

)]T(3.10)

Λg =6ξ2g

(e−ξg + ξg − 1

)2ξ3g + 3 + 6ξg − 6ξ2

g − 12ξge−ξg − 3e−2ξg + 6bcτ3g

ξg =tgoτg

(3.11)

54

V LM

3.2. DINAMICA DE CORTO PERIODO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

−1

0

1

2

3

tgo

Λg

τg = 2, c = 1, b = 1τg = 0,1, c = 1, b = 1τg = 0,5, c = 1, b = 1

Figura 3.3: Constante de navegacion optima

Esta ley de guiado genera un vector de demanda de aceleracion en ejes inerciales nLd ,

sin considerar como el misil va a efectuar la maniobra (Palumbo et al., 2010). El misil

no tiene control directo sobre su aceleracion longitudinal y va a intentar maniobrar

produciendo aceleracion normal al eje de simetrıa del misil en el plano MY BZB, nBd .

La relacion entre ambos vectores viene dada por:

nBd = CBg SBLn

Ld (3.12)

CBg =

0 0 0

0 1 0

0 0 1

3.2. Dinamica de Corto Periodo

El control de vuelo del misil durante la fase terminal es un auto piloto que controla

su aceleracion. En el desarrollo del modelo de auto piloto, es costumbre considerar solo

la dinamica de corto perıodo del misil asumiendo que su velocidad es constante.

Las ecuaciones de traslacion del misil se obtienen al transformar la velocidad de

ejes viento a ejes cuerpo:

55

3.2. DINAMICA DE CORTO PERIODO

u =VMcαcβ (3.13a)

v =VMsβ (3.13b)

w =VMsαcβ (3.13c)

Diferenciando la ecuacion 3.13 e invirtiendo la matriz resultante se obtiene: VM

VM α

VM β

=−1

cβ

−cαc2β −sβcβ −sαc2β

sα 0 −cαsβcβcα −c2β sαsβcβ

u

v

w

(3.14)

Sustituyendo las ecuaciones F.14:

VM = −cαcβ(FA − Tm(t)

− 2g (q1q3 − q0q2)

)− sβ

(FSm(t)

− 2g (q2q3 + q0q1)

)− sαcβ

(FNm(t)

− g(q2

0 − q21 − q2

2 + q23

))(3.15)

α =1

VMcβ

[sα

(FA − Tm(t)

− 2g (q1q3 − q0q2)

)− cα

(FNm(t)

− g(q2

0 − q21 − q2

2 + q23

))]+ q − tβ (pcα + rsα) (3.16)

β =1

VM

[cαsβ

(FA − Tm(t)

− 2g (q1q3 − q0q2)

)− cβ

(FSm(t)

− 2g (q2q3 + q0q1)

)]+

1

VM

[sαcβ

(FNm(t)

− g(q2

0 − q21 − q2

2 + q23

))]+ psα− rcα (3.17)

Estas ecuaciones se simplifican con las siguientes hipotesis

Se desprecian la variaciones de VM y por tanto la ecuacion 3.15 no se considera,

aunque los coeficientes aerodinamicos se actualizaran con la velocidad real de

vuelo en cada punto. En la aproximacion integrada del siguiente Capıtulo no

hara falta considerar esta hipotesis.

Se desprecia las fuerzas de Coriolis debidas al chorro de gases.

Para los estudios preliminares de guiado y control se desprecia los terminos gra-

vitatorios.

56

3.3. FORMULACION EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS

Con estas simplificaciones e introduciendo las ecuaciones 2.9:

α =q∞SrefmVM

(sα

cβCA −

cα

cβCN

)+ q − pcαtβ − rsαtβ − sα

cβ

q∞SrefCTmVM

(3.18)

β =q∞SrefmVM

(cαsβCA − cβCS + sαsβCN) + psα− rcα− cαsβ q∞SrefCTmVM

(3.19)

donde CT se define como el coeficiente de empuje (ver ecuacion G.1).

La dinamica rotatoria del misil se obtiene de las ecuaciones F.18 y 2.10:

p =q∞Srefd

IbxCl (3.20)

q =Iby − IbxIby

pr +q∞Srefd

Iby(Cm + s · CN) (3.21)

r =Ibx − IbyIby

pq +q∞Srefd

Iby(Cn − s · CS) (3.22)

3.3. Formulacion en el Espacio de los Estados

A partir de los resultados de la seccion anterior, la formulacion en el espacio de los

estados es:

xm = Am (xm,Υ)xm +Bmu (3.23)

xm =[xTa xTs xTs xTsd

∫p]T

u = xsd (3.24)

Am (xm,Υ) =

Aa (Ba +Ma) [0] [0] [0]

[0] [0] I5 [0] [0]

[0] − 1τuTs −

(1τuI5 + Ts

)1τuTs [0]

[0] [0] [0] [0] [0]

uTp [0] [0] [0] [0]

(3.25)

57

3.3. FORMULACION EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS

Bm =

[0]

[0]

[0]

I5

[0]

(3.26)

uTp =[0 0 1 0 0

](3.27)

xa =[α β p q r

]T(3.28)

xs =[δcq δcr δp δtq δtr

]T(3.29)

donde las matrices son funcion de los vectores xa y xs. La matriz de estados aero-

dinamicos Aa contiene la aerodinamica no lineal del misil cuando no hay accion de

control, mientras que la matriz Ba expresa la variacion en efectividad del control aero-

dinamico con el angulo de ataque, e incluye el efecto de estela del canard sobre la cola

sin deflectar. Finalmente cuando ambos controles delantero y trasero estan de fletados,

las matrices Mqa y M r

a tienen en cuenta los efectos de interferencia aerodinamica o

acoplamiento cruzado descritos en la seccion 2.1.2. Los coeficientes de estas matrices

se encuentran en los Apendices, secciones G.2, G.3 y G.4.

El modelo de servo considerado es un sistema de segundo orden de la forma:

xs = −(

1

τuI5 + Ts

)xs +

1

τuTs (xsd − xs) (3.30)

xsd =[δcqd δcrd δpd δtqd δtrd

]T(3.31)

Ts =

1τc

0 0 0 0

0 1τc

0 0 0

0 0 1τt

0 0

0 0 0 1τt

0

0 0 0 0 1τt

(3.32)

El objetivo para el misil es conseguir las aceleraciones demandadas en ejes cuerpo

nBy d y nBz d, que resultan de la ecuacion de guiado 3.12:

nBd =[nBy d nBz d

]T(3.33)

58

3.4. SOLUCION OPTIMA DEL AUTOPILOTO

nBy = − 1

mq∞SrefCS (3.34a)

nBz = − 1

mq∞SrefCN (3.34b)

que en forma matricial se expresa como:

nB = Ha (xa)xa +La (xa,xs,Υn)xs (3.35)

Los coeficientes de las matrices Ha y La se encuentran en la seccion G.5.

3.4. Solucion Optima del Autopiloto

3.4.1. Condiciones de Equilibrio

Las condiciones de equilibrio en las que xatrim y xstrim van a generar la aceleracion

demandada nB se obtienen de las ecuaciones 3.35 y 3.23:

nBd = Ha (xatrim)xatrim +La (xatrim,xstrim)xstrim (3.36a)

[0] = Aa (xatrim)xatrim + [Ba (xatrim,xstrim) +Ma (xatrim,xstrim)]xstrim (3.36b)

El sistema 3.36 tiene 7 ecuaciones con 10 variables. Para resolverlo de modo unıvoco

se definen las condiciones:

1. Se definen los factores de reparto del esfuerzo de control en equilibrio como:

cq =δtqtrimδcqtrim

cr =δtrtrimδcrtrim

(3.37)

2. ptrim = 0.

Los dos parametros cq y cr definen el peso relativo para el uso de los controles

delanteros y traseros en estado estacionario. Su signo define la eleccion del modo de

control para el misil DAC, modo desviacion o opuesto en estado estacionario, pero no

previene utilizar cualquiera de estos modos en la transicion para alcanzar las condicio-

nes estacionarias. Estos parametros pueden seleccionarse para minimizar el esfuerzo de

control, definido como

59


∆eδ =

√1

tf

∫ tf

0

[δcq(t)

2 + δcr(t)2 + δp(t)

2 + δtq(t)2 + δcr(t)

2] dt (3.38)

para obtener la aceleracion maxima esperada. Vease los Apendices para un ejemplo de

seleccion de estos parametros.

Notese que cq, cr → 0 corresponde a un misil con control cola y cq, cr → ∞ a un

canard.

A partir de aquı pueden obtenerse las condiciones de equilibrio:

1. Se resuleven con el metodo de Newton (Kelley, 2003) las ecuaciones:

βrδcr

−Vr 0

0

nBy d

=

0

0

0

, con Vr =

aa22 aa25 ba22 +ma

22 + cr (ba25 +ma25)

aa52 aa55 ba52 +ma52 + cr (ba55 +ma

55)

ha12 ha15 la12 + crla15

−1

(3.39)

αqδcq

−Vq 0

0

nBz d

=

0

0

0

, con Vq =

aa11 aa14 ba11 +ma

11 + cq (ba14 +ma14)

aa41 aa44 ba41 +ma41 + cq (ba44 +ma

44)

ha21 ha24 la21 + cqla24

−1

(3.40)

2. A partir de aquı el control necesario para balanceo nulo es:

δptrim = Vp

αtrim

βtrim

δcqtrimδcrtrim

, with Vp = − 1

(ba33 +ma33)

[aa31 aa32 ba31 +ma

31 ba32 +ma33

]

(3.41)

Obteniendose los vectores xatrimand xstrim que generan la aceleracion requerida

nBy d y nBz d en ejes cuerpo.

3.4.2. Planteamiento del problema

Como se vio en el Capıtulo anterior, el modelo aerodinamico en el que se basa este

autopiloto es valido dentro de ciertos lımites, ver tabla 3.1 :

60


Angulos de incidencia icq, icr, i

tq, i

tr dados por las ecuaciones 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37,

han de mantenerse por debajo del valor correspondiente a la saturacion supersoni-

ca.

Al aumentar el angulo de ataque, el flujo alrededor del fuselaje del misil se tor-

na progresivamente asimetrico, causando el fenomeno no estacionario conocido

como phantom yaw (Balakrishnan et al., 2013), fenomeno que puede provocar

que el misil no sea controlable en balanceo. El angulo de ataque debe entonces

mantenerse por debajo de un valor maximo αpy.

Lımite en angulo de guinada, β, para minimizar el balanceo inducido.

Limitaciones estructurales, nmax, en δmec, δ, y en los giroscopos e instrumentos,

qmax y rmax.

Estabilidad en balanceo requiere p and∫p proximos a cero.

Todas estas restricciones se combinan en un vector de actuaciones, zm que se empleara

en el ındice de coste a optimizar.

zm =[icq itq icr itr p q r α β nBy nBz

∫p]T

(3.42)

Cuadro 3.1: Lımites mecanicos y aerodinamicos del misil

Parametro (sımbolo) Valor (unidades)

Incidencia para saturacion del control, imax (for M∞ = 2,5) 25.2 deg

Angulo de ataque maximo, αpy 35 degMaximo angulo de guinada, βmax 15 degDeflexion mecanica del control, δmax 30 deg

Velocidad de giro del control, δmax 600 deg/sLımite estructural del misil, nmax 40 g

La relacion entre zm y xm viene dada por:

zm = Hm (xm,Υn)xm (3.43)

donde los coeficientes de Hm se encuentran en la seccion G.6 de los Apendices.

Como resultado el problema de optimizacion del auto piloto se plantea como un

regulador en horizote infinito:

mınu=xsd

J=

∫ ∞0

(zTQz + uTRu

)Ts.t. e=Am (xm) e−Bmu

z=Hmxm −Hmtrimxmtrim

(3.44)

61


con

lımt→∞

e = [0] (3.45)

y

e = xmtrim− xm (3.46)

3.4.3. Solucion Sub-optima

El Hamiltoniano de 3.44 viene dado por:

H =1

2

(zTQz + uTRu

)+ λT (Ame−Bmu) (3.47)

de donde las condiciones necesarias para el optimo, de la discusion en B.5, son:

e = Ame−Bmu (3.48a)

λ = −1

2

∂(zTQz

)∂e

−∂(λTAme

)∂e

(3.48b)

[0] = Ru−Bmλ (3.48c)

Para el vector de control y de co-estados:

u = R−1Bmλ (3.49)

λ = M (e) e (3.50)

el problema resulta en la ecuacion matricial

(MAmA

TmM −MBmR

−1BmM +HTmQHm

)e

+∂M

∂eT(e⊗ In)− (eM ⊗ In)T

∂Am

∂xme

−HTmQ (Hm −Hmtrim

)xmtrim−(In ⊗ xTm

) ∂HTm

∂xmQz = [0]

(3.51)

donde para resolver esta ecuacion se desprecian los dos terminos finales, que tienden

a cero al hacerlo el vector de error e , resultando una solucion sub-optima con la

resolucion unicamente del primer termino:

MAm +ATmM −MBmR

−1BmM +HTmQHm = [0] (3.52)

que es una ecuacion algebraica de Riccati dependiente de los estados (SDRE), con

62

3.5. EJEMPLOS GUIADO-AUTOPILOTO EN DOBLE-LAZO

M (xm) como variable y que hay que resolver para xm en cada punto de la trayectoria

del misil . La ley de control resultante es:

u = Km (xm) · e (3.53)

Km (xm) = R−1BTmM (xm) (3.54)

Es conveniente introducir en la solucion un mecanismo para acelerar la respuesta

del autopiloto. Esto puede hacerse a traves de un λ-shift, (para un sistema lineal ver

(Anderson and Moore, 2007), que modifica los polos del sistema y su estabilidad, sin

cambiar su dinamica. El problema se replantea como:

mınu=xsd

J =

∫ ∞0

e2λt(zTQz + uTRu

)Ts.t. xm=Amxm +Bmu

z =Hmxm −Hmtrimxmtrim

(3.55)

cuya solucion es:

Mλ (Am + λIn) + (Am + λIn)T Mλ −MλBmR−1BmMλ +HT

mQHm = [0]

(3.56)

u = eλtR−1BTmMλe (3.57)

3.5. Ejemplos Guiado-Autopiloto en Doble-Lazo

En esta seccion se investigan numericamente las actuaciones del guiado y control

en dos bucles para un misil de doble mando aerodinamico contra un blanco de alta

velocidad y capacidad de maniobra, y se comparan con los resultados obtenidos para

el mismo misil con unicamente mando canard o cola. El diagrama de fuerzas en el misil

se ilustra en la figura 3.4 y el bucle completo de guiado y control en la figura 3.5.

El paso de integracion para el guiado es de 0.001 s, y el auto piloto se calcula

a una frecuencia 25 veces superior. La altitud del escenario es de 12.000 m, que es

mas restrictiva en terminos de maniobra del misil, ver figura 2.20. El blanco vuela con

MT = 1,5, y el Mach inicial del misil es M = 2,5.

Otros parametros de la simulacion son:

c = 108 b = 1 τg = 0,1 s

63


δc

Mc.m., qδt

XB

ZB

FN

FA

nLd

nB = −nBz

T

θg

VM

XL

θ γM

α

Figura 3.4: Diagrama de fuerzas en el misil de doble mando.

Q = diag[100 100 100 100 1000 1000 1000 1000 1000 1 1 100

]Para el misil DAC:

R = diag[1 1 1 1 1

]Para cola:

R = diag[1010 1010 1 11 1

]Para canard:

R = diag[1 1 1010 1010 1010

]y los parametros del misil se muestran en la tabla 3.2 ası como las limitaciones operati-

vas en la tabla 3.1. En este caso los parametros masicos del misil varıan con el tiempo

durante la combustion del motor cohete.

3.5.1. Lanzamiento con error de apuntamiento moderado

El misil se lanza con un error de apuntamiento HE = 20 con respecto al curso de

colision, tal y como se muestra en la figura 3.6. La distancia inicial entre misil y blanco

64


MovimientoBlanco

xg

tgo

Λg

(kTg ⊗ I3

)xg

nBd = CBg SBLn

Ld

VpVq(cq) Vr(cr)

Am = Am + λIn

MλAm + ATmMλ −MλBmR−1BmMλ +HT

mQHm = [0]

u = eλtR−1BTmMλe

xm = Am (xm)xm +Bmu

∫

rT ,VT ,nT

ξg

kgnLd

xmtrim

e = xm − xmtrim

xm

SBL

Figura 3.5: Guiado y Control en doble bucle.

65


Cuadro 3.2: Parametros: Simulaciones de Guiado y Control Doble Bucle

Parametro (Sımbolo) Valor (unid.)

Masa misil inicial/fin combustion, (m) 101.3/87.3 KgTiempo de combustion motor, (tb) 8 sPosicion centro masas (desde ojiva) 143.6/128.8 cmMomento de Inercia Cabeceo IBx 34.7/32 Kg m2

Mach inicial misil M∞ 2.5Coeficiente de empuje inicial, CT 1.2Retardos de los servos, τc, τt, τu 0.1, sParametro reparto control, cq -1.5

rTM(0) es de is 6,000 metros y el angulo inicial de la lınea de mira es σ = 0 grados. El

blanco ejecuta una maniobra evasiva con nT = 15 g, con un angulo inicial γT (0) = 90,

siendo:

γT =nTVT

ZL

XL

M

T

PIC

VM

VT(nLd

)nT

σ

γc

HE

γM

γT

Figura 3.6: Condiciones de lanzamiento

Las trayectorias obtenidas para el misil con doble control, canard y cola, se muestran

en la figura 3.7 y en la tabla 3.3 se resumen los principales parametros de actuaciones,

definiendose los parametros de calidad como:

∆en =1

nT tf

∫ tf

0

nLdt (3.58)

∆ek =2

V 2M (0)

∫ tf

0

VM VMdt (3.59)

66


VM = −cα(FA − Tm

)− sα

(FNm

)(3.60)

∆eδ =

√1

tf

∫ tf

0

[δcq(t)

2 + δtq(t)2] dt (3.61)

Cuadro 3.3: Doble-Bucle G & C Resultados Simulacion

Control tf ,(s) distancia paso,(metros) ∆en ∆eδ, deg ∆ek

DAC 6,8 0,14 1,00 10,27 0,50Cola 6,4 0,28 0,96 14,20 0,84Canard 7,8 245 1,02 21,78 0,06

El misil con control en cola y con control doble consiguen distancias finales de paso

de 0,28 y 0,14 m respectivamente, mientras que el canard no consigue impactar al

blanco.

En la figura 3.9 se observa como el misil DAC emplea el modo de control opuesto

de manera predominante, mientras que desviacion positva se emplea para correcciones

finales antes del impacto. El canard llega al lımite maximo de su control en un intento de

maniobrar para alcanzar al blanco, resultando en un incremento brusco de su resistencia

aerodinamica y perdida de velocidad y actitud de vuelo.

Notese que el control doble aerodinamico requiere el menor esfuerzo de control,

calculado mediante ∆eδ en la ecuacion 3.38, para conseguir la menor distancia de paso

final.

El tiempo hasta impacto es de 6,4 segundos para el misil con control en cola y 6,8

para misil con control doble. El misil con control en cola tiene la mejor eficiencia en

el uso de la propulsion, con un valor de energıa cinetica especıfica ∆ek ligeramente

superior al control doble con guiado y control desacoplados.

Esto se explica debido a que el angulo θg, ver figura 3.4, que forma la aceleracion

demandada nLd con la aceleracion lateral generada por el misil nB, es siempre superior

en el caso del misil con control doble, como se ilustra en la figura 3.11. Este angulo se

define como:

θg = c−1‖nB‖‖nLd‖

(3.62)

y es un indicador de la preservacion de las instrucciones de guiado definidas por (Pa-

lumbo et al., 2010). A menor valor del angulo θg el misil ejecuta mas fielmente las

instrucciones de guiado, o en otras palabras, menos aceleracion se desperdicia en una

direccion no deseada. Como se vera en el capıtulo siguiente, el control integrado au-

menta en gran medida la preservacion de las instrucciones de guiado para el misil con

67

3.6. CONCLUSIONES

control doble, reduciendo sus tiempos de vuelo.

3.5.2. Calculos de dominio de tiro en curso de colision

El dominio de tiro se define como el conjunto de todos los puntos de lanzamiento

del misil en curso de colision hacia el blanco desde donde se alcanza una distancia final

de paso menor o igual a 1 m. En este caso HE = 0, nT = 12 g y γT (0) = 90, MT = 1,5.

Se han obtenido cinco mapas distintos, donde las zonas grises indican los puntos

de lanzamiento del misil que pertenecen a su dominio de tiro. Los mapas 3.12 y 3.13

corresponden respectivamente a un misil con control cola y canard, en ambos casos

guiados por navegacion proporcional. Es equivalente al resultado que puede esperarse

de un misil en servicio a dıa de hoy actuando contra un blanco tipo UCAV. Se observa

que solo los lanzamientos desde posiciones laterales al blanco consiguen impacto directo.

Sustituyendo la navegacion proporcional por la ley de guiado optima se obtienen

dominios de tiro mucho mas amplios, correspondientes a las figuras 3.12 y 3.13 para

cola y canard. En cualquier caso el misil en cola tiene un dominio de tiro mas extenso

debido a la tendencia adversa del canard a saturarse.

En contraste, la combinacion de misil con un doble control aerodinamico y ley de

guiado optimo consigue un dominio de tiro completo, como se ve en la figura 3.16 ,

lograndose la intercepcion en toda la region alrededor del blanco.

3.6. Conclusiones

En este capıtulo se ha desarrollado un modelo teorico y practico para el calculo de

un auto piloto general que incluye la aerodinamica no lineal y las limitaciones mecanicas

y aerodinamicas de la operacion del misil. El auto piloto es capaz de gestionar un misil

con doble control aerodinamico pero tambien un control simple delantero o trasero.

Una vez combinado el auto piloto con la ley de guiado optima para un misil de

control doble se obtiene un dominio de tiro superior a los misiles convencionales.

68

3.6. CONCLUSIONES

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 60

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

Downrange (Km)

Cro

ssra

nge

(Km

)

TargetDACTailCanardTarget and Canard EndTail ImpactDAC Impact

Figura 3.7: Trayectoria del misil DAC, canard, cola y del blanco. Notese los distintospuntos de impacto para el misil con control DAC y cola. El misil canard no consigueimpactar al blanco, la simulacion se interrumpe cuando la velocidad de colision sevuelve negativa.

69

3.6. CONCLUSIONES

0 1 2 3 4 5 6 7 8−20

−10

0

10

20

30

Time (sec)

nB z

,(g

)

DACTailCanard

Figura 3.8: Acceleracion del misil

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−20

0

20

Time (s)

δ(d

eg)

DAC δcq

DAC δtq

Tail δtq

Canard δcq

Figura 3.9: Angulos de los controles

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

1,5

2

2,5

time, (s)

M∞

DACTailCanardTarget

Figura 3.10: Mach Misil

70

3.6. CONCLUSIONES

0 1 2 3 4 5 6 70

20

40

60

time (s)

Guid

ance

pre

serv

atio

nan

gle,θ g

,deg

DACSDRE-Tail

Figura 3.11: Angulo de preservacion del guiado θg.

-180

-160

-140

-120 -60

-40

-20

0

20

40

6080100

120

140

160

crossrange, meters-2500-2000-1500-1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Figura 3.12: Dominio tiro misil cola con navegacion proporcional. La flecha indica ladireccion inicial de la velocidad del blanco. El blanco maniobra con nT = 12g, girandosesu trayectoria hacia la izquierda en la figura.

71

3.6. CONCLUSIONES

-180

-160

-140

-120 -60

-40

-20

0

20

40

6080100

120

140

160

crossrange, meters-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

Figura 3.13: Dominio tiro misil cola con navegacion proporcional

-180

-160

-140

-120 -60

-40

-20

0

20

40

6080100

120

140

160


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

Figura 3.14: Dominio tiro misil cola con guiado optimo

72

3.6. CONCLUSIONES

-180

-160

-140

-120 -60

-40

-20

0

20

40

6080100

120

140

160


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

Figura 3.15: Dominio tiro misil canard con guiado optimo

-180

-160

-140

-120 -60

-40

-20

0

20

40

6080100

120

140

160


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

Figura 3.16: Dominio tiro misil control doble con guiado optimo

73

Capıtulo 4

Guiado y Control Integrados

En este capıtulo se desarrolla el guiado y auto pilotado del misil en la logica integra-

da (IGA), y se aplica al misil con control doble aerodinamico. La logica integrada es un

controlador no lineal que simplifica enormemente la cantidad de calculos que hay que

llevar a cabo en tiempo real frente al algoritmo desarrollado en el capıtulo 3 y como se

demostrara a traves de simulaciones, es capaz de conseguir menores distancias de paso

con menores requisitos de maniobra para el misil. La figura 4.1 presenta un esquema

general de la aproximacion integrado, donde la salida del controlador xsd guıa al mi-

sil hasta interceptar al blanco a la vez que de modo simultaneo controla la respuesta

transitoria del misil estabilizando todos sus estados. Esto resulta en un conjunto de

trayectorias para el misil distintas a las obtenidas con la aproximacion en dos bucles.

TargetDynamics

IntegratedxI = f(xI ,xsd)

time-to-goEstimate


Unmodeled dynamics, τu

MissileDynamic

xT , xT+

rTM , Vc

tgo

nT

xsd

xs

xM , xM

−

Figura 4.1: Esquema del auto piloto y guiado integrados.

74

4.1. PLANTEAMIENTO MATEMATICO

4.1. Planteamiento matematico

En toda la discusion del capıtulo anterior, el auto piloto se definio en ejes cuerpo

mientras que el guiado lo era en ejes inerciales. Esta disfuncion causa una perdida de la

informacion de guiado. El sistema integrado, que resuelve simultaneamente el guiado

y el auto piloto, sera definido en ejes inerciales.

Las variables del problema se ilustran en la figura 4.2. La ligadura entre los estados

de guiado y las variables de vuelo del misil viene dada por la ecuacion vectorial:

XL

ZL

XB

ZB

−nBz = nB

rBTM

VM

θ γM

α

−zBr

xBr

M

T

VT

xLT

zLT

xLM

zLM

nT

γT

Figura 4.2: Escenario para el Guiado y control Integrado. La aceleracion del misil nB

es normal al eje de simetrıa del misil xB. El blanco efectua una maniobra de modulonT constante, normal a su velocidad.

(drMT

dt

)L=

xLr

yLr

zLr

= V LT − V L

M (4.1)

donde V LM es:

V LM = SLB · SBW ·

VM00

(4.2)

La matriz de transformacion de ejes cuerpo inerciales SBLse representa con ayuda

de los cuaterniones (ver apendice, ecuacion F.4):

75

4.1. IGA MODEL

SLB =

q20 + q2

1−q22 − q2

3 2(q1q2 + q0q3) 2(q1q3−q0q2)

2(q1q2 − q0q3) q20 − q2

1 + q22 − q2

3 2(q2q3 + q0q1)

2(q1q3 + q0q2) 2(q2q3 − q0q1) (q20 − q2

1 − q22 + q2

3)

T

(4.3)

y SBW es:

SBW =

cαcβ sβ sαcβ

−cαsβ cβ −sαsβ−sα 0 cα

T

(4.4)

Sustituyendo las ecuaciones 4.2, 4.3 y 4.4 en4.1 se obtiene:

xLr = −(q2

0 + q21−q2

2 − q23

)VMcαcβ − 2(q1q2 + q0q3)VMsβ

− 2(q1q3−q0q2)VMsαcβ + VTx (4.5)

yLr = − (q1q2 − q0q3)VMcαcβ −(q2

0 − q21 + q2

2 − q23

)VMsβ

− 2(q2q3 + q0q1)VMsαcβ + VTy (4.6)

zLr = −2 (q1q3 + q0q2)VMcαcβ − 2 (q2q3 − q0q1)VMsβ

−(q2

0 − q21 − q2

2 + q23

)VMsαcβ + VTz (4.7)

Combinando esta ecuacion con 3.16, 3.17, 3.20, 3.21 , 3.22, F.8 y considerando que:

VM = −cαcβ(FA − Tm

)− sβFS

m− sαcβFN

m(4.8)

se llega a un sistema en el espacio de los estados en la forma:

xI = AIxI +BIuI +EI (4.9)

xI =[qTM rLMT

TxTVM ωBM

TxTs xTs xTsd

∫p]T

(4.10)

xVM =[VM α β

]T(4.11)

76

4.1. IGA MODEL

AI =

12Θq [0] [0] 1

2Θω [0] [0] [0] [0]

[0] [0] Ak [0] [0] [0] [0] [0]

[0] [0] Aw11 Aw12 Bw21 +Mw21 [0] [0] [0]

[0] [0] Aw21 Aw22 Bw21 +Mw21 [0] [0] [0]

[0] [0] [0] [0] [0] I5 [0] [0]

[0] [0] [0] [0] − 1τuTs −

(1τuI5 + Ts

)1τuTs [0]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]

[0] [0] [0] [1, 0, 0] [0] [0] [0] [0]

(4.12)

BI =

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

I2

[0]

EI =

[0]

V LT

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

(4.13)

qM =[q0 q1 q2 q3

]T(4.14)

qM =1

2ΘqqM +

1

2Θωω

BM (4.15)

Θq =

εk (1− εq) −Υεp −Υεq −Υεr

Υεp εk (1− εq) Υεr −Υεq

Υεq −Υεr εk (1− εq) Υεp

Υεr Υεq −Υεp εk (1− εq)

(4.16)

Θω =

− (1−Υε) q1 − (1−Υε) q2 − (1−Υε) q3

(1−Υε) q0 − (1−Υε) q3 + (1−Υε) q2

(1−Υε) q3 (1−Υε) q0 − (1−Υε) q1

− (1−Υε) q2 (1−Υε) q1 (1−Υε) q0

(4.17)

εq = q20 + q2

1 + q22 + q2

3 (4.18)

donde el vector de control es el mismo que el capıtulo anterior uI = xsd .

El vector EI contiene la velocidad del blanco, que no es controlable por el sistema

y por tanto se trata como una perturbacion exterior, dejandose fuera del proceso de

optimizacion. Los coeficientes de las matrices Ak, Aw , Bw and Mw, se encuentran

de los apendices, seccion G.7.

77

4.2. RESOLUCION DEL PROBLEMA IGA-DAC

Se define un vector de actuaciones zI para el problema integrado como sigue:

zI =[rTTM zTm

]T(4.19)

o de forma explıcita:

zI =[xLr yLr zLr icq icr itq itr p q r α β nby nbz

∫p]T

(4.20)

con zI = HI (xI)xI , y

HI =

[I3 [0]

[0] Hm

](4.21)

El objetivo del sistema integrado es minimizar la distancia de paso final y estabilizar

la respuesta transitoria del misil de modo simultaneo, lo que se traduce en el siguiente

problema de optimizacion:

mınu=xsd

JI =1

2xI

T (tf )SIxI(tf ) +1

2

∫ tf

0

(zTIQIzI + uTIRuI

)dt

s.t. xI=AIxI +BIuI

zI=HIxI

(4.22)

Cuando la separacion entre el misil y el blanco es lo suficientemente grande, el

problema anterior puede ser aproximado por un problema de Lagrange en tiempo

infinito:

mınuI=xsd

JI =1

2

∫ ∞0

(zTIQIzI + uTIRuI

)dt

s.t. xI=AIxI +BIuI

zI=HIxI

(4.23)

4.2. Resolucion del problema IGA-DAC

De modo analogo a la solucion obtenida para el autopiloto en el capıtulo anterior,

la solucion del problema en horizonte temporal infinito (4.23) es uoI :

uoI = −R−1BTIMo(xI , t)xI (4.24)

siendo Mo la solucion de:

78

4.2. SOLUTION VIA LYAPUNOV EQUATION

MoAI +MToAI +HT

I QIHI −MoBIR−1BT

IMo = 0 (4.25)

4.2.1. Ecuacion diferencial y condiciones de contorno

El planteamiento de la ecuacion B.10 de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema

4.22 resulta en

− ∂J∗ (xI , t)

∂t=

[∂J∗ (xI , t)

∂xI

]TAIxI +

1

2xTIH

TI QIHIxI

− 1

2

[∂J∗ (xI , t)

∂xI

]TBIR

−1BTI

∂J∗ (xI , t)

∂xI(4.26)

donde J∗ (xI , t) es el ındice de coste optimo. Las condiciones finales y la ley de control

son:

J∗ (xI , tf ) =1

2xTI (tf )SIxI(tf ) (4.27)

u∗ = −R−1BTI

∂J∗ (xI , t)

∂xI(4.28)

Operando y despreciando los terminos que convergen a cero, se llega una ecuacion

diferencial de Riccati dependiente de los estados del problema (SDDRE):

−DMDt

= MAI +MTAI +HTI QIHI −MBIR

−1BTIM (4.29)

siendo la derivada matricial total igual a:

D

Dt=

∂

∂t+

(∂

∂xI

)T(xI ⊗ In) (4.30)

con condiciones terminales:

M (xI , tf ) = SI (4.31)

y, dado que se han despreciado terminos, el vector de control no sera optimo sino

sub-optimo, de la forma:

uI = −R−1BTIM(xI , t)xI (4.32)

79


4.2.2. Resolucion mediante la ecuacion de Lyapunov

Para resolver la ecuacion 4.29 con condiciones terminales 4.31 en el instante final,

tf , necesitarıamos conocer los valores futuros de las matrices, que a su vez dependen

del vector de estado xI , para poder integrar hacia atras desde tf . Esto es posible solo

si el sistema fuese lineal y las matrices fueran constantes, pero no en nuestro problema

no lineal.

En su lugar se asume que la matriz M puede descomponerse en la suma de una

matriz de transicion invertible Ψ y una matriz de estado estacionario Mo:

M (xI , t) = Ψ−1 (xI , t) +Mo (xI) (4.33)

donde en cada paso de integracion Mo (xI) es la solucion de la ecuacion de Riccati que

resuleve el problema 4.25 :

MoAI +MToAI +HT


IMo = 0 (4.34)

Sustrayendo 4.29 de 4.34, se obtiene una ecuacion diferencial de Lyapunov:

DΨ

Dt= A0Ψ + ΨAT

0 −BIR−1BT

I (4.35)

A0 (xI) = AI (xI)−BIR−1BT

IMo (4.36)

Ψ (xI , tf ) = (SI −Mo (xI))−1 (4.37)

La solucion de la ecuacion 4.35 mediante el procedimiento descrito en (Gajic and

Qureshi, 2008) es:

Ψ (xI , t) = eA0(t−tf) (Ψ (xI , tf )−D) eAT0 (t−tf) +D (4.38)

donde D es la solucion de la ecuacion algebraica de Lyapunov (ALE):

A0D +DAT0 −BIR

−1BTI = 0 (4.39)

4.2.3. Controlador de pre-alimentacion

Para prevenir los errores de escalado, se recurre a un controlador de prealimentacion,

que calcula un punto de equilibrio cercano en cada instante, xId . Este estado intermedio

contiene el angulo de ataque, el angulo de guinada, y las velocidades angulares de

cabeceo, guinada y balanceo que generarıan las aceleraciones demandadas por la ley

80


de guiado optima xmtrimen cada punto de la trayectoria del misil.

Este vector de trimado xId para el problema integrado se define como:

xId =

qM

rLMT + V LMT · M t

VM

xmtrim

(4.40)

Con la introduccion de este vector, el problema integrado se transforma en un

regulador a tiempo finito tf que trata de eliminar el error eI entre el vector de estado

en cada instante xI y el vector xId, en la forma:

mınu=xsd

JI=1

2eI

T (tf )SIeI(tf ) +1

2

∫ tf

0

(zTIQI zI + uTIRuI

)dt

s.t. eI=AIxI −BIuI

eI=xId − xIzI=HIxI −HIxId

(4.41)

con el objetivo de llevar el vector de error del problema integrado eI a cero en t = tf .

La introduccion de este pre-alimentador fuerza al sistema integrado a buscar con-

diciones de equilibrio local es a lo largo de toda su trayectoria. Esta manipulacion de

la dinamica del sistema integrado preserva la separacion de escalas temporales entre

el guiado y el auto piloto, y al mismo tiempo retiene la filosofıa de la aproximacion

integrada.

La ley de control sub-optima resultante es:

uI = R−1BTIMeI (4.42)

La siguiente seccion resume el procedimiento de calculo de la matriz M con los desa-

rrollos de las secciones 4.2.1, 4.2.2 y 4.2.3

4.2.4. Procedimiento Practico de Resolucion

El procedimiento se ilustra en la figura 4.3. Los pasos a seguir son:

1. El controlador de pre-alimentacion calcula en cada instantet el vector xId.

2. eI = xId − xI

3. Se resuelve la ecuacion 4.34, obteniendose Mo. Esta ecuacion puede resolverse

de manera de efectiva a traves de cualquiera de las tecnicas descritas en (Menon

et al., 2002a).

81


xI(t)

xId(t)

AI = AI (xI) + λIn

MoAI +MTo AI +HT


IMo = 0

tgo

A0 = AI −BIR−1BT

IMo

Ψ (tf ) = (SI −Mo)−1 A0D +DA0 −BIR

−1BTI = 0

Ψ (t) = e−A0tgo (Ψ (tf )−D) e−AT0 tgo +D

M = Ψ−1 (t) +Mo

uI = eλtR−1BTIMeI

uoI = eλtR−1BTIMoeI

eI = xId − xI

Mo

tgo < tc

D

tgo > tc

Figura 4.3: Algoritmo de calculo del sistema integrado. Existen dos posibles soluciones,uoI en el incio de l amaniobra terminal y uI en la cercanıa inmediata del blanco. Eneste diagrama se incluye un acelerador de la respuesta λ-shift.

82

4.3. EJEMPLOS NUMERICOS

4. A0 = AI −BIR−1BT

IMo.

5. Se invierte la matriz (SI −Mo (xI)) , para obtener Ψ (xI , tf ).

6. Se resuelve la ecuacion A0D + DAT0 − BIR

−1BTI = 0 a traves del proceso

descrito en la referencia (Gajic and Qureshi, 2008), obteniendose D.

7. Se obtiene

Ψ = eA0(t−tf) (Ψ (xI , tf )−D) eAT0 (t−tf) +D

La resolucion de la matriz exponencial eA0(t−tf) en 4.38 requiere una alta precision

y se empleara el metodo numerico de la referencia (Caliari et al., 2014). El calculo

de la exponencial eA0(t−tf) tiene que ser preciso o de otro modo la matriz M

tendera a infinito y saturara la entrada de control uI .

8. M = Ψ−1 +Mo.

9. Se obtiene la ley de control uI = R−1BTIMeI .

Sin embargo, debido a la presencia de tgo en la exponencial, cuando este valor es

relativamente grande la matriz Ψno sera invertirle y no se puede encontrar una solucion

para M .

En estas circunstancias, cuando la distancia entre el misil y el blanco es aun relativa-

mente grande, se empleara la solucion proporcionada por la matriz Mo para controlar

el misil, en la forma:

uoI = R−1BTIMoeI (4.43)

Se define un tiempo tc a partir del cual la matriz Ψ es invertirle, y por tanto se

pasarıa de utilizar la ley de control con horizonte infinito, ecuacion 4.43, a la ley de

control de horizonte finito, representada por 4.42:

uI = R−1BTIMeI

Este valor de tc se calcula en tiempo real como el instante en el que el valor de la

norma ‖M −Mo‖p excede cierto valor numerico y como consecuencia la matriz Ψ es

invertirle.

4.3. Ejemplos numericos

En esta seccion el esquema en dos bucles del capıtulo anterior se compara contra el

esquema integrado en escenarios sin ruidos. Los parametros de la simulacion correspon-

den a los mismos de la seccion 3.5. En el caso del doble bucle la frecuencia de guiado

83


es de 1000 Hz y del auto piloto de 25.000 Hz. Para el sistema integrado todo el bucle

se resuelve a 1000 Hz.

4.3.1. Errores de apuntamiento moderados

Este primer escenario considerar una intercepcion aire-aire donde el misil con control

doble persigue un UCAV supersonico con MT = 1,5, repitiendose las condiciones del

ejemplo planteado en 3.5.1, con una maniobra del blanco de nT = 15 g 1.

La figura 4.4 muestra las trayectorias del misil empleando el doble bucle y la logica

integrada. Se observa que el vuelo del misil en cada caso sigue cursos distintos. El tiempo

de vuelo hasta el impacto con la logica integrada es de 5,7 segundos mientras que para

el sistema de doble bucle se obtienen 6,8 segundos, y las distancias de paso finales son

0,08 y 0,14 m respectivamente. Los resultados principales obtenidos se resumen en la

tabla 4.1. En la aproximacion integrada el control terminal de Lyapunov de la ecuacion

4.42 se emplea durante los ultimos 0,4 segundos de vuelo, mientras que para la mayorıa

del tiempo de vuelo la logica integrada emplea la ley dada por uoI , ecuacion 4.43.

Cuadro 4.1: Resultados de la simulacion, G & C Integrado vs Doble Bucle para misildoble mando aerodinamico

Control tf ,(s) distancia paso,(m) ∆en ∆eδ, (deg) ∆ek

Doble Bucle 6,8 0,14 1,00 10,27 0,50Integrado 5,7 0,08 0,18 1,25 0,49

Aunque en los dos casos las distancias finales obtenidas representan impacto directo,

el esquema integrado tiene mejores actuaciones que el doble bucle:

Como se ve en la figura 4.5 el misil guiado con el esquema integrado requiere

menos aceleracion para interceptar al blanco que si el guiado por un doble bucle.

E incluso requiere menos aceleracion que la realizada por el blanco. El esquema

integrado es mas eficiente ya que considera no solo la posicion del blanco sino

ademas la actitud del misil al generar las instrucciones a los servos, y por tanto

preserva mejor las instrucciones de guiado.

La figura 4.6 representa otros parametros importantes de vuelo. La logica in-

tegrada requiere menos angulo de ataque y menos angulos de control, lo que

se traduce en menor resistencia aerodinamica, permitiendo al misil mantener su

vuelo acelerado hacia el blanco durante todo el vuelo.

1Un blanco pilotado no podrıa exceder 9g en una maniobra evasiva. Aquı los 15g representan ellımite estructural del UCAV.

84


0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 5,500 6,0000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

1,500

1,600

Downrange (m)

Cro

ssra

nge

(m)

BlancoMisil Guiado IntegradoMisil Doble Bucle

Figura 4.4: Trayectoria, error de apuntamiento moderado. Se lanzan dos misiles si-multaneamente, desde el mismo punto, contra un blanco que maniobra a 15 g. Lastrayectorias obtenidas difieren notablemente en funcion de la ley de guiado empleada.

85


0 1 2 3 4 5 6 7−0,5

0

0,5

1

1,5

2

Time (sec)

nBznT

Doble BucleIntegrado

Figura 4.5: Ratio de Aceleracion del misil vs Blanco , error de apuntamiento moderado.

Ambas logicas de control utilizan los dos modos disponibles para misiles de doble

mando aerodinamico, tanto desviacion como modo opuesto, a lo largo de las

distintas etapas del vuelo.

Finalmente es importante destacar que la carga computacional a bordo es significa-

tivamente menor en el caso de la aproximacion integrada. Esto se debe a dos motivos,

el tiempo de vuelo es menor y ademas no hay un bucle de auto pilotado independiente

operando a alta frecuencia. En este ejemplo en concreto la aproximacion integrada ha

requerido de 5697 pasos de integracion, mientras que la no integrada o de doble bucle

a requerido 170.650, casi 30 veces mas.

4.3.2. Trayectorias alejadas del curso de colision

Las caracterısticas de la logica integrada que incluyen menores angulos de los con-

troles y menores angulos de ataque, se aprovechan mejor en trayectorias que estan muy

lejos del curso de colision. Esto ocurre por ejemplo cuando el avion lanzador se ve for-

zado a realizar un disparo de emergencia contra un blanco que le atacaba lateralmente.

La figura 4.7 representa las trayectorias obtenidas para el misil siguiendo logica inte-

grada y logica de doble bucle, tratando de interceptar un blanco maniobrero, cuando

el angulo inicial de apuntamiento es muy importante, HE = 60 grados, en el lımite del

angulo de deteccion del buscador radar del misil. Otros parametros de este ejemplo son

γT = 180 y nT = 9 g, mientras que todos los demas permanecen iguales a los descritos

en la seccion 4.3.1. Bajo estas premisas, la distancia obtenida con la logica integrada

es 0,14 m, consiguiendose la intercepcion del blanco a los 6,1 segundos habiendo estado

el controlador terminal de Lyapunov activo en los ultimos 0.35 segundos.

86


0 1 2 3 4 5 6 7

−20

0

20

δc qδt q

(deg

)

δcq - Two-Loopδcq -IGA

δtq-nonIGA

δtq -IGA

0 1 2 3 4 5 6 7

−20

0

20

40

α(d

eg)

non-IGAIGA

0 1 2 3 4 5 6 7

2

2,5

3

Time (sec)

M∞

Two-LoopIGA

Figura 4.6: Parametros , error de apuntamiento moderado.

Sin embargo el mismo misil de doble mando pero con un guiado de doble bucle,

superior como hemos visto en el Capıtulo 3 a los misiles convencionales, no es capaz de

conseguir interceptar al blanco antes de que su motor cohete se consuma y su velocidad

de vuelo haya caıdo de manera significativa. La simulacion se detiene a los 10,2 segundos

87


de vuelo, cuando la velocidad de colision se vuelve positiva lo que significa que el blanco

ha conseguido evadirse. Este instante se representa en la figura 4.7 mediante los puntos

Mf y Tf , que son respectivamente el misil y el blanco cuando se detiene la simulacion,

a una distancia relativa entre ellos de 1384 m.

0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 5,500 6,000

−3,400

−3,200

−3,000

−2,800

−2,600

−2,400

−2,200

−2,000

−1,800

−1,600

−1,400

−1,200

−1,000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1,000

Tf

Mf

Downrange (m)

Cro

ssra

nge

(m)

targetIGAtwo-loop

Figura 4.7: Trayectorias alejadas del curso de colision. El misil guiado por doble-bucleno consigue interceptar al blanco, mientras que el de guiado integrado consigue elimpacto directo. Los puntos Mf y Tf indican la posicion del misil y blanco cuando lavelocidad de colision Vc cambia de signo .

Otros parametros de la simulacion se representan en las figuras 4.8 y 4.9. Notese

como el giro cerrado del misil a casi su lımite estructural causa una caıda muy impor-

88

4.4. EFECTOS DE RUIDO, ESTIMACION Y RADOMO

tante en la velocidad en el caso del esquema de doble bucle, de la que posteriormente

el misil no puede recuperarse ya que no es capaz de reducir con la rapidez necesaria el

angulo de ataque.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−4

−2

0

2

Time (sec)

−nBznT

two-loopIGA

Figura 4.8: Ratio de aceleraciones misil a blanco, con nT = 9 g.

4.4. Efectos de Ruido, Estimacion y Radomo

En esta seccion se comparan una vez mas las actuaciones del misil con esquema

integrado frente a el no integrado o doble bucle, pero ahora en presencia de efectos

reales como son el hecho de que los datos radar del blanco no estan disponibles mas

que puntos discretos, la perturbacion que introduce el radomo en la senal del blanco

y los ruidos de medida introducidos por el radar de abordo. Debido a las diferentes

trayectorias obtenidas con estos esquemas de guiado, los errores les afectan de modo

distinto y por tanto afectan tambien de modo distinto a la precision del sistema de

armas misil. Con la misma logica, los factores de error que dependen en menor medida

de la trayectoria, como los errores de los sensores internos del misil o la estimacion de

variables no medibles (angulo de ataque y angulo de guinada) no seran consideradas

aquı.

La figura 4.10 representa el esquema mas general del bucle de guiado y control para

el esquema integrado incluyendo ahora la electronica del radar, el componente mecanico

orientador del mismo mismo ası como el bloque electronico de filtrado y estimacion.

La funcion del buscador es proveer las medidas que aquellas variables del blanco

requeridas por el esquema de guiado. Basandose en la ecuacion 3.9 la implantacion del

esquema en doble bucle requiere medidas de: rLTM , V LTM y nLT . En contraste, para el

esquema integrado de la ecuacion 4.9 se requiere menos medidas: rLTM y V LT . Debido

89


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

−20

0

20

δ c,δt,

(deg

)

Canard - two-loopCanard -IGATail- two-loopTail-IGA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−40

−20

0

20

α(d

eg)

two-loopIGA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1,5

2

2,5

Time (sec)

M∞

two-loopIGA

Figura 4.9: Parametros, trayectorias alejadas del curso de colision. Angulo de ataque(superior), control (medio) y Mach (inferior) .

a esto requisitos de informacion, tanto en el esquema integrado como el no integrado,

el misil se considera equipado con un radar activo 2. Una vez que se describan los

2en un escenario aire aire, el radar tiene una clara ventaja en condiciones meteorologicas adversas

90


efectos reales, sus efectos pueden ser evaluados a traves de simulaciones no lineales

de encuentros tıpicos aire-aire. Una aproximacion similar se ha llevado a cabo en la

referencia (Zhurbal and Idan, 2011a).

NavigationFilter

Radar‖rTM‖ Vc

Radar Noises

Seekerxsk = f(xsk,xskd) Radome Error

TargetDynamics

IntegratedxI = f(xI ,xsd)

time-to-goEstimate


Unmodeled dynamics

MissileDynamic

xT , xT

σ∗, σ∗e

Ts, r∗TMk

, V ∗ck

rTM , ˙rTM+

xI

tgo

nT

xsd

xs

xM , xM

−

xM , xM ,n

Figura 4.10: Esquema del guiado y control integrado con efectos reales. Errores deradomo -seccion 4.4.1- ruidos radar y efectos de muestreo y estimacion - seccion 4.4.2-filtro Kalman - seccion 4.4.3- y finalmente la dinamica de alto orden de los servos -ecuacion 3.30

Ademas de la lınea de mira al blanco y de su velocidad angular, el radar activo de

la mayorıa de los misiles modernos es capaz de medir la distancia al blanco y en ciertas

y en presencia de nubes frente a un sensor de infrarrojos u u optico

91


circunstancias la velocidad de colision. Estas medidas adicionales pueden ser utilizadas

con ventaja por el sistema de navegacion y guiado:

La velocidad de colision Vc - ecuacion F.22 - es necesaria para estimar el tiempo

hasta el impacto en la ley de guiado optimo, tgo ecuacion F.26, y es un com-

ponente fundamental de la ley de navegacion proporcional. Si no se mide puede

ser estimada, pero esto ultimo puede causar errores importantes. La medida por

parte del radar de la velocidad de colision mejora la efectividad del arma.

Tanto el esquema integrado como el de doble bucle requieren una cantidad sig-

nificativa de informacion del blanco, en particular su velocidad relativa y su

aceleracion. Estimar esta ultima unicamente a traves de medidas angulares es

matematicamente imposible. La medida de la distancia relativa del misil al blan-

co, y de su velocidad de colision, combinada con los angulos de la lınea de mira

en un filtro de navegacion adecuado, permite una estimacion de la maniobra del

blanco y su empleo en leyes de guiado mas avanzadas.

4.4.1. Errores de Radomo

Debido a la presencia de errores parasitos de radomo, la cabeza del buscador ra-

ramente esta apuntada directamente al blanco y existe cierta de diferencia entre la

posicion real σ y la medida σm para el blanco. La cabeza del buscador tiene su propia

dinamica de apuntamiento, lo que causa cierto retardos en el angulo del seguimiento

del buscador, ver figura H.1 y 4.11.

.

Los errores por tanto vienen de dos contribuciones, por un lado la dinamica del

buscador, que causa un error de apuntamiento ε y el error de refraccion de radomo.

Un modelo dinamico para la cabeza del buscador sera empleado en las simulaciones

numericas y esta descrito en el apendice, adaptado de la referencia (Nesline and Zar-

chan, 1985).

Para un analisis preliminar puede suponerse que el angulo de difraccion θr es una

funcion seno periodica del angulo cardan del buscador θh, definido por el eje de la

antena:

θr = R · s(2π

Phθh + φh) (4.44)

donde R es la pendiente maxima de radomo, que depende de: el angulo con el que la

energıa del blanco incide en el radomo, el material, la fase de la senal, la temperatura

del radomo, etc, siendo en general muy difıcil de calcular o medir con precision, ver

referencia (Lin, 1991). Los requisitos de tolerancias para la pendiente de radomo son

92


XB

ZB

Blanco aparente

Blanco

Eje antena

XLθ

θd

ε′

θh

σσm

εθr

Figura 4.11: Definicion de los angulos del buscador radar. Con respecto a la referenciainercial fija en el espacio, el eje del misil forma el angulo θ. El eje de la antena, que nocoincide con el eje misil, forma un angulo θd con respecto a la referencia. El eje de laantena tiene un error de orientacion ε con respecto al blanco. La distorsion de radomocrea una posicion aparente del blanco dada por ε′

siempre parte de los requisitos de diseno de un misil tactico. Los radomos de formas

aerodinamicas introducen errores que pueden modelarse como re - alimentaciones no

deseadas en el bucle de guiado y control. Afectan tanto a la estabilidad del misil como

a la distancia de paso final, (Zarchan, 2012), y reducen el tiempo de respuesta del misil.

Un valor positivo de la pendiente de radomo R reduce la medida de la velocidad angular

de la lınea de mira, causando grandes oscilaciones al misil en vuelo. Una pendiente

negativa por otro lado provoca inestabilidades del sistema.

En cualquier caso, y para pequenos angulos de cardan θh, la influencia de los errores

de radomo en el bucle de guiado y control tiende a disminuir. Aunque un misil con

control aerodinamico tiene que mantener cierto angulo de ataque para poder maniobrar,

los misiles con control doble aerodinamico requieren menos angulo de ataque en vuelo,

se reduce el angulo de cardan al blanco y por tanto el error de radomo. Ademas el

misil con control doble aerodinamico combinado con el esquema integrado de guiado

y control resulta en una aproximacion mas directa al blanco, ver figuras 4.4 y 4.7, lo

que permite reducir aun mas el angulo cardan al blanco. Esta relacion entre la ley de

guiado y el error de radomo se analiza en la seccion siguiente mediante simulaciones

numericas.

93


Evaluacion de la Distancia de Paso Final debida al Error de Radomo

En la ecuacion 4.44 se asume Ph = π/6 y fase de φh = 0 rad. Con este modelo

se han llevado a cabo simulaciones numericas con las mismas condiciones iniciales de

la seccion 4.3.1, HE = 20 deg, MT = 1,5 nT = 15 g , distancia inicial 6,000 metros,

representandose en la figura 4.12 la variacion de la distancia de paso final frente a la

pendiente de radomo R. Se considera por ahora que no hay ruidos introducidos por el

sistema radar, pero que los datos del radar son digitales muestreados con una frecuencia

de 100 Hz, Ts = 0,01 s.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

·10−6

10−1

100

101

102

Maximum Radome Slope, R

Mis

sdis

tance

(met

ers)

IGATwo Loop

Figura 4.12: Sensibilidad a pendiente de radomo, 12,000 m de altitud, distancia inicial6,000 m, HE = 20 grados.

Como se aprecia en la figura 4.12, para la aproximacion integrada IGA hay muy

poca variacion en la distancia final de paso al variar la pendiente maxima de radomo.

Sin embargo para el doble bucle, la logica no integrada, la distancia final de paso

puede variar de forma muy importante debido a los valores de la pendiente de radomo.

Claramente la aproximacion no integrada resulta en unos requisitos de diseno mucho

mas estrechos para el diseno y fabricacion del radomo.

4.4.2. Efecto de los ruidos radar y su frecuencia de muestreo

Como se menciono anteriormente las actualizaciones de los datos radar no se dan de

modo continuo, sino que se actualizan en cada tiempo de muestreo Ts. Por otro lado,

las fuentes de ruido seran aquellas asociadas al radar activo en misiles tacticos. Cada

94


uno de estos ruidos puede caracterizarse por una desviacion estandar Σ, y asumirse

que entra en el bucle de guiado y control del misil en cada intervalo de muestreo Ts.

Para simplificar la exposicion, los detalles de como se calcula la desviacion estandar

para cada tipo de ruido se ha movido a los apendices, en la seccion H.2. Se asumira

que la relacion entre la densidad espectral del ruido (PSD) a su desviacion estandar se

relaciona con la frecuencia de muestreo a traves de PSD = Σ2Ts.

Los ruidos que se consideran relevantes para el radar activo son:

El destello (glint), que es un tipo de ruido angular, causado por perturbaciones

aleatorias en el retorno blanco del radar, y que no depende de las caracterısticas

del buscador. Es un ruido altamente no correlado, pero puede ser modelado (ver

seccion H.2.1) como la combinacion de dos distribuciones Gausianas con desvia-

ciones estandares distintas que denominaremos Σg1 y Σg2. Este tipo de ruido se

incrementa al disminuir la distancia al blanco.

El ruido angular del radar activo, que se detalla en la seccion H.2.2. Es un

ruido de tipo termico, que aparece ya que es el mismo radar el que emite y recibe

la senal. Es proporcional al cuadrado de la distancia entre el misil y el blanco.

Desvanecimiento y ruidos atmosfericos, que pueden considerarse indepen-

dientes del alcance esto se revisan en la seccion H.2.2.

Ruidos en la medida de range and collision velocity, se detallan en la subsec-

cion H.2.3.

La mejora del sensor radar disminuira los ruidos angulares dependientes e inde-

pendientes del alcance, a la vez que aquellos asociados a la medida del alcance y la

velocidad de colision. No disminuira sin embargo los ruidos de destello.

4.4.3. Filtro Variable tipo Kalman

El bloque de filtrado en la figura 4.10 es responsable de filtrar aquellas variables que

estan corrompidas por el ruido, ası como de estimar los valores de las variables entre

intervalos de medida y calcular aquellas variables que no pueden medirse directamente,

como por ejemplo nT .

Para poder estimar las variables de guiado se recurrira a un filtro de Kalman discre-

to. Aunque existen filtros no lineales mas complejos, como se describen en la referencia

(Kim et al., 2012), por ejemplo un Extended Kalman Filter o filtro de partıculas, (Gus-

tafsson et al., 2002), el proposito de esta seccion es estudiar el impacto de la estimacion

en el bucle de guiado y control. Este objetivo se consigue al emplear el mismo esquema

de estimacion para la logica integrada y la de doble bucle. Ademas el filtro lineal de

95


Kalman es capaz de conseguir resultados suficientemente buenos cuando la aceleracion

del blanco es constante o es senoidal, como se describe en (Zarchan, 2012).

En misiles interceptores la varianza del ruido radar no es estacionaria ya que varıa

con la distancia al blanco. Como consecuencia las ganancias del filtro Kalman seran

dependientes del tiempo. El filtro desarrollara estimaciones de los estados del blanco

que necesite la ley de guiado y control a partir del conjunto de medidas con ruido que

contienen informacion sobre el blanco. En el desarrollo del filtro se necesita considerar

la dinamica del blanco, que se asume como:VLTM

V LTM

nLT

=

[0] I3 [0]

[0] [0] I3

[0] [0] [0]

r

LTM

V LTM

nLT

−[0]

nL

[0]

+

[0]

[0]

w

(4.45)

[rL∗TMV L∗TM

]=

[I3 [0] [0]

[0] I3 [0]

]rLTM

V LTM

nLT

+

[υ(r,θ)

υV

](4.46)

en el espacio-estado

xF = AFxF +GFuF +W (4.47)

z∗F = HFxF + V (4.48)

con xF =[rLTM V L

TM nLT

]T, z∗F =

[rL∗TM V L∗

TM

]Tand uF = nL,V =

[υ(r,θ) υV

]T,

QF = E[WWT

].

La ecuacion del filtro discreto, de la referencia (Zarchan and Musoff, 2000), es:

xFk = ΦkxFk−1 +GFkuFk−1 +KFk (z∗Fk −HFΦkxFk−1 −HFGFkxFk−1) (4.49)

con

Φk =

1 Ts 0,5T 2s

0 1 Ts

0 0 1

⊗ I3 (4.50)

GFk =

∫ τ=Ts

τ=0

Φ (τ )GF · dτ = −

0,5T 2s

Ts

0

⊗ I3 (4.51)

De modo estricto, la ultima ecuacion es solo valida si uFk es constante entre puntos

de muestreo, lo cual no es cierto ya que se espera que la aceleracion del misil varıe de

96


modo continuo. Las ecuaciones recursivas para el calculo de las ganancias son:

MFk = ΦkPFk−1ΦTk +QFk (4.52a)

K = MFkHTF

(HMFkH

T +RFk

)−1(4.52b)

PFk = (I −KkHF )MFk (4.52c)

QFk =nTtgo

T 5s

20T 4s

8T 3s

6T 4s

8T 3s

3T 2s

2T 3s

6T 2s

2Ts

⊗ I3 (4.53)

y RFk = E[VVT

]. Para iniciar las ecuaciones 4.52 se necesita una matriz de cova-

rianza inicial PFk (0).

4.4.4. Evaluacion de la distancia de paso con ruidos radar

El caso de la seccion 4.3.1 ha sido calculado numericamente con los siguientes

parametros:

Cuadro 4.2: Parametros de ruido seleccionados para el radar activo

Fuente Parametros

Glint Σg1 = 10−3 rad , Σg2 = 10−1 rad proporcional a ( 1‖rTM‖

Independiente Σf = 10−3 radDependiente alcance Σt = 3,33 · 10−6‖rTM‖2

Velocidad colision ΣV = 5 · 10−6‖rTM‖2

Atmosferico Σan = 0Alcance Σρ = 0

Inicialmente se considera una simulacion en la que, R = 0 y Ts = 0,01.El filtro se

inicializa a los Tkalman = 0,5 segundos. La figura 4.13 muestra la trayectoria obtenida

relativa al misil. En el caso del doble bucle, el ruido radar afecta a la estimacion de

la aceleracion del blanco, que no se estima particularmente bien por un filtro lineal de

Kalman. Esto a su vez genera una demanda de aceleracion al misil esta muy afectada

por el ruido, como puede verse en la figura 4.14 . En contraste, con el esquema integrado

se obtiene una trayectoria mucho mas controlada. La distancia final de paso en este

ejemplo ha sido de 0.72m para el IGA y 3.14m para el doble bucle.

Se llevan a cabo ahora variaciones de R en simulaciones de Montecarlo, ya que

en presencia de ruidos estocasticos, los resultados de la simulacion variaran en cada

ejemplo. Como es sabido, este metodo es el mas ampliamente utilizado para analisis

97


two-loopIGA

2000 metros

4000 metros

6000 metros

Figura 4.13: Trayectoria del blanco medida por el radar tal y como se ve desde el misil.

estadıstico. Aquı se realizan 50 simulaciones para cada caso, obteniendose la media y

la desviacion estadıstica en cada escenario.

Los resultados se aprecian en en las figuras 4.15 y 4.16. El ruido de destello tiene una

importancia muy significativa en el caso del doble bucle, incrementando la distancia

de paso en un orden de magnitud, mientras que el esquema integrado es mucho menos

sensible a la maxima pendiente de radomo.

4.4.5. Experimentos con la frecuencia de muestreo de datos

En esta seccion se estudian las implicaciones de la frecuencia de muestreo de datos

del buscador en las actuaciones del sistema, para un misil operando con logica integrada

o en doble bucle. Los experimentos se llevan a cabo sin ruido.

El escenario es el de la seccion anterior, con HE = 20 deg, Mach incial de M = 2,5

y nT = 15 g, MT = 1,5 . Para cada valor de fs = 1Ts

, se varıa a distancia inicial entre

misil y blanco entre 2,000 y 8,000 metros. Los resultados se muestran en la figura 4.17

para frecuencias de muestreo entre 50-1000 Hz.

Los resultados de 4.17 muestran que el filtro de Kalman y las actuaciones del misil

sin ruido son independientes de la frecuencia de muestreo excepto para el caso de muy

bajas frecuencias para la logica integrada. Este resultado ilustra que la logica integrada

98


0 1 2 3 4 5 6 7−2

−1,8

−1,6

−1,4

−1,2

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0

0,2

0,4

Time (s)

−nBznT

two-loopIGA

Figura 4.14: Aceleracion del misil en presencia de ruido radar.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

·10−6

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2


RM

SM

iss

dis

tance

(met

ers)

IGA - Range Independent NoiseIGA - Radar Active NoiseIGA - Glint

Figura 4.15: Error con esquema integrado y ruido radar.

99


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

·10−6

0

2

4

6

8

10


RM

SM

iss

dis

tance

(met

ers)

Two-Loop - Glint NoiseTwo-Loop - Radar Active NoiseTwo-Loop Range Independent Noise

Figura 4.16: Error con esquema no-integrado y ruido radar.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1,0000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Sampling rate, fs = 1Ts, Hz

Ave

rage

mis

s(m

),fo

r‖rTM

(0)‖∈

[200

0,80

00](m

) IGATwoLoop

Figura 4.17: Variacion de la distancia de paso con la frecuencia de muestreo.

100

4.5. DEFENSA CONTRA ATAQUE POR LA COLA

requiere un mınimo de frecuencia de muestreo para ser capaz de guiar el misil hasta

el blanco. Dado que el coste del hardware del radar es proporcional al valor de la

frecuencia de muestreo, se demuestra que el caso integrado se requiere un radar de

mayor calidad que para el caso del doble bucle.

En el caso del doble bucle el auto piloto trabaja a una frecuencia superior al bucle

externo de guiado, mientras que en el caso integrado se trabaja a una unica frecuen-

cia. La mayor frecuencia de trabajo del auto piloto del doble bucle puede por tanto

contribuir a mejorar los resultados cuando la frecuencia de trabajo del radar es baja.

4.5. Defensa contra ataque por la cola

4.5.1. Soluciones previas y retos tecnologicos

Esta seccion investiga un control puramente aerodinamico para obtener un giro de

180 grados del misil, empleando el misil de control doble aerodinamico y un esquema

integrado para el guiado y control. Este tipo de maniobra es muy importante para

misiles modernos, como se detalla en la figura 1.4 y referencia (Kim et al., 2013),

ya que da la capacidad al avion lanzador para atacar blancos de oportunidad en su

hemisferio trasero o auto defensa contra un blanco atacante que se aproxime por la cola.

Como consecuencia un misil capaz de realizar esta maniobra dota al avion portador de

una gran ventaja en supervivencia y flexibilidad operativa.

Para misiles convencionales modernos con control canard o cola, propulsados por

un motor cohete solido, los intentos para obtener las altas velocidades de giro reque-

ridas requieren altos angulos de ataque por encima de 50 grados. En este dominio de

altos angulos de ataque, el misil experimenta muchas dificultades para mantener un

vuelo controlado: se produce perdida o saturacion aerodinamica del control, el efecto

de guinada fantasma debido a los torbellinos asimetricos del fuselaje, alta resistencia

aerodinamica y perdida de velocidad, variaciones de estabilidad, perdida de control de

balanceo, etc. Cualquiera de estos efectos puede por sı solo causar perdida de control

de vuelo y unas actuaciones del misil muy pobres.

La habilidad para conseguir realizar este tipo de maniobra ha sido una de las princi-

pales razones detras de la introduccion reciente del esquema de misil hıbrido en misiones

aire-aire, (Wise and B Roy, 1998). En este tipo de misiles el control aerodinamico se

combina con un actuador no-aerodinamico que deflecta el chorro y permite mantener

al misil controlado en la region de altos angulos de ataque, como se describe en la

seccion 1.1.3. Este tipo de elementos incrementa significativamente el coste, la com-

plejidad y el riesgo tecnico del misil, ası como los riesgos de seguridad para el avion

lanzador (Ratliff et al., 2009), (McFarland and Calise, 2000) , (Innocenti and Thukral,

101


1993). Como consecuencia, ser capaces de realizar esta maniobra con un misil muy agil

unicamente con control aerodinamico es un beneficio operativo muy significativo.

Como se demostrara en esta seccion el misil con control doble aerodinamico y guiado

integrado es capaz de realizar esta maniobra y conseguir interceptar a un blanco que

se aproxima por el hemisferio trasero, manteniendo angulos de ataque por debajo de

35 grados durante toda la maniobra.

Se considerara que el misil se lanza desde un avion en regimen supersonico e in-

mediatamente enciende su motor cohete para realizar el giro de 180 grados. En la fase

inicial el misil se aleja del blanco, por lo que el buscador radar no ha capturado aun

al blanco y la velocidad de colision es negativa. En esta fase inicial se pide al misil un

giro a factor de carga constante en una fase de trayectoria pre-programada. Una vez

que el misil ha girado de modo que el angulo de cardan del buscador θh es menor que

60 grados, se asume que el radar fija al blanco y a partir de aquı sigue el esquema

integrado hasta la interceptacion.

Se consideran dos escenarios distintos. En el primero el misil se lanza desde un

avion atacando a un blanco no programado, un blanco de oportunidad, que acaba de

ser detectado y localizado en la cola del avion lanzador. En un segundo escenario el misil

se emplea como defensa contra un avion caza enemigo que se aproxima rapidamente al

avion lanzador desde su cola.

4.5.2. Blanco de oportunidad en el hemisferio trasero

Se asume que el Mach del avion lanzador es M = 2,5. El blanco es un caza moderno

pilotado volando a MT = 1,2, y que inmediatamente comienza una maniobra evasiva

a su maxima capacidad de 9 g una vez que detecta el lanzamiento del misil. Otros

parametros de la simulacion se definen en la tabla 4.3.

Cuadro 4.3: Parametros de la simulacion. Blanco o de oportunidad en el hemisferiotrasero.

Parametro Valor (unid.)

Mach lanzamiento misil, M∞ 2.5 ( ND)Mach Blanco, MT 1.2 (ND)Maniobra del blanco, nT 9 (g)Factor de carga en el giro 30 (g)Altitud vuelo, h 12,000 metersDistancia inicial, rTM(0) 5,000 (m)Tiempo combustion motor, tb 8 (s)Empuje, T 3400 (N)

Inmediatamente despues de ser lanzado y alejarse del avion lanzador, el misil inicia

un giro a factor de carga constante de 30 g. La trayectoria resultante se muestra en la

102


figura 4.18. Una vez que se completa este giro cerrado y se fija el blanco en el radar,

se inicia la trayectoria guiada hacia el blanco. La distancia final de paso es de 0.42

metros, lo que equivale a impacto directo, tiempo total de vuelo de 8.5 segundos, con

tc = 8,1 s.

La figura 4.19 representa la maniobra del misil durante el encuentro aire-aire.La

demanda de maniobra durante la fase inicial de vuelo (entre los puntos M0 y M1)

se fija a 30g, que se administra por parte del autopiloto para no exceder los lımites

mecanicos y aerodinamicos de la envolvente de vuelo del misil, como en la seccion 3.4.

Una vez que el misil ha girado lo suficiente, de modo que su radar es capaz de detectar

al blanco, la logica de guiado cambia desde una maniobra constante al esquema IGA

integrado, que se traduce en una reduccion inmediata de la demanda de maniobra. La

maxima maniobra necesaria ha sido de 31.2 g, en el inicio del giro a g-constante. Notese

que la transicion al esquema integrado es abrupta pero no se producen oscilaciones,

como se aprecia en la figura 4.20. El cambio de rumbo de 0 a 180 grados ha llevado

solo 2.2 segundos a una altitud de 12,000 metros, lo que por si solo indica la agilidad

del misil DAC. En esta simulacion se han incluido los ruidos, errores de radomo y

frecuencia de muestreo de datos del apartado anterior, siendo por tanto totalmente

realista.

La figura 4.21 ilustra el comportamiento de otros parametros importantes en el

vuelo del misil. El angulo de ataque permanece siempre por debajo del nivel de 35

grados a partir del cual se considera que aparece el efecto de guinada fantasma.

Los angulos de los controles de vuelo, 4.21, permanecen siempre por debajo del lımi-

te mecanico de 30 grados. El canard se encuentra saturado debido a su alta incidencia

en la fase final del giro a G constante, y no contribuira mas a incrementar el momen-

to de cabeceo del misil, siendo ∂Cm∂δcq

= 0. Cuando el control delantero se encuentra

saturado, el misil sigue estando controlado por la cola.

Finalmente en la figura 4.21 en su parte inferior ilustra el comportamiento de la ve-

locidad del misil. La propulsion permanece activa durante los primeros ocho segundos.

Se nota como la velocidad del misil cae de modo significativo durante la fase inicial

de giro cerrado, incluso a pesar de que la propulsion esta activa. Una vez que el giro

termina la alta eficiencia cinematica del esquema integrado de guiado permite al misil y

recuperar rapidamente su velocidad. En los ultimos instantes antes del impacto el mo-

tor cohete se ha consumido por completo pero el misil tiene suficiente presion dinamica

para la maniobra de correccion final y conseguir interceptar al blanco actuando en los

controles canard y cola.

103


−3,000−2,500−2,000−1,500−1,000 −500 0 500 1,000−6,000

−5,500

−5,000

−4,500

−4,000

−3,500

−3,000

−2,500

−2,000

−1,500

−1,000

−500

0

500

1,000

VM

VT

M1

M0

I

T0

M2M3

Downrange (m)

Cro

ssra

nge

(m)

targetDAC Missile w/IGA

Figura 4.18: Trayectoria contra un blanco el hemisferio trasero. La figura demuestra laagilidad conseguida con una logica integrada y misil de doble mando aerodinamico con-tra un blanco maniobrero, inicialmente localizado en la trasera del avion lanzador.M0

es el punto de lanzamiento, M1 final de la maniobra de giro cerrado a 30 g y el comienzodel guiado IGA. M2 apagado del motor cohete a los t = 8 segundos, M3 comienzo delcontrolador final de Lyapunov, I impacto contra el blanco.

Maniobra de defensa contra un ataque por la cola

Aquı se considera el escenario de un avion caza enemigo localizado en nuestra

cola, volando a la misma velocidad y altitud que nuestro avion, con M = 2,5 y apro-

ximandose al avion amigo rapidamente. La separacion inicial entre nuestra avion y el

avion blanco es la misma que en el escenario anterior, 5000 m. Los otros parametros

para la simulacion se define en la tabla 4.4. El misil se lanza a M = 2,5 e inmediata-

104


0 1 2 3 4 5 6 7 8−10

0

10

20

30

Time (sec)

Mis

sile

late

ral

acce

lera

tion

,−nB z

(g)

Figura 4.19: Maniobra del misil, blanco en el hemisferio trasero.La curva en color rojocorresponden a los resultados de la simulacion con ruido y efectos reales.

0 1 2 3 4 5 6 7 880

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

Time (sec)

Mis

sile

pit

chan

gle,θ,

(deg

)

Figura 4.20: Angulo de cabeceo, θ, blanco en el hemisferio trasero. La curva en colorrojo corresponden a los resultados de la simulacion con ruido y efectos reales.

105


0 1 2 3 4 5 6 7 8

−20

0

20

δq c,δt q

(deg

)

Canard -IGATail-IGACanard -IGATail-IGA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−10

0

10

20

30

40

α(d

eg)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 92

2,2

2,4

2,6

Time (sec)

M∞

Figura 4.21: Parametros, blanco en el hemisferio trasero: angulo de ataque (top), angu-los de control (middle), Mach (bottom). La curva en color rojo corresponden a losresultados de la simulacion con ruido y efectos reales.

mente inicia una maniobra de giro cerrado a nBd = 30 g de modo sostenido. Durante

este giro el angulo de ataque del misil aumenta de modo progresivo, y una vez que

106


alcanza el lımite maximo admisible α = 35, la demanda de maniobra se reduce en

escalon nBd = 24 g, para preservar la controlabilidad del misil. A partir de este punto

el misil continua el giro a nBd = 24 g sostenidos, mientras completa su giro y θh < 60

grados. Una vez que el angulo de cardan del buscador llega a los 60 grados, el radar

del misil engancha al blanco y comienza el guiado y control integrados. La logica de

guiado integrada guıa al misil hacia el blanco a la vez que recupera la velocidad del

misil tras el giro manteniendo angulos de ataque bajos.

Cuadro 4.4: Parametros de la simulacion defensa contra ataque desde cola

Parametro Valor (unid.)

Mach lanzamiento misil, M 2.5 ( ND)Mach blanco, MT 2.5 (ND)Maniobra blanco, nT 6 (g)Factor de carga giro misil 30 / 24 (g)Altitud, h 12,000 metersDistancia misil a blanco inicial, rTM(0) 5,000 (m)Tiempo de combsution, tb 8 (s)Empuje, T 3400 (N)

La distancia final de paso obtenida es de 0.57 metros con impacto a los 6.7 segundos

desde lanzamiento. El controlador terminal esta activo desde el segundo tc = 6,2.

La figura 4.22 muestra las trayectorias del misil y del blanco. La maniobra realizada

por el avion blanco tratando de escapar corresponde a una maniobra realista, en la que

el avion trata de que el misil con control aerodinamico convencional sature su control

y pierda actuaciones, o en el caso de un misil hıbrido que consuma su propulsion antes

de acercarse al blanco.

Las figuras 4.23 y 4.24 ilustran la aceleracion lateral del misil y su angulo de cabeceo.

En rojo se muestra las curvas correspondientes a la trayectoria afectada por ruido radar

y otros efectos reales comentados. Notese como el efecto del destelleo (glint) se percibe

fundamentalmente al final del vuelo, cerca del impacto, causando algunas fluctuaciones

en el movimiento de los controles.

En la maniobra, figura 4.23, se aprecia los dos niveles de aceleracion demandado

durante el giro cerrado, y la transicion suave entre los mismos perfectamente controlada

por el auto piloto. Se nota tambien el bajo nivel de aceleracion lateral requerido por el

control integrado una vez que concluya el giro, y la correccion final en desviacion antes

del impacto. La maxima maniobra durante la intercepcion aire-aire es de 31.2 g, por

debajo del lımite estructural.

En la grafica correspondiente al angulo de cabeceo, figura 4.24, se observa una

velocidad de giro θ muy elevada inicialmente , inmediatamente despues del lanzamiento.

Esto se debe al efecto de la estela del canard en el control de cola, que genera un valor del

107

4.6. CONCLUSIONES

momento de picado Cm muy importante cuando el angulo de ataque es todavıa pequeno.

Notese que el cambio de nivel de maniobra se da a los t=2.2 segundos, mientras que

θ no cambia apreciablemente debido a la gestion del auto piloto. Una vez completado

el giro, sigue una region de θ casi constante, en la que el control IGA dirige al misil

contra el blanco aumentando progresivamente su velocidad.

La figura 4.25 muestra otros parametros de actuaciones importantes: angulo de

ataque, la posicion de las aletas de control y el numero de Mach durante el vuelo.

Notese como el angulo de ataque no excede el lımite de 35 grados, y los controles

permanecen siempre por debajo de su lımite mecanico de 30 grados. El numero de

Mach del misil se reduce durante la fase de giro a un mınimo de 1.88, pero se recupera

rapidamente despues.

4.6. Conclusiones

En este capıtulo se ha desarrollado un algoritmo completo para implementar el

guiado y control en un solo bucle, incluyendo efectos reales y aerodinamica no lineal.

Se ha hecho especıficamente para misiles con control doble aerodinamico, y es aplicable

a misiles con control en cola o canard.

La logica integrada no necesita considerar ningun modelo particular de maniobra

del blanco, e incluye unicamente la velocidad del blanco como una perturbacion al

sistema.

Las simulaciones con y sin efectos reales demuestran la superioridad neta de la

aproximacion integrada con respecto al doble bucle tradicional. Con la aproximacion

integrada se incluye la velocidad del misil en el bucle de optimizacion general con lo

que se gestiona mejor la energıa cinetica del misil, y ademas se consigue una mejor

preservacion de las ordenes de guiado, al no existir transferencia entre bucles de guiado

y de auto piloto separados. El guiado IGA no necesita calcular la aceleracion del blanco,

y ademas tiene un aproximacion mas directa hacia el blanco, siendo una ley mucho mas

robusta en presencia de ruidos radar y otros efectos reales.

El misil con control doble aerodinamico y guiado y control integrados es capaz de

interceptar blancos en la cola manteniendo siempre control aerodinamico, sin recurrir a

los desarrollos modernos actuales hıbridos, aumentando la capacidad de supervivencia

y flexibilidad operativa del avion de combate portador de este tipo de misil.

108

4.6. CONCLUSIONES

−2,000 −1,500 −1,000 −500 0 500 1,000 1,500 2,000−6,000

−5,500

−5,000

−4,500

−4,000

−3,500

−3,000

−2,500

−2,000

−1,500

−1,000

−500

0

500

1,000

VM

VT

M∗1

M0

M1 I

T0

M3

Downrange (m)

Cro

ssra

nge

(m)

Engagement Geometry

targetIGA

Figura 4.22: Defensa contra un ataque por la cola, con un misil con control doble yguiado y control integrados. M0 posicion inicial, M∗

1 fin de la primera fase de giro a 30 g,M1 fin de la segunda fase de giro a 24 g. En M1 comienza el guiado IGA, M3 comienzodel guiado terminal de Lyapunov. Finalmente I es el punto de impacto directo contrael caza enemigo.

109

4.6. CONCLUSIONES

0 1 2 3 4 5 6−10

0

10

20

30

Time (sec)

Mis

sile

late

ral

acce

lera

tion

,−nB z

(g)

Figura 4.23: Defensa contra un ataque por la cola, maniobra del misil

0 1 2 3 4 5 6

100

150

200

250

300

350

Time (sec)

Mis

sile

pit

chan

gle,θ,

(deg

)

Figura 4.24: Defensa contra un ataque por la cola, angulo de cabeceo.

110

4.6. CONCLUSIONES

0 1 2 3 4 5 6

−20

0

20

δq c,δt q

(deg

)

Canard -noiseTail-noiseCanard -IGATail-IGA

0 1 2 3 4 5 6−10

0

10

20

30

40α

(deg

)

0 1 2 3 4 5 61,8

2

2,2

2,4

2,6

Time (sec)

M∞

Figura 4.25: Defensa contra un ataque por la cola, otros parametros: angulo de ataque(arriba), control (medio) y Mach (inferior)

111

Capıtulo 5

Conclusiones

En este ultimo capıtulo se integran y sintetizan las conclusiones obtenidas en los

capıtulos anteriores. Tambien se destacan aquı las limitaciones del estudio y se indican

distintas direcciones y areas para continuar la investigacion.

Este capıtulo se estructura del siguiente modo: la seccion 6.1 contiene las respuestas

a las preguntas de investigacion planteadas en la seccion 1.3, revisa las consecuencias

practicas para la arquitectura del misil e identifica las implicaciones teoricas de es-

tos resultados; la seccion 6.2 clasifica las distintas limitaciones que se han encontrado

durante las etapas de la investigacion y finalmente identifica areas para continuar y

avanzar sobre este estudio.

5.1. Resumen de resultados obtenidos

Los principales resultados obtenidos se han recogido dentro de sus capıtulos respec-

tivos. Esta seccion sintetiza estos resultados para responder a las cuestiones de inves-

tigacion planteadas en la seccion 1.3 y desglosa sus implicaciones practicas y teoricas.

5.1.1. Soluciones a las Preguntas de Investigacion

1. Modelo aerodinamico avanzado para el misil de control doble.

1.1. Los fenomenos aerodinamicos caracterısticos del control doble y en particu-

lar el acoplamiento cruzado entre controles han sido estudiados en la seccion

2.1.2 con la ayuda de la teorıa de cuerpos esbeltos y simulaciones numericas.

1.2. Se ha desarrollado una nomenclatura especıfica para el tratamiento tridi-

mensional del misil de control doble, tal y como se contempla en la seccion

2.1.1.

112

5.1. RESUMEN DE RESULTADOS OBTENIDOS

1.3. Se ha desarrollado un modelo teorico, a traves de funciones continuas, con

una alta precision suficiente para estudios avanzados de guiado y control.

Estos resultados se recogen en la seccion 2.2, con el nivel de detalle requerido.

1.4. Se han obtenido datos aerodinamicos experimentales fiables a traves del es-

tudio de la literatura cientıfica (Lesieutre et al., 2002a,b; Cross et al., 2010;

Blair, 1978; Khalid et al., 2005a,b; Akgul et al., 2012; Al-Garni et al., 2008).

Estos datos han permitido comprobar la validez del modelo teorico. Se han

extendido en este estudio a traves de experimentos de aerodinamica compu-

tacional y metodos aerodinamicos de ingenierıa (DATCOM)- ver Apendice

D - con el nivel de precision requerido. Los coeficientes del modelo teorico

ajustados para el misil NASA pueden encontrarse en el Apendice E.

1.5. En este diseno la autoridad para control en balanceo se ha asignado a la

seccion de cola. Se han desarrollado expresiones analıticas para el balanceo

inducido, el amortiguamiento y el momento de control aerodinamico en ba-

lanceo. El auto piloto para balanceo esta acoplado con los canales de los auto

pilotos de picado y guinada. Las capacidades del control de balanceo en cola

para mantener estable el misil se han demostrado a traves de simulaciones

numericas.

2. Desarrollo de la estructura en dos bucles del guiado y el auto piloto para misil

de control doble.

2.1. Las limitaciones especıficas y los requisitos operacionales para el auto piloto

del misil de control doble se han desarrollado en la seccion 3.4.2, con enfasis

en mantener el misil dentro de sus capacidades aerodinamicas. El angulo de

incidencia en cada uno de los controles tiene que ser monitorizado en tiempo

real para prevenir la saturacion aerodinamica del control o su entrada en

perdida.

2.2. Se ha resuelto el bucle general de guiado y control, representado en la Figura

1.3 para el misil de control doble.

2.2.1. Como variable de control se ha utilizado la derivada en el tiempo de los

angulos de posicion de los controles δ.

2.2.2. Se ha introducido un bloque de pre-alimentacion, detallado en la sec-

cion, 3.4.1, para resolver el problema de reparto cuando hay entradas de

control multiples. Este bloque de pre alimentacion define un punto de

equilibrio local en cada instante del vuelo para el sistema no lineal. El

control actua de modo que lleva a la planta a este punto de equilibrio.

2.2.3. El Apendice G lista todos los coeficientes en el espacio de los estados

que forman el sistema del autopiloto.

113


2.3. El auto piloto no lineal se compara favorablemente contra sistemas de con-

trol tradicionales de ajuste de ganancias para el misil de control doble. La

solucion propuesta requiere menos esfuerzo de control, tiene un tiempo de

estabilizacion mas corto y menor tiempo de respuesta que el esquema de

ajuste de ganancias.

2.4. El esquema de dos bucles G&C aplicado al misil de control doble aero-

dinamico, obtiene mejores resultados con menores distancias de paso, que

un misil equivalente con control cola or canard, tanto guiado por navegacion

proporcional o por la ley de guiado optimo, contra un blanco que maniobra,

demostrado en 3.5.2.

3. Investigacion sobre la aproximacion integrada y comparacion frente al doble bucle

para el guiado y control de misiles

3.1. Se ha desarrollado un modelo matematico en ejes inerciales para el guiado

y control de vuelo integrado, detallado en la seccion 4.1 y en el Apendice

G. Debido al bajo amortiguamiento de la celula del misil, el tratamiento

en ejes inerciales es mas adecuado que en ejes cuerpo. Ademas este modelo

incorpora explıcitamente la velocidad del blanco.

3.2. Un controlador de pre-alimentacion, basado en una proyeccion en el tiempo

de las condiciones de vuelo en equilibrio el misil, es capaz de prevenir el

problema de las distintas escalas en las variables de guiado y control. Sin

este pre alimentador el sistema de control integrado se saturarıa rapidamente

tal y como se describe en 4.2.3.

3.3. Un ındice del coste para la la optimizacion del sistema integrado se ha

definido en la seccion 4.2.3. Este ındice de coste es una combinacion del

ındice de coste para el guiado optimo, detallado en la seccion 3.1 , con el

ındice de coste para el misil definido en la seccion 3.4.2.

3.4. Se ha desarrollado una solucion su optima para el problema integrado no

lineal, que minimiza el ındice de coste en un tiempo finito. Esto se hace a

traves de un procedimiento matematico relativamente complejo que incluye

una transformacion matricial y la solucion de una ecuacion de Lyapunov,

tal y como se detalla en la seccion 4.2.3.

3.5. El misil con el control integrado se compara favorablemente contra el mismo

misil empleando un esquema no integrado de dos bucles, como se demuestra

en la seccion 4.3. La superioridad del controlador integrado se hace aun mas

evidente en condiciones de lanzamiento desfavorables, alejadas del curso de

colision.

114


3.6. Las simulaciones con radomo, ruidos de radar y variaciones en la frecuencia

de muestreo del radar, descritas en la seccion 4.4 , se han llevado a cabo en la

seccion 4.4.4, donde el bucle integrado demuestra tener menos sensibilidad

a perturbaciones externas

3.7. Seccion 4.5 Describe como la logica integrada puede ser usada con efectivi-

dad para la defensa contra un ataque desde la cola. El sistema integrado es

capaz de gestionar esta maniobra defensiva interceptar al blanco atacante

solo con control aerodinamico.

5.1.2. Implicaciones en el diseno del misil

Aquı se tratan dos elementos que son especialmente relevantes, por un lado el peso y

el coste del misil de doble mando, y por otro que capacidades han de tener los sistemas

de a bordo para implementar esta solucion en tiempo real.

Consideraciones sobre peso y coste

La figura 5.1 ilustra los subsistemas del misil. El peso de cada subsistema se ve

afectado por cambios en las actuaciones de vuelo del misil que a su vez dependen del

esquema de guiado. Por ejemplo el peso estructural el tamano de la carga de guerra de

diseno, el tipo y cantidad de propulsante, el peso de los actuado redes para el control

de vuelo etc. son sensibles a los cambios de las actuaciones del misil. Por otro lado hay

algunos subsistemas que son relativamente insensibles a cambios en las actuaciones

de vuelo como por ejemplo el grado modo, el buscador, el tamano de las baterıas el

dimensionado de la electronica para guiado y auto piloto. El peso total es un factor

muy significativo para un arma aerotransportada, viene limitado por la capacidad de

transporte de la plataforma y que afecta potencialmente a sus costes de produccion y de

logıstica, a los danos colaterales que puede infringir, a su potencia de fuego y a la firma

radar del avion lanzador durante el transporte entre otros factores. Esta seccion revisa

de modo conceptual los cambios que pueden esperarse en cada uno de los subsistemas

sensibles como consecuencia de la mejora en las actuaciones encontradas para el misil

de doble mando.

El peso estructural del misil es un factor significativo ya que representa aproxima-

damente el 22 % del peso del misil al lanzamiento (Berglund et al., 2001). Las conside-

raciones de diseno mas importantes con respecto al peso estructural son normalmente

la presion interna del motor cohete y las cargas aerodinamicas durante la maniobra

final.

Se ha demostrado que el misil con control doble aerodinamico con logica integrada

soporta 1/4 del esfuerzo de maniobra ∆en . Y se requiere menos maniobra maxima. Esto

115


Buscador Radar

Servomecanismos Canard Cabeceo / Guinada (x2)

Electronica de Guiado

Bateria

Espoleta

Autopiloto

Cabeza de Guerra

Motor Cohete Combustible Solido

Servos Cola Cabeceo/Guinada/Balanceo (x4)

Blast Pipe

Figura 5.1: Subsistemas en un misil de control doble

se traduce en menores momentos de flexion en la estructura que pueden representar un

menor espesor de material, con la subsiguiente reduccion de peso estructural.

Por otro lado, la maxima presion dentro de la camara de combustion de un motor

cohete de combustible solido es una funcion del pro pulsante seleccionado. Sin embar-

go la logica integrada ha demostrado un mejor uso de la propulsion con una superior

energıa cinetica especıfica durante el vuelo ∆ek, y menos tiempo de vuelo hasta el im-

pacto. A su vez estos resultados podrıan permitir al disenador reducir el peso necesario

de propulsante por debajo del 65 % del peso al lanzamiento que es tıpico en misiles

tacticos, (Fleeman, 2012).

Para un misil interceptor aereo, las mejoras en las actuaciones de vuelo tienen un

impacto muy significativo en el peso requerido para la cabeza de guerra y un impacto

secundario en las caracterısticas de la espoleta.

De la referencia (Carleone, 1993), puede establecerse que la sobrepresion generada

por la onda expansiva creada por la carga de guerra es directamente proporcional a la

cantidad de masa de explosivo y su energıa, e inversamente proporcional al cubo de

la distancia de paso. Asumiendo aquı que el tipo de explosivo no cambia, las menores

distancias de paso obtenidas para nuestro misil reducen grandemente los requisitos de

peso para la cabeza de guerra obteniendo la misma letalidad. Ademas la aproximacion

directa al blanco y la mayor precision obtenida permite al disenador cambiar el tipo de

cabeza de guerra a una de tipo dirigido. En este modelo la energıa cinetica de la carga

116


se libera a lo largo de una lınea, por ejemplo el eje axial frontal del misil, permitiendo

descargar toda la energıa explosiva directamente sobre el blanco. Este tipo de cabeza

de guerra dirigida tiene la mayor densidad de energıa cinetica de todas y permite una

reduccion incluso mayor en el tamano de la cabeza de guerra, minimizando ademas la

probabilidad de causar un dano colateral. En contraste un misil aire aire tıpico tiene

una cabeza de guerra de fragmentacion de forma cilındrica, que debido a la distribucion

radial de los fragmentos, requiere una cabeza de guerra de mayor tamano y mas pesada.

La aproximacion directa al blanco y su mayor velocidad de colision permite al misil

con guiado integrado montar una espoleta con un angulo fijo de activacion, que simplifi-

ca los requerimientos de la espoleta de proximidad, minimizando su coste. Dependiendo

de la mision la espoleta de proximidad podrıa incluso ser eliminada y reemplazarse por

una espoleta de contacto ya que este tipo de guiado aumenta la probabilidad de impacto

directo, siendo este tipo de espoleta mucho mas sencilla, fiable y segura.

Finalmente merece la pena comentar el hecho de que el misil de doble mando

aerodinamico necesita dos servo mecanismos adicionales de control, vease la figura

5.1. Los servos son dos en la seccion delantera y cuatro en la seccion de cola, estos

ultimos situados alrededor del tubo de salida del chorro del motor. Se hace notar que

el aumento en numero de actuadores no implica necesariamente un aumento de peso ya

que depende del diseno aerodinamico de la aleta y de la posicion de la lınea de charnela

del actuador con respecto al centro de presiones .

En efecto, el momento de charnela es:

Mh = Nc · yh (5.1)

donde Nc es la fuerza normal local en la aleta y yh es la distancia entre el centro de

presion y la posicion de la lınea de charnela. Nc es proporcional al angulo de ataque

y a la deflexion del control. Ambas variables son menores en el caso de un misil de

doble mando, comparadas con las necesarias para operar un misil con control canard

o cola, e incluso menores si la logica integrada se aplica. El factor yh depende de la

localizacion de la lınea de charnela y del desplazamiento relativo del centro de presion

con el numero de Mach. Este ultimo puede ser ajustado mediante el diseno adecuado

de la aleta de control (en doble delta por ejemplo).

En resumen, los potenciales incrementos en peso y coste debido a los dos servos

adicionales, pueden ser compensados a traves de otros mecanismos ya considerados

(estructura, propulsante, cabeza de guerra) para reducir de modo general el presupuesto

de coste y de pesos. En cualquier caso estos dos servos adicionales para el control

aerodinamico se comparan favorablemente con las complicaciones y los actuado por el

que se requieren en el caso de un misil hıbrido.

117


Calculo en tiempo real de la ley de guiado

Los dos metodos descritos en esta tesis, el metodo integrado en un unico lazo y el

metodo de doble lazo requieren de capacidades de procesado a bordo significativas. Las

mayores cargas computacionales son:

1. Para el esquema un doble lazo:

a) El auto piloto se calcula y se resuelve a una frecuencia muy superior (x10 o

mayor) que el bucle de guiado.

b) Requiere una solucion en tiempo real de una ecuacion matricial algebraica

de Riccati de 21x21 en cada paso de integracion del auto piloto.

2. Para el diseno integrado:

a) Todo el calculo se realiza a la frecuencia que marca el reloj de guiado.

b) Requiere la solucion en tiempo real de una ecuacion matricial diferencial de

29x 9 en cada paso de integracion 4.34.

c) Requiere el calculo de la inversa de dos matrices de 29 x 29, ecuaciones 4.33

y 4.37.

d) Requiere el calculo de una matriz exponencial de 29 x 29 eA0(t−tf) .

e) Requiere la solucion de una ecuacion matricial de 29 x 29 de Lyapunov 4.39.

Por cada paso de integracion el sistema integrado requiere un mayor numero de

operaciones que el de doble lazo, pero corre a una frecuencia superior ya que lo hace a

la frecuencia del bucle de guiado externo en la aproximacion de doble lazo. El resultado

en un vuelo de unos 10 segundos de duracion es que el sistema integrado requiere 30

veces menos calculos que el sistema de doble lazo.

La mayor carga computacional en cualquiera de estos esquemas proviene de la solu-

cion de las ecuaciones matriciales en tiempo real. La velocidad de solucion de cada una

de las ecuaciones mencionadas arriba de 21 x 21 y 29 x 29, han sido evaluadas con ayu-

da del paquete MATLAB real time environment, obteniendose un tiempo de ejecucion

de 0.5ms de resolucion con un nucleo Corei7 operando a 2.5GHz y 16GB RAM. Las

capacidades de los sistemas de control de vuelo para altas actuaciones disponibles co-

mercialmente son superiores, y en cualquier caso los codigos utilizados son susceptibles

de mejora lo que dara lugar a incrementos adicionales en velocidad de proceso.

118

5.2. LIMITACIONES AL ESTUDIO Y AREAS DE DESARROLLO FUTURAS

5.1.3. Implicaciones teoricas

Se ha desarrollado un procedimiento generico para crear un auto piloto no lineal

capaz de controlar un misil en picado, guinada y balanceo simultaneamente. Ademas

el auto piloto desarrollado gestionar multiples entradas y salidas.

Se ha introducido el producto de Kronecker para simplificar el tratamiento del

problema optimo con matrices dependientes de los estados.

Se ha encontrado una solucion en tiempo finito para un problema optimo no lineal

mediante la ecuacion de Lyapunov, y se ha aplicado a la resolucion del problema inte-

grado. El problema de optimizacion es especialmente adecuado a misiles, ya que tienen

un claro objetivo en minimizar la distancia de paso. Pero esta aproximacion puede

extenderse a cualquier otro problema altamente no lineal que necesite optimizar cierta

funcion compleja dentro de un intervalo de tiempo finito. Posibles aplicaciones son la

trayectoria de ascenso de un vehıculo lanzador, optimizar al crucero en un avion o caza

de combate, maniobras de satelites en el espacio etc.

5.2. Limitaciones al Estudio y Areas de Desarrollo

Futuras

En esta seccion se repasan las limitaciones a este estudio y se identifican las areas

en las que la investigacion puede avanzar en aras de adquirir nuevos conocimientos. Se

tratan tres secciones aerodinamica, control y guiado.

5.2.1. Aerodinamica

El modelo aerodinamico en este estudio se ha planteado con limitaciones en β

y Mach. Un modelo ingenieril para aplicaciones practicas tendra que eliminar estas

restricciones y considerar los valores de α y β iguales en magnitud ası como todo el

regimen de vuelo del misil, desde supersonico subsonico.

No se ha dispuesto en este estudio de datos aerodinamicos en guinada o en balanceo.

En esta investigacion se han utilizado datos procedentes de aerodinamica computacio-

nal CFD y metodos semi empıricos para validar el modelo teorico en estos dos aspectos.

Aunque se ha encontrado una correlacion muy buena entre los datos calculados y medi-

dos para la aerodinamica en cabeceo, lo que permite tener gran confianza en los datos

calculados en guinada y balanceo, la ultima prueba de verosimilitud siempre vendra

dada por los datos en tunel.

No se han considerado en este estudio los efectos aeroelasticos, y como las defor-

maciones de la estructura debido a las cargas en vuelo afectan a la aerodinamica del

119

5.2. LIMITACIONES AL ESTUDIO Y AREAS DE DESARROLLO FUTURAS

misil.

5.2.2. Guiado y control

Se ha considerado que todas las variables del misil estaban disponibles para ser

realimentadas al sistema de control y carentes de ruido. Esto se ha hecho ası ya que

no es un hecho diferencial entre el guiado integrado y el no integrado. Sin embargo

un estudio posterior podrıa considerar que en la medida de los quaterniones y las

velocidades angulares del misil que da la IMU estan tıpicamente contaminadas por

ruido. Otro factor a considerar es que los angulos aerodinamicos α y β no suele medirse

directamente en misiles en servicio y se estiman como parte del filtro de Kalman.

Solo se ha considerado el guiado radar, debido a la gran cantidad de datos que

requiere el guiado optimo. Sin embargo esta metodologıa podrıa aplicarse tambien a

un misil guiado por infrarrojos, donde se mide menos variables pero se estiman las

necesarias. El buscador de infrarrojos va montado dentro de un irdome semiesferico

que aumenta la resistencia aerodinamica, factor que tendrıamos que considerar.

El modelo de los servo sea considerado como un modelo de segundo orden con un

factor adicional que incluye dinamicas de orden superior. Este modelo puede refinarse

en posteriores estudios. Tambien se ha considerado que los servo mecanismos son capa-

ces de generar todo el par necesario para mantener la aleta aerodinamica en la posicion

demandada. Se han incluido no obstante limitaciones en la velocidad maxima de giro

que el servo puede dar. Un modelo mas detallado mecanico que incluya las ecuaciones

dinamicas del servomecanismo y sus limitaciones en par.

120

Apendice A

Derivacion de Matrices y Producto

de Kronecker

Este apendice actualiza las convenciones originalmente definidas en (Vetter, 1970) y

posteriormente expandidas por (Brewer, 1978) para aquellos elementos que se emplean

dentro del cuerpo principal de la tesis. La aplicacion de estas formulas, con la inclusion

del producto de Kronecker, preserva la notacion matricial a traves de la operacion de

derivacion. Estas operaciones se emplean de modo extensivo en la tesis al aplicar los

metodos de optimizacion.

En lo que sigue x : R → Rn,1, es un vector columna, y y (x) : R → Rp,1, z (x) :

R→ Rq,1son vectores columna cuyos elementos son funciones de los elementos de x.

A.1. Estructuras de Derivacion

Si la matriz A : R→ Rp,q, depende funcionalmente del vector x,

A (x) =

a11 · · · a1p

.... . .

...

aq1 · · · aqp

(A.1)

sus elementos akj son funciones de xi. Se tiene que:

∂A

∂xi=

∂a11

∂xi· · · ∂a1p

∂xi...

. . ....

∂aq1∂xi

· · · ∂aqp∂xi

(A.2)

∂A

∂x=

∂A∂x1...∂A∂xn

(A.3)

A1

A.1. ESTRUCTURAS DE DERIVACION

y en forma expandida:

∂A

∂x=

∂a11

∂x1· · · ∂a1p

∂x1...

. . ....

∂aq1∂x1

· · · ∂aqp∂x1

.... . .

...

∂a11

∂xn· · · ∂a1p

∂xn...

. . ....

∂aq1∂xn

· · · ∂aqp∂xn

(A.4)

de modo similar, la derivada con respecto a un vector columna xT es:

∂A

∂xT=

∂a11

∂x1· · · ∂a1p

∂x1· · · ∂a11

∂xn· · · ∂a1p

∂xn

· · · . . .... · · · · · · . . .

...∂aq1∂x1

· · · ∂aqp∂x1

· · · ∂aq1∂xn

· · · ∂aqp∂xn

(A.5)

Se define:

∂kA

∂xk=

∂

∂x

(∂

∂x

(· · · ∂A

∂x

))(A.6)

Para la derivada de un vector funcion de un vector, existen tres casos distintos.

Vector fila derivado con respecto a un vector columna resulta en una matriz:

[∂yT

∂x

]=

∂y1

∂x1

∂y2

∂x1· · · ∂yp

∂x1∂y1

∂x2

∂y2

∂x2· · · ∂yp

∂x2...

.... . .

...∂y1

∂xn

∂y2

∂xn· · · ∂yp

∂xn

(A.7)

La derivada de un vector columna con respecto a un vector fila es una matriz:

[∂y

∂xT

]=

∂y1

∂x1

∂y1

∂x2· · · ∂y1

∂xn∂y2

∂x1

∂y2

∂x2· · · ∂y2

∂xn...

.... . .

...∂yp∂x1

∂yp∂x2

· · · ∂yp∂xn

(A.8)

donde (A.8) se conoce como el jacobiano. De aquı:[∂yT

∂x

]T=

[∂y

∂xT

](A.9)

Y finalmente la derivada de un vector columna con respecto a un vector columna es

un vector en la forma:

A2

A.2. PRODUCTO DE KRONECKER Y SUS PROPIEDADES

[∂y

∂x

]=

∂y1

∂x1∂y2

∂x1...∂yp∂x1

...∂y1

∂xn∂y2

∂xn...∂yp∂xn

(A.10)

donde[∂y∂x

]es la vectorizacion de (A.8). Se introduce la siguiente notacion:[

∂y

∂x

]= vec

[∂y

∂xT

](A.11)

∂y

∂y= vec Ip (A.12)

∂yT

∂y= Ip (A.13)

(In ⊗

(xTA

))· vec In = vec

(xTA

)= ATx (A.14)

A.2. Producto de Kronecker y sus Propiedades

El producto de Kronecker, tambien conocido como producto tensorial, de las ma-

trices A y B , se obtiene multiplicando los elementos de la matriz A por la matriz B.

Por ejemplo:

I2 ⊗ xT ≡

[x1 · · · xn 0 · · · 0

0 · · · 0 x1 · · · xn

](A.15)

De aquı: aA = a⊗A.

Productos de Kronecker sucesivos se definen como:

⊗kx ≡ x⊗ x⊗ · · · ⊗ x (A.16)

y de aquı:

(I ⊗A)k = I ⊗Ak (A.17)

A3

A.3. ALGEBRA DEL CALCULO DE MATRICES

Propiedades que se emplean en la tesis:

(A⊗B)T = AT ⊗BT (A.18)

(A⊗B)⊗C = A⊗ (B ⊗C) (A.19)

(A⊗B) (C ⊗D) = AB ⊗CD (A.20)

(Im ⊗N ) (M ⊗ In) = (M ⊗ In) (Im ⊗N ) (A.21)

(CT ⊗A

)vecB = vecABC (A.22)

vec(xyT

)= y ⊗ x (A.23)

(Ip ⊗ y) A = A⊗ y (A.24)

A(Iq ⊗ zT

)= A⊗ zT (A.25)

La demostracion puede encontrarse por ejemplo en (Laub, 2004).

La ecuacion de Lyapunov:

AX +XAT = C (A.26)

que se utiliza en el Capıtulo 4, puede expresarse:

[(I ⊗A) + (A⊗ I)] vecX = vecC (A.27)

A.3. Algebra del Calculo de Matrices

Las definiciones y resultados de las ultimas dos secciones se aplican aquı para pre-

sentar la estructura de matrices compuestas y formas escalares:

Si A : R → Rp,q es funcionalmente dependiente de otras matrices, A (B, · · · ), su

derivada es:

∂A

∂B=∑i,k

E(s,t)ik ⊗ ∂A

∂bik(A.28)

A4


donde E(s,t)ik tiene dimensiones de (s, t), y cuyo elemento ik es 1 y 0 en todas las otras

posiciones.

De aquı: (∂A

∂B

)T=∂AT

∂BT(A.29)

∂aA

∂B=

∂a

∂B⊗A+ a

∂A

∂B(A.30)

A.3.1. Derivada de Matrices Compuestas

Regla de la cadena

Si A (C (B)) donde A : R → Rp,q, C : R → Rr,l, su derivada con respecto a

B : R→ Rs,t:

∂A (C (B))

∂B=

(∂[vecC]T

∂B⊗ Ip

)(It ⊗

∂A

∂[vecC]

)=

(Is ⊗

∂A

∂[vecC]

)(∂[vecCT ]T

∂B⊗ Iq

) (A.31)

Regla del Producto

La derivada de A (B) = C (B)F (B) :

∂CF

∂B=∂C

∂B(It ⊗ F ) + (Is ⊗C)

∂F

∂B(A.32)

Derivada del Producto de Kronecker

∂A⊗C∂B

=∂A

∂B⊗C + (Is ⊗Upr)

(∂C

∂B⊗A

)(It ⊗Ulq) (A.33)

donde Upq es la matriz de permutacion, una matriz cuadrada de orden (pq, pq) que

tiene un unico 1 en cada fila y columna .

A.3.2. Derivada de la Forma Escalar

Se consideran derivadas de la forma escalar yTAz, donde A (x) : R → Rp,q, x :

R→ Rn,1, y (x) : R→ Rp,1 y z (x) : R→ Rq,1.

A5


∂yTAz

∂y= Az (A.34)

∂yTAz

∂z= ATy (A.35)

∂yTAz

∂x=∂yT

∂xAz +

(In ⊗ yT

) ∂A

∂xz +

(In ⊗

(yTA

)) [ ∂z

∂x

](A.36)

obteniendose:

∂xTAx

∂x=(A + AT

)x+

(In ⊗ xT

) ∂A

∂xx (A.37)

∂xTAx

∂xT= xT

(A + AT

)+(In ⊗ xT

) ∂A

∂xx (A.38)

La ecuacion A.37, para una matriz tal que Q = QT :

∂yTQy

∂y= 2Qy (A.39)

A6

Apendice B

Teorıa de Control Optimo

Se realiza una revision rapida del Estado del arte en la resolucion del problema

del regulador optimo para sistemas no lineales, en la que ademas se han adaptado

con la introduccion original del producto de Kronecker revisado en el apendice A, que

simplifica en gran medida la notacion.

B.1. Principio del Mınimo de Pontryagin para Mi-

siles

Se considera que el control del misil o su guiado es un sistema dinamico de la forma:

x(t) = f(x(t),u(t), t), x(0) = x0 (B.1)

donde t ∈ [0, tf ]. Como es normal en vehıculos aerodinamicos se considera que el vector

de estado inicial x ∈ Ω ⊆ Rn, con 0 ∈ Ω y u ∈ U ⊆ Rm, estan acotados en Ω y U

con 1 ≤ m ≤ n. Se asume que el par (x,u) es continuo y f tiene derivadas primera y

segunda continuas con respecto todos sus argumentos.

Para el caso del auto piloto, se pretende minimizar el problema de Lagrange

J(x0,u, 0) =

∫ ∞0

L(x(t),u(t), t) dt (B.2)

Mientras que en el problema de guiado se pretende minimizar un ındice de coste mas

general, en lo que se conoce como el problema deBolza:

J(x0,u, 0) = Ψ(tf ,xf ) +

∫ tf

0

L(x(t),u(t), t) dt (B.3)

En el guiado el Estado final no esta fijado debido a la presencia de Ψ(tf ,xf ) como

un funcional de la distancia de paso. En lo que sigue se considera el problema mas

general de Bolza ya que incluye la formulacion de Lagrange. Se busca u∗ ∈ U que

B1

B.1. PRINCIPIO DEL MINIMO DE PONTRYAGIN PARA MISILES

cause (B.1) a seguir una trayectoria admisible x∗ ∈ Ω que minimice el ındice de coste.

El Hamiltoniano del sistema es:

H(x,u,λ, t) , L(x(t),u(t), t) + λTf(x(t),u(t), t) (B.4)

El vector columna de adjuntos λ es el vector de multiplicadores de Lagrange aso-

ciado con las limitaciones dinamicas en (B.1).

Las condiciones necesarias para que u∗ sea la ley de control optima para x∗ son:

H(x∗(t),u∗(t),λ(t), t) ≤ H(x∗(t),u(t),λ(t), t) (B.5a)

x(t) =∂H∂λ

(B.5b)

−λ =∂H∂x

(B.5c)

para todo t ∈ [0, tf ], y todos los controles admisibles. La ecuacion (B.5a) es propiamente

el principio del mınimo de Pontryagin.

Las condiciones de contorno vienen dadas por:

[∂Ψ

∂x(tf ,x

∗(tf )− λ(tf )

]T· δxf+[

H(x∗(tf ),u∗(tf ),λ

∗(tf ), tf ) +∂Ψ

∂x(tf ,x

∗(tf )

]δtf = 0

(B.6)

Este principio transforma el problema de control optimo en un problema con valo-

res en los extremos, e introduce el Hamiltoniano en el campo de la optimizacion. La

combinacion de condiciones iniciales y finales con ecuaciones diferenciales no lineales

constituye un problema que es muy difıcil de resolver en la practica.

Si los controles no tiene limitaciones, entonces para que u∗(t) minimice el Hamilto-

niano es necesario pero no suficiente que:

∂H∂u

(x∗(t),u∗(t),λ(t), t) = 0 (B.7)

Si se satisface (B.7) y el Hessiano es positivo definido (condicion de suficiencia debil

de Legendre-Clebsh):

∂2H∂u2

(x∗(t),u∗(t),λ(t), t) > 0 (B.8)

entonces se garantiza que u∗(t) causa un mınimo local.

Podemos establecer una conexion con la programacion Dinamica, asumiendo que

J∗ (x0, 0) , mınu∈U

J(x0,u) (B.9)

B2

B.2. ECUACION DE RICCATI DEPENDIENTE DE LOS ESTADOS

es suave, con derivadas primera y segunda acotadas, se llega a la ecuacion de Hamilton-

Jacobi-Bellman (HJB):

0 =∂J∗

∂t(x, t) +H

(x∗(t),u∗(t),

∂J∗

∂x, t

)(B.10)

con condiciones de contorno:

J∗ (tf ,xt) = Ψ (tf ,x∗f ) (B.11)

and

∂J∗

∂x= λ (B.12)

Esto es, el vector de coestados representa la funcion de sensibilidad del ındice de

coste optimo con respecto al vector de estado. Se puede tambien considerar como un

vector que apunta alejandose del gradiente del ındice de coste optimo.

B.2. Ecuacion de Riccati Dependiente de los Esta-

dos

Se considera aquı una simplificacion del problema general presentado en la seccion

anterior. El sistema dinamico B.1 se asume que puede ser escrito como:

x(t) = f(x(t)) + g(x(t))u(t) (B.13)

con f and g funciones continuas.El sistema (B.13) es invariante en el tiempo, no

lineal en el estado y afin en el control. Donde x ∈ Ω ⊆ Rn, con 0 ∈ Ω, asumiendo que

u no esta acotado. Se verifica tambien que f(0) = 0 y g((x)) 6= 0 ∀x ∈ Ω.

El problema minimiza el ındice de coste de Langrange

J(x0,u, 0) =1

2

∫ ∞0

(xTQ(x)x+ uTR(x)u

)dt (B.14)

a la vez que regula el vector de estado 0 al origen, de modo que:

lımt→∞

x = 0 (B.15)

donde Q(x) = QT (x) ≥ 0 y R(x) = RT (x) > 0.

Para esta formulacion en horizonte de tiempo infinito, J∗ se asume como estaciona-

rio ∂J∗

∂t= 0, y verifica J∗(0) = 0. Sustituyendo en (B.10)y particularizando para x = 0,

se obtiene:∂J∗(0)

∂x= 0 (B.16)

B3

B.2. ECUACION DE RICCATI DEPENDIENTE DE LOS ESTADOS

de modo que

λ = M (x)x (B.17)

La condicion necesaria para el optimo es:

∂H∂u

= R(x)u + gT (x)M(x)x = 0 (B.18)

or

u = −R−1(x)gT (x)M(x)x (B.19)

y dado que el Hessiano es positivo definido la condicion es tambien suficiente para ser

un mınimo global:

∂2H∂u2

= R(x) (B.20)

Para obtener la ley de control es necesario encontrar la matriz M . Derivando en

(B.17) y sustituyendo en (B.5a) y (B.5c):

Mx+M[f − gR−1gTMx

]=

−Qx− 1

2xT

∂Q

∂xx− ∂fT

∂xMx− xTMgR−1∂g

T

∂xMx

− 1

2xTMgR−1∂R

∂xR−1BTMx

(B.21)

aplicando la regla de la cadena (ver A.3.1 ):

M =∂M

∂xT(x⊗ In) (B.22)

En el caso de un problema lineal, con f = Ax, yA, g,Q ,R constantes, la ecuacion

(B.21) colapsa a la ecuacion algebraica de Riccati , solucion del problema LQR (Linear

Quadratic Regulator) :

MA+ATM −MgR−1gTM +Q = 0 (B.23)

El metodo la Ecuacion de Riccati Dependiente de los Estados replica la solucion

del metodo lineal, asumiendo que f = A(x)x y resolviendo (B.23) para cada valor de

x. Para conseguir una solucion optima ha de verificarse la condicion necesaria:

Mx+1

2xT

∂Q

∂xx+

1

2xTMgR−1∂R

∂xR−1BTMx+ xT

∂AT

∂xMx =

− xTMgR−1∂gT

∂xMx = 0

(B.24)

B4

Apendice C

Misil NASA NTCM Geometrıa y

Modelo Aerodinamico

Aquı se describe el misil utilizado en las simulaciones. Esta basado en el misil de la

NASA NASA Tandem Control Missile mencionado en la referencia (Blair, 1978) y en

la seccion 1.4.1. Este misil ha sido escalado tres veces (x3) para los estudios de guiado

y control, y se han tomado ciertas hipotesis con respecto a sus parametros basicos,

basandose en misiles semejantes en servicio, adaptado de la referencia (Fleeman, 2006).

par

297.2

61.027.4

19.8

55.4

hinge linehinge line

XB

ZB

145.6moment reference center

Figura C.1: Geometrıa del misil base. Dimensiones en centımetros.

C.1. Geometrıa del misil

El modelo se representa en la figura C.1, Compuesto por un cuerpo axil simetrico,

una ojiva tangente, relacion de longitud a diametro de 3 y dos conjuntos de 4 aletas

C1

C.1. GEOMETRIA DEL MISIL

alineadas, donde todas las aletas son moviles.

(a) Missile Model (b) Shadowgraph at M∞ = 2,5

Figura C.2: Experimentos en Tunel Aerodinamico en NASA y Onera.

La tabla C.1 contiene las caracterısticas principales del misil base.

Cuadro C.1: Model Geometry Specifications

Parameter Symbol Value Units

Missile Length L 2.972 mMissile diameter, (caliber) 1 d 0.1981 mBody Frontal Area Sref 3.0828 dm2

Ojive length 3 dCylinder after-body length 12 dTotal missile body length 15 dTangent ojive radius 0.95 dFin tip chord ct 0.87 dFin exposed maximum chord (cr)e 1.38 dFin theoretical root chord cr 1.67 dFin sweep angle 30 degFin exposed semi span be

20.9 d

Fin installed span 2.8 dPanel exposed surface Se 7.947 dm2

Fin exposed aspect ratio AR 1.6 NDTheoretical taper ratio λc 0.571 NDFin exposed taper ratio λe 0.625 NDFin exposed mean aerodynamic chord MAC 1.15 dTheoretical canard apex (from nose) 2.8 dCanard hinge line position (from nose) 3.78 dTheoretical tail apex (from nose) 13.3 dTail hinge line 14.3 dSeparation between hinge lines 7.6 (cr)e

donde:

Sref =πd2

4(C.1)

1Missile caliber, note it is used as a reference to define other model lengths

C2

C.2. PARAMETROS BASICOS Y DEFINICION DE LA MISION

Se =(cr)e + ct

2be (C.2)

AR =b2e

Se(C.3)

λc =ctcr

(C.4)

λe =ct

(cr)e(C.5)

MAC =2

3· 1 + λe + λ2

e

1 + λe(cr)e (C.6)

De acuerdo a la convencion de misiles, el calibre del misil d se emplea como longitud

de referencia para los momentos aerodinamicos, y el area frontal del cuerpo del misil se

emplea como area de referencia para las fuerzas y momentos aerodinamicos. El centro

de referencia de momentos es un punto fijo que se situa a 1.4562 m desde la punta de

la ojiva como se puede ver en la figura C.1.

C.2. Parametros basicos y definicion de la mision

Basado en misiles aire aire comparables y en servicio la actualidad (Fleeman, 2012),

se define una mision estandar para poder dimensionar de manera adecuada el misil. La

tabla C.2 contiene los parametros basicos del misil y las especıficaciones de propulsion

definidas.

C3

C.2. PARAMETROS BASICOS Y DEFINICION DE LA MISION

Cuadro C.2: Guidance and Control Model Mission Specifications

Parameter Symbol Value Units

Moment reference center (from nose) 1.4562 mPosition mass center, launch (f. nose) 1.4858 mPosition mass center, end of boost (f. nose) 1.4362 mPosition mass center, burnout (f. nose) 1.2877 mPitch moment of inertia , launch IBy 35.6 kg ·m2

Pitch moment of inertia , burnt out(IBy)bo

32 kg ·m2

Roll moment of inertia, launch IBx 0.407 kg ·m2

Roll moment of inertia, burn out(IBx)bo

0.320 kg ·m2

Missile mass, launch m 129.2 kgMissile mass, burn out mbo 87.27 kgPropellant mass for boost phase 27.94 kgPropellant mass for sustain phase 13.99 kg

Propellant density 1800 kgm3

Design flight altitude/s 6000/12000 mRocket thrust at boost 13706 NRocket thrust at sustain 3400 NMach, end of boost phase 2.5 NDMach, beginning of coast 2.5 NDLaunch Mach in subsonic 0.8 NDSpecific Impulse, Boost Isp 250 sSpecific Impulse, Sustain Isp 200 sBurning time, boost engine tb1 5 sBurning time, sustain engine tb2 8 sMaximum coast time (self destruction) tcoast 12 sMax. flight time (boos+sustain+coast) tb + tcoast 25 sMaximum control fin mechanical deflection δmech ±30 deg

Servo Rate Limit δmech ±600 deg/sMaximum structural limit nstruc 40 g

C4

Apendice D

Datos Aerodinamicos

El misil NASA fue probado en ensayos en tunel aerodinamico en regimen supersoni-

co con 1,75 < M∞ < 2,86 y a angulos de ataque −4 < α < 28 grados, en configuracion

en +. El numero de Reynolds fue 6,6x104 por cm ((Blair, 1978; Khalid et al., 2005a).

Los datos experimentales de tunel han sido extraıdos de las referencias (Khalid et al.,

2005b; Lesieutre et al., 2002b; Blair, 1978; Khalid et al., 2005a; Lesieutre et al., 2002a;

Cross et al., 2010; Akgul et al., 2012; Al-Garni et al., 2008). Las fuerzas y momentos

aerodinamicos fueron medidos con una sonda de esfuerzos y el angulo de ataque me-

diante un acelerometro introducido en la ojiva del modelo. Para inducir la transicion

a la turbulencia se colocaron bandas en la ojiva y en los bordes de ataque de las aletas

del misil, (Khalid et al., 2005b) los coeficientes medidos fueron CN , Cm y CA, todos en

ejes cuerpo.

Por otro lado, para expandir esta base de datos experimentales se realizaron calculos

de aerodinamica computacional, CFD, empleando el programa comercial Fluent. Los

datos experimentales de tunel aerodinamico fueron utilizados para ajustar los parame-

tros del CFD, aumentando su precision. Debido a la simetrıa, se realizo el calculo para

medio misil, en el que se utilizo una red de 2,2 millones de bloques estructurados la

altura de la primera celda por encima de la superficie del misil se situo en 10[−5 cali-

bres, y este fue el mismo parametro que se utilizo para capturar la capa lımite en las

aletas del misil. El modelo de turbulencia empleado fue el Spalart-Allmaras para todos

los angulos de incidencia. La solucion requirio de tres horas de calculo por cada angulo

de ataque en un procesador Intel Core i5-4570 3.2 GHz(cache) 4 GB RAM. Para cada

posicion de los controles se requieren 48 horas de calculo, haciendo un barrido para

todos los angulos de ataque de interes.

D1

D.1. TABLAS DE RESULTADOS

D.1. Tablas de Resultados

Cuadro D.1: CN Wind Tunnel Results extracted from graphs in (Lesieutre et al., 2002a)as a function of δcq/δ

tq parameter for NASA Model Missile

α 0/− 20 20/0 20/− 20 10/10 0/0

-4.3 -2.42 0.25 -1.12 0.28 -1.05-2.1 -1.95 0.80 -0.60 0.84 -0.56-1.2 -1.68 1.05 -0.30 0.98 -0.28-0.2 -1.52 1.15 -0.21 1.26 -0.140.7 -1.30 1.41 0.05 1.40 0.101.7 -1.10 1.60 0.28 1.82 0.303.8 -0.42 2.30 0.98 2.38 0.985.7 0.15 2.80 1.52 2.94 1.547.9 0.85 3.50 2.24 3.64 2.249.8 1.45 4.10 2.80 4.34 2.8711.7 2.30 4.90 3.50 5.04 3.7113.8 3.10 5.70 4.33 5.74 4.5515.7 3.95 6.50 5.15 6.86 5.4017.4 4.95 7.45 6.05 7.84 6.4019.8 5.90 8.26 7.00 8.82 7.2823.6 7.90 10.40 8.82 10.78 9.5227.6 9.80 12.30 10.60 13.16 11.62

Cuadro D.2: DATCOM Semiexperimental method results for CN as a function of δcq/δtq

parameter for NASA Model Missile

α 0/− 20 20/0 20/− 20 10/10 0/0

-4.0 -3.328 0.777 -1.282 0.687 -1.139-2.0 -2.586 1.430 -0.531 1.309 -0.528-1.0 -2.227 1.739 -0.190 1.599 -0.2520.0 -1.951 2.034 0.128 1.873 0.0001.0 -1.701 2.329 0.438 2.146 0.2522.0 -1.425 2.647 0.767 2.444 0.5284.0 -0.797 3.387 1.498 3.080 1.1496.0 -0.008 4.248 2.479 3.847 1.8088.0 0.777 5.319 3.545 4.666 2.54510.0 1.634 6.722 4.981 5.590 3.36412.0 2.579 7.798 6.071 6.655 4.28914.0 3.649 8.951 7.219 7.907 5.359

D2


Cuadro D.3: Data from Numerical Experiments with CFD (Fluent). Results of CN asa function of δcq/δ

tq parameter for NASA Model Missile

α 0/− 10 10/0 20/0 10/− 10 −10/− 10

-3 -1.535 0.065 0.649 -1.415 -2.1090 -0.748 0.619 1.318 -0.140 -1.3923 0.044 1.443 2.067 0.755 -0.6755 0.643 2.089 2.803 1.431 -0.09510 2.214 3.717 4.397 3.000 1.67315 4.329 5.638 6.171 4.911 3.82620 6.825 8.133 8.505 7.418 6.28925 9.306 10.659 11.064 9.922 8.97230 13.484 13.769 12.589 11.748

Cuadro D.4: Experimental wind tunnel data of Cm as a function of δcq/δtq parameter

for NASA Model Missile from graphs in (Lesieutre et al., 2002a)

α 0/− 20 20/0 20/− 20 10/10 0/0

-4.3 9.40 6.50 16.60 -1.80 -0.50-2.1 9.40 7.00 17.00 -1.40 -0.40-1.2 9.40 7.30 17.50 -1.10 -0.30-0.2 9.45 8.00 18.00 -0.50 -0.050.7 9.50 9.05 18.10 0.50 0.201.7 9.70 9.10 18.30 0.30 0.353.8 9.75 8.00 16.90 -0.30 0.505.7 9.60 7.00 16.00 -0.70 0.407.9 9.40 6.80 15.60 -1.50 0.209.8 8.90 6.10 15.10 -1.80 0.1511.7 8.90 5.90 14.80 -1.90 0.0013.8 8.50 5.50 14.10 -2.20 -0.1015.7 8.40 5.10 14.00 -2.40 -0.6017.4 7.80 4.80 13.10 -2.50 -1.0019.5 7.20 4.05 12.50 -2.40 -1.8023.6 6.30 2.50 11.90 -5.00 -3.2027.6 5.00 0.50 11.10 -7.00 -5.50

D3


Cuadro D.5: CFD Data of Cm as a function of δcq/δtq parameter for NASA Model Missile

α 0/− 10 10/0 20/0 10/− 10 −10/− 10

-3 5.005 3.766 7.601 9.134 -1.2750 5.256 4.952 9.378 10.243 0.8833 5.466 5.061 9.745 9.823 0.9455 5.262 4.506 8.251 9.071 1.74510 5.127 3.431 6.306 8.589 2.05815 4.490 2.748 5.517 7.753 1.40320 2.756 1.491 3.941 6.049 0.12625 1.711 -0.296 2.457 4.858 -1.70830 -1.903 0.149 2.954 -4.112

Cuadro D.6: Experimental data for CA as a function of δcq/δtq parameter for NASA

Model Missile extracted from (Cross et al., 2010)

α 0/0 10/10 20/0 20/− 20 0/− 20

0.48 0.436 0.571 0.957 1.500 0.8861.43 0.443 0.679 0.986 1.450 0.8503.57 0.450 0.710 1.057 1.414 0.8075.71 0.457 0.829 1.114 1.407 0.7437.52 0.464 0.857 1.171 1.400 0.6869.76 0.469 0.979 1.236 1.393 0.61411.67 0.471 1.029 1.286 1.371 0.55713.57 0.479 1.086 1.329 1.364 0.51415.6 0.486 1.143 1.371 1.386 0.49317.62 0.493 1.186 1.429 1.386 0.44319.52 0.500 1.243 1.471 1.400 0.42923.57 0.514 1.357 1.586 1.429 0.40027.6 0.529 1.486 1.714 1.486 0.371

Cuadro D.7: CFD data for CA as a function of δcq/δtq parameter for NASA Model Missile

α 0/− 10 10/0 20/0 10/− 10

-3 0.699 0.575 0.896 0.7900 0.659 0.621 0.959 0.8033 0.624 0.674 1.085 0.7945 0.576 0.725 1.145 0.81410 0.533 0.829 1.283 0.78315 0.469 0.892 1.418 0.80020 0.438 0.986 1.509 0.82525 0.426 1.056 1.693 0.86430 1.186 1.842 0.895

D4


Cuadro D.8: CFD Numerical Experiments for δcr = 5 deg, NASA Model Missile

α CN CA CS Cn Cm Cl

0 0.000 0.537 -0.317 2.379 0.002 -0.0012.5 0.642 0.542 -0.331 2.270 0.361 -0.0525 1.362 0.551 -0.370 2.009 0.312 -0.094

7.5 2.135 0.564 -0.422 1.695 0.137 -0.11610 2.978 0.580 -0.474 1.424 -0.092 -0.107

12.5 3.949 0.593 -0.502 1.305 -0.384 -0.08415 5.040 0.605 -0.486 1.387 -0.692 -0.069

17.5 6.251 0.618 -0.403 1.750 -1.396 -0.09420 7.529 0.634 -0.327 2.109 -2.338 -0.146

22.5 8.830 0.647 -0.282 2.320 -3.323 -0.20825 10.161 0.662 -0.285 2.181 -4.394 -0.247

27.5 11.549 0.677 -0.431 1.103 -5.710 -0.17230 13.002 0.694 -0.468 0.775 -7.275 -0.114

37.5 17.603 0.759 -0.378 1.461 -13.085 -0.217

Cuadro D.9: CFD Numerical Experiments for δcr = 10 at NASA Model Missile

α CN CA CS Cn Cm Cl

0 0.000 0.663 -0.631 4.754 0.083 -0.0032.5 0.649 0.636 -0.669 4.480 0.352 -0.1065 1.373 0.647 -0.740 3.963 0.326 -0.187

7.5 2.161 0.664 -0.830 3.361 0.089 -0.22110 3.022 0.680 -0.909 2.842 -0.217 -0.196

12.5 3.986 0.694 -0.931 2.666 -0.498 -0.13615 5.068 0.708 -0.880 2.883 -0.798 -0.113

17.5 6.280 0.720 -0.755 3.480 -1.476 -0.15920 7.569 0.734 -0.612 4.228 -2.461 -0.262

22.5 8.883 0.753 -0.541 4.597 -3.513 -0.37625 10.241 0.776 -0.591 4.153 -4.687 -0.421

32.5 14.568 0.827 -0.665 3.324 -9.280 -0.42935 16.060 0.830 -0.725 2.857 -10.979 -0.411

37.5 17.515 0.849 -0.736 2.715 -12.650 -0.41840 19.005 0.852 -0.725 2.639 -14.524 -0.452

42.5 20.459 0.857 -0.728 2.408 -16.187 -0.448

D5


Cuadro D.10: CFD Numerical Experiments, Induced Rolling Moment

α β φa Cli(α.β)

5 2 26.5 0.0165 10 63.2 -0.0315 15 71.3 -0.0445 20 75.6 -0.0866 25 78.3 -0.0246 30 80.1 -0.1266 35 81.3 0.0027 40 82.2 -0.0021 5 78.7 -0.0052 5 66.7 -0.0124 5 51.4 -0.0076 5 39.9 0.0128 5 32.2 0.03012 5 22.8 0.00614 5 19.9 0.00918 5 15.8 0.05923 5 12.6 0.02728 5 10.6 0.09935 5 8.7 0.05338 5 8.1 0.0472 10 78.8 -0.0334 10 68.4 -0.0406 10 59.3 -0.0218 10 51.7 -0.0069 10 48.4 -0.00512 10 40.3 -0.01118 10 29.7 0.06622 10 25.2 0.05228 10 20.6 0.07434 10 17.5 0.0521 15 86.3 -0.0212 15 82.6 -0.0274 15 75.4 -0.0736 15 68.7 -0.0798 15 62.6 -0.066

α β φa Cli(α.β)

10 15 57.1 -0.08112 15 52.2 -0.08018 15 40.9 -0.01623 15 34.4 -0.08028 15 29.7 -0.26434 15 25.6 -0.39638 15 23.5 -0.35040 10 15.3 0.0021 10 84.3 -0.0595 5 44.9 -0.03118 10 29.7 0.02022 10 25.2 0.04828 10 20.6 -0.31834 10 17.5 -0.33736 10 16.7 -0.3365 5 45.1 0.00010 5 26.7 0.02715 5 18.7 0.01620 5 14.3 0.06525 5 11.7 0.00530 5 9.9 0.11940 5 7.8 0.0455 10 63.2 -0.03810 10 45.4 -0.01015 10 34.3 0.01520 10 27.3 0.06025 10 22.6 0.02130 10 19.4 0.10940 10 15.3 0.1925 15 71.2 -0.03615 15 46.0 -0.01920 15 38.1 0.00125 15 32.4 0.00130 15 28.2 0.06240 15 22.6 0.370

D6


Cuadro D.11: CFD Numerical Experiments for α and β combined for NASA ModelMissile without any control deflection δcq = 0,δtq = 0, δcr = 0,δtr = 0,δp = 0

α β CN CS CA Cn Cm Cl

5 -5 1.377 -1.376 0.512 0.404 0.396 0.0005.1 -10 1.423 -3.006 0.527 0.109 0.421 0.02710.2 -9.8 3.139 -3.104 0.540 -0.135 -0.111 -0.0105.3 -19.9 1.650 -7.520 0.571 -2.602 0.252 0.06510.6 -19.7 3.606 -7.461 0.576 -2.955 -0.828 0.06015.9 -19.3 5.739 -7.424 0.589 -3.212 -2.459 0.00121.2 -18.7 8.093 -7.535 0.602 -3.982 -4.270 -0.0055.8 -29.9 2.029 -13.051 0.621 -7.983 -0.882 0.11911.5 -29.5 4.315 -12.892 0.631 -8.628 -2.628 0.10917.2 -28.9 6.805 -12.690 0.641 -9.053 -4.958 0.06222.8 -28 9.333 -12.599 0.661 -10.093 -7.442 0.1026.5 -39.8 2.616 -18.909 0.686 -14.684 -2.567 0.04513 -39.3 5.410 -18.495 0.696 -15.643 -5.308 0.192

19.3 -38.4 8.263 -18.018 0.714 -16.815 -8.669 0.37025.4 -37.2 10.842 -17.629 0.739 -18.405 -12.674 0.3345.2 -14.9 1.458 -5.084 0.552 -0.911 0.718 0.01610.3 -14.8 3.294 -5.137 0.557 -1.350 -0.165 0.01515.5 -14.5 5.394 -5.190 0.570 -1.497 -1.657 -0.0195.5 -24.9 1.893 -10.182 0.590 -4.934 -0.711 0.00511 -24.6 3.945 -10.072 0.598 -5.397 -1.818 0.021

16.5 -24.1 6.177 -9.951 0.609 -5.760 -3.514 0.00121.9 -23.4 8.567 -10.016 0.622 -6.496 -5.583 0.003

0 -5 0.001 -1.383 0.503 0.312 0.004 0.0022.5 -5 0.654 -1.382 0.504 0.335 0.345 0.0155 -5 1.369 -1.381 0.507 0.410 0.402 0.00010 -5 2.992 -1.437 0.527 0.380 0.116 -0.03815 -5 5.081 -1.466 0.549 0.685 -0.946 -0.03620 -5 7.518 -1.660 0.570 0.182 -2.586 -0.09025 -5 10.160 -1.923 0.587 -0.864 -4.793 -0.02730 -5 13.037 -2.039 0.619 -0.941 -7.834 -0.12935 -5 16.020 -2.360 0.659 -2.046 -11.236 -0.05340 -5 18.916 -2.613 0.688 -2.604 -14.602 -0.066

D7


Cuadro D.12: CFD Numerical Experiments. Calculation of roll control moment atNASA Model Missile with δp = 5 deg

α CN CA CS Cl Cn Cm

0 0.001 0.572 0.000 0.612 0.014 -0.0025 1.376 0.580 0.005 0.616 0.032 0.25810 2.978 0.606 0.010 0.618 0.083 -0.06915 5.041 0.633 0.042 0.610 0.314 -0.66820 7.528 0.656 0.134 0.596 0.801 -2.37125 10.135 0.681 0.177 0.618 1.247 -4.39930 12.887 0.705 0.244 0.638 1.803 -6.89540 18.929 0.774 0.342 0.662 2.205 -14.287

D8

Apendice E

Coeficientes Aerodinamicos

Las tablas a continuacion contiene los coeficientes aerodinamicos calculados para el

misil base, de acuerdo al modelo descrito en el capıtulo dos de la tesis. El modelo para

el misil de control doble requiere un total de 166 coeficientes. Todos los coeficientes

aquı referidos son por angulo de ataque en grados.

Coeficientes para el Control Aislado

Cuadro E.1: Aero Coefficients for Equations 2.24 and 2.40

Coefficient Value Calculation Method

c1 7,502 · 10−2 Semi-experimental Datcom Method

c3 −9,574 · 10−6 Semi-experimental Datcom Method

c5 6,186 · 10−8 Semi-experimental Datcom Method

cNss 2,371 Experimental formula 2.40

iss 25,226 Equation 2.41

Coeficientes de Fuerza Normal y Lateral

Cuadro E.2: Aero Coefficients for Equations 2.42 and 2.43


CNα 2,020 · 10−1 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSβ 2,020 · 10−1 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNα|α| 1,110 · 10−2 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSβ|β| 1,110 · 10−2 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNα3 −1,131 · 10−5 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

Continued on next page

E1

Cuadro E.2 – continua de la pagina anterior


CSβ3 −1,131 · 10−5 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNβ2α2,73782 · 10−4 CFD only data fit, Table D.11

CSα2β2,73782 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNδcq 6,554 · 10−2 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSδcr −6,554 · 10−2 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNαδcq −8,846 · 10−4 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSβδcr 8,846 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNβ2δcq2,74617 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CSα2δcr−2,74617 · 10−4 Data fit,from Table D.8 and D.9

CNδtq

6,961 · 10−2 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSδtr

−6,961 · 10−2 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNαδtq

4,066 · 10−4 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSβδtr


CNβ2δtq

2,746 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CSα2δtr

−2,746 · 10−4 Data fit,from Table D.8 and D.9

CNδcqδ

tq

−4,040 · 10−4 Data fit, from Table D.1, D.2 and D.3

CSδcrδ

tr


CNq 5,734 · 10−1 Semi-experimental Datcom Method

CSr 5,734 · 10−1 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

CNα −2,781 · 10−2 Semi-experimental Datcom Method

CSβ −2,781 · 10−2 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

Coeficientes de Momento de Cabeceo y Guinada

Cuadro E.3: NASA Missile Pitch and Yaw Moment Aero Coefficients for Equations2.44, 2.45, 2.46 and 2.47, 2.48, 2.49


Cmα 1,373 · 10−1 Data fit, from Table D.5, and D.4

Cnβ −1,373 · 10−1 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

Cmα|α| −1,020 · 10−2 Data fit, from Table D.5, and D.4

Cnβ|β| 1,020 · 10−2 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

Cmα3 −6,864 · 10−5 Data fit, from Table D.5, and D.4

Cnβ3 6,854 · 10−5 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

Cmβ2α−4,676 · 10−4 Data fit, from Table D.11


E2



Cnα2β4,676 · 10−4 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

C1mαδcq

1,112 · 10−1 Data fit, from Table D.5, and D.4

C2mαδcq


C3mαδcq


α1δcq

1,852 Data fit, from Table D.5, and D.4

α2δcq

−2,463 Data fit, from Table D.5, and D.4

α3δcq


Cmδcqδ

tq


∆α1δcq


∆α2δcq


∆α3δcq


C0mαδtq

−5,014 · 10−1 Data fit, from Table D.5, and D.4

C1mαδtq


C2mαδtq


C3mαδtq

−1,705 · 10−5 Data fit, from Table D.5, and D.4

C4mαδtq


C1nβδcr


C2nβδcr


C3nβδcr


Cnδcqδ

tq


β1δcr

1,852 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

β2δcr

−2,463 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

β3δcr


∆β1δcr


∆β2δcr


∆β3δcr


C0nβδtr


C1nβδtr


C2nβδtr


C3nβδtr


C4nβδtr


Cmβ2δcq−1,148 · 10−3 Data fit,from Table D.8 and D.9

Cmβ2δtq

−1,148 · 10−3 Data fit,from Table D.8 and D.9


E3



Cnα2δcr−1,148 · 10−3 Tetra-Symmetry and Fig 2.1 sign criteria

Cnα2δtr


Cmq −18,560 Semi-experimental Datcom Method

Cnr −18,560 Semi-experimental Datcom Method

Cmα −1,405 Semi-experimental Datcom Method

Cnβ 1,405 Semi-experimental Datcom Method

Coeficientes de Balanceo Aerodinamico

Cuadro E.4: NASA Missile Aero Roll Moment Coefficients, Equations 2.50, 2.51, 2.53,and 2.54


Cli014,074 · 10−4 Data fit, Table D.10 and D.11


Cli41−4,948 · 10−7 Data fit, Table D.10 and D.11




Cli42−3,296 · 10−7 Data fit, Table D.10 and D.11


C1lαδcr

4,868 · 10−2 Data fit, Table D.8 and D.9

C2lαδcr


C3lαδcr


C4lαδcr


C5lαδcr


C6lαδcr


C7lαδcr


ω1αδcr


ω2αδcr


ω3αδcr


ω4αδcr


ω5αδcr



E4



ω6αδcr


ω7αδcr


φ1αδcr

2,647 Data fit, Table D.8 and D.9

φ2αδcr

−1,970 Data fit, Table D.8 and D.9

φ3αδcr


φ4αδcr


φ5αδcr


φ6αδcr

2,315 Data fit, Table D.8 and D.9

φ7αδcr


C1lβδcq

4,868 · 10−2 Equation 2.53

C2lβδcq

1,933 · 10−2 Equation 2.53

C3lβδcq

9,041 · 10−3 Equation 2.53

C4lβδcq

4,599 · 10−3 Equation 2.53

C5lβδcq

2,854 · 10−3 Equation 2.53

C6lβδcq

2,799 · 10−3 Equation 2.53

C7lβδcq

1,895 · 10−3 Equation 2.53

ω1βδcq

7,826 · 10−2 Equation 2.53

ω2βδcq

1,587 · 10−1 Equation 2.53

ω3βδcq

3,141 · 10−1 Equation 2.53

ω4βδcq

4,712 · 10−1 Equation 2.53

ω5βδcq

7,855 · 10−1 Equation 2.53

ω6βδcq

6,283 · 10−1 Equation 2.53

ω7βδcq

9,425 · 10−1 Equation 2.53

φ1βδcq

2,647 Equation 2.53

φ2βδcq

−1,970 Equation 2.53

φ3βδcq


φ4βδcq

2,436 · 10−1 Equation 2.53

φ5βδcq


φ6βδcq

2,315 Equation 2.53

φ7βδcq


C1lαT δp

5,441 · 10−2 Data fit, Table D.12

C2lαT δp

1,215 · 10−1 Data fit, Table D.12

C3lαT δp

−5,458 · 10−3 Data fit, Table D.12

α1Tδp

56,8 Data fit, Table D.12


E5



α2Tδp


α3Tδp


∆α1Tδp


∆α2Tδp


∆α3Tδp


Clp −1,935 Eastman Correlation, from (Mikhail, 1995)

Coeficientes de Fuerza Axial

Cuadro E.5: NASA Missile Axial Force Aero-model Coefficients, Equation 2.55


CA0 4,362 · 10−1 Data fit, Table D.6 and D.7

CAα 3,886 · 10−3 Data fit, Table D.6 and D.7

CAβ 3,886 · 10−3 Data fit, Table D.11 and Tetra-Symmetry

CAα2 −7,642 · 10−5 Data fit, Table D.6 and D.7

CAα3 2,111 · 10−6 Data fit, Table D.6 and D.7

∆CAb 1,062 · 10−1 Semi-experimental Datcom Method

CAδcq 2,266 · 10−2 Data fit, Table D.6 and D.7

CAαδcq 1,348 · 10−3 Data fit, Table D.6 and D.7

CAβδcq 1,001 · 10−5 Data fit, Table D.8 and D.9

CAδcr 2,266 · 10−2 Tetra-Symmetry

CAαδcr 1,001 · 10−5 Tetra-Symmetry

CAβδcr 1,348 · 10−3 Tetra-Symmetry

CAδp 2,720 · 10−2 Data fit, Table D.12

CAδtq

−2,282 · 10−2 Data fit, Table D.6 and D.7

CAαδtq


CAα2δtq


CAβδtq


CAδtr

−2,282 · 10−2 Tetra-Symmetry

CAαδtr

1,011 · 10−5 Tetra-Symmetry

CAα2δtr


CAβδtr



E6



CAδcqδ

tq


CAαδcqδ

tq


CAδcq

2δtq5,000 · 10−5 Data fit, Table D.6 and D.7

CAδcqδ

tq2 −5,000 · 10−5 Data fit, Table D.6 and D.7

CAδcrδ

tr


CAβδcrδ

tr


CAδcr

2δtr5,000 · 10−5 Tetra-Symmetry

CAδcrδ

tr2 −5,000 · 10−5 Tetra-Symmetry

Coeficientes para Variacion con el Mach

Cuadro E.6: Mach Dependence Coefficients for equation 2.58


∂CA∂M∞

∣∣∣∣M∞

−0,08471 Semi-experimental Datcom Method

∂CNα∂M∞

∣∣∣∣M∞


∂CSβ∂M∞

∣∣∣∣M∞


∂Cm∂M∞

∣∣∣∣M∞


∂Cn∂M∞

∣∣∣∣M∞


E7

Apendice F

Dinamica del Misil y Cinematica

Terminal

F.1. Velocidad en ejes cuerpo y viento

vWM = SWB ·Vb

M (F.1)

SWB =

cαcβ sβ sαcβ

−cαsβ cβ −sαsβ−sα 0 cα

(F.2)

F.2. Angulos de Euler y Cuaterniones

Los angulos de Euler del misil (θ, ψ, φ) definen la matriz de transformacion a ejes

cuerpo MXBY BZB de la referencia inercial MXLY LZL. La secuencia de la rotacion

se define como guinada, ψ, cabeceo θ y balanceo φ (ver figura F.1):

SBL =

cθcψ cθsψ −sθsφsθcψ−cφsψ sφsθsψ + cφcψ sφcθ

cφsθcψ + sφsψ cφsθsψ − sφcψ cφcθ

(F.3)

Sin embargo los angulos de Euler causan singularidades cuando el valor de θ es

grande, (Tewari, 2007). Se prefiere la aproximacion de los cuaterniones para misiles:

SBL =

q20 + q2

1−q22 − q2

3 2(q1q2 + q0q3) 2(q1q3−q0q2)

2(q1q2 − q0q3) q20 − q2

1 + q22 − q2

3 2(q2q3 + q0q1)

2(q1q3 + q0q2) 2(q2q3 − q0q1) (q20 − q2

1 − q22 + q2

3)

(F.4)

La ecuacion F.4 solo contiene expresiones algebraicas. De F.3 y F.4:

F1

F.3. ECUACIONES CINEMATICAS Y DINAMICAS CON CUATERNIONES

XB = x′′

XL

YL

ZL = z′

x′

YB

z′′ZB

y′ = y′′

ψ

θ

ψ

θ

φ

Figura F.1: Definicion de angulos de Euler para misiles

tψ =2(q1q2 + q0q3)

(q20 + q2

1 − q22 − q2

3)(F.5)

tφ =2(q2q3 + q0q1)

(q20 − q2

1 − q22 + q2

3)(F.6)

sθ = −2(q1q3−q0q2) (F.7)

F.3. Ecuaciones cinematicas y dinamicas con cua-

terniones

La cinematica de la rotacion se obtiene a traves de la derivada en el tiempo de los

cuaterniones: q0

q1

q2

q3

=1

2

0 −p −q −rp 0 r −qq −r 0 p

r q −p 0

q0

q1

q2

q3

(F.8)

La ecuacion de la dinamica de la traslacion, con aproximacion de tierra plana, se

F2

F.3. ECUACIONES DINAMICAS

define a traves de la ecuacion de Newton:

mdV B

M

dt+m ·ΩB

MVBM = FB +mSBL · gL (F.9)

donde m es la masa instantanea del misil incluido el propulsante no consumido:

ΩBM =

0 −r q

r 0 −p−q p 0

(F.10)

es el tensor oblicuo-simetrico de ωBM . Las fuerzas actuando en el misil son aerodinami-

cas, ecuacion (2.9)- y la propulsion del motor cohete:

FB = −

FA

FS

FN

+

T

0

0

(F.11)

y la referencia inercial MXLY LZL se orienta de modo que:

gL =

0

0

g

(F.12)

La aceleracion del misil, excluida la gravedad, se representa por el vector:

nB =1

mFB (F.13)

En forma escalar F.9 es:

u = rv − qw − 1

m(FA − T ) + 2g(q1q3 − q0q2) (F.14a)

v = pw − ru− 1

mFS + 2g(q2q3 + q0q1) (F.14b)

w = qu− pv − 1

mFN + g(q2

0 − q21 − q2

2 + q23) (F.14c)

La dinamica de la rotacion esta gobernada por la ecuacion de Euler:

dΩBM

dt= IB

−1 ·[−ΩB

M · IB · ωBM]

+MB (F.15)

donde se desprecia la variacion del momento de inercia con el tiempo. El momento de

inercia del misil es:

F3


IB =

IBx 0 0

0 IBy 0

0 0 IBz

(F.16)

donde IBy = IBz asumiendo tetra-simetrıa perfecta. Los unicos momentos actuando

sobre el misil son los momentos aerodinamicos, donde no se consideran los momentos

de amortiguamiento causados por el chorro.

MB =

Lcm

Mcm

Ncm

(F.17)

En forma escalar, F.15 es:

p = Ibx−1Lcm (F.18a)

q = Iby−1 [(

Iby − Ibx)pr +Mcm

](F.18b)

r = Iby−1 [(

Ibx − Iby)pq +Ncm

](F.18c)

El momento de cabeceo esta acoplado con el de guinada si el balanceo no es nulo,

un efecto que se agrava cuando los valores de incidencia son altos (los valores de v y w

son proporcionales a la incidencia a traves de las ecuaciones 2.4 y 2.5).

Algunas definiciones utiles son:

ts =rLTM‖rLTM‖

(F.19)

V LTM =

[xL yL zL

]T(F.20)

V LTM = rLTM = V L

T − V LM (F.21)

V Lc = −r

LTM · V L

TM

‖rLTM‖(F.22)

−V LTM = −ts

(nLT − nL

)(F.23)

En general la velocidad de colision debe ser positiva durante la mayor parte del

encuentro aire-aire, el misil debe tener una ventaja de velocidad sobre el blanco (Sh-

neydor, 1998). La condicion es igual a:

F4


rLTM · V LTM < 0 (F.24)

esta condicion tambien se expresa como:

ts · V LM > ts · V L

T (F.25)

El time-to-go hasta la interceptacion se define como:

tgo = − rLTM · V L

TM

V LTM · V L

TM

(F.26)

Time-to-go es un componente fundamental de la ley de guiado optimo (Zarchan,

2012, 2007) Aunque algunos modelos mas elaborados incluyen por ejemplo las instruc-

ciones de guiado anteriores o la resistencia aerodinamica (Tsourdos et al., 2011) en esta

tesis se empleara la estimacion definida por la ecuacion F.26. La velocidad angular de

la lınea de mira es:

ωLLOS =rLTM ∧ V L

TM

‖rLTM‖2(F.27)

y en ejes cuerpo:

ωBLOS =rBTM ∧ V B

TM

‖rBTM‖2(F.28)

en algebra tensorial se define como:

ωBLOS =1

‖rBTM‖2

0 −zBr yBr

zBr 0 −xBr−yBr xBr 0

·x

Br

yBr

zBr

(F.29)

siendo

ωBLOSx =yBr z

Br − zBr yBr

(xBr )2 + (yBr )2 + (zBr )2 (F.30a)

ωBLOSy =zBr x

Br − xBr zBr

(xBr )2 + (yBr )2 + (zBr )2 (F.30b)

ωBLOSz =xBr y

Br − yBr xBr

(xBr )2 + (yBr )2 + (zBr )2 (F.30c)

Si el misil y el blanco estan en curso de colision, entonces se verifica que ωLOS = 0,

rLTM , V LM y V L

T son vectores coplanarios y se verifica que:

ts ∧ V LM = ts ∧ V L

T (F.31)

F5


Las razones para que ωLOS 6= 0 son cambios en la velocidad del misil y del blanco,

o que las velocidades de misil y blanco no estan alineadas con el triangulo de colision.

F6

Apendice G

Elementos de Matrices en el

Espacio-Estado

G.1. Definiciones

Coeficiente de empuje

CT =T

q∞Sref(G.1)

Factor de amortiguamiento en α

Dα = 1 +q∞SrefmVM

cα

cβ

d

2VMCNα (G.2)

Factor de amortiguamiento en β

Dβ = 1 +q∞SrefmVM

cβd

2VMCSβ (G.3)

G.2. Elementos de la Matriz de Estado Aerodinami-

ca

Se consideran los coeficientes de la matriz:

Aa =

aa11 aa12 aa13 aa14 aa15


aa31 aa32 aa33 0 0



G1

G.2. MATRIZ DE ESTADO

aa11 =q∞SrefmVMDα

[sα

cβ

(CAα + CAα2 |α|+ CAα3α

2)

sgnα

+sincα

cβ(CA0 + ∆CAb − CT )

− cα

cβ

(CNα + CNα|α| |α|+ CNα3α

2 + CNβ2αβ2Υα

)] (G.4)

aa12 =q∞SrefmVM

[sα

cβCAβ sgn β − cα

cβCNβ2α

(1−Υα)αβ

](G.5)

aa13 = − 1

Dα

cαtβ (G.6)

aa14 =1

Dα

[1− q∞Srefd

2mV 2M

cα

cβCNq

](G.7)

aa15 = − 1

Dα

sαtβ (G.8)

aa21 =q∞SrefmVMDβ

[cαsβ

(CAα + CAα2 |α|+ CAα3α

2)

sgnα

− cβCSα2β(1−Υβ) βα

+sαsβ(CNα + CNα|α| |α|+ CNα3α

2 + CNβ2αβ2Υα

)](G.9)

aa22 =q∞SrefmVMDβ

[cαsβCAβ sgn β

−cβ(CSβ + CSβ|β||β|+ CSβ3β

2 + CSα2βα2Υβ

)+

+ CNβ2αβα (1−Υα) + cα sinc β (CA0 + ∆CAb − CT )

](G.10)

aa23 =1

Dβ

sα (G.11)

aa24 =q∞Srefd

2mV 2M

sαsβCNq (G.12)

aa25 = − 1

Dβ

[q∞Srefd

2mV 2M

cβCSr + cα

](G.13)

G2

G.2. MATRIZ DE ESTADO

aa31 =q∞Srefd

IBxαs (4φa)

[Cli21

+ 2Cli22c (4φa) +

(Cli41

+ 2Cli42c (4φa)

)α2

+(Cli61

+ 2Cli62c (4φa)

)α4]

(G.14)

aa32 =q∞Srefd

IBxβs (4φa)

(Cli01

+ 2Cli02c (4φa)

)(G.15)

aa33 =q∞Srefd

IBx

d

2VMClp

n6∑k=1

CklαT δp

e

(αT−α

kTδp

∆αkTδp

)2 (G.16)

aa41 =q∞Srefd

IBy

[Cmα + Cmα|α| |α|+ Cmα3α

2 + Cmβ2αβ2Υα+

s(CNα + CNα|α||α|+ CNα3α

2 + CNβ2αβ2αΥα

)](G.17)

aa42 =q∞Srefd

IBy(1−Υα)αβ

(Cmβ2α

+ sCNβ2α

)(G.18)

aa43 = r (G.19)

aa44 =q∞Srefd

2

2VMIBy

(Cmq + sCNq

)(G.20)

aa45 = −IBx

IByp (G.21)

aa51 =q∞Srefd

2

2VMIBy(1−Υβ)αβ

(Cnα2β

− sCSα2β

)(G.22)

aa52 =q∞Srefd

Iby

[Cnβ + Cnβ|β||β|+ Cnβ3β

2 + Cnα2βα2Υβ

−s(CSβ + CSβ|β| |β|+ CSβ3β

2 + CSα2βα2Υβ

)](G.23)

aa53 = −q (G.24)

aa54 = pIbxIBy

(G.25)

G3

G.3. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ENTRADA DEL CONTROL

aa55 =q∞Srefd

2

2VMIBy(Cnr − sCSr) (G.26)

G.3. Elementos de la Matriz de Entrada del Con-

trol


Ba =

ba11 ba12 ba13 ba14 ba15

ba21 ba22 ba23 ba24 ba25

ba31 ba32 ba33 0 0

ba41 0 0 ba44 0

0 ba52 0 0 ba55

ba11 =q∞SrefmVMDα

[(sα

cβCAδcq sgn δcq −

cα

cβCNδcq

)+ α

(sα

cβCAαδcq −

cα

cβCNαδcq

)+ β

sα

cβCAβδcq −

cα

cβCNβ2δcq

β2

](G.27)


sα

cβ

(CAδcr sgn δcr + CAαδcrα + CAβδcrβ

)(G.28)


sα

cβCAδp sgn δp (G.29)


[(sα

cβCA

δtqsgn δtq −

cα

cβCN

δtq

)+ α

(sα

cβCA

αδtq− cα

cβCN

αδtq

)+sα

cβCA

α2δtqα2 + β

sα

cβCA

βδtq− cα

cβCN

β2δtqβ2

](G.30)


sα

cβ

(CA

δtrsgn δtr + αCA

αδtr+ CA

α2δtrα2 + βCA

βδtr

)(G.31)

ba21 =q∞SrefmVMDβ

[cαsβ

(CAδcq sgn δcq + CAαδcqα + CAβδcqβ

)+ sαsβ

(CNδcq + CNβ2δcq

β2 + CNαδcqα)]

(G.32)

G4

G.3. MATRIZ ENTRADA CONTROL


[cαsβ


)− cβ

(CSδcr + CSβδcrβ + CSα2δcr

α2)]

(G.33)

ba23 =q∞SrefmVM

cαsβCAδp sgn δp (G.34)


[cαsβ

(CA

δtqsgn δtq + CA

αδtqα + CA

βδtqβ + CA

α2δtqα2)

+ sαsβ(CN

δtq+ CN

αδtqα + CN

β2δtqβ2)]

(G.35)


[cαsβ

(sgn δtrCAδtr

+ CAαδtrα + CA

βδtrβ + CA

α2δtrα2)

− cβ(CS

δtr+ CS

βδtrβ + CS

α2δtrα2)]

(G.36)

ba31 =q∞Srefd

IBx

(n5∑k=1

Cklβδcq

s(ωkβδcqβ + φkβδcqβ

))(G.37)

ba32 =q∞Srefd

IBx

(n4∑k=1

Cklαδcr

s(ωkαδcrα + φkαδcrα

))(G.38)

ba33 =q∞Srefd

IBx

n6∑k=1

CklαT δp

e

(αT−α

kTδp

∆αkTδp

)2 (G.39)

ba41 =q∞Srefd

IBy

[Cmδcq(α) + Cmβ2δcq

β2 + s(CNδcq + αCNαδcq + CNβ2δcq

β2)]

(G.40)

ba44 =q∞Srefd

IBy

[Cmδtq(α) + Cm

β2δtqβ2 + s

(CN

δtq+ αCN

αδtq+ CN

β2δtqβ2)]

(G.41)

ba52 =q∞Srefd

IBy

[Cnδcr(β) + Cnα2δcr

α2 − s(CSδcr + βCSβδcr + CSα2δcr

α2)]

(G.42)

G5

G.4. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE CONTROL CRUZADO

ba55 =q∞Srefd

IBy

[Cnδtr(β) + Cn

α2δtrα2 − s

(CS

δtr+ βCS

βδtr+ CS

α2δtrα2)]

(G.43)

G.4. Elementos de la Matriz de Control Cruzado

Consideramos los coeficientes de la matriz:

Mqa =

maq11

0 0 maq14

0

maq21

0 0 maq24

0

0 0 0 0 0

0 0 0 maq44

0

0 0 0 0 0

maq11

=q∞SrefmVMDα

sα

cβCA

δcq2δtq

(1−Υq) δtq (G.44)

maq14

=q∞SrefmVMDα

[sα

cβ

(CA

δcqδtq

+ CAδcqδ

tq2δtq + CA

δcq2δtq

Υqδcq + CA

αδcqδtqα

)−cαcβ

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)]

(G.45)

maq21

=q∞SrefmVMDβ

cαsβCAδcq

2δtqδtq (1−Υq) (G.46)

maq24

=q∞SrefmVMDβ

[cαsβ

(CA

δcqδtq

+ CAαδcqδ

tqα + CA

δcqδtq2δtq + CA

δcq2δtqδcqΥq

)+sαsβ

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)]

(G.47)

maq44

=q∞Srefd

Iby

[Cm

δcqδtq

+ Cmαδcqδ

tqα + s

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)]

(G.48)

y para la matriz:

M ra =

0 ma

r12 0 0 mar15

0 mar22 0 0 ma

r25

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 mar55

G6

G.4. MATRIZ DE CONTROL CRUZADO

mar12 =

q∞SrefmVMDα

sα

cβCA

δcr2δtr

(1−Υr) δtr (G.49)

mar15 =

q∞SrefmVMDα

sα

cβ

(CA

δcrδtr

+ CAδcrδ

tr2δtr + CA

δcr2δtr

Υrδcr + CA

βδcrδtrβ)

(G.50)

mar22 =

q∞SrefmVMDβ

cαsβCAδcr

2δtrδtr (1−Υr) (G.51)

mar25 =

q∞SrefmVMDβ

[cαsβ

(CA

δcrδtr

+ CAβδcrδ

trβ + CA

δcr2δtrδcrΥr + CA

δcrδtr2δtr

)−cβ

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)]

(G.52)

mar55 =

q∞SrefmVM

[Cn

δcrδtr

+ Cnβδcrδ

trβ − s

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)]

(G.53)

Finalmente la matriz combinada es:

Ma =

ma

11 ma21 0 ma

41 ma51

ma21 ma

22 0 ma42 ma

52

0 0 0 0 0

ma41 0 0 ma

44 0

0 ma52 0 0 ma

55

ma

11 = δcqmaq11

+ δtqmaq14

(1−Υq) (G.54)

ma12 = δcrm

ar12 + δtrm

ar15(1−Υr) (G.55)

ma14 = δcqm

aq14

Υq (G.56)

ma15 = δcrm

ar15Υr (G.57)

ma21 = δcqm

aq21

+ δtqmaq24

(1−Υq) (G.58)

ma22 = δcrm

ar22 + δtrm

ar25(1−Υr) (G.59)

G7

G.5. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ACELERACIONES

ma24 = δcqm

aq24

Υq (G.60)

ma25 = δcrm

ar25Υr (G.61)

ma41 = δtqm

aq44

(1−Υq) (G.62)

ma44 = δcqm

aq44

Υq (G.63)

ma52 = δtrm

ar55(1−Υr) (G.64)

ma55 = δcrm

ar55Υr (G.65)

G.5. Elementos de la Matriz de Aceleraciones


Ha =

[ha11 ha12 0 0 ha15

ha21 ha22 0 ha24 0

]

ha11 = −q∞Srefm

CSα2βαβΥn (G.66)

ha12 = −q∞Srefm

(CSβ + CSβ|β||β|+ CSβ3β

2 + CSα2βα2 (1−Υn)

)(G.67)

ha15 = −q∞Srefm

d

2VMCSr (G.68)

ha21 = −q∞Srefm

(CNα + CNα|α||α|+ CNα3α

2 + CNβ2αβ2 (1−Υn)

)(G.69)

ha22 = −q∞Srefm

CNβ2ααβΥn (G.70)

ha24 = −q∞Srefm

d

2VMCNq (G.71)

y para la matriz:

G8

G.6. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE ACTUACIONES

La =

[0 la12 0 0 la15

la21 0 0 la24 0

]

la12 = −q∞Srefm

[CSδcr + CSβδcrβ + CSα2δcr

α2 + Υn

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)δtr

](G.72)

la15 = −q∞Srefm

[CS

δtr+ CS

βδtrβ + CS

α2δtrα2 + (1−Υn)

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)δcr

](G.73)

la21 = −q∞Srefm

[CNδcq + CNαδcqα + CNβ2δcq

β2 + Υn

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)δtq

](G.74)

la24 = −q∞Srefm

[CN

δtq+ CN

αδtqα + CN

β2δtqβ2 + (1−Υn)

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)δcq

](G.75)

G.6. Elementos de la Matriz de Actuaciones

Hm =

hm11 0 0 0 0 hm16 0 0 0 0 · · · 0

hm21 0 0 0 0 hm26 0 hm28 hm29 0 · · · 0

0 hm32 0 0 0 0 hm37 0 0 0 · · · 0

0 hm42 0 0 0 0 hm47 hm48 0 hm4,10 · · · 0

0 0 hm53 0 0 0 0 0 0 0 · · · 0

0 0 0 hm64 0 0 0 0 0 0 · · · 0

0 0 0 0 hm75 0 0 0 0 0 · · · 0

hm81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 · · · 0

0 hm92 0 0 0 0 0 0 0 0 · · · 0

hm10,1 hm10,2 0 0 hm10,5 0 hm10,7 0 0 hm10,10 · · · 0

hm11,1 hm11,2 0 hm11,4 0 hm11,6 0 0 hm11,9 0 · · · 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 · · · hm12,21

hm11 = KcB (G.76)

hm16 = kcB (G.77)

hm21 = KtB

(1 +

∂εq∂α

)(G.78)

G9

G.6. MATRIZ DE ACTUACIONES

hm26 = ktB∂εq∂δcq

(G.79)

hm28 = 1 (G.80)

hm29 = ktB (G.81)

hm32 = KcB (G.82)

hm32 = −kcB (G.83)

hm42 = KtB

(1 +

∂εr∂β

)(G.84)

hm47 = −ktB∂εr∂δcr

(G.85)

hm47 = −1 (G.86)

hm4,10 = −ktb (G.87)

hm53 = 1 (G.88)

hm64 = 1 (G.89)

hm75 = 1 (G.90)

hm81 = 1 (G.91)

hm92 = 1 (G.92)

hm10,1 = −q∞Srefm

CSα2βαβΥn (G.93)

G10

G.6. MATRIZ DE ACTUACIONES


(CSβ + CSβ|β||β|+ CSβ3β

2 + CSα2βα2 (1−Υn)

)(G.94)


d

2VMCSr (G.95)


[CSδcr + CSβδcrβ + CSα2δcr

α2 + Υn

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)δtr

](G.96)


[CS

δtr+ CS

βδtrβ + CS

α2δtrα2 + (1−Υn)

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ)δcr

](G.97)


(CNα + CNα|α| |α|+ CNα3α

2 + CNβ2αβ2 (1−Υn)

)(G.98)


CNβ2ααβΥn (G.99)


d

2VMCNq (G.100)


[CNδcq + CNαδcqα + CNβ2δcq

β2 + Υn

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)δtq

](G.101)


[CN

δtq+ CN

αδtqα

+CNβ2δtq

β2 + (1−Υn)(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα)δcq

] (G.102)

hm12,21 = 1 (G.103)

G11

G.7. ELEMENTOS DE LA MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO

G.7. Elementos de la Matriz del Guiado-Autopiloto

Ak =

aK11 aK12 aK13

aK21 aK22 aK23

aK31 aK32 aK33

aK11 = −

(q2

0 + q21−q2

2 − q23

)cαcβ (G.104)

aK12 = −2(q1q3−q0q2)VM sincαcβ (G.105)

aK13 = −2(q1q2 + q0q3)VM sinc β (G.106)

aK21 = − (q1q2 − q0q3) cαcβ (G.107)

aK22 = −2(q2q3 + q0q1)VM sincαcβ (G.108)

aK23 = −(q2

0 − q21 + q2

2 − q23

)VM sinc β (G.109)

aK31 = −2 (q1q3 + q0q2) cαcβ (G.110)

aK32 = −(q2

0 − q21 − q2

2 + q23

)VM sincαcβ (G.111)

aK33 = −2 (q2q3 − q0q1)VM sinc β (G.112)

AW =

aW11 aW12 aW13 0 aW15 aW16

0 aW22 aW23 aW24 aW25 aW26

0 aW32 aW33 aW34 aW35 aW36

0 aW42 aW43 aW44 0 0

0 aW52 aW53 aW54 aW55 aW56

0 aW62 aW63 aW64 aW65 aW66

aW11 = −cαcβ ρSrefVM2m

(CA0 + CAα|α|+ CAβ |β|+ CAα2α

2

+CAα3 |α|3 + ∆CAb − CT

)(G.113)

G12

G.7. MATRIZ DEL GUIADO-AUTOPILOTO

aW12 = − sincαcβq∞Srefm

(CNαα + CNα|α|α|α|+ CNα3α

3 + CNβ2αβ2α

)(G.114)

aW13 = − sinc βq∞Srefm

(CSββ + CSβ|β|β|β|+ CSβ3β

3 + CSα2βα2β

)(G.115)

aW15 = −sαcβ q∞Srefm

d

2VMCNq (G.116)

aW16 = −sβ q∞Srefm

d

2VMCSr (G.117)

y el resto de los terminos son iguales que los de Aa

aW22 = aa11 (G.118a)

. . .

aW66 = aa55 (G.118b)

BW =

bW11 bW12 bW13 bW14 bW15



bW41 bW42 bW43 0 0

bW51 0 0 bW54 0

0 bW62 0 0 bW65

bW11 = −cαcβ q∞Srefm

(CAδcq sgn δcq + CAαδcqα + CAβδcqβ

)− sαcβ q∞Sref

m

(CNδcq + CNαδcqα + CNβ2δcq

β2) (G.119)



)− sβ q∞Sref

m(CSδcr + CSβδcrβ + CSα2δcr

α2)

(G.120)


(CAδp sgn δp

)(G.121)

G13



(CA

δtqsgn δtq + CA

αδtqα + CA

α2δtqα2 + CA

βδtqβ)

− sαcβ q∞Srefm

(CN

δtq+ CN

αδtqα + CN

β2δtqβ2) (G.122)


(CA

δtrsgn δtr + CA

αδtrα + CA

α2δtrα2 + CA

βδtrβ)

− sβ q∞Srefm

(CS

δtr+ CS

βδtrβ + CS

α2δtrα2) (G.123)

y el resto de los terminos son iguales a los de Ba

bW21 = ba11 (G.124a)

. . .

bW65 = ba55 (G.124b)

MW =

mW11 mW

12 0 mW14 mW

15

mW21 mW

22 0 mW24 mW

25

mW31 mW

32 0 mW34 mW

35

0 0 0 0 0

mW51 0 0 mW

54 0

0 mW62 0 0 mW

65

mW

11 = −cαcβ q∞Srefm

CAδcq

2δtqδcqδ

tq (G.125)

mW12 = −cαcβ q∞Sref

mCA

δcr2δtrδcrδ

tr (G.126)


mδcq

(CA

δcqδtq

+ CAαδcqδ

tqα + CA

δcqδtq2δtq

)− sαcβ q∞Sref

mδcq

(CN

δcqδtq

+ CNαδcqδ

tqα) (G.127)


mδcr

(CA

δcrδtr

+ CAβδcrδ

trβ + CA

δcrδtr2δtr

)− sβ q∞Sref

mδcr

(CS

δcrδtr

+ CSβδcrδ

trβ) (G.128)

G14


y el resto de los terminos son iguales a los de Ma

mW21 = ma

11 (G.129a)

. . .

mW65 = ma

55 (G.129b)

G15

Apendice H

Tratamiento Analıtico del Error de

Radomo y Ruidos Radar.

H.1. Buscador radar

Se asume en esta tesis el radar esta montado en una cabeza buscadora giro esta-

bilizada. Otras configuraciones mediante antena fija y orientacion electronica de las

son mas atıpicas misiles tacticos y en cualquier caso el proceso de orientacion de las

electronico serıa similar al movimiento de la cabeza giro estabilizada en lo que respec-

ta al funcionamiento del radar para las operaciones de guiado y control. El coste y

los requerimientos de fiabilidad hacen que a dıa de hoy sea mas competitivo el siste-

ma giro estabilizado. Consiste en una plataforma estabilizada, giroscopos y la antena.

La plataforma esta montada sobre dos o tres cardan cada uno de los cuales tiene un

servomecanismo de actuacion para ajustar su orientacion angular hacia el blanco en

respuesta al error angular medido por el receptor radar.

Para una aplicacion aire aire contra blancos pequenos como UCAV u otros misiles,

donde el RCS es pequeno, se emplea el radar de pulsos Pulse Doppler radar (PD) Con

integracion coherente. Existen dos lazos de seguimiento, el lazo de seguimiento angular,

realizado por la cabeza buscadora, y el lazo de seguimiento en distancia. El blanco esta

enganchado por el radar cuando estos dos lazos estan cerrados. El seguimiento angular

del radar se describira en la primera seccion, mientras que el seguimiento en distancia

se lleva a cabo por la tecnica de puertas (gating) que se describe en la referencia (Curry,

2005). La estructura de la senal mono pulso es la preferida para determinar el error de

orientacion angular del blanco en elevacion y azimut, (Barton and Ward, 1984).

Cuando existe un filtro de navegacion entre el buscador y el bloque de guiado,

es mas conveniente que la salida del buscador sean los angulos de la lınea de mira,

definidos como:

H1

H.1. BUSCADOR RADAR

σe = t−1

zBr√xBr

2 + yBr2

(H.1)

σz = t−1

(yBrxBr

2

)(H.2)

La figura 4.11 define los angulos que estan involucrados en el proceso de recons-

truccion de la lınea de mira entre el misil y el blanco. El origen de el angulo esta en el

centro de la antena radar y se mide en contra una referencia inercial, fija en el espacio,

que en nuestro caso sera la posicion de la lınea de mira inicial. La posicion del eje de

la antena radar con respecto al eje MXB se define por el angulo de cardan θh. El error

angular es ε y el error considerando los efectos de rado modo que es εr. De aquı se

obtiene que el angulo de la lınea de mira es:

ε = σ − θ − θh (H.3)

Es importante senalar que el error angular no es unicamente una funcion de la

posicion de la lınea de mira pero tambien de la actitud del misil y de la posicion de la

antena con respecto al eje del misil. Para eliminar el angulo θ de la medida, el buscador

radar necesita una entrada desde la IMU del misil, ver figura H.1. Uno de los requisitos

del buscador es mantener la antena apuntada hacia el blanco, de modo que el error ε

se mantenga pequeno con respecto al ancho de las electronico. Tambien en la regiones

donde ε es pequeno la respuesta puede ser considerada lineal. Si ε no es pequeno, la

respuesta no puede ser considerada lineal y si es mayor que la mitad del ancho de la,

el misil puede perder la senal del blanco.

El efecto del radomo es distorsionar la direccion de la lınea de mira tal y como

es percibida por el radar, efecto causado por la refraccion de la radiacion al atravesar

la pared exterior. Debido a que la curvatura de la pared no es uniforme, la radiacion

tiene diferentes angulos de incidencia, que causan que la radiacion Y que a la antena del

radar con fases distintas. Esto resulta en cierta distorsion angular que es una funcion no

lineal del angulo θh, esto es de la orientacion de la antena dentro de la ojiva. Este efecto

por tanto depende de la actitud del misil en el espacio y representa un acoplamiento

fuerte entre la actitud del vuelo y las medidas del radar. Como consecuencia este efecto

de radomo y la ley de control, integrada o en doble lazo, estan acoplados. De acuerdo

a la referencia (Zarchan, 2012) este fenomeno es uno de los principales contribuyentes

a la distancia final en misiles radar.

En teorıa, para cierta forma geometrica de la ojiva serıa posible obtener la funcion

f (R, θh) . Sin embargo f (R) es muy difıcil de calcular en la practica (Yueh and Lin,

1985). Durante el vuelo del misil debido al calentamiento aerodinamico de la ojiva y

debido a la erosion que ocurre en vuelo debido a la velocidad de supersonica as, el

H2

H.2. MODELOS RUIDO RADAR

espesor se modifica ası como la constante dielectrica del material. El factor tambien

es una funcion de la polarizacion y la frecuencia de la senal radar. Un modelo de pre-

cision depende de la aplicacion particular y se requerirıa un tratamiento matematico

especıfico, de tipo estadıstico, dependiente del tiempo y no lineal. De otro lado existen

modelos aproximados de la literatura, con relaciones empıricas para este factor (Flee-

man, 2012). Para escenarios de intercepcion frontales, la literatura asume tıpicamente

que R es un factor constante para pequenas variaciones en θh. Sin embargo esta hipote-

sis no es valida para grandes variaciones en el angulo de cardan que estan asociadas a

altas maniobras del blanco. En su lugar en esta tesis recurriremos a la ecuacion 4.44.

El angulo θr puede ser incluido dentro del bucle de guiado y control con la ecuacion:

εr = σ + θr − θd (H.4)

y de aquı

εr = σ − σ − σh (1−R) (H.5)

Para considerar el efecto de la estimacion del angulo de la lınea de mira en las

actuaciones del sistema, se empleara el modelo dinamico descrito en la figura H.1 ,

adaptado de la referencia (Nesline and Zarchan, 1985), y que a su vez incluye todos los

efectos anteriormente mencionados.

La aceleracion del misil y sus velocidades angulares introducen perturbaciones en el

funcionamiento del buscador radar (Shneydor, 1998), como errores de escalado KGY R

y errores debidos a la deriva de los giroscopos KG causados por la aceleracion del misil

n.

σr = εr +

∫θd (H.6)

H.2. Modelos Ruido Radar

H.2.1. Destello (Glint)

Se considera aquı que sera una mezcla de dos distribuciones normales atravesando

un filtro pasa bajos en la forma(Zhurbal and Idan, 2011b; Kim et al., 2010; Zarchan,

2012):

pg = Υglintpg1 + (1−Υglint) pg2 (H.7)

con pg1 ∼ N(0,Σ2

g1

)y pg2 ∼ N

(0,Σ2

g2

)con Σg1 < Σg2.

H3


KR

R

1s

1s

1T1

KSL

s

Kgyr1s

KG

IMU

σ

+ +

ε

+

ε′

+

θ

− −

θh

θr−

ε′

(θd

)c+

θh

θd

+

−

θd

+

nL

˙θ +

σm

Figura H.1: Dinamica del Buscador.

H.2.2. Ruidos Independientes del Alcance

Desvanecimiento, pf ∼ N(0,Σ2

f

)y power spectral density (PSD) Φf = 2τfΣ

2f ,

siendo

Σ2f =

(Bw

Bsr

)2

(H.8)

Bw el ancho de banda de la senal recibida y Bsr una constante tecnologica (Curry,

2005). Tambien 2τf = 1/fs , con fs = 1/Ts.

Ruido termico (Vora et al., 2005), con pt ∼ N (0,Σ2t ) y PSD Φt = 2τtΣ

2t , donde

Σt (Barton and Ward, 1984) es:

Σ2t =

B2w

2K2mSNR

(H.9)

y Km se define en (Kingsley and O’Keefe, 1999). 2τt = 1/fs . La relacion senal-

H4


ruido SNR se obtiene de la ecuacion del radar(Siouris, 2004),

SNR =PtG

2λ2 ·RCS · L(4π)3 ‖rTM‖4 (kTnBw) · F

τ 2R

PRI · τG(H.10)

donde

Pt Radar peak transmission power

G Antenna gain

Pc Pulse compression ratio, τTBw

k Boltzmann constant

Tn Noise temperature in the radar system

F Loss factor due to signal processing in the receptor

L Loss factor due to beam forming

τR Pulse duration at the receiver gate

PRI Pulse Repetition Interval

τG Received gate duration

siendo τR ∼ τG.

Ruido atmosferico, (Barton and Ward, 1984), con pan ∼ N (0,Σ2an) PSD Φan =

Φanref ‖rTM‖, donde ‖rTM‖ es el segmento de distancia entre misil y blanco por

debajo de 5Km en altura, y

Φanref = 4τanΣ2anref

Fc√d

(H.11)

con

d Radar antenna aperture diameter, in m

Σ2anref

Standard deviation, 0,44 · 10−6

τan Atmospheric correlation time, 0,6s

k Boltzmann constant

Fc Noise correlation factor, 0,4 , from (Alpert, 2003)

H.2.3. Ruidos en Distancia y Velocidad de Colision

El ruido en la medida de distancia puede tener varios componentes, aquı solo con-

sideraremos el que depende de la SNR (Curry, 2005), que tıpicamente domina y puede

considerarse Gausiano con:

Σρ =clight

2Bx

√2 · SNR

(H.12)

donde clight es la velocidad de la luz.

H5


La velocidad de colision puede medirse a traves de

1. Desviacion Doppler en la senal recibida

2. A traves de diferentes medidas de distancia al blanco

Siendo superior el primero, que se obtiene de:

Vc =λ

f D2 (H.13)

donde fD es la desviacion en frecuencia debido al efecto Doppler y λ es la longitud

de onda del radar.Su desviacion estandar es:

ΣV =λ

2τ√

2 · SNR=

∆Vc√2 · SNR

(H.14)

donde ∆Vc es la resolucion de la medida de velocidad radial y τ es la extension temporal

de la senal radar que se procesa de modo coherente.

H6

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