Introducción Introducción Aproximación de Padé

Diseño de Filtros Digitales por Mínimos Cuadrados

Gamaliel Moreno Chávez

Telemática II

Universidad Politécnica de San Luis Potosí

ITEM

Mayo, 2014

Gamaliel Moreno Chávez Telemática II Diseño de Filtros Digitales por Mínimos Cuadrados

Introducción Introducción Aproximación de Padé

Contenido

Introducción.

Método de aproximación de Padé

Diseño de métodos de mínimos cuadrados.

Filtros FIR mínimos cuadrados inversos.

Diseño de �ltros IIR en el dominio frecuencial

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

Introducción

Una alternativa para diseñar �ltro IIR a los métodos basados en

�ltro analógicos, es diseñar el �ltro IIR directamente en el dominios

digital.

Existen muchos métodos para el diseño de �ltros digitales

directamente en el dominio digital, existen dos formas: una es

realizarlo con la especi�caciones temporales y la otra son técnicas

in la cuales el diseño se realiza en dominio frecuencial.

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

Suponemos que la respuesta al impulso deseada hd (n) estaespeci�cada para n ≥ 0, el cual tiene una función de sistema

El �ltro tiene L=M+N+1 parámetros, que corresponden a los

coe�cientes ak y bk , los cuales pueden ser seleccionados por algún

criterio de minimización de error.

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

El criterio del error por mínimos cuadrados frecuentemente es

usado para optimizar problemas de este tipo. Suponemos que

nosotros queremos minimizar la suma de los errores al cuadrado

donde U es algún limite superior preseleccionado, para nuestro caso

U=L-1

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

Es posible tener una relación h(n) a la respuesta deseada hd (n) para0 ≤ n ≤ M + N. Esta puede ser alcanzado de la siguientes manera,

La ecuación de diferencias del �ltro deseado es

si suponemos que la entrada es un impulso x(n) = δ(n) entoncestendremos que la respuesta del sistema es la respuesta al impulso

y(n) = h(n) y la ecuación de diferencia se convierte en

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

Sabemos que δ(n − k) = 0 excepto para n = k entonce la la

ecuación anterior se reduce a

y para n>M

las dos ecuaciones anteriores pueden ser usadas para resolver los

parámetros del diltro ak y bk . Esta técnica es llamada aproximación

de Padé.

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Ejemplo

su ponemos que la respuesta al impulso deseada es

hd (n) = 2

(1

2

)n

u(n) (1)

Determinar los parámetros del �ltro con función de sistema

H(z) =b0 + b1z

−1

1+ a1z−1(2)

usando la aproximación de Padé

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

Solución: obtenemos la respuesta al impulso de H(z)

Para n>1 tenemos

si igualamos hd (n) y h(n) tenemos que a = −1

2, para resolver b0 y

b1, tenemos

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Solución

Para n=0 de esta ecuación tenemos b0 = 2 y para n=1 tenemos

que b1 = 0 esta es la relación de H(z) = Hd (z)

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Ejemplo

consideremos que el �ltro buscado tiene la respuesta función de

transferencia

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Introducción Introducción Aproximación de Padé

Podemos aplicar el método anterior, y analizar cual es la función de

transferencia obtenida para diversas elecciones de N y M, como se

observa en las grá�cas siguientes.

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