Distancia entre dos puntosCuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas.Ejemplo: La distancia entre los puntos
(-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.Cuando los puntos se
encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
la diferencia de sus ordenadas.Ahora si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relacin:
Para demostrar esta relacin se deben ubicar los puntos A(x1,y1)
y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un tringulo
rectngulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de
pitgoras.Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B
(4,1)
d= 5 unidadesDistancia entre dos puntos
Por haberlo estudiado, sabemos que elPlano cartesianose usa como
un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.Otra de
las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano
radica en que, a partir de la ubicacin de las coordenadas de dos
puntos es posible calcular la distancia entre ellos.Cuando los
puntos se encuentran ubicados sobre el ejex(de las abscisas) o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas(x2
x1).Ejemplo:La distancia entre los puntos (4, 0) y (5, 0) es 5 (4)
= 5 +4 = 9 unidades.Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre
el ejey(de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas.Ahora, si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relacin:
(1)
Para demostrar esta relacin se deben ubicar los puntosP1(x1,
y1)yP2(x2, y2)en el sistema de coordenadas, luego formar un
tringulo rectngulo de hipotenusaP1P2y emplear elTeorema de
Pitgoras.
Ejemplo:Calcula la distancia entre los puntosP1(7, 5)yP2(4,
1)
DemostracinSeanP1(x1, y1)yP2(x2, y2)dos puntos en el plano.La
distancia entre los puntosP1yP2denotada por d =esta dada por:(1)En
laFigura 1hemos localizado los puntosP1(x1, y1)yP2(x2, y2)as como
tambin el segmento de recta
Figura 1
Al trazar por el puntoP1una paralela al ejex(abscisas) y
porP2una paralela al ejey(ordenadas), stas se interceptan en el
puntoR, determinado el tringulo rectnguloP1RP2y en el cual podemos
aplicar elTeorema de Pitgoras:
Pero:;y
Luego,
En la frmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es
siempre un valor positivo.El orden en el cual se restan las
coordenadas de los puntosP1yP2no afecta el valor de la
distancia.
