Distribución Binomial

Introducción.El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizoJacob Bernoulli (1654-1705).

Bernoulli definió el proceso conocidopor su nombre el cual establece lasbases para el desarrollo y utilización dela distribución Binomial.

Bernoulli escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia. La distribución normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitud de fenómenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los más famosos matemáticos de la historia

”La Distribución Binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.”

Por ejemplo: 

Al nacer un/a bebé puede ser niño o niña.

En el deporte un equipo puede ganar o perder.

En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

Características de la distribución de Bernoulli Dado un experimento

de Bernoulli, se pueden presentar dos casos particulares e independientes; un fracaso o un éxito.

Dada una variable aleatoria discreta X se define que:

Éxito =1 Fracaso= 0

Distribución de Bernoulli Si la probabilidad de éxito es p y la de

fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

1,0)1()( 1 xppxP xx

x - es el número de aciertos. 1-x - es el número de errores. p - es la probabilidad de éxito, como por1-p - también se le denomina como “q ”

Cuestiones importantes

El experimento de Bernoulli tiene como dato curioso, que nosotros podemos realizar un indefinido numero de experimentos teniendo en cuenta que:

○ Las condiciones no varían.

○ Que las condiciones son independientes.

Deducciones

Al estudiar las condiciones de Bernoulli se obtienen 2 distribuciones:

Binomial: Consiste en preguntar la cantidad de éxitos en n veces.

Pascal: Se refiere al numero de veces que requiere realizar ese experimento para obtener cierta cantidad de éxitos.

Distribución Binomial La distribución Binomial aparece cuando

estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

Para que se ocupa esta distribución Para pruebas que

requieran sean repetidas e independientes.

Nos muestra la probabilidad dada a partir de cierto numero de éxitos

n= Numero de Pruebasx= Numero de Éxitos (puede representarse con la letra k)p= Probabilidad de un evento exitoso1-p= q= Probabilidad de un fracasop+q=1n>=x

Fórmulaxnxxnx pp

xnx

npp

x

nxppnB

)1(

)!(!

!)1()(),(

Distribución Binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

Distribución Binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

Tabla de probabilidad Binomial

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C a r a c t e r í s t i c a s d e l a d i s t r i b u c ió n b in o m ia l

n = 5 p = 0 . 1

n = 5 p = 0 . 5

M e d i a

= E ( X ) = n p

= 5 · 0 . 1 = 0 . 5

= 5 · 0 . 5 = 0 . 2 5

D e s v i a c i ó n e s t á n d a r

0. 2. 4. 6

0 1 2 3 4 5

X

P ( X )

. 2

. 4

. 6

0 1 2 3 4 5

X

P ( X )

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp