Distribución de probabilidad.ejemplos

Problemas de Distribución de

probabilidad Yadira Azpilcueta

Ejemplos:

De Problemas:

Distribución de Bernoulli.

1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál

es la probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1

* (8/9) 0 = 1/9 =

0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)

1 = 8/9 = 0.888

2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para

así poder darles un premio, pero la maestra los

seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la

probabilidad de que salga el alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.

P(x=1) = (1/16) 1

* (15/16) 0

= 1/16 =

0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero

16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)

1 = 15/16 =

0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,

al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay

para que pueda salir premiado el boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1

* (341/342) 0 =

1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero

342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)

1 =

341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga

cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:

el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso

(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen

en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles:

0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que

cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1

* (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)

1 = 0.5 = 0.5

En un examen formado por 20 preguntas,

cada una de las cuales se responde

declarando

“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,

históricamente, en el 75% de los casos la

respuesta correcta es “verdadero” y decide

responder al examen tirando dos monedas,

pone

“falso” si ambas monedas muestran una

cara y “verdadero” si al menos hay una

cruz. Se

desea saber qué probabilidad hay de que

tenga al menos 14 aciertos.

Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los

parámetros de la distribución y el punto k a

partir

del cual se calculará la probabilidad. En

este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones

discretas

Binomial (n,p)

n: Número de pruebas 20

p: Probabilidad de éxito 0,7500

Punto K 14

Probabilidad Pr[X=k] 0,1686

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828

Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172

Media 15,0000

Varianza 3,7500

La probabilidad de que el alumno tenga

más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.

Distribución poisson

Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo

el 3% de los alumnos de contabilidad son

muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad

de que si tomamos 100 alumnos al azar 5

de ellos sean muy inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

Ejemplo2.- La producción de

televisores en Samsung trae asociada una

probabilidad de defecto del 2%, si se toma

un lote o muestra de 85 televisores,

obtener la probabilidad que existan 4

televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos

15 de ellos hablan ruso calcular la

probabilidad de que si tomamos 20 al azar

3 de ellos hablan ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)=(e^-

8)(3^3)/3!=0.2240418

X=3

=3

Ejemplo4.-El 8% de los registros

contables de una empresa presentan algún

problema, si un auditor toma una muestra

de 40 registros ¿Calcular probabilidad de

que existan 5 registros con problemas?

n=40

P=0.08

P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

=3.2

X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el

20% de las personas tienen defecto de la

vista si tomamos una muestra de 50

personas al azar ¿Calcular Probabilidad

que existan 5 registros con problemas?

n=40

P=0.08

=10

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

1.-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar

de 14.0

µ = 80

σ = 14z

a) Calcule la probabilidad de un valor

localizado entre 75.0 y 90.0

p (75 ≤ x ≤ 90)

z =

z =

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.

p(x ≤ 75)

z

p(x ≤ 75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0

p (55 ≤ x ≤ 70)

z =

z =

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

Probabilidad acumulada.

0.7611

0.3594

75 80 90 μ


0.3594

75 80 μ


0.2389

0.0367

55 70 80 μ

2.-Los montos de dinero que se piden en las

solicitudes de préstamos en Down River

Federal Savings tiene una distribución

normal, una media de $70,000 y una

desviación estándar de $20,000. Esta

mañana se recibió una solicitud de

préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00

σ =$20,0 z

a) El monto solicitado sea de $80,000 o

superior?

p(x ≥ 80,000)

z–

=

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre

$65,000 y $80,000?

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)


0.6915

70000 80000 μ


0.6915

0.4013

z–

=

z–

=

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 =

0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o

superior.

p(x ≥ 65,000)

z–

=

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

65000 70000 80000 μ


0.4013

65000 70000 μ

3.-Entre las ciudades de Estados Unidos

con una población de más de 250,000

habitantes, la media del tiempo de viaje

de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El

tiempo de viaje más largo pertenece a la

ciudad de Nueva York, donde el tiempo

medio es de 38.3 minutos. Suponga que la

distribución de los tiempos de viaje en la

ciudad de Nueva York tiene una

distribución de probabilidad normal y la

desviación estándar es de 7.5 minutos.

µ = 38.3 min.

σ = 7.5 min. z

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la

ciudad de Nueva York consumen

menos de 30 minutos?

p( x ≤ 30)

z–

=

p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%


0.1335

30 38.3 μ

b) ¿Qué porcentaje de viajes

consumen entre 30 y 35 minutos?

p(30 ≤ x ≤ 35)

z–

=

z–

=

p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 =

19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre

30 y 40 minutos?

p(30 ≤ x ≤ 40)

z–

=


0.3300

0.1335

30 35 38.3 μ


0.5910

0.1335

z–

=

p(30 ≤ x ≤ 40) =

0.5910 – 0.1335

= 0.4575 =

45.75%

4.- Las ventas

mensuales de

silenciadores en el

área de Richmond,

Virginia, tiene una

distribución normal, con una media de

$1,200 y una desviación estándar de $225.

Al fabricante le gustaría establecer

niveles de inventario de manera que solo

haya 5% de probabilidad de que se agoten

las existencias. ¿Dónde se deben

establecer los niveles de inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

30 38.3 μ

µ = 1,200 σ = 225


5% = .0500

z

5% ó 0.0500

1.65–

x = 1,571.25

5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual

para asistir a una

universidad privada en

Estados Unidos era de $20,082. Suponga

que la distribución de los costos anuales

se rigen por una distribución de

probabilidad normal y que la desviación

estándar es de $4,500. El 95% de los

estudiantes de universidades privadas

paga menos de ¿Qué cantidad?

z

X = 1,571.25

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 =

z

1.64–

x = 27,462.

z

X = 27,46275

95% ó 0.9500

Distribución de gamma.

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).


Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a, p)

a : Escala 6,0000

p : Forma 2,0000

Punto X 1,0000

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2-

Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes

que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital

sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.


Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de una

pieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma es

de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuanto

debemos cobrar la hora de reparación para obtener un

beneficio medio de 3 mil euros?

Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio

medio, E(B), sea 3.

El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) =

4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce que

K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3

mil euros.

Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.

Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado

cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión

deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

SOLUCIÓN.

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

El profesor Pérez olvida poner su despertador

3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el

despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada

10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.

520 521 511 513 510 µ=500 h

513 522 500 521 495 n=25

496 488 500 502 512 Nc=90%

510 510 475 505 521 X=505.36

506 503 487 493 500 S=12.07

(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?

Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos

realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en

base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación

traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan

en el enunciado.

P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que

calculemos P(T¯). Puesto que {O, O}es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la

formulas de la probabilidadtotal, de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,

sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir

como:P(T¯) = + =0.69

La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen

media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de

tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que

sigue una distribución t de n-1 grados

de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media

de la muestra de 25 tornillos sea

inferior a 20.5 mm es del 99.02%

Ejemplo-4

Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en

cada uno de los siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3

grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30

grados de libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel

número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de

la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los

grados de libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la

probabilidad acumulada, en nuestro

caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente

desde las posiciones anteriores hasta

cruzarnos en el punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-

Student con 3 grados de libertad será el

valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos

movemos horizontalmente hasta la

primera columna, llegaremos al valor 3

(grados de libertad), y si lo hacemos

verticalmente hacia la primera fila la

llegaremos al valor 0.95 (probabilidad

acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos

tabulada la t-Student para colas

probabilísticas que van desde 0=75

hasta 0=999, para calcular el percentil

w0=25, tendremos que realizar la

siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es

simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W ·

w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los

datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad

actuaremos de modo similar al caso

anterior, pero buscando en la fila 30 de

la tabla. Resultando:

ejemplo5

Calcular los percentiles I8>7;0=99 y

I8>7;0=01

Solución.

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor

el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener

en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última

columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos

datos será el percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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