DISTRIBUCION NORMAL

Mario Briones L.MV, MSc

2005

Características de la distribución normal Es simétrica en torno a la media La media (promedio), mediana y

moda son iguales. El área total bajo la curva y sobre el

eje X es una UNIDAD DE AREA

Características de la distribución normal La distribución normal es una función que

tiene sólo dos parámetros, la media poblacional () y la varianza (2).

La densidad normal alcanza un máximo cuando la variable tiene un valor igual a y disminuye continua y simétricamente en ambas direcciones en la medida que la variable se desvía de .

Una variable con distribución normal y varianza 2 se denota por z ~ N(, 2) donde ~ significa “se distribuye”.

Algunas propiedades La distribución de muchas variables

biológicas es aproximadamente normal. Toda variable cuya expresión sea el resultado de contribuciones aditivas de pequeño efecto tenderán a distribuirse normalmente.

“NORMALIDAD”

Algunas propiedades Mediciones que no son normales pueden

volverse aproximadamente normales con una simple transformación de escala. Ej. raíz cuadrada, logaritmo.

El recuento de unidades formadoras de colonias o el recuento de células somáticas deben ser transformados a logaritmo para ser analizados estadísticamente.

Algunas propiedades La distribución normal es

relativamente fácil de trabajar matemáticamente. Muchos resultados útiles en estadística pueden ser derivados si la distribución es normal. Incluso cuando las muestras provienen de distribuciones no normales.

Algunas propiedades Incluso si la distribución original de

la población no es normal, la distribución de las medias de repetidos muestreos tenderán a ser normales, con muestreo aleatorio y en la medida que el tamaño de la muestra aumenta

Algunas propiedades Si, al observar los estimadores de una

muestra obtenida al azar desde una población, y la MEDIA, la MEDIANA y la MODA tienen valores parecidos, y si observamos un histograma y vemos que la mayor frecuencia de observaciones se agrupa en torno a la media, con colas hacia los extremos de la distribución, podemos asumir que:

Algunas propiedades LOS DATOS PROVIENEN DE UNA

POBLACIÓN CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si esto sucede, podemos aplicar las propiedades de la distribución normal a las inferencias que hagamos a partir de los datos de la muestra: por ejemplo, podemos decir que por encima del promedio obtenido en la muestra, se debería ubicar el 50% de la población.

Algunas propiedades Cuando la distribución normal tiene

media igual a cero y desviación estándar igual a 1, se trata de una distribución normal estandarizada.

Existen tablas de área bajo la curva y altura de la ordenada para la distribución normal estandarizada en todos los libros de estadística

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal.

CURTOSIS g2= 0

g2> 0

g2< 0

Coeficiente de curtosis

41

4

2 )1(

)()(

sn

XXcurtosisg

n

ii

s= desviación estándar

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal.

Error estándar de la curtosis

Si , entonces la distribución no es normal.

nEEC

24

2EEC

Curtosis

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal.

COEFICIENTE DE ASIMETRIA:

g1= 0

g1> 0

g1< 0

Coeficiente de asimetría:

31

3

1 )1(

)()(

sn

XXasimetríag

n

ii

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal.

Coeficiente de asimetría: Error estándar del coeficiente de

asimetría:

Si , la distribución no es

normal.

nEECA

6

2asimetría Coef.

EECA

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

SEGUNDO DECIMAL DE Z

DISTRIBUCION NORMAL ACUMULATIVA

(fragmento, obtenido con la función DISTRIBUCION NORMALESTANDARIZADA de Excel)

= 0= 1

= 0= 1

= 0= 1

ejemplo:

Cuál es la probabilidad de que una desviación normal caiga entre-1.62 y +0.28?

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.62 0.28

Se divide el intervalo en dos partes:

1. de -1.62 a 0 A1= 0.44742. de 0 a 0.28 A2= 0.1103

Probabilidad total= 0.5577

A1

A2

TABLA DE DISTRIBUCION ACUMULADAEsta tabla se utiliza con mayor frecuencia. Entrega el área bajo la curvadesde cero hasta Z.

Probabilidad de un valor Fórmula

1. Entre 0 y Z A2. Entre -Z y Z 2A3. Fuera del intervalo -Z, Z 1 - 2A4. Menor que Z (Z positivo) 0.5 + A5. Menor que Z (Z negativo) 0.5 - A6. Mayor que Z (Z positivo) 0.5 - A7. Mayor que Z (Z negativo) 0.5 +A

Estandarización de una distribución normal CUALQUIER VALOR xi EN UNA

DISTRIBUCIÓN PUEDE SER ESTANDARIZADO SOBRE LA BASE DE SU DISTANCIA DESDE LA MEDIA, MEDIDA EN UNIDADES DE DESVIACIÓN ESTANDAR.

AL HACER ESTO, LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION SE HACE CERO Y LA DESVIACIÓN ESTANDAR ES LA UNIDAD DE LA ESCALA.

TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL

TODAS LAS TABLAS ESTANDARES DE DISTRIBUCION NORMALTIENEN MEDIA CERO Y DESVIACION ESTANDAR 1

Existe una medición X con mediay desviación estándar y se desea utilizar la curva normal.Se debe transformar la escala de X de tal manera que la media sehace cero y la desviación estándar 1.

Este re escalamiento está dado por la relación:

“desviación estándar normal”

obtención del valor X a partir de Z

XZ

ZX

VARIABLE X: Peso de nacimiento de terneros de carne,machos y hembras, de las razas Hereford, Angus e Híbridos

XZ

¿Cuál es el valor estandarizado(media cero y desviaciónestándar igual a 1) para un pesode nacimiento de 50 kilos?

72.115.66.10

15.64.3950 Z

n= 531 Rango= 64-16= 48 kilos Media= 39.4 kilos Mediana= 39.5 kilos Moda= 40 kilos Varianza= 37.9 Desviación típica= 6.15 kilos CV= 15.6%

¿Cuál es la probabilidad de un peso de ternero al nacimiento entre50 y 55 kilos, ambos incluidos?

¿Cuál es la probabilidad de que un ternero pese 30 kilos o menos?

Con los mismos datos anteriores:

Respuestas:

Límite inferior: 50 kilos……… Z= (50 – 39.4)/6.15= 1.72Límite superior: 55 kilos………Z= (55 – 39.4)/6.15= 2.53

Escala normalizada 0 1.72 2.53 zEscala real 39.40 50 55 kilos

Area= 0.4943

Area= 0.4573

Area= 0.4943-0.4573 = 0.037

La pregunta en sentido inverso: Entre que pesos, por sobre y bajo el

promedio, se ubica el 50% de los datos de peso de nacimiento en la población de terneros a la cual pertenece la muestra?

A partir de un área bajo la curva, determinar el valor z

z z

0.25 0.25

En este caso se busca en el cuerpo de la tabla unvalor de área lo más parecido a 0.25 y en losmárgenes se determina a que valor de z corresponde,en este caso es +0.675 y -0.675

A partir del valor z, determinar el valor en kilos o la variable correspondiente

Entre +0.675 y -0.675 unidades estandarizadas de la curva normal (desviaciones estándares) se ubica el 50% de probabilidades de valores de peso.

Si en el caso de la variable peso la desviación estándar es de 6.15 kilos, entonces la distancia en el eje medida en kilos es de ±6.15 x 0.675 = ±4.15 kilos

Respuesta: ±4.15 kilos