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Documento realizado por estudiante de la materia de Probabilidad y Estadística de la EPN-Quito-Ecuador
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1
2
Una variable aleatoria X, que puede tomar un
número finito de valores, 1,2,…,n, cada uno
de los cuales tiene la misma probabilidad de
ocurrir, se dice que sigue una ley de
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA. Es decir,
k=1,2,…,n
Pr(X= k)=
0 en caso contrario
k
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
3
Su esperanza es igual a:
E(x) =
2
1n
Su varianza es igual al:
V(x)=
12
1n ²
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
4
• Es la forma más obvia de asignar
probabilidades dentro de un fenómeno
aleatorio cuyo comportamiento es
desconocido.
• Esta ley aparece en los juegos de azar en los
que todos los jugadores tienen iguales
posibilidades; además, esta distribución es la
básica en la simulación de eventos aleatorios
mediante computadora.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
5
EJEMPLO 1:
Un reloj automático registra la hora a la cual llegan los
empleados de una oficina, en horas y minutos completos.
Una persona puede atrasarse hasta 59 minutos luego de la
hora prefijada para entrar, caso contrario se le considera
como falta. Por cada minuto de atraso se le cobra una
multa de 50 centavos. Si los tiempos de atraso se
consideran aleatorios:
a) ¿Cuánto esperará una persona que se le descuente por
un día que se atraso?
b) Si en la oficina hay 8 personas, que se atrasaron 2 veces
al mes cada una, ¿cuánto será el descuento global
esperado a estos empleados de la oficina?
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
6
SOLUCIÓN:
Sean:
t: tiempo de atraso (en minutos)
n: 1, 2, 3,… 59
D: descuento
Z: descuento global
E(t)= (n+1)/2
E(t)= (59+1)/2
E(t)= 30 [min/día]
D= 0.5t
1 2 3 …59
0.5 0.5 0.5 0.5
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
7
E(D)= E(0.5t)
E(D)= 0.5*E(t)
E(D)= 0.5*30
E(D)= $15 a)
Z= 8*(0.5t)*2
Z= 8t
E(Z)= E(8t)
E(Z)= 8*E(t)
E(Z)= 8*30
E(Z)= $240 b)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
8
Para el servicio de transporte entre dos ciudades hay 10
buses, de los cuales 5 son de tipo normal (costo del
pasaje 2 dólares) y 5 de tipo especial (costo del pasaje 3
dólares). Una persona tiene que viajar entre las dos
ciudades (ida y vuelta) durante los 5 días laborables de
la semana, y para transportarse toma el primer bus que
aparece en esa ruta, sin diferenciar el tipo; ¿cuánto
esperará gastar esta persona en la semana?.
EJEMPLO 2:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
9
SOLUCIÓN:
Sean:
n: número de buses
x: costo por viaje ($/día)
BN: bus normal
BE= bus especial
G: gasto semanal de transporte
#días laborables: 5
n: 10
#BN: 5 costo del pasaje: $2
#BE: 5 costo de pasaje: $3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
10
IDA VUELTA
Normal x= 2
Normal x= 2
IDA VUELTA
Especial x= 3
Especial x= 3
IDA VUELTA
Normal x= 2
Especial x= 3
4
6
5
x 4 5 6 P(x) (1/2)*(1/2)=1/4 2*(1/2)*(1/2)= 1/2 (1/2)*(1/2)= 1/4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
11
P(BN)= 5/10
P(BN)= ½
P(BE)= 5/10
P(BE)= ½
G= 5x
E(G)= E(5x)
E(G)= 5*E(x) E(x)= 4*(1/4)+5*(1/2)+6*(1/4)
E(x)= 1+2.5+1.5
E(x)= 5 [$/día]
E(G)= 5*5
E(G)= 25 [$/semana]
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
12
En una escuela primaria se registró el número de
palabras por minuto que leían los estudiantes,
encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un
máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable
aleatoria que describe el número de palabras leídas está
uniformemente distribuida.
a) Halle la probabilidad de que un estudiante,
seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras.
b) Determine el número de palabras que se esperaría
lea un estudiante seleccionado al azar.
EJEMPLO 3:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
13
SOLUCIÓN:
ƒ(x)= 1/(b-a) si x € [a,b]
ƒ(x)= 1/(139- 80) si x € [80, 139]
ƒ(x)= 1/59
Pr (x ≥100)= 1- Pr (x<100)
Pr (x ≥100)= 1- -
Pr (x ≥100)= 1-
Pr (x ≥100)= 1- [x/59]
dxxf )( dxxf )(80
-∞
100
80
dx)59/1(
80
100
80
100
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
14
Pr (x ≥100)= 1- (20/59)
Pr (x ≥100)= 0,66 a)
X~Un (p1;p2)
X~Un (80;139)
E(x)= (80 + 139)/2
E(x)= 109,5 ~ 110 palabras b)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
15
Un borracho camina de forma aleatoria de la siguiente
manera: cada minuto da un paso hacia adelante o hacia
atrás con igual probabilidad y con independencia de los
pasos anteriores. Cada paso es de 50 cm. Calcule :
a) Los pasos que esperaría dar el borracho
b) La varianza de los pasos
c) La probabilidad de que en una hora camine y avance
más de 5 m.
EJEMPLO 4:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
16
SOLUCIÓN: x 0 1
P(x) 1/2 1/2
Sean:
x: # de pasos dados
0: pasos hacia atrás
1: pasos hacia adelante
E(x)= 0*(1/2)+1*(1/2)
E(x)= ½ [pasos/minuto] a)
V(x)= 0²*(1/2)+ 1²*(1/2) – (1/2)²
V(x)= (1/2) – (1/4)
V(x)= ¼ b)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
17
1hora=> 60 pasos
Pasos hacia adelante= = 10 pasos
60 pasos totales menos 10 pasos que con certeza
va hacia adelante= 50 pasos
La probabilidad de que los pasos sean hacia
adelante es igual que la probabilidad de que los
pasos sean hacia atrás.
Entonces:
Pasos hacia atrás= 50*(½)= 25 pasos
Pasos hacia adelante= 50*(½)= 25 pasos
Total de pasos hacia adelante: (10+25)= 35
]/[50
][500
pasocm
cm
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
18
Pr(x1>35)= 1 – Pr(x ≤35)
Pr(x1>35)= 1 – [Pr(x=0)+Pr(x=1)+…+Pr(x=35)
Pr(x1>35)= 1 – Pr
Hacemos un cambio de variable:
z= u= E(x1)
V(x1)= 60* V(x)
E(x1)= 60*E(x) V(x1)=60*(1/4)
E(x1)= 60*(1/2) V(x1)= 15
E(x1)= 30
X
))(
)(35
)(
)((
xV
xE
xV
xEx
)( 1xV
ux
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
19
z=
z= 1.29
Pr(x1>35)= 1 – Pr(z≤1.29)
Pr(x1>35)= 1- 0.9015 0.9015: valor de tabla
Pr(x1>35)=0.0985
15
3035
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
20
Supóngase que la concentración que cierto
contaminante se encuentra distribuida de manera
uniforme en el intervalo de 0 a 20 pares de millón. Si se
considera tóxica una concentración de 8 o más.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al tomarse una
muestra la concentración de esta sea tóxica?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración sea
exactamente 10?.
c) Halle la varianza.
EJEMPLO 5:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
21
SOLUCIÓN:
X~Un (p1;p2)
X~Un (0;20)
Pr(x=20)= 1/20
Pr (x ≥8)=
Pr (x ≥8)=[(1/20)*x]
Pr (x ≥8)=(20/20) – (8/20)
Pr (x ≥8)=0,6 a)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
22
Pr (x=10)=
Pr (x=10)=[(1/20)*x]
Pr (x=10)= 0 b)
V(x)= (20 ²- 1)/12
V(x)= 33,3 c)
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA