Distribucione hipergeometrica y de poisson

7/27/2019 Distribucione hipergeometrica y de poisson

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En estadstica la Distribucin hipergeomtrica es unadistribucin de probabilidad discreta con tresparmetros discretos, s, x y n cuya funcin deprobabilidad es:

3

nN

xNsNxs

C

CCxP )(

Donde:

N es el tamao de la poblacinS es la cantidad de xitos en la poblacinx es el nmero de xitos en la muestra. Puede ser 0, 1, 2, 3,

n es el tamao de la muestra, o el nmero de ensayos

C es el smbolo para una combinacin


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Los experimentos que tienen este tipo dedistribucin tienen las siguientescaractersticas:

a) Al realizar un experimento con estetipo de distribucin, se esperan dos tiposde resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cadauno de los resultados no son constantes.

c) Cada ensayo o repeticin delexperimento no es independiente de los

dems. 4


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La fbrica de juguetes Play Time Toys, Inc. Tiene 50empleados en el departamento de ensamble. De estos, 40pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir cincoempleados aleatoriamente, para q integren un comit quehablar con el gerente acerca de la hora de inicio de losdistintos turnos. Cul es la probabilidad de que cuatro delos cinco elegidos pertenezcan al sindicato?

SOLUCIN

La poblacin en este caso son los 50 empleados deldepartamento de ensamble. Un empleado puede ser elegidopara el comit solo una vez. Por tanto el muestreo se efectasin reemplazo. As que, la probabilidad de elegir, porejemplo, un obrero que pertenezca al sindicato, varia de unensayo a otro. La distribucin hipergeomtrica es laapropiada para determinar esta probabilidad en esteproblema.

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N es 50, el nmero de empleados. S es 40, el nmero de empleados del sindicato x es 4, el nmero de empleados del sindicato que fueron

seleccionados n es 5, el nmero de empleados elegidos

Se quiere encontrar la probabilidad de que 4 de los 5 miembrosdel comit pertenezcan al sindicato. Al sustituir estos valores enla frmula se obtiene:

En consecuencia, la probabilidad de elegir aleatoriamente 5empleados del departamento de ensamble, y la probabilidad dehallar que 4 de los 5 pertenecen al sindicato es 0.431. = 43%

6

431.0

2118760

1091390

!45!5

!50

!9!1

!10

!36!4

!40

)4(550

454050440

C

CCP


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Quince automviles son llevados a una concesionaria para validar sugaranta suponga que cinco presentan graves problemas de motor,mientras que diez tienen problemas sin importancia. Se eligen

aleatoriamente seis automviles para componerlos. Cul es laprobabilidad de que dos tengan graves problemas? N = 15, es el tamao de la poblacin S = 5 es la cantidad de xitos en la poblacin x = 2 es el nmero de xitos en la muestra. Puede ser 0, 1, 2, 3, n =6 es el tamao de la muestra, o el nmero de ensayos C es el smbolo para una combinacin

SOLUCIN

En consecuencia, la probabilidad de elegir aleatoriamente 6automviles con problemas graves, y la probabilidad de hallar que 2 delos 6 tienen problemas es 0.4195. = 42% 7

41958.05005

21010

!9!6

!15

!6!4

!10

!3!2

!5

)4( 615

2651525

C

CC

P


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DATO HISTRICO

La distribucin de Poisson se llama as en honor a sucreador, el francs Simen Dennis Poisson (1781-1840),Esta distribucin de probabilidades fue uno de los mltiplestrabajos matemticos que Dennis complet en su productivatrayectoria.

Existen situaciones en las que la probabilidad de ocurrencia

p de un suceso es muy pequea mientras que es muygrande el nmero n de unidades a verificar.El clculo de probabilidades con la binomial resulta muycostoso por lo que se intenta aproximarlo a otra distribucin.Para los cientficos de la poca sta era la ley normal, queconsideraban una especie de dogma universal, a la quedeban someterse todos los fenmenos, incluso los de

carcter social.

Sin embargo, Poisson obtiene en 1836 este importanteresultado si p difiere mucho de 1/2 la ley normal no es larepresentacin asinttica adecuada. Descubra as la leyque lleva su nombre, o dicha tambin la ley de los sucesosraros, llamada por Bortkiewicz ley de los pequeosnmeros. 8


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Muchos estudios se basan en el conteo de lasveces que se presenta un evento dentro de un

rea de oportunidad dada.

El rea de oportunidad es una variables continuaen donde se puede presentar ms de un evento.


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Nmero de clientes que son atendidos en elbanco en una hora

Clientes: Variable discreta

Hora: Rango de tiempo

Variable continua.

S aplica Poisson

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Nmero de personas que viven enHonduras por kilmetro cuadrado

Personas: Variable discreta Kilometro: Superficie

Variable continua.

S aplica Poisson

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La distribucin de Poisson tiene unparmetro que representa la media.

El smbolo para denotar ladistribucin de Poisson es la letragriega Lambda ().

La media es igual que la varianza

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146525.02

29305.0

12

)16)(0183156.0()2(

!2

4)2(

!)(

24

xXP

eXP

x

exXP

x

14La probabilidad de que x=2 es del 14.65%


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1336.024

2064.3

1234

)06.39)(082085.0()4(

!4

5.2)4(

!)(

45.2

xxxXP

eXP

x

exXP

x

15La probabilidad de que x=4 es del 13.36%


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16


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224.012

)9)(049787.0()2(

!2

3)2(

!)(

23

xXP

eXP

x

exXP

x

17

La probabilidad que lleguen 2 clientes por minuto es 22.4%


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La probabilidad de que un evento sea menor oigual que 2, se denota as:

Cuando la poblacin es infinita, la probabilidad en

mayor se convierten en tipo menor, de la siguientemanera:

)0()1()2()2( XPXPXPXP

)2(1)2( XPXP18


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49289.0)2(

10082.016803.022404.0)2(

1234

)243)(049787.0(

1234

)81)(049787.0(

123

)27)(049787.0()2(

!53

!43

!33)2(

)5()4()3()2(

534333

XP

XP

xxxxxxxxxXP

eeeXP

XPXPXPXP

21

La probabilidad de que x 2 es de 42.32%


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